Тема «Приложения определенного интеграла»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема «Приложения определенного интеграла»"

Транскрипт

1 Тема «Приложения определенного интеграла». Геометрическое приложение определённого интеграла. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;]. Если f(х ) на [а; ] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у =, х = а, х =, равна интегралу S f ( ) Если же f() на [а; ] то f(х) на [а; ]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой S f ) ( или S f ( ) Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует. Рис Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y =, прямыми х=, х = и осью Ох (рис ). Решение. Пользуясь формулой S f ( ), находим искомую площадь S = 9 8. Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абсцисс при условии Рис (рис ). Решение. Разбиваем сегмент [; ] на два сегмента [; ] и [ ; ]. На первом из них sin, на втором sin. Следовательно, используя формулы

2 S f ) ( и S f ) (, имеем, что искомая площадь S sin sin cos cos. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 5 6и y. Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение и Итак, точки пересечения A ; и B ;. Площадь фигуры найдем, используя формулу В нашем случае. 8 Ответ: площадь равна (квадратных единиц). Пример. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: у = -6х, у = и х =. Решение. Фигура расположена под осью Ох, следовательно ее площадь находим по формуле: S 6 8 8( кв. ед.) у

3 х= х у=-6х Рис. б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=- + и y=. Решение. Выполним построение фигуры рисунок. Искомая площадь заключена между параболой y=- + и осью О. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая y=, найдем =. Так как данная фигура симметрична относительно оси Оy, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Oy, и полученный результат удвоим: S ( ) S S 5 ( кв. ед.). 5 ( кв. ед.); y Рис. =- = y=- +. Физическое приложение определенного интеграла. Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа,

4 произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = (а <Ь), находится по формуле A = F ( ) Пример 5. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на,5 м, если сила Н растягивает пружину на, м? Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = Н растягивает пружину на х =, м; следовательно, = k,, откуда k = ; следовательно, F =х. Искомая работа на основании формулы A = равна,5,5 A = 5,5( ДЖ). Рис 5 F ( ) Пример 6. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 5). Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова. Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х ( х Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где ( х Н)( A() =, A(H) = А ).. Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх =, т. е. находим дифференциал dа функции А(х).

5 Ввиду малости dх считаем, что элементарный слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dа = dрх, где dр вес этого слоя; он равен g dv АV, где g ускорение свободногопадения, плотность жидкости, dv объем элементарного слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g dv. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен R, где высота цилиндра (слоя), R = R. находим Таким образом, dр = g R. и da g R. площадь его основания, т. е. dv ) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = до х = Н, H g R H ( Дж). A g R. Путь, пройденный телом Пример 7. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t. Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна ds производной от пути по времени, т. е. v(t) =. Отсюда следует, что ds = dt v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t, получаем S = t t v( t) dt Пример 8. Найти путь, пройденный телом за секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = t + (м/с). Решение: Если v(t) = t + (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = ) до конца -й секунды, равен S = (t ) dt 5t t ( м).


Пример 2 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой y = e x ( x < 0 ) По формуле (13) получаем π π

Пример 2 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой y = e x ( x < 0 ) По формуле (13) получаем π π 3 Пример Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривой = e ( < ) По формуле (3) получаем π π V = π e d = ( e ) = Пример 3 Вычислить объем тела, образованного вращением

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ Методические указания

Подробнее

Контрольная работа Применение определенного интеграла

Контрольная работа Применение определенного интеграла Контрольная на тему Применение интегралов. Выполнена в www.maburo.ru Контрольная работа Применение определенного интеграла Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y ; y. y квадратичная функция,

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач

6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач 6. Определенный интеграл и его приложение к решению задач Актуальность темы Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения,

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Т е м а 5 Определенный интеграл

Т е м а 5 Определенный интеграл 8 Т е м а 5 Определенный интеграл Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной

Подробнее

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и координатной осью O (заштрихованная область рис.). Пусть,. Площадь фигуры найдем по формуле

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения»

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения» ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «Определенный и несобственный интегралы и их приложения» 6 d ; d ; + Вариант e d ; e d Найти площадь фигуры, ограниченной линями: y = e ; y = log ; = ; = Найти

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен Министерство труда, занятости и трудовых ресурсов Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Определённый интеграл и его применение. 11 класс

Определённый интеграл и его применение. 11 класс МАТЕМАТИКА ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! Определённый интеграл и его применение класс Цели: 99 образовательная: обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся по теме «Определённый интеграл»; обеспечить

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4.

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Раз- 0 0 0 называется приращением функции в точке 0 f ( 0 ) Если существует конечный предел lim f ( 0 ), то он называется производной функции f ( ) в точке 0 0 Отыскание производной

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

Подробнее

Н.С.ГАВРЮШКИНА Г.Н.ЗУБКОВА МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

Н.С.ГАВРЮШКИНА Г.Н.ЗУБКОВА МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что

Образец выполнения контрольной работы 4. 1 Решение. Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что Задание Найти неопределённые интегралы Образец выполнения контрольной работы ln ( 8 ) + d 8 d Решение Внесём под знак дифференциала функцию, воспользовавшись тем, что ln( 8 ) 8 C 8 = 8 + (модуль под знаком

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Перемещение как площадь под графиком. Перемещение в равноускоренном движении

Перемещение как площадь под графиком. Перемещение в равноускоренном движении Перемещение как площадь под графиком. Перемещение в равноускоренном движении Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1.Физические задачи, приводящие к интегрированию.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1.Физические задачи, приводящие к интегрированию. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ..Физические задачи приводящие к интегрированию. Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. Поскольку аналитическое интегрирование не всегда

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. Найдите значение выражения

Задания с развернутым ответом по алгебре. Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. Найдите значение выражения Задания с развернутым ответом по алгебре Задание Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ Найдите значение выражения 9 7 log log 7 5 log 6 5 log log 7 Найдите значение выражения log

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

11.1 Двойной интеграл и его свойства

11.1 Двойной интеграл и его свойства Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Двойной интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц.дуниной Е.Б.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла

Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле Применение определенного интеграла Лектор Рожкова СВ 03 г Замена переменной

Подробнее

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 8.. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница В главе 7 рассмотрели процесс интегрирования, который Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм 646-76 немецкий философ, математик,

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

5. Динамика вращательного движения твердого тела

5. Динамика вращательного движения твердого тела 5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

Подробнее

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности.

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности. ТЕМА 9 Задачи с подвижной границей Условия трансверсальности Основные определения и теоремы Рассмотрим функционал V[ ] = F(,, d, заданный на кривых ( ( C [ ab, ], граничные точки которых A (, и B(, в свою

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Лекция Некоторые приложения определенного интеграла

Лекция Некоторые приложения определенного интеграла 1 Лекция 18 Некоторые приложения определенного интеграла Аннотация: Приводятся примеры вычисления площади в декартовой и полярной системах координат, вычисляются длины дуг и объемы тел вращения 1 Площадь

Подробнее

Содержание занятий по высшей математике (МПД) Занятие 1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции.

Содержание занятий по высшей математике (МПД) Занятие 1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Содержание занятий по высшей математике (МПД) Занятие. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы.. Понятие функциональной зависимости.. Основные

Подробнее

Домашний контрольный тест по теме «Производная»

Домашний контрольный тест по теме «Производная» Домашний контрольный тест по теме «Производная» А. Производная элементарной функции А. Вычислите y 7, если y. A) B) C) - D) - E) А. Найдите f, если f A),5 B) - C) - D) E) 5 5 5 5 А. f, f? A) B) C) D) E)

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. класс Математика 6-7 уч.год Тема модуля «ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛЫ» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Учащиеся должны знать/понимать: Понятие первообразной. Какую функцию называют

Подробнее

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2.

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. / 3. ( 4. ) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной"

Практическая работа: Решение задач по теме Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной Механический смысл первой и второй производной" Разработчик: И А Кочеткова

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x.

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x. Тест модуля Студенты проходят промежуточный тест через Интернет В этот промежуточный тест выносятся следующие задания по темам 7- учебного пособия по математике В данном документе СПЕЦИАЛЬНО не приводятся

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Контрольная работа по математике для студентов 2 курса направления подготовки заочной формы обучения

Контрольная работа по математике для студентов 2 курса направления подготовки заочной формы обучения Контрольная работа по математике для студентов курса направления подготовки 08001 заочной формы обучения 1 Вычислить пределы: 1 вариант б) ; д) ; е) ; Исследовать на непрерывность функцию Найти производные

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4.

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4. 12-е занятие. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр Повторение A1 Перейти к полярным координатам ρ и ϕ и расставить пределы интегрирования в том и другом

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 16 Новосибирск, 2016 г. 1 / 20 Предположим, что на материальную

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее