МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я по дисциплине «Высшая математика» МОСКВА

2 М ОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ (МИРИТ) Кафедра "Вычислительная математика" АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 2 Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов строительных специальностей Москва -2008

3 УДК А 64 Григорец О. А., Данилова И. А., ЗанинаЛ. Н., Козлов О. К., Перфилова Н. П. Аналитическая геометрия. Часть 2. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Высшая математика. М.: МИИТ, с. Данные методические указания охватывают основные типы задач раздела аналитическая геометрия. Эти задачи могут быть использованы при проведении практических занятий, в качестве домашних заданий, а также для текущего контроля успеваемости. О Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), , Москва А-55, ул. Образцова, 15 Типография МИИТ

4 ТЕМА 1. Векторная алгебра З а д а ч а 1. Даны векторы 5 = (2;-3;1), = (3;0;1), с = (-1;2;1). Найти скалярное и векторное произведение векторов а и Ъ, а также смешанное произведение а-ъ с. Р е ш е н и е : Скалярное произведение а -Ь =2-3 + (-3) Ы = = 7. Векторное произведение / = i к 3 0 = i ( ) - J ( ) + Л ( (-3 ))=. = -3 / +J+ 9к Смешанное произведение at I = О о 2 = 2 ( 0-2 ) + 3 (3 +1) + (6-0) = = 14. З а д а ч а 2. Даны вектор a = 4 i+ j-k и две точки А ( -1; 1; 3) и В ( 2; 5; 3). Найти угол между векторами а и АВ. Р е ш е н и е : длина Вектор ЛД = (2 + 1 ;5-1 ;3-3 ) = (3;4;0), его АВ = л/з = 5. Длина вектора а равна а ~ л/ [-1)2 = Vl8 = Зл/2. Скалярное произведение АВ- й = (-1) = 16. Значит, з

5 _ АВ а 16 8л/2 _ 8V2 Cos (р = = = , а угол т = arccos ^ Л Я я 5-3->/ З а д а ч а 3. Доказать, что точки А (2; 1; 3), В ( 0; 1; 5), С ( -1; 2; 1) и D ( 1; 2; -1) лежат в одной плоскости. Р е ш е н и е : Достаточно проверить, что векторы АВ, АС, AD компланарны, т. е. равно 0 их смешанное произведение. Найдем координаты этих векторов: ДЙ = (0-2 ;1-1 ;5-3 ) = (-2 ;0 ;2 ), ДС = ( ;2-1 ;1-3 ) = (-3 ;1 ;-2 ), 1 1Б = ( 1-2 ;2-1 ;-1-3 ) = (-1 ;1 ;-4 ). Смешанное произведение , г АВ - АС AD = З а д а н и я : (-4 + 2) + 2 (-3 + 1) = 4-4 = 0. Даны векторы а,ъ и с. Найти а) угол между векторами а и Ъ, б) модуль векторного произведения й на с, в) проекцию вектора а на с, г) площадь треугольника, построенного на векторах а и В, д) угол между вектором 23+с и осью ОХ. Проверить е) компланарны ли а,й и ё, ж) перпендикулярны ли бис.

6 N а b с 1 (-1,2, 2) (-4, 3, 7) (2, 1,-3) 2 (2, 1,-3) (-1,5, 1) ( 3, 0, 4) 3 ( 4,- 1,1 ) ( 6, 0, 3) (1,1, -2) 4 ( 3, 4, 0) ( 1,1,- D (-2,1,3 ) 5 (-3, 3, 1) (5,-1,2 ) (-1,5, 4) 6 (1,-2, 0) (-3,1,9 ) (2,-3, 1) 7 (-2,1,4 ) (-1,1,2 ) (3, 0,-6) 8 ( 1,-1,1 ) (3, 5,-2) (0, 2,-3 ) Дополнительные задачи. 1. Даны векторы ОА = а и ОВ = Ъ, причем 3) = 2, Ъ = 4, а угол между векторами а и Ъ равен 60. Определить угол между медианой ОМ треугольника Л ОВ и стороной ОА. 2. Дан треугольник с вершинами А(\; 6), В(-5; 4), С(2; -3). Найти угол при вершине В и длину медианы АК. 3. Дан треугольник с вершинами А( 1; -2), В(-4; 5), С(5; 8). Найти угол между медианой ВМ и стороной ВА. 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(2; -2), В(~4; 0), С(4; 8). Найти угол между диагоналями параллелограмма. 5. Вычислить: (/ - 2k) k + (j + 3k)2 345.

7 6. Векторы а и Ъ образуют угол 30, причем Щ = 1, б = 3. Найти угол между векторами (я + б)и(а-&). 7. Найти вектор х, коллинеарный вектору а =(2; 1; 1) и удовлетворяющий условию х а =3. 8. Даны точки А (3; 4) и В (-1; 6). Найти проекцию вектора АВ на вектор CD = (7; -1). 9. Даны векторы а = (3; -1; 2) и b = (1; 2; -1). Вычислить векторное произведение ( 2а + Ъ )х Ъ. 10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = * + 5j~2k и Ъ - 2 i - 2j - 4к. 11. Даны точки А(2; 1; 2), В( 1; 2; 1), С(3;2;1). Найти координаты векторного произведения ( ВС -2СА)* СВ. 12. Найти площадь треугольника с вершинами А( 1; -1; 2), В(5;-6; 2), 0(1; 3; -1). 13. Показать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 2т + п и b = -Зт + я, равна 37.5 кв.ед., если т = 3, п = 5, а угол между векторами т и п равен 7С/ Вычислить: kx(j*k) - A* (i + j) + 2jx (i-k).

8 15. Показать, что вектор а = (-4; 2; 2) коллинеарен вектору Ъ*с, где Ъ = (2; 3; 1), с = (1;2;0). 16. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а = i + 2j + Зк, b - 4 i-j + к и с = 3 / - 4j + к. 17. Найти объем тетраэдра, вершины которого лежат в точках А (2; -1; 1), 5(5; 5; 4), С(3; 2; -1 ) и П(4; 1; 3). 18. Лежат ли точки А(2; -3; 3), 5(1; 0; 1), С(2; 0; 5) и >(1; 0; -2) в одной плоскости? 19. Найти объем пирамиды, построенной на векторах а = i+j + k, b = 2i j -Деи с = -3/ + 3/ + Л. 20. Сила F = (1,4,-3) приложена в точке Л( 2,0,-1). Найти работу силы F, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку 5 (1,3,-4), и модуль момента силы F относительно точки В. ТЕМА 2. Прямая на плоскости Задача. Найти уравнение медианы ВК и высоты СМ в треугольнике с вершинами А( 7; -1 ), В (-1; 2), С( 3; 7). Решение: Точка К - середина отрезка СА, поэтому ее координаты хк = 5, ук = = 3, т. е. К{5;3). 2 2 Вектор 5К = (5 + 1 ;3-2 ) = (6; 1) направляющий вектор медианы ВК. Значит, уравнение прямой ВК будет х +1 у 2 ^ Л = , т. е. х - 6у +13 = Л

9 Вектор АВ = (7 + 1; 1 2 ) = (8; 3) является нормальным вектором высоты СМ. Поэтому уравнение высоты СМ 8(дс - 3) - 3(у - 7) = 0 или 8лг - 2у - 3 = 0. Задания: 1.Даны прямые 1\, /2 и точкам. Найти: а) уравнение прямой, проходящей через точку А /. параллельно прямой 1\ ; и. перпендикулярно прямой /2 ; б) угол между прямыми /1 и /2 ; в) расстояние от точки А до прямой / ; 2) координаты точки пересечения прямых 1\ и /2. N и 12 А 1 (-1;2) 2 Зх + 2у = 7 х - 2у = 2 (4;-1) 3 х + у = 1 (2; -3) 4 2х + у = ~4 5х-у = -1 0;2) 5 7х + у = -1 х + 5у = 4 (-2; 3) 6 Зх-у = 2 х + у = 5 (-3; 4) 7 2х + Зу = 1 бх-у = 2 0 ;- 4 ) 8 х -4 у = 6 -Зх + у = 2 (-3; 1) 9 бх + у = 2 х -З у = -2 ( 1; 2) 10 -Зх + 2у = 3 2х + 5у = 1 (4;-2) 11 5 х-у = -4 -х+ у = 3 (2; -3) 1 I о. 1 & 1 ч I I L 2. Найти проекцию точки А (7; 5) на прямую 2х + у - 4 = О и расстояние от точки А до этой прямой. 3. Найти координаты точки пресечения медианы BL и высоты АК треугольника с вершинами А (2; 8), В (-6; 6) и 0 (0 ; 0).

10 4. В параллелограмме ABCD вершина В имеет координаты (2; 7), а уравнение стороны AD: х + 8у - б = 0. Составить уравнение стороны ВС. Написать уравнение высоты BL, опущенной на сторону AD, и длину этой высоты. 5. Найти координаты точки, симметричной точке С (-4; 4) относительно прямой Зх + у В треугольнике с вершинами Л (1 ;-8 ), В (7; 2) и С (-1; 2) найти: а) уравнение и длину высоты AM; б) угол между высотой AM и стороной АС. 7. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (4; 6), В (8; 2), С (0; -2). Составить уравнения стороны AD и высоты СК, опущенной на сторону АВ. Найти угол между стороной AD и высотой СК. 8. В треугольнике АВС вершина А имеет координаты (-5; 1), а уравнение стороны ВС: 2х + у - б = 0. Найти уравнение и длину высоты АЕ. Какой угол составляет прямая АЕ с осью OY7 ТЕМА 3. Плоскость Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 1; 2; 3) и ось OY. Решение: Уравнение плоскости, проходящей через ось OY, имеет вид Ax + Cz = 0. Т. к. точка М лежит на этой плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяют этому уравнению А 1 + С-3 = 0. Отсюда А = -ЗС. Значит имеем (~ЗС)х + Сz = 0 ш и -З х +z = 0. Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А( 2;3; 1) и 5(4;-1; 2) и перпендикулярно к плоскости 2х - у + z -1 = 0.

11 Решение: Точка M(x,y,z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы AM = (х-2;у-3; z + l), АВ = (2; 4; 3) и нормальный вектор заданной плоскости N = (2;~ 1; 1) компланарны. Значит, смешанное произведение AM AB-N = 0. Имеем: х - 2 у-ъ z+l AM АВ N = = (х - 2)( ) - ( у - 3)(2 6) + (z + 1)( 2 + 8) = 0 или -(х-2) + 4 (у -3 ) + 6(г + 1) = 0. Ответ: х - 4 у - 6z + A=0. Задания: 1. Даны плоскости а, Р и точка А. Выполнить следующие задания: а) построить плоскость а; б) найти угол между плоскостями а и /?; в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно плоскости /?; г) найти расстояние от точки А до плоскости а. N а 0 A 1 х-зу + 5 = 0 2х-у + 5z~ 16 = 0 (~3;4;-7) 2 х + Зу + z х + z - 1=0 (1; 2;-3) 3 4x-5y + 3z-l =0 x -4 y -z + 9 = 0 (-1; 2; 2) 4 Зх-у + 2z + 15 = 0 4x + 9y-3z-1 =0 0 ; i; 4) 5 бх + 2 у -4z x + 3y-6z -4 = 0 ( 1; 5; 2) 6 х + 2у + 6г 12 = 0 5x + 3y-2z = 0 H;i;3) 7 2х у + 3 z-1 = 0 x + 2y + 2z~3 = 0 (1;2;1) 8 x-3 y-2 z-8 = 0 2x+y-z + 3 = 0 (i; i; 2) 9 х +у + 3z x + 2y-3z + 1 = 0 (-2; 1; 1) 10 х + y-z + 3 = 0 x - 3y + 3z~ 4 = 0 (2; -3; 1) ю

12 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (2; -1; 1), (3; 1; 2) параллельно оси OY. 3. При каких А и В плоскости 2х + y -4 z + 5 = 0иА х-2у + 3Bz - 1 = 0 параллельны? Найти угол между первой плоскостью и плоскостью XOY. 4. Найти расстояние между плоскостями 2 x-y + 2z+ 6 = 0 и 2 х-у + 2z - 12 = Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-3; -4; 1) и ось OZ. 6. При каких X плоскости Зх + 5у - z = 0 и х - З у + Xz 4 = 0 перпендикулярны? Найти угол между первой плоскостью и плоскостью XOZ. 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 0; 1), (2; -3; 4), (1; 5; -2), и найти угол, который она составляет с плоскостью 4z 3x + 5 = Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 1; 2) перпендикулярно плоскостям х + y - z + 5 = 0 их = 2у. ТЕМА 4. Прямая в пространстве Задача. Прямая задана общим уравнением [х - y + z - 1 = 0 <. Написать канонические уравнения [3x + 2 y -z + 3 = 0 и этой прямой. Решение: В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор q = Nxх N2, где TV, = (1;-1;1), jv2 = (3; 2; 1) нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая.

13 q = i j к I + 4] + 5к = (-1,4,5). Возьмем. точку на прямой. Положим х = 0, тогда Г ->' = 0 Отсюда у = -2, z ~ -1, т. е. точка \ l y - z + 3 = 0 (0; 2; 1) лежит на прямой. Значит, канонические х _ у + 2 _ z-1 уравнения прямой -Т ~ 4 ~ ~5~ Задания. 1. Составить параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей YOZ и 5х 7у + 2z - 3 = Доказать перпендикулярность прямых f3x+v-5z + l = 0 у 1 z S и х = =. [2х + 3>/-8z + 3 = Даны вершины треугольника: А(3; 6; -7), 5(-5; 2; 3) и С (4;-7;-2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С., u - - ГЗх +.у = 0 4. Наити острый угол между прямыми < [x -> ' + z-10 = 0 х+1 у - 4 z и =

14 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \3x-y + 2z - 7 = 0 А (2; 3; -5) параллельно прямой <{ [х + Зу - 2z + 3 = О х = 2f Доказать перпендикулярность прямых <! у = 3/ - 2 и я = -6t + 4 2х + у - 4z + 7 = О 4х-у 5z-9 = 0 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 2; 3) параллельно оси OZ. Лежит ли точка В (3; 2; 1) на этой прямой? 8. Доказать параллельность прямых х+зу+2+2=0 х -у -З г -2 = 0 9. Через точки Л (-6; 6;-5), В (12; -6; 1) проведена прямая. Найти координаты точек пересечения этой прямой с координатными плоскостями. 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (3; 4; 5) перпендикулярно оси ОХ. Лежит ли точка В (3; 8; -10) на этой прямой?

15 ТЕМА 5 Взаимное расположение прямой и плоскости Задача 1. При каких значениях т и С прямая х - 2 у т 4-3 перпендикулярна плоскости 3 x-2 y+ C z+ l= 0? Решение: Прямая перпендикулярна к плоскости, если направляющий вектор прямой Р = (т\4;-3) параллелен нормальному вектору плоскости ЛГ = (3 ;-2 ;С ), т. е. когда т 4-3. Отсюда т = -6, С = 1, С Задача 2. Найти проекцию точки Л/(4;-3;1) на плоскость x - 2 y - z - l 5 = 0. Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной данной плоскости. Направляющий вектор этой прямой совпадает с нормальным вектором плоскости iv (1; 2; 1). Значит параметрические уравнения прямой будут x = t + 4, у = -2 / - 3, 2 = / +1. Точка пересечения Мх полученной прямой с данной плоскостью и является проекцией точки М на плоскость. Для ее нахождения подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости. ((/ + 4 )- 2(-2f - 3) - (-/ +1) -15 = О 6/-6 = О t = 1 Значит, координаты точки Л/, х, =1 + 4 = 5, У\= = -5, 2, = = 0. Ответ: М,(5,-5,0).

16 Задания: 1. Дана плоскостьос, прямая / и точка А. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А и а) параллельной прямой / ; б) перпендикулярно к плоскости ОС; Найти угол между в) прямой / и плоскостью ОС; г) прямой 1 и плоскостью XOY ; Составить уравнения плоскости, проходящей через д) прямую / и точку А ; е) прямую / и перпендикулярную плоскости ОС; дне) точку А и перпендикулярную прямой / N а l A x+2 z x - 4 y + z - l = 0 ( i ;- 2 ;4 ) 2 x + y -z + 4 = x -3 y - 2 z + 5 ~ 0 4 x - 2 y - 3 z - 8 = 0 5 3z+ 2jr-3y + 2= 0 б 2 y + z - 4 x - 3 = 0 7 2x + 3 z-10 = C 8 5 z -4 y + x = x - y - z + 2 = 0 10 x+ 2y-3= 0 x = 2 * -l y = -t + 3 z - 3 t x - l y + 4 z x = St + 2 y = 2t + 3 (2; 1; 0) ( -3; 0; 2) ( 4 ;- 3 ;- l) z - t - \ x + 6 _ у _ z ~ - 3 = 2 (0; 2; -4) x = 3-t y = 2t ( i; i; 3) z = 4< + 5 x - 4 y + 2 z _ 3-1 x = t у = (-2 ; 4; 1) ( 3; 1; 0) z = 2 x + 1 _ y - 3 _ z 4-1 " - 5 ( 1; 2; 3) x = 2+5< y = 3 (1; 4; 1) z = t

17 2. Найти координаты точки пересечения прямой с - 1 = = и плоскости 2х + Зу + z - 1 = x = 3t Доказать, что прямые и \ y -= 22t t + 2 лежат в одной плоскости. z Доказать, что прямая x*2f + l у = -7-3 принадлежит плоскости z~ 5 t-2 4х + Зу-z + 3 = Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые X у + 2 _ г-1 х-1_ у-3 _ z

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2879 - п ш и ^ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 1 Методические указания к практическим занятиям по дисциплине

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Э.Н. Подскребко Векторная алгебра. Аналитическая

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3 Вариант 1. 1. Вычислить определитель 5 1 4 1 1 4 1 5. 4 1 8 1 3 2 6 2 С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В=1 1 2 1 1. 2+6+5 =1 5+3 2 =0. 7+4 3 =2 2 3 4 12 1 1 1 Х= 2. 5 4 2 1 3 +4 =1 7 +3 5 +5 =10. 2 +2 3 +2 =3 6.

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

вектором р (р 1,р 2,р 3 ), а плоскость σ общим уравнением

вектором р (р 1,р 2,р 3 ), а плоскость σ общим уравнением Практическое занятие Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости План. Взаимное расположение прямой и плоскости.. Угол между прямой и плоскостью. Основные факты Возможны следующие случаи взаимного расположения

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 9 Тема: Плоскости План. Способы задания и уравнения плоскости.. Общее уравнение плоскости.. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости в АСК. 4.

Подробнее

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве 3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по выполнению практических заданий для студентов I курса направления подготовки

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Москва Издательство МЦНМО Логвенков С.А. Мышкис П.А.

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Линейная алгебра в задачах

Линейная алгебра в задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Математика» А.И. ГУСЕВ Линейная

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

Кафедра «М атематический анализ»

Кафедра «М атематический анализ» Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е Г О С У Д А РС Т В Е Н Н О Е Б Ю Д Ж Е Т Н О Е О Б Р А ЗО В А Т Е Л Ь Н О Е У Ч Р Е Ж Д Е Н И Е В Ы СШ ЕГО П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г О О Б Р А ЗО В А Н И Я «М О С К О В С К

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее