А. В. Овчинников. Линейная алгебра

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А. В. Овчинников. Линейная алгебра"

Транскрипт

1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Для подготовки бакалавров направлений «Экономика» и «Менеджмент» Москва 200

2 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» УТВЕРЖДАЮ Ректор М А Эскиндаров 200 г А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Рекомендовано Ученым Советом при факультете «Математические методы и анализ рисков» протокол 7 от 22 июня 200 г Одобрено кафедрой «Прикладная математика» протокол 2 от 9 мая 200 г Москва 200

3 УДК ББК 2243 Г 65 Рецензент: ВМ Гончаренко, кф-мн, доцент А В Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работ по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» М: Финуниверситет, кафедра «Прикладная математика», 200 В данном издании представлено 30 вариантов контрольных работ по линейной алгебре для студентов первого курса по темам «Число и вектор Фробениуса Модель Леонтьева Линейное программирование Транспортная задача Разностные уравнения» Последний 30-й вариант приводится с подробными решениями Учебное издание УДК ББК 2243 Г 65 Алексей Витальевич Овчинников Линейная алгебра Учебно-методический материал для подготовки контрольных работы по темам «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» Компьютерный набор, верстка: А В Овчинников Формат 60х90/6 Гарнитура Times New Roman, Antiqua Услпл0,6 Изд -200 Тираж экз Отпечатано в ФГОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» А В Овчинников, 200 ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 200

4 Введение Домашние контрольные работы по математике являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов В издании представлены материалы для двух домашних контрольных работ по второй части курса линейной алгебры, которая охватывает следующие темы: «Число и вектор Фробениуса», «Модель Леонтьева», «Линейное программирование», «Транспортная задача», «Разностные уравнения» В результате выполнения работы студенты, с одной стороны, демонстрируют умения и навыки, приобретенные в ходе лекций и практических занятий, и получают оценки, являющиеся существенной компонентой аттестации и баллов за работу в семестре С другой стороны, выполнение заданий домашней контрольной работы является важной частью подготовки к семестровому экзамену зачету Задания контрольной работы составлены так, чтобы охватить все основные типы задач по данным темам Сроки выполнения и сдачи домашних контрольных работ устанавливаются преподавателем Оценки выставляются по итогам проверки письменных работ и собеседования или аудиторной контрольной работы В настоящем пособии представлено 30 вариантов домашних контрольных работ К варианту 30 приведены подробные решения, в которых продемонстрированы основные приемы и методы решения типовых задач В целях экономии места задачи сгруппированы не по вариантам, а по типам: сначала приведены 30 вариантов задачи, затем 30 вариантов задачи 2 и тд Такая структура пособия объясняется тем, что у многих задач, приведенных в пособии, одинаковая текстовая часть, но различные числовые данные 3

5 Правила оформления домашних контрольных работ Работа должна быть выполняется аккуратно, разборчивым почерком, синей или черной ручкой на листах формата А4 Листы должны быть скреплены неразборным соединением степлером, клеем и тп 2 Работа снабжается титульным листом, на котором приводятся следующие данные: номер группы, фамилия студента, дата сдачи работы на проверку, ответы ко всем задачам в том же порядке, в котором задачи сформулированы см образец титульного листа на следующей странице Если задача не решена, вместо ответа ставится прочерк 3 Решения задач внутри работы должны быть приведены в той же последовательности, что их формулировки Если в задаче предусмотрено несколько заданий, то они также должны быть решены в той последовательности, в которой сформулированы 4 Перед решением указывается порядковый номер задачи, который необходимо выделить маркером, рамкой и тп Условие переписывать не требуется В конце решения приводится ответ по форме: «Ответ:» 5 Числовой ответ должен быть приведен в виде целого числа, или десятичной дроби с 4 знаками после запятой, или обыкновенной дроби, у которой и числитель, и знаменатель которой не превышают 9999 То же требование налагается на элементы матриц 6 Неверное решение, решение задачи из другого варианта или задачи с измененным условием, отсутствие решения или выписанного на титульном листе ответа приводит к минимальной оценке задачи 0 баллов 7 Отсутствие обоснования при верном решении влечет снижение оценки на 2 балла 4

6 8 Неверный ответ в том числе из-за ошибок округления при верном решении снижает оценку 9 Оценка также снижается за небрежное оформление работы зачеркнутый текст, вставки, неаккуратные чертежи и тп Образец оформления титульного листа Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Кафедра «Прикладная математика» Линейная алгебра Контрольная работа Выполнил студент группы ФК-- Бесфамильный И О Работа сдана 29 февраля 2007 г Ответы: Задача СЗ: λ = 2, λ = 4 ; СВ: r T 2 x = c 9,, r x = c 37,4 2 2 T, где c c 0, 2 Задача 2 и так далее 5

7 Контрольная работа В состав контрольной работы входят четыре задачи по темам, изучаемым в первой половине семестра: число и вектор Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы, модель Леонтьева, задача линейного программирования об оптимальном использовании ресурсов, а также задача о нахождении собственных значений и собственных векторов матрицы задача, цель которой напомнить студентам соответствующие понятия, играющие важную роль в теории Фробениуса СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Найдите все собственные значения и собственные векторы данной матрицы

8 2 ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса матрицы A При каких значениях α матрица αa продуктивна? A = A = A = A = 23 A = 24 A = 25 A = 26 A = 27 A = 28 A = 29 A = 20 A = A = 23 A = 24 A = 25 A = 26 A = 27 A = 28 A = 29 A = 220 A = A = 223 A = 224 A = 225 A = 226 A = 227 A = 228 A = 229 A = 230 A =

9 8 3 МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА Рассматривается двухотраслевая модель экономики Задана балансовая таблица за прошедший год Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года 2 Найдите матрицу Леонтьева A 3 Найдите матрицу полных затрат H 4 В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на a %, а отрасли II уменьшится на b % Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году Запишите вектор конечного потребления x для следующего года 5 Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года 6 На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим? 7 Известен вектор норм добавленной стоимости v в прошедшем году Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году Запишите вектор равновесных цен p 3 Отрасли Произв потребление Конечное I II 4 4 a =20%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =40%, Отрасли Произв потребление Конечное I 5 II a =50%, b =70%, 7 34 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =60%, 3 5

10 9 35 Отрасли Произв потребление Конечное I 5 II a =50%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 7 5 a =0%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =20%, b =0%, 5 39 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =50%, 2 30 Отрасли Произв потребление Конечное I 2 5 II 3 2 a =30%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 2 2 II a =50%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 2 a =0%, b =70%, 5 4

11 0 33 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 5 7 a =50%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =60%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I 5 3 II a =30%, b =20%, 3 38 Отрасли Произв потребление Конечное I 3 6 II a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 7 6 II a =70%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I 2 6 II 7 5 a =20%, b =40%, 6 4

12 32 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =30%, b =20%, 322 Отрасли Произв потребление Конечное I 2 3 II 3 2 a =40%, b =20%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I II 2 a =20%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I 3 5 II a =0%, b =0%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =30%, b =60%, Отрасли Произв потребление Конечное I 3 4 II 6 7 a =70%, b =70%, Отрасли Произв потребление Конечное I II a =70%, b =50%, 4 4

13 2 329 Отрасли Произв потребление Конечное I II a =40%, b =30%, Отрасли Произв потребление Конечное I 4 3 II a =70%, b =0%, ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностьюизрасходовано Построить математическуюмодель задачи 2Привестизадачукстандартнойформе 3 Решить полученнуюзадачу графическим методом 4 Привести задачу к канонической форме 5 Решить полученнуюзадачу симплекс-методом 6 Проанализировать результаты решения 4 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 4

14 3 45 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 49 I II III Прибыль I II III Прибыль 5 3

15 4 45 I II III Прибыль I II III Прибыль 7 46 I II III Прибыль I II III Прибыль 3 47 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 3 2

16 5 425 I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль I II III Прибыль 5 5 РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 30 Найдите все собственные значения и собственные векторы матрицы A = 8 70 Решение Найдем собственные значения матрицы A; они являются корнями ее характеристического многочлена fλ =deta λe, гдеe единичная матрица Имеем det 76 λ λ =76 λ 70 λ = λ 2 6λ +8; корни этого квадратного трехчлена суть λ =2и λ 2 =4 2 Собственные векторы, отвечающие собственному значению λ 0, являются решениями системы линейных однородных уравнений A λ 0 E x = 0

17 6 Для собственного значения λ =2матрица A λ E равна Поскольку определитель этой матрицы равен нулю, строки ее линейно зависимы пропорциональны, поэтому соответствующая система состоит из единственного уравнения: 74x + 666x 2 =0 8x 72x 2 =0 x +9x 2 =0, общее решение которого имеет вид x = c 9, где c 0 произвольная постоянная Для собственного значения λ 2 =4аналогично получаем 37 x 2 = c 2 4 Ответ: собственные значения λ =2, λ 2 =4; соответствующие собственные векторы x = c 9, T, x 2 = c 2 37, 4 T,гдеc,c Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса матрицы A = При каких значениях α матрица αa продуктивна? Решение Поскольку сумма элементов каждого столбца матрицы равна 27, то число Фробениуса этой матрицы также равно λ A =27см соответствующую теорему в теоретическом курсе 2 Чтобы найти вектор Фробениуса, необходимо решить систему линейных однородных уравнений A λ A E x = 0 Матрица A λ A E имеет вид Для решения системы с этой матрицей метод Гаусса не очень удобен; поступим следующим образом Поскольку определитель матрицы A λ A E равен нулю, строки ее линейно зависимы, так что одна из строк является линейной комбинацией остальных и может быть удалена из матрицы Удалим первуюстроку;

18 оставшиеся две строки линейно независимы поскольку они не пропорциональны, а соответствующая система уравнений имеет вид { { 0x 8x 2 +7x 3 =0, 3x +2x 2 7x 3 =0 0x 8x 2 = 7x 3, 3x +2x 2 =7x 3 Положив x 3 =, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными { 0x 8x 2 = 7, 3x +2x 2 =7, решение которой легко получить с помощьюформул Крамера: x = = = 37 59, x = = = Таким образом, все решения системы 7 имеют вид 37/59 x = c 87/8, где c произвольная постоянная Согласно определениюсобственный вектор ненулевой, поэтому все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному значению λ A =27, описываются формулой 74 x СВ = s 87, 8 где s 0, а все векторы Фробениуса матрицы A формулой 74 x A = p 87, 8 где p>0, поскольку по определениювектор Фробениуса неотрицателен 3 Согласно второму критериюпродуктивности матрица продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы Поскольку собственные значения матрицы αa отличаются от собственных значений матрицы A в α раз, число Фробениуса матрицы αa равно 27α Для продуктивности матрицы αa необходимо и достаточно, чтобы 0 <α</27 условие α>0 требуется для неотрицательности матрицы αa Обратите внимание на различие понятий общего решения системы линейных однородных уравнений в данном контексте, собственного вектора и вектора Фробениуса 7

19 8 Ответ: число Фробениуса λ A =27, вектор Фробениуса x A = p74, 87, 8 T, где p>0 Матрица αa продуктивна при 0 <α</27 3 Рассматривается двухотраслевая модель экономики Задана балансовая таблица за прошедший год: Отрасли Произв потребление Конечное I 4 3 II Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска x для прошедшего года 2 Найдите матрицу Леонтьева A 3 Найдите матрицу полных затрат H 4 В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на 70 %, а отрасли II уменьшится на 0 % Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году Запишите вектор конечного потребления d для следующего года 5 Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска x для следующего года 6 На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим? 7 Известен вектор норм добавленной стоимости 5, 5 T впрошедшем году Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году Запишите вектор равновесных цен p Решение Валовой выпуск продукции по каждой из отраслей получается сложением объемов производственного и конечного потребления по каждой из отраслей: Отрасли Произв потребление Конечное Валовой выпуск I =8 II =5 Таким образом, вектор валового выпуска для прошедшего года равен x =8, 5 T 2 Элементы j матрицы Леонтьева вычисляются по формулам j = x ij x j,

20 где x ij объем производственного потребления продукции отрасли i отраслью j, x j валовой выпуск отрасли j Имеем: a = x = x 8 =025, a 2 = x 2 = 4 x 2 5 =0267, a 2 = x 2 = 5 x 8 =0625, a 22 = x 22 = 3 A = x 2 5 =02, Матрицу полных затрат H найдем по формуле H =E A ;имеем E A = = Обращение матрицы второго порядка удобно провести с помощьюформулы ab = cd Согласно этой формуле H =E A = = = ad bc d b c a = Конечное потребление в следующем году изменяется по сравнению с прошедшим годом; объем конечного потребления продукции отрасли I увеличивается на 70% и становится равным d =3 + 70% =5; 00% аналогично для второй отрасли d 2 =7 0% =63 00% Таким образом, вектор конечного потребления для следующего года равен d =5, 63 T 5 Вектор валового выпуска x связан с вектором конечного потребления d уравнением Леонтьева: x = A x + d, откуда E A x = d x =E A d = Hd Поэтому вектор валового выпуска x для следующего года равен x = Hd = =

21 20 6 Найдем, на сколько процентов изменился валовой выпуск по каждой отрасли: %Δx = x x 00% = % = 35%, x 8 %Δx 2 = x 2 x % = 00% = 87%; x 2 5 валовой выпуск обеих отраслей увеличился 7 Вектор равновесных цен p находим с помощью«двойственного» уравнения Леонтьева p = A T p + v, где v вектор норм добавленной стоимости Имеем p = H T Ответ: x =, 2 A = d 5 =, 63 5 x 08 35% =,6%Δ x =,7 p = 63 87% 34 = , 3 H =, Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице: I II III Прибыль 5 5 Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностьюизрасходовано Построить математическуюмодель задачи 2Привестизадачукстандартнойформе 3 Решить полученнуюзадачу графическим методом 4 Привести задачу к канонической форме 5 Решить полученнуюзадачу симплекс-методом 6 Проанализировать результаты решения

22 Решение Обозначив через x, x 2, x 3 неотрицательные 2 объемы выпуска продукции вида A, B, C соответственно, видим, что прибыль, полученная при реализации 5 единиц продукции A, 5 единиц продукции B и единицы продукции C, равна 5x +5x 2 + x 3, так что задача состоит в максимизации целевой функции fx,x 2,x 3 =5x +5x 2 + x 3 max Ограниченность ресурсов сырья I и II приводит к неравенствам 6x +0x 2 + x 3 2, 2x +4x 2 + x 3 64 Ограниченность ресурсов сырья III вместе с требованием, чтобы сырье III было полностьюизрасходовано, приводит к уравнению 4x +2x 2 + x 3 =24 Итак, математическая модель задачи имеет следующий вид: fx,x 2,x 3 =5x +5x 2 + x 3 max, 2a 6x +0x 2 + x 3 2, 2b 2x +4x 2 + x 3 64, 2c 4x +2x 2 + x 3 =24, 2d 2e 2 Приведем задачу к стандартной форме, те к виду, где все ограничения имеют форму неравенств Выразив из ограничения-уравнения 2d одну из переменных, например x 3, x 3 =24 4x 2x 2, 3 поставим полученное выражение в целевуюфункцию2a: fx,x 2,x 3 =5x +5x x 2x 2 =x +3x 2 +24, в ограничения-неравенства: 6x +0x x 2x 2 2 2x +8x x +2x 2 22, 2x +4x x 2x x +2x x + x 2 20 Кроме того, учтем тот факт, что x 3 0 см 2e, откуда получаем еще одно ограничение неравенство 4x +2x x + x Очевидно, должны выполняться неравенства x 0, x 2 0, x 3 0

23 22 Итак, получена стандартная форма задачи: f x,x 2 =x +3x max, 4a 3x +2x 2 22, 4b 4x + x 2 20, 4c 2x + x 2 2, 4d x 0, x 2 0 4e 3 Решим полученнуюзадачу графическим методом; это возможно, так как число неизвестных в ней равно двум Сначала изобразим на координатной плоскости Ox x 2 область допустимых значений неизвестных Нетривиальные ограничения-неравенства определяют полуплоскости, содержащие начало координат и имеющие в качестве границ прямые 3x +2x 2 =22 x 22/3 + x 2 =, 5a 4x + x 2 =20 x 5 + x 2 =, 5b 20 2x + x 2 +2 x 6 + x 2 =; 5c 2 при построении чертежа учтем, что прямая на плоскости, задаваемая уравнением вида x a + x 2 b =, пересекает координатные оси Ox и Ox 2 в точках a, 0 и 0,b соответственно Выполнив построение, получаем пятиугольник OABCD с вершинами O0, 0, A0,, B2, 8, C4, 4, D5, 0 Точки A и D использовались при построении чертежа, так что их координаты очевидны Точка B является пересечением прямых 5a и 5c, а точка C пересечением прямых 5b и 5c, так что координаты этих точек вычисляются как решения линейных систем 3x +2x 2 =22, 4x + x 2 =20, B : C : 2x + x 2 =2, 2x + x 2 =2 Вектор градиента целевой функции 4a равен g =, 3 T ; также изобразим его на чертеже Значения целевой функции 4a во всех точках любой прямой, перпендикулярной этому вектору, одинаковы, а при сдвиге указанной прямой в направлении вектора g значения целевой функции увеличиваются Используя чертеж, находим, что наибольшее значение целевой функции в пятиугольнике OABCD достигается в точке C4, 4 иравно f 4, 4 = =80 Соответствующее значение переменной x 3 вычисляется с помощью3 и равно x 3 = =0

24 23 20 x 2 5b 5c 5c 5a 2 A 8 B 4 3 C g O D x 5b 5a Итак, максимальное значение целевой функции fx,x 2,x 3 достигается при x =4, x 2 =4, x 3 =0иравно80

25 24 Отметим, что использование одного лишь чертежа в данной задаче приводит к затруднениюпри выборе точки максимума целевой функции: отрезок CD на чертеже выглядит перпендикулярным вектору градиента g В этом случае приходится прибегать к методу перебора вершин, вычисляя значения целевой функции f x,x 2 в точках C и D и выбирая наибольшее из этих значений: f C =f 4, 4 = 80, f D =f 5, 0 = 79 4Приведемзадачу2кканоническойформе,теквиду,гдевсенетривиальные ограничения имеют форму уравнений Для этого достаточно ввести в неравенства 2b и 2c балансовые переменные x 4 и x 5 соответственно Задача принимает вид fx,x 2,x 3,x 4,x 5 =5x +5x 2 + x 3 max, 6a 6x +0x 2 + x 3 + x 4 = 2, 6b 2x +4x 2 + x 3 + x 5 =64, 6c 4x +2x 2 + x 3 =24, 6d 6e 5 Решим полученнуюзадачу симплекс-методом Сначала необходимо получить начальный опорный план задачи, те неотрицательное базисное решение системы нетривиальных ограничений-уравнений 6b 6d Запишем расширеннуюматрицу этой системы: Вычитая третьюстроку из первой и второй, получим матрицу Очевидно, неизвестные x 3, x 4, x 5 являются базисными, x и x 2 свободными; взяв значения свободных неизвестных равными нулю, для базисных получаем x 3 =24, x 4 =88, x 5 =40 Итак, найден начальный опорный план x =0, x 2 =0, x 3 =24, x 4 =88, x 5 =40 Выразим целевуюфункцию6a через свободные неизвестные x и x 2 Из6d получаем x 3 =24 4x 2x 2 ср 3; подставляя это выражение в 6a, получим fx,x 2,x 3,x 4,x 5 =x +3x ср 4a; запишем это выражение в виде f x 3x 2 =24

26 25 Теперь можно заполнить первуюсимплекс-таблицу: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x f В f-строке имеются отрицательные элементы не считая свободного члена; следовательно, начальный опорный план не является оптимальным Найдем минимальный отрицательный элемент f-строки: это в столбце «x»; этот столбец будет ведущим, те в следующей симплекс-таблице неизвестная x будет включена в базис вместо одной из x 3, x 4, x 5 Так как среди элементов ведущего столбца «x» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному Для его построения определим, какуюиз неизвестных x 3, x 4, x 5 нужно исключить из базиса Для этого вычисляем симплексные отношения отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и выбираем среди них минимальное: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ Симпл отн x /4 =6 x /2 = 22/3 x /8 =5 f Минимальное симплексное отношение, равное 5, получилось в строке «x 5», те переменную x 5 нужно исключить из базиса Проведем одну итерациюметода Гаусса Столбцы «x 3»и«x 4» останутся базисными и в новой симплекс-таблице, а столбец «x» следует сделать единичным Сначала сделаем единичным ведущий элемент он выделен в предыдущей таблице, для чего разделим на 8 ведущуюстроку: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x f Теперь выполняем следующие элементарные преобразования матрицы: i к строке «x 3»прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 4; ii к строке «x 4»прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 2; iii к строке «f» прибавляемстроку«x 5», умноженнуюна 5

27 26 В результате получается вторая симплекс-таблица: БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x 4 f В f-строке все еще имеются отрицательные элементы, так что план не является оптимальным Единственный минимальный отрицательный элемент f-строки равен /4; он находится в столбце «x 2» Этот столбец ведущий, те в следующей симплекс-таблице неизвестная x 2 будет включена в базис вместо одной из x 3, x 4, x Так как среди элементов ведущего столбца «x 2» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному Вычислим симплексные отношения и выбираем среди них минимальное: 8 8 БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ Симпл отн x / = x /5 x 4 f / 4 =20 Ведущей строкой является строка «x 3»; ведущий элемент равен Столбцы «x», «x 4» по-прежнему остаются базисными, а вместо «x 3» базисным станет столбец «x 2»; для этого нужно сделать столбец «x 2» единичным Выполним следующие элементарные преобразования: i к строке «x 4»прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна 5; ii к строке «x»прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна /4; iii к строке «f» прибавляемстроку«x 3», умноженнуюна /4 В результате получается следующая симплекс-таблица: 79 БП x x 2 x 3 x 4 x 5 СЧ x x x 0 4 f

28 Теперь в f-строке нет отрицательных элементов, так что оптимальный план найден Согласно этому плану максимальное значение целевой функции, равное 80, достигается при значениях базисных переменных x =4и x 2 =4значение x 4 =8игнорируем, поскольку x 4 балансовая переменная, отсутствующая в исходной постановке задачи и значении x 3 =0свободной переменной значение x 5 также игнорируется Ответ: Максимальное значение целевой функции равно f max = f4, 4, 0 = 80 27

29 28 Контрольная работа 2 СИМПЛЕКС-МЕТОД Дана задача линейного программирования Составьте для данной задачи двойственную 2 Решите двойственнуюзадачу графическим методом 3 Используя теоремы двойственности, найдите решение исходной задачи f =26x + x 2 +44x 3 min 2x +3x 2 x 3 2 3x 5x 2 +8x 3 3 f =44x +58x 2 +3x 3 min 7x +0x 2 3x 3 7 x x 2 +2x 3 f =9x 22x 2 +64x 3 min 3x +5x 2 2x 3 3 x 6x 2 +7x 3 f =9x 8x 2 +53x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 x 6x 2 +7x 3 f =28x +68x 2 +8x 3 min 3x +9x 2 6x 3 3 4x 4x 2 +8x 3 4 f =7x +80x 2 +66x 3 min 7x +0x 2 3x 3 7 4x 5x 2 +9x 3 4 f =5x +24x 2 +3x 3 min x 7 +6x 2 5x 3 3x 4x 2 +7x 3 3 f =72x +78x 2 +7x 3 min 7x 8 +4x 2 7x 3 7 5x x 2 +6x 3 5 f =9x +63x 2 +92x 3 min 3x 9 +7x 2 4x 3 3 7x 5x 2 +2x 3 7 f =48x +42x 2 +75x 3 min 6x 0 +x 2 5x 3 6 3x 6x 2 +9x 3 3 f =4x +37x 2 +7x 3 min 6x +7x 2 x 3 6 x x 2 +2x 3 f =8x +2x 2 +30x 3 min 7x 2 +0x 2 3x 3 7 x 2x 2 +3x 3

30 f =48x +60x 2 +45x 3 min 5x 3 +x 2 6x 3 5 2x 7x 2 +9x 3 2 f =4x +6x 2 +78x 3 min 5x 4 +x 2 6x 3 5 3x 4x 2 +7x 3 3 f = 3x + 5x 2 +52x 3 min 6x 5 +2x 2 6x 3 6 7x x 2 +8x 3 7 f =8x +0x 2 +9x 3 min x 6 +4x 2 3x 3 2x 3x 2 +5x 3 2 f =77x + 07x 2 +29x 3 min 3x 7 +8x 2 5x 3 3 7x x 2 +8x 3 7 f =85x + 0x 2 +50x 3 min 3x 8 +9x 2 6x 3 3 7x x 2 +8x f =30x +42x 2 +30x 3 min 4x +7x 2 3x 3 4 2x 7x 2 +9x 3 2 f =40x +48x 2 +24x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 7x 2x 2 +9x f =25x +2x 2 +6x 3 min 5x +8x 2 3x 3 5 x 6x 2 +7x 3 f =26x +26x 2 +26x 3 min 2x +4x 2 2x 3 2 5x 3x 2 +8x 3 5 f =7x +9x 2 +x 3 min 2x +3x 2 x 3 2 x 5x 2 +6x 3 f =38x +42x 2 +32x 3 min 2x +6x 2 4x 3 2 4x 6x 2 +0x 3 4 f =32x +5x 2 +x 3 min 2x +6x 2 4x 3 2 4x 3x 2 +7x 3 4 f =95x +55x 2 + 5x 3 min 7x +8x 2 x 3 7 5x 5x 2 +0x f =95x +9x 2 +65x 3 min 5x 27 +8x 2 3x 3 5 7x x 2 +8x 3 7 f = 05x +90x x 3 min 7x 28 +2x 2 5x 3 7 7x 3x 2 +0x 3 7

31 30 29 f =20x +60x 2 20x 3 min 2x +8x 2 6x 3 2 2x 2x 2 +4x 3 2 f =74x + 06x 2 +20x 3 min 6x 30 +0x 2 4x 3 6 4x 2x 2 +6x ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Имеется три склада, содержащих некоторое количество однотипной продукции, а также четыре потребителя, нуждающиеся в определенном количестве данной продукции При перевозке одной единицы продукции со склада i потребителю j возникают издержки Запасы продукции на складах, потребности потребителей b j итарифыперевозокc ij, i =, 2, 3, j =, 2, 3, 4, приведеныв таблице Требуется найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку будут минимальны Проверьте задачу на сбалансированность 2 Постройте опорный план методом минимального элемента 3 С помощьюметода потенциалов найдите оптимальное решение задачи

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

В.М. Гончаренко, А.В. Овчинников, В.Ю. Попов МАТЕРИАЛЫ К ЭКЗАМЕНУ. по дисциплине «Исследование операций»

В.М. Гончаренко, А.В. Овчинников, В.Ю. Попов МАТЕРИАЛЫ К ЭКЗАМЕНУ. по дисциплине «Исследование операций» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финуниверситет) Кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3)

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3) Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» В.М.

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 08.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Линейная алгебра (лекция 13) 08.12.2012 2 / 25 Задача линейного программирования: F (x 1, x 2,..., x n ) = n c j x j max(min),

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений.

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Тема. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы определителя первые две строки все элементы какой-нибудь

Подробнее

l =- с собственным вектором ( )

l =- с собственным вектором ( ) Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

«ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ»

«ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 «ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ: Задача об аренде партии верблюдов Задача о выборе транспортных средств СОДЕРЖАНИЕ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики П. И. Гниломедов И. Н. Пирогова П. П. Скачков ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Практическая работа 9 Транспортная задача линейного программирования

Практическая работа 9 Транспортная задача линейного программирования Практическая работа 9 Транспортная задача линейного программирования Цель работы: создание математической модели транспортной задачи и определение опорного решения. Содержание работы: Основные понятия.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Методическое пособие по выполнению контрольной работы 1 для заочного и дистанционного обучения студентов экономических специальностей

МАТЕМАТИКА. Методическое пособие по выполнению контрольной работы 1 для заочного и дистанционного обучения студентов экономических специальностей Федеральное агентство по образованию Вологодский государственный технический университет Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методическое пособие по выполнению контрольной работы для заочного и дистанционного

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на 4 ПРОГРАММА Тема. Линейное программирование Задачи планирования и управления, их математические модели. Общая постановка задач оптимизации. Различные формы записи задач линейного программирования (ЛП)

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

4. Тематический план дисциплины. 1. Цели освоения дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавра экономики Линейная алгебра (Б1.Б.

4. Тематический план дисциплины. 1. Цели освоения дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавра экономики Линейная алгебра (Б1.Б. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины (модуля) Линейная алгебра являются: - подготовить специалистов, обладающих знаниями достижений классической и современной математики, необходимых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Богомазов Р. Ю., Беседин Н. Т. Юго-западный государственный университет 1. Цель

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра Математика А. Е. Гарслян ИССЛЕДОВАНИЕ

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Л.А. ПЛЕТНЁВА, И.Г. КАГРАМАНОВА, М.А. ЛЕЕВА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования АКАДЕМИЯ БЮДЖЕТА И КАЗНАЧЕЙСТВА НА Бурмистрова, НИ Ильина СИСТЕМЫ

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса.

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса. ) Задача о планировании производства. Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B. На производство единицы изделия

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ УДК 518.85 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.В. Листопад Национальный университет пищевых технологий, г. Киев, Украина, vlystopad@ukr.et В докладе приведены три способа

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи

4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи 4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи За двойственными переменными стоят не только числа, по которым, следуя теореме 4.2, можно найти решение прямой задачи, но и определенный содержательный

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях.

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях. Лекция. Задача о назначениях. Постановка задачи. Институт получил гранты на выполнение четырех исследовательских проектов. Выходные результаты для первого проекта являются входными данными ля второго проекта

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости: Комплексные числа Имеет вид, где и действительные числа, так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ( ) комплексного числа, число называется мнимой частью ( ) комплексного числа.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций И А Никифорова Н П Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации Байкальский государственный университет экономики и права И А Никифорова Н П Шерстянкина

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики Е.Р. Газизов, С.Е. Газизова, А.Р. Газизов Линейная алгебра Методические указания Казань 6

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Министерство образования Республики Беларусь. Кафедра «Высшая математика 3»

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Министерство образования Республики Беларусь. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Программные вопросы, контрольные задания и методические

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее