Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов"

Транскрипт

1 Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки от плоскости 6. Задачи для самостоятельного решения 7. Проверочные работы 1. Введение Преподаватель: Белов А.И. В курсе геометрии 1-11 классов большое внимание уделяется декартовым координатам, векторам и их применению при решении задач. Уравнения простейших геометрических объектов прямой и плоскости, дают более наглядную картину численного восприятия пространства. Учащимся, занимающимся в классах с углублённым изучением информатики, в физико-математических классах, изучение данной темы даёт возможность непосредственно использовать свои знания по данной теме при разработке и применении программ трёхмерной графики. С некоторыми оговорками некоторые из следующих материалов можно использовать и в 8-9 классах в при изучении темы «Уравнение прямой на плоскости».. Уравнение прямой Для вывода уравнения прямой в пространстве удобней всего воспользоваться условием коллинеарности векторов. Рассмотрим прямую l в пространстве, при этом M x ; y z - известная точка, лежащая на этой прямой, и пусть вектор пусть точка ( ; ) q = ( q1 ; q; q ) - известный вектор, коллинеарный прямой. направляющим вектором прямой. Рассмотрим точку A ( x y; z) l Данный вектор называется ; - произвольную точку пространства. Для того, чтобы выполнялось условие A l, необходимо и достаточно, чтобы MA q. Найдём MA = ( x x y y ; z У коллинеарных векторов ; z x x y y z z координаты пропорциональны, значит, = =. Полученное q1 q q уравнение является каноническим уравнением прямой l. Преобразуем полученное уравнение следующим образом. x x y y z z Пусть = = = t. q q q 1 = x + q1t, Тогда y = y + qt, где t R. Полученная система называется параметрическим z = z + qt., уравнением прямой l. Задавая различные значения параметра t, получим различные точки на прямой l. Так, например, при t =, получим точку M. Таким образом, параметр t выполняет роль внутренней координаты на прямой. Задача 1

2 Написать уравнение прямой, проходящей через точки A( 1; 1; B( ;;1 Направляющим вектором прямой будет AB = ( 1;4;1 Отсюда уравнение прямой x y + 1 z имеет вид = =. Уравнение в параметрическом виде имеет вид = 1+ t, y = + 4t, t R. z = t, Задача Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC, если A ( ;; B( ;4;5 C( 1; ; M середина BC, значит, M ; ;. Таким образом, M ( ;1; Направляющим вектором искомой прямой будет вектор AM = ( ; ; Отсюда x + 1 y z уравнение прямой имеет вид = =, а в параметрическом виде = t, y = t +, t R. z = t, Задача Написать уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC, если A( ;1;4 B( ;; 1 C( 1;;1 Высота AH BC, H BC. Пусть H ( x; y; z x 1 BC = ( ;1; ), уравнение прямой BC имеет вид 1 z = y =, причём координаты точки H удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, AH BC, значит, их скалярное произведение равно. Так как AH = ( x ; y ; z 4), то x + y + ( z 4) =. Отсюда, координаты точки H удовлетворяют системе x z = y =, x + y + z 9 =, = t + 1, y = t +, z = t + 1, ( t + 1) + t + + ( t + 1) 9 =.

3 Решив последнее уравнение, найдём t =. Отсюда, точка H ; ;. Значит, вектор AH = ; ;, и, следовательно, уравнение прямой AH имеет вид 11 7 x y z = =, y z x = = Уравнение плоскости Для вывода уравнения плоскости воспользуемся условием перпендикулярности векторов. Рассмотрим плоскость α. Пусть точка M ( x ; y z ) известная точка, ; принадлежащая данной плоскости, и пусть вектор n = ( A; B; C) известный вектор, перпендикулярный плоскости α. Такой вектор называется нормальным вектором (нормалью) плоскости. Точка M ( x; y; z) произвольная точка пространства. Для того, чтобы выполнялось условие M α, необходимо и достаточно, чтобы вектора n и M M были перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов должно быть равно. M M = ( x x y y ; z ; z M M n = A Ax + By + Cz ( x x ) + B( y y ) + C( z z + ( Ax By Cz ) =. Обозначим D = Ax By Cz. Отсюда Ax + By + Cz + D =. Полученное уравнение является уравнением плоскости α. Задача 4 Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB, A ; ;4 ; B ;5; Найдём координаты точки O середины отрезка AB. O ( 1;;1 AB = ( ;6; 6) нормальный вектор искомой плоскости. Отсюда искомое уравнение имеет вид ( x ) + 6( y ) 6( z ) =. Итак, x + y z + = искомое уравнение. перпендикулярно к нему, если ( ) ( Задача 5 Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, x y + 1 z перпендикулярно прямой = =. 4 Направляющий вектор данной прямой будет нормалью к искомой плоскости, следовательно, n = ( ; ;4 Тогда уравнение плоскости имеет вид x y + 4z =.

4 Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A ( 1; ; B( ;;1 C( ;; AB = 1;4;1 ; AC = ;4; Так как координаты найденных векторов не являются ( ) ( пропорциональными, то AB и AC неколллинеарны, а значит, точки A, B, C не лежат на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести единственную плоскость. Нормальный вектор этой плоскости должен быть перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, а по критерию перпендикулярности прямой и плоскости для этого необходимо и достаточно перпендикулярности каким-либо двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Пусть нормаль n = ( A; B; C Тогда n AB = ; n AC =. Найдём координаты нормали из системы A + 4B + C =, A + 4B + C =, A C =, C = A. Пусть A = 1. Тогда C = ; B =. Таким образом n = ( 1; ; ), а уравнение искомой плоскости имеет вид 1 x y z =, ( ) ( ) ( ) x y + z =. 4. задач с помощью уравнений прямой и плоскости Задача 7 Найти пересечение плоскостей α : x + y z = и β : x + y + z 6 =. Плоскости α и β пересекаются по прямой l, так как нормаль плоскости α неколллинеарна нормали плоскости β. Точки прямой пересечения должны удовлетворять системе уравнений x + y z =, x + y + z 6 =. 5z + 5 =, z = 1, x + y 4 =, y = 4 x. Тогда при x = получим y = 4, а при x = получим =. и ( ;;1 ) y Значит, точки A ( ;4;1 ) B принадлежат линии пересечения плоскостей. Вектор AB = ( ; 4; ) направляющий вектор искомой прямой. Тогда уравнение линии пересечения имеет x y 4 z вид = =. В данном случае деление на означает лишь то, что прямая 4

5 параллельна плоскости Oxy. Уравнение прямой в параметрическом виде имеет вид = t, y = t + 4, t R. z = 1, Задача 8 x y + z Найти пересечение прямой l : = = и плоскости α : x + y + z + 6 =. q = ; ; и нормальный вектор данной Направляющий вектор данной прямой ( ) плоскости = ( ;1;1 ) n не являются перпендикулярными (так как их скалярное произведение не равно Значит, данная прямая и плоскость пересекаются в точке A, координаты которой удовлетворяют системе уравнений x + y + z + 6 =, x y + z = =, = t + 1, y = t, z = t, ( t + 1) t + t + 6 =, 6t + 6 =, t =, x =, y =, z =. Таким образом, искомая точка имеет координаты A ( ; ; 5. Расстояние и отклонение точки от плоскости Пусть точка M ( x; y; z ) известная точка пространства и пусть дана плоскость α : Ax + By + Cz + D =. Пусть N - проекция точки M на плоскость α. Тогда N = a α, где a - прямая, проходящая через точку M перпендикулярно плоскости α. Нормальный вектор плоскости α совпадает с направляющим вектором прямой a, значит, уравнение этой прямой имеет вид x x y y z z = =. Координаты точки N удовлетворяют системе уравнений A B C x x y y z z = =, A B C Ax + By + Cz + D =, = x + At, y = y + Bt, z = z + Ct, A( At + x ) + B( Bt + y ) + C( Ct + z ) + D =,

6 Ax + By + Cz + D Отсюда t =. A + B + C Расстояние от точки M до плоскости α - это длина вектора MN = ( At; Bt; Ct Отсюда получим Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D MN = ( A + B + C ) =. A B C + + A + B + C Итак, формула расстояния от точки M до плоскости α Ax + By + Cz + D ρ ( M, α ) =. A + B + C Модуль в числителе этого выражения говорит о том, что на данном расстоянии от плоскости α на прямой, проходящей через точку M, находятся две точки сама точка M и симметричная ей относительно плоскости α. Таким образом, знак выражения внутри модуля в числителе дроби показывает, с какой стороны от плоскости α расположена точка. Ax + By + Cz + D Выражение δ ( M, α ) = называется отклонением точки от A + B + C плоскости и обладает следующим смыслом δ ( M, α ) = если M α, δ ( M, α ) > если M лежит по ту же сторону от α, куда направлен нормальный вектор ( A ; B; C) плоскости α, δ M, α < если M лежит по другую сторону от α. ( ) Задача 9 Найти расстояние от точки A ( 1;; ) до плоскости α : x + y z + 1 =. Используя полученную формулу, получим ρ( A, α ) = = = = ( ) Задача 1 Пересекает ли плоскость α : x 4y + z + 5 = отрезок AB, если A ( 1;1;1 B( ; ; )? Пересекает ли плоскость прямая AB? δ ( A, α ) = = > δ ( B, α ) = = > Таким образом, отклонения обеих точек от плоскости одного знака, следовательно, они лежат по одну сторону от α, а значит, отрезок AB не пересекает плоскость α. Но отклонения данных точек не равны между собой, значит, они находятся на разном расстоянии от плоскости, то есть отрезок AB не параллелен плоскости α. Следовательно, прямая AB пересекает плоскость α. 6. Задачи для самостоятельного решения Уравнение прямой

7 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B, если А) A ( ;1; B( ;;1 ) Б) A ( ;1;1 B( 1;1; ). Лежит ли точка P на прямой AB, если A ( ;; B( 4; ;1 P( ; ; )?. Известно, что A ( 1;; B( 1;;1 C( ; ;5 Написать уравнения прямых CD, BD, AD, если ABCD параллелограмм. 4. Написать уравнения медиан треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;1; C( ;; 4 5. Написать уравнение высот треугольника, A 1;1;1 ; B ; 1; ; C ;5;1 x y + z При каком значении параметра a прямая = = пересекает ось a аппликат? x y + z 7. Найти расстояние между прямой = = и осью абсцисс. 1 x + 4 y z 8. Найти уравнение общего перпендикуляра прямых a : = = и 4 x + 4 y 5 z b : = =. 1 ABC если ( ) ( ) ( Уравнение плоскости 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 1;; ), перпендикулярно отрезку AB, если B ( ;1;5. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если А) A ( 1;4; ) ; B( ;; ) Б) A ( ;1;5 B( ;1;1 ). Плоскость α задана уравнением 6 x + 7 y 4z + 7 =. Найти уравнения плоскостей, симметричных α А) относительно оси абсцисс Б) относительно оси ординат В) относительно оси аппликат Г) относительно плоскости Oxz Д) относительно плоскости Oxy Е) относительно плоскости Oyz Ж) относительно начала координат 4. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку A ( 1;; ) и перпендикулярных каждой из координатных осей. 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C, если А) A ( 1;1;1 B( ;; C( ;;5) Б) A( ; 1; B( ; ; C( ;;6) 6. Составить уравнение плоскости, симметрично плоскости α : x 5y z = относительно точки A ( 1;;4 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A ( ;; ) и B ( ;4; ), параллельно оси аппликат. Уравнения прямой и плоскости

8 1. Найти пересечение плоскостей α и β, если α : x + y 5z + 1 = ; А) β : x + y z + 4 = α : 5x y z = ; Б) β : x + y + z 4 =. Спроектировать точку A ( 6;; 4) на плоскость α : x + y z =. x + 1 y z. Найти пересечение прямой a : = = и плоскости 4 1 α : x y + z 4 =. 4. Выяснить взаимное расположение плоскостей α : x + y 4z + = ; β : x + y + z + 1 = ; γ : 5x + 7y z =. x y + 5 z 4 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую a : = =, параллельно прямой x = y = z. x y z + 1 x y + 1 z 6. Провести плоскость через прямые a : = = и b : = =. 4 4 Найти расстояние между a и b. x 7. Спроектировать точку A ( 8;1; ) на прямую a : = y = z Написать уравнение прямой, параллельной плоскости α : x + 4y z + 1 =, проходящей через точку A ( ;1;1 Расстояние и отклонение точки от плоскости 1. Определить расположение точки P ( 1; ;1 ) относительно плоскостей α : x + y + 4z + 5 = и β : x + y + 4z =.. Пересекает ли плоскость α : x y + 5z = отрезок AB, если A ( ; ;) ; B( ;4;1 )? Пересекает ли плоскость прямая AB? Если пересекает найти точку пересечения.. Составить уравнение плоскостей, проходящих на расстоянии 5 от плоскости α : x + y z 4 =. 4. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от плоскостей α : x + y z = и β : 5x y + z + =. 5. Найти расстояние между плоскостями α : x y z = и β : x y z 5 =. 6. Определить, лежит ли точка P ( 1;1;1 ) внутри острого или внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями α : x y z + 7 = и β : x + 4y =. x y + z Найти уравнение проекции прямой l : = = на плоскость 1 α : x + y + z =. 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A ( 1;1; ), параллельно линии пересечения плоскостей α : x y + 5z + 5 = β : x + y z 7 =. Найти расстояние между этими прямыми. 7. Проверочные работы

9 Самостоятельная работа 1 1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;4; 5 C( 5;;1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину BC, перпендикулярно к нему, если A, B, C точки из задачи 1.. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной плоскости из задачи Вариант 1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану BK треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;4; 5 C( 5;;1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AC, перпендикулярно к нему, если A, B, C точки из задачи 1.. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной плоскости из задачи Самостоятельная работа x y z Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 1 4 x + y z =.. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи 1 прямую, перпендикулярную данной плоскости. Вариант x + 1 y z Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 4 x + y + z 4 =.. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи 1 прямую, перпендикулярную данной плоскости. Самостоятельная работа Написать уравнение прямых, содержащей медиану AM и высоту AH треугольника ABC, если A ( ; ; B( 1;4;5 C( 4;; Найти длину высоты и медианы. Вариант Написать уравнение прямых, содержащей медиану BL и высоту BK треугольника ABC, если A ( ; ; B( 1;4;5 C( 4;; Найти длину высоты и медианы. Самостоятельная работа 4 A ( 1; 4;1 B( ;;5 C( 5;4;1 Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол между проведёнными прямой и плоскостью. Вариант A ; ; ; B 6;1;4 ; C 4; 7;6 ( ) ( ) (

10 Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол между проведёнными прямой и плоскостью. Самостоятельная работа 5 1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x + y 4z + 5 = и β : x y + z =.. Найти расстояние от точек A ( 1; ;) и B ( ;;1 ) до плоскости α : x + y z + 5 =. Пересекает ли плоскость α отрезок AB? Пересекает ли плоскость α прямая AB? Вариант 1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x y + 5z = и β : x + y + z + 4 =.. Найти расстояние от точек A ( ;1; ) и B ( 1; 4;1 ) до плоскости α : x y + z =. Пересекает ли плоскость α отрезок AB? Пересекает ли плоскость α прямая AB? Самостоятельная работа 6 Провести плоскость, проходящую через точки ( 5;;1 B( ;1; C( 4;;1 расстояние от этой плоскости до точек ( ;;1 N( 1; ; отрезок MN? Вариант A Найти M Пересекает ли плоскость Провести плоскость, проходящую через точки ( ;1;4 B( ;1; C( ; ; расстояние от этой плоскости до точек ( ;;1 N( 1; ; отрезок MN? A Найти M Пересекает ли плоскость Контрольная работа 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если A( ;; 1 B( ;;4. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости α : x + y z + 1 =, если A ( ;;1 B( ;;1 C( ;;1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x + y 4z + 5 = и β : x y + z =. x 1 4. Провести плоскость через прямые : + y a = = z x + y z + 1 и b : = =. Найти расстояние между ними. Вариант 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если A ( 1;; B( 4; ;. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости α : x + y + z 5 =, если A( 1;; B( ; 1;1 C( ;1;4. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x y + 5z = и β : x + y + z + 4 =.

11 x + y Провести плоскость через прямые a : = = Найти расстояние между ними. z 4 x y + z и b : = =. 4


Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), перпендикулярно вектору N { A, B, C} Вектор, перпендикулярный

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве 3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей Глава 1 Перпендикулярность прямых и плоскостей Основные факты и понятия Прямая a, пересекающая плоскость α в точке A, перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку. ЛЕКЦИЯ N4. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость.....Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.....общее уравнение плоскости.... 4.Угол между плоскостями. Условия

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Определение 1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, но

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее