Модели и методы распределительного типа при планировании и оперативном управлении производственными системами

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Модели и методы распределительного типа при планировании и оперативном управлении производственными системами"

Транскрипт

1 НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО На правах рукописи Куликов Михаил Сергеевич Модели и методы распределительного типа при планировании и оперативном управлении производственными системами Специальность 5.3. Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности) Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Прилуцкий М.Х. Нижний Новгород 4

2 Содержание Содержание... Аннотация... 5 Введение... 5 ГЛАВА. Задачи распределения ресурсов в иерархических системах (планирование и оперативное управление) Место задач распределения ресурсов в классе задач математического программирования Математический аппарат, используемый при формализации процессов распределения ресурсов в иерархических системах Методы решения задач совместности системы линейных неравенств Методы решения задач квадратичного программирования Методы решения задач календарного планирования и оперативного управления... 3 ГЛАВА. Общая математическая модель многокритериального распределения ресурсов и постановки оптимизационных задач Иерархия рассматриваемых задач Содержательное описание проблемы распределения ресурсов при планировании и оперативном управлении производственными системами Задача ситуационного анализа, планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами Задача распределения производительности купола по газовым скважинам Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения Общее описание проблемы распределения ресурсов при планировании и оперативном управлении производственными системами Задача предварительного планирования распределения ресурсов Задача календарного планирования и оперативного управления Построение и исследование общей математической модели распределения ресурсов в иерархических системах Математическая модель Пример математического описания задачи распределения ресурсов в радиоэлектронном производстве Постановка оптимизационных задач распределения ресурсов Квадратичные многокритериальные задачи распределения ресурсов Постановка задачи построения лексикографически оптимального решения Построение неулучшаемого ε-приближенного решения многокритериальной задачи распределения ресурсов Пример постановки задачи нахождения лексикографически оптимального и ε- приближенного решения Задачи календарного планирования и оперативного управление Пример постановки задачи календарного планирования и оперативного управления

3 3.6. Вычислительная сложность оптимизационных задач распределения ресурсов в иерархических системах ГЛАВА 3. Алгоритм решения многокритериальных задач распределения ресурсов в иерархических системах Релаксационный метод Агмона-Моцкина решения задачи проверки совместности системы линейных неравенств Метод центрального пути решения задач линейного и квадратичного программирования Решение задачи объемно-календарного планирования с единичной матрицей ограничений Нахождение ε-приближенного решения задачи объемно-календарного планирования Нахождение ε-приближенного решения Пример нахождения ε-приближенного решения задачи объемно календарного планирования Нахождение лексикографически оптимального решения задачи объемнокалендарного планирования Лексикографическая схема компромисса Пример нахождения лексикографически оптимального решения задачи объемнокалендарного планирования Пошаговый алгоритм построения расписания выполнения операций задачи оперативного управления Алгоритм решения задач календарного планирования и оперативного управления, основанный на вычислительных процедурах метода ветвей и границ Основные вычислительные процедуры метода ветвей и границ Процедура оценок Процедура ветвления Фронтальные алгоритмы решения задач оперативного управления Стратегии назначения работ задач календарного планирования Классический фронтальный алгоритм Фронтальный алгоритм с рангами Пример работы фронтального алгоритма с рангами... 8 ГЛАВА 4. Диалоговые программные средства решения задач распределения ресурсов в иерархических системах Описание диалоговых программных средств Назначение и структура программного обеспечения Основные модули Типовой сценарий решения задачи распределения ресурсов в иерархических системах при помощи разработанного программного обеспечения Примеры решения прикладных задач распределения ресурсов в иерархических системах с использованием диалоговых программных средств Использованные аппаратные средства Обозначения Результаты решения задач распределения ресурсов... 6 Заключение... 8

4 4 Список литературы... 9 ПРИЛОЖЕНИЕ. Документы, подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы... 4

5 5 Аннотация В работе рассматриваются многокритериальные задачи распределения ресурсов в иерархических системах. Построены математические модели и поставлены оптимизационные задачи распределения ресурсов в иерархических системах. Проведена формализация и постановка задач системного анализа, задач оптимизации, планирования и оперативного управления для производства радиоэлектронных изделий, задач принятия решений и обработки информации. Проведены анализ и исследование построенных моделей. Разработаны методы решения рассматриваемых задач основанные на сведении задачи к поэтапному решению задач объемно-календарного и календарного планирования. Для решения задач объемно-календарного планирования предлагаются процедуры поиска неулучшаемого -приближенного решения и лексикографически оптимального решения. Для решения задач календарного планирования и оперативного управления предлагается фронтальный алгоритм с рангами, основанный на итеративном улучшении результатов получаемых обычным фронтальным алгоритмом. Описана созданная диалоговая система решения задач распределения ресурсов в иерархических системах, которая используется в практике планирования и оперативного управления на ряде предприятий специализирующихся на производстве радиоэлектронных изделий. Введение В настоящее время на производстве все больше внимания уделяется вопросам эффективного управления и планирования. Задачи планирования и оперативного управления возникают во многих областях человеческой деятельности, где необходима эффективная организация производственных процессов. Эти задачи могут быть сформулированы следующим образом: с помощью некоторого множества ресурсов необходимо построить расписание

6 6 выполнения заданного комплекса взаимозависимых работ (сложное изделие), чтобы оптимизировать выбранную меру эффективности. При использовании одноуровневых математических моделей, для их реализации, принимая во внимание высокие требования к результатам решаемых задач, необходимо учитывать большой объем исходных данных. Это приводит к тому, что задачи математического программирования, реализующие задачи управления, обладают большой математической сложностью, что делает их решение затруднительным даже с использованием высокопроизводительных вычислительных средств. Существующие подходы системного анализа дают возможность представления моделей производственных объектов в виде иерархических многоуровневых систем, что позволяет упрощать их структурный состав и разделять вычислительные операции между различными вычислительными средствами. Требования, предъявляемые к производственной системе, можно разделить на три группы: технологические, организационные и ресурсные. Технологические требования отражают качественную специфику производственного процесса, выполнение которых обеспечивает необходимые качественные особенности изделия. Организационные требования связаны с общим контролем временных параметров выполнения изделия. Ресурсные требования носят экономический характер и связаны с общим контролем потребления ресурсов. Общая проблема планирования и оперативного управления заключается в нахождении расписания изготовления изделия, удовлетворяющего всем требованиям, предъявляемым к функционированию системы. При этом, в зависимости от величины такта, используемого при построении расписаний, задача относится либо к планированию (такт смена, сутки, декада), либо к оперативному управлению (такт час, минута).

7 7 Актуальность темы. Можно отметить следующих ученых, внесших большой вклад в развитие научной области, связанной с вопросами эффективного управления и планирования: Бурдюк В.Я., Бурков В.Н., Гордон В.С., Ковалев М.Я., Лазарев А.А., Мироносецкий Н.Б., Михалевич В.С., Подчасова Т.П., Севастьянов С.В., Сервах В.В., Сотсков Ю.Н., Танаев В.С., Шкурба В.В., Шор Н.З., Baptste P., Blazecz J., Brucer P., Gffler B., Graham K., Johso S., Coay R., Laler E.L., Maxell W., Thompso G., Were F. и многие другие. Следует отметить школу нижегородского университета и ученых Батищева Д.И., Когана Д.И., Костюкова В.Е., Прилуцкого М.Х., Федосенко Ю.С., которые рассматривали подобные проблемы. Большинство задач планирования и оперативного управления являются NP-трудными, что определяет необходимость использования для решения этих задач различных эвристических алгоритмов и специального программного обеспечения. В настоящее время существует много эвристических алгоритмов и реализующих их программного обеспечения. К такому программному обеспечению можно отнести такие известные продукты как: Mcrosoft Proect, Proect Lbre, PRIMAVERA, продукты С и др. Однако, существует целый ряд особенностей конкретных производственных систем, которые могут быть учтены только в специализированных алгоритмах и программном обеспечении. Так, например, при производстве изделий радиоэлектроники необходимо учитывать такие особенности, как кластерное оборудование, групповые операции, оборудование, требующее предварительного разогрева, проведение проверок по точности технологического процесса и т.д., которые не могут быть учтены известными программными продуктами. Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение и исследование математической модели распределения ресурсов в

8 8 иерархических системах, постановка оптимизационных задач планирования и оперативного управления производственными системами, разработка алгоритмов решения этих задач и создание на их основе диалоговой программной системы. В соответствии с этой целью поставлены и решены следующие задачи: проведена формализация и построена общая математическая модель, в рамках которой поставлены задачи системного анализа, задачи принятия решений и обработки информации при ситуационном анализе, планировании и оперативном управлении процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами, планировании и оперативном управлении процессом изготовления изделий машиностроения, распределения производительности купола по газовым скважинам; проведены исследования построенной модели; разработаны методы решения задач, описываемых рассматриваемой моделью; создана диалоговая система, которая используется в практике планирования и оперативного управления на ряде предприятий. Методы исследования. Для решения поставленных задач в диссертационной работе применялись: методы системного анализа; методы решения задач сетевого планирования и управления; методы решения задач линейного и квадратичного программирования. Научная новизна.. Построена математическая модель распределения ресурсов в иерархических системах, учитывающая специфические особенности целого ряда практических задач.. В рамках построенной математической модели поставлены различные оптимизационные задачи, учитывающие требования производства.

9 9 3. Предложен алгоритм нахождения лексикографически оптимального решения задач объемно-календарного планирования путем поиска оптимальной вершины многомерного многозначного куба. 4. Предложен фронтальный алгоритм с рангами для решения задач оперативного управления. Практическая значимость и внедрение. Практическая ценность диссертационной работы состоит в разработке и реализации диалоговой программной системы решения задач распределения ресурсов в иерархических системах, которая используется для ситуационного анализа, планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами в ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е.Седакова». С помощью диалоговой системы решены задачи планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения для опытного производства в ФГУП «ФНПЦ ОКБМ им. И.И. Африкантова». Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского на факультете вычислительной математики и кибернетики при преподавании курса «Теория систем и системный анализ». Публикация результатов. По теме диссертации опубликованы 3 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертаций, 9 работ в журналах и трудах конференций. Список публикаций автора приведен в автореферате. Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на: XV международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-9» в НГТУ им. Р.Е. Алексеева в 9 году;

10 конференции «Технологии Mcrosoft в теории и практике программирования» в ННГУ им Н.И. Лобачевского в 9 году; всероссийской научно-технической конференции «новые информационные технологии» в МГУПИ в году; IV научно-технической конференции молодых специалистов Росатома. Высокие технологии атомной отрасли. Молодежь в инновационном процессе. В 9 году; конференции «Технологии Mcrosoft в теории и практике программирования» в ННГУ им Н.И. Лобачевского в году; XVI международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-» в НГТУ им. Р.Е. Алексеева в году; семинаре «Суперкомпьютерные технологии решения большеразмерных труднорешаемых задач» в СарФТИ в 4 году; XII Всероссийском совещании по проблемам управления Россия, Москва, ИПУ РАН, в 4 г.; научных семинарах кафедры информатики и автоматизации научных исследований факультета ВМК ННГУ (9 4 г.). Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в следующем: участие в постановке целей и задач исследования; построение математической модели и постановка оптимизационных задач; разработка алгоритмов решения поставленных задач; реализация алгоритмов решения в виде программных модулей, используемых во внедренном программном обеспечении; участие во внедрении созданного программного обеспечения.

11 Основные положения, выносимые на защиту. общая математическая модель распределения ресурсов в иерархических системах, в рамках которой ставятся многокритериальные задачи объемнокалендарного планирования и задачи календарного планирования и оперативного управления; точные и приближенные методы решения оптимизационных многокритериальных задач объемно-календарного планирования и задач календарного планирования и оперативного управления производственными системами; программные средства решения задач распределения ресурсов производственных систем. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы из наименования, а также приложения. Объем основного текста диссертации составляет 8 страниц машинописного текста, общий объем работы составляет 44 страницы. Во введении отражена актуальность задач распределения ресурсов в иерархических системах. Отражены цели и задачи исследования, научная новизна работы. В главе рассматриваются классические задачи распределения ресурсов, приведена их классификация. В разделе. рассматривается место задач распределения ресурсов в иерархических системах в классе задач математического программирования. Показывается возможность решения задачи распределения ресурсов в иерархических системах по следующей схеме: сначала решается задача объемно-календарного планирования, результаты решения которой используются при решении задачи календарного планирования и оперативного управления.

12 В разделе. дается обзор известных методов нахождения решения задач совместности систем линейных уравнений (метод исключений Фурье-Моцкина, теорема Черникова и теорема Александрова-Фань-Цзи), методов решения задач квадратичного программирования (с ограничениями типа равенств, задач сепарабельного квадратичного программирования, метод направленного перебора для выпуклой задачи квадратичного программирования, симплекс метод, методы отсечений, алгоритмы внутренних точек и др.), методов решения задач календарного планирования (метод критического пути, оценки и пересмотра программ, анализа и графической оценки и др.). Приведены методы «Муравьиные колонии», «Генетический алгоритм», «Алгоритм имитации отжига» для задачи построения расписания для проекта. Глава посвящена рассмотрению практических задач планирования и оперативного управления производственными системами и построению математической модели проблемы распределения ресурсов в иерархических системах, учитывающей специфические особенности рассматриваемых задач. В разделе. вводится следующая иерархия рассматриваемых задач:. Общая математическая модель, в рамках которой могут быть поставлены различные прикладные задачи распределения ресурсов:.. Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами;... Задача предварительного планирования на квартал объемов производства интегральных схем по подразделениям на различных уровнях административной иерархии;... Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по подразделениям в соответствии с квартальным планом по изготовлению партий пластин;

13 3.. Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения:... Задача предварительного планирования объемов производства изделий машиностроения, их компонент и запасных частей;... Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по изготовлению комплектов компонент изделий;.3. Задача распределения производительности купола по газовым скважинам:.3.. Задача формирования диспетчерских заданий;.3.. Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по поддержанию режимов работы и наладке оборудования. В разделе. приведены примеры задач распределения ресурсов в иерархических системах. Приведено описание задач ситуационного анализа, планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами (задача.), задачи планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения (задача.), а так же задачи распределения производительности купола по газовым скважинам (задача.3). В разделе.3 дается общая постановка многокритериальных задач распределения ресурсов в иерархических системах. Задача распределения ресурсов в иерархических системах сводится к последовательному решению задачи объемно-календарного планирования (предварительного планирования) и задачи календарного планирования и оперативного управления.

14 4 В разделе.4 вводится общая математическая модель распределения ресурсов в иерархических системах, учитывающая специфические особенности рассматриваемого класса задач и вводятся ограничения модели. В разделе.5 ставятся оптимизационные задачи. Выбор показателей объемов производства на планируемый период по каждому виду возможных работ определяется исходя из s -критериальной задачи. Поставленная задача соответствует задачам..,.. и.3.. В случае если на множестве частных критериев s -критериальной задачи оптимальности можно установить полный порядок ставится задача нахождения лексикографически оптимального решения. В случае если все критерии многокритериальной задачи имеют одинаковую значимость, рассматриваются ε-приближенные решения. Решение s -критериальной задачи определяет необходимый набор работ, которые требуется выполнить в планируемый период. Нарушение «жестких» технологических условий не допускается, что отражено в ограничениях математической модели. При нарушении «мягких» технологических условий на систему накладываются штрафные санкции, соответственно возникает множество частных критериев оптимальности связанных с минимизацией штрафов. В качестве критерия задачи оптимального планирования выступает обобщенный функционал, аддитивная свертка частных критериев оптимальности, связанных с минимизацией штрафов накладываемых на систему. Таким образом, ставится задача календарного планирования и оперативного управления (задачи..,..,..3). В разделе.6 оценивается вычислительная сложность оптимизационных задач распределения ресурсов в иерархических системах. В главе 3 рассматриваются различные алгоритмы для нахождения решений оптимизационных задач поставленных в главе. Вводится алгоритм поиска лексикографически оптимального решения задач объемно-календарного планирования путем рассмотрения вершин s-мерного p+-ичного куба.

15 5 Строится фронтальный алгоритм с рангами для решения задач календарного планирования и оперативного управления. В разделе 3. рассматривается релаксационный метод Агмона-Моцкина решения задач проверки совместности системы линейных неравенств. В разделе 3. рассматривается метод центрального пути решения задач линейного и квадратичного программирования. В разделе 3.3 строится точный алгоритм нахождения решения задач объемно-календарного планирования, с единичной матрицей ограничений и критериями специального вида Алгоритм имеет вычислительную сложность O ( ). В разделе 3.4 строится алгоритм нахождения неулучшаемого ε-приближенного решения задач объемно-календарного планирования (задачи...б,...б,.3..б), основанный на сведении исходной задачи к решению задачи линейного программирования. В разделе 3.5 строится алгоритм нахождения лексикографически оптимального решения задач объемно-календарного планирования (задачи...а,...а,.3..а) путем бинарного поиска по вершинам s-мерного p+-ичного куба. В разделе 3.6 рассматривается пошаговый алгоритм построения расписания выполнения операций задач календарного планирования и оперативного управления (задачи..,..,.3.). В разделе 3.7 рассматривается алгоритм решения задачи календарного планирования и оперативного управления (задачи..,..,.3.), основанный на вычислительных процедурах метода ветвей и границ. В разделе 3.8 рассматриваются фронтальные алгоритмы решения задач календарного планирования и оперативного управления (задачи..,..,.3.). Строится фронтальный алгоритм с рангами, позволяющий лучше учесть специфические особенности.

16 6 В главе 4 рассматриваются созданные диалоговые программные средства решения задач распределения ресурсов в иерархических системах и приводятся результаты их работы. В разделе 4. приводится технология реализации, список реализуемых задач и структура программного обеспечения, а также приводится список основных модулей, из которых состоит программное обеспечение. В разделе 4. рассматривается типовой сценарий решения задачи распределения ресурсов в иерархических системах. В разделе 4.3 приводятся примеры решения реальных прикладных задач распределения ресурсов в иерархических системах с использованием созданных диалоговых программных средств. В заключении сформулированы основные результаты работы и приводятся примеры реального использования созданных алгоритмов и диалоговых программных средств.

17 7 ГЛАВА. Задачи распределения ресурсов в иерархических системах (планирование и оперативное управление).. Место задач распределения ресурсов в классе задач математического программирования Вопросы автоматизации процессов планирования производственными системами в связи с интенсификацией производства в настоящее время являются достаточно актуальными. При решении задач распределения ресурсов часто рассматривают следующие классы задач: задачи формирования портфеля заказов, задачи объемно-календарного планирования и задачи календарного планирования и оперативного управления. Задачи календарного планирования изучаются в рамках теории расписаний и представляют собой задачи распределения ограниченного числа ресурсов во времени на выполнение определенного набора работ с максимизацией прибыли. Этим задачам в литературе уделялось и уделяется много внимания, можно отметить следующих ученых внесших большой вклад в развитие этой области: Бурдюк В.Я. [], Бурков В.Н. [7, ], Гимади Э.Х. [4, 5], Гордон В.С. [78], Ковалев М.Я. [3, 8], Лазарев А.А. [37, 38, 39, 4, 5], Мироносецкий Н.Б. [3, 4], Михалевич В.С. [43, 44], Подчасова Т.П. [5, 9], Севастьянов С.В.[5, 68, 69], Сервах В.В. [7, 7, 7, 73], Сотсков Ю.Н. [74, 8], Танаев В.С. [78, 79, 8, 8, 8], Шкурба В.В. [, 5, 79, 9], Шор Н.З. [43], Baptste P. [97], Blazecz J. [99], Brucer P. [, ], Graham K. [7], Laler E.L. [7, ], Muth J.F. [48], Werer F [5] и многие другие. Следует отметить школу нижегородского университета и ученых Батищева Д.И. [8, 5], Когана Д.И. [4, 5, 6], Костюкова В.Е. [33, 57, 59], Прилуцкого М.Х. [3, 4, 5, 33, 35, 53, 54, 55, 56, 58, 59, 6, 6, 6, 63], Федосенко Ю.С [4, 5, 6, 83, 84, 85], а также многих других [4, 88], работы которых также посвящены подобным проблемам.

18 8 Задача формирования портфеля заказов заключается в определении, какие заказы предприятие будет выполнять в планируемом периоде ([3, 56, 6]). Задача объемно-календарного планирования заключается в распределении производственной программы предприятия, найденной на этапе формирования портфеля заказов, по календарным подпериодам (месяцам) ([55]). Такие задачи рассматривают не в общей постановке с учетом всех зависимостей и связей, а с определенной степенью идеализации при этом вместо конкретных работ с их длительностями рассматриваются объемные показатели, связанные с совокупностями работ. Задачи формирования портфеля заказов и объемнокалендарного планирования являются предметом исследований многих работ (см. например [53, 54, 55]). Все эти задачи можно рассматривать не отдельно, а как последовательные стадии решения одной задачи распределения ресурсов. На первом этапе выбирается, какие обязательства по составу и объему работ могут быть приняты на себя предприятием (задачи формирования портфеля заказов и объемно-календарного планирования), а на втором этапе происходит конкретное распределение работ по датам и ресурсам. Так же на эти задачи можно взглянуть как на составные части задачи планирования на разных уровнях административной иерархии производства... Математический аппарат, используемый при формализации процессов распределения ресурсов в иерархических системах... Методы решения задач совместности системы линейных неравенств Задача проверки системы линейных неравенств на совместность заключается в ответе на вопрос, существует ли хоть одно решение, удовлетворяющее заданной системе: Ax b, A m m R, b R, (...)

19 9 В случае если коэффициенты системы (...) являются целочисленными и требуется проверить, существует ли целочисленное решение этой системы, задача проверки совместности системы (...) принадлежит классу NP [77]. Если не требовать целочисленности решений (...), то проверить совместность системы линейных неравенств можно за полиномиальное время. Задачи проверки совместности системы линейных неравенств тесно связаны с задачами линейного программирования (ЛП) и методами их решения. Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи ЛП является симплекс-метод [87] аналогичный, описанному в п...6 Несмотря на то, что симплекс-метод широко используется для решения прикладных задач, показано, что его сложность экспоненциальна. Первым полиномиальным алгоритмом для решения задачи ЛП является метод эллипсоидов предложенный Л.Г. Хачияном [76]. Метод эллипсоидов для нахождения решения задачи ЛП аналогичен методу эллипсоидов для нахождения решения задачи квадратичного программирования, описанного в п...4. Несмотря на то, что алгоритм, предложенный Л.Г. Хачияном, является полиномиальным, на практике он показывает результаты хуже, чем симплекс метод. Гораздо более эффективными на практике алгоритмами являются алгоритмы внутренних точек, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара [76]. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Также для проверки совместности системы линейных неравенств хорошо себя зарекомендовали метод исключений Фурье-Моцкина [8], релаксационный метод Агмона-Моцкина [5], теорема Черникова и теорема Александрова Фань-Цзи [9], вообще говоря, не являющиеся полиномиальными.

20 ... Метод исключений Фурье-Моцкина Пусть дана система (...), поскольку неравенства можно умножать на положительные скаляры, не уменьшая общности можно считать, что элементы первого столбца A равны либо, либо. Таким образом, исходную систему можно свести к виду: где a x',,.., m' a, a x', m',.., m' ' x', m' ',.., m, T T x (,..., ), x' (,..., ), a,..., (...), (...3) первой строкой. Так как система (...) равносильна: max ( a m' m'' a m - столбцы матрицы A с выброшенной x' ) m( a x'), (...4) m' то переменную можно исключить, получив аналогичную систему линейных неравенств: a x' a x',,..., m', m',..., m'' a x', m'',..., m. Эта система имеет (...5) m' ( m'' m') m m' ' ограничений с неизвестными. Повторяя эту процедуру, можно исключить первые компонент и свести задачу к равносильной тривиальной системе с одной неизвестной, из любого решения которой можно восстановить решение исходной системы.... Теорема Черникова Необходимыми и достаточными условиями совместности системы L x ( ) a x b,, m, (...6) над пространством R ранга коэффициентов отличного от нуля минора порядка r : r является существование в матрице её

21 a a a r a a a r r r r, (...7) такого, что выполняются соотношения: a a a r a a a r r r r b b b r, для любого, m. (...8)...3. Теорема Александрова Фань-Цзи Для совместности системы (...) ранга r необходимо и достаточно, чтобы для любых N неотрицательных чисел N N a x следовало неравенство b. N,, N, из равенства... Методы решения задач квадратичного программирования Задача квадратичного программирования является специальным классом задач оптимизации. Задача квадратичного программирования заключается в минимизации (максимизации) квадратичной функции нескольких переменных в условиях линейных ограничений на эти переменные. Задачу квадратичного программирования можно поставить следующим образом: T m F( x) x Qx cx, Q xr и наложены ограничения двух типов: Ограничения типа неравенств: Ax b, A Ограничения типа равенств: R, cr, (...) m m R, br. (...)

22 Где R Dx d, где векторов размерности. Замечание D l l R, d R. (...3) пространство матриц размерности на, а R пространство Везде в дальнейшем векторы-строки и векторы-столбцы будут обозначаться одинаково и распознаваться в зависимости от контекста. Замечание Если Q нулевая матрица, то задача становится задачей линейного программирования. методы: Для решения задачи в общей постановке обычно используются следующие метод внутренних точек; расширенный метод множителей Лагранжа; метод сопряженных градиентов [6]; расширенный Симплекс метод [8].... Задача квадратичного программирования с ограничениями типа равенств Задача квадратичного программирования относительно проста, в случае если присутствуют только ограничения типа равенств (...3). Используя метод множителей Лагранжа [] можно записать исходную задачу в виде: T l L( x, ) x Qx cx ( Dx d), где R набор множителей Лагранжа, которые могут быть найдены из решения вместе с x. Тогда условия оптимальности могут быть записаны в виде: Qx c D T, Dx d.

23 3 Можно показать, что решение полученной системы задаются следующими линейными условиями: T x c Q D V, где V d. (...4) D Для решения данной системы линейных уравнений можно использовать методы точного решения (например, алгоритм Краута (нижне-верхняя (LU) декомпозиция матрицы) [9]), которые являются достаточно быстрыми. Для решения большеразмерных задач, возникает ряд трудностей, самая существенная из которых в том, что полученная матрица V из (...4) никогда не является положительно определенной (даже если Q положительно определена), делая задачу решения данной системы линейных уравнений потенциально очень трудной для нахождения хорошего численного метода решения. Именно поэтому существует множество различных подходов к решению поставленной задачи в зависимости от ее специфики. Если ограничения не связывают переменные слишком тесно, относительно простым приемом является замена переменных, так чтобы ограничения безоговорочно были удовлетворены. Не уменьшая общности, рассмотрим случай когда d. Замечание 3 Здесь и далее знаком будем обозначать как числа, так и вектора и матрицы соответственно контексту. Тогда ограничения типа равенства запишутся в виде: Dx Введем в рассмотрение вектор Zy x, тогда DZy. y l R определённый как: Тогда, так как матрица Z выбрана, как DZ ограничения типа равенств будут всегда удовлетворены. Нахождение такой матрицы Z приводит к задаче

24 4 нахождения ядра матрицы D, что является относительно легкой задачей в зависимости от структуры матрицы Z. Таким образом, замена переменных исходной задачи приводит к задаче минимизации квадратичной функции без ограничений: T T T m F * ( y) y Z QZy ( Z c) l yr решение, которой находится из соотношения: Z T T QZy Z c. T y, (...5) Для нахождения решения (...5) можно использовать, например, метод сопряженных градиентов позволяющий избежать вычисления Z [46].... Задача сепарабельного квадратичного программирования с ограничениями транспортного типа Рассмотрим отдельный класс задач квадратичного программирования с диагональной матрицей Q Eq ( E единичная матрица) называемым классом задач сепарабельного квадратичного программирования. Тогда F (x) запишется в виде: F( x) qx cx, где x ( x,..., x ), q R. В [] рассмотрен пример алгоритма решающий задачу сепарабельного квадратичного программирования с фиксированным числом ограничений транспортного типа за линейное время. вида: Рассматривается задача с критерием Dx d, e x f, где c, q, e, f R ;( e, f ). Замечание 4 F( x) qx cx и ограничениями (...6)

25 5 Здесь и далее под обозначением x f будем понимать покомпонентное выполнение условия Замечание 5 x f,., Несложно показать, что ограничения транспортного типа h Hx h, где элементы матрицы H принимают значения из множества {,, }, могут быть приведены к виду (...6) путем введения дополнительных переменных. Для нахождения решения рассматривается функция, зависящая от множителей Лагранжа : ( ) m qx cx ( Dx d) с ограничениями e x f. x Функция () является вогнутой и ее максимум совпадает с решением исходной задачи. Благодаря тому, что рассматривается задача сепарабельного квадратичного программирования, функция () может быть представлена в виде: ( ) ( ) ( )... ( ) d, m где ( ) m q x ( c d ) x : e x f. Обозначим через x * ( ) оптимальное значение (). Тогда если q то: x * m e, если d c ) m. f, если d c ( Если q то обозначим m d q c, тогда:

26 6 x * e, если ( ) e ) ( ), если e ( ) f. f, если ( ) f ( Отсюда следует, что функция () является кусочно-квадратичной и вогнутой. Участки функции () ограничены гиперплоскостями, заданными выражениями: m d c q e m d c q f. Тогда, если положение максимума * известно относительно двух гиперплоскостей задаваемых данными выражениями для некоторого значения, то кусочно-квадратичную функцию () можно заменить на квадратичную или линейную функцию, зависящую от : * q m * x ( ) ( c d ) x ( ). Алгоритм нахождения максимума () является итеративным. На каждой итерации определенная часть оставшихся функций () заменяется на квадратичные функции в подобласти допустимых значений в пространстве. Для определения подобласти, заданной выбранными гиперплоскостями, в которой достигается максимум многомерного поиска описанная в []. * на каждой итерации применяется техника...3. Выпуклая задача квадратичного программирования Если Q неотрицательно определенная матрица тогда критерий задачи F (x) является выпуклой функцией. В этом случае задача квадратичного программирования имеет глобальный минимум, если существует допустимое решение x удовлетворяющий ограничениям задачи (система ограничений

27 7 совместна) и функция F (x) ограниченна снизу. Если Q положительно определенная матрица и существует допустимое решение, тогда глобальный минимум единственный. Для этой задачи в [75] приведен конечный метод нахождения решения, основанный на методе направленного перебора, при этом в качестве вспомогательной задачи на каждой итерации алгоритма рассматривается задача квадратичного программирования с ограничениями равенствами, которая сводится к задаче безусловной минимизации квадратичной выпуклой функции с последующим применением метода сопряженных градиентов [8] Методы отсечений для решения задачи квадратичного программирования Один из основных классов методов решения выпуклых задач квадратичного программирования методы отсечений. Среди методов данного класса можно выделить метод эллипсоидов предложенный Н.З. Шором [93]. Именно для этого метода была доказана полиномиальная разрешимость задачи выпуклого квадратичного программирования в работе Л.Г. Хачияна [8]. Ax b. Основными этапами алгоритма изложенного в работе [8] являются: T. Рассматривается задача m F( x) x Qx cx, с ограничениями xr. Определяется совместность системы линейных неравенств Ax b на основе результатов изложенных в работе [86]. 3. В случае совместности системы линейных неравенств устанавливается ограниченность снизу функционала F (x) на множестве допустимых значений, путем проверки совместности из неравенств и равенств относительно переменных m линейных x R и m R : Qx c m A,,.. m

28 8 4. Методом деления отрезка [ 5 L 5, L ] пополам, проверяя на каждом шаге совместность системы P вида: Ax b, f t s ( x), где t, s целые числа и 3 t L, s 8 L, находится приближенное решение, из которого точное решение может быть найдено за O (L) операций. 5. Для проверки совместности системы P на каждом шаге находится такой вектор x, чтобы выполнялось соотношение ( x) s 5L, где t ( x) max, f ( x), A x b m невязка системы P, а s L невязки (x) на шаре S { x x }. - минимум s 6. Для нахождения вектора x применяется метод эллипсоидов имеющий для данного случая сложность O( 3 ( m) L) Алгоритмы внутренних точек решения задачи квадратичного программирования Несмотря на то, что впервые полиномиальная разрешимость задачи выпуклого квадратичного программирования была показана именно при помощи метода отсечений, на практике чаще применяют другой метод, показывающий лучшую сходимость на реальных задачах метод внутренних точек. Среди алгоритмов внутренних точек предназначенных для решения задач квадратичного программирования, можно выделить несколько различных подходов. Аффинно-масштабируемые алгоритмы, разработанные И.И. Дикиным, В.И. Зоркальцевым [], В.Г. Евтушенко, В.Т. Жаданом [, ]. Методы центрального пути, предложенные М. Коджимой, С. Мизуной, А. Йошиз [9], а также Р. Монтейро, И. Адлером [4]. Основной идеей методов внутренних точек является итеративное приближение решения точками, лежащими внутри или вне допустимой

29 9 области, но никогда на границе. Каждый шаг алгоритма достаточно сложен, но зато значительно приближает к искомому решению [6] Симплекс метод решения выпуклой задачи квадратичного программирования Для решения задачи квадратичного программирования П. Вольф (P. Wolfe) в своей работе [8] предложил алгоритм решения, основанный на модификации симплекс метода. в виде: В данной работе задача квадратичного программирования рассматривается T m F( x) x Qx cx с ограничениями Dx d и x. Причем, xr матрица Q положительно определена. Замечание 6 К виду Dx d, x можно свести любую систему линейных ограничений путем введения дополнительных переменных. Замечание 7 Используя прием предложенный E. M. L. Beale можно расширить применение описываемого алгоритма на случай когда матрица Q неотрицательно определенна. Для этого необходимо применить механизм виртуальных возмущений, позволяющий вместо рассмотрения q рассматривать q из малой окрестности и оперировать с матрицей Q как с положительно определенной. Рассматривается система уравнений Qx Где v D z Dx d x, v, z z T u z, z R,, а z, l R. c, Алгоритм нахождения решения состоит из двух шагов:

30 3 Шаг. Так как d, то начальный базис для данной системы может быть сформирован из коэффициентов z, z,. Используя симплекс метод, минимизируем до нуля, сохраняя v u, нулевыми. Исключим вектор и неиспользуемые компоненты z, z, оставшиеся компонент обозначим через Z, а их коэффициенты через P. Получим систему: Шаг. Qx v D Dx d T u PZ c. (...7) x, v, Z Будет искать базис и базовое решение, удовлетворяющее системе (...7) и условиям vx и Z последовательно внося по одному изменению в базис симплекс метода для минимизации Z при следующем условии:.., если x принадлежит базису, то v в базис не включается и наоборот. Шаг повторяется пока Z. Часть базиса полученного решения, которая относится к x, и будет искомым решением исходной задачи квадратичного программирования. Для получения решения потребуется O 3 итераций на Шаге Невыпуклая задача квадратичного программирования Если Q не является положительно определенной, тогда задача квадратичного программирования является NP-трудной []. Более того, если Q имеет хотя бы одно отрицательное собственное число, задача NP-трудна [7].

31 3 Существует ряд методов решающих задачу квадратичного программирования в невыпуклом случае, например конечный метод ветвей и границ предложенный в работе [], однако методы для решения невыпуклой задачи квадратичного программирования не являются предметом рассмотрения данной работы...3. Методы решения задач календарного планирования и оперативного управления..3.. Место задач календарного планирования и оперативного управления Задачи календарного планирования относятся к задачам распределения ресурсов. Эти задачи возникают во многих областях человеческой деятельности, где необходима эффективная организация производственных процессов. В общей постановке эти задачи могут быть сформулированы следующим образом: необходимо построить расписание выполнения некоторого множества взаимосвязанных работ в условиях ограниченных ресурсов и дополнительных ограничений, так что бы оптимизировать выбранную меру эффективности. Взаимозависимость работ описывается с помощью ориентированного взвешенного графа без петель и контуров, элементам которого поставлены в соответствие некоторые характеристики. Выполнение множества работ происходит на отрезке времени, который называется интервалом планирования. Интервал планирования поделен на дискретные промежутки времени такты планирования. Размер тактов планирования определяется в зависимости от поставленной задачи. Основными характеристиками работы являются: ресурсоемкость количество ресурсов определенного типа, которые необходимо затратить на выполнение работы;

32 3 минимальная интенсивность потребления ресурса минимальное количество ресурса, без которого работа не может выполняться; максимальная интенсивность потребления ресурса максимальное количество ресурса, которое может быть использовано за один такт для выполнения работы; длительность число тактов планирования, которое необходимо для завершения работы без перерывов в условиях достаточности ресурсов. Длительность работы может быть как фиксированной, так и зависящей от количества потребляемых ее ресурсов [45, 5, 6]; непосредственно предшествующие работы работы, выполнение которых является обязательным условием начала выполнения текущей работы; начальный срок это момент времени, раньше которого выполнение работы не может начаться, например, из-за поступления ресурсов; директивный срок выполнения момент времени, к которому должно быть завершено выполнение работы. Директивные сроки, обычно, относятся к работам, характеризующим завершение выполнения этапа (веха планирования) или готового изделия. Работы могут быть как действительными, так и фиктивными, первые потребляют ресурсы и имеют длительность, вторые служат только для представления взаимозависимости работ. К критериям оценки построенного расписания могут быть отнесены следующие показатели работ: интенсивность потребления ресурсов; время ожидания начала обслуживания; время завершения выполнения; временное опережение относительно начального срока; временное запаздывание относительно директивного срока; временное смещение относительно директивного или начального срока.

33 33 На выполнение работ тратятся ресурсы. Основными характеристиками ресурса являются: срок годности ресурса количество тактов планирования с момента поступления ресурса, в которые данный ресурс может быть использован. Все ресурсы можно разделить на три типа: складируемые, не складируемые и частично складируемые. Складируемые ресурсы не имеют ограничения по сроку годности (срок годности этих ресурсов весь интервал планирования). Задачи распределения складируемых ресурсов рассматриваются в [9, 7]. Сроком годности не складируемых ресурсов является только один такт интервала планирования с момента поступления ресурса (производства ресурса), простои не складируемых ресурсов связано с потерями. Частично складируемые ресурсы это ресурсы с ограниченным сроком годности, например, скоропортящиеся продукты. момент поступления ресурса такт планирования, когда ресурс становятся доступным для использования. Разделяют два основных вида задач по моменту поступления ресурса задачи, в которых все ресурсы доступны сразу и задачи, в которых ресурсы поступают в определенные такты интервала планирования; характер поступления ресурса в систему. По характеру поступления ресурсы подразделяются на детерминированные и стохастические. Для детерминированных ресурсов заранее известны объемы и моменты их поступления в систему. Для стохастических ресурсов известны вероятностные оценки характера поступления ресурсов. Задачи распределения стохастических ресурсов рассматривались в [6, 69, 95]. К критериям оценки построенного расписания могут быть отнесены следующие связанные с ресурсами характеристики: потери, связанные с истечением срока годности ресурсов; величины перерасхода ресурсов.

34 34 Результатом решения задачи планирования является расписание. Расписание содержит сведения о моментах начала и окончания выполнения работ и о затратах ресурсов на их проведение. Наиболее часто используемыми критериями оценки расписания являются: минимизация общего времени выполнения работ (длины расписания) при заданных уровнях наличия ресурсов; минимизация максимального уровня потребления ресурсов, при условии, что длины расписания не превосходит заданной величины; минимизация функции потерь от выполнения работ (аддитивная неубывающей функции от сроков завершения работ); минимизация функции потерь от интенсивности расходования ресурсов Основные задачи распределения ресурсов и упорядочения работ Выделяют следующие основные задачи распределения ресурсов и упорядочивания работ: Задачи сетевого планирования: а) Детерминированные; б) Стохастические; Задачи станки-детали: а) Задачи упорядочивания: ) Одностадийные:.) Задача с переналадками;.) Задача мастера; ) Многостадийные:.) Задача Белмана-Джонсона; б) Задачи распределения: ) Задача с взаимозаменяемыми станками;

35 35 ) Задачи цеха (Shop Schedulg):.) Job-Shop;.) Flo-Shop;.3) Ope-Shop; Задачи построения расписания для проекта (RCPSP) Задачи сетевого планирования Исходными данными для задач сетевого планирования являются перечни выполняемых работ, длительности этих работ и взаимосвязи между работами. Целью задач сетевого планирования является сокращения общего времени выполнения всех работ. Взаимосвязь работ задается ориентированным графом без петель и контуров (сетевым графиком), с дугами соответствующими работам, которые необходимо выполнить. Таким образом, сетевой график является антирефлексивным бинарным отношением f ( V, A), где A V, где A определяет множество дуг, а множество V является множеством вершин. Выделяют два основных типа систем по способу задания входной информации детерминированные и стохастические. В детерминированных системах заранее строго определены все входные данные, т.е. заранее определены значения всех параметров задачи, таких как длительность работ и время поступления ресурсов, до начала ее решения. Для нахождения решения в таких системах разработан пути [6, 3, 79, 8]. метод критического В стохастических системах для входных параметров определены некоторые вероятностные оценки, т.е. длительность работ и гарантированность поступления ресурсов носит вероятностный характер. Для решения таких задач разработаны методы типа метода оценки и пересмотра программ (PERT) [79, 95] В ситуациях, когда реализация события зависит от

36 36 завершения не всех, а нескольких предшествующих операций, применяется метод анализа и графической оценки (GERT) [6, 47] Задачи станки-детали В задачах теории расписаний важное место занимают задачи типа «станки детали». Для каждой детали задан технологический маршрут последовательность выполнения операций. Для каждой операции определен станок (т.е. один не складируемый ресурс или тип ресурса) на котором эта операция может быть выполнена. В зависимости от технологии получения детали, эти задачи можно разделить на одностадийные и многостадийные. В одностадийной системе над каждой работой выполняется одна операция. Одностадийные системы могут быть представлены одной или несколькими не обязательно одинаковыми машинами, в последнем случае они называются мультипроцессорами. В многостадийных системах процесс обслуживания заявки состоит из нескольких операций, каждая из которых выполняется на определенной стадии. Если порядок выполнения операций важен, то говорят, что для заявки задан фиксированный технологический маршрут. Если технологический маршрут всех заявок одинаков, то говорят о системах обслуживания конвейерного типа. Наряду с этим существуют системы с нефиксированными маршрутами обслуживания. Задачи упорядочения характеризуются тем, что каждая стадия представлена одной машиной, поэтому для составления расписания необходимо указать только порядок выполнения работ на каждой стадии. Такие расписания называют перестановочными [63, 66] Классическими одностадийными задачами упорядочения являются задача с переналадками, задача мастера. Задача с переналадками формулируется следующим образом. Несколько требований обслуживаются одним прибором. Все требования поступают один момент времени. Длительности обслуживания требований одинаковые.

37 37 Известны времена начальной и конечной наладок прибора на каждое требование и времена переналадок прибора с обслуживания одного требования на другое. Требуется найти такую последовательность выполнения работ, чтобы суммарное время пусконаладочных работ было минимальным. Данная задача известна как задача коммивояжера. Задача мастера. Несколько требований обслуживаются одним прибором. Все требования поступают один момент времени. Для каждого требования известно время обслуживания и коэффициент штрафа за единицу времени пребывания требования в системе. Требуется найти такую последовательность выполнения требований, чтобы суммарный штраф за выполнение всех требований был минимальным. Примером многостадийной задачи упорядочения является задача Беллмана-Джонсона [65, 67], которая формулируется следующим образом: для выполнения заявок предоставляются m машин. Каждая заявка должна пройти обработку последовательно на всех машинах, начиная с первой. Все заявки поступают на обслуживание одновременно. Для всех заявок известны времена их обработки на каждой машине. Прерывание процесса обслуживания заявки на машине невозможно. Требуется построить расписание с минимальным значением общего времени обслуживания Задачи упорядочения Задача упорядочения работ в системах конвейерного типа (задача Беллмана Джонсона) формулируется следующим образом. Система обслуживания состоит из m машин, на которых требуется выполнить заявок. Каждая заявка должна пройти обработку последовательно на всех машинах, начиная с первой. Все заявки поступают на обслуживание одновременно, для всех заявок известны времена их обработки на каждой машине. Времена транспортировки заявок к машинам включены в длительности операций.

38 38 Прерывание процесса обслуживания заявки на машине запрещено. Каждая машина одновременно выполняет не более одной заявки, для каждой заявки ее выполнение очередной машине должно начинаться не раньше, чем завершится ее выполнение на предыдущей машине. Требуется построить расписание (определить порядок выполнения заявок на машинах) с минимальным значением общего времени обслуживания. Модификациями задачи Беллмана Джонсона являются задачи упорядочения работ по критерию минимизации взвешенной суммы моментов завершения обслуживания заявок. Задача упорядочения работ в конвейерных системах впервые была поставлена Р. Беллманом [89, 9]. В задаче Беллмана Джонсона может присутствовать еще одно требование порядок выполнения заявок на всех машинах одинаков. Такая задача называется конвейерной. При этом сокращается число возможных расписаний с m (!) до!, и появляется возможность применения комбинаторных методов решения. Хотя оптимальные расписания для исходной задачи и для конвейерной задачи могут не совпадать, доказано [44], что для задачи Джонсона с матрицей длительностей выполнения работ разница между длинами этих расписаний меньше или равна / maxt ( m )( c ( m ) ) m, где c m m константа Штейница. m При m 3задача Беллмана Джонсона относится к классу NР-полных задач [7]. Основные подходы к решению задачи Беллмана - Джонсона: комбинаторный анализ, математическое программирование, методы ветвей и границ, статистическое моделирование. Началом исследований в области конвейерных систем была работа С. Джонсона [98]. Основные результаты, полученные Джонсоном, заключаются T t m

39 39 в том, что общее время последовательного обслуживания работ -мя приборами достигает наименьшего значения, если каждый прибор обслуживает работы непрерывно в одной и той же последовательности,,..., } { удовлетворяющей условию: m( a, b ) m( a, b ), s, s s s, где a и s b длительность выполнения -той работы на первой и второй машине соответственно. При дополнительных ограничениях, налагаемых на длительности операций, возникает алгоритм упорядочения для случая 3-х станков. Дополнительные ограничения: m a max b и c max b m. В оптимальной перестановке заявка I предшествует заявке J, если m( a I b, c d ) m( a b, c b ) [66]. I J J J J I I Если составляется оптимальное расписание для системы конвейерного типа в смысле наилучшего значения общего времени обслуживания всех работ, все работы доступны одновременно, то оптимум ищется среди расписаний, в которых сохраняется порядок выполнения работ на первых двух и двух последних машинах. [65]. Таким образом, число расписаний сокращается до (!) m. Для конвейерной системы, состоящей не более чем из трех машин, оптимальное по быстродействию расписание принадлежит к классу перестановочных расписаний. Задача Джонсона может быть поставлена в терминах частичноцелочисленного линейного программирования. Одной из первых работ в этом направлении была модель А. Манне [4]. Модель для конвейерной задачи для системы, состоящей из трех машин, рассмотрена в [9]. Переменные в этой модели являются индикаторами выполнения работы в данной позиции перестановки. Система ограничений

40 4 строиться аналогичным образом. В качестве целевой функции рассматривается время простоя третьей машины. Недостатком этих моделей является большая размерность и большое число переменных. Для сокращения количества испытуемых решений может быть использован метод ветвей и границ. Методика и классификация алгоритмов подробно представлена в [44, 67]. Этот метод применяется к задачам математического программирования с дискретной структурой области определения и представляет собой анализ вариантов, с последовательным сужением множества вариантов путем отбрасывания неперспективных направлений. Трудоемкость в худшем случае та же, что и при полном переборе. Основные понятия метода: верхние и нижние оценки критерия, организация ветвления, выбор перспективных направлений, отбрасывание направлений, критерий остановки. Способ разбиения исходного множества вариантов на непересекающиеся подмножества (ветвление) выбирается исходя из условий конкретной задачи. Распространенным способом разбиения является разбиение на одноэлементные множества, при этом достаточно иметь только нижнюю оценку критерия. При таком подходе дерево вариантов представляет собой -ярусную структуру. Вершины первого уровня это номера всех работ, которые выполняются первыми. Если ветвление произошло в вершине, то вершины второго яруса - все работы, кроме -ой, и т.д. В [63] рассматриваются другие схемы ветвления. Выбор вершины для очередного ветвления и отбрасывание неперспективных направлений производиться с помощью верхних и нижних оценок критерия. При их выборе стараются сочетать два противоречивых критерия: качество оценок и простоту их получения. Чем качественнее метод получения оценок, тем меньший фрагмент дерева вариантов приходится рассматривать.

41 4 В [, 69] приводятся оценки для задачи построения оптимального по быстродействию расписания выполнения работ в конвейерной системе. В [35, 8, 96] приводятся оценки для задачи минимизации штрафов за нарушение директивных сроков. В задачах на минимум ветвление производится в вершине с наименьшей нижней оценкой. При расчете оценок для новой вершины отбрасываются все вершины, которые имеет нижнюю оценку большую, чем полученная верхняя. Процесс ветвления заканчивается, когда осталась единственная вершина с равными верхней и нижней оценками Задачи распределения В задачах распределения в теории расписаний каждая стадия представлена несколькими (возможно разнотипными) машинами. Необходимо указать наилучшее распределение работ по машинам внутри каждой стадии. Простейшей задачей распределения является задача с взаимозаменяемыми станками: несколько требований должны пройти однократную обработку. Для этого предоставляется несколько станков. Каждое требование выполняться на любом станке. Все требования поступают в систему одновременно. Известны времена обработки требования на станках. Требуется построить оптимальное по быстродействию расписание. Задачи, в которых каждое требование состоит из операций, которые могут быть назначены только на определенные машины, называются задачами цеха (Shop Schedulg). Между операциями могут быть заданы отношения предшествования (маршрут обработки детали). Две операции одного требования не могут выполняться одновременно. Каждая машина может одновременно выполнять только одну операцию. Принято выделять несколько частных случаев задачи цеха.

42 4 В задаче Job-Shop заданы отношения предшествования между операциями вида: Операция N может быть выполнена только после выполнения операции N, которая может быть выполнена только после операции N и т.д. При этом нет отношений предшествования между отдельными требованиями. В задаче Flo-Shop (задача конвейерного типа) каждое требование состоит из одних и тех же операций, т.е. расписание для каждого прибора задается вектором определяющим порядок обслуживания операций относящихся к разным требованиям. Задача Ope-Shop ставится так же, как задача Flo-Shop, но порядок выполнения операций для каждого требования может быть свой. Рассмотрим алгоритм решение задачи цеха на примере классического алгоритма Coffma Graham [3] для задачи Job-Shop. Алгоритм Coffma Graham применяется для решения задачи цеха и построения графа и предназначен для распределения элементов частично упорядоченного множества по некоторым уровням, из которых сформирована последовательность. Алгоритм формирует такое распределение, что последующие элементы назначаются на более низкий уровень, и каждый уровень имеет количество элементов не превышающую фиксированную границу W. Основными шагами алгоритма являются:. Представить частичный порядок с помощью его транзитивного сокращения [94] или отношения покрытия направленного ацикличного графа G, который имеет ребро из x в y только если x предшествует y и не существует элемента z такого, что x предшествует z, предшествует y.. Выполнить топологическую сортировку вершин графа G [, 3], так чтобы вершины графа были лексикографически упорядочены множеством позиций соседних вершин, из которых есть входящие ребра. Для этого

43 43 необходимо добавлять вершины один раз в порядок, на каждом шаге выбирая вершину v такую, что все соседние вершины, из которых есть входящие ребра { v, v,..., v }, все уже являются частью частичного порядка и самая недавно добавленная вершина из этих соседних вершин (не уменьшая общности можно считать, что они упорядочены по времени добавления и самой недавно добавленной является v ), добавлена раньше, чем v самая недавно добавленная вершина из вершин, из которых есть входящие ребра в любую другую вершину v, которую можно было бы добавить вместо v. Если v v алгоритм отдает предпочтение той вершине, у которой v добавлена раньше ( ) и т.д. 3. Назначить вершины графа на уровни обратно порядку, полученному на предыдущем шаге вершина v назначается на уровень, номер которого, по крайней мере на один выше, чем самый большой номер любой вершины в которую есть исходящее ребро из этой вершины и который пока еще не имеет W элементов назначенных на него, и номер которого является самым маленьким среди возможных, учитывая эти два ограничения Задача построения расписания для проекта Одной из наиболее общих задач в теории расписаний является задача построения расписания выполнения работ проекта с учетом отношений предшествования и ограничения на ресурсы (Resource-Costraed Proect Schedulg Problem. RCPSP). Данная задача формулируется следующим образом: Дано множество требований N {,.., } и K возобновляемых ресурсов,..,k. В каждый момент времени t доступно Q единиц ресурса. Заданы продолжительности обслуживания p для каждого требования,...,. Во время обслуживания требования требуется q Q единиц ресурса,.., K.

44 44 После завершения обслуживания требования, освобожденные ресурсы могут быть назначены на обслуживание других требований. Прерывания при обслуживании требований запрещены. Между некоторыми парами требований заданы ограничения предшествования, что означает, что обслуживание требования может начаться не раньше окончания обслуживания требования. Необходимо определить моменты времени начала обслуживания требований S,,..,, так чтобы минимизировать время выполнения всего проекта, т.е. минимизировать C max{ C }, где C S p. max,.., Помимо классической задачи RCPSP существуют расширенные модификации данной задачи, учитывающие директивные сроки выполнения требований, времена пролеживаний и т.д.. Активным называется такое допустимое расписание S S,..., S ), для ( которого не существует другого допустимого расписания S ( S',..., S' ) такого ' что S' S, N, и хотя бы одно из неравенств строгое. В [38] показано, что любое активное расписание S S,..., S ) однозначно ( представляется некоторой перестановкой элементов множества N {,.., } и представлен метаэвристический алгоритм решения расширенной задачи, основанный на методе Муравьиные Колонии. Кроме того, для решения задачи построения расписания для проекта хорошо себя показали генетический алгоритм [8, 9, 49]и алгоритм имитации отжига [9]. Метод муравьиные колонии для задачи построения расписания для проекта Каждая итерация представляет собой «запуск искусственного муравья», который пытается по некоторому правилу выбрать наилучший маршрут к

45 45 оптимальному решению, используя метки своих предшественников. На каждой итерации при запуске муравья учитываются два параметра: эвристический показатель того насколько хорошей кажется постановка работы на место в перестановке. Этот параметр вычисляется один раз перед первой итерацией и остается неизменным на всем протяжении работы алгоритма. Существуют различные методики вычисления данного показателя, например, исходя из директивных сроков выполнения требований или принадлежности требований к критическому пути. след (след феромона), это показатель того насколько хорошей оказалась позиция для постановки на нее работы исходя из накопленной статистической информации. Данный параметр корректируется на каждом шаге алгоритма. Исходя из значений этих параметров, на каждом шаге алгоритма вычисляется матрица вероятностей перехода. На основе значений, и определено правило выбора требования на позицию. После того, как требование поставлено на позицию в перестановке, пересчитывается «локальный след». А после выполнения итерации корректируется и глобальный след. Подобный алгоритм реализован в программном продукте С: Управление строительной организацией и используется в сотнях отечественных строительных компаниях. Генетический алгоритм Все решения в генетическом алгоритме кодируются определенным образом, чаще всего это двоичная кодировка, но для задач упорядочивания, в том числе и для задачи построения расписания для проекта, решение может быть закодировано перестановкой (перестановкой номеров работ).

46 46 Основной идеей генетических алгоритмов является организация естественного отбора среди решений (особей), аналогично процессам, происходящим в природе. Качество решений оценивается при помощи специальной функции приспособленности, при выборе этой функции важно следить за тем, чтобы вычисление значений функции было относительно быстрым, а рельеф, выбранной функции, был гладким. Генетический алгоритм состоит из следующих основных стадий:. генерация начальной популяции;. вычисление для популяции значений функции приспособленности; 3. оценка полученных значений функции приспособленности и прекращение работы алгоритма в случае достижения критериев окончания; 4. отбор родительских пар; 5. генерация потомков от отобранных родительских пар; 6. мутация потомков с определенной вероятностью; 7. отбор особей в новую популяцию; 8. повторение шагов -7. Критерием остановки алгоритма может являться: нахождение глобального, либо локально-оптимального решения; исчерпание числа поколений, отпущенных на эволюцию; исчерпание времени, отпущенного на эволюцию. Существует несколько подходов к выбору родительских пар, самыми распространенными операторами выбора родителей являются: панмиксия случайный выбор пар родителей, при этом особь не может скрещиваться сама с собой, особь может участвовать в скрещивание во многих парах; инбридинг первый родитель выбирается случайным образом, а вторым является член популяции ближайший к первому;

47 47 аутбридинг первый родитель выбирается случайным образом, а вторым является член популяции наиболее далекий от первого; турнирный отбор выбирается случайны набор особей и среди них выбирается лучшая, эта процедура повторяется N раз. Полученный набор особей является набором потенциальных родителей, из которого случайным образом формируются родительские пары; рулеточный отбор каждой особи в соответствие ставиться сектор рулетки пропорциональный по ширине значению функции приспособленности особи. Набор потенциальных родителей формируется путем запуска N раз рулетки. Генерация потомков от отобранных родительских пар обычно производится при помощи различных кроссоверов. Рассмотрим вариант кроссовера применимый к перестановочной кодировке решения: случайным образом выбирается точка внутри перестановочной записи решения; первая часть потомка берется как часть одного из родителей без изменения; вторая часть потомка формируется из недостающих членов перестановки, упорядоченных в соответствии с порядком этих членов во втором родителе. Таким образом, от каждой родительской пары возможно получение двух различных потомков наследующих свойства родителей. Для предотвращения преждевременной сходимости на случайно выбранных потомков воздействуют оператором мутации. Для перестановочных решений существуют различные виды мутации: мутация обмена случайным образом выбираются два члена перестановки и обмениваются местами;

48 48 мутация вставкой случайным образом выбирается член перестановки и вставляется в случайно выбранную позицию в решении, сдвигая все остальные члены перестановки; мутация участков случайным образом выбирается подпоследовательность в перестановке, для которой могут быть применены операции сходные с мутацией обмена или мутацией вставкой. Существуют различные подходы к отбору особей в новую популяцию: отбор усечением используют отсортированную популяцию, состоящую как из родительских особей, так и из особей потомков. В отборе в новую популяцию участвуют особи, которые попадают под выбранный порог. Среди этих особей случайным образом N раз происходит выбор особи в новую популяцию; элитарный отбор создается промежуточная популяция, которая включает в себя как родителей, так и их потомков. Члены этой популяции оцениваются, а за тем из них выбираются N самых лучших (пригодных), которые и войдут в следующее поколение. Применение данной стратегии гарантирует, что лучшие решения не будут потеряны; отбор вытеснением в данном отборе выбор особи в новую популяцию зависит не только от величины ее приспособленности, но и от того, есть ли уже в формируемой популяции аналогичная. Отбор проводится из числа родителей и их потомков. Из всех особей с одинаковой приспособленностью предпочтение сначала отдается особям с разными генотипам. Применение данной стратегии гарантирует сохранение генетического многообразия. Алгоритм имитации отжига Метод поиска моделирует процесс восстановления. Восстановление это физический процесс, который заключается в нагреве и последующем контролируемом охлаждении субстанции. В результате получается прочная

49 49 кристаллическая структура, которая отличается от структуры с дефектами, образующейся при быстром беспорядочном охлаждении. Структура здесь представляет собой кодированное решение, а температура используется для того, чтобы указать, как и когда будут приниматься новые решения. Алгоритм основывается на имитации физического процесса, который происходит при кристаллизации вещества, в том числе при отжиге металлов. Предполагается, что атомы уже выстроились в кристаллическую решётку, но ещё допустимы переходы отдельных атомов из одной ячейки в другую. Переход атома из одной ячейки в другую происходит с некоторой вероятностью, причём вероятность уменьшается с понижением температуры. Устойчивая кристаллическая решётка соответствует минимуму энергии атомов, поэтому атом либо переходит в состояние с меньшим уровнем энергии, либо остаётся на месте. Алгоритм имитации отжига состоит из следующих основных этапов:. генерация начального решения;. оценка решения; 3. изменение решения случайным образом; 4. оценка нового решения; 5. определение критерия допуска; 6. уменьшение температуры; 7. повторение шагов 3-6 до достижения нулевой температуры. Изменение решения в данном алгоритме происходит случайным образом и зависит от кодирования решения, для решений, записанных в виде перестановки, может быть применен любой из операторов мутации, описанных в предыдущем разделе, в результате на шаге присутствуют два решения исходное x и полученное x *. Точка x * становится x с вероятностью: F( x*) F( x ) P ( x*, x ) F( x*) F( x ), exp( F( x*) F( x ) Q

50 5 где Q элементы произвольной убывающей, сходящейся к нулю положительной последовательности, которая задаёт аналог падающей температуры.

51 5 ГЛАВА. Общая математическая модель многокритериального распределения ресурсов и постановки оптимизационных задач.. Иерархия рассматриваемых задач Задачи, рассматриваемые в данной главе, и их взаимосвязь можно представить в виде следующей иерархии задач:. Общая математическая модель, в рамках которой могут быть поставлены различные прикладные задачи распределения ресурсов:.. Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами;... Задача предварительного планирования на квартал объемов производства интегральных схем по подразделениям на различных уровнях административной иерархии;... Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по подразделениям в соответствии с квартальным планом по изготовлению партий пластин;.. Задача распределения производительности купола по газовым скважинам:... Задача формирования диспетчерских заданий;... Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по поддержанию режимов работы и наладке оборудования;.3. Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения:.3.. Задача предварительного планирования объемов производства изделий машиностроения, их компонент и запасных частей;

52 5.3.. Задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по изготовлению комплектов компонент изделий... Содержательное описание проблемы распределения ресурсов при планировании и оперативном управлении производственными системами... Задача ситуационного анализа, планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами Объектом автоматизации является процесс производства изделий микроэлектроники и кристального производства с субмикронными нормами (задача.) ([53, 54, 58]), который обеспечивает решение задач выпуска широкой номенклатуры продукции малыми сериями или единичными партиями, а так же изготовление пластин с заказанными элементами. Задачу планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами можно представить как две взаимосвязанных подзадачи: задача предварительного планирования на квартал объемов производства интегральных схем по подразделениям на различных уровнях административной иерархии (задача..) и задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по подразделениям в соответствии с квартальным планом по изготовлению партий пластин (задача..). Задача предварительного планирования на квартал объемов производства интегральных схем по подразделениям на различных уровнях административной иерархии (задача..) заключается в выборе из возможных заказов тех, которые будут приняты к исполнению подразделениями предприятия. Результатом решения задачи будут не только принятые заказы, но

53 53 и сроки начала и окончания их выполнения а так же некоторая обобщенная информация, связанная с ресурсными затратами на его выполнение (требуемый фонд времени работы оборудования, требуемые затраты материальнотехнологических ресурсов) и т.д. После решения этой задачи будут известны заказы, рекомендованные к включению в портфель заказов, подразделения исполнители и календарные сроки их выполнения, причем изделия заказов могут быть из группы уже выпускаемых, так и новые, информация по которым должна формироваться на основе наиболее «близких» к ним изделий, о которых у предприятия уже есть некоторая информация. Тем самым по некоторым изделиям заказа может быть «подробная» информация (описание технологического процесса), а по некоторым «обобщенная» информация, полученная либо по аналогам, либо экспертным путем. Таким образом, для формирования пакета заказов и объемно-календарного планирования требуется определить на заданный период планирования программу производства для подразделения предприятия в объемных показателях (нормо-часы, рубли, условные тонны), обеспечивающую эффективное функционирование подразделения, и удовлетворяющую ограничениям возможных объемов работы. При этом накладываются следующие ограничения: объем работ, выполненный в подразделении в планируемом периоде по каждому заказу не должен превышать объемов незавершенного производства; общий объем работ, который будет выполнен в подразделении в планируемом периоде, не должен превышать мощности подразделения. Критериями оптимальности задачи являются: минимизация квадратичных функций штрафов, характеризующих отклонения выполняемых объемов работ от оптимальных величин загруженности подразделений;

54 54 минимизация квадратичных функций штрафов, характеризующих отклонения выполняемых объемов работ от плановых величин. При решении задачи оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по подразделениям в соответствии с квартальным планом по изготовлению партий пластин (задача..) на вход поступает сформированный квартальный план на выпуск изделий по подразделениям, который необходимо выполнить. Для каждого заказа определены объемы и сроки начала и окончания его выполнения. Результатом решения этой задачи является расписание выполнения заказов, в котором определены сроки начала и окончания выполнения каждой операции каждого изделия каждого заказа. Критериями оптимальности являются: максимизация количества выполненных за планируемый период операций и минимизация времени на выпуск приоритетных партий изделий. Для решения задачи оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по подразделениям в соответствии с квартальным планом по изготовлению партий пластин используется позаказная система планирования. Каждый заказ включает в себя наборы партий пластин, для которых определены директивные сроки выполнения. С учетом процента выхода годной продукции, каждая партия пластин определяет количество кристаллов, которые поступят на операцию сборки. Перед операцией сборки допускается формирование из одной партии кристаллов нескольких подпартий на сборку, для каждой из которых может быть определен свой перечень технологических операций. Далее под изделием производства здесь понимается заказ (часть заказа), состоящий из партий пластин, которые в свою очередь могут состоять из подпартий, состоящих из подподпартий пластин. Причем число уровней иерархии может быть произвольным. Для каждой партии (подпартии) пластин задан перечень технологических операций, которые выполняются на оборудовании, причем для каждой технологической операции

55 55 однозначно определен тип оборудования, на котором эта технологическая операция должна выполняться. Для каждой технологической операции определено количество различных материалов, необходимых для ее выполнения, а так же время ее выполнения на оборудовании. Оборудование может работать как по общему графику (рабочие дни, число смен, время обеденного перерыва ) так и по графику специфичному для данного оборудования. Часть технологических операций объединяются в группы (групповые операции), которые должны выполняться последовательно и без перерывов. Для некоторых технологических операций задано время пролеживания минимально возможный интервал времени до начала следующей технологической операции (время, меньше которого не должно пройти до выполнения следующей по технологии операции). Для некоторых технологических операций задано межоперационное время - максимально возможный интервал времени до начала следующей технологической операции (время, больше которого не должно пройти до выполнения следующей по технологии операции). Определены завершающие работы для изделий директивные работы, - для которых заданы сроки их выполнения (директивные сроки). Таким образом, здесь рассматривается следующая иерархия: верхним уровнем работ являются заказы; вторым уровнем работ являются изделия, из которых состоят заказы; третьим уровнем работ являются партии пластин, из которых состоят изделия, которые состоят из подпартий и т.д.; нижним уровнем работ являются технологические операции, которые выполняются на оборудовании.

56 56... Задача распределения производительности купола по газовым скважинам Рассматривается сложная система, описывающая функционирование газового промысла (задача.) ([3, 33, 59]). Газовый промысел обслуживает газовое месторождение, объекты добычи которого по геолого-техническим и территориальным признакам разделяются на несколько куполов. Каждый газовый купол состоит из ряда кустов газовых скважин. Газовые скважины одного купола обслуживаются установкой предварительной подготовки газа, и соединены между собой и установкой газопроводом. Процесс добычи газа описывается следующей схемой. Предполагается, что начальное пластовое давление (давление на забое любой скважины) купола известно. Объем добычи газа из скважины регулируется системой кранов-регуляторов, при этом очевидно, что при открытых кранах скважина дает максимальный объем добычи, но при этом устьевое давление скважины будет минимально, а при закрытых кранах объем добычи газа минимален, а устьевое давление скважины максимально. В общем случае функция, определяющая устьевое давление газа скважины от объема добытого газа является квадратичной монотонно невозрастающей функцией [3]. Так как изменение пластового давления газа происходит достаточно медленно, то в данной работе предполагается, что на выбранном интервале планирования можно пренебречь квадратичной составляющей и считать, что функции, определяющие зависимость забойного давления скважины от объема добываемого газа на заданном интервале времени, линейные. Для рассматриваемой системы поставлены следующие задачи: на уровне центрального производственно-диспетчерского департамента необходимо установить объемы добываемого газа в целях контроля и управления газовыми потоками в единой системе газоснабжения и на основе полученных данных сформировать диспетчерское задание на добычу газа для

57 57 пунктов диспетчерского управления нижнего уровня задача формирования диспетчерских заданий (задача..); на уровне пунктов диспетчерского управления нижнего уровня на основе диспетчерского задания необходимо формировать соответствующие режимы работы оборудования и персонала и осуществлять оперативный перерасчет в целях поддержания актуальности плана задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по поддержанию режимов работы и наладке оборудования (задача..). Таким образом, задача распределения ресурсов газового промысла разбивается на две подзадачи: задачу формирования диспетчерских заданий и задачу планирования режимов работы и наладки оборудования. В задаче формирования диспетчерского задания в явном виде присутствует группа частных критериев оптимальности, определяющих максимум объема газа, добываемого на скважинах в единицу времени (максимум дебита), частный критерий, определяющий максимум давления в системе. Причем критерии противоречивые, т.к. зависимость объема от давления такова, что чем меньше давление (кран-регулятор скважины открыт максимально), тем больший объем газа будет поступать из скважины. Критерий сохранения максимально возможного давления в системе (минимум потерь пластовой энергии) равносилен сохранению максимально возможной равномерности устьевого давления на выходе скважин и давления на входе установки предварительной подготовки газа. Критерий максимизации дебита равносилен критерию максимума объема газ поступившего на вход установки. В задаче планирования режимов работы оборудования определяющим условием является необходимость выполнения диспетчерского задания по поставкам указанного объема газа, при этом необходимо обеспечить поставки в сроки указанные в диспетчерском задании и обеспечить режимы работы

58 58 оборудования близкие к оптимальным (сокращение износа оборудования). Таким образом, ограничениями задачи являются: сохранение сетевой структуры (все операции, выполняемые при перенастройке оборудования должны происходить в порядке четко определенном в техническом регламенте); группы операций, для которых в техническом регламенте указаны обязательные межоперационные времена, должны выполняться строго в соответствии с регламентом; операции, для которых указано минимально допустимое межоперационное время, должны выполняться в соответствии с требованиями регламента; длительность операций не должна изменяться; диспетчерское задание должно быть выполнено в полном объеме, так как является частью контрактных обязательств. Критериями оптимальности задачи являются: минимизация нарушений сроков поставок газа указанных в диспетчерском задании; минимизация нарушений нормативных сроков операций по перенастройки оборудования указанных в техническом регламенте; минимизация нарушений рекомендованных межоперационных времен, указанных в техническом регламенте. Содержательное описание объекта соответствует реальным условиям ООО «Нояборьскгаздобыча» [57]...3. Задача планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения Рассматривается задача выполнения заказов по изготовлению изделий машиностроения (задача.3) ([4, 55]).

59 59 Для решения задачи планирования и оперативного управления процессом изготовления изделий машиностроения рассматриваются две взаимозависимые задачи: задача предварительного планирования объемов производства изделий машиностроения (задача.3.), их компонент и запасных частей и задача оперативного управления и календарного планирования выполнения работ по изготовлению комплектов компонент изделий (задача.3.). Изделия состоят из определенного числа компонент разных видов, которые в свою очередь так же являются изделиями. Для того чтобы изготовить изделие из компонент и сами компоненты необходимо произвести определенную последовательность операций. Каждое изделие и компонента имеют свой собственный перечень операций. Кроме компонент необходимых для изготовления определенного изделия могут быть указаны дополнительные компоненты (например, запасные части), которые необходимо изготовить в данном заказе. Изделия и компоненты могут быть сгруппированы в комплекты. В рамках одного комплекта распределение компонентов по изделиям не указывается и является несущественным для оценки полученного решения. Каждая операция характеризуется: типом оборудования, на котором она выполняется; длительностью операции; минимальным временем от предыдущей операции; максимальным временем от предыдущей операции; временем пуска завершения (подготовительно-заключительное время). Подготовительно-заключительное время привязано к станку, т.е. если изготавливать партию на одном станке без перерывов, то между однотипными операциями подготовительно-заключительное время не учитывается, а берется раз вначале и в конце, если же в процессе обработки был перерыв, то перед

60 6 перерывом и при возобновлении работы необходимо учесть подготовительнозаключительное время еще раз. Длительность операции не включает в себя время пуска завершения. Минимальное время от предыдущей операции и максимальное время от предыдущей операции не включает в себя время пуска завершения (высчитываются непосредственно от конца предыдущей операции без учета ее времени пуска завершения до непосредственного начала текущей операции без учета ее времени пуска завершения). Каждому типу оборудования принадлежит множество оборудований. Каждое оборудование может работать в соответствии со своим собственным графиком работы (времени, когда допустимо назначать операции на данное оборудование, операция должна выполниться и закончится в пределах допустимого промежутка времени заданного графиком). В заказе указывается полный список изделий, а не только изделия верхнего уровня. Для изготовления этого списка изделий указывается список операций для изготовления каждого изделия. Как на изделия, так и на конкретные операции для изготовления изделий могут быть наложены директивные сроки исполнения. После начала выполнения операции на оборудовании вплоть до окончания выполнения операции, перерывы в выполнении операции для работы над другими операциями не допустимы..3. Общее описание проблемы распределения ресурсов при планировании и оперативном управлении производственными системами Приведенное содержательное описание посвящено особенностям производства изделий радиоэлектроники и позволяет рассматривать более широкий класс задач, в том числе задачи производства изделий

61 6 машиностроения и задачи распределения производительности купола по газовым скважинам. Задачу распределения ресурсов в иерархических системах можно рассматривать как две взаимосвязанные подзадачи: задачу предварительного планирования распределения ресурсов (задача объемно-календарного планирования) и календарного планирования и оперативного управления. При этом решение, найденное для задачи предварительного планирования распределения ресурсов, входит в состав исходных данных задачи календарного планирования и оперативного управления (Рис. ). Рис. Структура программного обеспечения.3.. Задача предварительного планирования распределения ресурсов Задача предварительного планирования распределения ресурсов заключается в планировании объемов производства на определенный период по

62 6 подразделениям предприятия. Имеется набор возможных работ, которые могут быть выполнены подразделением. При этом на выполнение работ требуется затратить определенное количество ресурсов (материальные ресурсы, время, рабочие часы и т.д.). Ограничения на ресурсы являются линейными ограничениями транспортного типа. Требуется определить на заданный период планирования набор выполняемых работ, обеспечивающий эффективное функционирование подразделения, характеризующиеся рядом квадратичных критериев. В ряде случаев квадратичные критерии могут быть упорядочены по степени их важности..3.. Задача календарного планирования и оперативного управления Задача календарного планирования, заключается в составлении календарного плана выполнения определенного набора работ, для которых задан ряд ограничений. При решении этой задачи необходимо обладать полной информацией обо всех уровнях иерархий производственных работ, а так же о состоянии производственной системы на весь период планирования. Результатом решения этой задачи является расписание выполнения работ, в котором определены сроки начала и окончания выполнения каждой работы. Критериями оптимальности для этой задачи являются: максимизация общей производительности количества выполненных за планируемый период работ и минимизация времени на выполнение приоритетных работ. Работы нижнего уровня (будем называть их элементарными операциями) должны выполняться на определенном оборудовании, для которого заданы определенные интервалы времени работы (рабочее время) таким образом, задается производственный календарь. После начала выполнения операции на оборудовании оно уже не может быть прервано, таким образом выполнение операции на оборудовании должно уложиться в один рабочий интервал

63 63 оборудования. В данной задаче могут быть наложены следующие технологические ограничения на работы: работы связанны между собой выполнение работы может быть начато только после выполнение определенных работ (например, нанесение обозначений на изделие может быть осуществлено только после изготовления самого изделия); задано минимальное время пролеживания время, которое должно пройти между операциями, прежде чем процесс изготовления изделия может быть продолжен (например, на заготовке должен успеть проступить рисунок); выделены группы операций технологическая цепочка операций выполняемых, возможно, на различных видах оборудования для которых технологией строго определен регламент выполнения. Начало выполнения операций принадлежащих группе операций не может быть сдвинуто относительно других членов группы. Выполнение групповой операции не может быть прервано и должно осуществляться последовательно без перерывов. В данной задаче могут быть наложены следующие организационные ограничения на работы: заданы директивные сроки работ и операций сроки, до которых необходимо выполнить данную работу; задано межоперационное время (максимальное время пролеживания) максимальное время которое может пройти между операциями (например, заготовка не должна успеть остыть). Все оборудование производственной системы разбивается на группы: оборудование, работающее по общему графику. Для данной группы оборудования заданы: рабочие дни, число смен, время начала и окончания работы каждой смены, время обеденного перерыва;

64 64 оборудование, работающее по непрерывной схеме: оборудование начинает выполнение соответствующей технологической операции в рабочее время и выполняет ее непрерывно, причем завершение операции возможно в любое время; оборудование, работающее по особой схеме: оборудование начинает и заканчивает выполнение соответствующей технологической операции в рабочее время в течение одной смены; оборудование, требующее разогрева: оборудование, требующее дополнительных подготовительных операций перед началом работы. Если оборудование находилось в нерабочем состоянии (из-за профилактики или отсутствия запланированной работы), то перед загрузкой этого оборудования, на нем необходимо выполнить определенный вид работ, которые в дальнейшем не участвуют в производственном процессе. Для каждого такого вида оборудования указывается максимально возможное время простоя, после которого необходим «разогрев» оборудования и время «разогрева»; кластерное оборудование: оборудование, представляющего собой совокупность из нескольких «камер». Каждая «камера» представляет собой отдельную единицу оборудования и может работать независимо от остальных «камер». Если кластерное оборудование находится в нерабочем состоянии, то все камеры кластерного оборудования находятся в нерабочем состоянии; оборудование «химических ванн»: оборудование, представляющего собой совокупность из нескольких «ванн». Все «ванны» обслуживаются одним манипулятором, одновременно может производиться работа только с одной «ванной». Каждая ванная может находиться в нерабочем или рабочем состоянии независимо от остальных ванн. В целях снижение брака при осуществлении технологических процессов на оборудовании могут выполняться проверки технологического оборудования по точности технологического процесса. Причем кластерное и оборудование

65 65 химических ванн может участвовать в нескольких технологических процессах. Проверка технологических процессов по точности осуществляется периодически, причем период проверки для каждого оборудования назначается индивидуально в зависимости от типа оборудования. Оборудование не прошедшее периодическую проверку по точности не может использоваться в технологическом процессе. Проверка технологического оборудования по точности технологического процесса осуществляется путем проверки ряда контролируемых параметров. Проверка каждого контролируемого параметра осуществляется путем выполнения последовательности определенных операций. Проверка контролируемых параметров может осуществляться с привлечением дополнительного технологического оборудования. В ходе проведения проверки технологического оборудования по точности оно считается занятым. Условия задачи связанные с выполнением действующих технологических норм могут быть представлены в виде «жестких» технологических условий, то есть в виде ограничений задачи, нарушение которых приведет к недопустимому решению. А организационные условия задачи могут быть рассмотрены в виде «мягких» технологических условий, то есть в виде критериев, оптимизируя которые мы придем к более предпочтительному решению. «Жесткие» технологические условия: сохранение сетевой структуры; групповые операции не должны разбиваться; минимальные сроки пролеживания не должны нарушаться; длительность операций не должна изменяться. «Мягкие» технологические условия: сохранение директивных сроков; межоперационное время не должно нарушаться.

66 66.4. Построение и исследование общей математической модели распределения ресурсов в иерархических системах.4.. Математическая модель Имеется набор из работ, которые могут быть выполнены подразделением. Исходя из ресурсных и технологических ограничений на работы, присутствуют следующие линейные ограничения: b Aq c, q R, (.4..) где A матрица размерности m с коэффициентами из множества {,,-}, b и c произвольные m -мерные векторы с рациональными компонентами, q - мерный вектор компоненты которого являются показателями объемов производства на планируемый период по каждому виду возможных работ. Объемы производства на планируемый период, заданный множеством тактов планирования T,,,..., T }, по каждому виду возможных работ q { определяют состав работ верхнего уровня Qr( q) R, где R R, R,..., R }, для задачи календарного планирования и оперативного управления. { N Для выполнения работ верхнего уровня может понадобиться выполнение определенного набора работ первого уровня R { R,, R,,..., R, N },, N, которые в свою очередь также могут состоять из работ (работы второго уровня) и т.д. Для работ могут быть заданы директивные сроки (срок, к которому работа должна быть выполнена). Пусть директивные сроки, а работы D r R. В случае если D R множество работ, для которых заданы D, D T директивный срок, определенный для r r D R r, будем полагать, что D r T. Обозначим через W,,... N } набор всех технологических операций, а { через R ) W множество технологических операций, (,,...,

67 67 обеспечивающих выполнение работы R,...,,. Для технологических операций определены порядки их выполнения. Множество всех операций, непосредственно предшествующих операции с номером, обозначим через K (), W. Технологические операции также могут обладать директивными сроками выполнения D, такие операции будем называть операциями с заданным операционным директивным сроком W D D. В случае если W, будем полагать, что D T. Технологические операции, необходимые для выполнения работ обладающих директивными сроками, также обладают директивными сроками, равными минимальным директивным срокам среди всех директивных сроков работ находящихся в соответствующих ветках иерархий и операционным директивным сроком: D D,..., D, D, D }, ( R ). (.4..) m{ R R R,,...,,,...,, В случае если D T будем говорить, что для операции задан директивный срок, а операция принадлежит множеству операций с директивными сроками Пусть D W. m W множество операций, для которых определено минимальное время пролеживания, а операции, m W ; межоперационное время, а m t минимальное время пролеживания -й max W множество операций, для которых определено max t межоперационное время (максимальное время пролеживания) -й операции, max W. Пусть, I {,,..., M} множество, которое включает в себя все оборудование, на котором выполняются технологические операции. Здесь через

68 68 обозначено оборудование, используемое для операций, не требующих ресурсных затрат. Обозначим через ) {,...} множество видов оборудования, на ( котором может выполняться операция, W,... I,. Для каждого оборудования определенно множество s e s e ( ) {[, ],[, ]...}, I, промежутков времени (множество рабочих интервалов), в которые оборудование может осуществлять выполнение операций: Пусть H множество единиц оборудования, для которых необходимо производить операцию «разогрева», h - максимально возможное время простоя, после которого необходим «разогрев» оборудования, разогрева оборудования h, h H, H I. h - время Пусть C множество единиц оборудования, для которых необходимо производить проверки технологического оборудования по точности технологического процесса, ctc - максимальный интервал между проверками, prc pr,..., pr } множество параметров, которые необходимо проверить c { c c, N, C c C, C I. Обозначим множество операций, которые необходимо выполнить для l -ой по счету проверки параметра pr c,, l ( pr c, ) { l, l,..., l N l C, K l l },,..., N l C, K T W, l, ctc как. Во время выполнения проверки технологического оборудования по точности технологического процесса занято как проверяемое оборудование с C, так и оборудование используемое для проверки l l l l T ( ), ( prc, ),, Nc, W, l,. ctc

69 69 Обозначим через G g,..., } множество групповых операций { g N g операций, которые должны выполняться последовательно друг за другом со строгим соблюдением всех межоперационных времен, и для которых недопустимы перерывы в их выполнении. Каждая групповая операция определяется цепочкой операций g (,,..., N ), l K( l ), l, NG, l W,, NG, где G задают соответственно начало и конец групповой операции. Обозначим через оборудовании, I, W., N G t время выполнения -й операции на -м В данной математической модели можно выделить следующие ограничения: Естественные ограничения на переменные: x T, y T, z {,}, W, I. (.4..3) Каждая операция должна выполняться на возможном для нее оборудовании: z, z I модели: ( ), W, I. (.4..4) Взаимозависимость операций, определяющая каноничность сетевой x y, sk( ), W. (.4..5) s Условия выполнения операций на оборудовании без перерывов: y x t, W, ( ), z. (.4..6) Условия выполнения операций на оборудовании, требующем разогрев: x y v, если x y и h z z,, W, h H. h h h (.4..7) Условия, определяющие невозможность одновременного выполнения на одном и том же оборудовании разных операций:

70 7 x x t или x x t для всех тех,,, для которых z z, I,, W. (.4..8) Условия, определяющие необходимость выполнения операции в допустимое время для оборудования: x, y ( ), ( ), W. (.4..9) Ограничения для операций с минимальными сроками пролеживания: x m y t, ( K( ) W ), W. (.4..) m Условия, определяющие необходимость выполнения групповых операций без перерывов: y g N G x ( N G l m l ( t t ), для всех l l,,..., ),, NG, g G, N G ( ), z. l l l где (.4..) Условия, определяющие необходимость проведения проверок технологического оборудования по точности технологического процесса не реже, максимального интервала между проверками: m S, N l C, K ( x l S ) max S, N l C, K ( y l S ) ct c, для всех T pr c, prc c, c C, l,, где ctc (.4..) l S l l ( prc, ), S ( prc, l ). Условия, определяющие невозможность одновременного выполнения на одном и том же оборудовании операций и проверок технологического оборудования:

71 7 x' c, l m l s m prc, KprcC ( pr ) sn l C, K m l C, K ( x l S ), c C, l, T ct c, y' c, l max pr C, Kprc C max l l s ( prc, K ) max( y l S ), cc, l, тогда для всех c, l,, где T ct c, c T, prc c, z c l C l,, W, ( prc, ), prc, ctc x y' c, l или x' c, l y для всех (.4..3) T pr c, prcc, cc, l,, где ctc l S l l ( prc, ), S ( prc, l ). В качестве варьируемых параметров математической модели выступают: -мерный вектор q, компоненты которого являются показателями объемов производства на планируемый период по каждому виду возможных работ, N- мерные целочисленные векторы x и y, компоненты которых определяют такты начала и окончания выполнения операций, а так же матрица Z, z I W элемент которой z, если операция выполняется на оборудовании, и z в противном случае I, W..4.. Пример математического описания задачи распределения ресурсов в радиоэлектронном производстве Рассмотрим реальный пример постановки задачи распределения ресурсов в иерархических системах в радиоэлектронном производстве. У цеха имеется три заказа на производство наборов партий пластин: первый заказ предусматривает выпуск набора из 5 пластин;

72 7 второй заказ предусматривает выпуск набора из 6 пластин; третий заказ предусматривает выпуск набора из 6 пластин. Работа по первым двум заказам начинается в третьем квартале и длится до конца года. Работа по третьему заказу начинается только в четвертом квартале. Необходимо запланировать поквартальные объемы производства по каждому из заказов: q - объемы производства по первому заказу в третьем квартале; q - объемы производства по первому заказу в четвертом квартале; q 3 - объемы производства по второму заказу в третьем квартале; q 4 - объемы производства по второму заказу в четвертом квартале; q 5 - объемы производства по третьему заказу в четвертом квартале; По каждому из заказов необходимо обеспечить безусловное выполнение объемов производства и по возможности произвести по каждому из заказов дополнительные изделия для обеспечения запасных частей и нивелирования брака. Таким образом, получаем следующие ограничения на объемы производства: 5 q q 5 ; 6 q 3 q4 4; 6 q 5 5. В соответствии с корпоративными требованиями на эффективность производства, суммарный объем выпуска пластин опытным производством должен находиться в диапазоне от 5 до пластин во втором полугодии. Таким образом: 5 q q q3 q4 q5. В соответствии с технологией производства первый и второй заказ должен выполняться с использованием специфических высокочистых материалов, что накладывает дополнительные ограничения, связанные с возможностью

73 73 поставок данных материалов только в четвертом квартале и ограниченными складскими запасами в третьем квартале: 3 q q. Аналогичные ограничения накладываются и на изделия по второму и третьему заказу: q q q 35. Таким образом, получаем следующие вектора матрицу A размерности m, где m 6, 5: A, b, c b, c размерности m 6 и Рассмотрим подробнее технологию производства пяти пластин из состава третьего заказа. Изготовление всех пяти пластин осуществляется одной партией, не содержащей подпартий: R { R }; Для выполнения работы по изготовлению пластин из состава третьего заказа в качестве директивного срока установлен конец четвертого квартала, а именно 6: декабря: D R 6:_.. 4. Для изготовления пластин из состава третьего заказа необходимо выполнить ряд последовательных технологических операций: ( R ) W {,,..., N }, N 5; K ( ) { },... N Например, после окончание операции «Формирование активных областей d=7» необходимо выполнить операцию «Травление SO d=44» после

74 74 чего необходимо выполнить операцию «Химическая очистка d=5», после которой необходимо выполнить «Контроль чистоты поверхности d=7» после чего можно выполнить операцию «Окисление и осаждение S3N4 d=47» и т.д. Для части операций установлены межоперационные времена, так между операциями «Травление SO d=44» и операцией «Химическая очистка d=5» установлено межоперационное время часов, а между операциями «Химическая очистка d=5» и «Окисление и осаждение S3N4 d=47» установлено межоперационное время часа и т.д., всего операции, для которых задано межоперационное время. В цехе находится 79 единиц оборудования I {,..., M}, M 79, включая единичное оборудование и элементы кластерного оборудования. В рассматриваемом примере, каждая операция может выполняться только на одном конкретном оборудовании. Например, операция «Травление SO d=44» производится на оборудовании «EW Установка химической обработки (травление оксида кремния) d=37», операция «Контроль чистоты поверхности d=7» на оборудовании «MK Установка контроля дефектов d=4», операция «Окисление и осаждение S3N4 d=47» на оборудовании «Вертикальная диффузионная печь (пирогенное окисление и осаждение нитрида кремния) d=4» и т.д. Все оборудование работает в нормальном состоянии в соответствии с распорядком рабочего дня: c понедельника по четверг с 8 утра до 5 вечера; в пятницу с 8 утра до 4 вечера; перерыв на обед с. до.47; суббота, воскресенье выходной. Таким образом, I :

75 75 () = e [ ] s 8:.7.4 :.7.4 : :.7.4 8:.7.4 :.7.4 : :.7.4 Для каждой операции задано время выполнения операции на оборудовании, так время выполнения операции «Травление SO d=44» составляет 6 минут ( t37,44 6 мин. ), а операции «Контроль чистоты поверхности d=7» 3 минуты ( t4,7 6 мин. ). Для части оборудования задано время разогрева оборудования, так например, для оборудования «Вертикальная диффузионная печь (пирогенное окисление и осаждение нитрида кремния)» задано время разогрева равное 5 минутам, в случае, если от предыдущей операции на данном оборудовании прошло больше часа, =6 мин. Для части оборудования заданы проверки по точности технологического процесса, так для оборудования «Вертикальная диффузионная печь (пирогенное окисление и осаждение нитрида кремния) d=4» заданы проверки: pr 4,, по точности поддержания температуры в рабочей зоне реактора (в диапазоне 85-5 С); реактора. pr 4,, по точности поддержания температуры 69 С в рабочей зоне Для выполнения проверки pr 4, (по точности поддержания температуры в рабочей зоне реактора (в диапазоне 85-5 С)) необходимо ежемесячно выполнять операции: окисление c параметрами: d SО=5±5Å, T=9 C (d=74);

76 76 контроль d SO (рабочая пластина) (d=378). l l l ( pr ) {74,378 }, l,6. 4, Для выполнения проверки pr 4, (по точности поддержания температуры 69 С в рабочей зоне реактора) необходимо ежемесячно выполнять операции: (d=). окисление c параметрами: d SО= ± Å, C (d=75); ИЛ BF c параметрами: E=5 кэв\r\d= *E4\r\Угол - l l l ( pr ) {75, }, l,6. 4, Операции окисления производятся без привлечения дополнительного оборудования, а операция контроль d SO выполняется с использованием дополнительного оборудования «MR Эллипсометр для диэлектрических пленок», а операция ИЛ BF с привлечением оборудования «DI Установка ионной имплантации (Средний ток)».5. Постановка оптимизационных задач распределения ресурсов.5.. Квадратичные многокритериальные задачи распределения ресурсов Выбор показателей объемов производства на планируемый период по каждому виду возможных работ определяется исходя из следующей s -критериальной задачи: F ( q) m q, ( ) (.5..) Q где, s, Q ( ) {,,..., },, s, q удовлетворяет ограничениям (.4..). Поставленная задача соответствует задачам..,.. и.3.. Замечание 8

77 77 Полученная задача объемно-календарного планирования является многокритериальной задачей с квадратичными критериями и системой ограничений транспортного типа..5.. Постановка задачи построения лексикографически оптимального решения Предположим, что на множестве частных критериев оптимальности (.5..) задачи можно задать полный порядок, предполагая (не уменьшая общности), что F F,, s. Лексикографически оптимальным решением многокритериальной задачи назовем такое допустимое решение q ( q, q,..., q ), что не существует допустимого решения q ' и натурального,,s, таких, что F ( q') F ( q ), или F ( q') F ( q ),,, F ( q') F ( q ). Задача нахождения лексикографически оптимального решения может быть поставлена в случае, если на множестве частных критериев оптимальности можно установить полный порядок. Задачи, соответствующие случаю упорядоченности частных критериев обозначим как задача...а, задача...а и задача.3..а соответственно Построение неулучшаемого ε-приближенного решения многокритериальной задачи распределения ресурсов Назовем ε-приближенным решением s -критериальной задачи такое допустимое решение задачи q *, что F ( q*),, s. Здесь заданный управляемый параметр, определяющий «качество» полученного решения многокритериальной задачи.

78 78 Назовем неулучшаемым ε-приближенным решением задачи такое ε-приближенное решение q *, что не существует такого, ' и q' R, что система ограничений b Aq' c, q' R будет совместна. q ',, s. Q ( ) Задача нахождения неулучшаемого ε-приближенного решения может быть поставлена, когда все критерии многокритериальной задачи имеют одинаковую значимость. Таким образом, при нахождение неулучшаемого ε-приближенного решения будет найдено такое решение, что наибольшее отклонение среди всех критериев от будет минимальным на данном решении, что соответствует нахождению решению исходной задачи согласно принципу гарантированного результата: m max q*, s Q ( q *. ) В случае равноправности частных критериев обозначим полученные задачи как задача...б, задача...б и задача.3..б соответственно Пример постановки задачи нахождения лексикографически оптимального и ε-приближенного решения Рассмотрим постановку задачи нахождения лексикографически оптимального (задача...а) и ε-приближенного решения (задача...б), на примере задачи описанной в пункте.4.. Выбор показателей объемов производства на планируемый период осуществляется исходя из следующих условий: необходимость обеспечения средней ежеквартальной наработки цеха. В соответствии со стандартами предприятия у цеха есть усредненные показатели производительности в квартал, невыполнение этих показателей (как в большую, так и в меньшую стороны) ведет к возникновению

79 79 административных последствий. Кроме того отклонение от средних плановых показателей зачастую означает простой оборудования или же необходимость внеурочной работы; необходимость обеспечения 5% запаса изготавливаемых партий изделий, для обеспечения запасных частей и нивелирования брака. Таким образом, получаем следующую 5-критериальную задачу: q ( q) m q5 F, F, ( q) m q 9 3( q) m q3 q4 3 F, F 4( q) m q q3 3, F. 5( q) m q3 q4 q5 3 Третий заказ является более срочным и приоритетным, поэтому изготовление по нему дополнительных запасных элементов является приоритетной задачей. Среди первого и второго заказа более приоритетным является первый заказ, так как он поступил от заказчика с многолетней историей сотрудничества. Выполнение планов по изделиям является приоритетной первоочередной задачей, напротив обеспечение средней ежеквартальной наработки цеха является задачей скорее эффективного управления и расходования ресурсов. В связи с тем, что подведением итогов четвертого квартала совпадает по времени с подведением итогов года, производимого по фактически выполненным работам, обеспечение средней ежеквартальной наработки цеха в третьем квартале является более приоритетной задачей, чем в четвертом квартале. Таким образом, над множеством критериев -5 можно построить полный порядок F F F3 F4 F5, а значит, имеет смысл говорить о задачи нахождения лексикографически оптимального решения.

80 8 В случае если обеспечения 5% запаса изготавливаемых партий изделий уже включено в ограничения задачи (критерии F, F, F3 отсутствуют), имеет смысл рассматривать критерии, связанные с необходимость обеспечения средней ежеквартальной наработки цеха, как равнозначные. В этом случае ставиться задача нахождения неулучшаемого ε-приближенного решения Задачи календарного планирования и оперативного управление Решение задачи предварительного планирования (задача..,..,.3.) q * определяет необходимый набор работ, которые требуется выполнить в планируемый период с наложенными «мягкими» и «жесткими» технологическими условиями. Нарушение «жестких» технологических условий не допускается, что отражено в ограничениях математической модели (.4..)-(.4..3). При нарушениях «мягких» технологических условий на систему обслуживания накладываются штрафные санкции. Определим для каждой директивной работы, связанную с выполнением ее после директивного срока: D W функцию штрафа, f D ( y, D ) α D (y - D, если y ), если y D D D W. (.5.5.) Здесь D α коэффициент штрафа за «отставание» выполнения операции от ее директивного срока, D W. Таким образом, определяется группа частных критериев, связанных с нарушениями директивных сроков выполнения операций f D ( y, D ) m, W. D Кроме того, на условия эффективного функционирования рассматриваемых производственных систем могут накладываться требования, которые не учитываются в ограничениях математической модели. Например,

81 8 это могут быть условия предотвращения нарушений межоперационных времен. Определим для каждой операции с определенными межоперационными временами, max W функцию штрафа: f max, ( y ) m (( y t max, если где W max K( ), W. ) - x y ), если y t max x t max x, (.5.5.) Здесь времени. m коэффициент штрафа за нарушение межоперационного Тогда суммарная функция штрафа для каждой операции с определенными межоперационными временами будет: max f ( y ) f, ( y ). (.5.5.3), K ( ) max Таким образом, определяется группа частных критериев, связанных с нарушениями межоперационного времени выполнения операций max max f ( y) m, W. Для работ могут быть заданы приоритеты, в соответствии с которыми должно происходить назначение операций на выполнение (операции, соответствующие партиям с большим приоритетом, должны выполняться раньше). Пусть P r P r P R множество работ, для которых заданы приоритеты, а приоритет, определенный для работы r, причем, если P r, P r R, то. Тогда технологические операции, необходимые для работ также обладают приоритетами, равными максимальным приоритетам среди всех приоритетов работ находящихся в соответствующих ветках иерархий: P max{ P,..., P, P }, ( R,,..., ). (.5.5.4) R,,..., R, R В случае, если P, для операции определен приоритет, т.е. P. W

82 8 В случае нарушения порядка операций, для которых заданы приоритеты, на систему обслуживания также накладываются штрафы: f p, ( x ) p (( x - x, если x ), если x x x или P и P P P, (.5.5.5) где P W, W. p Здесь коэффициент штрафа, связанный с нарушением приоритетов. Тогда суммарная функция штрафа для каждой операции будет: p f ( x) f, ( x). (.5.5.6) W p Постановки оптимизационных задач для рассматриваемых производственных систем зависят от условий, определяющих эффективность функционирования систем. Обычно при решении задач планирования учитываются все требования (.5.5.), (.5.5.3), (.5.5.6). Тогда в качестве критерия задачи оптимального планирования выступает обобщенный функционал, аддитивная свертка частных критериев оптимальности с весовыми коэффициентами. Для рассматриваемого случая это будет: D F f D W D ( y, D ) f max max max W ( y p ) f P W p ( x ) m. (.5.5.7) Таким образом, ставится задача календарного планирования и оперативного управления (задачи..,..,.3.) с критерием (.5.5.7), полученным аддитивной сверткой частных критериев оптимальности и ограничениями (.4..)-(.4..3) Пример постановки задачи календарного планирования и оперативного управления Рассмотрим постановку задачи календарного планирования и оперативного управления (задача..), на примере задачи описанной в пункте.4.. В рассматриваемой задаче присутствуют все функции штрафов,

83 83 связанные с нарушением «мягких» технологических условий описанные в предыдущем пункте. Так, директивные сроки операций связаны с директивными сроками партий пластин, а также со сроками вех, установленных для оперативного контроля над процессом изготовления изделий. Присутствуют операции, для которых заданы межоперационные времена, как уже упоминалось в пункте.4.. Приоритеты операций связанны с заданными приоритетами партий. Как уже упоминалось в пункте.5.4, третий заказ более приоритетен, чем первый заказ, более приоритетный, чем второй заказ. Пусть R работы по изготовлению партии для третьего заказа, R работы по изготовлению партии для первого заказа, R 3 работы по изготовлению партии для второго заказа. P R 3, P R, P R3 5. Весовые коэффициенты свертки являются настраиваемыми параметрами алгоритма, в рассматриваемой задаче нарушения, связанные с нарушением межоперационных времен, более значимы, чем нарушения директивных сроков и нарушения приоритетов операций: D P,, max..6. Вычислительная сложность оптимизационных задач распределения ресурсов в иерархических системах Для оценки вычислительной сложности задач распределения ресурсов воспользуемся задачей о ранце. Рассмотрим следующую задачу: где W z W, W N, предмета, Cp, Valz max, W Z,если предмет включен в набор z, - вес,если предмет не включен в набор Val - стоимость предмета, Cp - вместимость ранца.

84 84 Построим задачу распределения ресурсов со следующими начальными данными: набор работ представляет собой не связанные между собой операции: R W,,..., },, (, ),, ) ; { N, ( I для выполнения операций определен набор из N оборудования {,,..., N }, операции могут выполняться на любом оборудовании W, ( ) I ; длительность выполнения операции на любом допустимом оборудовании одинакова и равна, W ; для оборудования, задано следующие расписание времени работы ( ) [ c, d], I,.. N, ( N ) [ a, b], a b c d, W, d c, причем b a Cp ; для операций заданы директивные сроки D, R, D D D. D, D R W, b D c, Таким образом, все те операции, которые будут выполнены в первый промежуток времени [ a, b], будут выполнены без штрафа. Операции, которые не успеют выполниться в первый промежуток времени, будут выполнены в промежуток времени [ c, d] и получат штраф P c D (так как у нас достаточно оборудования для выполнения всех операций разом во втором промежутке где W времени). D Val R,. c D α * P, если y [c,d] D f ( y, D ),, если y [a,b] Таким образом, для задачи распределения ресурсов получим: z b a, Pz W,если выполняетс я в [a,b] Z max, где z.,если выполняетс я в [c,d]

85 85 А это и есть исходная задача о ранце. Таким образом, любая задача о ранце может быть сведена к задаче о распределении ресурсов, следовательно, задача распределения ресурсов NP полна.

86 86 ГЛАВА 3. Алгоритм решения многокритериальных задач распределения ресурсов в иерархических системах 3.. Релаксационный метод Агмона-Моцкина решения задачи проверки совместности системы линейных неравенств Для решения задач предварительного планирования (задача.., задача.., задача.3.) необходимо использовать методы проверки совместности систем линейных неравенств (п. 3.5). В качестве одного из таких методов в работе рассматривается релаксационный метод Агмона-Моцкина. Пусть задана система Ax b, A m m R, b R, выбраны вектор z и число. Индуктивно определяется последовательность векторов z, z,... Если очередной вектор z, удовлетворяет Az b, то решение найдено, в противном случае из системы Ax b выбирается ограничение a x, нарушаемое в точке z и строится вектор z по формуле: a z T z z a. (3..) a Таким образом, на каждом шаге строится вектор прямой, проходящей через неравенства a x z и его проекцию на плоскость a x z, лежащий на. В качестве выбирается наиболее нарушенное ограничение, т.е. ограничение максимизирующее евклидовое расстояние от гиперплоскости a x a равное z a Моцкин и Шонберг [5] показали, что релаксационный метод сходится за конечное число шагов при и произвольном выборе z. z до

87 Метод центрального пути решения задач линейного и квадратичного программирования Для проверки совместности систем линейных неравенств часто применяют также методы, основанные на решении задачи линейного программирования. Одним из наиболее часто используемых методов решения задачи линейного программирования, так же, как и задачи квадратичного программирования является метод центрального пути. Рассмотрим метод внутренних точек с использованием механизма прогноза и коррекции описанный в [], на примере решения задачи квадратичного программирования. Рассматривается следующая постановка задачи квадратичного программирования: T T T m F( x) x Qx cx, при условиях A x b, D x d xr Для нахождения оптимального решения рассматривается функция T T T Лагранжа L( x, ) x Qx cx y( D x d) z( A x b), где Тогда условия оптимальности могут быть записаны в виде: Qx c Az Dy D T x d T s A x b s z def z ( z, s), s T где s A x b вспомогательный вектор. l y R, m z R. Рассмотрим функцию F ( x, y, z, s) такую, что корни этой функции являются решением первых трех условий оптимальности.

88 88 sz A D L T T r r r r SZe b x A s d x D Dy Az c Qx s z y x F ),,, (, где Es S, Ez Z, m R z s,, а T e ) (,,..., единичный вектор m R e. Применяя метод Ньютона, получим следующее соотношение: sz A D L T T r r r r s z y x Z S E A D A D Q, где ),,, ( s z y x сдвиг относительно текущей точки в сторону оптимального решения. Однако метод Ньютона не гарантирует попадание найденной точки в область допустимых значений, условие ), ( s z не может быть напрямую учтено в методе Ньютона, поэтому вместо полного шага, метод Ньютона используют лишь для нахождения направление сдвига. Рассмотрим понятие центрального пути задаваемым соотношением: e s z y x F ),,, (, ), ( s z. Таким образом, центральным путем является кривая, состоящая только из допустимых точек параметризованная скалярным значением. Основная идея использования данного понятия состоит в том, что сдвиг на каждом шаге алгоритма решения поставленной задачи должен происходить вдоль центрального пути, причем значение с каждым шагом должно уменьшаться. Так как на каждом шаге приближается к нулю, то с каждым шагом центральный путь будет приближаться к оптимальному решению все ближе и

89 89 ближе. Таким образом, центральный путь ведет к оптимальному решению, причем условие ( z, s) выполняется на каждом шаге и произведение s z убывает к нулю с той же скоростью, что и. Исходя из выше сказанного, в общем случае, можно ожидать, что двигаясь на каждом шаге вдоль центрального пути, мы получим более быструю сходимость. В дополнение к понятию центрального пути введем понятие дополнительной меры sz, и центрирующего параметра [, ]. m Дополнительная мера показывает насколько эффективным будет сдвиг относительно вычисленного направления, за счет оценки значительности уменьшения произведения s на данном шаге. Если уменьшилось значительно, то в центрирование нет необходимости и тогда близко к нулю. Если же уменьшение не столь значительно, то для выбирается значение близкое к единице. Замечание 9 Здесь понятие значительности определяется конкретной задачей, для которой применяется данный метод. На практике для решения поставленной задачи часто используют метод прогноза и коррекции (предиктор-корректор) предложенный С. Мехротра [3]. Используя данный метод, можно добиться того, что на каждом шаге сдвиг будет осуществляться вдоль центрального пути. Основная идея метода заключается в существовании двух шагов алгоритма на каждой итерации: на первом шаге (предиктор) вычисляется грубое приближение требуемой величины; на втором шаге при помощи иного метода приближение уточняется (корректируется). На первом шаге алгоритма (предиктор) определяется аффинно- aff aff aff aff масштабируемое направление ( x, y, z, s ) из соотношения:

90 9 aff Q D A T T D A S x y Ez Z s aff aff aff aff r r r r L D A sz. После определения направления сдвига, определяется величина сдвига. Существует множество различных вариантов вычисления длины сдвига, в данном алгоритме используется вычисление длины сдвига исходя из следующих условий: z aff z aff aff aff s s. aff Необходимо выбрать наибольшее такое, чтобы данные соотношения aff aff aff выполнялись, несложно показать, что в этом случае m(, ), где z s aff z z m,m z aff z, aff s : s m,m. : s aff s aff aff aff aff Для полученных значений ( x, y, z, s ) и aff необходимо оценить насколько вычисленный сдвиг значительно приближает к оптимальному решению. Для этого вычисляется дополнительная мера sz и m дополнительная мера предиктора для оценки текущего шага метода Ньютона aff aff T aff aff aff ( s s ) ( z z ). m Сравнивая значения и aff, можно определить насколько выбранное направление значительно улучшает текущее решение. Если aff то мы имеем значительное уменьшение и центрирование не нужно. Исходя из результатов вычислительных экспериментов, в качестве параметра центрирования часто выбирается 3 aff. Значение отражает насколько большое центрирование необходимо для текущего сдвига.

91 9 На втором шаге происходит корректировка сдвига, полученного на первом шаге, для того чтобы итоговый сдвиг происходил вдоль центрального пути. Величина корректировки определяется значением. Для определения направления центрирующего сдвига, как и в предыдущем шаге алгоритма, используется метод Ньютона: Q D A где T T D A S x y Ez Z s r aff aff aff m S Es, s R, а sz S aff r r r L E A Z aff, e e aff aff aff m Z Ez, z R. Величина сдвига определяется аналогично величине сдвига на первом шаге алгоритма. Точка для следующей итерации алгоритма находится из соотношения: ( x, y, z, s ) ( x, y, z, s ) ( x, y, z, s) Решение задачи объемно-календарного планирования с единичной матрицей ограничений Рассмотрим случай, когда в задачах..,..,.3. в ограничениях (.4..) A является единичной матрицей размерности, а в критериях (.5..) s и Q ( ) { },,, Q( ) {,... }. Получим -критериальную задачу: b q c, ;, ( q m,, ( q ) m. ), Используя аддитивную свертку частных критериев с положительными коэффициентами Kf, Kf и программирования:,, задача ставится как задача квадратичного

92 9.,, ) ( ) ( m ) ( c q b q Kf q Kf q Преобразуем полученную задачу, сделав замену переменных: q q ', ', '..,, ') ' ( ) ' ' ( m ) '( c q b q Kf q Kf q Рассмотрим выражение: ') ' ( ) ' ' '( ') ( ' ' q Kf q Kf q q. Помножим полученное выражение на ' и просуммируем по :. ') ' ' ' ( ) ' ' )( ') ( ( q Kf q Kf Отсюда получим Kf Kf Kf Kf q ' ' ') ( ') ( ' '. Получим: Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf q,, * Если вектор * q удовлетворяет ограничениям задачи, то он определяет ее решение. Если нет, то переменные, которые вышли за пределы ограничений, принимают соответствующие граничные значения, и исключаются из рассмотрения. Сокращенная задача решается заново. Алгоритм имеет вычислительную сложность ) ( O.

93 93 Покажем оптимальность алгоритма. Для функции нескольких переменных необходимыми и достаточными условиями существования локального минимума являются обращение в нуль частных производных первого порядка и положительность главных миноров матрицы частных производных второго порядка (критерий Сильвестра). Первое условие выполняется по построению вектора * q, а выполнение второго условия проверим, построив главные миноры матрицы частных производных второго порядка. ;,, ') ( ') ( ' Kf Kf q ; ', ' ' ' ' Kf q q Рассмотрим главный минор порядка ') ( ' ' ' ' ' ' ') ( ' ' ' ' ' ' ') ( Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf M ') ( ' ' ' ' ' ' ') ( ' ' ' ' ' ' ' () Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf ') ( ' ' ' ' ' ') ( ' ' ' ') ( ') ( () Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf Kf

94 94 () Kf ( ' '... ') Kf Kf ( ') Kf Kf ( '). Kf Kf ( ') Эта матрица линейными преобразованиями сводится к диагональной с положительными элементами. () Kf ( ' '... ') Kf Kf ( ') Kf Kf Kf ( ') Kf ( ') Kf Kf ( ') 3... Kf Kf ( ') () Kf ( ' '... ') Kf Kf ( ') Kf Kf ( ' Kf ( ') ) ' Kf ( ') Kf Kf ( ') Kf Kf ( ') m Таким образом, det M т.к. определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Следовательно, условие * * * * выполнено, следовательно, точка ( q, q... q... q ) является точкой локального минимума. По каждой из переменных функция является квадратичной и при удалении от точки минимума строго возрастает.

95 95 * * * * Таким образом, если точка ( q, q q q ) попадает в допустимую * * * * область, то это оптимальное решение. Если точка ( q, q q q ) лежит за пределами области, то наилучшее значение надо искать на границе наиболее близкой к точке минимума Нахождение ε-приближенного решения задачи объемно-календарного планирования Нахождение ε-приближенного решения Для того что бы проверить существование ε-приближенного решения для задач...б,...б,.3..б, достаточно рассмотреть следующую систему линейных двусторонних алгебраических неравенств транспортного типа: b Aq c, q R q Q ( ),, s. (3.4..) Если данная система совместна, то ε-приближенное решение для задач...б,...б,.3..б существует. Им будет являться любое допустимое решение системы (3.4..). Для поиска неулучшаемого ε-приближенного решения достаточно решить относительно переменных q и задачу линейного программирования: b Aq c q,, s. Q ( ) m. (3.4..) Если q, оптимальное решение задачи (3.4..), то q будет неулучшаемым ( ) -приближенным решением исходной многокритериальной задачи.

96 96 Замечание Для ε-приближенного решения q * легко найти минимальное значение, при котором данное решение q * будет -приближенным: * max q., s Q ( ) Пример нахождения ε-приближенного решения задачи объемно календарного планирования Рассмотрим задачу нахождения ε-приближенного решения, поставленную в п..5.4 (задача...б). Пусть задача обеспечения 5% запаса изготавливаемых партий изделий уже включена в ограничения задачи (критерии F, F, F3 отсутствуют), найдем неулучшаемое ε-приближенное решение задачи. Для этого рассмотрим следующую задачу линейного программирования: b Aq c 3 q 3 q m 3 q 3 q 4 3 q 5 3. В ходе решения задачи линейного программирования получим значение и решение исходной задачи, q (,5,,6,9 ) которое является неулучшаемым ( ) -приближенным решением исходной многокритериальной задачи.

97 Нахождение лексикографически оптимального решения задачи объемно-календарного планирования Лексикографическая схема компромисса Рассмотрим случай, когда на множестве частных критериев оптимальности задач...а,...а,.3..а можно задать полный порядок, предполагая (не уменьшая общности), что F F,, s. Введем для каждого критерия F ( q),, s, совокупности из p вложенных друг в друга сегментов v S, v, p, таких, что S v v v, s, v, p : S S,, s, v, p. В, качестве критериев оптимальности рассмотрим кусочно-постоянные функции p q, S, S,..., S, принимающие значение t, если Q ( ) Q ( ) t q S, t,,..., p,, s. t q S, но Q( ) Будем искать такое решение удовлетворяющее системе ограничений (.4.), при котором достигают минимального значения функции предпочтения: Q( ) q, S, S,..., S p m,, s. (3.5..) Как и в [56], рассмотрим s-мерный p+-ичный куб, на котором определим порядок. Каждой вершине куба V поставим в соответствие систему C V, содержащую не зависящие от вершины куба ограничения (.4..), и ограничения, зависящие от координат вершины V следующим образом: если V t,то ограничение функцию система V C будет содержать в себе систему ограничений b Aq c, и t q S. На множестве вершин куба зададим двузначную Q( ) g V, принимающую значение, если соответствующая вершине V C V совместна, и в противном случае. На множестве вершин куба зададим линейный лексикографический порядок : V V тогда и только

98 98 тогда, когда существует l, l, s, что для координат векторов V,V выполняется V V,, l, и V l V l. Будем решать задачу поиска оптимальной вершины куба условия: V V V, такой, для которой g V для всех вершин куба, для которых V Так как S S,, s,,..., p, то если g =., и выполняются V V, то V gv g, отсюда следует, что введенная функция g V является монотонной. Монотонность функции g V позволяет предложить алгоритм поиска оптимальной вершины куба, который заключается в последовательном вычислении координат вершины, осуществляемом с помощью бинарного поиска, на каждом шаге которого определяется значение функции g V, т.е. проверяется на совместность система C V линейных двусторонних алгебраических неравенств транспортного типа. Исходно предполагается, что система ограничений b Aq c, Q ( ) p q S,, s, совместна. На первом шаге среди вершин вида ( z, p,.., p) находится такое значение z, z {,,..., }, для p которого ( g z, p,..., p) и z z, для всех тех z, для которых ( g z, p,..., p). На втором шаге среди вершин вида z, z, p,..., ) аналогично ( p находится вторая координата оптимальной вершины. На s-том шаге находим искомую оптимальную вершину куба. Общее число вычислений функции g (V ) имеет порядок s log ( p ). Для проверки на совместность систем линейных неравенств C V можно использовать как точные, классические вычислительные методы линейной алгебры [9], так и универсальные итерационные методы [5], и итерационные методы, адаптированные к решению систем линейных алгебраических двусторонних неравенств транспортного типа [54]. В данной работе в качестве методов проверки

99 99 совместность систем линейных неравенств предлагаются методы описанные в п. 3., 3. Оптимальной вершине куба V соответствует система линейных алгебраических двусторонних неравенств транспортного типа C ( V ). Любое решение этой системы с точки зрения введенного компромисса будет равноправно. Учитывая это, будем искать такое допустимое решение системы C ( V ), для которого принимают экстремальные значения частные критерии оптимальности исходной задачи: F ( q) q m,, s. Задачу с Q ( ) критериями F ( q),, s, и ограничениями, задаваемыми системой C( V ) будем называть задачей L. Введем следующие обозначения: F F m max q Q() q Q() C ( V ), q ; Q ( ) C ( V ), q ; Q ( ) F * F F, F, F F F. Обозначим через C ( V ) систему ограничений ( ), дополненную C V ограничением: q Q ( ) F, C ( V ) C( ),, s. * V Тогда любое решение системы линейных ограничений ( V ) будет лексикографически оптимальным решением задачи L. Предложенный алгоритм поиска лексикографически оптимального решения задачи L включает в себя решение s задач линейного программирования с ограничениями транспортного типа. C s

100 Замечание Предложенный алгоритм решения задачи L может быть применен и к решению исходной многокритериальной задачи (.4.), однако, при этом не будут учтены условия компромисса, задаваемые системой ограничений C ( V ) Пример нахождения лексикографически оптимального решения задачи объемно-календарного планирования Рассмотрим использование схемы лексикографического компромисса, на примере задачи нахождения лексикографически оптимального решения (задачи...а) поставленной в п Пусть p 3: 3 S [,], S [8,], S [7,3], S [6,5]; 3 S [9,], S [7,], S [6,3], S [5,5]; 3 S [3,33], S [9,35], S [7,37], S [6,4]; S [,], S [5,], S [,], S [,]; S [9,3], S [5,33], S [,35], S [,35] Рассмотрим пятимерный четырехичный куб. Среди всех вершин куба вида 5 ( z,3,3,3,3), найдем наименьшую по введенному порядку вершину z, для которой g ( z,3,3,3,3). Рассмотрим вершину (,3,3,3,3), которой соответствует система ограничений С(,3,3,3,3) содержащую ограничения задачи из п..4., и преобразованное ограничение 8 q 5. Система С(,3,3,3,3) совместна. Рассмотрим вершину (,3,3,3,3), которой соответствует система ограничений С(,3,3,3,3) содержащую ограничения задачи из п..4., и преобразованное ограничение q 5. Система С(,3,3,3,3) - несовместна. Отсюда первая компонента искомой оптимальной вершины куба z. Среди всех вершин куба вида, z,3,3,3 ), найдем наименьшую по введенному порядку (

101 вершину z, для которой g (, z,3,3,3). Рассмотрим вершину (,,3,3,3), которой соответствует система ограничений С(,,3,3,3) содержащую ограничения задачи из п..4., и преобразованное ограничение 7 q q. Система С(,,3,3,3) совместна, и т.д. Подобную процедуру будем продолжать, пока все вершины не будут определены. Искомой вершиной будет вершина С(,,,,). Обозначим полученную систему ограничений C ( V ) b Aq c, где : 9 7 b 8 5, 37 c. 35 Для нахождения лексикографически оптимального решения, решим следующие задачи линейного программирования: C ( V ) C ( V ) q5 и q5, q5 m q5 max решая эти задачи линейного программирования, получим, что система соответствующая * F несовместна, а F, соответственно F. b Aq c Таким образом, получим систему C ( V ). q5 8 Решим следующие задачи линейного программирования: C( V ) q q 9 q q 9 m и C( V ) q q 9. q q 9 max

102 Процедура решения задач линейного программирования продолжается, пока не будет найден вектор q, всего необходимо решить задач линейного программирования. s 3.6. Пошаговый алгоритм построения расписания выполнения операций задачи оперативного управления Введем множество состояний системы: S T { s, t }, где ( s, s,..., s m ) - вектор, компонента s которого принимает значение, если оборудование с номером свободно, и значение, если оно занято выполнением какой-либо операцией, I. Множество допустимых управлений в состоянии s, t обозначим U( s, t), U( s, t) W. Элементами множества U( s, t) являются операции, назначаемые на оборудование. Управление является допустимым, если для выполнения операции соответствующее ей оборудование свободно, а все ей непосредственно предшествующие операции уже выполнены. Таким образом, состояния системы определяют занятость оборудования по тактам планирования, а управления назначение на оборудование некоторых операций. Система функционирует следующим образом. Из состояния наборе допустимых управлений,,...,, U( s, t),,, система переходит в состояние s, t, которое определяется следующим образом: компонентам вектора s, соответствующим тем операциям, которые завершили свое выполнение в момент времени t, присваивается значение ; компонентам вектора s, соответствующим управлениям из набора,...,,, присваиваются значение ; зав t t, где времени t операции, s, t при зав t время завершения выполнения ближайшей к моменту t зав T ;

103 3 f если U( s, t ), то s s, зав t t. При таком переходе система приобретает «доход», задаваемый функцией s, s, t, t,,,..., ). Система функционирует конечное число тактов. ( Решением задачи являются наборы допустимых управлений, применение которых приносит системе максимальный «доход». Для выбора управлений применяются различные «жадные» стратегии (учитываются временные характеристики сетевой модели, приоритеты операций, длительности операций, и др.) Алгоритм решения задач календарного планирования и оперативного управления, основанный на вычислительных процедурах метода ветвей и границ Основные вычислительные процедуры метода ветвей и границ Для решения задач календарного планирования и оперативного управления (задача.., задача.., задача.3.) могут быть использованы процедуры метода ветвей и границ. Различают четыре основные вычислительные процедуры метода ветвей и границ, которые делятся на индивидуальные, зависящие от специфики задачи, и универсальные, которые являются общими для любых решаемых задач. К индивидуальным процедурам относятся процедура оценок (в общем случае нахождение верхней и нижней оценок) и процедура ветвления. К универсальным процедурам относятся процедура отсева (отбрасывания неперспективных направлений) и процедура останова (определение оптимальности найденного решения).

104 4 оценки Процедура оценок Процедура оценок включает в себя определение верхней (достижимой) V и нижней оценки V. Рассмотрим перестановку (,,..., ). Если перестановка соответствует условиям математической модели, то такую перестановку будем называть «допустимой». Очевидно, что допустимая перестановка однозначно определяет решение системы, а тем самым соответствует некоторому расписанию, для которого можно найти значение критерия решаемой задачи, которое и определяет верхнюю (достижимую) оценку. В качестве верхней оценки выбирается минимальное значение критерия для допустимых перестановок, сгенерированных различными алгоритмами. Нахождение значений нижних оценок определяется с учетом, как длительностей выполнения операций, так и каноничности сетевой модели Процедура ветвления Процедура ветвления рассматривает все допустимые варианты построения допустимых перестановок - на каждом шаге ветвления выбор осуществляется только из тех операций, непосредственно предшествующие для которых уже выполнены. Основным достоинством метода ветвей и границ является то, что, остановив вычисления в любой момент времени, лучшее значение верхней оценки (рекорд) может быть принято за эвристическое решение задачи. Основным недостатком метода является необходимость определения оценок в каждой вершине дерева ветвления, а при большом числе исходных параметров число вершин становится очень большим

105 Фронтальные алгоритмы решения задач оперативного управления Стратегии назначения работ задач календарного планирования Для нахождения порядка назначения работ в задачах календарного планирования и оперативного управления (задача.., задача.., задача.3.) используются различные стратегии назначения работ: по резервам времени; по приоритетам работ; по длительности выполнения работ; по количеству работ следующих за данной работой; по номерам работ. Все эти стратегии лексикографически упорядочены в порядке уменьшения их значимости Классический фронтальный алгоритм Пусть t произвольный такт планирования, tt. Назовем «фронтом работ» множество F(t) множество операций, любая из которых может выполняться, начиная с такта t, tt. Для выбора очередной операции из фронта работ перейдем от множества F(t) к вектору t) (,,..., ), компоненты ( которого и будут определять порядок выполнения операций. Ключевым моментом алгоритма ([6]) является использование схемы тактирования, которая позволяет увеличивать рассматриваемый момент времени не на определённое фиксированное значение, а именно на то значение, которое приведёт к смене состояния системы. Для реализации схемы тактирования используется список тактирования, который каждому значению времени ставит в соответствие список операций, которые могут быть обработаны не раньше этого времени.

106 6 Случаи добавления операций в список тактирования: все начальные операции, в качестве ключа для списка используется время прихода операции в систему; операция не может быть назначена во время t, однако может быть назначена во время t такая операция добавляется в список тактирования, ключ время t. Схема упорядочивания алгоритма определяет то, каким образом работы будут упорядочиваться во фронте работ. Схема упорядочивания алгоритма определяется исходя из лексикографического упорядоченного списка стратегий упорядочивания назначения работ. Схема фронтального алгоритма состоит из следующих шагов: задается исходная информация: фронт работ (операций) на заданный такт - множество операций, любая из которых может начать выполняться (нет невыполненных предшествующих операций и операции обеспечены ресурсами) и параметры перебора b и a ( N a b); фронт операций (множество) преобразуется в вектор, используя схему упорядочивания операций; строится b! расписаний на глубину a операций. Для каждого расписания подсчитывается значение критерия; «лучшее» по критерию расписание определяет первую операция из b, которая войдет в строящееся расписание; найденная операция исключается из фронта, и процесс повторяется. Величина b позволяет «разделять» между собой «близкие» по схеме упорядочивания операции. По приведенной схеме строится множество различных допустимых расписаний с конкретными значениями критериев и из них выбирается наилучшее по значению критерия. Всего таких расписаний строится ab!.

107 Фронтальный алгоритм с рангами Фронтальный алгоритм с рангами [34, 35] позволяет учитывать «мягкие» технологические условия благодаря дополнительному введению рангов выполняемых работ. Критерием оценки решения для каждой итерации алгоритма является суммарный штраф, налагаемый за нарушение «мягких» технологических условий. В алгоритме, можно выделить две основные фазы: итерационное изменение рангов операций в соответствии с вызываемыми ими нарушениями дополнительных ограничений; дополнительная оценка возможностей сдвига предков операций вызывающих нарушения, которые не могут быть устранены изменением рангов операций. В основе первой фазы лежит итерационный вызов фронтального алгоритма. При этом фронтальный алгоритм использует схему упорядочивания работ, описанную в предыдущем пункте, дополненную стратегией упорядочивания По рангам работ, имеющей наибольший приоритет в лексикографическом упорядочивании. Ранги операций вычисляются, в зависимости от величины нарушений «мягких» технологических условий, после построения очередного расписания фронтальным алгоритмом на основе рангов. Ранг операции rg на шаге вычисляются путем суммирования ранга на шаге и величины штрафа вызванного этой операцией D max rg rg (y ) (y ), где D D f (y,d ), R D ( y ), D, R max ( y ) f max (y ), W, W max max. Таким образом, операции с большей величиной штрафа, на которые этот штраф накладывается на каждом шаге имеют больший приоритет при назначении.

108 8 Благодаря использованию фронтального алгоритма для построения расписаний всегда гарантируется допустимость построенного решения с точки зрения «жестких» технологических условий. Критерием окончания первой фазы служит выполнение любого из двух условий: выполнение предопределенного числа итераций. значительное уменьшение скорости улучшения критерия оценки. После окончания работы первой фазы алгоритма, среди построенных расписаний на основе приоритетов, выбирается лучшее расписание и для него запускается вторая фаза. Во время второй фазы последовательно оцениваются только те операции, которые вызвали нарушение «мягких» технологических условий. Для каждой из этих операций предпринимается попытка построить расписание с лучшим значением критерия оценки, путем сдвига предыдущих операций на величину нарушения дополнительных условий. Изменение принимается, если достигнутое значение критерии оценки улучшает значение критерия оценки, достигнутое на предыдущем шаге Пример работы фронтального алгоритма с рангами Рассмотрим работу фронтального алгоритма с рангами на примере задачи поставленной в п Работа первой фазы фронтального алгоритма с рангами начинается с получения допустимого расписания при помощи фронтального алгоритма. После первого прохода фронтального алгоритма в цепочке технологических операций, предназначенных для изготовления изделий по третьему заказу, было обнаружено нарушение директивного срока операции «Проявление» (Рис. ).

109 9 Установка химической обработки (травление оксида кремния) Хим. очистка Хим. очистка Установка контроля дефектов Контроль чистоты Блок нанесения фоторизистра Нанесение ФР Проявление Установка проекционной фотолитографии Экспонирование Работы по заказу 5 мин. мин. 3 мин. 9 мин. ч. 9 мин. Директивный срок Работы по 3 заказу Рис. Нарушение директивных сроков операции "Проявление" В соответствии с вышеописанным алгоритмом ранг всех операций предшествующих операции «Проявление» был увеличен. В результате чего операция «Химической очистки», предназначенная для изготовления изделий из состава третьего заказа стала более приоритетной, чем аналогичная операция, предназначенная для изготовления изделий из состава второго заказа. Это вызвало назначение операции «Химической очистки», предназначенной для изготовления изделий из состава третьего заказа, на более ранний срок, что в результате привело к снятию нарушения директивного срока (Рис. 3.) Установка химической обработки (травление оксида кремния) Установка контроля дефектов Блок нанесения фоторизистра Установка проекционной фотолитографии Работы по заказу Хим. очистка rg=3 Хим. очистка Контроль чистоты rg=3 rg= Нанесение ФР rg=3 Экспонирование rg=3 5 мин. 8 мин. 4 мин. ч. 4 мин. Проявление rg=3 ч. мин. Директивный срок Работы по 3 заказу Рис. 3 Результаты работы первой фазы фронтального алгоритма с рангами После выполнения нескольких итераций первой фазы, фронтальный алгоритм с рангами переходит ко второй фазе, во время которой происходит попытка уменьшить количество нарушении путем дополнительного сдвига предков операции. Одним из таких нарушенных условий, исправить которое не

110 удалось во время первой фазы алгоритма, является межоперационное время между операциями «Химическая очистка» и «Окисление и осаждение S3N4» установленное равным часа. После завершения первой фазы алгоритма операция «Химическая очистка» заканчивается в 9:, а операция «Окисление и осаждение S3N4» начинается только в :5, таким образом, перерыв между операциями составляет 3 часа 5 минуты вместо положенных часов (Рис. 4). Травление SO Хим. очистка Контроль чистоты поверхности Окисление и осаждение S3N4 3 ч. 5 м. 8:49 8:55 9: 9:3 :5 Рис. 4 Нарушение межоперационного времени Нарушение данного срока вызвано, как занятостью оборудования, так и выпадением выполнения цепочки операций на обеденное время. Результатом работы второй фазы фронтального алгоритма с рангами стал дополнительный сдвиг начала выполнения операции «Химическая очистка», так чтобы ее завершение было перенесено на время :5 (Рис. 5). Травление SO Хим. очистка Контроль чистоты поверхности Окисление и осаждение S3N4 ч. 8:49 8:55 :47 :5 :55 :5 Рис. 5 Результаты работы второй фазы фронтального алгоритма с рангами

111 ГЛАВА 4. Диалоговые программные средства решения задач распределения ресурсов в иерархических системах 4.. Описание диалоговых программных средств 4... Назначение и структура программного обеспечения Программное обеспечение (ПО) разработано с использованием технологий.net 3.5 на языке C#. ПО состоит из 4 библиотек dll и содержит более 3 различных классов и интерфейсов. Программное обеспечение позволяет решать: задачи планирования; задачи оперативного управления; задачи ситуационного анализа; задачи распределения ресурсов. Для решения этих задач в ПО реализованы алгоритмы, описанные в главе 3. Исходными данными для ПО являются данные, полученные из системы управления производством. Эти данные могут быть представлены, как в виде таблиц в БД (Oracle или MS SQL), так, и в виде специально структурированного XML файла. Полученные результаты могут быть загружены в систему управления производством также посредством БД или XML файла. Кроме того, ПО имеет собственный интерфейс пользователя, который обеспечивает: отображение списка доступного оборудования; отображение списка планируемых работ по партиям; составление графика Ганта выполнения работ; составление графика расходования ресурсов; выявление «узких» мест по ресурсам; выявление «свободных» ресурсов;

112 подготовку отчетных форм документов; подготовку технологических заданий подразделениям. Структура реализованного программного обеспечения представлена на Рис. 6. XML файл ИЛИ БД MS SQL ИЛИ БД Oracle Система управления производством XML файл ИЛИ БД MS SQL ИЛИ БД Oracle Модуль загрузки данных ПО Расчета Модуль расчета Модуль сохранения расчетных данных Модуль отображения полученных и расчетных данных на АРМ Рис. 6 Структура программного обеспечения 4... Основные модули Основными библиотеками, обеспечивающими функционирование ПО являются: Algorthm.dll; Base.dll; Cotrols.dll; Core.dll; Logger.dll; MReport.dll; Parser.dll; ParserCore.dll;

113 3 PersstetDataParser.dll; Rects.dll; ReportMcroProect.dll; Settgs.dll; VarableDataParser.dll; Vsual.dll Библиотека «Core.dll» Библиотека содержит подсистемы: «Core», «PTVPropertes». Подсистема «Core» предназначена для обеспечения функционирования решающей части системы. Эта подсистема определяет ряд объектов, предназначенных для: хранения «первичных» данных, необходимых решающей части для нормального функционирования; вычисления, обработки и хранения «вторичных» данных, также запрашиваемых решающей частью. Под «первичными» данными будем понимать данные, считанные непосредственно из входной информации (возможно, после предварительной обработки), под «вторичными» - данные, вычисляемые либо непосредственно подсистемой на основе «первичных» данных, либо вычисляемые решающей частью и сохраняемые в подсистеме. Функциональные обязанности подсистемы: ) Хранение «первичных» данных о: а) заказах. б) партиях. в) подпартиях. г) отдельных операциях. д) оборудовании, расписании его работы.

114 4 е) технологии производства и связанных с ней атрибутах, таких как время переноса партии, время разогрева оборудования, резервы времени и пр. ) Вычисление и сохранение следующих «вторичных» данных: а) Характеристики операций, подпартий, партий и заказов, вычисляемые как самой подсистемой, так и решающей частью с точки зрения расписания. б) Статистика работы оборудования, периоды занятости и простоя, возможные сроки начала выполнения операций. Перенос части обязанностей по обработке данных из решающей части в эту подсистему позволил сделать первую более простой и универсальной. По сути, целью описываемой подсистемы является абстрагирование решающих алгоритмов от работы с конкретными данными, что позволит в будущем достаточно легко перенастраивать их на другие данные. Главными условиями применения подсистемы являются соблюдение контрактов программных объектов подсистемы. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств, а также к объемам оперативной памяти и прочим характеристикам вычислительной системы, поскольку является «пассивной» программной подсистемой, требования, к ресурсам которой определяются конфигурацией, заданной клиентами, использующими подсистему. Подсистема «PTVPropertes» содержит описание классов-конвертеров. Эти классы позволяют трансформировать мнемосхемы в объекты-коллекции, состоящие из названия свойств и значений свойств соответствующих объектовфигур. Такая технология позволяет унифицировать механизм отображения состояния и изменения параметров объектом модели.

115 Библиотеки «Parser.dll», «VarableDataParser.dll», «ParserCore.dll», «PersstetDataParser.dll» Библиотеки содержат две подсистемы: подсистему «Parser» и подсистему «PTVParser». Подсистема «Parser» предназначена для разбора входных данных и перевод их во внутреннее представление системы, т.е., фактически, для конфигурирования и заполнения данными объектов подсистемы «Core». Подсистема обеспечивает преобразование входных данных задач.-.3 к виду общей математической модели. Подсистема содержит следующие компоненты: «MSSQLSystem», «XMLSystem», «OraSystem». В зависимости от решаемой задачи используется соответствующая компонента, которая в качестве входных данных принимает либо данные в виде XML файла определенного формата, либо в виде таблиц в БД (Oracle или MS SQL) выходными данными служит набор объектов подсистемы «Core», сконфигурированных в соответствии с входными данными. Подсистема «PTVParser» предназначена для разбора входных данных и перевод их во внутреннее представление системы в виде мнемосхем, т.е., фактически, для конфигурирования и заполнения данными объектов подсистемы «PTVRects». В качестве входных данных подсистема принимает XML файл определенного формата, выходными данными служит набор объектов подсистемы «PTVRects», сконфигурированных в соответствии с входными данными. Главным условием функционирования подсистем является соблюдение формата входных данных Библиотека «ReportMcroProect.dll» Подсистема «ReportMcroProect» предназначена для предоставления графических компонент предоставления блочно-иерархической структуры и сводного графика производства. В качестве входных данных подсистема

116 6 принимает элемент типа ISystem, определенный в подсистеме Base. Выходными данными служит набор таблиц и отчетов в соответствующих компонентах. Главным условием функционирования подсистемы является соблюдение формата входных данных Библиотека «Algorthm.dll» Подсистема «Algorthm» предназначена для решения задач распределения ресурсов. Основу подсистемы представляет реализация в классе FrotalAlg фронтального алгоритма решения задач распределения ресурсов в сетевых канонических структурах. Алгоритм позволяет находить приближённое решение задач большой размерности. В качестве входных данных подсистема принимает два параметра интервал планирования Base.Iterval (см. информацию о подсистеме «Core») и исходные данные задачи Parser.IfoSystem (см. информацию о подсистеме «Parser»). Класс IfoSystem содержит всю информацию об имеющихся ресурсах и операциях, полученную в результате обработки входных данных. Главными условиями применения подсистемы являются соблюдение контрактов программных объектов подсистемы. Подсистема предъявляет особые требований к объему оперативной памяти и производительности вычислительной системы. Минимальные требования: оперативная память не менее ГБ, процессор не хуже Petum 4 ГГц Библиотека «Logger.dll» Подсистема «Logger» предназначена для поддержки логирования сообщений в ходе работы системы. Главными условиями применения подсистемы являются соблюдение контрактов программных объектов подсистемы. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств. Подсистема не

117 7 предъявляет никаких собственных требований к оперативной памяти или иным вычислительным ресурсам Библиотека «Cotrols.dll» Библиотека содержит подсистемы: «Cotrols», «PTVVeer». Подсистема «Cotrols» определяет компонент-окно с полосами прокрутки. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств. Подсистема не предъявляет никаких собственных требований к оперативной памяти или иным вычислительным ресурсам. Подсистема «PTVVeer» предназначена интерактивного взаимодействия конечного пользователя с приложением. Интерактивное взаимодействие предполагает чтение задач из внешних файлов, просмотр структуры производственной системы, изменение параметров элементов структуры, создание и интегрирование в структуру новых элементов и удаление существующих, сохранение результатов изменений во внешний файл. Данная подсистема является клиентской по отношению ко всем остальным системам. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств. Подсистема предъявляет особые требования к разрешению экрана. Минимальное разрешение экрана 4x Библиотека «Rects.dll» Библиотека содержит подсистему «PTVRects». Подсистема определяет ряд классов, описывающих атомарные элементы, из которых формируются мнемосхемы. Главными условиями применения подсистемы являются соблюдение контрактов программных объектов подсистемы. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств. Подсистема не предъявляет никаких собственных требований к оперативной памяти или иным вычислительным ресурсам.

118 Библиотека «Vsual.dll» Библиотека содержит подсистему «PTVVsual.dll». Подсистема предназначена для графического отображения мнемосхем. В системе реализованы функции по управлению объектами (изменение внутренних параметров, группировка объектов). Главными условиями применения подсистемы являются соблюдение контрактов программных объектов подсистемы. Подсистема не предъявляет никаких требований к наличию периферийных устройств. Подсистема предъявляет особые требования к оперативной памяти и производительности вычислительной системы. Минимальные требования: оперативная память не менее ГБ, процессор с PR-рейтингом не менее Библиотека «Base.dll» Библиотека содержит набор базовых внутренних интерфейсов ПО, служащих для определения всех взаимодействий между библиотеками ПО Библиотека «MReport.dll» Библиотека содержит набор инструментов для работы с пользовательским интерфейсом ПО Библиотека «Settgs.dll» Библиотека содержит набор инструментов для работы с пользовательскими настройками расчетного алгоритма.

119 9 4.. Типовой сценарий решения задачи распределения ресурсов в иерархических системах при помощи разработанного программного обеспечения Типовой сценарий работы с программным обеспечением решения задач распределения ресурсов в иерархических системах можно представить как следующую последовательность действий пользователя: сформировать задание на планирование распределения ресурсов при помощи системы управления производством; открыть ПО решения задач распределения ресурсов в иерархических системах и выбрать источник данных (см. Рис. 7); Рис. 7 Выбор источника данных просмотреть исходные данные и провести их корректировку, задать приоритеты (см. Рис. 8);

120 Рис. 8 Исходные данные выбрать алгоритм решения задачи и задать его параметры (см. Рис. 9);

121 Рис. 9 Параметры алгоритма выполнить расчет; просмотреть полученное расписание и в случае, если оно не удовлетворяет требованиям пользователя изменить приоритеты и параметры алгоритма и произвести расчет еще раз (см. Рис. );

122 Рис. Построенное расписание подготовить отчеты по построенному плану распределения работ для представления в бумажной форме (см. Рис. ).

123 3 Рис. Автоматическая подготовка отчета по построенному расписанию 4.3. Примеры решения прикладных задач распределения ресурсов в иерархических системах с использованием диалоговых программных средств Использованные аппаратные средства Вычислительные эксперименты проводились на персональном компьютере со следующими характеристиками: Блок питания HIPER <M65> 65W ATX Blac (4+x4+x6/8пин); Процессор Itel Core 7-393K 3. ГГц/6core/.5+Мб/3 Вт/5 ГТ/с; Cooler Arctc Coolg Arctc F (3пин, xx5mm,4.4дб, 35об/мин;

124 4 Cooler Arctc Coolg Freezer 3 (4пин, 55/, 4-35об/мин,.5 дб, Al+тепл.трубки; Набор Памяти 4 шт. Crucal <CT564BA6B> DDR-III DIMM 4Gb <PC3-8> ; Жесткий диск HDD Tb SATA-II 3 Seagate Barracuda Gree <STDL> 3.5" 59rpm ; Жесткий диск SSD 8 Gb SATA 6Gb/s OCZ Vertex 4 <VTX4-5SAT3-8G>.5" MLC+3.5" адаптер; Видеокарта Gb <PCI-E> DDR-5 PNY VCQ4(V) (OEM) DVI+DualDP+SLI <NVIDIA Quadro 4>; CD ROM DVD RAM & DVD±R/RW & CDRW Optarc AD-78S <Blac> SATA (OEM; Материнская плата GgaByte GA-X79-UD3 rev. (RTL) LGA <X79> 4xPCI-E+GbLAN SATA RAID ATX 4DDR-III Обозначения Для сокращения записи введем следующие обозначения: количество технологических операций N ; количество «обычных» операций операций предназначенных для изготовления изделия, а не для проверки по точности N WT ; количество «проверочных» операций операций предназначенных для проведения проверок технологического оборудования по точности технологического процесса D W ; l N, ; WC N C K количество оборудования, которое может быть использовано M ; количество операций, для которых установлены директивные сроки

125 5 max W ; количество операций, для которых задано межоперационное время время выполнения фронтального алгоритма количество операций нарушивших директивные сроки при распределении работ фронтальным алгоритмом F t ; F N fd ; количество операций нарушивших межоперационные времена при распределении работ фронтальным алгоритмом N max ; значение суммарное критерия с учетом весовых коэффициентов при распределении работ фронтальным алгоритмом F f F F ; время выполнения фронтального алгоритма с рангами количество операций нарушивших директивные сроки при распределении работ фронтальным алгоритмом с рангами R t ; R N fd ; количество операций нарушивших межоперационные времена при распределении работ фронтальным алгоритмом с рангами N max ; значение суммарное критерия с учетом весовых коэффициентов при распределении работ фронтальным алгоритмом с рангами R f R F ; процент улучшения значения критерия достигнутый при использовании фронтального алгоритма с рангами вместо фронтального алгоритма % F ; процент улучшения суммарного показателя штрафов за нарушения директивных сроков при использовании фронтального алгоритма с рангами вместо фронтального алгоритма % D ; процент улучшения суммарного показателя штрафов за нарушения межоперационных времен при использовании фронтального алгоритма с рангами вместо фронтального алгоритма % Mx.

126 Результаты решения задач распределения ресурсов При помощи разработанных программных средств был решен ряд задач планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с микронными и субмикронными проектными нормами (ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова» (г. Н. Новгород)) задача.. Исходные данные задачи находятся в таблицах БД MSSQL. Для загрузки и преобразования исходных данных используется компонента «MSSQLSystem» библиотеки «Parser». При расчетах в соответствии с требованиями выдвигаемыми предприятием не нарушение межоперационного времени считалось более приоритетным критерием, чем сохранение директивных сроков и использовались следующие весовые коэффициенты D, max 5, аддитивной свертки (.5.5.7). Результаты вычислительных экспериментов приведены в Таблицах -3. Таблица. Исходные данные. Число Задача операций, ед., N Число технологических операций, ед. N WT Число операций проверки по точности, ед. WC Число единиц оборудования, ед Число операций с директивными сроками, ед. Число операций, с заданным межоперационным временем, ед N M D max W W Задача Задача Задача Задача Задача Таблица. Результаты решения задач каноническим фронтальным алгоритмом Время Число операций, для которых Число операций с нарушениями Задача решения задачи, ч F t нарушены директивные сроки, ед. F N fd межоперационных времен, ед. F N f max Суммарное значение обобщенного критерия F F Задача :: Задача :: Задача 3 :: Задача 4 :: Задача 5 ::

127 7 Таблица 3. Результаты решения задач фронтальным алгоритмом с рангами Время Число операций, для которых Число операций с нарушениями Задача решения задачи, ч R t нарушены директивные сроки, ед. R N fd межоперационных времен, ед. R N f max Суммарное значение обобщенного критерия F R Задача :: Задача :: Задача 3 :: Задача 4 :3: Задача 5 3:4: Анализируя результаты, представленные в Таблицах -3, стоит отметить, что фронтальный алгоритм с рангами дает существенное замедление процесса поиска решения, однако позволяет более полно учесть «мягкие» технологические условия (Таблица 4). Как видно по результатам проведенных вычислений выигрыш в результате использования фронтального алгоритма с рангами может достигать более 8%. Учитывая низкую стоимость вычислительных ресурсов в настоящее время и большую стоимость устранения последствий нарушений «мягких» технологических условий (реставрационные работы, простой оборудования, внеурочная работа) целесообразно говорить о эффективности применения фронтального алгоритма с рангами. Таблица 4 Анализ полученных решений Процент улучшения значения Задача обобщенного критерия, % Процент улучшения значения критерия по директивным срокам, % Процент улучшения суммарного показателя штрафов за нарушения межоперационных времен, % % F % D % Mx Задача Задача Задача Задача Задача 5-64,

128 8 Заключение Универсальность общей математической модели и параметрическая настраиваемость реализованной программной системы позволили реализовать и использовать на производстве следующие проекты: систему ситуационного анализа, планирования и управления процессом производства изделий микроэлектроники; систему ситуационного анализа, планирования и оперативного управления процессом изготовления БИС с субмикронными проектными нормами; систему расчета оптимального плана производства для изготовления изделий машиностроительного предприятия; систему планирования работ и распределение ресурсов в инструментальном производстве. Кроме того, удалось поставить и решить задачу распределения производительности купола по газовым скважинам, содержательное описание объекта которой соответствует реальным условиям ООО «Ноябрьскгаздобыча» [57]. Программное обеспечение используется при планировании процесса производства изделий микроэлектроники (БИС, СБИС и ГИС) и при планировании технологической подготовки производства радиоэлектронной аппаратуры в ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова» (г. Н.Новгород), а так же было апробировано для решения задачи оптимального планирования производства изделий машиностроения в ОАО «ОКБМ Африкантов» (г. Н.Новгород).

129 9 Список литературы. Акулич И.Л. Глава 3. Задачи нелинейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, с.. Ананий В. Левитин Глава 5. Метод уменьшения размера задачи: Топологическая сортировка // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Itroducto to The Desg ad Aalyss of Algorthms. М.: «Вильямс», 6. С Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи оптимального планирования производства // Автоматика и телемеханика... С Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи распределения ресурсов в иерархических системах // Автоматика и телемеханика С Афраймович Л.Г., Власов В.С., Куликов М.С., Прилуцкий М.Х., Старостин Н.В., Филимонов А.В. ПЛАНИРОВАНИЕ И ОПЕРАТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИЗГОТОВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ИЗДЕЛИЙ // XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНТЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ВСПУ-4. МОСКВА, 6-9 ИЮНЯ 4г.: ТРУДЫ. Москва: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. 4. С Ахьюджа Х.Н. Сетевые методы в проектировании и производстве. М.: Мир, с. 7. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Воропаев В.И. (Ред.) Математические основы управления проектами. М.: Высшая школа, с. 8. Батищев Д.И., Неймарк Е.А., Старостин Н.В. Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации. Нижний Новгород:

130 3 Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 7 85 с. 9. Булгак А.С. Многокритериальная задача теории расписаний с ресурсами складируемого типа // АиТ С Бурдюк В. Я., Шкурба В. В. Теория расписаний. Задачи и методы решений // Кибернетика 97. С Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий С.Е., Тейман А.И., Чернышев В.Н. Сетевые модели и задачи управления. М. : Советское радио, с.. Вахания Н.Н. Построение сокращенного дерева вариантов для общей задачи теории расписаний // Дискр. Матем. 99. Т.. Вып.3. С Витковский Я.Я. Основы сетевого планирования и управления. Рига: с. 4. Гимади Э. Х. О некоторых математических моделях и методах планирования крупномасштабных проектов // Модели и методы оптимизации. Новосибирск: Наука, (Тр. / АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики;) 988. Том. С Гимади Э.Х., Залюбовский В.В., Севастьянов C.B. Полиномиальная разрешимость задач календарного планирования со складируемыми ресурсами и директивными сроками // Дискретный анализ и исследование операций, Сер... Т. 7, N.. С Голенко Д. И. Статистическое моделирование в технико-экономических системах - Л.: Изд-во Лен. ун-та: с. 7. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, с. 8. Данциг Д. Линейное программирование, его применения и обобщения. Москва: Прогресс с.

131 3 9. Джонс М.Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях. М.: ДМК Пресс, 4. 3 c.. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задачи математического программирования: алгоритмы метода внутренних точек. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, c.. Евтушенко Ю.Г. Жадан В.Г. Двойственные барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские методы для задач линейного программирования. //Журнал вычислительной математики и математической физики Т.36, 7. С Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, с. 3. Ковалев М.Я. Интервальные ε-приближенные алгоритмы решения дискретных экстремальных задач // Дис. канд. физ.-мат. наук. Минск: 986. с. 4. Коган Д.И., Федосенко Ю.С. ЗАДАЧА ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИИ: АНАЛИЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ И ПОЛИНОМИАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ПОДКЛАССЫ // Дискретная математика Т С Коган Д.И., Федосенко Ю.С. ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ В ОДНОМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ ПРОЦЕССОРА // Автоматика и телемеханика... С Коган Д.И., Федосенко Ю.С., Дуничкина Н.А. БИКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОБСЛУЖИВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ В ОДНОМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ ПРОЦЕССОРА // Автоматика и телемеханика... С. 93-.

132 3 7. Козлов М.К., Шафранский В.В. Календарное планирование выполнения комплексов работ при заданной динамике поступления складируемых ресурсов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика С Козлов М.К., Тарасов СП., Хачиян Л.Г.. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования. // Доклады Академии Наук СССР C Конвей Р.В., Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.:Наука, c. 3. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава.4. Топологическая сортировка // Алгоритмы: построение и анализ = Itroducto to Algorthms / Под ред. И. В. Красикова. -е изд. М.: Вильямс, 5. С Коробкин А.Д., Мироносецкий Н.Б. Оптимизация производственного планирования на предприятии. Новосибирск.: Наука, с. 3. Коротаев Ю.П., Ширковский А.И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М.: Недра, 984, 488 с. 33. Костюков В.Е., Прилуцкий М.Х. Распределение ресурсов в иерархических системах. Оптимизационные задачи добычи, транспорта газа и переработки газового конденсата. Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета,. 78с. 34. Куликов М.С. Ранговый итерационный алгоритм решения задачи распределения ресурсов в сетевых системах. // Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал.. Выпуск 4(46) C Куликов М.С., Афраймович Л.Г., Власов В.С., Прилуцкий М.Х., Седаков Д.В., Старостин Н.В., Филимонов А.В. Задачи планирования и оперативного управления процессом изготовления интегральных схем с

133 33 микронными и субмикронными топологическими нормами. // АВТОМАТИЗАЦИЯ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ Ежемесячный научнотехнический и производственный журнал. 4 8 C Кумагина Е.А. Об одном подходе к решению задач упорядочения. // Труды Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы», Воронеж С Лазарев A.A., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Исследование задач с отношениями предшествования и ресурсными ограничениями. ВЦ им. Дороницына, РАН, 7. 8 c. 38. Лазарев А.А., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы - М.: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ),. с. 39. Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Задачи управления транспортными системами. Москва: Физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова,. 6 c. 4. Лазарев А.А. Теория расписаний. Оценки абсолютной погрешности и схема приближенного решения задач теории расписаний. М.:МФТИ, 8. - с. 4. Милов В.Р., Суслов Б.А., Крюков О.В. ИНТЕЛЛЕКТУАЛИЗАЦИЯ ПОДДЕРЖКИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ // Автоматизация в промышленности. 9.. С Мироносецкий Н.Б. Экономико-математические методы календарного планирования. Новосибирск: Наука, с. 43. Михалевич В. С., Трубин В. А., Шор Н. З. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования. М.: Наука, с. 44. Михалевич В.С., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. М.: Наука, с.

134 Мищенко А.В. Устойчивость решений задачи оптимального распределения ресурсов при динамичеком изменении структуры сети. М.: ВЦАНСССР 98. с. 46. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. Москва: Наука, c. 47. Моудер. Дж., Элмаграби С. Исследование операций. М.: Мир, с. 48. Мут Дж. Ф., Томпсон Дж. Л. Календарное планирование. Москва: Прогресс, c. 49. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы: Учебно-методическое пособие / под ред. Ю.Ю. Тарасевича. Астрахань: АГУ, с. 5. Подчасова Т.П., Португал В.М., Татаров В.А., Шкурба В.В. Эвристические методы календарного планирования. Киев: Техника, c. 5. Поспелов Г.С., Тейман А.И. Автоматизация процессов управления разработками больших систем или сложных комплексов. // М.: Известия АН СССР. Техническая кибернетика C Прилуцкий М. Х., Батищев Д. И., Гудман Э. Д., Норенков И. П. Метод комбинирования эвристик для решения комбинаторных задач упорядочения и распределения ресурсов. // Информационные технологии. Москва C Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи объемно-календарного планирования транспортного типа. // SICPRO6. Труды 5 Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 6. Москва 3 января февраля 6, Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 6. С

135 Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах // Автоматика и телемеханика C Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмнокалендарного планирования. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 7.. С Прилуцкий М.Х., Афраймович Л.Г., Куликов М.С. Об одном классе многокритериальных задач квадратичного программирования транспортного типа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд-во ННГУ С Прилуцкий М.Х., Васильев Е.В., Костюков В.Е. Многокритериальная задача распределения производительности купола по газовым скважинам // Системы управления и информационные технологии. 7-3.(9) - C Прилуцкий М.Х., Власов С.Е. Многостадийные задачи теории расписаний с альтернативными вариантами выполнения работ. // Системы управления и информационные технологии». 5., С Прилуцкий М.Х., Костюков В.Е. Потоковые модели для предприятий с непрерывным циклом изготовления продукции. // Информационные технологии. 7.. C Прилуцкий М.Х., Куликов М.С. Многокритериальные задачи квадратичного программирования с ограничениями транспортного типа // Системы управления и информационные технологии.. 3(4). С Прилуцкий М.Х., Кумагина Е.А Управляемый фронтальный алгоритм решения задачи распределения ресурсов в сетевых канонических структурах // Вестник Нижегородского университета

136 36 им. Н.И.Лобачевского. 6, Н. Новгород: Изд-во ННГУ С Прилуцкий М.Х., Кумагина Е.А. Задача упорядочения работ как задача о назначениях // Вестник Нижегородского государственного университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Изд-во ННГУ Вып.(). С Прилуцкий М.Х., Нефедов Д.С., Попов Д.В. Распределение ресурсов в дискретно управляемых системах // Электронный журнал «Исследовано в России», 3/8.. C Прилуцкий М.Х., Попов Д.В. Многостадийные задачи распределения и упорядочения с нечеткими характеристиками // Электронный журнал «Исследовано в России»,, 43/33.. C Прилуцкий М.Х., Попов Д.В. Многостадийные задачи теории расписаний с нечеткими характеристиками // Сборник научных статей «Математика и кибернетика», ННГУ, Н.Новгород. 3. C Протасов В.Н., Жердзинский И.Ю. Оптимизация функционирования конвейерной производственной системы. // Системное моделирование С Рейнгольд Э., Нивергельт Ю. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, с. 68. Севастьянов С.В. Геометрические методы и эффективные алгоритмы в теории расписаний // Дис. док. физ.-мат. наук. Новосибирск,. 8 с. 69. Севастьянов С.В. Эффективное построение расписаний в системах открытого типа. // Сибирский журнал исследования операций Т... С Сервах B.B. Эффективные алгоритмы для некоторых задач календарного планирования // В кн. Методы решения и анализа задач дискретной

137 37 оптимизации. Сб.научных трудов под ред. A.A. Колоколова, Омск, ОмГУ. 99. С Сервах В.В. Алгоритм решения задачи календарного планирования с единичными длительностями работ // В кн. Дискретная оптимизация и анализ сложных систем, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск. 989 С Сервах В.В. Задачи календарного планирования со штрафами за превышение директивных сроков // Инф. бюллетень 4 Ассоциации математического программирования. Тезисы докл. конференции "Математическое программирования и приложения", Екатеринбург С Сервах В.В. Календарное планирование с работами единичной длительности // Материалы межреспубликанского семинара по дискретной оптимизации. Киев. 99. С Сотсков Ю.Н. Оптимальное обслуживание двух требований при регулярном критерии // Автоматизация процессов проектирования, Минск: ИТК АН БССР С Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации: Учебное пособие е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ. 5. С Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования в т. М.: Мир, 99 том. 36 c. 77. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования в т. М.: Мир, 99 том. 34 с. 78. Танаев B.C., Гордон B.C., Шафранский Я.М. Теория расписаний. Одностадийные системы. М.: Наука, c. 79. Танаев B.C., Шкурба В.В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, c.

138 38 8. Танаев В.С. Теория расписаний. М.: Знание, с. 8. Танаев В.С., Ковалев М.Я., Шафранский Я.М. Теория расписаний. Групповые технологии. Минск: ИТК НАН Беларуси, c. 8. Танаев В.С., Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А. Теория расписаний. Многостадийные системы. М.: Наука, с. 83. Федосенко Ю.С., Дуничкина Н.А. БИКРИТЕРИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ ОБСЛУЖИВАНИЕМ ГРУППИРОВКИ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ // Информационноизмерительные и управляющие системы.. Т. 8.. С Федосенко Ю.С., Цветков А.И. ЗАДАЧА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНО- КОМПРОМИССНЫХ СТРАТЕГИЙ ОБЛУЖИВАНИЯ БИНАРНОГО ПОТОКА ОБЪЕКТОВ В ЛИНЕЙНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ ДВУХ MOBILE- ПРОЦЕССОРОВ // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского С Федосенко Ю.С., Цветков А.И. СИНТЕЗ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ В БИКРИТЕРИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ОДНОПРОЦЕССОРНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ БИНАРНОГО ПОТОКА ОБЪЕКТОВ // Информационно-измерительные и управляющие системы.. Т С Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы линейного программирования. // Вычисл. матем. и матем. физ. 98. т.,. С Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций = Operatos Research: A Itroducto. 7-е изд., М.: «Вильямс». 7. С Хранилов В.П., Прохоров Д.В. НЕЧЕТКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕРАКТИВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

139 39 РЕСУРСОВ // Системы управления и информационные технологии (6). С Черенков А.П. Задачи распределения разнотипных ресурсов с насыщением // Вычисл. мат. и мат. физ Т. 8, 7. С Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, с. 9. Шахлевич Н.В. Оптимальное обслуживание двух требований в неоднородных системах с прерываниями // 6 Конф. Мат. Беларуси Тез докл. Ч.4/ Гродн. Гос. Ун-т. Гродно. 99. С Шкурба В.В., Подчасова Т.П., Пшичук А.Н., Тур Л.П. Задачи календарного планирования и методы их решения. Киев: Науковадумка, с. 93. Шор Н.З., Гершович В.И. Об одном семействе алгоритмов для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика С Aho A., Garey M. R.; ad Ullma J. D. The Trastve Reducto of a Drected Graph. // SIAM J. Comput. 97. P Atll J.M., Woodhead R.W. Crtcal Path Methods Costructo Practce, Ne Yor: Wley, Artetao Vcus A., Roco Debora P. Tabu-search for total tardess mmzato floshop problems // Comp. ad Oper. Res , 3 P Baptste Ph., Le Pape C., Nute W. Costrat-based schedulg:applyg costrat programmg to schedulg problems. Kluer Academc Publshers,. 98 p. 98. Bellma R. Mathematcal Aspects of Schedulg Theory // J. Soc. Idust. ad Appl. Math V.4 3. P Blazecz J., Ecer K., Pesch E., Schmdt G., Weglarz J. Schedulg Computer ad Maufactorg Processes. Sprger Berl Brucer P. Schedulg Algorthms. Sprger-Verlag,. 365 p.

140 4. Brucer P., Kust S. Complex schedulg Sprger-Verlag Berl, Hedelberg, Germay, 6.. Burer S., Vadebussche D.: A fte brach-ad-boud algorthm for ocovex quadratc programmg va semdefte relaxatos. Mauscrpt, Departmet of Maagemet Sceces, Uversty of Ioa, Ioa Cty, IA, USA, Jue 5. Revsed Aprl 6 ad Jue 6. Math. Program. 3. Coffma E. G., Jr.; Graham R. L. Optmal schedulg for to-processor systems // Acta Iformatca 97 P Dael Rchard L., Hua Stella Y., Webster Scott Heurstcs for parallel-mache flexble-resource schedulg problems th uspecfed ob assgmet // Сотр. ad Oper. Res ,. P Gafarov E.R., Lazarev A.A. ad Werer. F. Algorthms for Some Maxmzato Schedulg Problems o a Sgle Mache // Automato ad Remote Cotrol.. Vol.. P Gould N. I. M., Hrbar M. E., J. Nocedal O the Soluto of Equalty Costraed Quadratc Programmg Problems Arsg Optmzato // SIAM Joural of Scetfc Computg 3(4) P Graham R.L., Laler E.L., Lestra J.K., Rooy Ka A.H.G Optmzato ad approxmato determestc sequecg ad schedulg: a servey // A. Descrete Optmzato V.. P Hestees R. Magus; Stefel E. Methods of Cougate Gradets for Solvg Lear Systems // Joural of Research of the Natoal Bureau of Stadards (6). P Koma M., Mzuo S., ad Yoshse A. A Polyomal-Tme Algorthm for a Class of Lear Complmetarty Problems // Mathematcal Programmg P. -6.

141 4. Laler E.L. O schedulg problems th deferral costs // Maagemet Scece V.. P Megddo N. Lear programmg lear tme he the dmeso s fxed // J.ACM P Megddo N., Tamr A. Lear tme algorthms for some separable quadratc programmg problems. // Operatos Research Letters P Mehrotra S. (99). O the mplemetato of a prmal dual teror pot method. // SIAM Joural o Optmzato. 99. (4). P Motero R.D.C. ad Adler I. Iteror Path Follog Prmal-Dual Algorthms. Part II: Covex Quadratc Programmg// Mathematcal Programmg P Motz T.S., Schoeberg I.J. The relaxato method for lear equaltes // Caed. J. Moth V P Nocedal J. ad Wrght S. Numercal Optmzato Secod Edto. Ne Yor: Sprger,. 634 p. 7. Paos M. Pardalos ad Stephe A. Vavass Quadratc programmg th oe egatve egevalue s NP-hard // Joural of Global Optmzato. 99 Volume, Number. P Phlp Wolfe, THE SIMPLEX METHOD FOR QUADRATIC PROGRAMMING // Ecoometrca 959 Vol. 7, No. 3 P Poole D. Lear Algebra: A Moder Itroducto (d ed.), Caada: Thomso Broos/Cole, p.. Reslo Krüth T. Iteror-Pot Algorthms for Quadratc Programmg. Koges Lygby: Techcal Uversty of Demar, 8 7 p.. Sah S. Computatoally related problems // SIAM Joural o Computg P

142 4 ПРИЛОЖЕНИЕ. Документы, подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы

143 43

144 44

«УТВЕРЖДАЮ» Проректор Московского государственного ^ ^ а д ^ ц ^ в е р с и т е т а им. М.В.Ломоносова зофессор А.А.Федянин

«УТВЕРЖДАЮ» Проректор Московского государственного ^ ^ а д ^ ц ^ в е р с и т е т а им. М.В.Ломоносова зофессор А.А.Федянин «УТВЕРЖДАЮ» Проректор Московского государственного ^ ^ а д ^ ц ^ в е р с и т е т а им. М.В.Ломоносова зофессор А.А.Федянин 1с - 2015 г. ОТЗЫВ ведущей организации о диссертации Прохоровой Марии Сергеевны

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

ПРОБЛЕМЫ МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ СТРОИТЕЛЬСТВА ДЛЯ КОРПОРАЦИИ С ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЕТЬЮ ОБЪЕКТОВ

ПРОБЛЕМЫ МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ СТРОИТЕЛЬСТВА ДЛЯ КОРПОРАЦИИ С ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЕТЬЮ ОБЪЕКТОВ 12 Авсеева О.В. Журавлев С.В. ПРОБЛЕМЫ МИНИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ СТРОИТЕЛЬСТВА ДЛЯ КОРПОРАЦИИ С ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЕТЬЮ ОБЪЕКТОВ Воронежский экономико-правовой институт Возведение здания или сооружения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................... 5 Глава 1 Декомпозиция Данцига Вулфа......................... 7 1. Метод декомпозиции Данцига Вулфа................. 7 2. Двойственный подход

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Лекция 2. Анализ качества математических моделей

Лекция 2. Анализ качества математических моделей Лекция 2. Анализ качества математических моделей Екатерина Вячеславовна Алексеева Новосибирский Государственный Университет Факультет Информационных Технологий http://math.nsc.ru/ alekseeva/ 25 февраля,

Подробнее

УДК ПОДСИСТЕМА ОПТИМИЗАЦИИ РАБОТЫ АВТОМАТИЗРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ

УДК ПОДСИСТЕМА ОПТИМИЗАЦИИ РАБОТЫ АВТОМАТИЗРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ УДК 004.023 ПОДСИСТЕМА ОПТИМИЗАЦИИ РАБОТЫ АВТОМАТИЗРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ Черкасов М.В., Секирин А.И., Саффар Б.М. Донецкий национальный

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ó ÅÁÍÈÊ È ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÈÀÒÀ È ÌÀÃÈÑÒÐÀÒÓÐÛ 3-å èçäàíèå, èñïðàâëåííîå

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

Лекция 14 Задачи нелинейного и квадратичного программирования (продолжение)

Лекция 14 Задачи нелинейного и квадратичного программирования (продолжение) Лекция 14 Задачи нелинейного и квадратичного программирования (продолжение) 1. Задачи теории расписаний. Изучением вопросов оптимального планирования и управления на сетевых структурах занимается теория

Подробнее

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.Я. Заботин, Я.И. Заботин МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНЬ 4 УДК 59.85 ББК.8 З Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Подробнее

Об одном методе исследования зависимости решения задачи линейного программирования от параметров

Об одном методе исследования зависимости решения задачи линейного программирования от параметров 180 Прикладная математика, управление, экономика ТРУДЫ МФТИ. 014. Том 6, 1 УДК 519.65 Е. А. Умнов, А. Е. Умнов Московский физико-технический институт (государственный университет) Об одном методе исследования

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

Метод регулярных разбиений для задач целочисленного программирования

Метод регулярных разбиений для задач целочисленного программирования Метод регулярных разбиений для задач целочисленного программирования Колоколов А. А. Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН Введение Доклад посвящен обзору исследований, выполненных

Подробнее

АСТАФЬЕВ Андрей Николаевич

АСТАФЬЕВ Андрей Николаевич АСТАФЬЕВ Андрей Николаевич ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ НАГРЕВА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ Специальность.. Автоматизация и управление АВТОРЕФЕРАТ

Подробнее

АЛГОРИТМЫ СИТУАЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЯХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

АЛГОРИТМЫ СИТУАЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЯХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ АЛГОРИТМЫ СИТУАЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЯХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ Е.Н. Надеждин Россия, Москва В.А. Шептуховский Россия, г. Шуя Закономерным следствием

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом

Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом На правах рукописи Мухина Светлана Анатольевна Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РАСПИСАНИЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ MOBIL-ПРОЦЕССОРА В ОДНОМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РАСПИСАНИЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ MOBIL-ПРОЦЕССОРА В ОДНОМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ 5064 УДК 59.854.2 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РАСПИСАНИЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ MOBIL-ПРОЦЕССОРА В ОДНОМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНЕ Д.И. Коган Московский государственный университет приборостроения и информатики Россия,

Подробнее

Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона

Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына ФИЦ ИУ РАН Санкт-Петербург,

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Кафедра: «Вычислительная техника»

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Кафедра: «Вычислительная техника» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов 2 Оглавление Введение 5 1 Нелинейная оптимизация 9 1.1 Постановка задачи оптимизации. Основные понятия и определения................

Подробнее

Актуальность темы исследования

Актуальность темы исследования официального оппонента доктора технических наук, профессора Коновалова Александра Сергеевича на диссертацию Ананичева Дмитрия Алексеевича на тему: «Совершенствование управления технологическими ресурсами

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Задача коммивояжера Лекция 8. Задача коммивояжера. Часть 1

Задача коммивояжера Лекция 8. Задача коммивояжера. Часть 1 Задача коммивояжера Дана матрица (c ij ) попарных расстояний между городами, i, j n. Найти контур минимальной длины, то есть цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз и имеющий минимальный вес.

Подробнее

Системы неравенств и задачи оптимизации с двусторонними ограничениями на переменные

Системы неравенств и задачи оптимизации с двусторонними ограничениями на переменные Системы неравенств и задачи оптимизации с двусторонними ограничениями на переменные Зоркальцев Валерий Иванович, проф., д.т.н., Заведующий лабораторией «Методов математического моделирования и оптимизации

Подробнее

Технические системы в условиях неопределенности

Технические системы в условиях неопределенности Г. М. Островский Ю. М. Волин Технические системы в условиях неопределенности анализ гибкости и оптимизация Г. М. Островский, Ю. М. Волин Технические системы в условиях неопределенности анализ гибкости

Подробнее

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Глава. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Под математической моделью, согласно работе [], будем понимать объективную схематизацию основных аспектов решаемой задачи, или, другими словами, описание задачи в математических

Подробнее

МОДЕЛЬ ИЕРАРХИИ ПОТРЕБНОСТЕЙ

МОДЕЛЬ ИЕРАРХИИ ПОТРЕБНОСТЕЙ 2006 г. А.А. Иващенко, канд. техн. наук, Д.А. Новиков, д-р. техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) МОДЕЛЬ ИЕРАРХИИ ПОТРЕБНОСТЕЙ Предложена формальная модель иерархии

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Лекция 3 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Принципы построения численных методов. Применение необходимых и достаточных условий безусловного экстремума эффективно для решения ограниченного

Подробнее

СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ДЕРЕВЬЯ

СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ДЕРЕВЬЯ Введение СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ДЕРЕВЬЯ Губко МВ, ктн (Институт проблем управления РАН, Москва) goubko@alru В настоящей статье рассматривается задача построения оптимальной иерархической структуры над заданным

Подробнее

Экономико-математическое моделирование

Экономико-математическое моделирование 0 (75) 0 Экономико-математическое моделирование УДК 59.853.3 РЕШЕНИЕ РЯДА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЛГОРИТМАМИ МЕТОДА ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕПОЛНОЙ МИНИМИЗАЦИЕЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ А. Г. ИСАВНИН, доктор физико-математических

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

«Улучшающий генетический алгоритм»

«Улучшающий генетический алгоритм» Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра информатики и автоматизации научных исследований Методические указания «Улучшающий

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого программирования. План лекции. Положительно полуопределенные матрицы

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого программирования. План лекции. Положительно полуопределенные матрицы План лекции с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого А. Куликов 1 Задача полуопределённого Задача о максимальном разрезе Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/

Подробнее

«Решение задачи оптимизации назначения членов экипажей воздушных судов»

«Решение задачи оптимизации назначения членов экипажей воздушных судов» Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Исследования Операций «Решение задачи оптимизации назначения членов экипажей воздушных

Подробнее

Организация управления наземными стартовыми комплексами в интересах оперативного развертывания орбитальных систем КА

Организация управления наземными стартовыми комплексами в интересах оперативного развертывания орбитальных систем КА Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 58 www.mai.u/science/tudy/ УДК 69.78 Организация управления наземными стартовыми комплексами в интересах оперативного развертывания орбитальных систем КА А.С. Фадеев

Подробнее

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ УДК 59.8 О. А. Юдин, аспирант ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Проанализированы возможные варианты решения задачи поиска минимума функции, которая имеет разрыв частной

Подробнее

Введение. Каштанов В.А.

Введение. Каштанов В.А. Структурная надежность. Теория и практика Каштанов В.А. УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ С использованием управляемых полумарковских процессов исследуется оптимальная

Подробнее

Двойственные задачи. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2

Двойственные задачи. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Двойственные задачи Содержание Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 5 Теоремы двойственности

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Оптимизация в САПР. Факультет информатики и телекоммуникаций Информационные технологии в автоматизированных системах

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Оптимизация в САПР. Факультет информатики и телекоммуникаций Информационные технологии в автоматизированных системах МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный институт электроники и математики (технический

Подробнее

ИНФОРМАТИКА И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ИНФОРМАТИКА И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ Информатика и системы управления 63 ИНФОРМАТИКА И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.874 В.С. Власов ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ ИЗДЕЛИЙ МИКРОЭЛЕКТРОННОГО ПРОИЗВОДСТВА Нижегородский

Подробнее

Задача ранжирования веб-страниц в условиях разреженной матрицы корреспонденции

Задача ранжирования веб-страниц в условиях разреженной матрицы корреспонденции Задача ранжирования веб-страниц в условиях разреженной матрицы корреспонденции Дмитрий Камзолов Научный руководитель: Александр Гасников, Юрий Максимов Московский Физико-Технический Институт Факульет Управления

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

2. Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования

2. Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования . Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования В данной главе для решения взаимно-двойственных задач (.-(. предлагается и обосновывается

Подробнее

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 12. Дискретные задачи размещения. Часть 1

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 12. Дискретные задачи размещения. Часть 1 Задачи о покрытии Дано: Сеть дорог и конечное множество пунктов для размещения постов ГАИ. Каждый пункт может контролировать дорогу на заданном расстоянии от него. Известно множество опасных участков на

Подробнее

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Методы оптимальных решений» на тему

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Методы оптимальных решений» на тему ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Лекция 7. Алгоритмы синтеза и постановка задачи оптимизации на этапе системного проектирования. План лекции:

Лекция 7. Алгоритмы синтеза и постановка задачи оптимизации на этапе системного проектирования. План лекции: Лекция 7. Алгоритмы синтеза и постановка задачи оптимизации на этапе системного проектирования. План лекции: 1. Многокритериальная оптимизация. 2. Алгоритмы синтеза на этапе СП. 3. Постановка задачи оптимизации.

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра Математика А. Е. Гарслян ИССЛЕДОВАНИЕ

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Методы оптимизации и исследование операций. Направление подготовки «Прикладная информатика»

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Методы оптимизации и исследование операций. Направление подготовки «Прикладная информатика» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП 05 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Методы оптимизации и

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Направление Физико-математическое образование. Профиль Информатика. Ведущий лектор: Сидорова О.А., к.ф.-м.н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Направление Физико-математическое образование. Профиль Информатика. Ведущий лектор: Сидорова О.А., к.ф.-м.н. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ИНФОРМАТИКИ И МЕТОДИКИ

Подробнее

Статистическое исследование алгоритма случайного поиска

Статистическое исследование алгоритма случайного поиска Статистическое исследование алгоритма случайного поиска В. Т. Кушербаева, Ю. А. Сушков Санкт-Петербургский государственный университет 1 В работе рассматривается статистическое исследование одного алгоритма

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Г.М. ОСТРОВСКИЙ, Н.Н. ЗИЯТДИНОВ, Т.В. ЛАПТЕВА ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Г.М. ОСТРОВСКИЙ, Н.Н. ЗИЯТДИНОВ, Т.В. ЛАПТЕВА ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Г.М. ОСТРОВСКИЙ, Н.Н. ЗИЯТДИНОВ, Т.В. ЛАПТЕВА ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия

Подробнее

МОДУЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРЕПОДАВАНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ»

МОДУЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРЕПОДАВАНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ» NovaInfo.Ru - 56, 2016 г. Педагогические науки 1 МОДУЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРЕПОДАВАНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ: БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ» Синчуков Александр Валерьевич Модульный подход к преподаванию

Подробнее

АЛГОРИТМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. Кочанов Д.А. (Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси)

АЛГОРИТМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. Кочанов Д.А. (Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси) АЛГОРИТМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Кочанов Д.А. Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси ochaovda@tut. Предлагается способ создания макроблоков, реализующих математические

Подробнее

Нижние оценки Гилмора и Гомори

Нижние оценки Гилмора и Гомори Нижние оценки Гилмора и Гомори Имеется неограниченное число контейнеров единичной вместимости. Для каждой заготовки i L задана длина 0 < w i < 1 и их количество n i 1. Требуется упаковать заготовки в минимальное

Подробнее

1. Системы двухсторонних линейных неравенств Рассматривается задача поиска решения x R n системы линейных уравнений и неравенств:

1. Системы двухсторонних линейных неравенств Рассматривается задача поиска решения x R n системы линейных уравнений и неравенств: ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2004. Серия 2. Том 11, 1, 62 79 УДК 519.87 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДВУСТОРОННИХ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ АЛГОРИТМАМИ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА РЕЖИМОВ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ А.И.Дворсон РАБОЧАЯ

Подробнее

18.1. Общая формулировка проблемы оптимизации

18.1. Общая формулировка проблемы оптимизации 18.1. Общая формулировка проблемы оптимизации Предположим, что мы стоим на склоне холма и должны найти самую нижнюю точку: это наша целевая функция. Предполагается, что есть несколько заборов, которые

Подробнее

КАФЕДРА ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине «Системный анализ химико-технологических процессов»

КАФЕДРА ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине «Системный анализ химико-технологических процессов» ПЯТИГОРСКИЙ МЕДИКО-ФАРМАЦЕВТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Курсовая работа. Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Курсовая работа. Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» по дисциплине «Методы оптимальных решений» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)

Подробнее

ГРУППОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ КАК ОСНОВА АВТОМАТИЗАЦИИ ШИРОКОНОМЕНКЛАТУРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

ГРУППОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ КАК ОСНОВА АВТОМАТИЗАЦИИ ШИРОКОНОМЕНКЛАТУРНОГО ПРОИЗВОДСТВА УДК 681.3 ГРУППОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ КАК ОСНОВА АВТОМАТИЗАЦИИ ШИРОКОНОМЕНКЛАТУРНОГО ПРОИЗВОДСТВА И.В. Горлов, Е.В. Полетаева, Н.А. Калинин В настоящее время машиностроительная отрасль столкнулась с проблемой

Подробнее

Лекция 2. Задачи дискретной оптимизации и их сложность

Лекция 2. Задачи дискретной оптимизации и их сложность Лекция 2. Задачи дискретной оптимизации и их сложность Общая постановка задачи дискретной оптимизации. Классификация методов решения. Сложность задач дискретной оптимизации. Классы P и NP. Задача о ранце.

Подробнее

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом:

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом: 2.1. Максимизация полезности при ограничении по доходу потребителя Допустим, что каждый из l товаров покупается данным потребителем по цене p h. На протяжении большей части нашего анализа будем полагать,

Подробнее

Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» 1/2014

Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» 1/2014 Биккузина А.И., Жуков А.О., Никольский Ю.В., Буханец Д.И. ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ В ДИАЛОГОВОЙ СИСТЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ

Подробнее

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

ОТЗЫВ Актуальность темы диссертационного исследования

ОТЗЫВ Актуальность темы диссертационного исследования ОТЗЫВ официального оппонента на диссертацию ЗАХАРЧЕНКОВА Константина Васильевича «Разработка метода, моделей и технологии оценки эффективности процессов управления в корпоративных информационных системах»,

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации Дзержинский филиал Сергеева Юлия Владимировна Громницкий Владимир Семенович МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Методы поиска в пространстве состояний.

Методы поиска в пространстве состояний. Методы поиска в пространстве состояний. Лекция 3. Специальность : 220400 Определение 3. Решающую последовательность образуют операторы, которые связаны с дугами пути от целевой вершины к начальной. Поиск

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

ОТЗЫВ ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ

ОТЗЫВ ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» д.т.н., профессор М.В. Ненашев 2015 г. ОТЗЫВ ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ ФГБОУ ВПО «Самарский государственный

Подробнее

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ В БИЗНЕСЕ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОРГАНИЗАЦИИ КОНТРОЛЯ ПРОЕКТОВ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ В БИЗНЕСЕ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОРГАНИЗАЦИИ КОНТРОЛЯ ПРОЕКТОВ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОРГАНИЗАЦИИ КОНТРОЛЯ ПРОЕКТОВ A.И. Марон, кандидат технических наук, доцент кафедры бизнес-аналитики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» М.А.

Подробнее

Лекция 7. Задачи сетевого планирования при нефиксированной интенсивности работ

Лекция 7. Задачи сетевого планирования при нефиксированной интенсивности работ Лекция 7. Задачи сетевого планирования при нефиксированной интенсивности работ Объем работы, интенсивность и скорость выполнения работы Оптимизация комплексов работ по стоимости Агрегирование сетевых графиков

Подробнее

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Богомазов Р. Ю., Беседин Н. Т. Юго-западный государственный университет 1. Цель

Подробнее

Проректор Московского государственного ^пситета имени М. В. Ломоносова, доктор. Федянин А. А. Ъ / г.

Проректор Московского государственного ^пситета имени М. В. Ломоносова, доктор. Федянин А. А. Ъ / г. Проректор Московского государственного ^пситета имени М. В. Ломоносова, доктор н аук, ГфОфеССОр Федянин А. А. Ъ / 7 2015 г. ЗА К Л Ю Ч ЕН И Е Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО ВЗВЕШЕННОГО ВРЕМЕННОГО СМЕЩЕНИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗА ДЛЯ ДВУХ СТАНЦИЙ 1

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО ВЗВЕШЕННОГО ВРЕМЕННОГО СМЕЩЕНИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗА ДЛЯ ДВУХ СТАНЦИЙ 1 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО ВЗВЕШЕННОГО ВРЕМЕННОГО СМЕЩЕНИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗА ДЛЯ ДВУХ СТАНЦИЙ 1 Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Архипов Д.И. (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г.

Подробнее

Информатика и системные науки (ИСН-2017) МЕТОД ЭЛЛИПСОИДОВ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ

Информатика и системные науки (ИСН-2017) МЕТОД ЭЛЛИПСОИДОВ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ УДК 598 Информатика и системные науки (ИСН-7) МЕТОД ЭЛЛИПСОИДОВ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ L -РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ П И Стецюк дф-мн снс Институт кибернетики им ВМ Глушкова НАН Украины stetsyu@galco Г

Подробнее

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений.

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

Гусев Сергей Михайлович. Нестационарная система обслуживания с конечным источником заявок с относительными приоритетами

Гусев Сергей Михайлович. Нестационарная система обслуживания с конечным источником заявок с относительными приоритетами Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Кафедра информационных систем Гусев Сергей Михайлович Выпускная квалификационная работа бакалавра Нестационарная

Подробнее

Система моделирования и интеллектуализации задач принятия решений

Система моделирования и интеллектуализации задач принятия решений УДК 681.3.07 Система моделирования и интеллектуализации задач принятия решений З. Н. Русакова 1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия Рассмотрен программный инструментарий системы поддержки принятия

Подробнее

Фондовый рынок 37 (565) 2013

Фондовый рынок 37 (565) 2013 37 (565) 3 УДК 33649 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ ДОХОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА Н А КЛИТИНА, старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal:

Подробнее