А. В. Овчинников. Линейная алгебра

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А. В. Овчинников. Линейная алгебра"

Транскрипт

1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Для подготовки бакалавров направлений «Экономика» и «Менеджмент» Москва 200

2 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» УТВЕРЖДАЮ Ректор М А Эскиндаров 200 г А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Рекомендовано Ученым Советом при факультете «Математические методы и анализ рисков» протокол 7 от 22 июня 200 г Одобрено кафедрой «Прикладная математика» протокол 2 от 9 мая 200 г Москва 200

3 УДК ББК 2243 Г 65 Рецензент: ВМ Гончаренко, кф-мн, доцент А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» М: Финуниверситет, кафедра «Прикладная математика», 200 В данном издании представлено 30 вариантов контрольных работ по линейной алгебре для студентов первого курса по темам «Число и вектор Фробениуса Модель Леонтьева Линейное программирование Транспортная задача Разностные уравнения» Последний 30-й вариант приводится с подробными решениями Учебное издание УДК ББК 2243 Г 65 Алексей Витальевич Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работы по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Компьютерный набор, верстка: А В Овчинников Формат 60х90/6 Гарнитура Times New Roman, Antiqua Услпл0,6 Изд -200 Тираж экз Отпечатано в ФГОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» А В Овчинников, 200 ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 200

4 Введение Домашние контрольные работы по математике являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов В издании представлены материалы для двух домашних контрольных работ по второй части курса линейной алгебры, которая охватывает следующие темы: «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» В результате выполнения работы студенты, с одной стороны, демонстрируют умения и навыки, приобретенные в ходе лекций и практических занятий, и получают оценки, являющиеся существенной компонентой аттестации и баллов за работу в семестре С другой стороны, выполнение заданий домашней контрольной работы является важной частью подготовки к семестровому экзамену зачету Задания контрольной работы составлены так, чтобы охватить все основные типы задач по данным темам Сроки выполнения и сдачи домашних контрольных работ устанавливаются преподавателем Оценки выставляются по итогам проверки письменных работ и собеседования или аудиторной контрольной работы В настоящем пособии представлено 30 вариантов домашних контрольных работ К варианту 30 приведены подробные решения, в которых продемонстрированы основные приемы и методы решения типовых задач В целях экономии места задачи сгруппированы не по вариантам, а по типам: сначала приведены 30 вариантов задачи, затем 30 вариантов задачи 2 и тд Такая структура пособия объясняется тем, что у многих задач, приведенных в пособии, одинаковая текстовая часть, но различные числовые данные 3

5 Правила оформления домашних контрольных работ Работа должна быть выполняется аккуратно, разборчивым почерком, синей или черной ручкой на листах формата А4 Листы должны быть скреплены неразборным соединением степлером, клеем и тп 2 Работа снабжается титульным листом, на котором приводятся следующие данные: номер группы, фамилия студента, дата сдачи работы на проверку, ответы ко всем задачам в том же порядке, в котором задачи сформулированы см образец титульного листа на следующей странице Если задача не решена, вместо ответа ставится прочерк 3 Решения задач внутри работы должны быть приведены в той же последовательности, что их формулировки Если в задаче предусмотрено несколько заданий, то они также должны быть решены в той последовательности, в которой сформулированы 4 Перед решением указывается порядковый номер задачи, который необходимо выделить маркером, рамкой и тп Условие переписывать не требуется В конце решения приводится ответ по форме: «Ответ:» 5 Числовой ответ должен быть приведен в виде целого числа, или десятичной дроби с 4 знаками после запятой, или обыкновенной дроби, у которой и числитель, и знаменатель которой не превышают 9999 То же требование налагается на элементы матриц 6 Неверное решение, решение задачи из другого варианта или задачи с измененным условием, отсутствие решения или выписанного на титульном листе ответа приводит к минимальной оценке задачи 0 баллов 7 Отсутствие обоснования при верном решении влечет снижение оценки на 2 балла 4

6 8 Неверный ответ в том числе из-за ошибок округления при верном решении снижает оценку 9 Оценка также снижается за небрежное оформление работы зачеркнутый текст, вставки, неаккуратные чертежи и тп Образец оформления титульного листа Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Кафедра «Прикладная математика» Линейная алгебра Контрольная работа Выполнил студент группы ФК-- Бесфамильный И О Работа сдана 29 февраля 2007 г Ответы: Задача СЗ: λ = 2, λ = 4 ; СВ: r T 2 x = c 9,, r x = c 37,4 2 2 T, где c c 0, 2 Задача 2 и так далее 5

7 Контрольная работа В состав контрольной работы входят четыре задачи по темам, изучаемым в первой половине семестра: число и вектор Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы, модель Леонтьева, задача линейного программирования об оптимальном использовании ресурсов, а также задача о нахождении собственных значений и собственных векторов матрицы задача, цель которой напомнить студентам соответствующие понятия, играющие важную роль в теории Фробениуса СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Найдите все собственные значения и собственные векторы данной матрицы

8 2 ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса матрицы A При каких значениях α матрица αa продуктивна? A = A = A = A = 23 A = 24 A = 25 A = 26 A = 27 A = 28 A = 29 A = 20 A = A = 23 A = 24 A = 25 A = 26 A = 27 A = 28 A = 29 A = 220 A = A = 223 A = 224 A = 225 A = 226 A = 227 A = 228 A = 229 A = 230 A =

9 8 3 МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА Рассматривается двухотраслевая модель экономики Задана балансовая таблица за прошедший год Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года 2 Найдите матрицу Леонтьева A 3 Найдите матрицу полных затрат H 4 В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на a %, а отрасли II уменьшится на b % Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году Запишите вектор конечного потребления x для следующего года 5 Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года 6 На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим? 7 Известен вектор норм добавленной стоимости v в прошедшем году Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году Запишите вектор равновесных цен p 3 Отрасли Произв потребление Конечное I II 4 4 a =20%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =40%, Отрасли Произв потребление Конечное I 5 II a =50%, b =70%, 7 34 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =60%, 3 5

10 9 35 Отрасли Произв потребление Конечное I 5 II a =50%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 7 5 a =0%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =0%, 5 39 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =50%, 2 30 Отрасли Произв потребление Конечное I 2 5 II 3 2 a =30%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 2 2 II a =50%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 2 a =0%, b =70%, 5 4

11 0 33 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 5 7 a =50%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =60%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I 5 3 II a =30%, b =20%, 3 38 Отрасли Произв потребление Конечное I 3 6 II a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 7 6 II a =70%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 2 6 II 7 5 a =20%, b =40%, 6 4

12 32 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =30%, b =20%, 322 Отрасли Произв потребление Конечное I 2 3 II 3 2 a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 2 a =20%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I 3 5 II a =0%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =30%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I 3 4 II 6 7 a =70%, b =70%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =50%, 4 4

13 2 329 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I 4 3 II a =70%, b =0%, ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностьюизрасходовано Построить математическуюмодель задачи 2Привестизадачукстандартнойформе 3 Решить полученнуюзадачу графическим методом 4 Привести задачу к канонической форме 5 Решить полученнуюзадачу симплекс-методом 6 Проанализировать результаты решения 4 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 4

14 3 45 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 49 I II III Прибыль I II III Прибыль 5 3

15 4 45 I II III Прибыль I II III Прибыль 7 46 I II III Прибыль I II III Прибыль 3 47 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 3 2

16 5 425 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 5 РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 30 Найдите все собственные значения и собственные векторы матрицы A = 8 70 Решение Найдем собственные значения матрицы A; они являются корнями ее характеристического многочлена fλ =deta λe, гдеe единичная матрица Имеем det 76 λ λ =76 λ 70 λ = λ 2 6λ +8; корни этого квадратного трехчлена суть λ =2и λ 2 =4 2 Собственные векторы, отвечающие собственному значению λ 0, являются решениями системы линейных однородных уравнений A λ 0 E x = 0

17 6 Для собственного значения λ =2матрица A λ E равна Поскольку определитель этой матрицы равен нулю, строки ее линейно зависимы пропорциональны, поэтому соответствующая система состоит из единственного уравнения: 74x + 666x 2 =0 8x 72x 2 =0 x +9x 2 =0, общее решение которого имеет вид x = c 9, где c 0 произвольная постоянная Для собственного значения λ 2 =4аналогично получаем 37 x 2 = c 2 4 Ответ: собственные значения λ =2, λ 2 =4; соответствующие собственные векторы x = c 9, T, x 2 = c 2 37, 4 T,гдеc,c Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса матрицы A = При каких значениях α матрица αa продуктивна? Решение Поскольку сумма элементов каждого столбца матрицы равна 27, то число Фробениуса этой матрицы также равно λ A =27см соответствующую теорему в теоретическом курсе 2 Чтобы найти вектор Фробениуса, необходимо решить систему линейных однородных уравнений A λ A E x = 0 Матрица A λ A E имеет вид Для решения системы с этой матрицей метод Гаусса не очень удобен; поступим следующим образом Поскольку определитель матрицы A λ A E равен нулю, строки ее линейно зависимы, так что одна из строк является линейной комбинацией остальных и может быть удалена из матрицы Удалим первуюстроку;

18 оставшиеся две строки линейно независимы поскольку они не пропорциональны, а соответствующая система уравнений имеет вид { { 0x 8x 2 +7x 3 =0, 3x +2x 2 7x 3 =0 0x 8x 2 = 7x 3, 3x +2x 2 =7x 3 Положив x 3 =, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными { 0x 8x 2 = 7, 3x +2x 2 =7, решение которой легко получить с помощьюформул Крамера: x = = = 37 59, x = = = Таким образом, все решения системы 7 имеют вид 37/59 x = c 87/8, где c произвольная постоянная Согласно определениюсобственный вектор ненулевой, поэтому все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному значению λ A =27, описываются формулой 74 x СВ = s 87, 8 где s 0, а все векторы Фробениуса матрицы A формулой 74 x A = p 87, 8 где p>0, поскольку по определениювектор Фробениуса неотрицателен 3 Согласно второму критериюпродуктивности матрица продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы Поскольку собственные значения матрицы αa отличаются от собственных значений матрицы A в α раз, число Фробениуса матрицы αa равно 27α Для продуктивности матрицы αa необходимо и достаточно, чтобы 0 <α</27 условие α>0 требуется для неотрицательности матрицы αa Обратите внимание на различие понятий общего решения системы линейных однородных уравнений в данном контексте, собственного вектора и вектора Фробениуса 7

19 8 Ответ: число Фробениуса λ A =27, вектор Фробениуса x A = p74, 87, 8 T, где p>0 Матрица αa продуктивна при 0 <α</27 3 Рассматривается двухотраслевая модель экономики Задана балансовая таблица за прошедший год: Отрасли Произв потребление Конечное I 4 3 II Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска x для прошедшего года 2 Найдите матрицу Леонтьева A 3 Найдите матрицу полных затрат H 4 В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 70 %, а отрасли II уменьшится на 0 % Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году Запишите вектор конечного потребления d для следующего года 5 Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска x для следующего года 6 На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим? 7 Известен вектор норм добавленной стоимости 5, 5 T впрошедшем году Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году Запишите вектор равновесных цен p Решение Валовой выпуск продукции по каждой из отраслей получается сложением объемов производственного и конечного потребления по каждой из отраслей: Отрасли Произв потребление Конечное Валовой выпуск I =8 II =5 Таким образом, вектор валового выпуска для прошедшего года равен x =8, 5 T 2 Элементы j матрицы Леонтьева вычисляются по формулам j = x ij x j,

20 где x ij объем производственного потребления продукции отрасли i отраслью j, x j валовой выпуск отрасли j Имеем: a = x = x 8 =025, a 2 = x 2 = 4 x 2 5 =0267, a 2 = x 2 = 5 x 8 =0625, a 22 = x 22 = 3 A = x 2 5 =02, Матрицу полных затрат H найдем по формуле H =E A ;имеем E A = = Обращение матрицы второго порядка удобно провести с помощьюформулы ab = cd Согласно этой формуле H =E A = = = ad bc d b c a = Конечное потребление в следующем году изменяется по сравнению с прошедшим годом; объем конечного потребления продукции отрасли I увеличивается на 70% и становится равным d =3 + 70% =5; 00% аналогично для второй отрасли d 2 =7 0% =63 00% Таким образом, вектор конечного потребления для следующего года равен d =5, 63 T 5 Вектор валового выпуска x связан с вектором конечного потребления d уравнением Леонтьева: x = A x + d, откуда E A x = d x =E A d = Hd Поэтому вектор валового выпуска x для следующего года равен x = Hd = =

21 20 6 Найдем, на сколько процентов изменился валовой выпуск по каждой отрасли: %Δx = x x 00% = % = 35%, x 8 %Δx 2 = x 2 x % = 00% = 87%; x 2 5 валовой выпуск обеих отраслей увеличился 7 Вектор равновесных цен p находим с помощью«двойственного» уравнения Леонтьева p = A T p + v, где v вектор норм добавленной стоимости Имеем p = H T Ответ: x =, 2 A = d 5 =, 63 5 x 08 35% =,6%Δ x =,7 p = 63 87% 34 = , 3 H =, Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице: I II III Прибыль 5 5 Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностьюизрасходовано Построить математическуюмодель задачи 2Привестизадачукстандартнойформе 3 Решить полученнуюзадачу графическим методом 4 Привести задачу к канонической форме 5 Решить полученнуюзадачу симплекс-методом 6 Проанализировать результаты решения

22 Решение Обозначив через x, x 2, x 3 неотрицательные 2 объемы выпуска продукции вида A, B, C соответственно, видим, что прибыль, полученная при реализации 5 единиц продукции A, 5 единиц продукции B и единицы продукции C, равна 5x +5x 2 + x 3, так что задача состоит в максимизации целевой функции fx,x 2,x 3 =5x +5x 2 + x 3 max Ограниченность ресурсов сырья I и II приводит к неравенствам 6x +0x 2 + x 3 2, 2x +4x 2 + x 3 64 Ограниченность ресурсов сырья III вместе с требованием, чтобы сырье III было полностьюизрасходовано, приводит к уравнению 4x +2x 2 + x 3 =24 Итак, математическая модель задачи имеет следующий вид: fx,x 2,x 3 =5x +5x 2 + x 3 max, 2a 6x +0x 2 + x 3 2, 2b 2x +4x 2 + x 3 64, 2c 4x +2x 2 + x 3 =24, 2d 2e 2 Приведем задачу к стандартной форме, те к виду, где все ограничения имеют форму неравенств Выразив из ограничения-уравнения 2d одну из переменных, например x 3, x 3 =24 4x 2x 2, 3 поставим полученное выражение в целевуюфункцию2a: fx,x 2,x 3 =5x +5x x 2x 2 =x +3x 2 +24, в ограничения-неравенства: 6x +0x x 2x 2 2 2x +8x x +2x 2 22, 2x +4x x 2x x +2x x + x 2 20 Кроме того, учтем тот факт, что x 3 0 см 2e, откуда получаем еще одно ограничение неравенство 4x +2x x + x Очевидно, должны выполняться неравенства x 0, x 2 0, x 3 0

23 22 Итак, получена стандартная форма задачи: f x,x 2 =x +3x max, 4a 3x +2x 2 22, 4b 4x + x 2 20, 4c 2x + x 2 2, 4d x 0, x 2 0 4e 3 Решим полученнуюзадачу графическим методом; это возможно, так как число неизвестных в ней равно двум Сначала изобразим на координатной плоскости Ox x 2 область допустимых значений неизвестных Нетривиальные ограничения-неравенства определяют полуплоскости, содержащие начало координат и имеющие в качестве границ прямые 3x +2x 2 =22 x 22/3 + x 2 =, 5a 4x + x 2 =20 x 5 + x 2 =, 5b 20 2x + x 2 +2 x 6 + x 2 =; 5c 2 при построении чертежа учтем, что прямая на плоскости, задаваемая уравнением вида x a + x 2 b =, пересекает координатные оси Ox и Ox 2 в точках a, 0 и 0,b соответственно Выполнив построение, получаем пятиугольник OABCD с вершинами O0, 0, A0,, B2, 8, C4, 4, D5, 0 Точки A и D использовались при построении чертежа, так что их координаты очевидны Точка B является пересечением прямых 5a и 5c, а точка C пересечением прямых 5b и 5c, так что координаты этих точек вычисляются как решения линейных систем 3x +2x 2 =22, 4x + x 2 =20, B : C : 2x + x 2 =2, 2x + x 2 =2 Вектор градиента целевой функции 4a равен g =, 3 T ; также изобразим его на чертеже Значения целевой функции 4a во всех точках любой прямой, перпендикулярной этому вектору, одинаковы, а при сдвиге указанной прямой в направлении вектора g значения целевой функции увеличиваются Используя чертеж, находим, что наибольшее значение целевой функции в пятиугольнике OABCD достигается в точке C4, 4 иравно f 4, 4 = =80 Соответствующее значение переменной x 3 вычисляется с помощью3 и равно x 3 = =0

24 23 20 x 2 5b 5c 5c 5a 2 A 8 B 4 3 C g O D x 5b 5a Итак, максимальное значение целевой функции fx,x 2,x 3 достигается при x =4, x 2 =4, x 3 =0иравно80

25 24 Отметим, что использование одного лишь чертежа в данной задаче приводит к затруднениюпри выборе точки максимума целевой функции: отрезок CD на чертеже выглядит перпендикулярным вектору градиента g В этом случае приходится прибегать к методу перебора вершин, вычисляя значения целевой функции f x,x 2 в точках C и D и выбирая наибольшее из этих значений: f C =f 4, 4 = 80, f D =f 5, 0 = 79 4Приведемзадачу2кканоническойформе,теквиду,гдевсенетривиальные ограничения имеют форму уравнений Для этого достаточно ввести в неравенства 2b и 2c балансовые переменные x 4 и x 5 соответственно Задача принимает вид fx,x 2,x 3,x 4,x 5 =5x +5x 2 + x 3 max, 6a 6x +0x 2 + x 3 + x 4 = 2, 6b 2x +4x 2 + x 3 + x 5 =64, 6c 4x +2x 2 + x 3 =24, 6d 6e 5 Решим полученнуюзадачу симплекс-методом Сначала необходимо получить начальный опорный план задачи, те неотрицательное базисное решение системы нетривиальных ограничений-уравнений 6b 6d Запишем расширеннуюматрицу этой системы: Вычитая третьюстроку из первой и второй, получим матрицу Очевидно, неизвестные x 3, x 4, x 5 являются базисными, x и x 2 свободными; взяв значения свободных неизвестных равными нулю, для базисных получаем x 3 =24, x 4 =88, x 5 =40 Итак, найден начальный опорный план x =0, x 2 =0, x 3 =24, x 4 =88, x 5 =40 Выразим целевуюфункцию6a через свободные неизвестные x и x 2 Из6d получаем x 3 =24 4x 2x 2 ср 3; подставляя это выражение в 6a, получим fx,x 2,x 3,x 4,x 5 =x +3x ср 4a; запишем это выражение в виде f x 3x 2 =24

26 25 Теперь можно заполнить первуюсимплекс-таблицу: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x f В f-строке имеются отрицательные элементы не считая свободного члена; следовательно, начальный опорный план не является оптимальным Найдем минимальный отрицательный элемент f-строки: это в столбце «x»; этот столбец будет ведущим, те в следующей симплекс-таблице неизвестная x будет включена в базис вместо одной из x 3, x 4, x 5 Так как среди элементов ведущего столбца «x» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному Для его построения определим, какуюиз неизвестных x 3, x 4, x 5 нужно исключить из базиса Для этого вычисляем симплексные отношения отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и выбираем среди них минимальное: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ Симпл отн x /4 =6 x /2 = 22/3 x /8 =5 f Минимальное симплексное отношение, равное 5, получилось в строке «x 5», те переменную x 5 нужно исключить из базиса Проведем одну итерациюметода Гаусса Столбцы «x 3»и«x 4» останутся базисными и в новой симплекс-таблице, а столбец «x» следует сделать единичным Сначала сделаем единичным ведущий элемент он выделен в предыдущей таблице, для чего разделим на 8 ведущуюстроку: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x f Теперь выполняем следующие элементарные преобразования матрицы: i к строке «x 3»прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 4; ii к строке «x 4»прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 2; iii к строке «f» прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 5

27 26 В результате получается вторая симплекс-таблица: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x 4 f В f-строке все еще имеются отрицательные элементы, так что план не является оптимальным Единственный минимальный отрицательный элемент f-строки равен /4; он находится в столбце «x 2» Этот столбец ведущий, те в следующей симплекс-таблице неизвестная x 2 будет включена в базис вместо одной из x 3, x 4, x Так как среди элементов ведущего столбца «x 2» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному Вычислим симплексные отношения и выбираем среди них минимальное: 8 8 БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ Симпл отн x / = x /5 x 4 f / 4 =20 Ведущей строкой является строка «x 3»; ведущий элемент равен Столбцы «x», «x 4» по-прежнему остаются базисными, а вместо «x 3» базисным станет столбец «x 2»; для этого нужно сделать столбец «x 2» единичным Выполним следующие элементарные преобразования: i к строке «x 4»прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна 5; ii к строке «x»прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна /4; iii к строке «f» прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна /4 В результате получается следующая симплекс-таблица: 79 БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x 0 4 f

28 Теперь в f-строке нет отрицательных элементов, так что оптимальный план найден Согласно этому плану максимальное значение целевой функции, равное 80, достигается при значениях базисных переменных x =4и x 2 =4значение x 4 =8игнорируем, поскольку x 4 балансовая переменная, отсутствующая в исходной постановке задачи и значении x 3 =0свободной переменной значение x 5 также игнорируется Ответ: Максимальное значение целевой функции равно f max = f4, 4, 0 = 80 27

29 28 Контрольная работа 2 СИМПЛЕКС-МЕТОД Дана задача линейного программирования Составьте для данной задачи двойственную 2 Решите двойственнуюзадачу графическим методом 3 Используя теоремы двойственности, найдите решение исходной задачи f =26x + x 2 +44x 3 min 2x +3x 2 x 3 2 3x 5x 2 +8x 3 3 f =44x +58x 2 +3x 3 min 7x +0x 2 3x 3 7 x x 2 +2x 3 f =9x 22x 2 +64x 3 min 3x +5x 2 2x 3 3 x 6x 2 +7x 3 f =9x 8x 2 +53x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 x 6x 2 +7x 3 f =28x +68x 2 +8x 3 min 3x +9x 2 6x 3 3 4x 4x 2 +8x 3 4 f =7x +80x 2 +66x 3 min 7x +0x 2 3x 3 7 4x 5x 2 +9x 3 4 f =5x +24x 2 +3x 3 min x 7 +6x 2 5x 3 3x 4x 2 +7x 3 3 f =72x +78x 2 +7x 3 min 7x 8 +4x 2 7x 3 7 5x x 2 +6x 3 5 f =9x +63x 2 +92x 3 min 3x 9 +7x 2 4x 3 3 7x 5x 2 +2x 3 7 f =48x +42x 2 +75x 3 min 6x 0 +x 2 5x 3 6 3x 6x 2 +9x 3 3 f =4x +37x 2 +7x 3 min 6x +7x 2 x 3 6 x x 2 +2x 3 f =8x +2x 2 +30x 3 min 7x 2 +0x 2 3x 3 7 x 2x 2 +3x 3

30 f =48x +60x 2 +45x 3 min 5x 3 +x 2 6x 3 5 2x 7x 2 +9x 3 2 f =4x +6x 2 +78x 3 min 5x 4 +x 2 6x 3 5 3x 4x 2 +7x 3 3 f = 3x + 5x 2 +52x 3 min 6x 5 +2x 2 6x 3 6 7x x 2 +8x 3 7 f =8x +0x 2 +9x 3 min x 6 +4x 2 3x 3 2x 3x 2 +5x 3 2 f =77x + 07x 2 +29x 3 min 3x 7 +8x 2 5x 3 3 7x x 2 +8x 3 7 f =85x + 0x 2 +50x 3 min 3x 8 +9x 2 6x 3 3 7x x 2 +8x f =30x +42x 2 +30x 3 min 4x +7x 2 3x 3 4 2x 7x 2 +9x 3 2 f =40x +48x 2 +24x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 7x 2x 2 +9x f =25x +2x 2 +6x 3 min 5x +8x 2 3x 3 5 x 6x 2 +7x 3 f =26x +26x 2 +26x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 5x 3x 2 +8x 3 5 f =7x +9x 2 +x 3 min 2x +3x 2 x 3 2 x 5x 2 +6x 3 f =38x +42x 2 +32x 3 min 2x +6x 2 4x 3 2 4x 6x 2 +0x 3 4 f =32x +5x 2 +x 3 min 2x +6x 2 4x 3 2 4x 3x 2 +7x 3 4 f =95x +55x 2 + 5x 3 min 7x +8x 2 x 3 7 5x 5x 2 +0x f =95x +9x 2 +65x 3 min 5x 27 +8x 2 3x 3 5 7x x 2 +8x 3 7 f = 05x +90x x 3 min 7x 28 +2x 2 5x 3 7 7x 3x 2 +0x 3 7

31 30 29 f =20x +60x 2 20x 3 min 2x +8x 2 6x 3 2 2x 2x 2 +4x 3 2 f =74x + 06x 2 +20x 3 min 6x 30 +0x 2 4x 3 6 4x 2x 2 +6x ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Имеется три склада, содержащих некоторое количество однотипной продукции, а также четыре потребителя, нуждающиеся в определенном количестве данной продукции При перевозке одной единицы продукции со склада i потребителю j возникают издержки Запасы продукции на складах, потребности потребителей b j итарифыперевозокc ij, i =, 2, 3, j =, 2, 3, 4, приведеныв таблице Требуется найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку будут минимальны Проверьте задачу на сбалансированность 2 Постройте опорный план методом минимального элемента 3 С помощьюметода потенциалов найдите оптимальное решение задачи


ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования: Контрольная работа по ММУ Вариант Задание Решить графическим методом задачу линейного программирования: а) найти область допустимых значений многоугольник решений); б) найти оптимумы целевой функции. Дано:

Подробнее

Элементы линейного и выпуклого программирования

Элементы линейного и выпуклого программирования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» В.М. Гончаренко Элементы

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финуниверситет) Кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3)

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3) Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,

Подробнее

В.М. Гончаренко, А.В. Овчинников, В.Ю. Попов МАТЕРИАЛЫ К ЭКЗАМЕНУ. по дисциплине «Исследование операций»

В.М. Гончаренко, А.В. Овчинников, В.Ю. Попов МАТЕРИАЛЫ К ЭКЗАМЕНУ. по дисциплине «Исследование операций» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финуниверситет) Кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

К теме «Транспортная задача»

К теме «Транспортная задача» К теме «Транспортная задача» Математическая формулировка транспортной задачи. Построение опорного плана перевозок методом «северо-западного угла». Построение опорного плана перевозок методом минимальных

Подробнее

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически.

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически. Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ИНСТИТУТ - филиал ФГБОУ ВО «Иркутский государственный аграрный университет имени А.А.Ежевского» Экономический факультет Кафедра

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а 3 Р Г Р. б) Найти максимум и минимум в задаче. симплекс-методом. = 4, проходящей через точки:

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а 3 Р Г Р. б) Найти максимум и минимум в задаче. симплекс-методом. = 4, проходящей через точки: Задание: Вариант # f (X) = x + x extr x + x x + x 4 x, x Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 4-6 Иванов И.И. Вариант Этап. Тема: Методы

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи.

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи. Математическое программирование. 1) Решить графически следующие задачи линейного программирования. 2) Решить обе задачи перебором базисных решений. 3) Решить первую задачу симплекс методом. 1-я задача:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к практической подготовке по дисциплине «Высшая математика: Математическое программирование» для студентов заочного

Подробнее

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели. ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij Глава ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.. Постановка задачи Финансово-экономическая мотивировка Начнем рассмотрение со следующей финансовой задачи. Задача об инвестициях. Две компании, реализующие некий инвестиционный

Подробнее

Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

Лекция 4 Транспортная задача

Лекция 4 Транспортная задача Лекция Транспортная задача Формулировка. Имеется и потребителей некоторого товара. Пусть M i количество товара, которым располагает данный i -ый поставщик, а N j количество товара, необходимое j -ому потребителю.

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ

Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ a,..., Предположим, что в пунктах A, A,..., A хранится однородный груз в количестве, a a единиц. Этот груз следует доставить в заданных пунктов назначения,

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Решение задач исследования операций

Решение задач исследования операций Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова Г. Л. Окунева, А. В. Борзенков, С. В. Рябцева Решение задач исследования операций Учебное

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» В.М.

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений.

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ. Требования к знаниям, умениям, навыкам Знать общую постановку задачи линейного программирования [, с. 7 8]. Уметь составлять математические модели простейших экономических задач (задача о банке,

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

l =- с собственным вектором ( )

l =- с собственным вектором ( ) Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Составитель Е.А. Молдованова

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Составитель Е.А. Молдованова МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом...

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом... СОДЕРЖАНИЕ. ЗАДАНИЕ.... ЭТАПЫ РАБОТЫ..... Формирование математической модели задачи..... Решение прямой задачи симплекс-методом..... Построение двойственной задачи... 6.4. Решение прямой и двойственной

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Занятие 6. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. РЕШЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи n = Постановка задачи n f ( x)

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике».

1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике». 2 1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике». 1.1. Процесс изучения дисциплины «Математические методы в экономике» направлен на формирование следующих компетенций:

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Нахождение решения задачи параметрического программирования.

Нахождение решения задачи параметрического программирования. Нахождение решения задачи параметрического программирования. ешение задачи, целевая функция которой содержит параметр. Продолжим рассмотрение задачи (1)-(3). Считая значение параметра t равным некоторому

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Занятие 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Занятие. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Найти максимум функции при ограничениях А. СИМПЛЕКС-МЕТОД ДАНЦИГА А. Решение канонической задачи Постановка задачи f ( x) c j x j x ij j bi, i,, m; m j j, x

Подробнее

Математические методы в экономике. Контрольная работа

Математические методы в экономике. Контрольная работа Математические методы в экономике. Контрольная работа Задание 1. Решить транспортную задачу. - матрица стоимостей. Прочерк означает невозможность перевозки по данному маршруту. - запасы поставщиков, -

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Аналитическая геометрия Домашние контрольные работы 5 Учебное пособие для студентов курса

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Занятие 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

Занятие 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ Занятие 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ a,..., Предположим, что в пунктах, A,..., A хранится однородный груз в количестве, a a единиц. Этот груз следует доставить в заданных пунктов

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 08.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Линейная алгебра (лекция 13) 08.12.2012 2 / 25 Задача линейного программирования: F (x 1, x 2,..., x n ) = n c j x j max(min),

Подробнее

Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Линейная алгебра» 3 СЕМЕСТР

Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Линейная алгебра» 3 СЕМЕСТР Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Линейная алгебра» СЕМЕСТР В семестре предусмотрены три контрольные работы по темам «Матрицы

Подробнее

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Прежде всего нужно знать, что симплекс-метод является универсальным методом решения задач линейного программирования (ЗЛП) в том смысле, что он позволяет решать ЗЛП с любым количеством

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Кафедра «Прикладная математика» В.М.

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 )

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 ) Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Задание1: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение.

Задание1: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Задание: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Вариант 2. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5000 студентов. Университет

Подробнее

Оптимизация производственной программы

Оптимизация производственной программы Оптимизация производственной программы Методические указания к лабораторной работе по экономике электротехнической промышленности Ульяновск 009 В 9 Васильев, В. Н. Оптимизация производственной программы

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Федеральное государственное образовательное бюджетное Учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Кафедра «Прикладная

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Общие сведения 1. Кафедра Общих дисциплин 2. Направление подготовки 38.03.01 «Экономика» 3. Дисциплина (модуль) Б1.Б.8 Линейная алгебра Перечень компетенций - способностью осуществлять

Подробнее

2. Методы решения общей задачи линейного программирования

2. Методы решения общей задачи линейного программирования . Методы решения общей задачи линейного программирования Современные методы ЛП делятся на две большие группы: - координатные методы и итерационные, позволяющие находить приближенные решения задач ЛП. Наиболее

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи.

Симплекс-метод решения задачи. 1) Решить симплекс-методом задачу линейного программирования 10x1 7x2 5x3 min 6x1+ 15x2 + 6x3 9 14x1+ 42x2 + 16x3 21 2x1+ 8x2 + 2x3 4 x j 0 ( j = 1, 2, 3) Симплекс-метод решения задачи. Симплексный метод

Подробнее

Факультет бухгалтерского учета и финансов

Факультет бухгалтерского учета и финансов Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный аграрный университет

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее