ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ"

Транскрипт

1 Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической академии в качестве учебного пособия для студентов факультета технической кибернетики, управления и бизнеса и технологического факультета. АНГАРСК АГТА, 03

2 УДК ББК Элементы векторного исчисления: учебное пособие.// Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. Ангарск, АГТА, с. Представленное учебное пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Элементы векторного исчисления». Изложение теоретического материала сопровождается большим количеством разобранных примеров. В конце пособия приведены варианты контрольных работ. Пособие предназначено для студентов инженерно технического направления дневной и заочной форм обучения. Рецензент: к.т.н., зав. кафедрой «Промышленное и гражданское строительство» АГТА, доцент Горбач Ангарская государственная техническая академия, Кафедра высшей математики

3 Содержание Векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами. Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по базису. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора. Действия над векторами в координатной форме. Координаты произведения вектора на число. Координаты суммы (разности) двух векторов. Координаты вектора, заданного двумя точками. Скалярное произведение векторов. Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме. Приложение скалярного произведения. Векторное произведение векторов. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения. Векторное произведение векторов, заданных в координатной форме. Приложение векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Определение смешанного произведения. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме. Приложение смешанного произведения Варианты контрольных работ Приложение Литература

4 Введение Данное учебное пособие содержит краткий теоретический материал по теме «Векторная алгебра». Пособие написано в соответствии с действующей программой курса математики для технического направления. В пособии приведены необходимые определения, теоремы, формулы, представлено большое количество примеров, иллюстрирующих основные понятии и теоремы. Настоящее учебное пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий, самостоятельных работ (контрольных работ в аудитории) и выдачи индивидуальных домашних заданий различного уровня сложности. Данное пособие может быть предназначено и для студентов других направлений, предварительно сделав соответствующую выборку. Кроме того, пособие вполне доступно для студентов заочной формы обучения. Авторы выражают искреннюю благодарность Земченко Альбине Васильевне, преподавателю кафедры «Высшая математика» АГТА, а ныне находящейся на заслуженном отдыхе, за предоставленный материал. 4

5 . Векторы. Основные определения Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках могут быть разделены на две категории. Скалярные величины величины, которые определяются только числовым значением (числом). Например, масса m, температура t, площадь S, объем V и т.д. Векторные величины величины, которые определяются как числовым значением, так и направлением. Например, сила, скорость, ускорение. Определение.. Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой или с чертой наверху,, и т.д. Или одной маленькой буквой,, и т.д. Направление вектора на рисунке изображают стрелкой (рис... а,б). а) В вектор б) А т. А начало вектора т. В конец вектора вектор Рис.. Определение.. Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора. Обозначение: или. К векторам относится и так называемый нулевой вектор, у которого начало совпадает с концом, а длина равна нулю. Направление такого вектора не определено. Обозначение: 0. Определение.3. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Обозначение:. Определение.4. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора, называется ортом вектора. (рис..). Обозначение:. 5

6 а = Рис.. Определение.5. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или параллельных прямых (рис..3. а,б). Обозначение:. a) б), Рис..3 Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (рис..3, a) или противоположно (рис..3, б) Определение.6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Определение.7. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные по направлению. Вектор, противоположный вектору, обозначается:. Определение.8. Три и более вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях (рис..4). p А В С D,,,! ",,! компланарные Рис..4 Вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая его начало в любую точку пространства. В связи с этим в математике векторы рассматриваются как свободные. 6

7 . Линейные операции над векторами.. Сложение векторов Определение.. Суммой двух векторов + $, называется такой вектор начало которого совпадает с началом вектора, а конец с концом вектора, при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника) (рис..). Если векторы и имеют общее начало, то вектор суммы совпадает с большей диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма) (рис..). = + = + Рис.. Рис.. Свойства операции сложения векторов:. + = +. % + & + = + % + & 3. + ( ) = = Замечание: Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора является концом предыдущего (рис..3). = + + Рис..3 7

8 .. Вычитание векторов Определение.. Разностью двух векторов $ называется вектор, который в сумме с вычитаемым дает уменьшаемый вектор: = с, если с + = а (рис..4 а,б). а) = б) = Рис Умножение вектора на число Определение.3. Произведением вектора на вещественное число * называется вектор, определяемый условиями: ) с = + ; ) коллинеарен вектору ; 3) вектор и одинаково направлены, если + > 0 и противоположно, если + < 0 (рис..5). Обозначение: +. +, + > 0 +, + < 0 Рис..5 Свойства операции умножения вектора на число:. = ;. +( + ) = + + +, + /; 3. (+ + 0) = + + 0, +, 0 /; 4. +(0) = (+0), +, 0 /. 8

9 Утверждение. Пусть дан ненулевой вектор 0. Для любого коллинеарного ему вектора существует и при том только одно число +, удовлетворяющее равенству = Проекция вектора на ось Определение 3.. Осью называется направленная прямая с началом отсчета и заданной масштабной единицей (рис. 3.). О l Рис. 3. Определение 3.. Проекцией точки А на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки А на ось. Проекция точки на ось является точкой пересечения оси с плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно к оси (рис. 3.). А т. А проекция т. А на ось l р А l Рис. 3. Определение 3.. Проекцией вектора 34 на ось называется число, равное величине направленного отрезка, где точка является проекцией точки А на ось, а точка проекцией точки В на эту ось (рис. 3.3). Обозначение: пр 7, пр 7. пр 7 =, если пр 7 =, если 9

10 А B пр 7 = А B l Рис. 3.3 Теорема 3.. Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. пр 7 = cos;, (3.) где ; угол между вектором и осью (рис. 3.4). ; Рис. 3.4 Вектор является составляющей вектора. Теорема 3.. Проекция суммы векторов на ось, равна сумме проекций этих векторов на данную ось, т.е. пр 7 % + & = пр 7 + пр 7 (3.) Теорема 3.3. Проекция произведения вещественного числа + на вектор, равна произведению этого числа на проекцию вектора на данную ось, т.е. пр 7 (+) = +пр 7 (3.3) Следствие. Если =, то пр 7 = пр 7, (3.4) т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось. 0

11 4. Разложение вектора по базису Пусть даны векторы,,...., <. Определение 4.. Любой вектор вида < <, где +, +,.., + < некоторые числа, называется линейной комбинацией данных векторов. Числа +, +,.., + < коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация каких либо векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Теорема 4.. Любой вектор, лежащий в плоскости двух неколлинеарных векторов и, может быть представлен в виде = + + +, (4.) и такое представление единственно (рис. 4.).? =,? =? +?, где? = +,? = +. O Рис. 4. Определение 4.. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на плоскости, взятые в определенном порядке. Формула (4.) определяет разложение вектора по базису и, где числа +, + компоненты (координаты) разложения. Теорема 4.. Пусть даны три некомпланарных вектора, Любой вектор может быть представлен в виде = (4.) и такое представление единственно (рис. 4.). Рис. 4.

12 Определение 4.3. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. образуют базис в пространстве. Формула (4.) определяет разложение вектора по где числа +, +, компоненты (координаты) разложения. 5. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве 5. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве Определение 5.. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов оси координат. Первая ось абсцисс, вторая ось ординат, третья ось аппликат. Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется заданием масштаба и трех, взаимноперпендикулярных осей Ox, Oy, Oz, пересекающихся в одной точке О, (рис. 5.). z x O y Рис. 5. Обозначение: Oxyz. Пусть М произвольная точка пространства. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями координат обозначим через A, B, C (рис. 5.). Определение 5.. Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются числа, определяемые формулами D =? A, E =? B, F =? C, (5.)

13 где? A,? B,? C проекции направленных отрезков? GGGGG A,? GGGGG B,? GGGGG C соответствующих координатных осей. z M z M O M y y x M x Рис Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве. Определение 5.3. Вектор =?, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в т. М, называется радиус вектором точки М (рис. 5.3). z M z O J H I M M y y x M x Рис. 5.3 Определение 5.4. Декартовыми прямоугольными координатами вектора называются его проекции на координатные оси. D =? A = пр A E =? B = пр B F =? C = пр C 3

14 Обозначение: = KD; E; FM или = (D; E; F) или (D; E; F). Введем единичные векторы J, I, H, начало которых в т.о начало координат, а направление совпадает с положительным направлением осей координат. Эти три вектора называются ортами, в совокупности составляют координатный базис и удовлетворяют условиям: ) J I H ) J = I = H = Заметим, что орты осей имеют координаты J = K; 0; 0M, I = K0; ; 0M, H = K0; 0; M. На основании теоремы 4., получим = DJ + EI + FH (5.3) Формула (5.3) определяет разложение вектора по базису J, I, H, где числа D, E, F компоненты (координаты) разложения. Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,? =? A +? B +? C. Т.к. =?, то длина вектора определяется формулой = D + E + F или = OD + E + F (5.4) Замечание: Из равенства (3.4) следует, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Пример 5.: Дан вектор = 3J + I 8H. Найти его длину. Решение: По формуле (5.4) находим длину вектора = O3 + + ( 8) = Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами U, V, W, которые он образует с осями координат Ox, Oy, Oz (рис. 5.4). Определение 5.5. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов U, V, W, образуемых им с координатными осями. 4

15 z О γ β M y α x Рис. 5.4 Принимая во внимание формулу (3.) для вектора = KD, E, FM, получим D = пр A = cosu, E = пр B = cosv, (5.5) F = пр C = cosw Из равенств (5.4) и (5.5) следуют формулы для определения направляющих косинусов x x cosα = =, a x + y + z y y cos β = =, (5.6) a x + y + z z z cosγ = =. a x + y + z Утверждение. Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице: cos U + cos V + cos W = (5.7) Из формулы (5.7) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам, т.е. = KcosU; cosv; coswm Пример 5.. Дан вектор = K; ; M. Найти его единичный вектор и направление. Решение: Единичным вектором вектора является его орт вектор X. По формулам (5.6) находим направление вектора cosα = = =, + ( ) + ( ) 9 3 5

16 cos β = = =, + ( ) + ( ) 9 3 cosγ = = =. + ( ) + ( ) 9 3 Таким образом, X = ; ; Действия над векторами в координатной форме Координаты произведения вектора на число Пусть дан вектор = KD ; E ; F M и число + 0, тогда вектор = + имеет координаты = KD ; E ; F M, где D = +D, E = +E, F = +F. (6.) Так как вектор = + коллинеарен вектору (см. 6), то равенства (6.) выражают необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Теорема 6.. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны. x y z = =. (6.) x y z 6.. Координаты суммы (разности) двух векторов Пусть даны два вектора = KD ; E ; F M и = KD ; E ; F M, тогда вектор суммы + имеет координаты D = D + D, E = E + E, F = F + F, (6.3) а вектор разности D = D D, E = E E, F = F F (6.4) 6.3 Координаты вектора, заданного двумя точками Пусть даны две точки = (D ; E ; F ) и = (D ; E ; F ). Найдем координаты вектора (6.). Вектор? =? + =??, где вектор? = KD ; E ; F M, вектор? = KD ; E ; F M (см. 6). Тогда по формуле (5.4) имеем D = D D, E = E E, F = F F (6.5) 6

17 z А В 0 y x Рис. 6. Пример 6.. Даны векторы = K; ; 3M и = K3; 0; M. Найти координаты вектора с = + 4. Решение: Используя формулы (6.) и (6.3) получаем = K; 4; 6M, 4 = K; 0; 4M, с = + 4 = K4; 4; M. Пример 6.. Даны точки (; ; 3) и B( ; 5; 6). Найти координаты вектора и его длину. Решение: Используя формулы (6.5) найдем координаты вектора : D = = 3, E = 5 ( ) = 7, F = 6 3 = 3. Таким образом, = K 3; 7; 3M. Используя формулу (5.4) находим длину вектора = O( 3) = 67 Пример 6.3. Определить при каких значениях α и β векторы = J + UI + H и = 3J 6I + VH будут коллинеарны. Решение: Если векторы коллинеарны, то по теореме 6. их одноименные координаты пропорциональны, т.е. = α =. Из левой части равен- 3 6 β ства 3 = α 6 находим 6 α = = 3 4. Тогда из правой части равенства 3 3 = находим β = =. 3 β 7

18 7. Скалярное произведение векторов 7. Определение скалярного произведения Определение 7.. Скалярным произведением двух векторов и $ называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение:, %, &,. = cos;, (7.) где ; угол между векторами. Под углом между векторами понимают угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало (рис. 7.). ] Обозначение: \, ^ ] = ; B A ; Рис. 7. Если нет указания, от какого вектора и в каком направлении отсчитывается угол, то углом между векторами считается тот, который не превосходит π. Определение 7.. Векторы, называются ортогональными, если угол между ними прямой. 7.. Свойства скалярного произведения. переместительное: =,. сочетательное, относительно скалярного множителя: (+а) = %+& = +(, ), (+ /), где λ любое число 3. распределительное, относительно суммы векторов: % + & = +. Определение 7.3. Скалярным квадратом вектора называется ска- 8

19 лярное произведение вектора на себя = = cos0 = (7.) Т.к. = = Утверждение. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или хотя бы один из сомножителей равен нулю. = 0 или = 0 или = 0 Отсюда вытекает условие ортогональности двух векторов: два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Пример 7.. Найти скалярное произведение векторов %3 + & и % + &, если ] c =, = Решение: Используя свойства скалярного произведения, получим %3 + & % + & = = = = de; + = de c + 9 = = Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме Скалярное произведение двух векторов = KD ; E ; F M и = KD ; E ; F M выражается формулой = D D + E E + F F (7.3) Т.е. скалярное произведение векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат. Замечание. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов = KD ; E ; F M и = KD ; E ; F M является равенство D D + E E + F F = 0 (7.4) Замечание. Если =, формула (7.3) примет вид = D + E + F. Т.к. =, то = OD + E + F (7.5) Пример 7.. Векторы и образуют угол ; = g/3; зная, что = 4, = 5, = + 3, вычислить. Решение. Т.к. с = с, то с = i% + 3& % + 3& = 9

20 = O = O = = de60 X = 409 0, Пример 7.3. Даны векторы = K; ; 3M, = K5; 6; 0M, с = K5; ; M. Вычислить % &. Решение. = (5; 6; 0) (5; ; ) = (0,,0) (5; ; ) = (5; 0; ) (см. 6) % & = (; ; 3) (5; 0; ) = ( ) = Пример 7.4. При каком значении α векторы = K3,,3M и = KU, 4,5M перпендикулярны? Решение. Найдем скалярное произведение векторов = 3U = 3U = 3U + 7 Из условия = 0 получим 3U + 7 = 0, отсюда U = 7.4 Приложение скалярного произведения векторов. Вычисление угла между векторами. ] a b Т.к. = cos;, где ; = \, ^, то cos ϕ = a b Применяя формулы (7.3) и (7.5) запишем: xx + y y + zz cosϕ = (7.6) x + y + z x + y + z. Вычисление проекции вектора на вектор. Если принять вектор за ось, то на основании формулы (3.) проекция вектора на вектор будет равна пр l = de;. А проекция вектора на вектор : пр m = de; (рис.7.). B ϕ Рис. 7. B A A 0

21 Учитывая это, равенство (7.) можно записать в двух видах: = пр m, = пр l пр m = a b a a b, пр l = b (7.7) xx + y y или пр m = x + y + z z + z xx + y y, пр l = x + y + z z + z. (7.8) Пример 7.5. Найти угол между векторами = K7,, M и = K,, 3M. ] Решение. Обозначим ; = \, ^. Применяя формулу (7.6) получим cosϕ = ( ) ( 3) + + ( ) + Следовательно, ; = arccos 0,5 = + ( 3) = ,5 4 Пример 7.6. Даны два вектора = J 3I + 5H и = 4J + I 6H. Найти проекцию вектора на вектор. Решение. Проекцию вектора на вектор находим по формуле (7.8) 4 + ( 3) + 5 ( 6) 5 пр l = = ( 6) Физический смысл скалярного произведения. Пусть материальная точка М движется по прямой от точки А к точке В, проходя при этом путь l. Допустим, что на точку М действует сила F, постоянная по величине, направлению и составляющая с направлением перемещения угол α. M A F α l Рис. 7.3 B Тогда работа А, совершаемая силой F, на участке l равна = (7.9) Правая часть выражения (7.9) представляет собой скалярное произведение. Поэтому работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

22 = = deu (7.0) Пример 7.7. Найти работу силы по перемещению p, если = 3, p = 5, а угол между векторами силы и перемещения равен 45 X. Решение. Используя формулу (7.0), получаем = 3 5 de45 X = 7,5 0,6 8. Векторное произведение векторов 8. Правые и левые тройки векторов Определение 8.. Три некомпланарных вектора? =,? =,? =, взятых в указанном порядке: первый вектор, второй вектор, третий вектор, и приложенных к одной точке (рис. 8. а, б), называют тройкой векторов, $, q. Следует смотреть с конца вектора на плоскость, определяемую векторами и. с С B с С А О Рис. 8., а А О Рис. 8., б B Определение 8.. Если кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки (рис. 8., а), то тройка векторов,, называется правой, если указанный поворот совершается по часовой стрелки (рис. 8., б), то тройка векторов,, называется левой. При круговой перестановке векторов ориентация тройки не меняется (первый заменяется вторым, второй третьим, третий первым). При перестановке двух векторов местами, ориентация тройки векторов меняется. Например,,, правая тройка,,, левая тройка векторов. Определение 8.3. Прямоугольная декартова система координат назы-

23 вается правой, если тройка базисных векторов J, I, H правая; если эта тройка левая, то система координат называется левой. 8. Определение векторного произведения векторов Определение 8.4. Векторным произведением двух векторов и $ называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям: ) модуль вектора с равен произведению длин данных векторов на синус угла между ними и численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах с ] = srs;, где ; = \, ^ (8.) ) с, с, т. е. с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ; 3) тройка векторов,, правая (рис. 8.) Обозначение:, u, v По определению: с = p пар или = p пар a ϕ Рис. 8. Теорема 8. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является равенство нулю их векторного произведения: = Свойства векторного произведения:. Антипереместительное: при перестановке множителей векторное произведение меняет знак на противоположный: =. Сочетательное, относительно скалярного множителя: скалярный 3

24 множитель выносится за знак скалярного произведения: (+а) = %+& = +( ), где λ любое число. 3. Распределительное относительно суммы векторов: % + & = + Пример 8.. Найти % + 3& % &, если =, = 3, Решение. Используя свойства, 3 векторного произведения, получим % + 3& % & = = + +3 = 3 = 5, т.к. = 0, 3 = 0 Модуль векторного произведения находим из определения 5 = 5 = 5 = 5 3 ers90 X = Векторное произведение векторов, заданных в координатной форме Пусть векторы и заданы своими координатами = KD ; E ; F M и = KD ; E ; F M. Векторное произведение выражается формулой F = w E E F w J w D F D F w I + w D E D E w H (8.) Формулу (8.) можно представить через символический определитель 3-го порядка J I H = xd E F x (8.3) D E F Пример 8.. Найти % + & % + &, если = K3,,4M и = K,,0M Решение. Рассмотрим два способа решения способ. Т. к. + = (3; ; 4) + (; ; 0) = (6; ; 8) + (; ; 0) = (7; 4; 8) (см. 6) + = (3; ; 4) + (; ; 0) = (4; 3; 4) (см. 6), то по формуле (8.3) получим: % + & % + & = x J I H 7 4 8x = 8J + 4I + 5H

25 способ. Используем свойство 4 векторного произведения % + & % + & = = + = = =, = x J I H 3 4x = 8J + 4I + 5H Приложение векторного произведения. Вычисление площади параллелограмма и треугольника Из определения 8.4 следует p пар = M C A D B Рис. 8.3 Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис.8.3). Площадь треугольника определяется формулой p = p пар = (8.4). Вычисление момента силы относительно точки. Если вектор z изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке В, а вектор идет из некоторой точки О (рис. 8.4), то вектор z представляет собой момент силы z относительно точки О. z ϕ В %z& X = z = zers; О M(z) О Рис

26 Пример 8.3. Найти площадь треугольника АВС с вершинами = (,,4), = (,3,5), = (0,0,). Решение. По формуле 8.4 p =. Найдем векторы и = K ; ; M, = K ; ; 3M (см. 6), тогда = x J I H x = 5J 5I + 5H 3 = O( 5) + ( 5) + 5 = 5 3 = 5 3 (см. 6) p = = 5 3 4,3кв. ед 9. Смешанное произведение векторов 9. Определение смешанного произведения Пусть даны три вектора,,. Определение 9.. Смешанным или векторно скалярным произведением векторов, $, q называется скалярное произведение вектора на вектор. В результате такого произведения получаем число. Обозначение: % &, Утверждение. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов,, по модулю численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 9.). где d модуль. d% & = парƒда, (9.) Рис. 9. 6

27 9. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть векторы,, заданы своими координатами: = KD ; E ; F M, = KD ; E ; F M, = ; ; M. Смешанное произведение трех векторов,, определяется формулой F = w E E F w w F F D D w + w D D E E w. (9.) Формулу (9.) можно записать через определитель 3-го порядка D E F = D E F (9.3) Теорема 9. Векторы,, компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. D E F = D E F = 0 (9.4) На основании переместительного свойства скалярного произведения и антипереместительного свойства векторного произведения имеем: = = = = = (9.5) Пример 9.. Найти, если = K; ; 3M, = K5; 3; 0M, = K3; 4; M Решение. По формуле 9.3 получим 3 = = = Приложение смешанного произведения. Вычисление объема параллелепипеда. Из формул (9.) и (9.3) следует, что объем параллелепипеда, построенного на векторах = KD ; E ; F M, = KD ; E ; F M, = ; ; M, вычисляется по формуле: 7

28 D E F = d D E F (9.6). Вычисление объема треугольной пирамиды (тетраедра). Т.к. парƒда = 6 тр.пир. тр.пир. = парƒда = % & D E F или тр.пир = d D E F (9.7) 3. Вычисление длины высоты, опущенной на основание треугольной пирамиды. С помощью смешанного и векторного произведения можно найти длину высоты, опущенной на основание треугольной пирамиды. тр.пир. p, где p - площадь основания (9.8) Пример 9.. Доказать, что точки = (,0,7), = (,,), = (,,), Д = (0,,9) лежат в одной плоскости. Решение. Соединим эти точки так, что получим векторы,, Д. = K ; ; 5M, = K; ; 5M, Д = K ; ; M Найдем 5 % & Д = 5 = = 0 По теореме 9. векторы,, Д компланарны, то следовательно точки,,, Д лежат в одной плоскости. Пример 9.3. Найти объем треугольной пирамиды и длину высоты опущенной из вершины, зная координаты вершин треугольной пирамиды. (; 3; 4), (; 4; (; ; 0), (3; ; ). Решение. Найдем векторы,, (рис. 9.). = = K ; ; 9M, = K0; ; 4M, = = K; ; 6M. По формуле (9.7) получим тр.пир. = 9 6 d 0 4 = 6 6 = куб. ед

29 Рис. 9. Высоту пирамиды найдем по формуле (9.8), площадь основания по формуле (8.4) = x J I H 9x = J 4I + H 0 4 = O( ) + ( 4) + = 504 p = = = 3 6/6 504/ = 6,6 ед. дл

30 Варианты контрольных работ Задача. Вектор а образует с осями координат углы U, V, W. Найти его проекции на оси координат. Варианты.. U=30 0, V=0 0, W=90 0, а = 3. U=0 0, V=60 0, W=35 0, а = 3. U=50 0, V=0 0, W=90 0, = 3 4. U=60 0, V=45 0, W=0 0, а = 5. U=30 0, V=60 0, W=90 0, а = 3 6. U=45 0, V=0 0, W=60 0, а = 7. U=30 0, V=60 0, W=90 0, = 3 8. U=35 0, V=60 0, W=0 0, а = 9. U=50 0, V=60 0, W=90 0, = 3 0. U=0 0, V=45 0, W=60 0, а =. U=30 0, V=90 0, W=0 0, а = 3. U=35 0, V=0 0, W=60 0, а = 3. U=90 0, V=50 0, W=0 0, = 3 4. U=0 0, V=60 0, W=45 0, а = 5. U=90 0, V=30 0, W=60 0, а = 3 6. U=60 0, V=45 0, W=0 0, а = 7. U=90 0, V=30 0, W =90 0, = 3 8. U=0 0, V=35, W=60 0, а = 30

31 9. U=90 0, V=50 0, W=60 0, = 3 0. U=60 0, V=0 0, W=45 0, а =. U=0 0, V=30 0, W=90 0, а = 3. U=0 0, V=35 0 W=60 0, а = 3. U=50 0, V=90 0, W=0 0, = 3 4. U=60 0, V=0 0, W=45 0, а = 5. U=30 0, V=90 0, W=60 0, а = 3. Задача. Даны точки А и В. Найти направляющие косинусы вектора Варианты.. А (,0, ), В (,3, ). А (0,,4), В (,,4) 3. А (,,4) В (,3,0) 4. А (3,,), В (,,3) 5. А (3,,), В (, 3, ) 6. А (,3, ), В (,0, ) 7. А (,3,0), В (,,4) 8. А (,,4), В (0,,4) 9. А (,,3), В (3,,) 0. А (, 3, ), В (3,,). А (0,,4), В (,3, ). А (,0, ), В (,,4) 3. А (3,,), В (,3,0) 4. А (,,4), В (,,3) 3

32 5. А (,3,0), В (, 3, ) 6. А (3,,), В (,0, ) 7. А (,,4), В (,,4) 8. А (,3,0), В (0,,4) 9. А (, 3, ), В (3,,) 0. А (,,3), В (3,,). А (, 3, ), В (3,,). А (,0, ), В (,3, ) 3. А (,,4), В (,3,0) 4. А (0,,4), В (,,4) 5. А (3,,), В (,,3) Задача 3. Из данных четырех чисел выбрать три, которые могут являться направляющими косинусами одного вектора... Варианты. 3. 0, , 7. 3,, 43 4, 0,,,,,, 4 3,,, , 0, 4,, 4 4,, 0, 4

33 ,,,, 0. 0, , , ,, 0 6, 5 3,, 43 4, 0,,,,,, 5 5, 4 3,,, , 0, 4,, 4 4,, 0, 3,,,, 0. 0,.. 4 4,, 0 6, 5 3,, 43 4, 0,, 5 5, 4 3, 33

34 3. 0, 4. 5.,,,,,, , 0, Задача 4. Даны векторы и Найти: а) орт вектора ; б) cos(, ); в) координаты, и установить их коллинеарность. Варианты:. а=k,,3m, =K3,0, M, = + 4, =3. а=k,0,m, =K,3,5M, = +, =3 3. а =K,4,M, =K,,7M, =4 + 3, =8 4. а=k,, 3M, =K,, M, =5 + 3, = 5. а=k3,5,4m, =K5,9,7M, = +, = а=k,4, M, =K,, M, = +, = а=k,,5m, =K3,,0M, =4, = 8. а=k3,4, M, =K,, M, =6а 3, = 9. а=k, 3, M, =K,0,5M, =3а + 9, = а 3 0. а=k,4,m, =K7,,3M, =а, =3 6а. а=k5,0, M, =K7,,3M, =а, =3 6а. а=k0,3,-m, =K,,M, =5а, =3а а=k,7, M, =K 3,5,M, =а + 3, =3а + 4. а=k3,7,0m, =K, 3,4M, =4а, = а 5. а=k,, M, =K, 7,M, =6а, = 3а 34

35 6. а=k7,9, M, =K5,4,3M, =4а, =4 а 7. а=k5,0, M, =K6,4,3M, =5а 3, =6 0а 8. а=k8,3, M, =K4,,3M, =а, = 4а 9. а=k3,,6m, =K5,7,0M, =4а, = а 0. а=k,,4m, =K7,3,5M, =6а 3, = а. а=k3,7,0m, =K4,6, M, =3а +, =5а 7. а=k,,4m, =K3, 7, 6M, =а 3, =3а 3. а=k5,, M, =K6,0,7M, =3а, =4 6а 4. а=k 9,5,3M, =K7,,M, =а, =3а а=k4,,9m, =K0, 3,M, =5а, =а 5 Задача 5. При каком значении векторы взаимноперпендикулярны. Варианты:. а = J + 3I + 4H, = 4J + I 7H. а = J I + H, = 3J I 3H 3. а = J 3I + H, = 3J + 3 I 7H 4. а = J + I 7H, = J + I H 5. а = J 3I + H, = J I + 6H 6. а = J + I 3H, = J + 3I + 5H 7. а = J + I + 3H, = J + I H 8. а = J 5I + 7H, = 3J I + H 9. а = J 3 I + 3H, = 3J + 3I + 5 H 0. а = 3J + I 6H, = 5J I H. а = J 3I + H, = J I + H. а = 4J + I 7H, = J + 3I + 4H 35

36 3. а = 3J I 3H, = J I + H 4. а = J + I + 4H, = 4J + I 3H 5. а = J 6I + 3H, = 3J + I H 6. а = J + I 7H, = J + I H 7. а = J + I 6H, = J + 6I 3H 8. а = J + I + 3H, = J + I H 9. а = J 5I + 8H, = 3r I + 3H 0. а = 3J + 6I H, = 5J I H. а = 5J + I H, = 3J + I H. а = 9J + 4I H, = J + 5I 3. а = J + I H, = I + H 4. а = J + I + H, = J + I + 3H 5. а = J + 7I + 4H, = 5J + I + 4H а. Задача 6. Даны векторы а и. Найти: а) а ; б) пр m а ; в) а ; г) Варианты:. а = J 3I, = J I + 5H. а = J 3I + H, = J + H 3. а = 6J + I 4H, = 9J + 3I 6H 4. а = 4J + 5I + 3H, = J 4I 5. а = 3J H, = 6J 5I + H 6. а = J I + H, = J + I H 7. а = 3I H, = J + I + 6H 8. а = 6J + 3I H, = J + I + 6H 36

37 9. а = J + I + H, = 6J + I 5H 0. а = J I + 5H, = J + I + 3H. а = J + I + H, = J + H. а = 3J + I + H, = 3I + H 3. а = 3J I H, = J + I 3H 4. а = J + I + H, = J I + 3H 5. а = J + I + H, = J I + H 6. а = 3J + I 3H, = J + I + H 7. а = J I H, = J H 8. а = 3J I + 3H, = I + H 9. а = J + I + 3H, = I + H 0. а = J I + H, = J I. а = J + I, = J + I + H. а = J H, = J + 3I 3. а = 5J + 3I + H, = J + H 4. а = 4J + 3H, = J + I + H 5. а = J + 4I H, = J + 4I + H Задача 7. Найти: а) с с ; б) с ; в) с с ; г) с с. Варианты:. с = 5а, с = +, а =, = 3, ] g 6. с = 5а +, с =, а =, = 4, ] g 4 3. с = а +, с = +, а = 3, = 5, ] g 3 4. с = 3а, с = +, а = 5, =, \, ] ^ = g 37

38 5. с = 4 +, с =, а = 3, =, 6. с = 5а +, с = + 3, а = 6, =, 7. с = 7а +, с = 4, а =, = 3, 38 ] 3g 4 ] g 3 ] 5g 6 8. с = 3а 4, с = +, а = 4, =, ] g 4 9. с = а 3, с =, а = 7, = 3, ] g 6 0. с = а 7, с = +, а =, = 4, ] g 3. с = 5а + с = 3, а =, = 3, ] g 4. с = 6а с = 4 +, а = 5, =, ] g 3. с = а + 6 с =, а = 4, = 7, ] g 3 4. с = а + 7 с = 3, а = 0, =, ] g 4 5. с = 8а с = +, а =, = 3, ] g 3 6. с = 9а + с =, а = 9, = 3, ] g 6 7. с = а 8 с = +, а = 7, = 3, ] 5g 6 8. с = а + с =, а = 3, = 3, ] g 3 9. с = 5а с =, а = 4, =, ] g 0. с = 6а + с = +, а = 8, =. с = 4а 3 с = 3, а =, = 5,. с = 3а с = +, а = 5, = 3, ] g 4 ] g 4 \, ] ^ = g 3

39 3. с = 7а с = 3, а = 9, =, ] g 6 4. с = 7а с = +, а = 3, = 4, ] g 5. с = а + 5 с = 3, а = 5, = 6, ] g 3 Задача 8. Даны координаты вершин пирамиды АВСД. Найти: а) объем пирамиды; б) площадь основания АВС; в) высоту, опущенную из вершины Д. Варианты:. А (, 3,5), В (0,,), С (,,3) Д (3,,4).. А (,,), В (,0,), С (,,), Д (3,4, 3). 3. А (0,0,0), В (3,4, ), С (,3,5), Д (6,0, 3). 4. А (,, ), В (5,,), С (3,0, 3), Д (6,0, ). 5. А (3,0,0), В (0,,3), С (,4,), Д (,0,3). 6. А (0,,3), В (3,0,0), С (,0,3), Д (,4,). 7. А (,0,3), В (,4,), С (3,0,0), Д (,0,3). 8. А (,4,), В (,0,3), С (0,,3), Д (3,0,0). 9. А (0,0,), В (3,0,5), С (,,0), Д (4,,). 0. А (3,0,5), В (0,0,), С (4,,), Д (,,0).. А (,,0), В (4,,), С (0,0,), Д (3,0,5).. А (5,,3), В (,4,0), С (0,0,0), Д (3,,). 3. А (6,,5), В (,3,0), С (4,5, ), Д (,,6). 4. А (,,0), В (4, 5, ), С (6,,0), Д (,3,0). 5. А (4,0,0), В (,,), С (,3,), Д (3,,7). 6. А (3,, ), В (,,), С (,,0), Д (,,5). 7. А (,3,4), В (3,,), С (,, 3), Д (,6,0). 8. А (3,,0), В (0, 5, ), С (,,0), Д (4,,3). 39

40 9. А (,, ), В (, 6, 3), С ( 5, 3,), Д (4,4,5). 0. А (,0, 4), В (,7,), С (4, 8, 4), Д (, 4,6).. А (,, ), В (,,), С (5,0, 6), Д ( 0,9, 7).. А ( 0,6,7), В (5,0,-6), С (,,), Д (,, ). 3. А (4,,), В (,,0), С (3,0,5), Д (0,0,). 4. А ( 3,4, 7), В (,5, 4), С ( 5,,0), Д (,5,4). 5. А ( 4,,), В (3,3,), С (7,, ), Д (7,,4). Задача 9. Установить, являются ли данные векторы компланарными. Варианты:. = J 6I + H, = 4J 3I H = 4J I + H. а = J + I 4H, = 4J + I + 3H = H 3. а = J I + 6H, = J + H = J I + 4H 4. а = 5J + I, = J + 5I = 3J 5I H 5. а = J + 4I H, = J I + 4H = J + 3I + 3H 6. а = J + 3I, = J + 6H = 7J 3I + 5H 7. а = J I 5H, = J I 5H = J + I + H 8. а = J + 3I + 3H, = 4I + H = 3J + I 4H 9. а = J + 3I + H, = J + I H = J + I 4H 0. а = J + I + H, = J + I H = J I + H. а = J + 3I H, = 4I H = 3J + I + 4H. а = 3J + 5I, = J I + H = 5J + 3I + 4H 3. а = J I + H, = J + I 3H = 3J 4I + 4H 4. а = 3J + I + 4H, = J + I H = J I + 6H 5. а = J + I + 3H, = J + 3I + H = 3J + 9I + H 6. а = J + I + 3H, = J + 3I + H = J + 9I + H 40

41 7. а = J + I + 4H, = J I = 3J 3I + 4H 8. а = J + 9I + H, = J + I + 3H = J + 3I + H 9. а = J + I H, = J I + 6H = 3J + I + 4H 0. а = 3J 4I + 4H, = J I + H = J + I 3H. а = J + I H, = J + I 4H = J + 3I + H. а = J + I H, = J I + H = J + I + H 3. а = J + 3I + 3H, = J I + 4H = J + 4I H 4. а = J I, = 3J 3I + 4H = J + I + 4H 5. а = 4J I + H, = 4J 3I H = J 6I + H Задача 0. Варианты.. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти пр mg G.. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти cos(, ] ). 3. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти G + G. 4. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти cos \, ] G ^. 5. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти пр G G. 6. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти GG. 4

42 7. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти G G. 8. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти пр l G. 9. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти GG + G GsG 0. Даны векторы G = + sg, G = sg, =, sg =, ( sg ] ) = c. Найти cos \, ] ^.. Даны векторы G = 4 sg, G = + sg, =, sg = 3, G G. Найти cos( GGG ], sg ).. При каком положительном значении параметра векторы G = " G, G = " + G имеют одинаковую длину, если " = 3, G = 0,5, " G. 3. Сила = mg + G производит перемещение материальной точки по ломаной АВС. Найти численное значение работы, если АВ GGGG = G + mg, ВС GGGG = G + l G, G = 3, G =, \, ] c G ^ =. 4. При каком отличном от нуля значении параметра вектор G = + sg будет единичным, если = 3, sg =, (, ] sg ) = 5. В параллелограмме ABCD найти длину диагонали BD, если GGGG G + G,! GGGG = l G, G =, G =, \G, ] šc ^ =. 6. Векторы GGGG = e и GGGG = e служат сторонами параллелограмма. Найти косинус угла между диагональю BC и стороной AC, если e = 3, = 6, %e, ] c & =. 7. В треугольнике ABC найти косинус внутреннего угла B, если GGGG = G + 4G, GGGG = G G, G =, G =, \GG ] ^ 4

43 8. В треугольнике ABC найти AC, если GGGG G + G, GGGG = G + G, G = 3, G =, \GG ] c ^ =. 9. Найти пр l GG, если G = e, G = e + 5, e = 4, =, %e, ] c & 0. Дано: G = " + G, G = " G, " =, G = 8, (", ] G ) При ка- ком значении параметра G G? осью Oz. осью Oy. Задача. Варианты.. Найти (G + G)G, если G J + I H G, G,, œ.. Найти пр mg l GG, если G = J 4I + HG, GK,, 3M. 3. Найти косинус угла, образованного вектором Gž0,, 6Ÿ с 4. Найти G + G, если G I H G, G J + I H G. 5. Найти cos(g, ] G ), если G = 5I + H G, G = J + 4I + 3HG. 6. Найти G G, если œ, 0œ. 7. Найти пр l G(G + G), если G = 6J 5HG, Gž5, 3, 6Ÿ. 8. Найти косинус угла, образованного вектором G = 3J I + HG с 9. Дано: GK3,, M и GK, 3, 4M. Найти косинус угла, образованного вектором G + G с осью Ox. 0. Найти пр GGGG GGGG, если GGGG = J 3I + HG и GGGG = J + 4I + HG.. На векторах G = 5sG и G = 3 + sg построен треугольник. =, sg = 3, (, ] sg ) = c. Найти его площадь.. Даны векторы G = + 3sG, G = 4 sg и = 3 + sg. Найти (G + G). 43

44 3. Векторы GGGG = 3 sg и GGGG = + 5sG служат сторонами параллелограмма. Найти длину его высоты, приняв AB за основание. 4. Дано: G = + sg, G = + sg. Найти ug, Gv + 5, sg 3 sg,. 5. В треугольнике ABC даны GGGG = 6sG и GGGG = 3 + sg, =, sg = 3, (, ] sg ) = c. Найти GGGG GGGG. 6. Векторы GGGG = + sg и GGGG = 6 sg служат сторонами треугольника. =, sg = 3, (, ] sg ) = c. Найти длину его высоты, прини- мая BC за основание. 7. В параллелограмме ABCD GGGG = sg 0,5,! GGGG = 5,5. Найти GGGG,! GGGG. 8. Найти площадь треугольника, построенного на векторах G = 5 + sg и G = 3 + sg, =, sg = 3, (, ] sg ) = c. 9. Дано: G = 4 + sg, G = 3 + sg. Найти G (G G). 0. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах GGGG = 4 + 5sG и! GGGG = sg, =, sg = 3, (, ] sg ) = c. 44

45 Литература.Данко Попов и др.. Клетеник 3. Ефимов 45

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее