В. А. Кот 11 ПРЯМОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ПРОСТРАНСТВА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "В. А. Кот 11 ПРЯМОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ПРОСТРАНСТВА"

Транскрипт

1 8 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 ISSN 54X (pri) УДК 56.. Поступило в редакцию..5 Received..5 В. А. Кот Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, Минск, Республика Беларусь ПРЯМОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ПРОСТРАНСТВА (Представлено академиком О. Г. Пенязьковым) Впервые на основе прямого интегрирования обобщенного уравнения переноса в полуограниченные пространства получены последовательности из интегральных тождественных равенств, которые учитывают особенности дифференциального уравнения и граничные условия. Это позволило на основе степенных полиномов с экспоненциальным сомножителем построить с высокой сходимостью приближенные решения. Погрешность для широкой области параметров составляет сотые-тысячные доли процента. Ключевые слова: уравнение теплопроводности, интегральные преобразования, тождественные равенства, приближенное решение. V. A. Ko A. V. Luikov Hea ad Mass Trasfer Isiue of he Naioal Acade of Scieces of Belarus, Misk, Republic of Belarus DIRECT INTEGRATION OF THE HEAT CONDUCTION EQUATION FOR A SEMI-BOUNDED SPACE (Couicaed b O. G. Peazkov) O he basis of direc iegraio of he geeralized equaio of hea rasfer i a sei-bouded space, he sequeces of ideical iegral equaliies defiig he feaures of a differeial equaio ad boudar codiios were obaied for he firs ie. O he basis of power poloials wih a expoeial facor, his ade i possible o cosruc approxiae soluios wih high covergece. The error i deeriig paraeers over a wide rage is hudredhs ad housadhs of a perce. Kewords: hea-coducio equaio, iegral rasforaio, ideical equaliies, approxiae soluio, covergece. Введение. Построение аналитических решений для нестационарного уравнения теплопроводности в полуограниченной области является одним из важнейших вопросов теории теплопроводности [ 7]. Применяемые для данных задач интегральные преобразования в полубесконечных пределах описываются общим выражением T ( ξ ) = T ( ) K(, ξ) d, ( a ), где T ( ξ ) изображение функции; K(, ξ ) ядро интегрального преобразования. В качестве ядер используются разные функции: степенная, тригонометрическая, функции Бесселя, полиномы Лежандра, функции Вебера и Макдональда и др. [8 ]. В результате преобразования исключается из дифференциального уравнения в частных производных одна из независимых переменных. В итоге проблема сводится к задаче обратного преобразования, т. е. к решению интегрального уравнения относительно оригинала T(, ). В большинстве практически важных случаев это обращение может быть представлено интегралом симметричного вида T( ξ ) = T(, ξ) R (, ξ) dξ, где Rξ (, ) надлежаще выбранная функция (ядро обратного преобразования), определенная в области a <, a ξ<. В работе [7] простроены интегральные преобразования для нахождения аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности для обобщенного уравнения переноса в бесконечной области, ограниченной изнутри плоской, цилиндрической или сферической поверхностями. В данном случае речь идет об уравнении T T T T = + = a () в области G = { > }, >, на границе которой задано одно из граничных условий: температурный нагрев Кот В. А., 7. a a

2 Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus. 7. Vol. 6, o., pp тепловой нагрев нагрев средой а также условия на бесконечности В виде начального условия примем T (, ) = γ ( ), >, () T(, ) = γ ( ), >, l T(, ) l = h γ ( ) T(, ), >, = T(, ) T(, ) = T; =,. T(, ) = T,. (6) При = область ограничена изнутри цилиндрической поверхностью, при = сферической, при = плоской. Как отмечается в [7], развиваемый подход допускает справа в () наличие функции источника тепла Q (, ) /( cρ ), неоднородного начального условия T(, ) =Φ( ) ( ), а также зависимостей коэффициентов температуро- и теплопроводности от времени a= a ( ), l=l ( ), где a ( ), l ( ) неотрицательные непрерывные функции в области [, ). Полученные решения записываются (в случае цилиндрической симметрии) в виде несобственных интегралов (см. ниже), что крайне затрудняет их практическое использование. Постановка задачи и ее решение. В настоящем сообщении осуществлено прямое интегрирование уравнения теплопроводности в полубесконечной области [, ), что свело задачу к последовательности из интегральных тождественных равенств. Решения, удовлетворяющие данным тождествам, сходятся, по всей видимости, в предельном смысле к точному решению. По крайней мере, проведенный численный анализ сходимости приближенных решений показал весьма обнадеживающий результат. Строгое доказательство сходимости решения выходит за рамки представленной работы и может явиться ее дальнейшим развитием. Придадим задаче безразмерный вид с помощью относительных величин L T T =, R=, =, τ=, T =. L L τ a T Условия () (4) объединим обобщенным граничным условием. Тогда вместо () (6), положив = L получим T T =,, > >, (7), T (, ) α +b T (, ) =γ ( ), >, T(, ) =,, T(, ) T(, ) = ; =,, при этом α +b >, а для функции γ () имеем: γ () = ( γ() T)/ T, γ () = γ() L/( l T), γ () = ( γ() T)/ T для граничных условий () (4) соответственно. Введем в рассмотрение интегральный оператор d () d () (4) (5) (8)

3 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 и применим его к уравнению (7). Для левой части имеем T d = ( ( T )). d Правая часть (7) преобразуется следующим образом: T d T T d d T. = = = Отсюда получаем уравнение (7), но уже записанное в полной интегральной форме: D ( ( T)) = T, (9) d где D дифференциальный оператор. Уравнение (9) определяет температуру в любой d точке рассматриваемой области в виде производной по времени от двойного интеграла d d Td. d Потребовав абсолютной интегрируемости функции T(, ) на числовой прямой T (, ) d <, введем оператор d () d и применим его к уравнению (). Тогда D ( ( T )) = T. = () Проинтегрируем () по. С учетом нулевого начального условия имеем Применив оператор () d к уравнению (7), запишем или в операторной форме ( T ) = T (, ) d. () d T d T T d T = = = = d T T T d, = = T D ( ( T)) =, () где () d интегральный оператор. При уравнение () принимает вид T D ( ( T)) =, () где () d. Интегрирование () по дает интегральное тождество Заменим в граничном условии (8) T (, ) и соответственно (, ) ( T ) T d. (4) T (, ) левыми частями уравнений () и () α D ( ( T)) +b D ( ( T)) = D ( α ( T) +b ( T)) =γ ( ), >. (5) Уравнение (5) можно рассматривать как модифицированное граничное условие на поверхности =, записанное в интегральной форме. Оно учитывает не только заданное условие на поверх-

4 Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus. 7. Vol. 6, o., pp. 8 8 ности (8), но и дифференциальное уравнение (7). Проинтегрировав (5) по, приходим к равенству α ( T) +b ( T) γ () d =ϒ (). (6) Теперь построим интегральные тождества, подобные (6), и содержащие в правой части -кратный интеграл ( ) ϒ ( ) =... γ( ) d, +. Введем в рассмотрение интегральные операторы ( ) = d ( ), ( )... =... ( ) d. Применим операторы и к уравнению (9): = = = ( D ( ( T))) D ( ( T)) D ( ( T)) ( T), = = = ( D ( ( T))) D ( ( T)) D ( ( T)) ( T). Исключив в (7) правые части с помощью соотношений () и (4), приходим к уравнениям = = T(, ) D( ( T)) T(, ) d, D ( ( T)) d. (8) Проинтегрируем по граничное условие (8) и подставим в него левые части уравнений (8): T (, ) α d +b T (, ) d = γ ( ) d, >, α D ( ( T)) +b D ( ( T)) = D ( α ( T) +b ( T)) = γ ( ) d =ϒ ( ), >. (9) Проинтегрировав уравнение (9) по, приходим к тождественному равенству α ( T) +b ( T) ϒ ( ). Далее применяя к уравнению (9) операторы и получаем = = = = ( D ( ( T))) D ( ( T)) D ( ( T)) D ( ( T)) ( T), = = = = ( D ( ( T))) D ( ( T)) D ( ( T)) D ( ( T)) ( T). Проинтегрировав оба уравнения (), приходим к двум интегральным тождествам:, ( ) () () T T d T d (, ) ( ) (, ), T. () Теперь дважды проинтегрируем по граничное условие (8) и подставим в него левые части уравнений (): T (, ) () () () α d +b T (, ) d = γ ( ) d, >, (7) ()

5 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 α ( T) +b ( T) ϒ ( ). С помощью операторов и аналогично получаем тождественные равенства (, ) ( ) (, ), ( ) T, В итоге имеем три последовательности: () () T T d T d α ( T) +b ( T) ϒ ( ). ( ) T(, ) ( ) ( T)... T(, ) d, ( T)... d, () { α ( T) +b ( T) ϒ ( )}, +, () последняя из которых является (при ) альтернативным интегральным представлением уравнения (7) в третьей краевой задаче. На основании () получим следующие интегральные представления уравнения теплопроводности (7) для первой и второй краевых задач соот вет ственно: ( ) ( ) ( T)... γ( ) d, ( T)... γ( ) d, +. (4) Поскольку последовательности () (4) эквивалентны уравнению (7) с соответствующими граничными условиями, то можно предположить, что использование входящих в них интегральных тождественных равенств совместно с граничными условиями явится решением краевой задачи. Придадим интегральному оператору альтернативный вид, произведя его многократное интегрирование по частям. Так, для оператора имеем d d d () d () d () d = = d d d () () d () d. В итоге приходим к последовательности из операторов для первой краевой задачи: или в общем виде (I) () d (), (I) (4) d (),... () d, (I)... (I) ()d (5) (6)..., (7) где () d. В частности, для второй краевой задачи в отношении пространства со сферической внутренней поверхностью из (), (5), (6) приходим к последовательности

6 Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus. 7. Vol. 6, o., pp. 8 8 ( ) ( )! ( ) (8) T(, ) d... γ( ) d, +. Действуя аналогичным образом и произведя многократное интегрирование по частям правой части второй последовательности (), получим следующие операторы для второй краевой задачи: или в общем виде (II) (II) ( II) () d, () () d d... ( )... () dd (II) (I),, (9) () где () d. Отсюда, основываясь на (4), (9), (), для рассмотренного выше случая пространства, ограниченного изнутри сферической поверхностью, располагаем такой последовательностью из тождественных равенств: ( ) ( )! ( ) ( + ) T(, ) d... γ ( ) d, +. Аналогично на основании (8), (7), () приходим к последовательности из интегральных тождественных равенств в отношении третьей краевой задачи (III) ( T ) ϒ ( ), (III) (I) (III) (III) где, α+b () d d. В частности, для пространства со сферической полостью можно записать ( ) ( ) b+ ( α+b ) ( ) d... γ () d, ( )! Рассмотрим иллюстративный пример. Точное решение задачи для второй краевой задачи при T (, ) / r = ( = r) для пространства, ограниченного изнутри сферической поверхностью, имеет вид [] r r T ( r, ) = erfc exp( + )erfc. r + Представим искомый приближенный температурный профиль следующим образом: ( r ) N j T(, ) = exp a j ( ) ( r ), ( k > ). k () r j= +. ()

7 4 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 Тогда задача сводится к определению коэффициентов a j ( ), j =, N, (примем k = ) на основе решения системы из N + линейных алгебраических уравнений из последовательности (8) и граничного условия T (, ) / r = : N + j ( r ) ( )! a ( ) ( r ) ( + r) exp dr =, =, N; a a =.! j j= На рис., а представлены температурные профили, полученные на основе точного решения () и приближенного () при N = 6 и k =. Как видим, рассчитанные кривые полностью сливаются. Рис., b отражает отклонение приближенного решения от точного в момент времени =, при разных N. Каждые добавляемые две степени полинома дают существенное (почти на порядок) повышение точности аппроксимационного решения, что свидетельствует об очень хорошей сходимости. Дополнительным подтверждением отмеченной высокой сходимости решения являются рассчитанные данные среднеквадратичного отклонения ε i = ( T i T ) и соответствующих параметров p i + (i порядок приближения) (табл. ). Следует отметить, что хорошую сходимость приближенных решений в численных и численно-аналитических методах характеризует p i +. В нашем случае, судя по гораздо более высоким значениям p i +, можно говорить о сходимости с очень высокой скоростью. Представляет также интерес определение температуры поверхности T(, ). В табл. приведены данные для T(, =,), а также отклонения Ei = Ti(, ) T (, ) и относительная ошибка E = E / T (, ) % в зависимости от степени полинома N. Сходимость решения сохраняется на i i Рис.. Температурные профили в пространстве со сферической полостью при действии на поверхности единичного теплового потока, полученные на основе точного решения (сплошные кривые) и приближенного при N = 6 (пунктирные кривые) (а); отклонения температурных профилей от точного решения для разных степеней полинома в момент времени =, (b) Fig.. Teperaure profiles i he space wih a spherical cavi a a cosa (uique) surface eperaure obaied o he basis of he exac soluio (solid curves) ad he approxiae soluio a N = 6 (doed curves) (а); eperaure profile deviaios fro he exac soluio a differe poloial powers a he ie oe =. (b) Т а б л и ц а. Сходимость приближенного решения ( =,) в зависимости от степени N T a b l e. Covergece of he exac soluio ( =.) depedig o he power N Параметр Paraeer Степень полинома, N Poloial power, N ε = i ( T i T ) 9,7 4,6 4,4 5,74 6 p = l( ε / ε ) / l( N / N ) 5, 7,6 9,9 p i+ i i+ i+ i = l( ε / ε ) / l( N / 4) 5, 6,9 6,9 i+ 4 i+ i+

8 Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus. 7. Vol. 6, o., pp Т а б л и ц а. Сходимость приближенного решения для температуры поверхности ( =,) T a b l e. Covergece of he approxiae soluio for he surface eperaure ( =.) Параметр Paraeer Степень полинома, N Poloial power, N T (, =,) = exp( ) erfc( ) =,,764 T(, =,),79565,76885,7658,7646 Ei,4 4,64 4 5,85 5 4,66 6 E i, %,7,68,,7 высоком уровне. При N = относительная ошибка составляет тысячные доли процента, что позволяет считать данное решение условно точным. Рассмотрим пример пространства с цилиндрической полостью ( = ). Точные решения при единичном тепловом потоке либо фиксированной единичной температуре имеют вид [4; 6] Y ( sr) J () s J ( sr) Y ()exp( s s ) T = ds, π + s J () s Y () s () Y ( sr) J () s J ( sr) Y () s exp( s ) T = ds, π (4) + J () s Y () s s где J, J и Y, Y функции Бесселя и Неймана нулевого и первого порядка соответственно. Решения (), (4) представлены в виде несобственных интегралов, подынтегральные выражения которых сложны и по существу представляют собой дельта-функцию. Поэтому расчеты по формулам (), (4) (особенно производных) дают существенные ошибки []. В случае переменных коэффициентов либо в условиях более сложного теплообмена решение задачи принимает чрезвычайно громоздкий и трудный для анализа вид. В виде иллюстративного примера получим приближенное решение задачи для граничного условия первого рода T(, ) =, задав температурный профиль в виде полинома третьей степени. Принимая во внимание, что температурное поле в стационарном режиме характеризуется наличием функции l r, представляется целесообразным дополнительно ввести в полином функцию l r. Кроме того, анализ приближенных решений для малых времен [] дает основание ввести дополнительный общий сомножитель / r. Таким образом, решение ищем в виде ( r ) 8 Tr (, ) = l r+ a j ( )( r ) e. (5) j= На основе (4) (7), (5) приходим к системе из трех линейных алгебраических уравнений относительно a j ( ), что в итоге дает аналитическое приближенное решение задачи. Так, для момента времени =,5 запишем решение в виде Tr (,,5) (,7556,574,697,5 l )exp( ( ) = + r r r r r / ). r На рис., а приведены рассчитанные на основе (), (5) температурные профили для разных моментов времени. Отметим высокую точность аппроксимационного решения (даже при N = ). Полученные кривые практически полностью сливаются с кривыми точного (численного) решения. Это находит подтверждение в величинах отклонений приближенного решения от точного (рис., b), которые составляют тысячные доли.

9 6 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 Рис.. Температурные профили в пространстве с цилиндрической полостью при постоянной (единичной) температуре поверхности, полученные на основе точного решения (сплошные кривые) и приближенного при N = (пунктирные кривые) (а); отклонение температурного профиля от точного решения в момент времени =,5 (b) Fig.. Teperaure profiles i he space wih a clidrical cavi a a cosa (uique) surface eperaure obaied o he basis of he exac soluio (solid curves) ad he approxiae soluio a N = (doed curves) (а); deviaio of he eperaure profile fro he exac soluio a he ie oe =.5 (b) Рис.. Температурные профили в пространстве с цилиндрической полостью при постоянной (единичной) плотности теплового потока на поверхности, полученные на основе точного решения (сплошные кривые) и приближенного при N = 5 (пунктирные кривые) (а); отклонение температурного профиля от точного решения в момент времени = в решениях с разной степенью полинома (b) Fig.. Teperaure profiles i he space wih a clidrical cavi a a cosa (uique) surface eperaure obaied o he basis of he exac soluio (solid curves) ad he approxiae soluio a N = 5 (doed curves) (а); deviaio of he eperaure profile fro he exac soluio a he ie oe = i he soluios wih differe poloial powers (b) Рассмотрим вторую краевую задачу с единичным тепловым потоком на поверхности цилиндрической полости: =. Точное решение описывается выражением (4). Запишем при- T(, ) r ближенное решение задачи в виде урезанного степенного ряда N ( r ) Tr (, ) = a j ( )( r ) l r exp, r j= (6) что сводит задачу к нахождению лишь полиномиальных коэффициентов a j ( ), j =, N. Из граничного условия на поверхности с учетом (6) получаем первое уравнение: a a =. Остальные N вытекают из полученной выше последовательности () для =. Запишем в виде примера решение задачи для полинома степени N = 5 в момент времени = : exp( ( ) )(,798,99( ),6( ),4( ) Tr (, ) = r / + r r + r r 4 5,9( r ) +,8( r ) l r).

10 Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus. 7. Vol. 6, o., pp Знакопеременные, быстро убывающие полиномиальные коэффициенты обеспечивают быструю сходимость. Рис., а отражает практически полное слияние кривых приближенного решения и точного (численного). С увеличением степени полинома решение стремится к точному (рис., b). Заключение. Впервые на основе прямого интегрирования обобщенного уравнения переноса в бесконечной области, ограниченной изнутри плоской, цилиндрической или сферической поверхностями, получены последовательности из интегральных тождественных равенств, учитывающие особенности дифференциального уравнения и граничные условия. Это дало возможность на основе степенных полиномов с общим экспоненциальным сомножителем построить приближенные решения, максимально приближенные к точным, что нашло отражение в высокой скорости сходимости. Построенные решения нестационарной задачи теплопроводности в пространстве, ограниченном изнутри плоской, цилиндрической либо сферической поверхностями, по существу являются точными, поскольку погрешность для широкой области параметров составляет сотые тысячные доли процента. С увеличением степени полинома отклонение от точного (численного) решения стремится к нулю. Список использованных источников. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М., с.. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / В. А. Лыков. М., с.. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов. М.,. 48 с. 4. Carslow, H. S. Coducio of Hea i Solids / H. S. Carslow, J. C. Jaeger. Oxford, UK: Oxford Uiversi Press, p. 5. Özisic, M. N. Hea Coducio / M. N. Özisic. New York: Joh Wile & Sos, Ic., p. 6. Баренблатт, Г. И. О некоторых краевых задачах для уравнения турбулентной теплопроводности / Г. И. Баренблатт, Б. М. Левитан // Изв. АН СССР. Сер. матем С Карташов, Э. М. Об одном классе интегральных преобразований для обобщенного уравнения нестационарной теплопроводности / Э. М. Карташов // Инженерно-физический журнал. 8. Т. 8,. С.. 8. Снеддон, И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. М., с. 9. Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований / Г. Бейт мен, А. Эрдейи. М., 969. Т. : Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. 44 с.. Волков, И. К. Интегральные преобразования и операционное исчисление / И. К. Волков, А. Н. Канатников. М.,. 8 c.. Алхасов, А. Б. Радиальная модель извлечения пара из высокотемпературного пласта одиночной скважиной / А. Б. Алхасов, М. М. Рамазанов // Инженерно-физический журнал. 4. Т. 87,. С Mudr, E. Über die lösug der wäreleiugsgleichug für de ausserau eies zliders i kreisförige querschi / E. Mudr // I. J. Hea Mass Trasfer Vol. 9, N. P doi.org/.6/7-9(66)97-. Refereces. Koshlakov N. S., Glier E. B., Sirov M. M. Equaios of parial derivaives of aheaical phsics. Moscow, p. (i Russia). Lkov A. V. Hea coducio heor. Moscow, p. (i Russia). Karashov E. M. Aalical ehods i hea coducio heor of solids. Мoscow,. 48 p. (i Russia) 4. Carslow H. S., Jaeger J. C. Coducio of Hea i Solids. Oxford, UK, Oxford Uiversi Press, p. 5. Özisic M. N. Hea Coducio. New York: Joh Wile & Sos, Ic., p. 6. Barebla G. I., Levia B. M. O soe boudar-value asks for he urbule hea coducio equaio. Izvesiia Akadeii auk SSSR. Seriia aeaicheskaia [Maheaics of he USSR Izvesija], 95, vol. 6, pp (i Russia) 7. Karashov E. M. A class of iegral rasforaios for he geeralized equaio of osaioar hea coducio. Joural of Egieerig Phsics ad Therophsics, 8, vol. 8, o., pp doi.org/.7/s Seddo I. Fourier rasfors. New York, Mc Graw-Hill Book Co., p. 9. Beie G., Ardeji A. Tables of Iegral Trasforaios. V.. Trasforaios of Fourier, Laplace, Melli. Мoscow, p. (i Russia). Volkov I. K., Kaaikov A. N. Iegral rasforaios ad operaioal calculus. Мoscow,. 8 p. (i Russia). Alhasov A. B., Raazaov M. M. Radial Model of Sea Exracio fro a High-Teperaure Bed b Meas of a Sigle Well. Joural of Egieerig Phsics ad Therophsics, 4, vol. 87, o., pp doi.org/.7/s x.. Mudr, E. Über die lösug der wäreleiugsgleichug für de ausserau eies zliders i kreisförige querschi. Ieraioal Joural of Hea ad Mass Trasfer, 966, vol. 9, o., pp doi.org/.6/7-9(66)97-.

11 8 Доклады Национальной академии наук Беларуси. 7. Т. 6,. С. 8 8 Информация об авторах Кот Валерий Андреевич канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт тепло- и мас сообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси (ул. П. Бров ки, 5, 7, Минск, Республика Беларусь). E-ail: ac.b. Iforaio abou he auhors Ko Valer Adreevich Ph. D. (Egieerig), Seior researcher, A. V. Luikov Hea ad Mass Trasfer Isiue of he Naioal Acade of Scieces of Belarus (5, P. Brovka Sr., 7, Misk, Republic of Belarus). E-ail: valer. Для цитирования Кот, В. А. Прямое интегрирование уравнения теплопроводности для полуограниченного пространства / В. А. Кот // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 7. Т. 6,. С For ciaio Ko V. A. Direc iegraio of he hea coducio equaio for a sei-bouded space. Doklad Nasioal oi akadeii auk Belarusi [Doklad of he Naioal Acade of Scieces of Belarus], 7, vol. 6, o., pp (i Russia)

ЭНЕРГЕТИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕН

ЭНЕРГЕТИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ВЕСЦІ НАЦЫЯНАЛЬНАЙ АКАДЭМІІ НАВУК БЕЛАРУСІ 6 СЕРЫЯ ФІЗІКА-ТЭХНІЧНЫХ НАВУК ЭНЕРГЕТИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕН УДК 6.(7)46 6 В. А. КОТ 8 ГРАНИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ

Подробнее

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ УДК 57.99.7 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ канд. пед. наук, доц. В.С. ВАКУЛЬЧИК, канд. физ.-мат. наук, доц. И.Б. СОРОГОВЕЦ, С.А.

Подробнее

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения»

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ Проф Др Рамиз РАФАТОВ Кыргызско Турецкий Унивеситет Манас Институт Естественных Наук В предположении что

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3 (23), 202 Физико-математические науки. Математика УДК 57.392 И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Аннотация. Предложены

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Решение вопросов организации эффективной добычи полезных ископаемых требует изучения закономерностей движения воды, тепла, распределен

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

Раздел 2. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков

Раздел 2. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков Раздел Метод расчета тепловых и диффузионных потоков Основные определения Определение материальных и энергетических потоков на границе раздела сред - одна из основных задач теории тепломассообмена В прикладном

Подробнее

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение.

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение. УДК 539.3 А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в, С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РАСТУЩЕМ ШАРЕ Работа посвящена исследованию эволюции температурного

Подробнее

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Сущность метода Многие диффузионные задачи решаются методами интегральных преобразований те методом операционного исчисления Операционное

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА ТОКОМ НЕИЗОЛИРОВАННОГО ПРОВОДА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА ТОКОМ НЕИЗОЛИРОВАННОГО ПРОВОДА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ УДК 6484:685 Вестник Командно-инженерного института МЧС Республики Беларусь () 9 МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА ТОКОМ НЕИЗОЛИРОВАННОГО ПРОВОДА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Полевода ИИ ктн доцент Дмитриченко АС

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

метод метод метод разделения переменных интегральных преобразований источника решения 2

метод метод метод разделения переменных интегральных преобразований источника решения 2 Тема 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ п.. Классификация методов решения УТ Решение УТ аналитическое численное п.. Классификация методов решения УТ п.7. Метод конечных разностей п..

Подробнее

Один из возможных вариантов приближенного решения задач нелинейной теплопроводности. В.В. Иванов, Л.В. Карасева

Один из возможных вариантов приближенного решения задач нелинейной теплопроводности. В.В. Иванов, Л.В. Карасева Один из возможных вариантов приближенного решения задач нелинейной теплопроводности В.В. Иванов, Л.В. Карасева Донской государственный технический университет Ростов на Дону Аннотация: Описывается приближенный

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

УДК c Н.С. Бондаренко

УДК c Н.С. Бондаренко ISSN 683-470 Труды ИПММ НАН Украины. 009. Том 8 УДК 53.3 c 009. Н.С. Бондаренко ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ {,0-АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Подробнее

Доклады Национальной академии наук Беларуси 2015 март апрель Том 59 2

Доклады Национальной академии наук Беларуси 2015 март апрель Том 59 2 Доклады Национальной академии наук Беларуси 25 март апрель Том 59 2 УДК 57.9 А. И. ЖУК, О. Л. ЯБЛОНСКИЙ 2 ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К АССОЦИИРОВАННЫМ РЕШЕНИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННЫМИ

Подробнее

комплексной переменной.

комплексной переменной. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве [ ] точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

О МАЛЫХ ОДНОМЕРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ. А. В. Глушко, А. С. Рябенко

О МАЛЫХ ОДНОМЕРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ. А. В. Глушко, А. С. Рябенко УДК 57946 О МАЛЫХ ОДНОМЕРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ А В Глушко, А С Рябенко Воронежский государственный университет В работе изучается начальнокраевая задача,

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, включение, матрица, промежуточный слой

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, включение, матрица, промежуточный слой УДК 541.124 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ИЗМЕНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШАРОВЫМИ

Подробнее

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики (2008-2009 учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения ( k( x) u'( x))' q( x) u = 0, x ( a, b), где k( x) = (

Подробнее

Электронный научно-практический журнал «МОЛОДЕЖНЫЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» СЕНТЯБРЬ 2016 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК :536.24

Электронный научно-практический журнал «МОЛОДЕЖНЫЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» СЕНТЯБРЬ 2016 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК :536.24 УДК 57.958:56.4 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА В ЖИДКОСТИ Жуков В.В., Еремин А.В. Самарский государственный технический университет E-mail: a.v.eemin@lis.u На основе интегрального метода теплового

Подробнее

47 Вісник Харківського національного університету 863, 2009

47 Вісник Харківського національного університету 863, 2009 47 Вісник Харківського національного університету 863 9 УДК 59.6 Интеграл Дюамеля и операционно-структурный метод в математическом моделировании нестационарных температурных процессов для областей неканонической

Подробнее

Лекция 3. Математическое описание систем управления

Лекция 3. Математическое описание систем управления Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Подробнее

ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ К ОДНОСЛОЙНЫМ ПРИ ТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТАХ

ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ К ОДНОСЛОЙНЫМ ПРИ ТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТАХ УДК 669.074 ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ К ОДНОСЛОЙНЫМ ПРИ ТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТАХ Ю.С. Васильев, Д.В. Крестьянкин, А.Н. Нагорная, В.И.Панферов Рассмотрен вопрос приведения многослойных ограждений

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Аннотация: Рассмотрено сингулярно

Подробнее

2009 ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия С ВКЛАД ВЫСШИХ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В АСИМПТОТИКУ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2009 ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия С ВКЛАД ВЫСШИХ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В АСИМПТОТИКУ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 9 ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия С УДК 57.958:53; 5.6 ВКЛАД ВЫСШИХ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В АСИМПТОТИКУ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ д-р техн. наук, доц. С.Г. ЕХИЛЕВСКИЙ, Д.В. ПЯТКИН

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

УДК c Г.В. Горр, Е.М. Миронова ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ-ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЯХ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА

УДК c Г.В. Горр, Е.М. Миронова ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ-ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЯХ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА ISSN 31-1975. Механика твердого тела. 8. Вып. 38 УДК 531.38 c 8. Г.В. Горр, Е.М. Миронова ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ-ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЯХ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА На основе первого метода Ляпунова 1] получены

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УДК 536.2:517.9 АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Канд. техн. наук БОНДАРЕВ В. А. Белорусский национальный технический университет Представленные в настоящей статье решения нестационарных

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА

1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА 1. ВЕРТИКАЛЬНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА В настоящем разделе изложены материалы исследований, направленных на построение общего и частных решений задачи об определении напряженно-деформированного состояния

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Примеры типовых задач письменного экзамена

Примеры типовых задач письменного экзамена Неопределенные интегралы Примеры типовых задач письменного экзамена Задача ( ) cos( ) d Решение u, du ( ) cos d cos d dv, v si ( Проверка ( Ответ ( )si cos cos d )si cos C si )si cos C ( ( ( u, du )si

Подробнее

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики (2010-2011 учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения ( k( x) u'( x))' q( x) u= 0, x ( a, b), где k( x) = (

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ 130 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 005. Т. 46, N- УДК 536.1 НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ПОЛОМ СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ В. В. Мельников Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики,

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

( ) В [1] рассмотрено построение приближенного решения сингулярного интегрального уравнения вида. 1 τ,,,, =, 1 (1)

( ) В [1] рассмотрено построение приближенного решения сингулярного интегрального уравнения вида. 1 τ,,,, =, 1 (1) УДК 57.968 Г. А. Расолько Численное решение интегральных уравнений первого рода с двукратным ядром Коши методом ортогональных многочленов Рассмотрен спектральный метод решения интегральных уравнений вида

Подробнее

Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения

Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» (2013-2014 учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения ( k( x) u'( x))' q( x) u 0, x ( a, b), где k( x) ( x

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28 Предисловие к первому изданию... 8 Предисловие ко второму изданию... 10 Глава 1. Тригонометрические ряды Ф урье... 11 1. Периодические функции... 11 2. Гармоники... 13 3. Тригонометрические многочлены

Подробнее

Метод фундаментального решения в курсах «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики»

Метод фундаментального решения в курсах «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики» Метод фундаментального решения в курсах «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики» # 04, апрель 2015 Облакова Т В 1,* УДК: 5179 1 Россия, МГТУ им НЭ Баумана Введение Реорганизация

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА УДК 58:575:536 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА Докт физ-мат наук МЕЛЕШКО И Н Белорусский национальный технический университет

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 090302 ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Содержание дисциплины В первом семестре 18 лекций по 2 часа каждая РАЗДЕЛ 1. Пределы и

Подробнее

Вестник КРСУ Том

Вестник КРСУ Том УДК 517.968.21 ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА, ОПИСЫВАЕМОГО ФРЕДГОЛЬМОВО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ Исследованы вопросы однозначной разрешимости краевой

Подробнее

C = D. (1) t. = = a, (4) Примечание: Первое уравнение системы (5) аналогично закону радиоактивного распада: Dat

C = D. (1) t. = = a, (4) Примечание: Первое уравнение системы (5) аналогично закону радиоактивного распада: Dat Лекция 4. РЕШЕНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ В математической физике разработаны различные способы решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа.. Метод Фурье

Подробнее

Для записи закона Фурье в энергетической форме заменим λ в классической форме записи закона теплопроводности

Для записи закона Фурье в энергетической форме заменим λ в классической форме записи закона теплопроводности ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПРОЦЕССЕ Расчет температурного поля и тепловых потоков в процессе теплопроводности рассмотрим на примере нагрева или охлаждения твердых тел, поскольку в твердых телах

Подробнее

// Проблемы современной науки и образования, 2016, 21(63). - Иваново: изд. Олимп. С 6-9. (РИНЦ)

// Проблемы современной науки и образования, 2016, 21(63). - Иваново: изд. Олимп. С 6-9. (РИНЦ) // Проблемы современной науки и образования 6 63 - Иваново: изд Олимп С 6-9 РИНЦ КОРРЕКТНОСТЬ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ Аскар кызы Лира г Бишкек

Подробнее

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа Лекция 6 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа Изображение производной оригинала Операционное исчисление Преобразование Лапласа

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости

Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости Журнал технической физики, 6, том 86, вып. Приближенные формулы, описывающие профили лежащих и висящих капель в случаях малых чисел Бонда и сильной смачиваемости Е.В. Галактионов, Н.Е. Галактионова, Э.А.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ УДК 534. В. Г. Савин, Ж. В. Сотула, Н. И. Штефан ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ Введение Пьезокерамические преобразователи находят

Подробнее

Алгебра и геометрия 1. Определители. Разложение определителя по строке и столбцу. Алгебра

Алгебра и геометрия 1. Определители. Разложение определителя по строке и столбцу. Алгебра матриц. Алгебра и геометрия 1. Определители. Разложение определителя по строке и столбцу. Алгебра 2. Геометрические векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведение векторов.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ УДК 57.956.4+536.4 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ М.Я. Антимиров И.М. Володко Рижский технический университет

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 57.97 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЕМОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ОПИСЫВАЕМОГО ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ Исследованы вопросы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Математика и механика 2(14)

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Математика и механика 2(14) ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика (4) УДК 57. 95 Т.К. Юлдашев О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО КВАДРАТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Подробнее

ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ

ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ УДК 54.4 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ Построена математическая

Подробнее

НЕЙТРОННЫЕ ПОЛЯ ВНУТРИ ПРОСТЫХ ПО ГЕОМЕТРИИ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ, СОЗДАВАЕМЫЕ НЕЙТРОНАМИ СПОНТАННЫХ ДЕЛЕНИЙ ИЗОТОПА 238 Pu

НЕЙТРОННЫЕ ПОЛЯ ВНУТРИ ПРОСТЫХ ПО ГЕОМЕТРИИ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ, СОЗДАВАЕМЫЕ НЕЙТРОНАМИ СПОНТАННЫХ ДЕЛЕНИЙ ИЗОТОПА 238 Pu Модифицированный метод получения дираковских самосопряженных гамильтонианов УДК 539.7 НЕЙТРОННЫЕ ПОЛЯ ВНУТРИ ПРОСТЫХ ПО ГЕОМЕТРИИ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ, СОЗДАВАЕМЫЕ НЕЙТРОНАМИ СПОНТАННЫХ ДЕЛЕНИЙ

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Физики, биологии и инженерных технологий 2. Направление подготовки 16.03.01

Подробнее

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена, т. е. такие, в которых температурное поле по времени не изменяется и в дифференциальном

Подробнее

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Контрольная работа Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной З а д а ч и 1-10 Необходимо найти производные первого порядка функций одной переменной, используя правила дифференцирования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПЕРВОГО ПОТОКА ПО КУРСУ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Введение. Часть I. Специальные функции математической физике

ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПЕРВОГО ПОТОКА ПО КУРСУ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Введение. Часть I. Специальные функции математической физике ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПЕРВОГО ПОТОКА ПО КУРСУ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Введение Часть I. Специальные функции математической физике Глава I. Задачи на собственные значения и собственные функции для оператора

Подробнее

УДК А.А. ВОРОШИЛОВ ИССЛЕДОВАНИЕ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕК- ЦИИ С ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

УДК А.А. ВОРОШИЛОВ ИССЛЕДОВАНИЕ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕК- ЦИИ С ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УДК 57.955 А.А. ВОРОШИЛОВ ИССЛЕДОВАНИЕ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕК- ЦИИ С ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ The Cauchy problem for he linear differenial equaion wih he Capuo

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Теоретические сведения.

Теоретические сведения. 2.2. Операторный метод расчета переходных процессов. Теоретические сведения. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.

Подробнее

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность «Техническая физика»

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность «Техническая физика» МОДУЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность 300 «Техническая физика» Лекция Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла Температурное поле в плоской стенке при граничных условиях первого

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее