НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА"

Транскрипт

1 Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли Так, равновесный вектор национального дохода в модели международной торговли является вектором Фробениуса структурной матрицы международного обмена Кроме того, один из критериев продуктивности матрицы формулируется в терминах числа Фробениуса Квадратная матрица называется неотрицательной: 0, если ее элементы неотрицательны Если все элементы матрицы положительны, то она называется положительной, > 0 Вектор x называется положительным (неотрицательным), если все его компоненты x i > 0 (соответственно, xi 0 ) Теорема Фробениуса Перрона Для любой неотрицательной матрицы 0 существует собственное значение λ 0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λ λ для любого собственного значения λ матрицы Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор x 0, со- ответствующий собственному значению λ и называемый вектором Фробениуса Причем, если > 0, то λ > 0 и x > 0 Примеры Найти число λ и вектор x Фробениуса матрицы 3 = 3 66

2 Решение Матрица имеет два собственных значения: число Фробениуса λ = 5, которому соответствует собственный вектор x (, ) = (он является вектором Фробениуса для > 0) и собственное значение λ = с собственным вектором x = (, ) ( 0) Очевидно, что выполняется неравенство λ > λ Пусть x > 0 собственный вектор матрицы 0 Доказать, что вектор x является вектором Фробениуса Доказательство Поскольку матрицы и неотрицательны и имеют одни и те же собственные значения, то λ число Фробениуса для Пусть p вектор Фробениуса матрицы, те p = λp или p = λp Вектор p называется левым вектором Фробениуса матрицы По условию x > 0 и x = α x Умножим это равенство слева на вектор p Учитывая, что p = λp, имеем p x = λp x или αp x = λp x Поскольку p 0 x > (хотя бы одно из неотрицательных слагаемых в сумме p x положительно), то λ = α А это и означает, что x есть вектор Фробениуса 3 Известно, что сумма элементов любой строки (любого столбца) положительной матрицы равна α Найти число Фробениуса матрицы Решение Пусть сумма элементов любой строки матрицы равна α Это можно записать в виде матричного равенства a K a α α K K K K = K = K a a α K Следовательно, положительный вектор (, K, ) является соб- ственным вектором матрицы, принадлежащей собственному значению α Поэтому оно является числом Фробениуса матрицы 67

3 Упражнения 95 Проверьте, что вектор ( ; ; 3) является собственным для мат- 0 рицы = Фробениуса x Найдите ее число Фробениуса λ, вектор 96 Для данной матрицы найдите число Фробениусаλ : а) 4 = ; б) = 4 ; в) 3 0 = Найдите число и вектор Фробениуса данной матрицы: а) 0 3 ; б) 0 ; в) 0 0 ; г) Балансовые модели Леонтьева и продуктивность Балансовые модели и продуктивные матрицы давно и прочно вошли в общепризнанный традиционный инструментарий экономического моделирования Модель Леонтьева позволяет рассчитывать объемы валового выпуска по объему конечного потребления и наоборот Понятия продуктивности и ее запаса позволяют оценивать границы производственных возможностей сложившихся или планируемых технологий Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на 68

4 продукцию отраслей Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в отдельных отраслях Основные сведения Балансовый анализ отвечает на следующий макроэкономический вопрос: каким должен быть валовой объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в выпускаемом продукте Пусть весь производственный сектор разбит на отраслей, каждая из которых производит однородный продукт Рассмотрим матрицу Леонтьева = ( a ij ), xij где aij = стоимость продукции отрасли i, затрачиваемой на x j производство руб продукции отрасли j, x ij объем продукции отрасли i, используемой в отрасли j, x j валовой выпуск отрасли j Обозначим x = ( x, x, K, x ) вектор валового выпуска всех отраслей, d = ( d, d, K, d ) вектор конечного потребления Тогда уравнения межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева) в матричной форме имеют вид: x = x + d Зная матрицу Леонтьева и объемы конечного потребления d, найдем планируемые объемы валового выпуска x всех отраслей народного хозяйства Если матрица ( E ) невырождена, то из уравнения межотраслевого баланса получим x = E d ( ) Матрица H = ( E ) называется матрицей коэффициентов полных затрат Таким образом, основной результат балансового анализа можно представить в виде матричного равенства: x = Hd, где d вектор конечного потребления, x вектор валового выпуска 69

5 Двойственной к модели Леонтьева является модель равновесных цен, описываемая равенством u u p = p+ v, u где p= ( p,, ) p вектор цен ( pi цена единицы продукции i -ой отрасли), v= ( v,, ) v вектор норм добавленной стоимости Матрица 0 называется продуктивной, если для любого вектора y 0 существует решение x 0 уравнения Леонтьева x = x + y Уравнение Леонтьева можно записать следующим образом: E x = y 70 ( ), где E единичная матрица Если матрица ( E ) x = E y ( ) существует, то Первый критерий продуктивности Матрица 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица ( E ) существует и неотрицательна Второй критерий продуктивности Неотрицательная квадратная матрица продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы Следствие Если для неотрицательной матрицы и некоторого положительного вектора y уравнение x = x + y имеет неотрицательное решение x, то матрица продуктивна Пусть 0 продуктивная матрица Запасом продуктивности матрицы назовем такое число α > 0, что все матрицы λ, где λ α, + α непродуктивна < < + продуктивны, а матрица ( ) Примеры Пусть в двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева 0,05 0, 40 = 0,5 0,0 d = 75; 30 а) Найти соответствующие объемы валового выпуска каждой отрасли и вектор конечного потребления ( )

6 б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта первой отрасли На сколько процентов должны измениться объемы валового выпуска каждой отрасли? Решение а) Находим последовательно 0,95 0,40 E =, 0,5 0,90 ( ) 0,90 0,40 H = E = 0,795 0,5 0,95 Вектор валового выпуска находится по формуле: 0,90 0, x = Hd = 0,795 = 0,5 0, Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 00, второй 50 б) Решение в этом случае отличается лишь тем, что изменяется вектор d = ( 50; 30 ) Поэтому 0,90 0, ,9 x = Hd = 0,795 = 0,5 0, , Таким образом, объем валового выпуска первой отрасли должен увеличиться примерно на 85%, второй отрасли на 8,4% В трехотраслевой балансовой модели дана матрица Леонтьева 0, 0, 0, = 0,3 0, 0, 0, 0,3 0, и вектор норм добавленной стоимости по каждой отрасли v = ( 4;0; 4 ) а) Найти равновесные цены; б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимости первой отрасли на, На сколько процентов возрастут равновесные цены каждой отрасли? 7

7 7 Решение а) Для нахождения равновесных цен воспользуемся формулой p= H v, где H матрица полных затрат Находим 0,9 0, 0, H = ( E ) = 0,3 0,8 0, = 0, 0,3 0,8 0,58 0, 8 0, 5 = 0,4 0, 68 0, 9 0, 444 0,8 0, 4 0,69 Поэтому 0,58 0,4 0,8 4 0 p = 0,8 0,68 0, ,444 = 0,5 0,9 0, б) Изменив вектор нормы добавленной стоимости, находим равновесные цены в этом случае 0,58 0,4 0,8 5,,45 p = 0,8 0,68 0,4 0 0,7 0,444 = 0,5 0,9 0,69 4 5,65 Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 4,5%, второй на 3,5%, третьей на 4,7% Нетрудно также, зная объемы выпуска каждой отрасли, подсчитать инфляцию, вызванную этим повышением цен 3 Исследовать на продуктивность матрицу 0, 0,6 = 0,9 0,3 Решение Имеем: 0,8 0,6 E = 0,9 0,7

8 ( ) 0,7 0, = = E 0,0 0,9 0, Эта матрица неотрицательна, следовательно, продуктивна ввиду первого критерия продуктивности 4 Показать продуктивность матрицы 0, 0 0,6 = 0, 0,7 0 0,4 0, 0,3 Решение Сумма элементов каждого столбца меньше единицы, значит, λ < Значит, продуктивна ввиду второго критерия продуктивности 5 Выяснить, при каких значениях a > 0 матрица 0 À= a будет продуктивной Является ли матрица продуктивной при a = 0,? Решение Характеристический многочлен матрицы будет a λ a 0 λe = a a λ 0 = 7a 6a 9a λ ( ) ( )( ) ( ) ( ) = 9a λ a λ 4a = 9a λ λ aλ 3 a, а характеристическое уравнение: ( a λ)( λ aλ a ) 9 3 = 0 Корни этого уравнения (собственные значения): λ = 9 a, λ = 3 a, λ = a 3 Для продуктивности матрицы, согласно второму критерию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 9a <, те 73

9 a < Например, при 9 0, 0, 0 = 0, 0, 0 0,7 0,6 0,9 a = получим продуктивную матрицу 0 + непродуктивна Если λ < + α, то матрица λ продуктивна 6 Доказать, что запас продуктивности α матрицы можно найти по формуле α = λ Решение Если μ > 0, то λμ = μλ, поскольку Spec( μ ) = μ Spec ( ) Тогда для α λ = имеем λ( ) = ( + α) λ = λ λ =, те мат- + α рица ( α ) 0, 0,6 7 Найти запас продуктивности матрицы = 0,9 0,3 Решение Найдем собственные значения матрицы 0, которые являются корнями ее характеристического многочлена λ 5λ 48: 5 ± 7 λ, = Значит, 5 ± 7 λ = = 0,98655 и λ = =, , Тогда на основании предыдущей задачи 0 α = =, , Запас продуктивности матрицы равен 0,05 Мы видим, что матрица находится где-то «на пределе» продуктивности 74

10 Упражнения 98 Дана балансовая таблица в двухотраслевой модели Производители Потребители I II Потребление Валовой выпуск I II Постройте структурную матрицу и рассчитать валовой выпуск d = 0, 5 на новый вариант потребления: ( ) 99 Предположим, что в предыдущей задаче мы хотим оценить загрязнение окружающей среды с помощью введения отрасли III, «выпуск» которой состоит в производстве загрязняющих веществ (на единицу объема выпуска каждой отрасли) согласно следующей таблице Производители Потребители I II Потребление Валовой выпуск I II III Рассчитайте выпуск загрязняющих веществ, соответствующий d = 45,5 варианту потребления ( ) 00 Приведите пример продуктивной матрицы, для которой одна из отраслей нерентабельна 0 В двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева и вектор конечного потребления d 0,4 0, : =, 0,3 0,5 d = ( 90; 45 ) а) Найдите соответствующие объемы валового выпуска каждой отрасли б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта второй отрасли На сколько процентов должны измениться объемы валового выпуска каждой отрасли? 75

11 0 Для трехотраслевой балансовой модели дана матрица Леонтьева и вектор норм добавленной стоимости по каждой отрасли v 0, 0, 0, : 0, 0,3 0, =, v = ( 0; ; 6 ) 0, 0, 0,3 а) Найдите равновесные цены б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимости первой отрасли на, На сколько процентов возрастут равновесные цены каждой отрасли? 03 Используя первый критерий продуктивности матрицы, исследуйте на продуктивность матрицу : 0,5 0,6 а) 0,5 0, 0,3 = ; 0, 4 0,5 б) = 0,3 0,5 0, ; 0, 0,4 0,5 0,3 0,5 0, в) = 0,5 0, 0,3 0, 0,4 0,5 04 Используя второй критерий продуктивности, установите продуктивность матрицы : 0, 0 0,5 0, 0,3 0,5 а) = 0,3 0,8 0, ; б) = 0,3 0,4 0, 0,5 0, 0, 0,7 0, 0, 05 Выясните, при каких значениях a > 0 матрица продуктивна: 4 = a 3 5? Найдите с точностью до 0-4 запас продуктивности α матрицы : 0,5 0,6 а) 0, 0, = ; 0, 4 0,5 б) = 0, 0, 76

12 Глава 4 РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ 4 Разностные уравнения Основная область применения разностных уравнений приближенное решение дифференциальных уравнений Кроме того, их можно использовать для нахождения общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением Основные понятия Уравнение вида Fx ( ; ; x+ ;; x+ k) = 0, где k фиксированное, а произвольное натуральные числа, x; x+ ;; x+ k члены некоторой неизвестной числовой последовательности, называется разностным уравнением порядка k Решить разностное уравнение означает найти все последовательности( x ), удовлетворяющие этому уравнению Общим решением разностного уравнения k -го порядка называется его решение x = ϕ( C,, C,, Ck), зависящее от k независимых произвольных постоянных C, C, K, Ck Количество k постоянных равно порядку разностного уравнения, а независимость означает, что ни одно из постоянных нельзя выразить через другие Если в общем решении разностного уравнения произвольным постоянным придать конкретные числовые значения, то полученное решение называется частным решением разностного уравнения Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка k с постоянными коэффициентами: ax + a x + + ax + ax = f, () k + k k + k + 0 где a R ( a 0, a 0) и { f } i заданные числа и последовательность k 0 77

13 Составим соответствующее однородное уравнение: ax + a x + + ax + ax = 0 () k + k k + k + 0 Теорема (об общем решении неоднородного уравнения) Общее решение x линейного неоднородного разностного уравнения является суммой частного решения x этого уравнения и общего решения x соответствующего ему однородного уравнения Теорема (об общем решении однородного уравнения) Пусть k x, K, x система, состоящая из k линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения Тогда общее решение этого уравнения задается формулой: k x = Cx + K + Cx k Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-го порядка образует k-мерное линейное пространство, а любой набор k x, K, x из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом Признаком линейной независимости решений k x, K, x однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казоратти x x L x x x x Δ= M M O M x x L x () () ( k ) () () ( k ) + + L + () () ( k ) + k + k + k Однородному уравнению () соответствует характеристическое уравнение k k akλ + ak λ + + aλ+ a0 = 0 (3) Общее решение однородного разностного уравнения является, как правило, линейной комбинацией геометрических прогрессий, связанных с корнями характеристического уравнения Продемонстрируем сказанное на примере уравнения -го порядка ax + bx + cx = a 0, c 0 (4) + + 0, 78

14 Составим характеристическое уравнение: aλ + bλ + c= 0 (5) Возможны три случая D= b 4ac> 0, тогда уравнение (5) имеет пару различных действительных корнейλ, λ В этом случае общее решение уравнения (4) записывается в виде: x = Cλ + Cλ D= b 4ac= 0, тогда уравнение (5) имеет один действительный двукратный кореньλ В этом случае общее решение урав- x = Cλ + C λ = C + C λ нения (4) записывается в виде: ( ) 3 D= b 4ac< 0, тогда уравнение (5) имеет пару комплексно сопряженных корнейλ, = a± ib Представим эти корни в тригонометрической форме λ ( ϕ i ϕ), = cos ± si, где = a + b модуль, ϕ аргумент В этом случае общее решение уравнения (4) записывается в виде ( ϕ ϕ ) x = C cos( ) + C si( ) Чтобы найти частное решение неоднородного линейного разностного уравнения, используется метод неопределенных коэффициентов, основанный на поиске решения, «похожего» по виду на неоднородность f из правой части уравнения () Более точно, справедлива следующая Теорема (о частном решении) Если неоднородность разностного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид f = ρ (p cosϕ + q siϕ), где p, q многочлены степени d, то существует частное решение x = m ρ ( cosϕ + s siϕ), где, s многочлены степени d, а m кратность корня ρ (cosϕ + isiϕ) характеристического уравнения Примеры Решить линейное однородное разностное уравнение: а) x+ + 4x+ 5x = 0; б) x+ x+ + 4x = 0; x + 6x + x = 0 в)

15 Решение а ) Характеристическое уравнение λ + 4λ 5= 0 имеет корни: λ =, λ = 5 Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид ( 5) x = C + C 80 б) Характеристическое уравнение λ λ + 4= 0 имеет два комплексно сопряженных корня λ = + 3i иλ = 3i, которые π π могут быть записаны в виде λ = cos + isi 3 3, π π λ = cos isi, следовательно, общее решение имеет вид 3 3 π π x = Ccos + Csi 3 3 в) Характеристическое уравнение λ + 6λ + 9= 0 имеет единственный действительный кореньλ = 3 Следовательно, общим решением исходного уравнения является x = ( 3) ( C+ C) x Найти частное решение разностного уравнения: + + ( ) x x 3x = 5 ( π ) 4 π Решение Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: = π Постоянную находим подстановкой в заданное уравнение: ( ) ( ) ( ( π ) 4) 5 (( π ) 4 ), π π 3 π = 5 ( π ) 4 π, = = 5 Следовательно, x = 5 π частное решение исходного уравнения 3 Решить линейное неоднородное разностное уравнение: x + x 3x = 64 5 ; а) + + б) x+ x+ x в) = 49 3 ; x 8x + 6x = 9+ 3 Решение а) Будем искать частное решение в виде x 5 = Подставляя это выражение в наше уравнение, получим ( )5 = 64 5 Следовательно, =, а значит, x = 5

16 Решая характеристическое уравнение λ +λ 3 = 0, находим λ =, λ = 3 Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: x = 5 + С + С ( 3) б) Характеристическое уравнение λ 8λ + 64= 0 имеет корни π π λ = i =8cos + isi 3 3, π π λ = 4 4 3i= 8cos isi 3 3 Значит, общее решение x однородного уравнения записывается π π так: x = 8 Ccos + Csi Частное решение неоднородного 3 3 уравнения будем искать в виде x 3 = Постоянную находим подстановкой в исходное уравнение = 49, = Частное решение имеет вид x 3 = Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения: π π x = 8 Ccos + Csi в) Характеристическое уравнение λ 8λ + 6= 0 имеет корни λ = λ = 4 Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения x+ 8x+ + 6x = 0 записывается в виде x = C4 + C4 Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде x = + B Постоянные и B находим подста- новкой в заданное уравнение: 9 = 9 = 9+ ( 6+ 9B) = 9+ 3,, 6 + 9B = 3 B = Частное решение имеет вид x = + Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения x = C4 + C4 + + Упражнения 07 Решите линейное однородное разностное уравнение: а) x+ + x+ 3x = 0; б) 9x+ + 6x+ + x = 0; x 6x + 3x = 0 в) + + 8

17 08 Найдите частное решение уравнения: + а) x+ 7x+ + 0x = 8 3 ; б) x+ x+ 6x = ; в) x+ 4x+ + 4x = 5; г) x x 3x 4 π + + = 09 Признак арифметической прогрессии Проверьте, что решением задачи Коши является арифметическая x+ + x = x+ x = a, x = a+ d x = a+ d, =,, 8 прогрессия ( ) 0 Признак геометрической прогрессии Проверьте, что решением задачи Коши для положительных чисел x+ x = x+ x = b, x = bq bqявляется, геометрическая прогрессия x = a q, =,, Докажите, что задача Коши x (, ), + = f x+ x где f ( xy, ) заданная функция, x = a, x = a(начальные условия) имеет единственное решение Числа Фибоначчи Найдите общий член последовательности x, + = x+ + x x = x = () () 3 Докажите, что если x и x решения линейного неоднородного разностного уравнения (), то их разность x x является решением соответствующего однородного уравнения () () () 4 Докажите, что если определитель Казоратти двух последовательностей x и x отличен от 0, то они линейно независимы () () 4 Модели экономической динамики с дискретным временем На разностных уравнениях базируются некоторые модели экономической динамики с дискретным временем: модель Самуэльсона-Хикса, паутинная модель рынка, задача об определении текущей стоимости купонной облигации Модель Самуэльсона Хикса Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса предполагает прямую пропорциональность объемов инвестирования приросту национального дохода (принцип акселерации), те

18 ( ) I V X X, = где коэффициент V > 0 фактор акселерации, I величина инвестиций в период, X, X величины национального дохода соответственно в ( ) -ом и ( ) -ом периодах Предполагается также, что спрос на данном этапе C зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе X линейным образом C = ax + b Условие равенства спроса и предложения имеет вид X = I + C Тогда приходим к уравнению Хикса ( ) X = a+ V X VX + b Стационарная последовательность X = c = cos является решением уравнения Хикса только при c= b( a) ; множитель ( a) называется мультипликатором Кейнса (одномерный аналог матрицы полных затрат) Пример Рассмотреть уравнение Хикса при условии, что a = V = ; b = 5 Какова динамика роста национального дохода? Решение Уравнение принимает вид: X X + X = 5 Его частным 5 решением будет стационарное решение X = = 0 Корни ха- рактеристического уравнения λ λ + = 0 равны ± i π π λ, = = cos ± isi Таким образом, общим решением 4 4 соответствующего однородного уравнения является π π X = Ñ cos + Ñ si 4 Следовательно, общим решением уравнения будет X = 0 + Ñ cos + Ñ si 4 π π 4 Значит, 4 динамика роста носит колебательный характер с убывающей амплитудой 83

19 84 Упражнения 5 Проверьте, что если стационарная последовательность является решением уравнения Хикса, то c= b( a) 6 Найдите национальный доход X и мультипликатор Кейнса X = c ( a) для модели Самуэльсона-Хикса при данных значениях параметров av,, b : a) a = 0,5; V = 0,5; b = 8; б) a = 0,; V = 0,89; b = 8,9; в) a = 0,75; V = 0,5; b = 4 7 Исследуйте уравнение Хикса при a =, b = 0 В зависимости от фактора акселерации V опишите возможные типы динамики: а) V = 0,0; б) V = ; в) V = 3 Паутинная модель рынка Рассмотрим паутинную модель рынка При этом предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, те d = a bp (функция спроса), s = m+ p (функция предложения), где a, b, m, положительные действительные числа Таким образом, считая s = d, получаем линейное разностное уравнение a bp = m+ p первого порядка с постоянными коэффициентами Пример Найти последовательность цен p в паутинной модели рынка a bp = m+ p при a = ; b = 5; m = ; = 4; укажите равновесное состояние паутинной модели рынка, те стационарное решение p = p = cos уравнения и опишите динамику цен Решение Уравнение принимает вид 5p = + 4 p Его частным решением будет стационарное решение p = Корень характеристи- ческого уравнения 4λ + 5 = 0 равен λ = 0,8 Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является p = C( 0,8) Следовательно, общим решением уравнения будет

20 p = C( 0,8) + Значит, последовательность ( p ) приближается к равновесному состоянию Упражнения p = 8 Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка, те стационарное решение p = p = cos уравнения a bp = m+ p 9 Найдите последовательность цен p в паутинной модели рынка a bp = m+ p при следующих значениях параметров abm,,, : a) a = 5; b = 0,8; m = ; =,; б) a = 0; b = 5; m = ; = 4; в) a = 3; b = ; m = ; = 0 Найдите общее решение уравнения 9 p = 4+ 3p и опишите динамику цен Задача об определении текущей стоимости купонной облигации Пусть F номинальная стоимость купонной облигации (те денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения, совпадающего с концом последнего купонного периода), К величина купона (те денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода), X текущая стоимость облигации в конце -го купонного периода, k число купонных периодов (лет, кварталов, месяцев, если купон, те оговоренный процентный доход по облигации выплачивается регулярно в конце каждого года, или квартала, или месяца соответственно) на которое выпускается облигация Пусть также процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях (предполагается, что она неизменна в течение всего срока обращения облигации) Вышеперечисленные величины связаны между собой следующими соотношениями, представляющими собой задачу Коши: X+ K ( ) X, + = + Xk = F 85

21 Пример 3 Найти текущую стоимость X купонной облигации при F = 8; К = 0,75; k = 5; = 0,5 и определить ее динамику Решение Уравнение принимает вид X + + 0,75 =,5 X Его частным решением будет стационарное решение p = K/ = 3 текущая стоимость бесконечной ренты Корень характеристического уравнения λ,5 = 0 равен λ =,5 Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является X = C(,5) Следовательно, общим решением уравнения будет X = C(,5) + 3 Значит, последовательность X будет возрастающей, тк номинальная стоимость облигации выше стоимости бесконечной ренты Упражнения а) Найдите равновесное решение X = p = cos задачи ( ), Коши X+ K X + = + Xk = F б) Проверьте, что значение p совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать сумму K через каждый промежуток времени при процентной ставке Найдите текущую стоимость X купонной облигации при следующих значениях параметров F, Kk,, (F номинальная стоимость купонной облигации, К величина купона, k число купонных периодов, процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях): a) F = 8; К = 0,75; k = 5; = 0,5; б) F = 5; К = 0,8; k = 3; = 0, ( ) 3 Решите задачу Коши X + K X + = +, связанную с определением текущей стоимости X Xk = F купонной облигации При каких условиях последовательность ( X ) является возрастающей? 86


РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Глава 4 РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ 4.. Разностные уравнения Основная область применения разностных уравнений приближенное решение дифференциальных уравнений.

Подробнее

l =- с собственным вектором ( )

l =- с собственным вектором ( ) Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Лекция ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Лекция ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Лекция. 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 5... Описание сигналов и систем. Описание сигналов. Сигналы

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция. Функции натурального аргумента (последовательности). Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике Вып ТММ- Ю В Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 00 УДК 5+5 ББК Ч35 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С-Петерб техн ун-та М А Салль Кандидат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f ) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Формализация многоотраслевой экономики

Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Формализация многоотраслевой экономики Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ 4.1. Формализация многоотраслевой экономики Основные идеи моделирования многоотраслевой экономики в середине XX в. разработал лауреат Нобелевской премии, американский ученый

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Рекуррентные последовательности. Алгебра формальных рядов

Рекуррентные последовательности. Алгебра формальных рядов Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О А Монахова, Н А Осьминина Рекуррентные последовательности Алгебра формальных рядов Методические рекомендации для студентов специальностей

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян,

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства линейных неоднородных уравнений второго порядка.

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства линейных неоднородных уравнений второго порядка. ЛЕКЦИЯ N. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Системы Д.У. Применение дифференциальных уравнений в экономической динамике.. Линейные неоднородные

Подробнее

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода.

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

4. Алгебраические уравнения 1.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения 2

4. Алгебраические уравнения 1.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения 2 6-7 уч год 6, кл Математика Комплексные числа 4 Алгебраические уравнения Квадратные уравнения В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения ax bx c =, a, () с действительными коэффициентами

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента» www.resolveta.ru resolveta@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ ПРОГРЕССИИ Учебно-методическое пособие для школьников

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Динамическая модель коллективного поведения

Динамическая модель коллективного поведения Динамическая модель коллективного поведения Белолипецкий АА Вычислительный центр им ААДородницына ФИЦ ИУ РАН Некоторые свойства решений линейных однородных разностных уравнений В работах ПС Краснощекова

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее