МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

2 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) СОДЕРЖАНИЕ Неопределенный интеграл Таблица интегралов Свойства интегралов Интегрирование подстановкой 5 Интегрирование по частям 5 Вычисление интегралов от рациональных дробей Метод неопределенных коэффициентов 7 5 Вычисление интегралов, содержащих иррациональные выражения 0 6 Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические выражения Определенный интеграл Формула Ньютона-Лейбница Замена переменной в определенном интеграле Формула интегрирования по частям для определенного интеграла Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными явно Площадь фигуры на плоскости, ограниченной кривой, заданной параметрически 5 Объём тела с известными площадями поперечных сечений 5 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной явно 7 5 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной параметрически 8 6 Длина дуги отрезка кривой в пространстве, заданной параметрически 8 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

3 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси O 9 8 Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Oy 0 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ЛИТЕРАТУРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

4 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Таблица интегралов Свойства интегралов Вычисление неопределенных интегралов основано на использовании таблицы интегралов: n+ n d + C, ( n ); n + d ln + C; e d e + C; d + C; ln sin d cos + C; cos d sin + C; d tg C ; cos + d ctg C ; sin + d d d ± rcsin + C; ln + ± + C; rctg C ; + + d ln + C ; + а также на использовании следующего свойства c f + c f d c f d + c f d, где c и c произвольные числа ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

5 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Пример Вычислить интеграл I 7 + d Решение 7 d I d + + ln + C + ln + C Интегрирование подстановкой (заменой переменной) Если F( ) произвольная первообразная функции f ( ), то f ( u( )) u d f ( u( )) du( ) f ( u) du F( u( )) + C Пример Вычислить интеграл I d Решение ( 8 7) ( ) ( 8 7) d I d ( 8 7) 5 + C Интегрирование по частям то Если подынтегральную функцию можно представить в виде udv, где Пример Вычислить интеграл u u, v v, udv uv vdu ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

6 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ( 5) sin ( 7) I + d и сделать проверку дифференцированием Решение Воспользуемся методом интегрирования по частям: Далее получаем u + 5 du d, sin( 7) d dv v cos( 7) Сделаем проверку: + 5 I cos( 7) + cos( 7) d ( + ) 5 cos( 7) + cos( 7) d( 7) 6 ( + 5) cos( 7) + sin( 7) + C cos( 7) + 6 sin( 7) + C + 5 cos( 7) 6 ( sin( 7) ) + cos( 7) cos( 7) + ( + 5) sin( 7) + cos( 7) ( + 5) sin( 7) Получена подынтегральная функция, значит все сделано верно Пример Вычислить интеграл I ln d Решение Воспользуемся методом интегрирования по частям: Далее получаем d u ln du d, d dv v ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

7 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) d ln ln I ln d C + Вычисление интегралов от рациональных дробей Метод неопределенных коэффициентов Вычисление интеграла R d от правильной рациональной дроби P R( ) Q n ( m n) m < осуществляется при помощи разложения дроби R( ) в сумму простейших дробей вида A, B ( b) ( p q 0) C + D E + F,, <, k k + p + q ( + p + q) коэффициенты A, B, C, D, E, F которых можно вычислить, используя метод неопределенных коэффициентов, что будет показано на примерах Вычисление интеграла R d от неправильной рациональной дроби P m R ( m n) Q n осуществляется сначала при помощи выделения целой части рациональной дроби R( ), например, методом деления многочленов «в столбик» Q l R Sm n + ( m > n, l < n), Q а затем при помощи разложения полученной правильной дроби в сумму простейших дробей Пример 5 Вычислить интеграл n Q l Q ( l < n) Q n ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

8 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) I 5 + d Решение Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: ( + )( 7) A + B + + C 7 Следовательно, A( + )( 7) + B( 7) + C( + ) ( + )( 7) 5 + A( + )( 7) + B( 7) + C( + ) Для определения коэффициентов A, B и C подставим в это соотношение значения 0, и 7соответственно: В результате получаем A A ; 0 B B ; C C 70 I d d( + ) 9 d( 7) ln ln + + ln 7 + C 0 70 Пример 6 Вычислить интеграл I ( 5) d Решение Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: 5 5 A B C A + B( ) + C ( ) ( ) ( ) ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

9 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Следовательно, 5 A + B( ) + C Для определения коэффициентов A, B и C подставим в это соотношение значения 0, и, например, соответственно: A A ; 9 C C ; 6A B + C Из последнего соотношения можно найти коэффициент B : Поэтому 80 6 B ( 6A C + ) d 6 d( + ) d( + ) 5 6 I ln ln 9 + C ( + ) 9 9 ( + ) Пример 7 Вычислить интеграл I ( ) d Решение Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: A B + C ( ) Следовательно, A( ) + B + C ( A + B) + (6 A + C) + 0A Далее получаем 0A A, 5 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

10 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) A+ B 0 B A, 5 6 6A+ C C 6A Поэтому I d ( + ) d ( ) d( ) 8d ln ( ) ( ) 8 d ln + ln( ) ( + ) + 8 ln + ln( ) + rctg( + ) + C Вычисление интегралов, содержащих иррациональные выражения Пример 8 Вычислить интеграл I ( 9) d Решение Заметив, что ( 8 + 5) 8, выделим в числителе подынтегральной функции производную от квадратного трехчлена и разобьем интеграл на слагаемых ( 8) 0 ( 8) d 0 d I 5 d 8 5 I I Далее получаем ( 8) d ( 8 + 5) ( 8 + 5) ( 8 + 5) + I d C 8 + 5, ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

11 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) I d d d( ) ln + + C, I I 5I ln + + C Пример 9 Вычислить интеграл I d 5 Решение d 5 d 5 5 d d d rcsin + C 5 5 Пример 0 Вычислить интеграл 5 I d + Тогда Решение Совершим замену переменного вида t t dt ( t + ) dt ( t ) dt dt + t d t dt I + t + t + t + t t + + C + C ( t ) dt ln t t + ln t + ln ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

12 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические выражения Пример Вычислить интеграл cos sin 5 6 d Решение cos sin d cos sin cos d ( ) d(sin ( + ) d(sin 6 6 sin sin ) sin sin sin ) sin sin sin ( sin sin + sin ) d(sin ) C ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Формула Ньютона-Лейбница Если F( ) произвольная первообразная функции f (), то выполнено следующее соотношение b f d F( ) F( b) F( ) Замена переменной в определенном интеграле b b Если в определенном интеграле f ( ) d сделать замену переменной то будет выполнено соотношение: ( t); ( t α), ( t β) b, b β f d f ( ( t)) ( t) dt Пример Вычислить определенный интеграл α ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

13 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) I d Решение Сделаем в интеграле замену переменной + + t Тогда значению 0будет соответствовать значение t, а значению значение t Далее получаем t t t + t, + ( t ),, d ( t ) dt, t t ( t ) I dt ( t )( t ) dt ( t t + ) dt t t t t Формула интегрирования по частям для определенного интеграла вид Для определенного интеграла формула интегрирования по частям имеет b udv uv vdu Пример Вычислить определенный интеграл b π ( 0 0) sin I + d Решение Воспользуемся методом интегрирования по частям: π π π I ( + 0) d cos ( + 0)cos + cos d b ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

14 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) π π + 0 cos + 0 cos0 + sin 0 + ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными явно Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, b b, y f, y f f f, вычисляется по формуле π b ( ) S f f d Пример Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями y +, y, y Решение Найдем сначала точки пересечения линий: + + 0, y, y ; , y y у S S Далее получаем (см рисунок): 0 х S ) 0 S + S ( + ) d + ( d ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

15 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ( ) ( ) 6 0 Площадь фигуры на плоскости, ограниченной кривой, заданной параметрически Площадь S фигуры на плоскости, ограниченной замкнутой кривой, заданной параметрическими соотношениями ( t), y y( t) t t t, пробегаемой при возрастании параметра t против хода часовой стрелки и оставляющей рассматриваемую фигуру слева от себя, вычисляется с помощью любой из следующих трех формул: S t t S t ' y( t) ( t) dt, t t ' ( t) y ( t) dt, t ' ' S ( ( t) y ( t) ( t) y ( t) ) dt Объем тела с известными площадями поперечных сечений Объём тела с площадью поперечного сечения вычисляется по формуле S S( t) t b V b S( t) dt Пример 5 Найти объем тела, образованного вращением полуволны синусоиды y sin ( o π) вокруг оси OX Решение Сечение тела плоскостью const является кругом с радиу- r sin и площадью (см рисунок) сом ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

16 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) S πr πsin y π Следовательно, π π π π cos π π V πsin d π d π sin Пример 6 Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривыми y +, y 0 Решение Решая относительно уравнение + y, находим пределы изменения при каждом значении y :, ± y Парабола y + пересекает ось O в точках 0,, ее вершина имеет координаты (, y ), а ветви направлены вниз Сечение рассматриваемого тела вращения плоскостью y const существует для 0 y и при 0 y < является круговым кольцом, внешний радиус которого равен + y, а внутренний радиус равен y При y внутренний и внешний радиусы кольца совпадают, и кольцо вырождается в окружность Поэтому площадь сечения S( y ) равна ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

17 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) S( y) π + y y 8π y Отсюда вытекает, что объем тела вращения относительно оси Oy равен V S( y) dy 8π ydy 8π yd( y) Если теперь сделать замену z y, то мы получим V 8π yd( y) 8π zd( z) 8π zd( z) 8π z π Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной явно Длина дуги отрезка гладкой кривой на плоскости, заданной соотношением вычисляется по формуле y y b, b ' s + y d Пример 7 Найти длину дуги кривой π y ln cos, 0 6 Решение Воспользовавшись формулой для длины дуги кривой, заданной явной функцией, получим π π π 6 6 sin cos 0 cos π π π 6 6 cos 6 d(sin ) dt d d 0 cos 0 cos 0 sin 0 t ' s + y d + d d Последний интеграл (неопределенный) входит в таблицу интегралов, поэтому ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

18 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) dt s 0 t t + ln t 0 ln 5 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной параметрически Длина дуги отрезка гладкой кривой на плоскости, заданной параметрическими соотношениями вычисляется по формуле ( t), y y( t) t t t, t ' ' s ( t) + y ( t) dt t 6 Длина дуги отрезка кривой в пространстве, заданной параметрически Длина дуги отрезка гладкой кривой в пространстве, заданной параметрическими соотношениями вычисляется по формуле ( t), y y( t), z z( t) t t t, t ' ' ' s ( t) + y ( t) + z ( t) dt t Пример 8 Найти длину дуги плоской кривой, заданной параметрическими формулами то Решение Поскольку cost + tsin t, y sint tcos t, 0 t π ' ( t) (cost + tsin t) ' sint + sint + tcost tcost, y' ( t) (sint tcos t) ' cost cost + tsint tsint, ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

19 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) π π 0 0 π π t π t dt tdt π ' ' s ( t) + y ( t) dt t cost + t sint dt 7 Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси O Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси O гладкой кривой вычисляется по формуле y y b, b ' P π y + y d Пример 9 Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси O кривой y +, Решение Поскольку y', то ' P π y y d π d d + d π + π π rcsin + π( π+) ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

20 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Oy Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy гладкой кривой вычисляется по формуле ( y) y b, b ' P π + ( y) dy ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

21 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что называется первообразной функции? Каким свойством обладают первообразные одной и той же функции? Что называется неопределенным интегралом? Какими свойствами обладают неопределенные интегралы? 5 Что такое интегрирование подстановкой? 6 Что такое интегрирование по частям? 7 Что называется простейшей дробью? 8 Как выделить целую часть рациональной дроби? 9 Как разложить дробь на простейшие? 0 Как вычислить интеграл от рациональной дроби? Что такое определенный интеграл? Какими свойствами обладает определенный интеграл? Что такое формула Ньютона-Лейбница? Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле? 5 Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле? 6 Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными явно? 7 Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически? 8 Как найти объем тела с известными площадями поперечных сечений? 9 Как найти длину дуги отрезка кривой, заданной явно? 0 Как найти длину дуги отрезка кривой на плоскости, заданной параметрически? Как найти длину дуги отрезка кривой в пространстве, заданной параметрически? ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

22 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Как найти площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси O? Как найти площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Oу? ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

23 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Вычислить интегралы: ctg5 d ; 5 + d ; + d ; + d ; + 5 rctg d ; 6 d Найти: 7 Длину дуги кривой, заданной явной формулой π y ln cos, 0 ; 8 Длину дуги кривой, заданной параметрическими формулами t t e sin t, y e cos t, ln t ln; 9 Площадь фигуры, расположенной в I квадранте координатной плоскости и ограниченной линиями y +, y, y 0; 0 Объем тела, образованного при вращении вокруг оси O фигуры, описанной в задании 9 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

24 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Основная: ЛИТЕРАТУРА Бутузов ВФ, Крутицкая НЧ, Медведев ГН, Шишкин АА Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие / Под ред ВФ Бутузова М: Физматлит, 00 Бугров ЯС, Никольский СМ Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие М: Физматлит, 00 Кремер НШ, Путко БА, Тришин ИМ, Фридман МН Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов - М: ЮНИТИ, 00 Натансон ИП Краткий курс высшей математики - СПб: Издательство «Лань», 005 Дополнительная: 5 Ведина ОИ, Десницкая ВН, Варфоломеева ГБ, Тарасюк АФ Математика Математический анализ для экономистов: Учебник М: Инф-изд дом «Филинъ», Рилант, 00 6 Гурова ЗИ, Каролинская СН, Осипова АП Математический анализ Начальный курс с примерами и задачами / Под ред АИ Кибзуна М: Физматлит, 00 7 Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред ВИЕрмакова М: ИНФРА-М, 00 8 Фихтенгольц ГМ Основы математического анализа Т,- М: Физматлит, 00 9 Шипачев BC Высшая математика - М: Высшая школа, 00 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро   МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию Курсовая работа на тему «Неопределенные и определенные интегралы» Часть Вычисление интегралов Найти неопределённые интегралы 5 + d ; + = + = + = + + = 5 5 5 /5 d d d d /5+ 6/5 ( + ) ( + ) 5 6 5 = + C =

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы Расчетно-графическая работа Интегралы Задания -8. Найти неопределенные интегралы: Сделать проверку дифференцированием в трех из шести задач. ) Решение. arccos d Применяем метод подстановки: t = arccos,

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Информационные системы и технологии» МАТЕМАТИКА

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и координатной осью O (заштрихованная область рис.). Пусть,. Площадь фигуры найдем по формуле

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ)

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ) ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ρ ρ (ϕ) β α ρ УДК 57(76) ББК В6я7 Н9 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета Р е ц е н з е н т Кандидат физико-математических наук, доцент ГОУ ВПО

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ «ИНТЕГРАЛ»

СБОРНИК ЗАДАЧ «ИНТЕГРАЛ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Криволинейный интеграл 1-го рода

Криволинейный интеграл 1-го рода Криволинейный интеграл -го рода ) Вычислить ( x + y) dl, где - контур треугольника с вершинами O( ; ), A( ; ), ( ; ) B. Здесь имеем дело с криволинейным интегралом -го рода. Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и задания по высшей математике для

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что Задание Найти неопределённые интегралы Образец выполнения контрольной работы ln ( 8 ) + d 8 d Решение Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что ln( 8 ) 8 C 8 = 8 + (модуль под знаком

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра общей математики 57(7) Б7 ЕА Богонос, ВИ Осмоловский, АА Эбель ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Руководство

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Fx + C. (1.1) dx = ( ) f x g x dx f x dx g x dx.

Fx + C. (1.1) dx = ( ) f x g x dx f x dx g x dx. ВВЕДЕНИЕ Методическое пособие предназначено для оказания помощи студентам-заочникам первого курса для выполнения контрольных работ по высшей математике В пособии приведены основные теоретические сведения

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр МИНОБРНАУКИ РОССИИ Бугульминский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Интегральное исчисление функций нескольких переменных МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Интегральное исчисление

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания к решению индивидуального задания Индивидуальное задание соответствует теме «Неопределённый интеграл» теоретического

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D)

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D) БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить ( D) + acctg d, где ) +, + 9,, = (D область,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ а В -а а А -а Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле Применение определенного интеграла Лектор Рожкова СВ 03 г Замена переменной

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Контрольная работа Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной З а д а ч и 1-10 Необходимо найти производные первого порядка функций одной переменной, используя правила дифференцирования

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

Подробнее

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги

2. Криволинейные интегралы. определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги . Криволинейные интегралы Пусть вектор-функция F = P(, y) + Q(, y)j определена на гладкой кривой АВ. Разобьем кривую АВ произвольным образом на элементарные дуги A A, A A,..., An B, A = A (,y ), A = A(,y

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

z x y xtgy xsin x y в т.р(1,-2) при условии, что dz dt dy dx 1 ) z x y xy x y в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и

z x y xtgy xsin x y в т.р(1,-2) при условии, что dz dt dy dx 1 ) z x y xy x y в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и Найти полный дифференциал функции: z y tgy u y arcsin z z sin y e y n y lnsin z Вычислить значение полного дифференциала функции условии, что, и y, z y y в т.р(,) при Вычислить значение полного дифференциала

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра Математики и математического моделирования МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно графических

Подробнее

Методические указания к практическим занятиям Часть 2

Методические указания к практическим занятиям Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова Шахтинский институт (филиал) ЮРГПУ(НПИ) им. М.И. Платова МАТЕМАТИКА

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее