Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков."

Транскрипт

1 Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x a mn x n =b m} Обозначим систему из m уравнений и n неизвестных как: m n. Здесь: - i - номер уравнения (строки матрицы; a ij - j - номер неизвестной (столбца матрицы. Эту же систему уравнений можно записать в виде матрицы: ~ A = ( A B, где А матрица, составленная из коэффициентов перед неизвестными (матрица системы, а В столбец свободных членов (b 1,...,b m. Расширенной матрицей системы называют матрицу, полученную из матрицы системы путём дописывания справа после вертикальной черты столбца свободных членов. Расширенная матрица системы ( ~ A : ~ 11 a a 1n A= a a m1 a m a mn b1 m b Решение уравнения набор из n чисел, удовлетворяющих всем уравнениям: X=(x 1 x 2 : x n

2 Элементарные преобразования уравнений (строк матрицы. 1. (i := (i + λ( j (i j, λ R 2. (i ( j транспозиция двух уравнений ( строк матрицы. 3. (i := λ( j Любое из элементарных преобразований переводит данную систему в равносильную ей. Системы и определители второго и третьего порядков. { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 (a 22 } a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ( a 12 a 11 a 22 x 1 a 12 a 21 x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 (a 11 a 22 x 2 = b 2 a 11 b 1 a 21 Определитель (детерминант матрицы второго порядка: Обозначается: А, det( A, a..., Δ. (Эти же обозначения справедливы и a... для матрицы произвольного порядка. (Символ Δ также называют «главным определителем системы». det (A = a 11 a 22 a 12 a 21 для матрицы второго порядка. Δ 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 ; Δ 2 = a 11 b 1 a 21 b 2 вспомогательные определители матрицы второго порядка. { Δ x 1 = Δ 1 Δ x 2 = Δ 2} Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

3 Рассмотрим однородную систему: 1. Δ 0 Δ {x x1 1 = Δ x 2 = Δ x 2 Δ } единственное решение системы. Данный метод решения систем линейных уравнений получил название 'Метод Крамера'. 2. Если Δ = 0, то: 2.1. Δ 1 и Δ 2 0 (нет решений Δ 1 = Δ 2 = 0 много решений. Δ = 0= a 11 a 22 a 12 a 21 / :a 11 a 12 (x a 21 a 11 = a 22 a 22 = b Рассмотрим стему линейных уравнений с тремя неизвестными: { a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 = 0 / : y 3, a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 = 0 / : y 3 ;} y 1 y + a 2 y 12 = a 3 y 13, 3 ;} y a 1 y 21 + a 2 y 22 = a 3 y 23 3 {a11 y Введём замену: 1 = t y 1, 3 { a 11t 1 + a 12 t 2 = a 13, a 21 t 1 + a 22 t 2 = a 23 ;} Допустим, что a 11 a 12 a a 12 t 1 = a 23 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 Δ = a 11 a 13 a 21 a t 2 = 23 a 11 a 12 a 21 a 22 Δ = a 22 y 2 y 3 Допустим, y 3 0. = t 2. Тогда: 0. Получим: a 13 a 12 a 23 a 22 Δ a 11 a 13 a 21 a 23 Δ, где (t 1 ; t 2 = ( y 1 y 3 ; y 2 y 3.

4 Одно из решений: ( y 1, y 2, y 3 = ( a 13 a 12 a 23 a 22 ; a 11 a 13 a 21 a 23 ; a 11 a 12 a 21 a 22 = ( a 12 a 13 a 22 a 23 ; a 11 a 13 a 21 a 23 ; a 11 a 12 a 21 a 22 (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b1 b 3. Введём обозначение: M ij - дополнительный минор матрицы А к элементу a ij. Определитель матрицы третьего порядка: Т.е., для матрицы 3 3 детерминант находится суммированием шести произведений из трёх элементов. Действие выполняется согласно следующей схеме: Правило треугольника (Сарруса: ИЛИ

5 Обратите внимание, что данное правило работает лишь для матриц третьего порядка! Свойства детерминанта: det (A T = det A, где A T транспонированная матрица. Детерминант матрицы можно раскладывать по любому столбцу и по любой строке, используя правило знаков: Если в матрице А сделать транспозицию двух строк или двух столбцов, то её определитель изменит знак. Из любого столбца или строки можно выносить общие множители всех элементов этого столбца или строки.. Действия над матрицами. Введём обозначение: A=(a ij ( 1 i m количество строк ;. 1 j n количество столбцов 1. Сложение: Если A = (a ij ; B = (b ij размера m n, то C = (c ij :=A + B, если (i ; j: C ij = a ij + b ij Существует матрица вида: O =( m n такая, что A + O = O + A = A. Такую матрицу называют нулевой. A : A=( a ij. 2. Умножение на число (скаляр: λ R : (λ A ij = (λ a ij, т.е., при умножении матрицы на число каждый её элемент домножается на это число.

6 3. Произведение двух матриц: Для начала рассмотрим тривиальный случай: умножение строки на столбец: = (a 1 a 2... a n = a А 1 n B 1 n 1 =(b b 2 b... b n= n a b = a 1 b 1 + a 1 b a n b n = a i b i M (R i=1 1 1 Теперь рассмотрим умножение матрицы А, состоящей из n строк вида a i на столбец b : 1 A b = a b = a1 b... m m n 1 b a m b Сводя это к общему случаю, получаем: A (m s... a m ( = (a ij ; B (s n = (b ij 1 A B = a a 1 b 1... a 1 b n... 1 a b... b = n C m a = m b 1... a m b n c ij = a i b j = a i 1 b 1 j a is b sj = (1 i m; 1 j n s k=1 a ik b kj Свойства операций: 1. Свойства сложения. Ассоциативность: (A + B + C = A + (B + C, A, B, C M mn Существование нулевой матрицы: 0 : 0 + A = A ( A mn, 0 mn Существование противоположной матрицы: Коммутативность: A + B = B + A, A, B M mn 2. Свойства умножения на число. Ассоциативность: (λ 1 λ 2 A = λ 1 (λ 2 A Умножение на единицу: 1 A = A ( A, 1 R Дистрибутивность относительно сложения матриц: λ ( A + B = λ A + λ B (λ 1 + λ 2 A = λ 1 A + λ 2 A ( A, B M m,n

7 Данные свойства считаем очевидными и оставляем без доказательства. 3. Свойства умножения матриц: Ассоциативность: A ( A: ( A + A = 0 A ( B C = ( A B C (A, B, C M ; A m s, B s t, C t n Существование единичной матрицы такой, что: E =( ; E m A = A E = A m n m n n m n Данное свойство умножения матриц студентам предлагается доказать самостоятельно. Умножение матриц в общем случае не(! коммутативно. Приведем несколько примеров, подтверждающий последнее свойство: 1 (3; 1; ; 4 (2; 7; 1 T = = (3 1 1 (2; 7; 1 T (3; 1; 4 =( A =( = E 21 такую матрицу называют матричной единицей B =( = E A B = E 21 E 22 =( 0 0 B A =( = E 21 = A Докажем ассоциативность умножения матриц: A = (a ij ; B = (b kl 1 i m 1 k s 1 l t s ( A B il = a ik b kl k=1 t s (( A B C ij = l=1 k=1 ; C = (c lj a ik b kl c lj

8 Правило перестановки индексов в повторной группе: M = (m ij, (1 i k ; 1 j l - необходимо найти сумму всех элементов данной матрицы. M = m m 1 l m k1... m kl A m s = (a ik ; B s t = (b kl ; C t n = (c lj ( A B il = a ik b kl s k=1 (( A B C ij = l=1 t s ( k=1 a ik b kl c lj = t l=1 s ( k=1 a ik b kl c lj = ((A B C = (A (B C - что и требовалось доказать. Обратная матрица. s k=1 t a ik ( b kl c lj l=1 (B C kj = (A (B C ij Матрица А' называется обратной к матрице А если при их умножении выполняется: A A ' = A A ' = E n,где А и А' - квадратные матрицы порядка n, а E n - единичная матрица порядка n соответственно. Лемма: Если для матрицы А существует обратная матрица А', то она единственна. Доказательство: Допустим, что существуют различные матрицы А' и А'' обратные к матрице А. E Рассмотрим A ' A A ' ' = (A ' A A ' ' = A ' ' Но: A ' A cdota ' ' = A ' ( A A ' ' = A ' A ' = A ' ',что и требовалось доказать. В дальнейшем будем обозначать матрицу, обратную к матрице А как A 1. Теорема (условие существования обратной матрицы: Матрица, обратная к матрице А существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0. A 1 det A 0 Доказательство: Пусть: 11 a 12 a 13 x12 x13 A =(a a 21 a 22 a 23 A =(x11 a 31 a 32 a 33; 1 x 21 x 22 x 23 (x 1 x 31 x 32 x 33= x 2 x 3 Необходимо чтобы:

9 {A X 1 = E } 1 A X 2 = E 2 данная A X 3 = E 3 A A 1 = E = (E 1 E 2 E 3 система должна иметь одно решение Δ = A 0 Её можно переписать в следующем виде: { a x a x 1n n = b 1 n} A X = b a n1 x a nn x n = b Правило Крамера: 1 a12 a13 0 a 22 a 23 для X 1 : x 1i = Δ 1 Δ = 0 a 32 a Δ 33 = 1 a12 a13 0 a 22 a 23 X 2 : x 2i = Δ 0 a 2 32 a Δ Δ 33 Аналогично: = M 11 Δ = M 12 Δ (A 1 ij = x ij = ( 1i+ j M ji Δ Для матрицы второго порядка получаем: ( a 11 a 12 a 21 a 22 = 1 A ( a 22 a 12 a 21 a 11

10 Векторная алгебра. Векторы и линейные операции над ними. Вектор класс эквивалентности направленных отрезков. Скажем, что направленный отрезок AB и DC изображают один и тот же вектор, если DC можно получить из AB параллельным переносом. В С или В D С D А А Введём некоторые обозначения и термины: a b коллинеарность Сонаправленность: концы векторов лежат в одной полуплоскости от прямой, проходящей через их начала. Противонаправленность: концы векторов лежат в разных полуплоскостях от прямой, проходящей через их начала. Операции над векторами: 1. λ R : λ a λ a = λ a (λ = 0 λ a = 0 λ > 0 λ a сонаправлен a λ > 0 λ a противонаправлен a Замечание: Если a b и a 0, то! λ R : b = λ a 2. a + b B C AB + AD = AC AB AD = BD A D

11 Линейная комбинация векторов: a 1,..., a k с коэффициентами λ 1,..., λ k, где k 1 - это вектор a 1 λ a k λ k k Векторы a 1,..., a k линейно независимы, если a i λ i = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ k = 0 i=1 Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Векторы b 1,..., b m линейно зависимы, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная 0 Обозначим V множество всех векторов на прямой/на плоскости/в пространстве. Векторы e 1,..., e n называются базисом множества V если: они линейно независимы v V можно разложить по ним, т.е., найти такие коэффициенты x 1,..., x n Лемма: Разложение вектора по базису единственно. Доказательство: n n n Если V = x i e i = x ' i e i, то (x i x ' i e i = 0 i=1 i=1 i=1 e 1,..., e n линейно независимы i = 1,..., n x i = x ' i, что: V = i=1 Координатами вектора x в базисе e 1,..., e n - коэффициенты разложения по базисным векторам. Утверждения: Если V прямая, то n=1. Базис: e 1 0 Если V плоскость, то n=2. x i e i a = x e 1 + y e 2 + z e 3 = e 1 e 2 e 3 (x y z T = ē X e 2 Если V пространство, то n=3. Базис: e 1, e 2, e 3 неколлинеарны между собой. Базис: e 1 неколлинеарен Разложение произвольного вектора по базису в пространстве представляется в виде:

12 Лемма: Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатами. Утверждение: Если вектора линейно независимы, то определитель матрицы, составленной из их координат не равен 0. a, b, c линейно независимы a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 0 Доказательство: λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c = 0, следовательно: + λ + {λ1a1 2b1 λ3c1 = 0 0} λ 1 a 2 + λ 2 b 2 + λ 3 c 2 = 0 единственное решение: λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 λ 1 a 3 + λ 2 b 3 + λ 3 c 3 = Скалярное произведение векторов. Рассмотрим ортогональную проекцию вектора b на ось l с направляющим вектором a : b' = b cos ϕ b' = k a = b cos ϕ a a ( a, b = a b cos ϕ Свойства скалярного произведения: Коммутативность: ( a, b = ( b, a (t a, b = ( a, t b = t ( a, b Ассоциативность относительно сложения векторов: ( a, b 1 + b 2 = ( a, b 1 + ( a, b 2

13 Матрицей Грамма базиса е называют матрицу, составленную из скалярных произведений базисных векторов: G e = ( e 1, e 1 ( e 1, e 2 ( e 1, e 3 ( e 2, e 1 ( e 2, e 2 ( e 2, e 3 ( e 3, e 1 ( e 3, e 2 ( e 3, e 3 Пусть: a = ē x, b = ē y Тогда: ( a, b = X G e Y В ортонормированном базисе эта формула принимает вид: ( a, b = X Y Это происходит потому, что в ортогональном базисе скалярное произведение базисных векторов равно: ( e i, e j = δ ij, где δ ij = 0 при i j и δ ij = 1 при i = j Символ δ ij называют «символом Кронекера». Рассмотрим разложение произвольного вектора по ортонормированному базису в пространстве: 3 a = i=1 (т.е., a = i x i e i ; ( a, e j = i x i e i, b = j x i ( e i, e j y j e j ( a, e j = a cos α j = x i ( e j, e j = x i cos α 1, cos α 2, cos α 3 называют направляющими косинусами. Отсюда: a = a cosα 1, cos α 2, cos α 3, где cos α cos α cos α 3 2 = 1 Геометрический смысл определителя матрицы Грамма (для плоскости: = det G ( a, a ( a, e ( b, a ( b, b = a 2 b 2 a 2 b 2 cos 2 α = a 2 b 2 sin 2 2 α = S a, b Следовательно, определитель матрицы Грамма для базиса на плоскости равен квадрату площади параллелограмма, построенного на базисных векторах. Векторное произведение векторов. Пусть даны векторы a и b (допустим, что они приложены в одной точке.

14 Вектор c называется векторным произведением a и b, если выполняется: c = a b sin α = S a, b Замечание: c = 0, если a и b коллинеарны. Далее считаем a и b неколлинеарными. c a, c b a, b, c - правая тройка. Свойства векторного произведения: Антикоммутитивность: [ b, a] = [ a, b] Дистрибутивность: [ a 1 + a 2, b ] = [ a 1, b] + [ a 2, b] [λ a, b] = λ[ a, b] Векторное произведение в координатах: 3 [ a, b] = [ i=1 Если e 1, e 2, e 3 [ e 2, e 3 ] = e 1 [ e 3, e 1 ] = e 2 [ e 1, e 2 ] = e 3 3 a i e i, j=1 b j e j ] = i, j a i b j [ e i, e j ] = a 1 b 2 [ e 1, e 2 ] + a 1 b 3 [ e 1, e 3 ] + a 2 b 1 [ e 2, e 1 ] + [ e i, e i ]= 0 + a 2 b 3 [ e 2, e 3 ] + a 3 b 1 [ e 3, e 1 ] + a 3 b 2 [ e 3, e 2 ] = =(a 2 b 3 a 3 b 2 [ e 2, e 3 ] + (a 3 b 1 a 1 b 3 [ e 3, e 1 ] + ( b 2 a 2 b 1 [ e 1, e 2 ] = e 2, e 3 ] [ e 3, e 1 ] [ e 1, e 2 ] = [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 - правый ортонормированный базис, то: В задачах часто возникает формула двойного векторного произведения: [ a, [ b, c ]] = b( a, c c ( a, b Для её запоминания используется мнемоническое правило «БАЦ минус ЦАБ». Докажем её справедливость: Пусть данные вектора имеют в правом ортонормированном базисе следующие координаты:

15 Смешанное произведение векторов. Обозначается: ( a, b, c = ([ a, b], c Лемма: Смешанное произведение вектором численно равно ориентированному объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. ( a, b, c = ±V a,, где минус ставится, если тройка векторов левая, а плюс - если правая. b, c Следствие: ( a, b, c = 0 a, b, c - компланарные линейно зависимые. Свойства: ( a, b, c = ( b, a, c = ( c, b, a = ( b, c, a = ( c, a, b Дистрибутивность: ( a, b, ( c 1 + c 2 = ( a, b, c 1 = ( a, b, c 2 Однородность: ( a, b, λ c = λ( a, b, c Вычислим смешанное произведение в координатах: 3 a = i=1 a i e i ( a, b, c = ( a i e i, b i e i, c i e i = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ( e 1, e 2, e 3 Замена координат. a = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 Рассмотрим следующую задачу: Был некий базис в пространстве: e = e 1 e 2 e 3 Пусть ввели новый базис: e ' = e ' 1 e ' 2 e ' 3 Тогда его базисные вектора будут выражаться через старый базис следующим

16 образом: e ' j = s 1 j e 1 + s 2 j e 2 + s 3 j e 3 = e 1 e 2 e 3 (s 1 j s 2 j s 3 j, где j = 1, 2, 3. Перепишем это в матричном виде: e' = e S S = s 11 s 12 s 13 s 21 s 22 s 23 s s s e ' 33 e' e' координаты нового базиса = S e e' матрица перехода от базиса e к базису e '. Лемма: 1 Матрица перехода обратима и S e' e = S e e' Доказательство: e ' = e S e e' ; e = e ' S e' e Подставим выражение e ' через e во второе равенство: e = (e S e e ' S e' e = e (S e e ' S e' e в силу единственности разложения векторов по базису: (S e e' S e' e = E Аналогично: e ' = e' (S e e' S e' e E 1 S e ' e = S e e ' Замечание: определитель матрицы перехода не равен нулю, так как она составлена из линейно независимых векторов. Воспользуемся матрицей перехода для определения координат вектора. Рассмотрим разложения произвольного вектора по обоим базисам: Замена декартовой системы координат. Замена координат точки. (O, e 1, e 2, e 3 старая система координат (O', e ' 1, e ' 2, e ' 3 новая система координат OM (x, y, z; O ' M (x ', y ', z' Пусть: O '(x o, y o, z o ; e' = e S ( e e' x z =(xo y y o ( o + S x ' e e' y ' z z' Рассмотрим частный случай перехода от одного ортонормированного базиса к другому: 1 На плоскости:

17 S e' e =( e ' 1 = (cos α, sin α e ' 2 = ( sin α, cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α S e e' =( T cos α = S e e' Второй случай: e ' 1 = (cosα, sinα e ' 2 = (sin α, cosα cos α sin α sinα cosα S e e' =( 2 В пространстве: e и e ' ортонормированные базисы. Запишем, чему равно ( e ' i, e ' j = (s 1i s 2i s 2i (s 1 j s 2 j s 3 j= δ ij Утверждение: T S e' e = S e e' T S e e' S e e ' = E ортогональные матрицы. Ортогональная матрица матрица, обратная к которой есть транспонированная.

18 Прямые и плоскости. Прямые. Пятый постулат Евклида:! прямая l P o : l a ( a 0 Утверждение: Точка P с радиус-вектором r l P o P a P o P = t a, t R r = r o + t a, t R \ параметрическое ур ие прямой a - направляющий вектор прямой. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат: r (x, y, z, r o (x o, y o, z o, a(a x, a y,a z Тогда параметрическое уравнение прямой можно переписать в виде: {x = x0 + t ax y = y 0 + t a }, y где a x + a y + a z 0 Oтсюда можно выразить: (t = x x o a x Замечания: = y y o a y z = z 0 + t a z = z z o a z каноническое уравнение прямой в пространстве. Если (к примеру a z = 0, тогда z=z o, l параллельно плоскости z=z o. Если a y = a z = 0, тогда y = y o, z = z o, P l l O x Ещё один способ задания прямой: ( r r o a [ r r o, a] = 0 [ r, a] = [ r o, a] = b [ r o + t a, a] = [ r o, a] = b для любой точки P( r l Для уравнения [ r, a] = b необходимо найти конктретную точку P( r o, удовлетворяющую этому уравнению. Ищем: r o a и r o a. r o = λ[ a, b] λ[[ a, b], a] = λ[ a, [ a, b]] = λ( a( a, b b( a, a = b λ( b( a, a = b Если b = 0, λ = 0, то r o = 0. Если b 0, то λ = 1 ( a, a, r o = [ a, b] ( a, a. Утверждение: P( r l P 0 P n, n 0.

19 Вектор n называют нормальным вектором прямой l. Используя это понятие, можно задать прямую ещё одним способом: ( r r o, n = 0 В ортонормированном базисе она примет вид: n x (x x o + n y ( y y o = 0 n x x + n y y + (n x x o + n x x o = 0 Ax + By + C = 0 линейное уравнение прямой на плоскости. В произвольной системе координат будет также иметь место следующее соотношение: x x o a x = y y o a y a y (x x o = a x ( y y o a y x a x y +( a y x o + a x y o = 0 Ax + By + C = 0 A = a y, B = a x a = ( B, A В ортонормированной системе координат: Если B 0 y = A B x C B = kx + b A B = a y a x = tg α, C B = b Вычисление угла между прямыми в ортонормированной системе координат: y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 tg ϕ = tg α 1 tg α tgα 1 tgα 2 = k 1 k k 1 k 2 l 1 l 2 k 1k 2 = 1; l 1 l 2 k 1 = k 2 Задачи о прямых: В следующих задачах будем считать, что даны прямые: l 1/2 : r = 1. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве. Прямые параллельны, но не совпадают: l 1 l 2 a 1 a 2 [ a, a 2 ] = 0, [( r o2 r o1, a 1/2 ] 0 Прямые совпадают: l 1 = l 2 [ a, a 2 ] = 0, [( r o2 r o1, a 1/2 ] = 0 Прямые скрещиваются: [ a, a 2 ] 0, (( r o 2 r o 1, a 1, a 2 0 Прямые пересекаются в точке: l 1 l 2 [ a, a 2 ] 0, (( r o2 r o1, a 1, a 2 = 0 2. Нахождение угла между прямыми. cos α = ( a 1, a 2 a 1 a 2 3.Вычисления расстояния между прямыми. r o,1/2 + t a 1/2

20 Скрещивающиеся прямые в пространстве. ρ(l 1, l 2 = ( r o 2 r o 1, a 1, a 2 высота параллелепипеда. [ a 1, a 2 ] Расстояние между параллельными прямыми. Пучок прямых. Пучок множество всех произвольных прямых, проходящих через данную точку. Теорема: Прямая l :( r, n + c = 0 пучку П, определяемому прямыми l i : ( r, n i + c i = 0, i = 1, 2 α, β R : уравнение l : α(( r, n 1 + c 1 + β(( r, n 2 + c 2 = 0 (*, α + β 0 Доказательство: Если уравнение имеет вид (*, то оно задаёт прямую, проходящую через точку пересечения прямых, определяющих пучок. n (*: ( r 1, α n 1 + β n 2 + α c 1 + βc 2 = 0 Пусть l П. Тогда её вектор нормали выражается как: n = α n 1 + β n 2 ( α, β: n 1 не является параллельным с n 2 Перепишем уравнение полученной прямой в более удобном виде: ( r, n + c = 0 α( r, n 1 + β( r, n 2 + c = 0, Подставим r = r o : αc 1 βc 2 = c Плоскости. Для любой точки пространства существует лишь одна плоскость, проходящая через неё параллельно двум неколлинеарным векторам.! π P o : a π, b π ( a b Векторное параметрическое уравнение: PP o = t 1 a + t 2 b r = r o + t 1 a + t 2 b (t 1, t 2 R Задание координатного уравнения плоскости: P π a, b, PP o компланарны ( r r o, a, b = 0 В координатах: x xo y yo z zo a x a y a ( z e 1, e 2, e 3 = 0 (в произвольной система координат b x b y b 0 z Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой:

21 Пусть даны точки P o (x o, y o, z o, P 1 (x 1, y 1, z 1, P 2 (x 2, y 2, z 2, не лежащие на одной прямой. Тогда можно взять за направляющие для плоскости вектора P o P 1 и P o P 2 и подставить их координаты в уравнение, полученное выше. x xo y yo z zo x 1 x o y 1 y o z 1 z o 0 x 2 x o y 2 y o z 2 z o = Вычислим этот определитель: Π + = {P( r: ( r, n + D > 0} Π = {P( r: ( r, n + D < 0} (x x o a y a z A b y b z + ( y y o a z a x B b z b x + (z z o a x a y C b x b y = 0 A (x x o + B( y y o + C(z z o = 0 Ax + By + Cz + D = 0, где D = ( Ax o + By o + Cz o! плоскость π: π P o, π n Следовательно, ещё один способоб записать уравнение плоскости: ( r r o, n = 0 D ( r, n ( r o, n = 0 ( r, n = D Линейные неравенства: Пусть плоскость π задана уравнением: ( r, n + D = 0 Утверждение: Плоскость π развивает пространство на два полупространства: Пусть точки P 1 ( r 1 и P 2 ( r 2 лежат в разных полупространствах по отношению к заданной плоскости.

22 r = r 1 + t ( r 2 r 1 ( r, n + D = ( r 1, n + t ( r 2 r 1, n + D = f (t t : r = r 1 + t o (r 2 r 1 π, т.е. f (t o = 0 (P 1, P 2 плоскости π f (t = kt + b (k 0 f (t > f (t o = 0 при t > t o f (t < f (t o = 0 при t < t o Различные варианты взаимного расположения плоскостей: 1. π 1 π = l n 1 n 2 [ n 1, n 2 ] 0 2. π 1 π kd 1 D 2, [ n 1, n 2 ] 0 n 2 = k n 1 π 1 = π kd 1 = D 2 Задание прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей: { Π 1: ( r, n 1 = 0 Π 2 : ( r, n 2 = 0} прямая l ([ n 1, n 2 ] 0 Так как n 1 l, n 2 l, то l a = [ n 1, n 2 ] Нахождение точки P o ( r o на прямой l: r o = α n 1 + β n 2 (либо: ( r o, n 1, n 2 = 0 { α( n 1, n 1 + β( n 1, n 2 = D 1 α( n 2, n 1 + β( n 2, n 2 = D 2} У данной системы существует решение, т.к. Δ = G n1, n 2 0 Уравнение общего перпендикуляра двух пересекающихся прямых:

23 Алгебраические линии и поверхности. Кривые второго порядка. В некоторой произвольной системе координат линия некоторого порядка будет выражаться как: L = {(x, y: P(x, y = 0}, где P(x, y многочлен/полином от x, y. P(x, y = a ij x i y j, f ij = 0 при i > i o, j > j o i, j 0 Обозначим через N = max {(i + j i, j: a ij 0} степень иногочлена Р. Приведем пример для N = 3: P(x, y = a o,o + a 1,o x + a o,1 y + a 2,1 x 2 y + a 1,2 xy 2 + a 3,1 x 3 + a o,3 y 3 Сокращение: N = deg P(x, y Порядок линии L - наименьшее среди deg P( x, y для уравнений P(x, y = 0, задающих L. Теорема: Порядок алгебраической линии не зависит от выбора декартовой системы координат. Доказательство: k Пусть i, j>0 a ij x i y j = 0 уравнение наименьшей степени для L. (i + j N порядок L. Сделаем замену: { x = x + a x ' + a y ' o y = y o + a 21 x ' + a 22 y '} Подставляем в a ij x i y j, раскрываем скобки, приводим подобные: P 1 (x ', y ' = 0, deg P 1 deg P Для того, чтобы доказать, что deg P 1 deg P сделаем обратную замену. Получим: { deg P deg P 1 deg P deg P 1} deg P = deg P 1 Линии второго порядка (упрощение уравнения. Общее уравнение линии второго порядка в произвольной общей декартовой системе координат: (*L: Ax 2 + 2Bxy + Cy Dx + 2 Ey + F = 0, ( A + B + C 0 Краткая запись уравнения (*: квадратичная часть линейная часть P(x, y = q(x, y + 2l(x, y + F = 0 A m =( A B B C q(x, y = Ax Bxy + Cy 2 = (x, y A m ( x l(x, y = Dx + Ey Изменение уравнения кривой при переносе начала координат: y

24 { x = x o + x ' y = y o + y '} P(x ', y ' = (x o + x ', y o + y ' A m ( x + x ' o y o + y ' + D(x + x ' + E( y + y ' + F o A (x ' 2 + 2B x ' y ' + C ( y ' 2 + 2( A x o + B y o + Dx ' + 2(B x o + C y o + E y ' + P(x o, y o = 0 Лемма: Если (x o, y o центр симметрии, то: { A x o + B y o + D = 0 B x o + C y o + E = 0} 2(A x o + B y o + D x ' + (B x o + C y o + E y '

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе 1 Глава 1 Векторы Аффинная система координат 1 Равенство направленных отрезков Векторы Семейство множеств называется направленным, если в пересечении любых двух его элементов лежит третий (возможно, совпадающий

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее