называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом"

Транскрипт

1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца, числа,,, элементы определителя Правило вычисления определителя второго порядка можно представить схематически: Количество строк и столбцов в определителе всегда совпадает Кроме определителей второго порядка существуют определители -го, -го и т д порядков Определитель -го порядка содержит три строки и три столбца: Для правил вычисления определителя -го порядка существует несколько ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА Для вычисления определителя надо повторить запись первого и второго столбцов Проведем три левые диагонали, начиная с верхнего левого угла, и три правые диагонали Три первые слагаемые получаются как результат произведения элементов, стоящих на каждой из левых диагоналей Следующие три слагаемые получаются при умножении элементов, стоящих на каждой из правых диагоналей Три последние произведения берутся с противоположным знаком ПРИМЕР

2 ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА () () Перемножаются элементы, стоящие на левых диагоналях Одна диагональ, главная, проходит через три элемента, и две диагонали побочные проходят через два элемента, третьим элементом для них является элемент, стоящий в вершине треугольника (схема ) Аналогично находим произведения элементов, стоящих на правых диагоналях (схема ) Эти произведения берутся с обратным знаком ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ Прежде чем перейти к следующему правилу вычисления определителя, введем понятие минора и алгебраического дополнения В определителе = вычеркнем одну строку и один столбец, останется определитель второго порядка, который принято называть минором Например, при вычеркивании первой строки и первого столбца получим минор

3 M При вычеркивании i -й строки и j -го столбца получим минор Mij Через ij обозначим алгебраическое дополнение элемента ij те i j Mij ij По свойствам определителя его можно представить в виде суммы:, что соответствует разложению определителя по элементам первой строки Аналогично можно разложить по элементам любой строки или столбца ПРИМЕР 7 Вычислим определитель разложением по элементам строки Для определенности выберем первую строку Тогда,, M 8 7 M получен вычеркиванием первой строки и первого столбца M ( 6) 7 M получен вычеркиванием первой строки и второго столбца M Тогда 8 ( ) ( ) 6 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (общие сведения)

4 Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными n n b n n b n n nn n bn () Решением системы () называется совокупность чисел ( k, k,, k n ), которая при подстановке в систему () вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество система неопределенная Если система не имеет решений, она называется несовместной Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса 6 МЕТОД КРАМЕРА При решении методом Крамера используем определители n -го порядка Пусть задана система () Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных: n n n ТЕОРЕМА Если определитель системы, то систему () можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное: n ; ; ; n, где определитель i может быть получен из главного определителя путем замены i -го столбца на столбец из свободных членов ПРИМЕР 7 8 Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: n nn

5 ; 7 и три вспомогательных определителя: Определитель составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений В определителях и соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами Вычислим все четыре определителя ; 6 ; ; 8 7 ; Неизвестные,, находим по формулам ; ; ; ; ; Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения (если ) Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений

6 6 Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений имеет единственное решение 7 МЕТОД ГАУССА Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается ПРИМЕР y z 7 y z 9 y z В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( z ), во втором неизвестных ( y и z ) а в первом неизвестных (, y, z ) За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при равен Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при Ведущим уравнением данной системы будет последнее Перепишем систему так: y z y z 9 () y z 7 Умножаем первое уравнение на (-) и складываем со вторым, чтобы избавиться от во втором уравнении Результат сложения записываем на месте второго уравнения Далее первое уравнение умножаем на (-) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении Результат записываем на месте третьего уравнения Первое уравнение при этом переписываем без изменений Получим y z 7y 6z () 7y z 7

7 7 Системы уравнений () и () эквиваленты, т е они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения Умножаем второе уравнение системы () на (-) и складываем с третьим, чтобы избавиться от y в третьем уравнении Первое уравнение при этом не трогаем Результат записываем на месте третьего уравнения Тогда y z Из последнего уравнения z 7y 6z z Подставляем это значение z во втрое уравнение системы и находим y : 7y 6 6 y В первое уравнение подставляем значения z и y, получаем Ответ: ; y ; z 8 Рекомендуется сделать проверку Систему можно решить и матричным способом Чтобы освоить этот метод, познакомимся с некоторыми сведениями о матрицах 8 МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Если Матрицей называется таблица вида n n m m mn Число строк m, число столбцов n, m n размерность матрицы m n матрица прямоугольная При m n матрица квадратная

8 8 Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита, B, C Квадратная матрица E называется единичной, если она имеет вид =, те на диагонали матрицы стоят единицы, а остальные элементы есть нули О видах матрицах смотрите подробнее [, стр ] Матрицы можно складывать, вычитать, умножать матрицу на матрицу и матрицу на число Эти операции называются линейными операциями над матрицами ПРИМЕР При сложении каждый элемент первой матрицы складывается с соответствующим элементом второй матрицы Из правила сложения следует, что не всякие две матрицы можно сложить При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число ПРИМЕР Две матрицы можно перемножать, но при этом число элементов в строке первой матрицы должно быть равно числу элементов в столбце второй матрицы, так как умножение матриц осуществляется по следующему правилу: чтобы получить элемент C новой матрицы, нужно взять i -ю строку ij первой матрицы и каждый элемент умножить на соответствующий элемент j -го столбца второй матрицы, результаты умножения сложить Полученная сумма и будет элементом C, т е умножение осуществляется по следующей схеме: ij b j i i ib j ib j ib j ib j Cij b j Или это можно показать на такой схеме:

9 9 Умножаем вторую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы Сумма соответствующих произведений дает первый элемент во второй строке полученной матрицы Стрелками показано, какие элементы надо перемножать Заметим, что операция умножения матриц не всегда подчиняется коммутативному закону, т е B B 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Введем понятие обратной матрицы Пусть задана квадратная матрица n n n n nn Если существует такая матрица, что выполняются равенства E, то матрица называется обратной для матрицы Чтобы найти обратную матрицу, нужно: Найти определитель матрицы : = n n n n Если, то матрица не имеет обратной T Найти матрицу транспонированную матрице, т е в матрице поменять местами строки и столбцы: n T n ; n n nn nn

10 Вычислить алгебраические дополнения каждого элемента матрицы с i j учетом, что ij Mij, где Mij минор элемента ij Составить матрицу из этих алгебраических дополнений: n ~ n ; n n nn Разделить каждый элемент матрицы ~ на определитель Получим обратную матрицу n n n n nn РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ Рассмотрим систему вида b b b (6) Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных: Из неизвестных,, и свободных членов составим матрицы столбцы b X ; B b b Тогда система (6) в матричной форме примет вид X B (7)

11 Чтобы найти матрицу X, умножим (7) на X B X B слева ПРИМЕР 8 Найти обратную матрицу РЕШЕНИЕ ) Составляем и вычисляем определитель Определитель вычислен по правилу треугольника ) Транспонируем матрицу Получаем T ) Вычисляем алгебраические дополнения ; ; ; ; ; ; ; ; M ; ; Вычисляем Вычеркиваем первую строку и второй столбец Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов ; M 6 Вычисляем Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения: 7; ; ; ; ; ; Составим обратную матрицу

12 7 7 Сделаем проверку 7 ПРИМЕР 9 Решить систему матричным способом 9 7 z y z y z y Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу : Из неизвестных составим матрицу столбец: z y X Из свободных членов составим матрицу столбец: 9 7 B Тогда система запишется в виде B X Получили матричное уравнение Умножаем обе части этого уравнения на слева Получаем: B X

13 Находим обратную матрицу: T 8 ; ; ~ 6 ; Умножая обратную матрицу на B, получаем матрицу X X Отсюда получаем ответ: 87 6 ; y ; z 8 Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вектором называют направленный отрезок в пространстве или на плоскости, который можно передвигать параллельно самому себе Один конец называется началом (точка ), а другой конец (точка B ) концом вектора B B B вектор B вектор B Вектор B характеризуется длиной (или модулем B ), которая равна длине отрезка B, и направлением от к B ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых ( b ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

14 Определим линейные операции над векторами К таким операциям относятся сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число Сложение и вычитание векторов можно выполнить по правилу треугольника (рис а) или по правилу параллелограмма (рис б) b c b c b c b b b Рис а Рис б ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением вектора на число называют такой вектор, длина которого равна, а направление совпадает с направлением, если, и противоположно, если Если, то вектор называется противоположным к (рис ) ( ) Рис ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество всех векторов пространства с введенными на нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство Определим понятие базиса и координат вектора в данном базисе ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ 6 Система векторов,,,, линейно зависимой, если существуют числа,, n одно из них отлично от нуля и n n n называется, такие, что хотя бы (8) Если система линейно независима, то в (8) все i Пусть для определенности коэффициент k, тогда из равенства (8) можно найти n k n k k k Итак, для линейно зависимой системы векторов,,,, n любой вектор можно представить как линейную комбинацию остальных

15 ( n ) векторов Для линейно независимой системы векторов такое представление невозможно ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Совокупность линейно независимых векторов, b,, c, взятых в определенном порядке, образует базис пространства, и обозначается базис, b,, c На плоскости (в R ) базис образует два линейно независимых вектора, в трехмерном пространстве (в R ) три линейно независимых вектора и в n пространстве R n линейно независимых векторов Два коллинеарных вектора и b являются зависимыми, так как b Поэтому на плоскости два любых неколлинеарных вектора образуют базис Аналогично, три любых некомпланарных вектора образуют базис трехмерного пространства R b b c Базис в R, b Базис в R, b, c ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 Любой вектор p в пространстве R единственным образом определяется в виде суммы: p b c, (9) где числа,, называются координатами вектора p в данном базисе Равенство (9) представляет разложение вектора p по базису, b, c в трехмерном пространстве (в R ) На плоскости (в R ) вектор p имеет разложение по базису b, : p b Замечание Записи p b c и p,, означают одно и то же: вектор p имеет координаты,, в данном базисе, b, c Необходимым и достаточным условием линейной независимости трех векторов,,, b b, b, b и c c, c, c является условие: b c b c b c

16 6 ПРИМЕР Найти разложение вектора, 6, p,,, q, и r,, c по векторам РЕШЕНИЕ Проверим, являются ли векторы p, q, r линейно независимыми, то есть образуют ли они базис Для этого вычислим определитель третьего порядка, составленный из координат векторов p, q, r по методу треугольника: , то есть векторы p, q, r являются базисом, тогда c c p c p c p, где c, c, c неизвестные координаты вектора c в базисе p, q, r Составим систему: c c c 6 c c c c c c Решаем методом Крамера: 8 ; 6 6; 6 ; c, c, c Следовательно, c p q r c,, или Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами этих векторов по следующим правилам: ) Координаты алгебраической суммы векторов,, и b b, b, b равны суммам соответствующих координат: b b, b, b ()

17 7 ) Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат на :,, () Самым удобным является базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов В трехмерном пространстве с декартовыми прямоугольными координатами такой базис составляют векторы i, j, k (рис б), на плоскости i, j (рис а) y z j k j i Рис а Рис б Тогда координаты произвольного вектора являются проекциями этого вектора на соответствующие координатные оси, и разложение вектора по базису i, j, k имеет вид i j k,, () или Такой базис называют декартов базис В этом базисе справедливы следующие теоремы и формулы B ТЕОРЕМА Если известны координаты точек, y, z y, то координаты вектора B находятся по формулам, z, и, y y y, z z z () ПРИМЕР Пусть даны две точки,, и B,, координаты B и B Найти

18 8 РЕШЕНИЕ B, 6, и, 6, B находим по формуле () Итак, если известны координаты начала и конца вектора, то для отыскания координат самого вектора нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала ТЕОРЕМА Если векторы и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть, z y,, b, y z y y z z, ; () ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Скалярным произведением векторов и b (обозначается b ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: b b b cos b () b ТЕОРЕМА Скалярное произведение векторов, y, z, y z, заданных своими координатами, вычисляется по формуле, b y y z z Скалярное произведение применяется в геометрии и механике: Косинус угла между векторами и b находится по формуле b cos (7) b b (6) и Проекция вектора на вектор b : b пр b (8) b, то есть y y z z, (9) Если два вектора и b перпендикулярны, то b

19 9 условие перпендикулярности двух векторов Если вектор F задает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора S, то работа этой силы определяется равенством F S () физический смысл скалярного произведения ТЕОРЕМА Модуль вектора (длина), y, z формуле y z находится по () ПРИМЕР Вычислить работу равнодействующей F сил F i j k, F i j k и F i 6 j k, приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки,, в точку B 7,, F F F F,,, РЕШЕНИЕ Так как равнодействующая сил,, S B, то работа вычисляется по формуле (): F B (дж) ПРИМЕР Найти длину вектора, если,, и b,, РЕШЕНИЕ Обозначим c b, b, 6,, т к b,, По формуле () c 9,, b , 87 c ПРИМЕР Найти длину вектора b, если известно, b и b 6 РЕШЕНИЕ Обозначим c b Тогда длина вектора c b b b 9 b b b

20 9 9 b cos b 6 (Использованы формулы () и ()) 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторным произведением вектора на вектор b называется третий вектор c, определяемый следующим образом: (рис ) Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b, то есть c b sin b ; () Вектор c перпендикулярен векторам и b ; Векторы, b, c после приведения в общему началу образуют правую тройку векторов, то есть ориентированы по отношению друг к другу как базис i, j, k c b b S Рис S c b ТЕОРЕМА Векторное произведение векторов, y, z, y z, заданных своими координатами, находится по формуле, i j k y z b y z i j k () y z z y y z z y и C,, ПРИМЕР Даны вершины треугольника,,,, 6, Найти косинус угла BC и площадь треугольника BC B и

21 РЕШЕНИЕ Угол BC образован векторами B и BC Найдем координаты этих векторов по формуле (): По формуле (7) cos B BC B,,,, 9, BC 9 9 6,9 6 Треугольник BC является половиной параллелограмма, построенного на векторах B и BC Тогда S BC S B BC Найдем векторное произведение векторов по формуле (): i j k C B BC i j 6k ; C B BC S BC B BC, (кв ед) Векторное произведение применяется в геометрии и механике для нахождения площади треугольника и параллелограмма (см пример ) и момента силы Если вектор F задает силу, приложенную к какой-нибудь точке C, а вектор идет из недвижимой точки O в точку C, то вектор M F представляет собой момент силы F относительно точки O физический смысл векторного произведения ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если два вектора и b умножить векторно b, а полученный результат умножить на вектор c скалярно, то число bc b c называется смешанным произведением трех векторов, b, c ТЕОРЕМА 6 Смешанное произведение трех векторов, b и c, y, c находится с помощью определителя третьего порядка: y z bc y z () y z

22 Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие bc () ТЕОРЕМА 7 Смешанное произведение трех векторов, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах: V bc (6) ПРИМЕР 6 Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах i j k, b i j k, c i j k РЕШЕНИЕ Объем призмы равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах, b и c Тогда по формуле (6) имеем V V bс призмы параллелепипеда Запишем координаты векторов,,, b,, и c,, Найдем смешанное произведение по формуле (): bc 6 7 Тогда V призмы 7, (куб ед) ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ТЕОРЕМА 8 В декартовой прямоугольной системе координат XOY на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно X и Y : By C (7) где, B и C коэффициенты (при условии B, то есть хотя бы одно из чисел и B не равно нулю), и обратно, всякое уравнение вида (7) определяет прямую

23 C Если B, то уравнение примет вид C или это уравнение прямой, параллельной оси OY Аналогично By C уравнение прямой, параллельной оси OX Уравнение (7) называется общим уравнением прямой Если B, то уравнение By C можно разрешить относительно y и представить в виде y k b, где k tg (8) Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k Угол, отсчитываемый от положительного направления оси OX до прямой, называется углом наклона прямой, а число b определяет начальную ординату, то есть величину отрезка, отсекаемого прямой на оси OY (рис ) y y k b b Рис Если прямые заданы уравнениями y k b и y k b, то угол между ними находится по формуле k k tg (9) k k Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k k, а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы k k, то есть k () k ПРИМЕР 7 Вычислить величину меньшего угла между прямыми y и 8 6y

24 РЕШЕНИЕ Разрешим общие уравнения прямых относительно переменной y : y и y 6 Отсюда следует, что угловые коэффициенты прямых k, k, так как k k, то прямые пересекаются, и по формуле (9) 7 tg rctg, Острый угол = o Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости: ) Уравнение прямой в «отрезках»: y, () b где отрезок, отсекаемый на оси OX, b на оси OY ) Уравнение через точку M, y и угловой коэффициент k : y y k () ПРИМЕР 8 Через точки, и, B проведена прямая B Проходит ли она через начало координат? РЕШЕНИЕ Возьмем на данной прямой еще одну текущую точку M Пусть координаты этой точки y M, Тогда векторы M и B лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны Найдем координаты векторов M и B: M, y и B, Из условий коллинеарности двух векторов (формула ) получаем уравнение прямой B: y Отсюда y или y Прямая не проходит через начало координат, так как точка, не удовлетворяет уравнению прямой:

25 ПРИМЕР 9 Точка, лежит на прямой, перпендикулярной к прямой y 8 Найти уравнение этой прямой РЕШЕНИЕ Определим угловой коэффициент первой прямой: 8 y, отсюда k С учетом перпендикулярности прямых (формула ) k Тогда уравнение второй прямой можно найти по формуле (): y или y ПЛОСКОСТЬ ТЕОРЕМА 9 В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводится к виду By Cz D, () где, B, C и D заданные числа, причем B C, и обратно, уравнение () всегда является уравнением плоскости Уравнение () называется общим уравнением плоскости Коэффициенты, B и C являются координатами нормального вектора n, B, C, то есть вектора, перпендикулярного к плоскости Существуют различные способы задания плоскости в R и соответствующие им виды уравнений Уравнение плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору n Если плоскость проходит через точку M, y, z и перпендикулярна вектору n, B, C, то ее уравнение записывается в виде B y y C z z () Уравнение плоскости, проходящей через три точки Если плоскость проходит через три точки M, y, z, M, y, z и M, y, z, не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде y y z z y y y y z z z z ()

26 6 Раскрывая определитель по элементам первой строки, придем к общему уравнению плоскости () Уравнение плоскости в «отрезках» (рис 6) Рис 6 Если плоскость пересекает координатные оси в точках,, B, b,, C,, c то ее уравнение можно записать в виде где, b, c и y z, (6) b c ПРИМЕР Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку M, 7,, параллельно плоскости y z РЕШЕНИЕ Если плоскость проходит через точку M, то ее уравнение можно записать в виде (по формуле ()) By 7 Cz, где n, B, C нормальный вектор Так как плоскости параллельны, то в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор данной плоскости n,,, тогда y 7 z После упрощения имеем общее уравнение Преобразуем: -y+z+= y z y z или (делим на -) / Отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостью соответственно равны, b, c

27 7 ПРИМЕР Вычислить угол между плоскостями y z и y РЕШЕНИЕ Величина угла между плоскостями равна углу между их нормальными векторами n,, и n,, Тогда по формуле (7) cos cos, n n Отсюда rccos ПРИМЕР Найти уравнение плоскости, проходящей через точки, 6, 7 M,, и M, 7, M, y, z M, РЕШЕНИЕ Возьмем на этой плоскости произвольную точку Рассмотрим три вектора M координаты: M M, y 6, z 7 M M M M 8,,,, M M M и M M (рис 7) и найдем их Рис 7 Эти три вектора принадлежат одной плоскости, то есть они компланарны Условие компланарности трех векторов () и определит искомое уравнение плоскости (): y 6 z 7 8 ; 8 8 y 6 z 7 y 6 z 7 y 68z 7 После упрощения окончательно имеем: y z 6

28 8 Это уравнение является общим уравнением плоскости, нормальный n,, вектор: ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В зависимости от способа заданий в пространстве можно рассматривать различные уравнения прямой Канонические уравнения прямой Если прямая в пространстве проходит через точку M, y, z параллельно вектору s, то ее уравнение можно записать в виде y y z z, s m, n, p (7) m n p Вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой Параметрические уравнения прямой Из уравнения (7) получим mt, y nt, z z pt, (8) y где t параметр Прямая, проходящая через две точки Если прямая проходит через точки M, y, z и M, y, z, то ее уравнения можно записать в виде y y z z (9) y y z z Общие уравнения прямой в пространстве Две пересекающиеся плоскости определяют прямую B y Cz D, n, B, C B y Cz D, n, B, C где n не параллелен n ПРИМЕР Даны вершины треугольника, 6,,,, 8, B и C, Составить уравнение медианы, опущенной из вершины на противоположную сторону РЕШЕНИЕ Медиана CD делит сторону B пополам Найдем координаты точки D : D DB 6 8 С А D,, или D,,,

29 9 Используем уравнения прямой, проходящей через две точки (9) Тогда уравнения прямой можно записать в виде y 8 z y z или Полученные уравнения прямой являются каноническими уравнениями, s,, направляющий вектор ПРИМЕР Найти уравнение прямой, проходящей через точку,, перпендикулярно плоскости P : y 7z РЕШЕНИЕ Плоскость P имеет нормальный вектор n,, 7, а так как нам нужна прямая L, перпендикулярная плоскости P, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор n (рис 8) Тогда искомая прямая имеет вид y z 7 Рис 8 y z ПРИМЕР Найти угол между прямой L : и плоскостью P : y 6z РЕШЕНИЕ Имеем из канонических уравнений: s,,, n,, 6 Искомый угол L s, n (рис 9), то есть sin sin s, n cos s, n; 9 n 6 sin,8 s n 9 6 L rcsin,8 8 Рис 9 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени: By Cy D Ey F, () где, B, C, D, E, F постоянные действительные числа Уравнение () называется общим уравнением кривой второго порядка Рассмотрим частные случаи уравнения () Окружность радиусом R с центром в точке C, y задается уравнением y y R Эллипс с полуосями и b, центром в точке, y y y C определяется уравнением b Гипербола с действительной полуосью, мнимой полуосью b, центром в точке C, y y y имеет уравнение b Уравнение сопряженной гиперболы: y y b Парабола с вершиной в точке C, y, симметричная относительно оси OX, имеет уравнение y y p Уравнения y p, py, py определяют параболы, иначе ориентированные относительно осей координат Уравнение () может и не определять действительного геометрического образа (в зависимости от коэффициента), тогда говорят о мнимых кривых второго порядка С помощью параллельного переноса или поворота системы координат на некоторый угол общее уравнение сводится к каноническому виду Особенно простым является приведение уравнения () к каноническому виду в случае B (отсутствие члена y ), когда можно применить метод выделения полных квадратов ПРИМЕР 6 Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее 9y y 9 РЕШЕНИЕ Данная линия является кривой второго порядка, в уравнении которой отсутствует произведение переменных и y Дополним

31 члены, содержащие, и члены, содержащие y, до полных квадратов Получим 8 9 y 6 9, y , 6 9y y 6, y, 9 Имеем эллипс, центр которого лежит в точке C,, большая полуось 9, малая ось b (рис ) Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку C, Формулы преобразования координат имеют вид, y y y 9 Тогда уравнение эллипса запишется в виде Рис ПРИМЕР 7 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка y 6 и построить ее РЕШЕНИЕ Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду выделим полный квадрат для : y 6,

32 6 y, y 6, 98 y или 6 y, то есть имеем гиперболу, центр которой находится в точке C,, действительная полуось, 7, мнимая полуось b, 7 7 Формулы преобразования координат при параллельном переносе имеют вид, y y 6 y Тогда уравнение гиперболы запишется в виде (рис ),7,7 Рис ПРИМЕР 8 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка y y и построить ее РЕШЕНИЕ Уравнение кривой преобразуется следующим образом: y y или y Отсюда y, y,

33 имеем параболу, у которой вершина находится в точке С ;, параметр p, а ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси OX Формулы преобразования координат при параллельном переносе имеют вид: 8, y y Тогда уравнение параболы примет вид y Рис Для построения параболы найдем точки пересечения параболы с осью OY Для этого положим и решим уравнение y y Тогда 6 6 y, y,, y, Имеем две точки ;, и B ;, точки пересечения параболы с осью OY (рис ) Задания к контрольной работе : Задание Дана система линейных уравнений b b b Решить систему: а) методом Гаусса; б) по правилу Крамера; в) средствами матричного исчисления

34 8 z y z y z Задание Даны координаты вершин пирамиды Найти угол между ребрами и (в градусах) и длину высоты, опущенной из вершины на грань Сделать чертеж (,, ) (,, ) (-, -, 6) (, -6, -) (,, ) (-,, 6) (-, -, ) (,, -) (,, ) (-, -, ) (,, -) (,, -) (,, ) (-,, -) (, -, 6) (6, -, ) (, -, 6) (-6, -, ) (,, -) (, 6, -7) 6 (-, -, -) (7,, -) (6, -, ) (,, -7) 7 (7,, 9) (, -, -) (-, -, ) (, -, ) 8 (-, -, -) (,, ) (, 7, -6) (6, -, )

35 9 (, -, ) (-, -6, ) (,, -7) (6,, -9) (-7, -6, -) (,, -) (8, -, ) (,, -7) Задание Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки, B и C Найти нормальный вектор и уравнение плоскости в «отрезках» Построить данную плоскость (-,, ), B (,, -), C (,, ) (-,, ), B (, -7, ), C (,, ) (9, -, ), B (,, ), C (-, 7, ) (6,, -), B (-,, ), C (,, 7) (, -, ), B (,, -6), C (,, -7) 6 (7, -, ), B (,, ), C (8,, -) 7 (,, -), B (-,, ), C (,, ) 8 (-,, ), B (,, -7), C (8,, ) 9 (,, -), B (, -, ), C (,, 6) (,, ), B (-, 7, ), C (, -, ) Задание Привести кривую второго порядка к каноническому виду и построить ее y y 7 y y y 7 y y y 8 y 6 y 9y y 7 y y 8 y 9y 9 y y 6 y Задание Даны вершины треугольника BC Найти точку N пересечения медианы M и высоты CH Сделать чертеж (-, ), B (, ), C (, 7) (-, -), B (, ), C (6, 8) (, 7), B (-, -), C (, -) (, ), B (-, ), C (9, )

36 (, -), B (7, ), C (, 7) 6 (-, -), B (, 6), C (6, ) 7 (-, ), B (-6, 6), C (6, ) 8 (, -), B (7, ), C (, ) 9 (, -), B (8, ), C (, 8) (-, -), B (, -7), C (7, 7) 6


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЛА Золкина ВМ Мухина ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для студентов заочного

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Ответы. Ответы к задаче 1

Ответы. Ответы к задаче 1 Ответы Ответы к задаче Три Три x, x, x ; ; ; свободные члены системы не содержат неизвестных и записываются обычно в правых частях уравнений 5 Уравнения называют линейными, если они представляют собой

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» В. Г. ДЕГТЯРЕВ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Математика Часть I Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Санкт-Петербург ББК я М Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее