15-е занятие. Вычисление объёмов с помощью тройных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "15-е занятие. Вычисление объёмов с помощью тройных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр"

Транскрипт

1 15-е занятие. Вычисление объёмов с помощью тройных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр К 1, 5) В повторном интеграле, заменив порядок интегрирования на указанный, расставить пределы интегрирования: 1 1 dy x +y f(x, y, z) dz. (x; z; y). Объём области G (G R ) выражается формулой dy dz. Найти объёмы тел, ограниченных следующими поверхностями Д 411 z x + y, z x + y, y x, y x. Д 41 z x + y, z xy, x + y 1, x, y. G Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объёмы, ограниченные поверхностями: Д 417 Найти объём тела ограниченного следующими поверхностями (перейти к цилиндрическим или сферическим координатам): x + y + z az, x + y z. В некоторых примерах удобно пользоваться обобщёнными сферическими координатами ρ, ϕ, ψ: При этом x aρ cos α ϕ cos β ψ, y bρ sin α ϕ cos β ψ, z cρ sin β ψ. (ρ, ϕ, ψ) αβabcρ cos α 1 ϕ sin α 1 ϕ cos β 1 ψ sin β 1 ψ. При помощи подходящей замены переменных вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями (параметры предполагаются положительными): ( x Д 4118 a + y ) ( z ) + 1 (x, y, z ). b c Д 41 x + z a, x + z b, x y z (x > ).

2 Домашнее задание 15 Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр К 1, 1) В повторном интеграле, заменив порядок интегрирования на указанный, расставить пределы интегрирования: a a a x a x dy h f(x, y, z) dz. (z, y, x). Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями (параметры предполагаются положительными): Д 41 x + z a, x + y ±a, x y ±a. Д 414 az x + y, z x + y. Д 416 z 6 x y, z x + y. Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объёмы, ограниченные поверхностями: Д 418 (x + y + z ) a (x + y z ). Д 411 x + y + z a, x + y + z b, x + y z (z, < a < b). При помощи подходящей замены переменных вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями (параметры предполагаются положительными): ( ) x Д 411 a + y b + z x c a + y b. x y z Д a + b + 1 (x, y, z ). c Д 4119 z x + y, z (x + y ), xy a, xy a, x y, x y (x >, y > ).

3 Конспект 15-го занятия. Вычисление объёмов с помощью тройных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр К 1, 5) В повторном интеграле, заменив порядок интегрирования на указанный, расставить пределы интегрирования: 1 1 dy x +y f(x, y, z) dz. (x; z; y). Решение. Область интегрирования задана следующей системой неравенств: x 1, y 1, z x + y. Если число x фиксировано, то для z и y получаем систему неравенств y 1, z x + y. Выбрав какое-нибудь число x из [, 1], изобразим на рисунке соответствующую область изменения y и z: z x + 1 x 1 y Из рисунка понятно, что если z [, x ], то y [, 1]. Если же z [x, x + 1], то y [ z x, 1]. 1 x 1 1 x +1 1 Ответ: dz f(x, y, z) dy + dz f(x, y, z) dy. Д 411 x z x Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: z x + y, z x + y, y x, y x.

4 Решение. Очевидно, при любых значениях x и y выполняется неравенство x + y x + y, поэтому при фиксированных x и y координата z изменяется от x + y до x + y. Сделав рисунок в плоскости Oxy, легко понять, что x изменяется от до 1, и для каждого значения x координата y изменяется от x до x. Ответ: Д 41 1 x dy x 1 ( 4x 5. x +y 1 x 1 dz (x + y )dy x +y x x4 x6 ) (x y + y x x ) Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: z x + y, z xy, x + y 1, x, y. Решение. Линии x + y 1, x, y ограничивают треугольник в плоскости Oxy. Этот треугольник можно описать следующими неравенствами: x 1, y 1 x. Заметим, что при этом xy y x + y. Значит, для любой пары (x, y) координата z изменяется от xy до x + y. 1 1 x dy x+y dz 1 1 x (x + y xy) dy 1 xy ) (xy + (1 x) y 1 x 1 (x x + ( x x ) (1 x) ) (1 x) Ответ: 7 4.

5 Д 417 Найти объём тела ограниченного следующими поверхностями (перейти к цилиндрическим или сферическим координатам): x + y + z az, x + y z. Решение. Перейдём к сферическим координатам: x ρ cos ϕ cos ψ, y ρ sin ϕ cos ψ, z ρ sin ψ, (ρ, ϕ, ψ) ρ cos ψ. Условия, определяющие тело, принимают следующий вид: ρ a sin ψ, cos ψ sin ψ. Из первого условия следует, что нужно рассматривать ψ. Теперь из второго следует, что π 4 ψ π 4. Можно ещё нарисовать разрез тела плоскостью Oxz. π dϕ 16πa 16πa π/ π/ dψ 1 asin ψ ρ cos ψ dρ π [ sin ψ cos ψ dψ t dt 4πa / π/ 8a sin ψ t sin ψ dt cos ψ dψ ( 1 1 ) πa. 4 ] cos ψ dψ Ответ: πa. В некоторых примерах удобно пользоваться обобщёнными сферическими координатами ρ, ϕ, ψ: При этом x aρ cos α ϕ cos β ψ, y bρ sin α ϕ cos β ψ, z cρ sin β ψ. (ρ, ϕ, ψ) αβabcρ cos α 1 ϕ sin α 1 ϕ cos β 1 ψ sin β 1 ψ.

6 ( x Д 4118 a + y ) ( z ) + 1 (x, y, z ). b c Решение. Здесь удобно перейти к обобщённым сферическим координатам: x a cos ϕ cos ψ, y b sin ϕ cos ψ, z c sin ψ. Якобиан равен (ρ, ϕ, ψ) abcρ cos ϕ cos ψ. В новых координатах уравнение границы имеет вид ρ 1. π/ dϕ π/ dψ 1 abcρ cos ϕ cos ψ dρ abc π/ cos ϕ dϕ π/ cos ψ dψ 1 ρ dρ abc. Ответ: abc. Д 41 x + z a, x + z b, x y z (x > ). Решение. Здесь удобно сделать цилиндрическую замену, заменив x и z на полярные координаты: x ρ cos ϕ, z ρ sin ϕ, y y, (x, z, y) (ρ, ϕ, y) ρ. Из условия x > следует, что ϕ ( π/, π/). В новых координатах уравнения границ принимают вид ρ a, ρ b и y ρ cos ϕ. Из условия cos ϕ получаем ϕ [, ]. Воспользуемся симметрией по y и по ϕ: 4 b dϕ dρ ρ cos ϕ ρ dy 4 b dϕ ρ cos ϕ dρ 4 a ) ( b a cos ϕ dϕ. a Оставшийся интеграл можно выразить через интегралы Эйлера (B- или Γ- функции).

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4.

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4. 12-е занятие. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр Повторение A1 Перейти к полярным координатам ρ и ϕ и расставить пределы интегрирования в том и другом

Подробнее

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2 13-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение Д 41 Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: Тройные интегралы A1 x a + y b + z c 1, x a + y b z c

Подробнее

A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке:

A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке: 14-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке:

Подробнее

1.3. Занятие Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах

1.3. Занятие Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах 1.3. Занятие 3 1.3.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах Пусть пространственная область, D ее проекция на плоскость Oxy. Область называется -правильной, если любая вертикальная прямая

Подробнее

Вычисление среднего значения функции в области. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Вычисление среднего значения функции в области. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Вычисление среднего значения функции в области 1 Формулы для решения задач Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Пусть область обобщённый криволинейный сектор (рис 1), ограниченный линиями,

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

19. Тройной интеграл

19. Тройной интеграл 19. Тройной интеграл 19.1. Пусть f непрерывная функция трех переменных (x, y, z), заданная на ограниченной замкнутой области R 3. Тройной интеграл создается аналогично двойному: берут разбиение области

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы Двойные интегралы Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Сведите двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами, если: G а) G треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4); б)

Подробнее

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному

Кратные интегралы Сведение двойного интеграла к повторному Глава. Кратные интегралы.. Занятие... Сведение двойного интеграла к повторному При вычислении двойных интегралов следует различать два случая. () Первый случай. Область интегрирования ограничена слева

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

22. Двойной интеграл

22. Двойной интеграл . Двойной интеграл.1. Мы будем заниматься приобретением навыков по нахождению двойных, а затем и тройных интегралов. Нас не будет интересовать общность теоретической поддержки, за этим можно обратиться

Подробнее

18. Двойной интеграл

18. Двойной интеграл 8. Двойной интеграл 8.. Мы будем заниматься приобретением навыков по нахождению двойных, а затем и тройных интегралов. Нас не будет интересовать общность теоретической поддержки, за этим можно обратиться

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Математический анализ Кратные интегралы Краткий конспект лекций Составитель В.А. Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Экзаменационный билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.. Вычисление двойного интеграла. 3. Найти общее решение уравнения y " 5y ' + y = 0. 4. Вычислить y d dy dz. 0 0 y Экзаменационный

Подробнее

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции

1. Определения и формулы для решения задач. Пусть D проекция G на плоскость Oхy, а функции Выражение массы тела через тройной интеграл в цилиндрических координатах Определения и формулы для решения задач Определение Цилиндрическим брусом ориентированным по оси O рис Называется тело G ограниченное

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1 Кратные интегралы. Определение двойного интеграла Пусть дана на плоскости область, ограниченная замкнутой линией L, не имеющей самопересечений, и непрерывная в функция z = fx, y). Рассмотрим измельчение

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Подробнее

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1 Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Подробнее

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г.

Математический анализ Интегрирование ФНП. Тройной интеграл. Лектор Янущик О.В г. Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Янущик О.В. 01 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть замкнутая ограниченная область

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1

Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 Занятие 8 Приложения определенного интеграла к геометрии - 1 8.1 Вычисление площадей плоских фигур 1. Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геометрического смысла определенного интеграла следует,

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D)

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D) БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить ( D) + acctg d, где ) +, + 9,, = (D область,

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее

Двойные и тройные интегралы

Двойные и тройные интегралы Кафедра медицинской и биологической физики Дифференциальное и интегральное исчисление Тема лекции: Двойные и тройные интегралы Лекция 1 Для студентов 1 курса обучающихся по специальности «Медицинская кибернетика»

Подробнее

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy,

y x dxdy, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его xe xy dxdy, ПРИМЕР.4.. Вычислить интеграл где D {,: e,4 6}. D dd, Записывая интеграл в виде повторного, вычисляем его e 6 dd e d d 6 d D Вычислить интеграл 4 D 4 e e dd, где D {,:, }. Если записать интеграл в виде

Подробнее

Основы математического анализа

Основы математического анализа Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов Преподаватель может разнообразить стандартные задачи Задание 6 (сдать к 6 марта) 1. Переменные связаны уравнением F (x, y, z) = c, где c

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания I. В первом задании предлагаетcя изменить порядок интегрирования, нариcовать облаcть интегрирования и вычиcлить двойной интеграл.

Подробнее

3.1 Необходимые сведения из теории

3.1 Необходимые сведения из теории Глава 3 Формула Грина 3.1 Необходимые сведения из теории Формула Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру, расположенному в плоскости (x, y), с двойным интегралом по плоской области,

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения)

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

Криволинейный интеграл 1-го рода

Криволинейный интеграл 1-го рода Криволинейный интеграл -го рода ) Вычислить ( x + y) dl, где - контур треугольника с вершинами O( ; ), A( ; ), ( ; ) B. Здесь имеем дело с криволинейным интегралом -го рода. Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

ЗАДАЧИ ОБЩЕГО ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (II семестр)

ЗАДАЧИ ОБЩЕГО ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (II семестр) ЗАДАЧИ ОБЩЕГО ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (II семестр) Функции, предел, непрерывность Нарисуйте семейство линий уровня функции ) = ) = u, = + + + 4 ) = + Исследуйте функцию на непрерывность по каждой

Подробнее

Кратные интегралы. Методическое пособие

Кратные интегралы. Методическое пособие Кратные интегралы Методическое пособие В пособии изложены теоретические сведения, необходимые для решения задач по теме "Кратные интегралы", приведены примеры решения задач, снабженные методическими указаниями,

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

МГУ им М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, II СЕМЕСТР.

МГУ им М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, II СЕМЕСТР. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет Кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Оглавление Глава Кратные интегралы Двойной интеграл Вычисление объема цилиндрического тела Понятие двойного интеграла 3 Условия интегрируемости

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро   МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию Курсовая работа на тему «Неопределенные и определенные интегралы» Часть Вычисление интегралов Найти неопределённые интегралы 5 + d ; + = + = + = + + = 5 5 5 /5 d d d d /5+ 6/5 ( + ) ( + ) 5 6 5 = + C =

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 22-е занятие. Дифференцирование СИЗП. Равномерная сходимость НИЗП Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр ψ(α) d f(, α) = f(ψ(α), α)ψ (α) f(ϕ(α), α)ϕ (α) + dα ϕ(α) ψ(α) ϕ(α) f α(, α). 378а Найти F (α):

Подробнее

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что Задание Найти неопределённые интегралы Образец выполнения контрольной работы ln ( 8 ) + d 8 d Решение Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что ln( 8 ) 8 C 8 = 8 + (модуль под знаком

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

Экзаменационные вопросы по математическому анализу, ФЛА, весна 2007г.

Экзаменационные вопросы по математическому анализу, ФЛА, весна 2007г. Экзаменационные вопросы по математическому анализу, ФЛА, весна 2007г. Дифференциальные уравнения 1. Запишите общий вид дифференциального уравнения. Что такое интегральная кривая? Как определить порядок

Подробнее

МГУ им М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, II СЕМЕСТР.

МГУ им М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, II СЕМЕСТР. ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки множества точек на плоскости {( ): + < } π π { cos sin n N n

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных Определение интегралов двойного, тройного, криволинейного по длине дуги (первого рода), поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел.

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. ~ ~ Кратные интегралы Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. Дано: цилиндрическое тело: верхнее основание поверхность : нижнее основание плоскость Прхоу боковая поверхность

Подробнее

( V) ( Q) i просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k. Получаем неравенства. k) ( ) и просуммируем по i ( )

( V) ( Q) i просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k. Получаем неравенства. k) ( ) и просуммируем по i ( ) 9 Положим m = f M = f. inf { }, { } i j k sup ( Vi, j, k) i, j, k,, Тогда в силу свойств интеграла по фигуре имеем Vi, j, k mi, j, kδiδk f dd M,, Δ Δ ( Vi, j, k) i j k i k для всех значений из [i, i+].

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики Н.А. Кондратьева О.Г. Вишневская Н.К. Прихач МАТЕМАТИКА Методическое пособие

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ). МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

19-е занятие. Вычисление действительных интегралов с помощью вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

19-е занятие. Вычисление действительных интегралов с помощью вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 9-е занятие. Вычисление действительных интегралов с помощью вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Найти следующие тригонометрические интегралы с помощью вычетов: A π + cos ϕ. A π 3

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции.

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки

Подробнее

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем.

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем. стр. 1 из 13 1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Вспомнить определения величин (z), (z), z, z, где

Подробнее

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,,6, БМТ, Лекция 7 Определенный интеграл

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Вычисление ротора векторного поля. Формула Стокса

Вычисление ротора векторного поля. Формула Стокса ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Вычисление ротора векторного поля Формула Стокса Криволинейный интеграл по замкнутому от скалярного произведения вектора a на вектор dr, касательный к контуру, называется циркуляцией

Подробнее

1 dx. x 2 sin xydy. Замечание. Использованы характерные обозначения для полярных координат, но на вычислении интеграла это никак не отражается.

1 dx. x 2 sin xydy. Замечание. Использованы характерные обозначения для полярных координат, но на вычислении интеграла это никак не отражается. Целью данного пособия является иллюстрация некоторых простейших методов, позволяющих вычислять повторные, двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы. Кроме этого проиллюстрировано выполнение

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

11.1 Двойной интеграл и его свойства

11.1 Двойной интеграл и его свойства Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Двойной интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц.дуниной Е.Б.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Интегрирование функций нескольких переменных (сборник задач) 015 0 . Двойные интегралы. Физические и геометрические приложения.1. Найти массу пластины, ограниченной заданными

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Задание 1. Рис. 1: К задаче 1. F = x 2 i + y 2 j + z 2 k. z = R2 x 2 y 2 z = 0 Решение: Преобразуем функцию, которая задает поверхность к виду:

Задание 1. Рис. 1: К задаче 1. F = x 2 i + y 2 j + z 2 k. z = R2 x 2 y 2 z = 0 Решение: Преобразуем функцию, которая задает поверхность к виду: Задание.. Вычислить поток Π векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали, образующей острый угол с осью OZ. Вычислить по теореме Гаусса-Остроградского поток Π векторного поля F через внешнюю

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 2 Новосибирск,

Подробнее

Перечень вопросов для промежуточной аттестации по диссциплине «Математика» 3 семестр

Перечень вопросов для промежуточной аттестации по диссциплине «Математика» 3 семестр Перечень вопросов для промежуточной аттестации по диссциплине «Математика» семестр «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля». Определение двойного интеграла, теорема существования,

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Математический анализ» 1 СЕМЕСТР

Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Математический анализ» 1 СЕМЕСТР Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Математический анализ» 1 СЕМЕСТР В 1 семестре предусмотрены три контрольные работы по темам

Подробнее

Лекция 1. Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы

Лекция 1. Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы Лекция 1 Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы 1. Основные понятия. Консервативной системой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую дифференциальным

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3

ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ 3 ИНСТРУКЦИЯ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл. заполнить первую строку табл. затем выписать соответствующие вашему номеру варианта данные из табл.. Например

Подробнее

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. правлении оси Оу. Аналогично Рассмотрим область D, ограниченную линиями

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет А. Ю. ДАНЬШИН КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Казань 2010 УДК 517.3 Публикуется по решению Редакционно-издательского

Подробнее

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии АВ Аристархова, НГ Бабаева Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный

Подробнее