ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ"

Транскрипт

1 ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах брусьев, т. е. к задаче расчета стержневой конструкции. Логика такой последовательности изучения курса заключается в том, чтобы продолжить и довести до конца анализ самой простой одномерной модели твердого деформируемого тела. Правда, надо иметь в виду, что применяемые для анализа состояния стержневой конструкции методы и по форме, и по существу отличаются от методов, используемых при изучении деформирования отдельного стержня. Вторая возможность продолжения курса состоит в применении уже привычного метода исследования к новым объектам, таким, например, как плиты и оболочки. Эти конструкции имеют два характерных размера, а потому находить в них напряжения и перемещения сложнее, чем в стержне. Однако подход к решению задачи остается прежним. Он основан на выдвижении ряда предположений о поведении тела под нагрузкой, которые позволяют установить вид всех или части искомых функций. Далее справедливость сделанных допущений проверяется при помощи полной системы уравнений механики деформируемого твердого тела, в частности, полной системы уравнений теории упругости. Другими словами, речь идет о методах, давших возможность построить технические теории изгиба, свободного кручения и стесненного кручения отдельного бруса. Именно по пути преемственности метода, а не объекта исследования, предполагается вести дальнейшее изучение курса. В пользу указанного выбора можно привести и такой довод. При анализе напряженно-деформированного состояния тела полуобратным методом зачастую обнаруживалось, что искомые функции удовлетворяли полной системе уравнений задачи с некоторой погрешностью. Иногда такая погрешность поддавалась оценке средствами самой технической теории, но в большинстве случаев судить о точности решения задачи изнутри метода было невозможно. Малость погрешности здесь просто декларировалась, правда, с той оговоркой, что в дальнейшем полученные на основе технических теорий результаты будут подвергнуты строгому анализу. Пора таким анализом заняться, а не затягивать дело до тех пор, пока все те задачи, при решении

2 Глава которых раздавались упомянутые выше векселя, будут основательно забыты. Многое из того, о чем пойдет речь в этой части курса (см. главы 4 5), имеет прямое отношение к сказанному. ГЛАВА 1. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ 1.1. Вводные положения. Плита (пластина) постоянной толщины это тело, имеющее форму прямой призмы с небольшой по сравнению с размерами оснований высотой h. Плоскость, которая делит высоту плиты пополам, называют срединной плоскостью. Контур плиты представляет собой линию, получающуюся при пересечении срединной плоскости с боковыми гранями пластины (рис. 1.1). Ниже рассматриваются только тонкие плиты, толщины которых h удовлетворяют условию L/50 < h < L/5. (1.1) Через L обозначен меньший из размеров A и B. При исследовании напряженно-деформированного состояния тонких изгибаемых плит используются так называемые гипотезы Кирхгоффа. Речь идет о допущениях относительно характера деформирования указанных тел, сформулированных Кирхгоффом в середине XIX века. Выдвигая эти гипотезы, известный немецкий физик во многом следовал Бернулли и Мариотту (см. п. II.2.1). 1. Гипотеза прямой нормали: отрезок, перпендикулярный к срединной плоскости, при изгибе плиты не искривляется, не меняет своей длины, а только поворачивается, оставаясь нормальным к изогнутой срединной поверхности. 2. Гипотеза о ненадавливании слоев плиты друг на друга: нормальные напряжения между слоями плиты, параллельными срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями в сечениях, ортогональных к этой плоскости. При помощи этих гипотез можно построить только теорию чистого изгиба плит. Впрочем, и гипотез Бернулли Мариотта было достаточно лишь для изучения изгиба брусьев без поперечной силы, тогда как в общем случае пришлось еще пренебречь влиянием сдвигов на нормальные напряжения. Об

3 292 Часть III этом было сказано в п. II.3.1. В теории плит аналогичное допущение оформляется следующим образом: 3. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: при изгибе плиты срединная плоскость переходит в искривленную поверхность, не испытывая осевых и сдвиговых деформаций. Принятие гипотез 1 и 3 приводит к тому, что сдвигов γ xz и γ yz не будет во всем теле плиты. Это означает, что при выводе формул для касательных напряжений на связь между деформациями γ xz, γ yz и напряжениями τ xz, τ yz, даваемую законом Гука, опереться не удастся. Касательные напряжениях, как и в брусьях (см. вывод формул (II.3.4) и (II.3.6)), придется находить из условий равновесия. Осевая деформация срединной поверхности плиты возможна лишь при наличии осевых усилий. Последние могут быть порождены внешней нагрузкой. Ниже будет рассматриваться только силовое воздействие, прикладываемое перпендикулярно к одному из оснований плиты. Для отсутствия продольных сил требуется также, чтобы опорные устройства не препятствовали перемещениям точек контура плиты в горизонтальном направлении либо прогибы w плиты были незначительны. Причем незначительны они должны быть настолько, чтобы обеспечить высший порядок малости перемещений u и v по сравнению с прогибами. Такое ограничение полезно и в том отношении, что оно позволяет решать задачу об изгибе плиты в геометрически линейной постановке. Итак, 4. Гипотеза о малости вертикальных перемещений: прогибы точек срединной плоскости не превышают 0, 1 0, 2 толщины плиты. И последнее: материал пластины считается линейно-упругим Напряжения в тонких плитах. На рис. 1.2 изображен фрагмент пластины до и после ее изгиба. Так как срединная плоскость не деформируется (гипотеза 3) и перемещения малы (гипотеза 4), то точка 0 1, принадлежащая срединной плоскости, перейдет в положение 0 1, двигаясь строго по вертикали. Находящаяся на этой же вертикали точка A займет положение A. Отрезок 0 1 A в процессе деформирования плиты длины не меняет (гипотеза 1), а так как 0 1 A 0 1 A = z, то все точки, принадлежащие нормали к срединной поверхности, перемещаются вдоль оси 0z на одинаковое расстояние. Сказанное означает, что прогибы плиты зависят только от координат x и y ее точек: w =w(x, y), а потому в дальнейшем под w можно понимать вертикальные перемещения точек срединной плоскости плиты.

4 Глава Из гипотезы прямой нормали и выполненного на ее основе рис. 1.2 следует, что u = A A = ztgα = z w x. Аналогично выражается через прогиб и перемещение v, так что u = z w x, w v = z y. (1.2) Теперь для представления напряжений в виде функции прогиба w нужно лишь последовательно использовать основные уравнения теории упругости. Прежде всего при помощи геометрических соотношений Коши (I.5.7) ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x и формул (1.2) через прогиб w выражаются деформации: ε x = z 2 w x 2, ε y = z 2 w y 2, γ xy = 2z 2 w x y. (1.3) Эти же деформации связаны с напряжениями по закону Гука (I.6.6), при записи которого модуль сдвига заменяется на модуль E по формуле (I.6.3): ε x = 1 E (σ x νσ y ), ε y = 1 E (σ y νσ x ), γ xy = 2(1 + ν) E τ xy. (1.4) В этих формулах отсутствуют напряжения σ z, вклад которых в процесс деформирования плиты, согласно гипотезе 2, пренебрежимо мал по сравнению со вкладом двух других нормальных напряжений. Из формул (1.4) следует: σ x = E 1 ν 2 (ε x+νε y ), σ y = E 1 ν 2 (ε y +νε x ), τ xy = и (см. равенства (1.3)) E 2(1 + ν) γ xy σ x = Ez ( 2 w 1 ν 2 x 2 + ν 2 w ) y 2, σ y = Ez ( 2 w 1 ν 2 y 2 + ν 2 w ) x 2, τ xy = Ez 2 w 1+ν x y. (1.5) Таким образом, и напряжения σ x, σ y, связанные с деформацией изгиба, и напряжения τ xy, порождающие крутящий момент, меняются по толщине плиты линейно, что и демонстрирует рис. 1.3.

5 294 Часть III τ xz z = Ez ( 2 w 1 ν 2 x x 2 +ν 2 w ) y 2 + Ez 1 + ν Для отыскания напряжений τ xz и τ yz используются уравнения равновесия (I.2.6). Первое из них имеет вид: σ x x + τ xy y + τ xz z + X = 0. При X = 0, т. е. при отсутствии объемных сил, отсюда следует (см. также формулы (1.5)): 3 w x y 2 = Ez ( 2 w 1 ν 2 x x w ) y 2. Прогиб w функция только двух переменных. Оператор Лапласа (I.7.1) для таких функций имеет вид: = 2 / x / y 2, так что τ xz z = Ez 1 ν 2 x w, τ xz = Ez2 2(1 ν 2 ) w + f(x, y). x Эти напряжения должны удовлетворять граничным условиям τ xz z=h/2 = τ xz z= h/2 = 0, которые говорят об отсутствии касательной нагрузки на верхней и нижней гранях плиты. Итак, и потому 0 = Eh2 8(1 ν 2 ) τ xz = Ez2 2(1 ν 2 ) w + f(x, y) f(x, y) = Eh2 x x w Eh2 8(1 ν 2 ) 8(1 ν 2 ) x w = E(h2 /4 z 2 ) 2(1 ν 2 ) Аналогично определяются и напряжения τ yz. Окончательно τ xz = E(h2 /4 z 2 ) 2(1 ν 2 ) Эпюры этих напряжений даны на рис x w, τ yz = E(h2 /4 z 2 ) 2(1 ν 2 ) 1.3. Разрешающее уравнение изгиба плиты. Из равенств (1.5) и (1.6) следует, что функция w(x, y) играет роль функции напряжений: после того, как прогибы w(x, y) будут найдены, все искомые напряжения устанавливаются при помощи операции диф- x w x w. w. (1.6) y

6 Глава ференцирования. Другими словами, перемещение w(x, y) полностью определяет напряженно-деформированное состояние плиты. Для отыскания одной неизвестной функции нужно лишь одно уравнение и его можно получить при помощи третьего из условий равновесия Навье (I.2.6): τ xz x + τ yz y + σ z z + Z = 0. В задачах статики объемные силы обычно связаны с собственным весом тела. Как правило, собственный вес плиты намного меньше поверхностной нагрузки, так что им можно либо пренебречь, либо добавить к основному воздействию. Если же Z =0, то σ z z = τ xz x τ yz y. Напряжения τ xz и τ yz подставляются сюда по формулам (1.6): Так как σ z z = E(h2 /4 z 2 ) ( 2 2 ) 2(1 ν 2 w + ) x2 y 2 w. 2 2 ( 2 w = x2 x 2 x ) y 2 = 4 w x 4 + то 4 w x 2 y 2, 2 y 2 w = σ z z = E(h2 /4 z 2 ) [ 4 w 2(1 ν 2 ) x w x 2 y w ] y 4. 4 w x 2 y w y 4, Выражение в квадратных скобках можно записать более компактно, если воспользоваться обозначением = 4 x x 2 y y 4 для так называемого бигармонического оператора. Тогда σ z z = E(h2 /4 z 2 ) 2(1 ν 2 w ) и σ z = E(h2 z/4 z 3 /3) 2(1 ν 2 ) w + ϕ(x, y). (1.7)

7 296 Часть III Функцию интегрирования ϕ(x, y) надо подчинить граничным условиям (см. рис. 1.5): 1) σ z z= h/2 = q : q = E(h3 /8 h 3 /24) 2(1 ν 2 ) 2) σ z z=h/2 = 0 : 0 = E(h3 /8 h 3 /24) 2(1 ν 2 ) w + ϕ(x, y), w + ϕ(x, y). Если эти равенства сложить, то будет найдена функция ϕ: ϕ = q/2, а затем и напряжение σ z : σ z = 1 2 [ Ez(h 2 /4 z 2 /3) ] 1 ν 2 w q. (1.7a) Однако эти напряжения малы и при оценке прочности их не учитывают. Более интересно соотношение, которое получается при вычитании первого граничного условия из второго, ибо оно как раз и является искомым разрешающим уравнением задачи: При помощи обозначения Eh 3 12(1 ν 2 w = q. ) этому равенству придается вид: D = Eh 3 12(1 ν 2 ) (1.8) w = q/d. (1.9) Часто используется и развернутая запись соотношения (1.9): 4 w x w x 2 y w y 4 = q D. (1.9a) Полученное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных интегрируется с учетом граничных условий задачи, т. е. с учетом способов закрепления плиты по краям. Интересна история появления уравнения (1.9). В 1811 г. к нему пришел Лагранж, который в качестве председателя жюри рассматривал представленный на конкурс во Французскую Академию наук доклад об изгибе пластины поперечной нагрузкой. Автором доклада была Софи Жермен. Поскольку решение оказалось не вполне корректным, Лагранж внес в него необходимые

8 Глава поправки, после чего провозгласил автора доклада победителем конкурса. Софи Жермен опубликовала свою работу в откорректированном виде только в 1815 г. С тех пор уравнение (1.9) связывают то с именем Лагранжа, то с именем Софи Жермен, а иногда и с именами обоих исследователей. Константа (1.8), входящая в уравнение (1.9), называется цилиндрической жесткостью пластины. Изгибная жесткость EI стержня прямоугольного поперечного сечения высотой h и шириной в единицу равна величине Eh 3 /12. Стало быть, цилиндрическая жесткость больше изгибной жесткости в 1/(1 ν 2 ) раза. Техническая теория изгиба плит практически построена. Остается обсудить лишь ряд вопросов, связанных с реализацией вычислений. Но перед этим имеет смысл обратить внимание на те уравнения теории упругости, которые с предлагаемым решением задачи не согласуются. Поскольку прогиб w зависит только от координат x и y, а перемещения u и v определяются равенствами (1.2), то из геометрических соотношений Коши (I.5.7) получается, что ε z = w z = 0, Но тогда (закон Гука) γ xz = u z + w x = 0, σ z = ν(σ x + σ y ), τ xz = 0, τ yz = 0, γ yz = v z + w y = 0. а это противоречит как соотношению (1.7a), так и равенствам (1.6). Однако погрешность решения, получаемого на основе рассматриваемой здесь теории изгиба плит, незначительна, а потому на отсутствие полного соответствия друг другу деформаций и напряжений не обращают внимания Краевые условия. Усилия в плитах. Способы закрепления пластин многообразны. Каждое опорное устройство накладывает свои ограничения на перемещения и напряжения в том месте, где оно расположено. Например, все точки защемленного края плиты не имеют никаких перемещений, тогда как во всех точках свободного торца отсутствуют какие бы то ни было напряжения. Если край шарнирно оперт, то на нем невозможны нормальные напряжения и прогибы. Указанные ограничения совершенно естественны, однако настаивать на их безусловном выполнении было бы бессмысленно. И в самом деле, нельзя же требовать от функции w, зависящей лишь от координат x и y, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и по координате z, т. е. чтобы прогиб равнялся, скажем, нулю не только в точках контура S пластины, но и во всех других точках рассматриваемой кромки плиты. Аналогично обстоит дело и с напряжениями. Сказанное означает, что краевые условия придется смягчать, относя кинематические ограничения лишь

9 298 Часть III к точкам линии S, а статические к интегральным характеристикам напряжений, т. е. к усилиям. При использовании смягченных граничных условий (см. п. I.3.8) получаемое решение нельзя будет распространить на зоны, примыкающие к кромкам плиты. Как известно, глубина таких зон местных деформаций относительно мала: она не превышает размера h. Итак, переход от напряжений к усилиям необходим хотя бы потому, чтобы иметь возможность формулировать краевые условия задачи. Однако опыт изучения простейших деформаций стержней свидетельствует о том, что роль усилий в механике твердого деформируемого тела участием в записи смягченных граничных условий не исчерпывается. В плитах под усилиями понимают составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил взаимодействия, приходящиеся на единицу длины вертикального разреза плиты. Ниже будут рассматриваться разрезы x = const и y = const. По определению (рис. 1.6): M xy = M yx = h/2 zτ yx dz, M x = h/2 h/2 h/2 zσ y dz, Q y = h/2 h/2 τ yz dz. Формулы для усилий M y и Q x записываются аналогично. Подстановка в приведенные выше равенства напряжений (1.5) и (1.6) дает: M yx = E 1 + ν 2 w x y h/2 h/2 z 2 dz = D(1 ν) 2 w x y, M x = E ( 2 w 1 ν 2 y 2 + ν 2 w ) x 2 и т. д. Следовательно, ( 2 w M x = D Q y = E w 8(1 ν 2 ) y y 2 + ν 2 w x 2 ) h/2 h/2 h/2 h/2 ( z 2 2 w dz = D y 2 + ν 2 w x 2 ) (h 2 4z 2 ) dz = D y w ( 2 w, M y = D x 2 + ν 2 w ) y 2, M xy = D(1 ν) 2 w x y, Q x = D x w, Q y = D y w., (1.10)

10 Глава Вторую из формул (1.5) можно записать следующим образом: σ y = Ez ( 2 w 1 ν 2 y 2 + ν 2 w ) x 2 12 h 3 h3 12 = D I z ( 2 w y 2 + ν 2 w x 2 ), где I момент инерции прямоугольника единичной ширины относительно центральной оси. При сопоставлении этого равенства с первым из равенств (1.10) видно, что σ y = M x z/i. Всего же будет пять зависимостей между напряжениями и усилиями, внешне похожих на аналогичные зависимости для брусьев: σ x = M y I z, σ y = M x I z, τ xy = M xy I z, τ xz = Q xs отс I, τ yz = Q ys отс I. (1.11) В этих формулах S отс = (h 2 4z 2 )/8 статический момент отсеченной части сечения плиты относительно оси 0x или 0y, приходящийся на единицу длины сечения. Усилия (1.11) не являются независимыми. Они, как и в балках, связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые можно установить при помощи условий равновесия элемента, выделенного из плиты вертикальными разрезами (рис. 1.7). Через t t на рис. 1.7 обозначена ось, проведенная через центр элемента параллельно оси 0x. Приравниваются к нулю проекции всех сил, приложенных к элементу, на ось 0z и момент этих же сил относительно оси t t: (Q x + dq x )dy Q x dy + (Q y + dq y )dx Q y dx + qdxdy = 0, (M x + dm x )dx M x dx + (M xy + dm xy )dy M xy dy (Q y + dq y )dxdy/2 Q y dxdy/2 = 0 или dq x dy + dq y dx + qdxdy = 0, dm x dx + dm xy dy Q y dxdy dq y dxdy/2 = 0. Подчеркнутый член имеет высший порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и может быть отброшен. Tак как

11 300 Часть III dm x = M x y dy, dm xy = M xy x dx, dq x = Q x x dx, dq y = Q y y dy, то полученные выше равенства и добавленная к ним при помощи круговой подстановки символов еще одна зависимость примут окончательный вид: Q x x + Q y y = q, Q y = M x y + M xy x, Q x = M y x + M yx. (1.12) y Теперь все готово для того, чтобы обратиться к обсуждению правил формирования граничных условий. На рис. 1.8 изображен прямолинейный участок AB контура пластины, ориентированный параллельно оси абсцисс. Если край AB защемлен, то на искомую функцию w(x, y) накладываются ограничения 1) w(x, a) = 0, 2) w/ y = 0, (1.13) y=a смысл которых очевиден. Если по краю AB поставлен цилиндрический шарнир (свободное опирание), то в этом месте, помимо прогиба, должен отсутствовать и изгибающий момент M x (см. формулы (1.10)): 2 w y 2 + ν 2 w = 0. (1.14) x2 Так как линия AB при изгибе плиты остается прямой, т. е. сохраняет свою кривизну нулевой: 2 w/ x 2 = 0, то в соответствии с формулой (1.14) и 2 w/ y 2 = 0, а потому вместо условия (1.14) можно использовать более компактное равенство 2 w y w = 0 или w = 0, x2 не содержащее в отличие от зависимости (1.14) коэффициента Пуассона. Итак, на свободно опертом крае 1) w(x, a) = 0, 2) w = 0. y=a (1.14a) Пусть теперь кромка AB не закреплена вообще и какие-либо воздействия на нее отсутствуют. В этом случае естественно было бы положить, что на линии AB M x = M xy = Q y = 0.

12 Глава Именно так и предложил записывать граничные условия на свободном краю плиты Пуассон, не заметив, что входящие в них усилия являются зависимыми. Речь идет о связи между крутящим моментом и поперечными силами, устанавливаемой формулами (1.12). Неточность Пуассона устранил Кирхгофф. На рис. 1.9a изображен торец пластины с приложенными к нему усилиями Q y, M yx. Объединение сил, образующих пары M yx, приводит к распределенной нагрузке (рис. 1.9b) с интенсивностью q y = dm yx dx = 1 M yx dx x dx = M yx x. В конечном счете на рассматриваемом краю оказалось приложенным распределенное вдоль оси 0x воздействие V y = Q y + M yx / x. Аналогично можно ввести приведенное усилие V x, и если из формул для величин V y и V x при помощи соотношений (1.12) исключить поперечные силы, то получатся равенства: V y = M x y + 2 M yx x, V x = M y x + 2 M xy, y которые можно записать и в перемещениях (см. формулы (1.10)): [ 3 w V y = D y 3 + (2 ν) 3 w ] [ 3 w x 2, V x = D y x 3 + (2 ν) 3 w ] x y 2. На свободном краю y =a к нулю приравнивают усилия M x и V y : 1) ( 2 w y 2 + ν 2 w x 2 ) y=a = 0, 2) [ 3 w y 3 + (2 ν) 3 w ] x 2 y y=a = 0. Путь к решению конкретных задач открыт Цилиндрический изгиб прямоугольных плит. Цилиндрическим называют изгиб плиты, при котором ее срединная плоскость имеет цилиндрическую форму. Пусть прямоугольная в плане плита загружена поперечной нагрузкой, не меняющейся вдоль длинной стороны (рис. 1.10). На некотором удалении c от коротких кромок изогнутая срединная поверхность плиты будет иметь цилиндрическую форму, если только b a. Строго говоря, это утверждение справедливо лишь при b/a, но вычисления показы-

13 302 Часть III вают, что уже при b/a = 5 значения максимальных по модулям прогибов и усилий мало отличаются от тех, что отвечают случаю b/a. При цилиндрическом изгибе плиты перемещения w зависят только от координаты x, отсчитываемой вдоль короткой стороны пластины. Разрешающее уравнение (1.9a) задачи принимает вид d 4 w dx 4 = q D. При q =const отсюда следует w = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 + qx4 24D. (1.15) Пусть плита по кромкам x=0 и x=a шарнирно оперта. Согласно формулам (1.14a), на таком краю w =0, w =0. Но так как прогиб w от ординаты y не зависит, то условие w = 0 сводится к равенству d 2 w/dx 2 = 0, поэтому (см. формулу (1.15)) 1) w(0) = 0 C 1 = 0, 2) w (0) = 0 C 3 = 0, 3) w(a) = 0 C 2 a + C 4 a 3 + qa4 24D = 0, 4) w (a) = 0 6 C 4 + qa2 2D = 0. Отсюда следует, что C 4 = qa/(12d), C 2 =qa 3 /(24D) и w = qa4 [ x ( x ) 3 ( x ) 4 ] 24D a 2 +. (1.15a) a a При x=a/2 прогиб w максимален: max w =5qa 4 /(384D). Усилия в конструкции определяются формулами (1.10): M x = νd d2 w dx 2 = νqx(a x), M y = D d2 w 2 dx 2 = qx(a x), M xy = 0, 2 Q x = D d3 w dx 3 = q(a 2x), Q y = 0. 2 Нетрудно также, отталкиваясь от зависимости (1.15) и используя граничные условия типа (1.13), найти прогибы и усилия в плите, длинные кромки которой защемлены: w = qx2 (a x) 2 24D M y = q(a2 6ax+6x 2 ) 12, M x = νq(a2 6ax+6x 2 ) 12, Q x = q(a 2x) 2, M xy = 0,, Q y = 0. (1.16)

14 Глава Изгиб эллиптической плиты. Плита эллиптического контура, изображенная на рис. 1.11, защемлена по краям. Требуется найти усилия и перемещения в плите при действии равномерно распределенной нагрузки. Задача состоит в интегрировании уравнения (1.9) при граничных условиях типа (1.13): w S = 0, w/ n S = 0, (1.17) где символом S обозначен контур пластины, т. е. линия, описываемая уравнением 1 (x/a) 2 (y/b) 2 = 0. (1.18) Второе из ограничений (1.17) можно заменить условиями w/ x S = 0, w/ y S = 0, ибо если линейный элемент, выделенный около точки A контура S, не поворачивается относительно осей 0x и 0y, то не будет он поворачиваться и относительно нормали n к линии (1.18). Структуру функции w(x, y), доставляющей решение задачи, можно указать априори. И в самом деле (ср. со сказанным в п. II.7.3 относительно выбора функции напряжений для закручиваемого эллиптического сечения), ведь зависимость w(x, y) должна быть такой, чтобы четвертые производные от w(x, y) были постоянными иначе не удовлетворится уравнение (1.9), а сама функция w(x, y) и ее первые производные должны обращаться в нуль на линии (1.18). Всем этим требованиям удовлетворяет поверхность где C прогиб в середине плиты. Так как то w ( x = 2C 1 x2 a 2 y2 )( b 2 2x ) a 2, w = C (1 x2 a 2 y2 ) 2, (1.19) b 2 4 w x 4 = 24C a 4, 4 w y 4 = 24C b 4, и уравнение (1.9a) принимает вид: 2 w ( x 2 = 4C 1 3x2 a 2 y2 ) b 2 1 a 2, 4 w x 2 y 2 = 8C a 2 b 2 24C a C a 2 b C b 4 = q D.

15 304 Часть III Отсюда и из формулы (1.19) следует: w = q(a2 b 2 b 2 x 2 a 2 y 2 ) 2 8D(3a 4 + 2a 2 b 2 + 3b 4 ). (1.20) Для определения усилий надо воспользоваться соотношениями (1.10). Если в зависимости (1.20) перейти к пределу при b, то получится решение (1.16) для бесконечно длинной прямоугольной плиты, а если принять a=b=r, то функция w = q (R 2 x 2 y 2) 2 64D (1.20a) опишет прогибы защемленной по контуру круглой пластины радиусом R Изгиб прямоугольной плиты. Пусть плита, шарнирно опертая по всем четырем кромкам, несет синусоидальную нагрузку (рис. 1.12): q(x, y) = q 0 sin πx a Так как функция w(x, y) = w 0 sin πx a sin πy b. (1.21) sin πy b (1.22) удовлетворяет краевым условиям (1.14a) и подстановка зависимостей (1.21) и (1.22) в формулу (1.9a) приводит к равенству π 4 w ( 0 a 4 b 4 a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ) sin πx πy sin a b = q 0 πx πy sin sin D a b, определяющему прогиб w 0 в середине плиты, то решение получено: w(x, y) = q 0 a 4 b 4 sin πx πy sin a b. π 4 D(a 2 +b 2 ) 2 Очевидно, при воздействии q(x, y) = q mn sin nπx a mπy sin, m, n = 1,, 2,..., b прогибы плиты определяет зависимость

16 Глава w(x, y) = q mn sin nπx mπy sin a b π 4 D(n 2 /a 2 + m 2 /b 2 ) 2, а так как ограниченную функцию можно представить в форме двойного ряда Фурье по синусам, то решение задачи об изгибе шарнирно опертой прямоугольной плиты при произвольной нагрузке имеет вид: w(x, y) = 1 q mn sin nπx mπy sin a b π 4 D ( m=1 n=1 n 2 a 2 + m2 ). (1.23) 2 b 2 Постоянная величина q раскладывается в двойной ряд Фурье при нечетных m и n, а именно sin nπx q = 16q π 2 (m) (n) a mπy sin b mn, m, n = 1, 3, 5,..., поэтому в случае действия равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q прогибы плиты определяет функция w(x, y) = 16q sin nπx mπy sin a b π 6 D ( (m) (n) n 2 mn a 2 + m2 ), m, n = 1, 3, 5,... (1.23a) 2 b 2 Приведенное решение задачи принадлежит Навье. Ряд (1.23a) быстро сходится, что видно на примере вычисления максимального прогиба плиты квадратного плана. При a = b, x = y = a/2 формула (1.23a) дает max w = 4qa4 π 6 D α mn, m, n = 1, 3, 5,..., где α mn = (m) n (n) 4 ( 1) (m+n 2)/2 mn(n 2 +m 2 ) 2. (1.24) m Таблица ,9867 0, ,9867 0,9919 0, ,9889 0,9905 0,9919

17 306 Часть III Значения α mn для m, n = 1, 3, 5 приводятся в таблице 1.1. Глядя на эту таблицу, можно понять, почему при отбрасывании в сумме (1.24) всех слагаемых, кроме первого, погрешность не превышает 3% О классификации плит. Плиты, толщина h которых не выходит за пределы верхней границы неравенств (1.1), называются тонкими. Если к тому же напряженно-деформированное состояние тела таково, что выполняются все четыре гипотезы, сформулированные в п. 1.1, то конструкция относится к категории тонких жестких плит. Такие плиты имеют широкое распространение в строительстве. Нижняя грань неравенств (1.1) для тонких жестких плит условна. Она зависит от материала, способов закрепления пластины, внешнего воздействия. С уменьшением относительной толщины плиты увеличиваются ее прогибы и гипотеза 4 становится неприменимой. Для увеличения жесткости такой пластины ее края закрепляют от горизонтальных перемещений, что приводит к появлению так называемых цепных усилий. Последние порождают осевые и сдвиговые деформации срединной плоскости, а потому неправомерно использовать и третье из разобранных в п. 1.1 допущений. Плиты, для которых остаются справедливыми только две первые гипотезы Кирхгоффа, получили название тонких гибких плит. Гибкие плиты применяются в машиностроительных конструкциях. Теория тонких гибких плит была разработана в начале ХХ века немецким исследователем Т. Карманом, который пришел к следующей системе из двух разрешающих уравнений относительно двух искомых функций w(x, y) и F (x, y): [( 2 w F = E x y ( 2 F D w = q + h y 2 2 w x F x y ) 2 2 w x 2 2 w y 2 ], 2 w x y + 2 F 2 w ) x 2 y 2. (1.25) Через F здесь обозначена функция усилий, т. е. функция, при дифференцировании которой получаются продольные и сдвигающая силы: N x = h 2 F y 2, N y = h 2 F x 2, S xy = h 2 F x y. (1.26) Система уравнений (1.25) нелинейна. Если прогибы сравнительно невелики, то квадратами вторых производных в правой части первого из уравнений (1.25) пренебрегают, приводя это уравнение к виду F = 0. Отсюда функцию F можно найти независимо от прогибов, после чего из уравнения (1.25) 2 определяется перемещение w(x, y). И хотя описываемая задача проще исходной, решать ее в общем случае приходится численно. При F 0 цепные усилия отсутствуют и система (1.25) сводится к уравнению (1.9).

18 Глава Существует еще класс абсолютно гибких плит, так называемых мембран. В этих конструкциях возникают только цепные усилия. Уравнения состояния мембраны вытекают из соотношений (1.25) при D = 0. Если сдвиги отсутствуют, а натяжение во всех направлениях одинаково (мыльная пленка), то, согласно формулам (1.26), 2 F x y = 0, 2 F y 2 = 2 F x 2 N h и второе уравнение (1.25) упрощается: 2 w x w y 2 = q N. Именно это уравнение было получено в п. II.7.5 при описании мембранной аналогии в задаче свободного кручения брусьев. Уравнения Кармана необходимы при анализе устойчивости любых тонких плит, в том числе и жестких. Кроме того, только с их помощью можно с полной определенностью установить, к какому классу пластин относится рассматриваемая конструкция. Что же касается толстых плит (h > 0, 2L), то для описания их состояния используются различные технические теории, построенные на разных предположениях о характере деформирования тела. Здесь такие теории не рассматриваются.

19 ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК 2.1. Геометрия оболочек и основные допущения о характере их деформирования. Оболочка это тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние h между которыми мало по сравнению с другими размерами тела. Здесь рассматриваются оболочки постоянной толщины h, выполненные из линейно-упругого материала. Поверхность, делящая толщину h пополам, называется срединной поверхностью оболочки. Геометрия оболочки это геометрия ее срединной поверхности. Через каждую точку произвольной поверхности Ω можно провести множество линий α i, ей принадлежащих (см. рис. 2.1, на котором изображена малая окрестность точки C). Если поверхность гладкая, то все касательные к линиям α в точке C находятся в одной плоскости T, называемой касательной плоскостью к поверхности. Нормаль n к плоскости T вточкеc есть также нормаль к поверхности Ω в этой точке. Любая плоскость, содержащая нормаль n, пересекает поверхность Ω по кривой, центр кривизны которой находится на прямой n. Как раз такие кривые и показаны на рис Радиусы R i кривизн различных кривых α i вточкеc различны. Из теории поверхностей известно, что среди множества линий α i, проходящих через точку C и принадлежащих нормальным сечениям поверхности Ω, имеются две линии α 1 и α 2, обладающие следующими свойствами: a) кривыеα 1 и α 2 ортогональны друг к другу; b) радиусы R 1 и R 2 кривизн линий α 1 и α 2 являются наибольшим и наименьшим (соответственно) на множестве радиусов R i линий α i. Плоскости, содержащие линии α 1 и α 2, называются главными нормальными сечениями поверхности, а радиусы R 1 и R 2 главными радиусами кривизны в точке C. Обратные к радиусам R 1 и R 2 величины κ 1 =1/R 1, κ 2 =1/R 2 суть главные кривизны поверхности. Гауссовой кривизной поверхности в точке C называют произведение κ = κ 1 κ 2.

20 Глава Если κ>0, то говорят, что поверхность в точке C имеет положительную гауссову кривизну, или просто положительную кривизну. Кривизна поверхности в точке C считается отрицательной при κ<0 и нулевой при κ =0. К поверхностям, кривизна которых всюду положительна, относятся сфера, параболоид вращения, некоторые другие поверхности (см. рис. 2.2a). Всюду отрицательна гауссова кривизна у гиперболоида вращения и седлообразной поверхности (рис. 2.2b). В любой точке конической, цилиндрической или складчатой поверхности кривизна равна нулю (рис. 2.2c). На торе (рис. 2.2d) представлены области всех трех типов. На линиях L 1, L 2 гауссова кривизна нулевая, на внешней по отношению к оси z z части тора положительная, а на внутренней отрицательная. Положение точки на поверхности удобно фиксировать в криволинейной системе координат, в частности, в системе, образованной линиями α 1 и α 2. Такой базис называют главным. Метрика поверхности в этом ортогональном базисе, т. е. правило, по которому измеряется расстояние между двумя точками на поверхности, устанавливается следующим образом. С точностью до величин второго порядка малости можно считать, что длины хорд ds 1 и ds 2 (рис. 2.3) пропорциональны длинам dα 1 и dα 2 их дуг: ds 1 = A 1 dα 1, ds 2 = A 2 dα 2. (2.1) Коэффициенты пропорциональности A 1 и A 2, называемые также коэффициентами Ламе поверхности, определяются формой последней. Очевидное соотношение ds 2 =(ds 1 ) 2 +(ds 2 ) 2 с учетом равенств (2.1)

21 310 Часть III может быть преставлено в виде: ds 2 = A 2 1(dα 1 ) 2 + A 2 2(dα 2 ) 2. Пусть (рис. 2.4) поверхность, образованная вращением гладкой кривой относительно оси 0z, отнесена к цилиндрической системе координат r, θ, z. Так как ds 1 = rdθ, ds 2 = 1+(dr/dz) 2 dz, то, согласно формулам (2.1), A 1 = r, A 2 = 1+(dr/dz) 2. Приведенных выше сведений о геометрии поверхностей достаточно, чтобы перейти к построению так называемой технической теории деформирования тонких жестких оболочек. Этот термин свидетельствует о том, что в классификации плит и оболочек есть много общего. В частности, к тонким оболочкам относят конструкции, для которых R 2 /30 >h>r 2 /1000 (предполагается, что R 2 <R 1 ). Данному диапазону толщин отвечают жесткие, гибкие и абсолютно гибкие оболочки. Грань между этими типами оболочек условна. Многое зависит от того, с какой точностью допустимо находить напряжения и перемещения в теле. Тонкой жесткой оболочкой считается конструкция, при анализе напряженно-деформированного состояния которой можно опереться на следующие допущения. 1) Гипотеза прямой нормали: прямолинейный элемент, ортогональный к срединной поверхности, при деформировании оболочки не искривляется, не удлиняется, а лишь поворачивается, оставаясь ортогональным к названной поверхности. 2) Гипотеза оботсутствии взаимодействия между слоями оболочки: нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями на площадках, ортогональных к ней. 3) Перемещения точек тела оболочки малы. Допущение же о недеформируемости срединной поверхности оболочки принимать нельзя (ср. с гипотезой 3 п. 1.1). В этом отношении оболочка так же отличается от плиты, как арка от балки. И арка, и оболочка распорные конструкции, и в них обязательно присутствуют цепные усилия. Более того, нетрудно указать силовое воздействие, которое в арке (см. п. II.5.5) или в оболочке вообще не вызовет изгиба, тогда как представить себе реальную нагрузку, не приводящую к продольным силам в указанных конструкциях, сложно. Поэтому жесткие и гибкие оболочки отличают друг от друга не

22 Глава по наличию цепных усилий таковые имеются в обеих конструкциях, а по характеру деформирования. Для гибких оболочек гипотезу о малости перемещений принимать нельзя и задачу приходится решать в геометрически нелинейной постановке. К абсолютно гибким оболочкам относятся конструкции, в которых невозможны деформации изгиба и кручения. Ниже изучаются только жесткие оболочки Уравнения равновесия. На рис. 2.5a изображен малый элемент, выделенный из оболочки главными нормальными сечениями. Внутренние силы взаимодействия, заменяющие влияние отброшенных частей тела, порождают напряжения, показанные на этом же рисунке. Ось a 3 локальной системы координат направлена по нормали n к срединной поверхности оболочки. Длина волокна CC (рис. 2.5b), принадлежащего слою, который находится на расстоянии a 3 от срединной поверхности, выражается через длину dα i дуги координатной линии следующим образом: CC =(R i +a 3 )dϕ=(1+a 3 /R i )R i dϕ или CC = ( 1+ a 3 R i ) dα i, i=1, 2. (2.2) С помощью этой формулы можно установить связь между напряжениями и усилиями. Последние относят к единице длины срединной поверхности оболочки по линии α i. Усилия показаны на рис. 2.5c, d. Какивкривом брусе, изгибающие моменты считаются положительными, если они приводят к увеличению кривизн κ 1 и κ 2. По определению (df =CC da 3 ), N 1 = 1 dα 2 h/2 h/2 σ 1 df = 1 dα 2 h/2 h/2 σ 1 CC da 3 = h/2 h/2 σ 1 ( 1+ a 3 M 21 = 1 h/2 h/2 ( τ dα 21 a 3 df = τ 21 a 3 1+ a ) 3 da 1 R 3. 1 h/2 h/2 ) da R 3, 2

23 312 Часть III Таким образом, N 1 = Q 1 = T 12 = M 1 = M 12 = h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 σ 1 ( 1+ a 3 τ 13 ( 1+ a 3 τ 12 ( 1+ a 3 σ 1 a 3 ( 1+ a 3 τ 12 a 3 ( 1+ a 3 ) da R 3, N 2 = 2 ) da R 3, Q 2 = 2 ) da R 3, T 21 = 2 ) da R 3, M 2 = 2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 ) da R 3, M 21 = 2 h/2 h/2 σ 2 ( 1+ a 3 τ 23 ( 1+ a 3 τ 21 ( 1+ a 3 ) da R 3 1 ) da R 3, 1 ) da R 3, 1 σ 2 a 3 ( 1+ a 3 h/2 ) da R 3, 1 τ 21 a 3 ( 1+ a 3 ) da R 3. 1 По этим формулам и нужно вычислять усилия в оболочках, имеющих большие кривизны (или малые радиусы R 1 и R 2 ). Но если R i 30h, что характерно для оболочек, используемых в строительных конструкциях, то a 3 /R i 1/60. Такой величиной по сравнению с единицей допустимо пренебречь и тем самым упростить формулы для усилий. Кроме того, при a 3 /R i 0 справедливы равенства T 12 = T 21 T, M 12 = M 21 M, обусловленные законом парности касательных напряжений. Итак, N 1 = Q 2 = h/2 h/2 h/2 h/2 σ 1 da 3, N 2 = τ 23 da 3, T = M 2 = h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 a 3 σ 2 da 3, M = σ 2 da 3, Q 1 = τ 12 da 3, M 1 = h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 a 3 τ 12 da 3. τ 13 da 3, a 3 σ 1 da 3, (2.3) Условия равновесия оболочки составляются для усилий. Как и в плитах, объемные силы присоединяют к поверхностной нагрузке q 1, q 2, q 3. Рассматриваемый элемент срединной поверхности изображен на рис Оси a 1

24 Глава и a 2 декартовой системы координат касаются линий α 1 и α 2 в точке 0. Согласно формулам (2.1), 0a = ds 1 = A 1 dα 1, cb=ds 1 +d(ds 1 )=A 1 dα 1 + (A 1 dα 1 ) ( dα α 2 = A 1 + A ) 1 dα 2 α 2 dα 1. 2 Аналогично записываются формулы для длин отрезков 0c и ab. Итак, ( 0a=A 1 dα 1, 0c=A 2 dα 2, cb= A 1 + A ) ( 1 dα α 2 dα 1, ab= A 2 + A ) 2 dα 2 α 1 dα 2. 1 (2.4) Подготовительная работа завершена, и можно приступить к составлению условий равновесия элемента оболочки, проецируя приложенные к нему силы на оси a i (i =1, 2, 3) и беря моменты всех нагрузок относительно осей, которые получаются при параллельном переносе репера a i в центр элемента. Выкладки, связанные с выводом уравнений равновесия, довольно громоздки, поэтому их проводят в несколько этапов. a) Проекции на ось a 1 сил N 1 и T 21.Нарис.2.7 показан вид на элемент 0abc сверху. С точностью до бесконечно малых высшего порядка можно считать, что cos ϕ 1 =1, cos ϕ 2 =1, а потому (см. также формулы (2.4)) Пр(N 1 )= N 1 0c +(N 1 + dn 1 ) ab = N 1 (ab 0c)+ N ( 1 dα α 1 dα 2 A A 2 α 1 dα 1 ) = N 1 A 2 α 1 dα 1 dα 2 + N 1 α 1 A 2 dα 1 dα 2 + N 1 α 1 A 2 α 1 (dα 1 ) 2 dα 2. Последнее слагаемое мало, и в дальнейшем его можно не учитывать. Аналогично вычисляются проекции на ось a 1 касательных сил T 21 T и T 21 +dt 21. Таким образом, Пр(N 1 )= (N 1A 2 ) α 1 dα 1 dα 2, Пр(T 21 )= (TA 1) α 2 dα 1 dα 2. ( ) b) Проекции на ось a 1 сил N 2 и T 12 (рис. 2.8). Так как sin ϕ 1 ϕ 1 tgϕ 1 =(cb 0a)/0c, то (см. формулы (2.4)) ϕ 1 = [A 1 +( A 1 / α 2 ) dα 2 ] dα 1 A 1 dα 1 A 2 dα 2 = A 1 α 2 dα 1 A 2.

25 314 Часть III Подобным же образом выражается через параметры A 1 и A 2 угол ϕ 2.Следовательно, ϕ 1 = A 1 dα 1, ϕ α 2 A 2 = A 2 dα 2. (2.5) 2 α 1 A 1 Дальнейшее просто. Пр(N 2 )= (N 2 +dn 2 )cb sin ϕ 2 = (N 2 +dn 2 )[A 1 +( A 1 / α 2 )dα 2 ]ϕ 2 dα 1. Подчеркнутые члены, как имеющие высший порядок малости, отбрасываются. Тогда (см. вторую из формул (2.5)) Пр(N 2 )= A 1 N 2 dα 1 A 2 dα 2 A 2 = N 2 dα α 1 A 1 α 1 dα 2. 1 Проекции сил T 12 и T 12 +dt 12 на ось a 1 находят аналогично: Пр(N 2 )= N 2 A 2 α 1 dα 1 dα 2, Пр(T 12 )=T A 1 α 2 dα 1 dα 2. ( ) c) Проекции на ось a 1 сил Q 1 и Q 2. На рис. 2.9 изображен профиль элемента при взгляде со стороны оси a 2. Так как sin ϕ ϕ tgϕ =0a/R 1 = = A 1 dα 1 /R 1,то Пр(Q 1 )=(Q 1 +dq 1 )[A 2 +( A 2 / α 1 )dα 1 ] dα 2 sin ϕ=q 1 A 2 dα 2 (A 1 dα 1 /R 1 ), Пр(Q 2 )=[ Q 2 0a+(Q 2 +dq 2 )cb]sin(ϕ/2)= =[ Q 2 0a+Q 2 (0a+d(0a))](ϕ/2) 0. Следовательно, Пр(Q 1 )= 1 R 1 Q 1 A 1 A 2 dα 1 dα 2, Пр(Q 2 )=0. ( ) d) Проекции на ось a 1 поверхностной нагрузки. Очевидно, Пр(q) q 1 0a 0c = q 1 A 1 A 2 dα 1 dα 2. ( )

26 Глава Остается сложить правые части всех равенств, входящих в четыре формулы ( * ), и приравнять полученную сумму к нулю. Аналогично составляются уравнения a 2 =0, a 3 =0 и еще три уравнения моментов. Выкладки, связанные с выводом указанных уравнений, опускаются. Но прежде, чем привести окончательный результат, следует отметить, что из-за равенств T 12 = T 21 и M 12 = M 21 сумма моментов всех нагрузок, приложенных к элементу, относительно оси a 3 обращается в нуль тождественно. (Ось a 3 проходит через центр элемента и направлена по нормали к его поверхности.) Стало быть, нетривиальных условий равновесия у оболочки будет только пять. Вот эти уравнения: (N 1 A 2 ) + (TA 1) A 2 N 2 + T A ( 1 Q1 ) + A 1 A 2 + q α 1 α 2 α 1 α 2 R 1 =0, 1 (N 2 A 1 ) + (TA 2) A 1 N 1 + T A ( 2 Q2 ) + A 1 A 2 + q α 2 α 1 α 2 α 1 R 2 =0, 2 (Q 1 A 2 ) + (Q 2A 1 ) ( N1 A 1 A 2 + N ) 2 q α 1 α 2 R 1 R 3 =0, 2 (MA 2 ) + (M 2A 1 ) A 1 M 1 + M A 2 A 1 A 2 Q 2 =0, α 1 α 2 α 2 α 1 (MA 1 ) + (M 1A 2 ) A 2 M 2 + M A 1 A 1 A 2 Q 1 =0. α 2 α 1 α 1 α 2 (2.6) Условия равновесия (2.6) содержат восемь усилий, так что задача о напряженном состоянии оболочки статически неопределима Геометрические уравнения. В этом пункте речь пойдет об условиях совместности перемещений и деформаций в окрестности произвольной точки тела. Но сначала потребуется установить зависимости между деформациями ε 1, ε 2, γ и перемещениями u 1, u 2, u 3 для точек срединной поверхности оболочки. a) Деформации элемента, связанные с перемещениями точек 0 и a вдоль оси a 1 (рис. 2.10). По определению, ε 1 (u 1 )= (u 1 + du 1 ) u 1 = du 1 0a 0a, γ a(u 1 )= v 0a. Сдвиг γ a (u 1 ) взят отрицательным потому, что при перемещении u 1 + du 1 первоначально прямой угол c0a становится тупым. Так как (см. также формулы (2.4) и (2.5)) du 1 = u 1 α 1 dα 1, v =(u 1 + du 1 )sinϕ 1 u 1 A 1 α 2 dα 1 A 2,

27 316 Часть III то ε 1 (u) = 1 A 1 u 1 α 1, γ a (u 1 )= u 1 A 1 A 2 A 1 α 2. (a) b) Деформации элемента, связанные с перемещениями точек 0 и a вдоль оси a 2 (рис. 2.11). При таких перемещениях ε 1 (u 2 )= v 0a, γ a(u 2 )= (u 2 +du 2 ) u 2, 0a v =(u 2 +du 2 )sinϕ 1, du 2 = u 2 α 1 dα 1. Использование равенств (2.4) и (2.5) дает: ε 1 (u 2 )= u 2 A 1 A 2 A 1 α 2, γ a (u 2 )= 1 A 1 u 2 α 1. (b) c) Сдвиги элемента при перемещении точки c. Из сказанного при выводе формул (a) и(b) ясно, что к изменению угла c0a приводят также и перемещения u 1 + du 1, u 2 + du 2 вершины c рассматриваемого элемента. Соответствующие этим перемещениям сдвиги γ c (u 1 ) и γ c (u 2 ) можно записать, опираясь на равенства (a), (b) и правило круговой подстановки индексов: γ c (u 2 )= u 2 A 1 A 2 A 2 α 1, γ c (u 1 )= 1 A 2 u 1 α 2. (c) d) Деформация ε 1 (u 3 ). Так как (см. рис. 2.12) u =(u 3 + du 3 )sinϕ u 3 ϕ = u 3 (0a/R 1 ), то ε 1 (u 3 )=u/0a=u 3 /R 1. На сдвиг элемента смещение u 3 не влияет. Итак, ε 1 (u 3 )=u 3 /R 1. (d) Полные деформации ε 1 и γ получаются при соответствующем наложении деформаций (a) (d). Затем по выражению для удлинения ε 1 записывается аналогичная зависимость величины ε 2 от перемещений u 1, u 2, u 3.При оформлении окончательных результатов следует воспользоваться тем, что γ a (u 1 )+γ c (u 1 )= u 1 A 1 A 2 A 1 α A 2 u 1 α 2 = A 1 A 2 (u 1 /A 1 ) α 2.

28 Глава Таким образом, ε 1 = 1 A 1 u 1 α 1 + u 2 A 1 A 2 A 1 α 2 + u 3 R 1, ε 2 = 1 A 2 u 2 α 2 + u 1 A 1 A 2 A 2 α 1 + u 3 R 2, γ = A 1 A 2 (u 1 /A 1 ) α 2 + A 2 A 1 (u 2 /A 2 ) α 1. (2.7) Пусть теперь точка 0 находится на удалении a 3 от срединного слоя, т. е. принадлежит некоторой поверхности Ω, эквидистантной срединной поверхности оболочки. Для вычисления деформаций ε 1, ε 2 и γ элемента поверхности Ω можно использовать формулы (2.7), если заменить в них радиусы кривизны R 1, R 2 радиусами R1, R 2, коэффициенты Ламе A 1, A 2 коэффициентами A 1, A 2, а перемещения u i точек срединного слоя перемещениями u i точек, принадлежащих слою Ω. Наиболее проста замена радиусов R i, ибо совершенно очевидно, что R 1 = R 1 + a 3, R 2 = R 2 + a 3. (2.8) Не многим сложнее переход от величин A 1, A 2 к метрическим коэффициентам A 1, A 2 поверхности Ω. По определению (см. формулы (2.1), (2.2) и рис. 2.5b): ds i = A i CC = A i (1 + a 3 /R i ) dα i или ds i = A i dα i. Значит, A 1 = A 1 (1 + a 3 /R 1 ), A 2 = A 2 (1 + a 3 /R 2 ). (2.9) Замену перемещений u i на перемещения u i целесообразно произвести за несколько шагов. Пусть точки k, k находятся на одной нормали к срединной поверхности оболочки и их перемещения суть величины u i, u i соответственно. Точка k принадлежит срединной поверхности, а точка k отстоит от нее на расстоянии a 3. Тогда из сформулированных в п. 2.1 гипотез следует, что u 1 = u 1 + θ 1 a 3, u 2 = u 2 + θ 2 a 3, u 3 = u 3, (2.10) где θ 1, θ 2 углы поворота нормали n в плоскостях 0a 1 a 3 и 0a 2 a 3 соответственно. По существу, формулы (2.10) подобны формулам (1.2) и равенству w(x, y, z)=w(x, y, 0), связывающим перемещения произвольной точки плиты

29 318 Часть III с перемещениями точки срединной плоскости. Правда, равенства (1.2) не содержат слагаемых типа u 1 и u 2, но в жестких плитах, в отличие от жестких оболочек, нет и мембранных усилий. Чтобы можно было воспользоваться формулами (2.10), надо выразить углы поворота θ 1 и θ 2 через перемещения u 1, u 2, u 3 точки 0. e) Поворот нормали n в плоскости 0a 1 a 3 при перемещении точек 0 и a вдоль оси a 1 (рис. 2.13). Искомый угол поворота нормали складывается из суммы двух углов: θ 1 (u 1 ) и θ 1 (du 1 ). Но, как видно из рис. 2.13b, перемещение du 1 приводит к пренебрежимо малому повороту дуги oa и, стало быть, нормали n. Поэтому (см. рис. 2.13a) θ 1 (u 1 )=u 1 /R 1. (e) f) Поворот нормали n в плоскости 0a 1 a 3 при перемещении точек 0 и a вдоль оси a 3. Согласно рис. 2.14, θ 1 (u 3 )= (u 3 + du 3 ) u 3 0a = du 3 A 1 dα 1 = ( u 3 / α 1 )dα 1 A 1 dα 1 θ 1 (u 3 )= 1 u 3. A 1 α 1 (f) Правило знаков для угла θ 1 проясняют рис и рис Перемещение u 2 на угол θ 1 поворота нормали не влияет, так что θ 1 =θ 1 (u 1 )+θ 1 (u 3 ).Формуладляуглаθ 2 получается по правилу круговой подстановки индексов. Итак (см. равенства (e) и(f)), и θ 1 = u 1 R 1 1 A 1 u 3 α 1, θ 2 = u 2 R 2 1 A 2 u 3 α 2 (2.11) ( u u1 1 =u 1 +a 3 1 u ) ( 3, u u2 2 =u R 1 A 1 α 2 +a 3 1 u ) 3, u 3 =u 1 R 2 A 2 α 3. (2.10a) 2 Остается в формулах (2.7) сделать замену функций, о которой говорилось сразу же после их написания. Преобразование равенств (2.7) с учетом

30 Глава зависимостей (2.8), (2.9) и (2.10a) не так уж и многодельно, но все же здесь оно не приводится. Даются лишь получаемые после упрощений окончательные выражения для деформаций в слое Ω : ε 1 = ε 1 + a 3 κ 1, ε 2 = ε 2 + a 3 κ 2, γ = γ + a 3 χ, (2.12) где κ 1 = 1 A 1 κ 2 = 1 A 2 2χ= A 2 A 1 ( u1 1 u ) ( u2 1 u ) 3 A1, α 1 R 1 A 1 α 1 A 1 A 2 R 2 A 2 α 2 α 2 ( u2 1 u ) ( u1 1 u ) 3 A2, α 2 R 2 A 2 α 2 A 1 A 2 R 1 A 1 α 1 α 1 α 1 [ 1 A 2 ( u2 R 2 1 A 2 u 3 α 2 )] + A 1 A 2 α 2 [ 1 A 1 ( u1 R 1 1 A 1 u 3 α 1 )]. (2.13) Функции κ 1 (α 1,α 2 ), κ 2 (α 1,α 2 ) представляют собой изменения кривизн срединной поверхности оболочки (см. рис. 2.15a), обусловленные деформацией изгиба, а функция χ(α 1,α 2 ) изменение кручения данной поверхности. Под кручением поверхности понимается предел, к которому при стягивании элемента к точке стремится угол взаимного закручивания двух противоположных краев элемента, отнесенный к расстоянию между ними (см. рис. 2.15b). Равенства (2.7), (2.13) образуют геометрические соотношения оболочки, связывающие перемещения u 1, u 2, u 3 точки срединной поверхности с деформациями ε 1, ε 2, γ, κ 1, κ 2, χ окрестности этой точки. Данные уравнения играют в теории оболочек ту же роль, что и уравнения Коши (I.5.7) в теории упругости. И так же, как и они, система (2.7), (2.13) позволяет по известным перемещениям найти все шесть деформаций, тогда как обратная задача

31 320 Часть III по шести функциям деформаций определить перемещения u 1, u 2, u 3 решения не имеет. Поэтому наряду с обсуждаемыми соотношениями необходимо иметь уравнения совместности деформаций, т. е. уравнения типа условий сплошности (I.5.9). В теории оболочек используются три условия совместности деформаций, которые приводятся без вывода: (κ 2 A 2 ) α 1 (χa 1 ) α 2 χ A 1 α 2 κ 1 A 2 α [ A ε 2 R 1 (ε 2 A 2 ) + (γa 1 ) + γ R 1 A ] 1 =0, 1 α 1 α 1 α 2 R 2 α 2 (κ 1 A 1 ) (χa 2 ) χ A 2 A κ 1 α 2 α 1 α α [ A ε 1 R 2 (ε 1 A 1 ) + (γa 2 ) + γ R 2 A ] 2 =0, 2 α 2 α 2 α 1 R 1 α 1 κ 2 + κ 1 1 { [ 1 ( 1 (γa 1 ) (ε 2 A 2 ) + γ R 1 R 2 A 1 A 2 α 1 A 1 2 α 2 α 1 2 A )] +ε [ 1 ( 1 (γa 2 ) (ε 1 A 1 ) + γ α 1 α 2 A 2 2 α 1 α 2 2 A 1 α 2 + A 2 α 1 +ε 2 A 1 α 2 )]} =0. Все входящие сюда функции зависят только от координат α 1 и α 2. (2.14) 2.4. Физические уравнения. Согласно гипотезе прямой нормали, ε 3 = =0, а потому между напряжениями σ 1, σ 2, τ 12 =τ 21 =τ и деформациями ε 1, ε 2, γ существует такая же связь, что ивплитах: σ 1 = E 1 ν 2 (ε 1 + νε 2), σ 2 = E 1 ν 2 (ε 2 + νε 1), τ = С учетом формул (2.12) отсюда, в частности, следует: σ 1 = E 2(1+ν) γ. E 1 ν 2 [ ε 1 + νε 2 + a 3 (κ 1 + νκ 2 )]. (2.15) Теперь при помощи формул (2.3) можно найти усилия N 1 и M 1. При дальнейших вычислениях учитывается, что деформации ε 1, ε 2, κ 1 и κ 2 от координаты a 3 не зависят, а интегралы a 3 da 3, a 2 3 da 3,взятыепотолщине оболочки h, представляют собой соответственно статический момент S и момент инерции I прямоугольника шириной в единицу относительно центральной оси. Так как для такого сечения S =0, I =h 3 /12, то

32 Глава N 1 = E 1 ν 2 M 1 = E 1 ν 2 h/2 h/2 h/2 h/2 [(ε 1 + νε 2 )+a 3 (κ 1 + νκ 2 )] da 3 = [a 3 (ε 1 + νε 2 )+a 2 3(κ 1 + νκ 2 )]da 3 = Eh 1 ν 2 (ε 1 + νε 2 ), Eh 3 12(1 ν 2 ) (κ 1 + νκ 2 ). Аналогично вычисляются остальные усилия. Таким образом, N 1 = Eh 1 ν 2 (ε 1+νε 2 ), N 2 = Eh 1 ν 2 (ε 2+νε 1 ), T = Eh 2(1+ν) γ, M 1 = D(κ 1 + νκ 2 ), M 2 = D(κ 2 + νκ 1 ), M =(1 ν)dχ. (2.16) Через D обозначена цилиндрическая жесткость (1.8). Формулы (2.16) не содержат соотношений, связывающих поперечные силы со сдвигами. Это и понятно: согласно гипотезе прямой нормали, γ 13 = γ 23 =0, а потому связь между величинами Q 1, Q 2 и γ 13, γ 23 невозможна. Подобная картина наблюдалась также при построении технических теорий изгиба брусьев и пластин. Поперечные силы находят из двух последних условий равновесия (2.6) уже после того, как будут установлены крутящий и изгибающие моменты. Из формул (2.16), в частности, следует (ведь F = h 1): N 1 F = E 1 ν 2 ( ε 1 + νε 2 ), Стало быть (см. равенство (2.15)), M 1 I = E 1 ν 2 ( κ 1 + νκ 2 ). σ 1 = N 1 F + M 1 I a 3. Точно так же можно связать с усилиями и все остальные компоненты тензора напряжений. Если отождествить координату a 3 спеременнойz, получаются уже знакомые по теории изгиба брусьев и плит зависимости (i=1, 2): σ i = N i F + M i I z, τ = T F + M I z, τ i3 = Q is отс. I Эти равенства дают ответ на вопрос, почему задача о напряженном состоянии оболочки считается решенной, как только будут найдены все усилия.

33 322 Часть III 2.5. Полная система уравнений оболочки и способы ее решения. Полная система уравнений оболочки состоит из пяти условий равновесия (2.6), шести геометрических соотношений (2.7), (2.13) и шести физических уравнений (2.16), т. е. всего из 17 равенств. Неизвестными являются: усилия N 1, N 2, T, Q 1, Q 2, M, M 1, M 2 ; деформации ε 1, ε 2, γ, κ 1, κ 2, χ; перемещения u 1, u 2, u 3, т. е. 17 функций координат α 1 и α 2. Таким образом, полная система уравнений краевой задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки является замкнутой. Эта система должна быть проинтегрирована с учетом граничных условий, определяемых способами закрепления оболочки. Наиболее просто формулируются граничные условия в случае, когда края оболочки принадлежат главным нормальным сечениям срединной поверхности. Краевые условия, как известно, могут быть кинематическими, статическими и смешанными. a) Кинематические граничные условия. Если край оболочки защемлен по линии α 1, то в точках этой линии, т. е. при α 2 = const, должны отсутствовать как линейные перемещения u 1, u 2, u 3, так и угол поворота θ 2. Таким образом, здесь формулируются четыре граничных условия. b) Статические граничные условия. На незакрепленном и ненагруженном крае оболочки отсутствуют все пять компонент усилий. При учете данного обстоятельства необходимо иметь в виду, что усилия M, Q i и T связаны между собой. Эту связь можно установить точно так же, как были установлены зависимости (1.12) между усилиями в плитах. Другими словами, потребуется записать условия равновесия элемента, выделенного из тела оболочки четырьмя нормальными сечениями, содержащими линии α 1 и α 2. Получающиеся в результате соотношения между усилиями в оболочке приводятся здесь без вывода: V 1 = Q A 2 M α 2, V 2 = Q A 1 M α 1, W 1 = T + M R 2, W 2 = T + M R 1. В частности, на свободном крае α 2 = const должны выполняться четыре условия: N 2 =0, M 2 =0, T + M R 1 =0, Q A 1 M α 1 =0. c) Смешанные граничные условия. Если край оболочки не является защемленным или свободным, то граничные условия на нем будут смешанными. Примеры формулировки смешанных краевых условий приведены на

34 Глава рис Из рисунка видно, что и здесь дело сводится к записи некоторых четырех соотношений. Решать полную систему уравнений оболочки можно в усилиях, перемещениях или смешанным способом. При решении в усилиях в качестве основных неизвестных выбираются функции N 1, N 2, T, M 1, M 2 и M, зависящие от аргументов α 1 и α 2. Шесть уравнений, связывающих между собой названные усилия, получают следующим образом. Сначала из условий равновесия (2.6) при помощи формул (2.6) 4 и (2.6) 5 исключают поперечные силы и к трем оставшимся равенствам добавляют три соотношения (2.14), предварительно заменив в них деформации на усилия при помощи закона Гука (2.16). После упрощающих преобразований получаются соотношения, аналогом которым являются уравнения Бельтрами Мичелла (I.7.2). Приводить разрешающие уравнения задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки ни в усилиях, ни в какой-либо иной форме необходимости нет: такие уравнения в настоящем пособии использоваться не будут. Однако иметь представление о том, как разрешающие уравнения могут быть выведены, полезно. Это относится и к уравнениям в перемещениях. Основные неизвестные u 1, u 2 и u 3 находят из тех трех условий равновесия (2.6), которые остаются после исключения поперечных сил. Но сперва в них по закону Гука (2.16) усилия заменяются на деформации, каковые и переводятся в перемещения при помощи формул (2.13). Если же оболочка рассчитывается смешанным методом, то в роли основных неизвестных выступают частично усилия и частично перемещения. Выбор основных неизвестных неоднозначен, ивзависимости от него система разрешающих уравнений имеет тот или иной вид.

35 ГЛАВА 3. ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК 3.1. Введение. Многие оболочки обладают свойствами, учет которых позволяет заметно упростить расчет этих конструкций. В качестве одного из примеров можно привести оболочки вращения (см. рис. 2.4), статические и кинематические уравнения которых из-за осевой симметрии конструкции имеют более простую, чем в общем случае, форму. Наделены индивидуальными качествами и так называемые пологие оболочки. При описании их геометрии пользуются евклидовой метрикой на плоскости, полагая, что ds 2 = dx 2 +dy 2,т.е.чтоA 1 = A 2 =1. Особый интерес представляют безмоментные оболочки. В п. II.5.5 было введено понятие рациональной арки как конструкции, в которой при данном воздействии отсутствует деформация изгиба. При другом воздействии та же арка уже не будет безмоментной. Но ось арки это всего лишь одна искривленная линия, тогда как срединная поверхность оболочки состоит из бесчисленного множества различным образом искривленных линий, образующих единое целое. Поэтому зачастую обеспечить безмоментное состояние одной и той же оболочки удается при самых разных нагружениях. Оболочку называют безмоментной, если в ней нет деформаций изгиба и кручения. Естественно считать состояние оболочки безмоментным и в том случае, когда усилия M 1, M 2, M, Q 1 и Q 2 приводят к напряжениям, пренебрежимо малым по сравнению с напряжениями от усилий N 1, N 2 и T. Исследования показывают, что состояние оболочки может рассматриваться как безмоментное, если выполняются нижеперечисленные условия. 1. Срединная поверхность оболочки гладкая и односвязная. 2. Нагрузка на оболочку меняется плавно и непрерывно. 3. Края оболочки могут беспрепятственно перемещаться в направлении нормали к срединной поверхности. 4. Нагрузка на краю оболочки расположена в касательной к срединной поверхности плоскости. На первый взгляд, эти ограничения столь жестки, что класс безмоментных оболочек должен быть весьма узким. Особенно обременительными выглядят требования 3 и 4.Но во многих случаях нарушение этих требований приводит лишь к появлению у границ оболочки зон локальных деформаций, т. е. к возникновению изгиба и кручения только в непосредственной близости от опор. Такое явление называют краевым эффектом. При разделении напряженно-деформированного состояния оболочек на общее и краевой эффект их расчет упрощается.

36 Глава Из сказанного становится ясной необходимость в построении индивидуальных теорий, с помощью которых напряженно-деформированное состояние каждого конкретного класса оболочек описывается наиболее просто. Имеется еще одна причина, заставляющая обращаться к частным теориям оболочек. Дело в том, что найти усилия и перемещения в оболочке произвольного вида можно лишь численно. Анализ результатов расчета, установленных численными методами, при первом знакомстве с предметом малоэффективен. Путь же к аналитическим решениям задачи открывают частные теории Уравнения состояния безмоментных оболочек. При отсутствии всех трех моментов и обеих поперечных сил из пяти условий равновесия (2.6) нетривиальными остаются только три первых уравнения: (N 1 A 2 ) + (TA 1 ) A N 2 α 1 α 2 + T A 1 + A 2 α 1 α 1 A 2 q 1 =0, 2 (N 2 A 1 ) + (TA 2) A N 1 α 1 α 1 + T A 2 + A 1 α 2 α 1 A 2 q 2 =0, 1 (3.1) N 1 R 1 + N 2 R 2 = q 3. Эти три уравнения содержат три неизвестных усилия: N 1, N 2, T. Стало быть, безмоментное состояние оболочки статически определимо. После решения системы (3.1) можно найти деформации ε 1, ε 2 и γ, для чего потребуются физические соотношения (2.16). Последние сводятся к трем равенствам: N 1 = Eh 1 ν 2 (ε 1 + νε 2 ), N 2 = Eh 1 ν 2 (ε 2 + νε 1 ), T = Eh γ. (3.2) 2(1+ν) Геометрические уравнения также состоят из трех зависимостей (см. формулы (2.7)): 1 u 1 + u 2 A 1 + u 3 = ε A 1 α 1 A 1 A 2 α 2 R 1, 1 1 u 2 + u 1 A 2 + u 3 = ε A 2 α 2 A 1 A 2 α 1 R 2, 2 A 1 (u 1 /A 1 ) + A 2 (u 2 /A 2 ) = γ. A 2 α 2 A 1 α 1 (3.3) Отсюда по известным деформациям находят перемещения u 1, u 2 и u 3. Интегрирование уравнений (3.1) (3.3) в общем случае выполняется численно, и все же данная краевая задача намного проще исходной.

37 326 Часть III 3.3. Уравнения состояния оболочек вращения. Пусть срединная поверхность оболочки образована вращением гладкой кривой L относительно оси a 3. Такую оболочку удобно рассматривать в сферической системе координат, отождествляя переменные α 1 и α 2 с полярным углом ϕ и долготой θ соответственно (см. рис. 3.1). Радиус кривизны линии L (радиус меридиана) обозначается через R 1, а радиус кривизны параллели через R 2. Последний связан с величинами r и ϕ, задающими положение произвольной точки C меридиана, зависимостью r = R 2 sin ϕ. (3.4) Так как ds 1 =R 1 dϕ, ds 2 =rdθ, то (см. формулы (2.1)) A 1 = R 1, A 2 = r. Эти коэффициенты Ламе от угла θ не зависят, поэтому A 1 θ = A 2 θ =0. Кроме того, из рис. 3.1a видно, что dr ds 1 =cosϕ или dr dϕ = R 1 cos ϕ, следовательно, A 2 / ϕ=r 1 cos ϕ. Теперь можно записать полную систему уравнений оболочки вращения. Для этого в уравнениях (2.6), (2.7), (2.13) надо от переменных α 1, α 2 перейти к координатам ϕ, θ и учесть приведенные выше формулы для величин A 1, A 2 и их производных. Закон Гука (2.16) не меняется. a) Условия равновесия: (N 1 r) ϕ + R T 1 θ N 2R 1 cos ϕ + Q 1 r + q 1 rr 1 =0, r N 2 θ + (Tr) ϕ + TR 1 cos ϕ + Q 2 R 1 sin ϕ + q 2 rr 1 =0, (Q 1 r) ϕ + R Q 2 1 θ N 1r N 2 R 1 sin ϕ + q 3 rr 1 =0, (Mr) ϕ + R M 2 1 θ + MR 1 cos ϕ Q 2 rr 1 =0, M R 1 θ + (M 1r) M ϕ 2 R 1 cos ϕ Q 1 rr 1 =0. (3.5)

38 Глава b) Уравнения совместности деформаций и перемещений: ε 1 = 1 u 1 R 1 ϕ + u 3, ε R 2 = 1 u 2 1 r θ + u 1 r cos ϕ + u 3, R 2 γ = 1 ( u1 ) r θ u 2 cos ϕ + 1 u 2 R 1 ϕ, κ 1 = 1 [ 1 ( u R 1 ϕ R 1 u )] 3, 1 ϕ κ 2 = 1 [ ( u2 1 u ) ( u r θ R 2 r θ R 1 u ) ] 3 cos ϕ, 1 ϕ 2χ = r [ 1 ( u2 1 u ) ( u R 1 ϕ r R 2 r θ rr 1 θ 1 u )] 3. ϕ (3.6) Система уравнений (3.5), (3.6), (2.16) может быть сведена к разрешающим уравнениям в усилиях или перемещениях, которые в общем случае решаются численно. Формулы (2.11) для углов поворота нормали к срединной поверхности принимают для оболочек вращения вид: θ 1 = 1 ( u R 1 u ) 3, θ 1 ϕ 2 = u 2 1 R 2 r u 3 θ. (3.7) 3.4. Уравнения состояния оболочек вращения при осесимметричной нагрузке. Если внешнее воздействие на оболочку симметрично относительно любой плоскости, содержащей ось a 3, то его составляющая q 2 должна равняться нулю, а составляющие q 1 и q 3 не будут зависеть от угла θ (рис. 3.2a). Усилия также обладают осевой симметрией, поэтому (рис. 3.2b) M = T = Q 2 =0 и изображенные на рис. 3.2c ненулевые усилия N 1, N 2, M 1, M 2 и Q 1 являются функциями только аргумента ϕ. Напряженнодеформированное состояние такой оболочки называют осесимметричным. В осесимметричной задаче второе и четвертое из условий равновесия (3.5) обращаются в тождества. Остальные принимают вид: d(rn 1 ) dϕ N 2R 1 cos ϕ + Q 1 r + q 1 rr 1 =0, d(rq 1 ) dϕ N 1r N 2 R 1 sin ϕ + q 3 rr 1 =0, d(rm 1 ) M dϕ 2 R 1 cos ϕ Q 1 rr 1 =0. Упрощаются и кинематические уравнения (3.6), в которых теперь надо положить u 2 =0, а перемещения u 1 и u 3 считать не зависящими от угла

39 328 Часть III θ. Кроме того, при осевой симметрии отсутствуют деформации сдвига и кручения, т. е. γ =χ=0. Таким образом, κ 1 = 1 R 1 d [ 1 ( dϕ R 1 ε 1 = 1 du 1 R 1 dϕ + u 3, ε R 2 = u 3, 1 R 2 u 1 du 3 dϕ )], κ 2 = 1 rr 1 ( u 1 du ) 3 cos ϕ. dϕ Из двух формул (3.7) для углов поворотов нормали остается только первая: θ 1 = 1 ( u R 1 du ) 3. 1 dϕ В уравнениях (2.16) отпадают зависимости между усилиями T, M и деформациями γ, χ Безмоментные оболочки вращения. Полная система уравнений безмоментной оболочки вращения следует из соотношений (3.5), (3.6) и (2.16) при M 1 =M 2 =M =Q 1 = Q 2 =0. a) Условия равновесия: (N 1 r) ϕ + R T 1 θ N 2R 1 cos ϕ + Q 1 r + q 1 rr 1 =0, r N 2 θ + (Tr) ϕ + TR 1 cos ϕ + q 2 rr 1 =0, (3.8) N 1 R 1 + N 2 R 2 = q 3. b) Уравнения совместности деформаций и перемещений: ε 1 = 1 R 1 u 1 ϕ + u 3 R 1, γ = 1 r ε 2 = 1 r ( u1 θ u 2 cos ϕ u 2 θ + u 1 r cos ϕ + u 3, R 2 ) + 1 R 1 u 2 ϕ. (3.9)

40 Глава Физические соотношения сохраняют форму (3.2). Если нагрузка осесимметрична, то решение задачи может быть получено в замкнутой форме. Из трех уравнений равновесия (3.8) в этом случае нетривиальными остаются только два: или d(rn 1 )/dϕ N 2 R 1 cos ϕ + q 1 rr 1 =0, N 1 /R 1 + N 2 /R 2 = q 3 N 2 R 1 = q 3 R 1 R 2 N 1 R 2, d(rn 1 )/dϕ + R 2 N 1 cos ϕ = R 1 (q 3 R 2 cos ϕ q 1 r). Но (см. равенство (3.4)) R 2 = r/ sin ϕ, cos ϕ = d(sin ϕ)/dϕ, так что d(rn 1 sin ϕ)/dϕ = R 1 R 2 (q 3 cos ϕ q 1 sin ϕ) sinϕ, атогда ϕ N 1 R 2 sin 2 ϕ = C + R 1 R 2 (q 3 cos ϕ q 1 sin ϕ) sinϕdϕ, 0 N 2 = R 2 q 3 R 2 N 1 /R 1. (3.10) Постоянная C определяется граничными условиями задачи. По усилиям (3.10) получают деформации (закон Гука): ε 1 =(N 1 νn 2 )/(Eh), ε 2 =(N 2 νn 1 )/(Eh), γ =0. Остается найти перемещения u 1 и u 3. Из формул (3.9), (3.4) следует du 1 dϕ + u 3 = R 1 Eh (N 1 νn 2 ), u 1 ctg ϕ + u 3 = R 2 Eh (N 2 νn 1 ). Дальнейшее определяется заданными функциями q 1 (ϕ) и q 3 (ϕ) Расчет сферического купола на действие собственного веса. Пусть срединная поверхность оболочки является частью сферы, характеризуемой центральным углом 2α и радиусом R (рис. 3.3). Оболочка, закрепленная по кромке ϕ = α, несет распределенную нагрузку в виде собственного веса с интенсивностью q. Очевидно, q 1 = q sin ϕ, q 3 = q cos ϕ. Рассматриваемая конструкция испытывает осесимметричное напряженнодеформированное состояние, а потому усилия в ней определяются формулами (3.10). Так как в сфере R 1 =R 2 =R, то N 1 = 1 [ R sin 2 C qr 2( )] 1 cos ϕ, N 2 = q ϕ (qr cos ϕ + N 1 ).

41 330 Часть III Константу C можно найти из условия равновесия верхней отсеченной части сферы (рис. 3.4): a3 =0: (N 1 2πR sin ϕ) sin ϕ + qω =0, где Ω=2πR 2 (1 cos ϕ) площадь поверхности части купола с углом раствора 2ϕ. Таким образом, 1 [ N 1 = R sin 2 qr 2( )] 1 cos ϕ. ϕ Из сравнения двух полученных выражений для усилия N 1 видно, что C =0. Следовательно, qr N 1 = 1+cosϕ, N 2 = qr(sin2 ϕ cos ϕ). 1+cosϕ Эпюры этих усилий даны на рис Для оболочки, выполненной в виде полусферы (α = π/2), нижние ординаты эпюр равны величинам qr и qr соответственно. На параллели ϕ 52 o окружная сила N 2 равна нулю. Значит, при α<52 o в оболочке растягивающих усилий не будет вообще, что важно, если материал оболочки плохо работает на растяжение. Если α = π/2 и оболочка оперта так, как это показано на рис. 3.6a, то условия существования безмоментного состояния (см. п. 3.1) выполняются. Такая конструкция и в самом деле является безизгибной. Но при α π/2 (рис. 3.6b) опорные реакции не будут направлены по касательным к меридиа-

42 Глава нам, что приведет к изгибанию краев оболочки. Обычно купол закрепляется на стенах здания при помощи опорного кольца, препятствующего любым перемещениям кромок оболочки, в том числе и в направлении, ортогональном к срединной поверхности. При наличии опорного кольца условиям существования безмоментного состояния нельзя удовлетворить ни при каком угле α. В подобных случаях вблизи опор оболочки возникают изгибающие моменты, быстро затухающие по мере удаления от ее краев. Вид эпюры "M 1 ", связанной с описываемым явлением, указан на рис. 3.6c. Усилия такого краевого эффекта надо знать, чтобы при проектировании оболочки можно было принять меры по укреплению приопорных зон. Более подробно о краевом эффекте говорится в п Уравнения состояния цилиндрической оболочки. В этом параграфе рассматриваются круговые цилиндрические оболочки, для которых один из радиусов кривизны срединной поверхности равен бесконечности, а другой постоянной величине: R 1 =, R 2 =R. Для решения задачи удобно использовать цилиндрическую систему координат, отводя роль координат α 1 и α 2 соответственно абсциссе x, отсчитываемой вдоль образующей цилиндра, и углу θ, измеряемому по дуге направляющей. Из рис. 3.7 видно (см. также формулы (2.1)), что A 1 =1, A 2 = R, т. е. коэффициенты Ламе круговой цилиндрической поверхности постоянны. Уравнения равновесия рассматриваемой оболочки можно получить из системы (2.6), полагая R 1 =, R 2 = R, α 1 = x, α 2 = θ, A 1 =1, A 2 = R и используя обозначения q 1 = q x, q 2 = q t, q 3 = q n. Тогда N 1 x + 1 T R θ + q x =0, 1 N 2 R θ + T x + Q 2 R + q t =0, Q 1 x + 1 Q 2 R θ N 2 R + q n =0, M x + 1 M 2 R θ Q 2 =0, 1 M R θ + M 1 x Q 1 =0. (3.11)

43 332 Часть III Аналогично преобразуются геометрические уравнения (2.7) и (2.13): ε 1 = u x x, ε 2 = 1 R κ 2 = 1 ( R 2 θ u t θ + u n u t u n θ R, γ= 1 u x R θ + u t x, κ 1 = 2 u n x 2, ), χ= 1 [ ( u t u ) n 2 u ] n. 2R x θ θ x (3.12) В этих равенствах использованы обозначения: u x = u 1, u t = u 2, u n = u 3. Уравнения (2.16) не меняются. Формулы (2.11) для углов поворота нормали к срединной поверхности оболочки принимают вид: θ 1 = u n x, θ 2 = u t R 1 u n R θ. Дальнейшие упрощения возможны при переходе к частным теориям. Так, для безмоментной оболочки надо положить M = M 1 = M 2 = Q 1 = Q 2 =0, κ 1 = κ 2 = χ =0 и записать соотношения (3.11) и (3.12) следующим образом: N 1 x + 1 T R θ + q x =0, 1 N 2 R θ + T x + q t =0, N 2 = q n R, (3.11a) ε 1 = u x x, ε 2 = 1 R u t θ + u n R, γ = 1 R u x θ + u t x. (3.12a) Физические уравнения (2.16) сводятся к трем равенствам, которые удобно представить в форме зависимости деформаций от усилий: ε 1 = 1 (N Eh 1 νn 2 ), ε 2 = 1 (N Eh 2 νn 1 ), γ = 1 ( ) 1+ν T. (3.13) Eh По этим формулам можно после решения системы (3.11a) найти деформации, а затем и перемещения (см. уравнения (3.12a)). Осевая сила N 2 известна. Ее исключение из равенства (3.11a) 2 приводит к касательной силе T. Остается обратиться к первой из формул (3.11a) и определить усилие N 1 : T = x ( 0 q t + u n θ ) dx+f 1 (θ), N 1 = x ( 0 q x + 1 R T ) dx+f 2 (θ), θ (3.14) N 2 = q n R. Через f 1 (θ), f 2 (θ) обозначены функции аргумента θ, диктуемые граничными условиями задачи.

44 Глава Если безмоментное состояние цилиндрической оболочки осесимметрично, то q t = T = u t =0, а все оставшиеся нагрузки, усилия, деформации и перемещения меняются только вдоль оси 0x. В этом случае x N 1 = и из уравнений (3.12a) и (3.13) следует: u x = 1 Eh [ x 0 0 q x dx + C, N 2 = q n R, T =0 (3.14a) ] N 1 dx νq n Rx + C 1, u n = R Eh (q nr νn 1 ). (3.15) Константы C, C 1 зависят от способа закрепления оболочки по краям. Пусть требуется найти усилия и перемещения в точках цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью с объемным весом ρ и находящегося под внутренним давлением p. Оболочка шарнирно закреплена по кромкам A A и B B (см. рис. 3.8). Собственный вес конструкции не учитывается. Решение задачи проводится в два приема. a) Учет внутреннего давления. Нагрузка q x =0, q n = p осесимметрична, поэтому усилия можно найти по формулам (3.14a). Согласно первой из них, N 1 =C, а так как края оболочки свободны от осевых воздействий, то C =0. Стало быть, N 1 (p) =0, T(p) =0, N 2 (p) =pr. (3.16) Тогда (см. формулы (3.15)) u x (p) = νprx/(eh)+c 1, u n = pr 2 /(Eh). (3.17) b) Учет веса жидкости. Давление жидкости передается на стенки сосуда по нормали, так что (рис. 3.8b) q x = q t =0, q n = ρr(1 + sin θ).

45 334 Часть III В соответствии с равенствами (3.14) N 1 = 1 2 ρx2 sin θ x R T = ρrx cos θ + f 1 (θ), df 1 dθ + f 2(θ), N 2 = ρr 2 (1 + sin θ). (3.18) При x =0 отсюда следует T 0 = f 1 (θ), N 10 = f 2 (θ), а при x = l будет T l = ρrl cos θ + f 1 (θ). Так как N 10 =0 и кососимметрическая составляющая T напряженного состояния оболочки обладает свойством T 0 = T l, то f 2 =0, f 1 =0, 5 ρrl cos θ. Теперь из формул (3.18) следуют окончательные выражения для усилий: N 1 (ρ) =0, 5 ρx(l x) sinθ, T (ρ) =ρr(l/2 x) cosθ. N 2 (ρ) =ρr 2 (1 + sin θ), (3.19) В сечениях x = const усилия T (ρ) экстремальны при cos θ = ±1, т.е.в горизонтальном разрезе оболочки. Силы N 1 (ρ) принимают наибольшие по модулю значения в вертикальной плоскости симметрии оболочки. Продольная сила N 2 вдоль оси цилиндра не меняется. Эпюры указанных усилий приведены на рис Чтобы найти перемещения, надо при помощи равенств (3.12a), (3.13) и (3.19) составить систему уравнений u x x = ρ [ x(l x) ] sin θ νr 2 (1+sin θ), Eh 2 1 u x R θ + u t x = ρ(1+ν)r (l 2x) cosθ, Eh [R 2 (1+sin θ) 1 ] 2 νx(l x) sinθ, u n + u t θ = ρr Eh (3.20)

46 Глава а затем решить ее относительно функций u x, u t и u n. В процессе интегрирования, связанного с решением этой системы, появятся дополнительные функции, которые определяются краевыми условиями задачи. Если при выводе формул (3.19) в детальном описании устройства шарнирных опор нужды не было, то теперь требуется точно указать, как такие опоры выглядят. Безмоментное состояние будет возможным лишь в случае, если цилиндр свободно посажен на оси 1 1 и 2 2 (рис. 3.10). При таком опирании нигде не стеснены перемещения u n, а опорные реакции направлены по касательной к срединной поверхности оболочки. Правда, вблизи точек опирания появятся местные напряжения, но зоны местных деформаций невелики. Что же касается перемещений u x и u t, то они должны удовлетворять граничным условиям: 1) u x (0, 0)=u x (0, π)=0, u x (l, 0)=u x (l, π)=0, 2) u t (0, 0)=u t (0, π)=0, u t (l, 0)=u t (l, π)=0. Еще три ограничения вытекают из соображений симметрии: 3) u x (0, θ)= u x (l, θ), u t (x, π/2)=u t (x, π/2)=0, u n (0, θ)=u n (l, θ). Интегрирование системы (3.20) при условиях 1) 3) дает: 24Ehu x (ρ)=ρ[(6lx 2 4x 3 l 3 )sinθ+12νr 2 (l 2x)(1+sin θ)], 24ERhu t (ρ)=ρx(l x)[12r 2 (2+ν)+l 2 +xl x 2 ]cosθ, (3.21) 24ERhu n (ρ)=24ρr 4 (1+sin θ)+ρx(l x)(24r 2 +l 2 +xl x 2 )sinθ. В том, что эти функции действительно доставляют решение в рассматриваемой задаче, можно убедиться при помощи подстановки формул (3.21) в уравнения (3.20) ивграничные условия 1) 3). Остается сложить усилия (3.16) и (3.19), а также перемещения (3.17) с перемещениями (3.21) Осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки. Если q t = T = M = Q 2 =0, u t = γ = κ 2 = χ =0,

47 336 Часть III то напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки симметрично относительно любой плоскости, содержащей ось 0x. Условия равновесия (3.11) сводятся в этом случае к трем равенствам: dn 1 dx + q dq 1 x =0, dx N 2 R + q dm 1 n =0, dx = Q 1. (3.22) К трем зависимостям приводятся и геометрические уравнения (3.12): ε 1 = du x dx, ε 2 = u n R, κ 1 = d2 u n dx 2. (3.23) Закон Гука записывается в виде (ср. с формулами (3.13) и (2.16)): ε 1 = N 1 νn 2 Eh, ε 2 = N 2 νn 1, M 2 = νm 1, κ Eh 1 = M 1 D. (3.24) Сопоставление последних формул из групп (3.23) (3.24) дает: M 1 = Du n, (3.25) что напоминает зависимость M z = EI z v для изгибаемых брусьев. Задача о напряженно-деформированном состоянии оболочки статически неопределима. Однако система уравнений (3.22) (3.24) содержит только обыкновенные производные от искомых функций и имеет сравнительно простую структуру, что позволяет получить замкнутое решение задачи. Такое решение ниже будет получено для случая, в котором нагрузка прикладывается по нормали к срединной поверхности оболочки, т. е. при q x 0. Согласно первой из формул (3.22), при q x =0 выполняется равенство N 1 = N 0, где N 0 константа, имеющая смысл осевой силы, равномерно распределенной по кольцевым торцам оболочки. Все остальные усилия могут быть выражены через перемещение u n, которому отводится роль функции напряжений. И в самом деле, из вторых формул в зависимостях (3.23) и (3.24) при N 1 =N 0 следует: N 2 = Ehu n /R + νn 0. (3.26) Если теперь во второе из уравнений (3.22) подставить усилие N 2, а поперечную силу Q 1 заменить производной dm 1 /dx согласно последнему из равенств (3.22), то с перемещением u n окажется связанным и изгибающий момент M 1 : M 1 = Ehu n /R 2 + νn 0 /R q n. Еще одну связь усилия M 1 с функцией u n (x) дает равенство (3.25), что позволяет получить разрешающее уравнение для этой функции: Du IV n + Eh R 2 u n = q n νn 0 R.

48 Глава При помощи обозначения β 4 = Eh 4DR 2 = 3(1 ν2 ) h 2 R 2 (3.27) данное уравнение можно записать в канонической форме: u IV n +4β 4 u n = 1 D ( q n νn ) o. (3.28) R Подобное уравнение встречалось в задаче об изгибе балки на упругом основании (см. п. II.4.3). Его интеграл u n =e βx (C 1 sin βx+c 2 cos βx)+e βx (C 3 sin βx+c 4 cos βx)+u (3.29) содержит частное решение u, которое при q n =const имеет вид: u = R2 ( Eh q n νn 0 R ). (3.30) После определения из граничных условий констант C i по формулам (3.25), (3.26), (3.22) 3 и (3.24) 3 находят усилия. Пусть цилиндрическая оболочка загружена по начальному торцевому сечению равномерно распределенной моментной нагрузкой интенсивностью M 0 (рис. 3.11). Ясно, что по мере удаления от сечения x =0 усилия и перемещения в оболочке должны уменьшаться. Это возможно лишь при условии, что в представлении (3.29) отсутствует экспонента e βx,котораяс ростом x неограниченно возрастает. Чтобы удовлетворить этому требованию, надо принять C 3 = C 4 =0. Если же учесть, что в рассматриваемой задаче и q n =N 0 =0, то формула (3.29) для перемещения u n станет проще: u n = e βx (C 1 sin βx + C 4 cos βx). Далее используются обозначения f 1 = e βx sin βx, f 2 = e βx cos βx. Непосредственно видно, что 1) f 1 (0) = 0, f 2 (0) = 1, 2) f 1 = β ( f 1 + f 2 ), f 1 = 2β 2 f 2, f 1 =2β 3 (f 1 + f 2 ), 3) f 2 = β (f 1 + f 2 ), f 2 =2β 2 f 1, f 2 =2β 3 ( f 1 + f 2 ).

49 338 Часть III Тогда (см. также равенства (3.25), (3.22) 3, (3.26) и (3.24) 3 ): u n = C 1 f 1 + C 2 f 2, u n = β [C 1 ( f 1 + f 2 ) C 2 (f 1 + f 2 )], N 2 = Eh(C 1 f 1 + C 2 f 2 ), M 1 =2Dβ 2 (C 1 f 2 C 2 f 1 ), M 2 = νm 1, (3.31) Q 1 = 2Dβ 3 [C 1 (f 1 + f 2 )+C 2 ( f 1 + f 2 )]. Постоянные C 1 и C 2 должны быть такими, чтобы при x =0 изгибающий момент M 1 равнялся заданной величине M 0, а поперечная сила Q 1 отсутствовала: M 0 =2Dβ 2 C 1, 0= 2Dβ 3 (C 1 + C 2 ). Отсюда следует, что C 1 = C 2 =M 0 /(2Dβ 2 ) и u n = M ( ) 0 2Dβ 2 f 1 f 2, N 2 = 6(1 ν2 )M ( 0 β 2 Rh 2 f 1 f 2 ), M 1 = M 0 (f 1 +f 2 ), Q 1 = 2M 0 βf 1, M 2 = νm 1. (3.31a) Константа β дается формулой (3.27), так что решение задачи полностью определено. Эпюры усилий M 1 (x), Q 1 (x) и N 2 (x) для оболочки с параметрами ν = 0, 25, h = R/50 представлены на рис Они отнесены к отрезку CK, идущему от загруженного края оболочки вдоль образующей цилиндра на глубину 0, 6R (см. рис. 3.11). Как видно из приводимых графиков, все усилия быстро убывают по координате ξ = x/r. Через ξ обозначены безразмерные абсциссы точек срединной поверхности, такие, что при ξ>ξ рассматриваемые усилия составляют менее 3% от их максимальных по модулю значений. Следовательно, при самоуравновешенной торцевой нагрузке

50 Глава M 0 усилия и перемещения (3.31a) можно считать нулевыми уже за пределами зоны, уходящей от края оболочки всего на четверть диаметра Краевой эффект. Как уже говорилось, если на кромках оболочки нарушены условия существования безмоментного состояния, появляются усилия и перемещения, которые на сравнительно небольшом удалении от опор становятся пренебрежимо малыми. И все же области, затрагиваемые краевым эффектом, заметно больше зон местных деформаций, порождаемых различного рода концентраторами напряжений. Для укрепления зон, в которых появляются контактные или иные местные напряжения, используются специальные приемы, основанные на готовых рецептах и полуэмпирических формулах. Но те приемы, что применяют для усиления области, ограниченной по глубине размером h, и которые не связаны с детальным изучением напряженного состояния в ней, непригодны, если область особого состояния распространяется вглубь оболочки на толщин. В таких зонах пренебрегать подробным анализом усилий и перемещений нельзя. О том, как указанный анализ проводится, по существу, было сказано в предыдущем пункте. Дело сводится к интегрированию полной системы уравнений рассматриваемой оболочки и определению размеров области, за пределы которой краевой эффект не распространяется. Эта задача сложна даже для оболочек вращения, т. е. в случае, когда иногда возможны и аналитические решения (например, при осесимметричном нагружении). На рис показан разрез цилиндрической оболочки, испытывающей внутреннее давление. Оболочка закреплена по концам при помощи подвижных вдоль оси 0x обойм. Такие опоры препятствуют перемещениям u t и u n точек краев оболочки. Кроме того, на торцах нет усилий M 1 и N 1. Симметрия конструкции позволяет искать решение задачи при 0 x l/2, т.е.только для левой половины цилиндрического тела оболочки. Дело сводится к интегрированию уравнения (3.28) при q n =p и N 0 =0.Решение дается формулой (3.29) при (см. зависимость (3.30)) u = pr2 Eh. (3.32) Как и в задаче из п. 3.8, здесь надо положить C 3 = C 4 =0, ибо по мере удаления от края изгибные усилия и перемещения должны уменьшаться.

51 340 Часть III Следовательно (см. формулы (3.31) и (3.32)): u n = C 1 f 1 + C 2 f 2 + pr2 Eh, N 2 = Eh R (C 1f 1 + C 2 f 2 )+pr, M 1 =2Dβ 2 (C 1 f 2 C 2 f 1 ), Q 1 = 2Dβ 3 [C 1 (f 1 + f 2 )+C 2 ( f 1 + f 2 )]. При x =0 перемещение u n невозможно и потому C 2 = pr 2 /(Eh). Кроме того, на краю оболочки нет усилия M 1, что дает C 1 =0. Таким образом, u n = pr2 Eh (1 f 2), N 2 = pr(1 f 2 ), M 2 = νm 1, M 1 = 2Dβ2 pr 2 Eh f 1, Q 1 = 2Dβ3 pr 2 Eh (f 2 f 1 ). (3.33) Можно напомнить, что число β определяется формулой (3.27). Эпюры усилий M 1, Q 1 и N 2 приведены на рис Они построены на отрезке [0, 0, 6 R] для оболочки, у которой h = R/50 (см. также рис и рис. 3.12). Продольная сила N 2 уже при ξ =0, 37 мало чем отличается от значения pr, полученного при решении безмоментной задачи (формула (3.16) 3 ). То же можно сказать иоперемещенииu n :приξ 0, 37 оно практически совпадает с величиною (3.32), т. е. с решением (3.17) 2 соответствующей безмоментной задачи. Сопоставление продольной силы N 2 и перемещения u n, принадлежащих решению (3.33), с величинами N 2, u n, отвечающими безмоментному решению, наводит на мысль о том, что результат (3.33) можно получить и по иной схеме. Эта схема основана на разделении состояния оболочки на безмоментное и краевой эффект и проведении вычислений в три этапа. На первом этапе получают усилия и перемещения от заданного воздействия в

52 Глава предположении, что деформации изгиба и кручения отсутствуют. Усилия и перемещения, возникающие на краях конструкции в указанном безмоментном состоянии, используются для формулировки граничных условий на втором этапе расчета, когда интегрируется полная система уравнений оболочки, учитывающая уже и изгиб с кручением. Поверхностная нагрузка на этом шаге решения задачи отбрасывается, ибо она была учтена при построении безмоментного решения. Наконец, усилия и перемещения, найденные на двух первых этапах вычислений, складываются. В рассматриваемом примере описанная схема реализуется так. Сперва получают решение (3.16) (3.17) безмоментной задачи: N 1 = T =0, N 2 = pr, u n = pr 2 /(Eh). (3.34) (Ни на что не влияющее перемещение u x не приводится.) На втором этапе используются условия равновесия (3.22) и формулы (3.24), (3.25), являющиеся следствием кинематических и физических соотношений полной системы уравнений цилиндрической оболочки при осесимметричной нагрузке. В случае q x = q n =0 названные равенства приводят к разрешающему уравнению (3.28) с нулевой правой частью. Решением задачи являются перемещения и усилия (3.31), причем u n = C 1 f 1 + C 2 f 2. На краю x =0 оболочки f 1 =0, f 2 =1 и u n = C 2. Если этот край оперт шарнирно (см. рис. 3.13), то полное радиальное перемещение, складывающееся из перемещений u n (0) и (3.34) 3, должно равняться нулю, что дает C 2 = pr 2 /(Eh). При шарнирном опирании отсутствует и изгибающий момент M 1,апотомуC 1 =0. Тогда при обозначении A = pr 2 /(Eh) (см. также формулы (3.31)) u n = Af 2, N 2 = prf 2, M 1 =2ADβ 2 f 1, Q 1 =2ADβ 3 (f 2 f 1 ). (3.35) Объединение решений (3.34) и (3.35) приводит к искомому решению задачи, совпадающему с результатом (3.33). В данном примере второй способ решения задачи никаких преимуществ по сравнению с первым способом не дает. Он оказался даже более громоздким. Нет особого смысла в разделении состояния оболочки на безмоментное и краевой эффект и тогда, когда и там, и там для отыскания усилий и перемещений нужно применять численные методы. Но если безмоментная задача поддается аналитическому решению, а интегрирование полной системы уравнений краевого эффекта требует численного подхода, то разграничение названных состояний может оказаться полезным. Наиболее ярко проявляются преимущества разделения двух обсуждаемых состояний оболочки тогда,

53 342 Часть III когда удается построить приближенное аналитическое решение уравнений краевого эффекта. Пусть цилиндрическая оболочка, изображенная на рис. 3.13, загружается на этот раз весом заполняющей ее жидкости. Указанная нагрузка осевой симметрией не обладает, поэтому при учете краевого эффекта опереться на решение типа (3.31) не удастся. Придeтся обратиться к полной системе уравнений (3.11), (3.12), (2.16). Что же касается усилий и перемещений безмоментного состояния, то они были получены в п. 3.7 и даются формулами (3.19) и (3.21). Интегрирование системы (3.11), (3.12) и (2.16) выполняется при q n =0 на основе допущений, учитывающих быстрое затухание усилий краевого эффекта по координате x и сравнительно медленное их изменение по углу θ. Эти допущения таковы. 1. С краевым эффектом в цилиндрических оболочках связаны усилия M 1, Q 1, N 2 и N = N 0, тогда как усилия M 2, Q 2, M и T так же, как и в осесимметричной задаче, отсутствуют. 2. При отыскании усилий и перемещений краевого эффекта переменная θ фиксируется, т. е. рассматривается как константа. Опираясь на положения 1 2, нетрудно перейти от уравнений (3.11), (3.12) и (2.16) к соотношениям (3.22) (3.24), а затем и к разрешающему уравнению (3.28) с нулевой правой частью. Иначе говоря, решение задачи берется в форме (3.31). Как и в примере, рассмотренном до этого, u n (0) = C 2, а в безмоментном состоянии на краю оболочки (см. формулу (3.21) 3 при x=0) u n (ρ) =ρr 3 (1 + sin θ)/(eh). При шарнирном опирании сумма перемещений u n (0) и u n (ρ) должна равняться нулю, так же, как и момент M 1. Значит, и (ср. с формулами (3.35)) C 2 = ρr 3 (1 + sin θ)/(eh), C 1 =0 A= pr2 Eh, u n = ARρ p (1+sin θ)f 2, N 2 = ρr 2 (1 + sin θ)f 2, M 1 = 2ADRβ2 ρ p (1+sin θ)f 1, Q 1 = 2ADRβ3 ρ (1+sin θ)(f 2 f 1 ). p (3.36) По закону Гука M 2 = νm 1. О характере зависимости полученных усилий от координаты x можно судить по рис При N 1 =0 из формул (3.24) и (3.36) следует, что ε 1 = νn 2 Eh = νρr2 Eh (1 + sin θ) f 2.

54 Глава Тогда в соответствии с первым из уравнений (3.23) u x = ε 1 dx = νρr2 2βEh (1 + sin θ)(f 2 f 1 )+ϕ(θ), (3.37) где ϕ(θ) функция интегрирования, которую можно определить, учитывая, что при x =0 сумма перемещений (3.37) и (3.21) 1 должна равняться нулю. После того, как функция ϕ(θ) будет установлена, останется объединить решения (3.36), (3.37) и (3.19), (3.21). В том, что усилия (3.36) дают лишь приближенное решение задачи, можно убедиться при их подстановке в условия равновесия (3.11): второе и четвертое уравнения окажутся нарушенными. Но на такое нарушение условий равновесия идут, ибо, как показывают более скрупулезные исследования, погрешность при отыскании напряжений в приопорных зонах незначительна, а за пределами указанных зон ее вообще нет. В заключение следует сказать, что подходы к анализу краевого эффекта в оболочках другого типа остаются такими же, что и для цилиндрических оболочек. Более подробно этот вопрос здесь не обсуждается Пологие оболочки. Оболочка называется пологой, если ее стрела подъема f не превышает 0, 1 0, 2 наименьшего из размеров оболочки в плане (рис. 3.15). В пологих оболочках можно пренебречь разницей между длиною дуги срединной поверхности и ее проекцией на плоскость 0xy, т.е. принять (см. формулы (2.1)) A 1 = A 2 =1. Кроме того, делается допущение о постоянстве главных радиусов R 1 и R 2 кривизны срединной поверхности оболочкивпределахееплана,т.е.при0 x A, 0 y B. В пологих оболочках продольные силы намного больше поперечных сил, арадиусыr 1 и R 2 значительно превышают размеры A и B. Это позволяет в тех условиях равновесия, в которые входят усилия N 1 и N 2, пренебречь слагаемыми Q i /R i. При сделанных допущениях и замене переменных α 1, α 2 на координаты x и y, а индексов 1, 2, 3 на индексы x, y, z условия равновесия (2.6) принимают вид: N x x + T y + q x =0, N y y + T x + q y =0, Q x x + Q y y N x R 1 N y R 2 + q z =0, M x + M y y Q y =0, M y + M x x Q x =0.

55 344 Часть III При помощи двух последних формул исключаются поперечные силы: N x x + T y = q N y x, y + T x = q y, 2 M x x M x y + 2 M y y 2 N x N y = q z. R 1 R 2 (3.38) Упрощаются и геометрические соотношения (2.7) и (2.13), при записи которых учитывается, что u 1 =u, u 2 =v, u 3 =w и u/r 1 v/r 2 0: ε x = u x + w, ε y = v R 1 y + w, γ = v R 2 x + u y, κ x = 2 w x 2, κ y = 2 w y 2, χ = 2 w x y. (3.39) Далее потребуется условие (2.14) 3 совместности деформаций, которое после учета сделанных выше допущений принимает вид: 2 ε x y ε y x 2 + κ y R 1 + κ x R 2 = 2 γ x y. (3.40) Физические соотношения (2.16) остаются без изменения. Полная система уравнений пологих оболочек получена. Она намного проще таковой для произвольной оболочки, что позволяет осуществить не слишком громоздкий переход к одному разрешающему уравнению. Ниже описывается такой переход в случае, когда к оболочке прикладывается только вертикальная нагрузка, т. е. q x = q y =0. Выкладки начинаются с того, что при помощи формул N x = 2 ϕ y 2, N y = 2 ϕ x 2, T = 2 ϕ (3.41) x y вводится новая неизвестная функция ϕ. Приq x =q y =0 усилия (3.41) тождественно удовлетворяют первым двум условиям равновесия (3.38), а третье из них принимает вид: 2 M x x M x y + 2 M y y ϕ R 1 y ϕ R 2 x 2 = q z. (3.42) При помощи подстановки (3.41) и трех последних формул системы (3.39) записываются иначе и физические уравнения (2.16): ε x = 1 ( 2 ϕ Eh y 2 ν 2 ϕ ) x 2, ε x = 1 ( 2 ϕ Eh x 2 ν 2 ϕ ) y 2, γ= 2(1+ν) 2 ϕ Eh x y, ( 2 ϕ M x = D x 2 +ν 2 ϕ) ( 2 ϕ y 2, M y = D y 2 +ν 2 ϕ) x 2, M= D(1 ν) 2 ϕ x y. (3.43)

56 Глава Как видно из этих равенств, формулы для усилий M x, M y и M получились такими же, что ивплитах(см. формулы(1.10)). Подстановка данных усилий в уравнение (3.42) приводит к соотношению ( 1 2 ϕ D w = q z R 1 y ϕ ) R 2 x 2, (3.44) которое также напоминает одну из зависимостей теории плит. Речь идет об уравнении Софи Жермен (1.9). При бесконечно больших R 1 и R 2 равенства (3.44) и (1.9) совпадают, но если радиусы кривизны срединной поверхности конечны, то уравнение (3.43) в отличие от соотношения (1.9) не является разрешающим, ибо содержит две неизвестные функции. Еще одно уравнение, связывающее прогиб w с функцией напряжений ϕ, получают, заменяя в условии совместности деформаций (3.40) величины ε x, ε y, γ и κ x, κ y на их выражения через функции ϕ и w соответственно. Для этого используются формулы (3.41) и (3.43). После несложных упрощений получается равенство 1 Eh ϕ = 1 2 w R 1 y w R 2 x 2. (3.45) Остается из системы (3.44) (3.45) исключить функцию ϕ. Применение бигармонического оператора к обеим частям уравнения (3.44) с учетом равенства (3.45) дает: D ( w)+eh( 1 R w x R 1 R 2 4 w x 2 y R1 2 4 w ) y 4 = q z. (3.46) Таким образом, задача о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения восьмого порядка. В общем случае решение можно получить лишь численно. Для некоторых важных в практическом отношении задач имеются решения в рядах. Однако вычисления, связанные с интегрированием уравнения (3.46), многодельны и, когда это возможно, их следует избегать. По этому поводу можно сказать следующее. Степень пологости оболочки характеризуется не только отношением стрелы f к наименьшему размеру плана, но и отношением размера f к толщине оболочки h. Исследования показывают, что при 5 < f/h < 20 (3.47) в оболочке, так же как и в пластине, деформации изгиба и кручения охватывают все тело конструкции. В этом случае нет иного выбора, как интегрировать уравнение (3.46). Но если f/h > 20,

57 346 Часть III то напряженно-деформированное состояние пологой оболочки можно разделить на безмоментное и краевой эффект и тогда необходимость в уравнении (3.46) отпадает. Объясняется это тем, что безмоментное состояние статически определимо, так что усилия N x, N y и T можно найти из условий равновесия (3.38). Дело сводится к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок. При f/h < 5 задачу о напряженно-деформированном состоянии оболочки, как правило, приходится решать в геометрически нелинейной постановке. Но следует всегда помнить, что устанавливаемые грани между различными типами оболочек, в том числе и те, что даются формулой (3.47), условны. Они зависят от многих обстоятельств и, в частности, от внешнего воздействия. Так, при симметричной нагрузке расчет пологой оболочки по линейнойтеориивозможенивслучае, когда f/h < 5.

58 ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 4.1. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния. Использовать технические теории для анализа напряжений и деформаций в твердом теле удается далеко не всегда. Нельзя, например, опереться на них при расчете дамб, плотин, подпорных стенок, оснований сооружений. Не применить упрощенные теории и при исследовании зон местных напряжений. Приходится прибегать к помощи полной системы уравнений механики твердого деформируемого тела. Эта система сложна для решения, но если тело выполнено из линейно-упругого материала, то от полной системы можно перейти к системе разрешающих уравнений, имеющих наиболее простой вид в случае, когда перемещения малы и задачу можно решать в геометрически линейной постановке (см. главу I.7). В рамках линейной упругости предполагается оставаться и в дальнейшем. Интегрировать систему разрешающих уравнений проще, чем полную, однако на аналитические решения все равно рассчитывать не приходится. Единичные случаи, когда напряжения и перемещения могут быть представлены в квадратурах, не в счет. Уже не раз отмечалось, что при первом знакомстве с механикой к численным методам решения краевых задач обращаться нецелесообразно. Да пока в этом и нет необходимости, ибо существует целый класс задач, допускающих аналитическое решение. Речь идет о некоторых двумерных задачах теории упругости. На рис. 4.1 изображен поперечный разрез цилиндрического тела, к которому приложена нагрузка, параллельная плоскости 0xy и по оси 0z не меняющаяся. Если размер l тела в направлении оси 0z, по крайней мере, на порядок превышает наибольший из характерных размеров сечения, то можно считать тело бесконечно длинным. Точки такого тела не в состоянии перемещаться вдоль оси 0z, а потому каждое поперечное сечение тела деформируется только в своей плоскости. Другими словами, w =0, u = u(x, y), v = v(x, y). Из геометрических уравнений Коши (I.5.7) в этом случае следует: ε z = w z =0, γ yz = v z + w y =0, γ xz = u z + w x =0, а значит (закон Гука), и τ yz =τ xz =0. Однако напряже-

59 348 Часть III ния σ z в нуль не обращаются, что видно по третьей из формул (I.6.7). Отличие напряжений σ z от нуля объясняется эффектом Пуассона. Таким образом, в рассматриваемом теле w = ε z = γ yz = γ xz =0, τ yz = τ xz =0, (4.1) а остальные перемещения, деформации и напряжения не зависят от координаты z. Такое состояние тела называют плоским деформированным. Пусть теперь наименьший из характерных размеров сечения тела на порядок или более того превышает размер l. Сказанное надо понимать так, что на рис. 4.1 изображен тонкий диск, загруженный по ребру. На основаниях диска нагрузки нет, а потому нет на них и напряжений σ z, τ zx и τ zy. Из-за малости толщины диска естественно предположить, что отсутствуют указанные напряжения и во внутренних точках диска, а если они там даже и имеются, то не достигают заметных по сравнению с напряжениями σ x, σ y, τ xy значений. Таким образом, σ z = τ xz = τ yz =0, γ xz = γ yz =0, (4.2) причем ненулевые напряжения и деформации от координаты z не зависят. Деформация ε z (эффект Пуассона) отличается от нуля. Не равно нулю и перемещение w. Состояние, характеризуемое формулами (4.2), называют плоским напряженным, а краевую задачу для упругого тела, находящегося в плоском напряженном либо в плоском деформированном состоянии, плоской задачей теории упругости Полная система уравнений плоской задачи. Названная система следует из уравнений общей теории упругости при учете равенств (4.1) (4.2) и того обстоятельства, что перемещения u, v, ненулевые компоненты тензоров деформаций и напряжений не зависят от координаты z. Кроме того, принимается во внимание отсутствие нагрузки вдоль оси 0z. a) Условия равновесия. Уравнения равновесия Навье (I.2.6) сводятся к двум равенствам: σ x x + τ xy y + X =0, τ xy x + σ y + Y =0. (4.3) y Эти соотношения должны выполняться как в задаче о плоском напряженном состоянии, так и в задаче о плоской деформации. В первом случае третье из уравнений Навье отпадает из-за того, что имеют место равенства (4.2), а во втором по причине соблюдения условий (4.1) и независимости напряжений σ z от аппликаты z.

60 Глава b) Геометрические уравнения. Уравнения Коши (I.5.7) имеют форму ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x, (4.4) общую для любой плоской задачи теории упругости. Кроме того, при плоском напряженном состоянии соблюдается равенство ε z = w/ z, позволяющее найти перемещение w по найденной до того деформации ε z. Однако толщина тела, испытывающего плоское напряженное состояние, мала, а точки, принадлежащие плоскости, которые делят эту толщину пополам, вообще не перемещаются вдоль оси 0z, так что перемещения w большими быть не могут и ими допустимо пренебречь. Таким образом, соотношение w 0 принимается не только для плоскодеформируемого тела, но и для плосконапряженного и в обеих рассматриваемых задачах из шести условий сплошности (I.5.9) нетривиальными останутся только первые три уравнения. При этом второе и третье уравнения накладывают ограничения только на деформацию ε z и потому малоинтересны. Существенно лишь условие 2 ε x y ε y x 2 c) Физические уравнения. В случае плоского деформируемого состояния третья из формул закона Гука (I.6.6) дает: = 2 γ xy x y. (4.5) σ z = ν(σ x + σ y ), (4.6) поэтому ε x = σ x ν(σ y + σ z ) = 1+ν [ )] σ x ν (σ x + σ y. E E Согласно формуле (I.6.3), E =2G(1+ν), так что окончательно ε x = σ x ν(σ x + σ y ) 2G, ε y = σ y ν(σ x + σ y ) 2G, γ xy = τ xy G. (4.7) При плоском напряженном состоянии уравнения (I.6.6) имеют вид: ε x = σ x νσ y E, ε y = σ y νσ x E, γ xy = τ xy G, ε z = ν(σ x+σ y ). (4.8) E Эти уравнения можно разрешить относительно напряжений: σ x = E(ε x + νε y ) 1 ν 2, σ y = E(ε y + νε x ) 1 ν 2, τ xy = Gγ xy. Упрощаются и уравнения Коши на поверхности тела, даваемые в общем случае формулами (I.2.8). Они одинаковы для обеих рассматриваемых плоских задач:

61 350 Часть III σ x l + τ xy m = q νx, τ xy l + σ y m = q νy. (4.9) Полная система уравнений плоской задачи теории упругости записана. Теперь можно говорить и о разрешающих уравнениях этой задачи Решение плоской задачи в напряжениях. Разрешающие уравнения для плоской задачи теории упругости можно получить как следствие соотношений Бельтрами Мичелла (I.7.2). Но решать ее при помощи уравнений Бельтрами Мичелла не следует. Дело в том, что при постоянных объемных силах, т. е. в самом интересном в практическом отношении случае, условиям равновесия (4.3) удовлетворяют напряжения σ x = 2 ϕ y 2, σ y = 2 ϕ x 2, τ xy = 2 ϕ Xy Yx, (4.10) x y выраженные через некую функцию ϕ(x, y), называемую функцией напряжений, или функцией Эри 1. Эта функция должна быть подобрана так, чтобы были удовлетворены физические и кинематические соотношения задачи, а точнее одно разрешающее уравнение, к которому указанные соотношения могут быть сведены. Чтобы получить такое уравнение, надо подставить в условие сплошности (4.5) деформации ε x = σ x ν(σ y +σ z ) E, ε y = σ y ν(σ x +σ z ) E, γ xy = τ xy G =2(1+ν)τ xy, (4.11) E взятые из закона Гука (I.6.6). Следует особо подчеркнуть, что при выводе разрешающего уравнения относительно функции ϕ(x, y) закон Гука целесообразно брать именно в форме (4.11), а не в (4.7) или (4.8). Объясняется это тем, что при наличии в формулах (4.11) напряжения σ z можно до определенного времени не делать различия между задачами о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях. Подстановка зависимостей (4.11) в уравнение (4.5) дает: 2 σ y x σ x y 2 ν 2 σ x x 2 ν 2 σ y y 2 ν σ z =2(1+ν) 2 τ xy x y, (4.12) 1 Джорд Эри (Airy J.) английский математик, физик, астроном и механик, предложивший в середине XIX века подстановку (4.10) для решения полной системы уравнений плоской задачи теории упругости.

62 Глава где гармонический оператор в случае функции двух переменных: = 2 x y 2. Для исключения из соотношения (4.12) касательных напряжений используются два условия равновесия (4.3), в которых, как уже говорилось, интенсивности X и Y объемных сил считаются постоянными. Уравнения (4.3) дифференцируются по аргументам x и y соответственно, а затем складываются: 2 σ x x σ y y τ xy x y =0. С учетом этой формулы зависимость (4.12) приводится к виду: (σ x + σ y ) ν σ z =0. (4.12a) При плоском напряженном состоянии σ z =0, а при плоской деформации (см. формулу (4.6)) σ z = ν(σ x +σ y ), т. е. в любом случае окончательный результат будет одинаковым: (σ x + σ y )=0. (4.13) Данное уравнение получил французский инженер, специалист в области теории упругости и строительной механики Морис Леви. Подстановка Эри (4.10) приводит уравнение (4.13) к виду: ϕ =0, или 4 ϕ x ϕ x 2 y ϕ =0. (4.14) y4 Это и есть искомое разрешающее уравнение плоской задачи относительно функции напряжений. После того, как эта функция будет установлена, по формулам (4.10) вычисляются напряжения, а затем и деформации (4.7) либо (4.8). Наконец, при помощи кинематических уравнений (4.4) получают перемещения u и v. При заданных граничных условиях уравнение (4.14) всегда можно проинтегрировать численно. Но важно, что зачастую это удается сделать и аналитически. Один из способов построения аналитического решения обсуждается в следующем пункте Решение в полиномах. Пусть ϕ = ky 2. Данная функция тождественно удовлетворяет уравнению (4.14) и при отсутствии объемных сил приводит к напряжениям (см. формулы (4.10)) σ x =2k, σ y = τ xy =0. (4.15)

63 352 Часть III На рис. 4.2a изображена тонкая пластина, загруженная по торцам равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью P/h, где P равнодействующая рассматриваемого погонного воздействия. Напряжения в этом случае даются формулами (4.15) при k =0, 5P/h. Стало быть, функция ϕ = ky 2 отвечает равномерному растяжению пластины по оси 0x. Если ϕ = ky 3, то уравнение (4.14) также будет удовлетворяться при любом значении коэффициента k. При X = Y = 0 формулы (4.10) дают: σ x =6ky, σ y = τ xy =0. Такие напряжения возникают при чистом изгибе элемента моментами M z (см. рис. 4.2b), если под k понимать число M z /(6I z ),гдеi z =h 3 /12 момент инерции поперечного сечения, отнесенный, как и изгибающий момент M z,к единице толщины пластины. Ясно, что при помощи функции ϕ=k 1 y 2 +k 2 y 3 можно описать напряженное состояние прямоугольного элемента, испытывающего изгиб и осевую деформацию одновременно. Приведенные примеры подсказывают способ действия при произвольной нагрузке на элемент. Он состоит в том, что функцией ϕ задаются в форме полинома с неопределенными коэффициентами a km : ϕ(x, y) = k, m a km x k y m, k =0, 1,..., k 1, m =0, 1,..., m 1, (4.16) а затем находят константы a km, подчиняя эту функцию уравнению (4.14) и краевым условиям задачи. Степень s km слагаемого a km x k y m суммы (4.16) равна сумме степеней аргументов x и y: s km = k + m. Наибольшее из чисел s km называют степенью полинома (4.16). Чем ниже эта степень, тем проще строится решение задачи. Приступая к такому решению, следует брать полином небольшой степени и повышать ее только после того, как начальная попытка окажется неудачной. Неудача может быть связана и с невозможностью точно удовлетворить граничным условиям задачи. Поэтому прежде, чем повышать степень полинома, надо попытаться построить решение при смягченных граничных условиях. Если же ни повышение степени функции ϕ, ни смягчение граничных условий к цели не приводят, от построения решения задачи в полиномах придется отказаться.

64 Глава Изгиб консоли прямоугольного профиля. Если размер b пластины вдоль оси 0z мал, то можно положить b =1 (см. рис. 4.3) и иметь дело с задачей плоского напряженного состояния. Собственный вес пластины не учитывается, т. е. X = Y =0. Требуется найти напряжения и перемещения в точках рассматриваемого тела. Решение предложенной задачи можно построить при помощи полинома степени 4: ϕ=a 00 +a 01 y+a 02 y 2 +a 03 y 3 +a 04 y 4 +a 10 x + a 11 xy + a 12 xy a 13 xy 3 +a 20 x 2 + a 21 x 2 y+a 22 x 2 y 2 +a 30 x 3 +a 31 x 3 y+a 40 x 4. (4.17) Согласно равенствам (4.10), σ x = 2 ϕ/ y 2, σ y = 2 ϕ/ x 2, τ xy = 2 ϕ/ x y. При записи последней формулы было учтено, что X =Y =0. Значит, σ x =2a 02 +6a 03 y +12a 04 y 2 +2a 12 x +6a 13 xy +2a 22 x 2, σ y =2a 20 +6a 30 x +12a 40 x 2 +2a 21 y +6a 31 xy +2a 22 y 2, (4.18) τ xy = a 11 2a 12 y 3a 13 y 2 2a 21 x 4a 22 xy 3a 31 x 2. Функция (4.17) должна удовлетворять уравнению (4.14), а напряжения (4.18) граничным условиям задачи. Так, при заданной нагрузке на верхней и нижней кромках консоли нет напряжений σ y и τ xy. Занимаясь сначала напряжениями σ y, можно записать два условия: 1) y =h/2 : σ y =0 0=2a 20 +6a 30 x+12a 40 x 2 +a 21 h+3a 31 hx+a 22 0, 5h 2, 2) y = h/2 : σ y =0 0=2a 20 +6a 30 x+12a 40 x 2 a 21 h 3a 31 hx+a 22 0, 5h 2, которые должны выполняться при любых значениях аргумента x. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при различных степенях независимой переменной x обращаются в нуль. Из сказанного тут же следует, что a 40 =0. (4.19) Если теперь условия 1) и 2) сложить, получится равенство из которого видно, что 4a 20 + a 22 h 2 +12a 30 x =0, a 30 =0, 4a 20 + a 22 h 2 =0.

65 354 Часть III Но если a 30 =0,тоиa 31 =0, ибо только при этих коэффициентах в условиях 1) и 2) имеется множитель x. В таком случае разность между условиями 1) и2)даетa 21 =0. Итак, для обращения напряжений σ y на верхней и нижней границах в нуль требуется, чтобы a 40 = a 30 = a 31 = a 21 =0, 4a 20 + a 22 h 2 =0. (4.19a) Аналогично, но с использованием формул (4.18) 3 и (4.19a), учитывается отсутствие на нижней и верхней кромках консоли касательных напряжений: 1) y =h/2 : τ yx =0 0= a 11 a 12 h 0, 75a 13 h 2 2a 22 hx, 2) y = h/2 : τ yx =0 0= a 11 + a 12 h 0, 75a 13 h 2 +2a 22 hx. Аргумент x содержится лишь при коэффициенте a 22, поэтому a 22 =0. (4.20) Но тогда и a 20 =0, что видно по последней из формул (4.19a). Если же из условия 1) вычесть условие 2), то получится равенство a 12 =0. Таким образом, a 22 = a 20 = a 12 =0, a 11 +0, 75a 13 h 2 =0. (4.20a) Полином (4.16) содержит всего три члена степени 4: это слагаемые с коэффициентами a 04, a 22 и a 40. Согласно формулам (4.19) и (4.20), два из них равны нулю. Значит, при подстановке функции ϕ в левую часть дифференциального уравнения (4.14), имеющего четвертый порядок, из всех элементов суммы (4.17) останется только тот, что имеет множитель a 04. Стало быть, и этот множитель должен равняться нулю: a 04 =0. (4.21) Уже выявлено достаточно много коэффициентов полинома (4.17), поэтому имеет смысл заново переписать формулы (4.18) с учетом равенств (4.19a), (4.20a) и (4.21): σ x =2a 02 +6a 03 y +6a 13 xy, σ y =0, τ xy =3a 13 (h 2 /4 y 2 ). (4.18a) Неопределенными остались три коэффициента. Два из них можно найти сразу же, если учесть, что на краю x=0 сила P направлена по касательной к контуру пластины, а потому σ x =0. Это условие может быть выполнено лишь при a 02 = a 03 =0. (4.22)

66 Глава Уравновешивают же силу P на свободном торце консоли касательные напряжения: P = h/2 h/2 τ xy 1 dy. Знак минус перед интегралом поставлен потому, что внешняя нормаль к торцу x =0 антипараллельна оси 0x, тогда как сила P и ось 0y направлены одинаково. Подстановка под знак интеграла напряжений (4.18a) 3 дает: h/2 ( h 2 P = 3a 13 4 y2) dy = a 13 h3 2 h/2 a 13 = 2P h 3. (4.23) Теперь надо ввести коэффициенты (4.22) и (4.23) в формулы (4.18a), учесть, что h 3 /12 = I z, и получить окончательные выражения для искомых напряжений: σ x = Pxy, σ y =0, τ xy = P ( h 2 I z 2I z 4 y2). (4.24) Эти напряжения можно записать и иначе, если заметить, что величины 0, 5(h 2 /4 y 2 )=S отс z, Px = M z, P = Q y представляют собой соответственно статический момент отсеченной части прямоугольного сечения единичной ширины, изгибающий момент и поперечную силу в консольном стержне. Тогда σ x = M z y, σ y =0, τ xy = Q ysz отс. (4.24a) I z 1 I z Такие же напряжения получаются и по технической теории изгиба. Правда, последняя позволяет находить напряжения в призматических брусьях любого поперечного сечения, но зато решение (4.24) построено без использования гипотез Бернулли Мариотта. По этой причине его можно рассматривать как подтверждение справедливости элементарной теории. Имеется еще одна точка соприкосновения обсуждаемых теорий. Так, если сила P распределена по торцу консоли не по закону квадратной параболы, то решение (4.24) нельзя использовать вблизи края x =0. Согласно принципу Сен-Венана, зоны местных деформаций глубиною h, которые примыкают к обоим концам консоли, испытывают более сложное напряженное состояние, нежели описываемое формулами (4.24). Об этом говорилось и при построении технической теории изгиба брусьев.

67 356 Часть III Перемещения u и v находят так же, как это делалось в п. II.2.2. Сначала при помощи закона Гука (4.8) переходят от напряжений (4.24) к деформациям, а затем выражают через них искомые функции u(x, y) и v(x, y): u x = P EI z xy, v y = νp EI z xy, u y + v (1+ν) ( h 2 = P x EI z 4 y2). При интегрировании первых двух из этих уравнений по переменным x и y соответственно появляются функции f 1 (y) и f 2 (x), которые должны удовлетворять как граничным условиям задачи, так и третьему из только что записанных соотношений: u = P x 2 y + f 1 (y), v = νp xy 2 + f 2 (x), 2EI z 2EI z Px2 + f 2EI 1(y)+ νpy2 + f z 2EI 2(x) = P (1+ν) ( h 2 z EI z 4 y2). Последнюю формулу можно записать в форме равенства f 2(x) Px2 = f 2EI 1(y) (1+ν)Ph2 + (2+ν)Py2, z 4EI z 2EI z которое должно выполняться при любых значениях независимых переменных x и y. Это возможно, если обе его части равны некоторой постоянной величине C: f 2(x) =C + Px2, 2EI z Следовательно, f 1(y) = C (1+ν)Ph2 4EI z + (2+ν)Py2 2EI z. u = P x 2 y Cy (1+ν)Ph2 y 2EI z 4EI z v = νp 2EI z xy 2 + Cx + Px3 6EI z + C 2, + (2+ν)Py3 6EI z + C 1, (4.25) где C 1, C 2 константы интегрирования. При y =0, т. е. на оси консоли, перемещение u отсутствует, что дает C 1 =0. Перемещение v должно равняться нулю в каждой точке защемленного торца, т. е. при x=l и любом y из интервала [ h/2, h/2]. Но, как видно из равенства (4.25) 2, это требование невыполнимо. Приходится смягчать и кинематические граничные условия, считая прогиб равным нулю не во всех точках заделки, а только в точке (l, 0). В этом же месте приравнивается к нулю и угол поворота бесконечно малого элемента оси 0x: 1) x = l, y =0: v =0 0=Cl + Pl 3 /(6EI z )+C 2, 2) x = l, y =0: v/ x =0 0=C + Pl 2 /(2EI z ).

68 Глава Константы C и C 2 определяются этими условиями однозначно, так что u = P [( l 2 x 2 (1+ν)h2 2EI z 2 v = P [ 2l 3 3x 6EI z ) y (2+ν)y3 (l 2 νy 2 x2 3 3 )]. ], (4.25a) Отсюда видно, что поперечное сечение бруса не остается плоским ведь перемещение u содержит слагаемое, в состав которого входит величина y 3. Но если l h, указанным слагаемым можно пренебречь. Можно также откинуть в формулах (4.25a) и члены, содержащие множители h 2 и y 2 : u = P (l2 x 2 )y 2EI z, v = Pl3 3EI z Px(3l2 x 2 ) 6EI z. Такими получаются перемещения и по технической теории изгиба призматических брусьев. И последнее. Если граничное условие 2) заменить требованием равенства нулю угла поворота вертикального (а не горизонтального) линейного элемента тела: 2) x = l, y =0: u/ y =0 0= 2Pl 2 4CEI z (1+ν)Ph 2, то константы C, C 2,асталобыть,иперемещенияu(x, y), v(x, y) станут иными. И между этими перемещениями и перемещениями (4.25a) будет именно та разница, о которой говорилось в п. II.3.6 при обсуждении влияния напряжений сдвига на углы поворота поперечного сечения стержня и касательной к его оси Изгиб шарнирно опертой балки. На рис. 4.4 изображена простая балка, несущая равномерно распределенную нагрузку. Собственный вес балки не учитывается, а потому X =Y =0. Для решения задачи можно использовать полином степени 5. Пусть ϕ 0 часть этого полинома, определяемая равенством (4.17). Тогда ϕ = ϕ 0 + a 05 y 5 +a 14 xy 4 +a 23 x 2 y 3 +a 32 x 3 y 2 +a 41 x 4 y+a 50 x 5 и (см. формулы (4.10), (4.18))

69 358 Часть III σ x =2a 02 +6a 03 y+12a 04 y 2 +2a 12 x+6a 13 xy+2a 22 x a 05 y 3 +12a 14 xy 2 +6a 23 x 2 y+2a 32 x 3, σ y =2a 20 +6a 30 x+12a 40 x 2 +2a 21 y +6a 31 xy+2a 22 y a 23 y 3 +6a 32 xy 2 +12a 41 x 2 y+20a 50 x 3, (4.26) τ xy = a 11 2a 12 y 3a 13 y 2 2a 21 x 4a 22 xy 3a 31 x 2 4a 14 y 3 6a 23 xy 2 6a 32 x 2 y 4a 41 x 3. Напряженно-деформированное состояние балки симметрично относительно оси 0y, поэтому напряжения σ x (x, y) и σ y (x, y) являются четными функциями абсциссы x, а напряжения τ xy нечетной функцией того же аргумента. Следовательно, в формулы для величин σ x и σ y не должны входить слагаемые, содержащие переменную x в нечетных степенях, что возможно лишь при a 12 = a 13 = a 14 = a 32 = a 30 = a 31 = a 50 =0. (4.27) Наоборот, формула для касательных напряжений не должна содержать слагаемых с четными степенями аргумента x, поэтому a 11 =0. (4.27a) Тогда (см. формулы (4.26), (4.27), (4.27a)) σ x =2a 02 +6a 03 y+12a 04 y 2 +2a 22 x 2 +20a 05 y 3 +6a 23 x 2 y, σ y =2a 20 +2a 21 y+12a 40 x 2 +2a 22 y 2 +2a 23 y 3 +12a 41 x 2 y, (4.26a) τ xy = 2a 21 x 4a 22 xy 6a 23 xy 2 4a 41 x 3. Теперь учитываются граничные условия задачи. Сперва приравниваются к нулю напряжения τ xy на нижней и верхней кромках балки: 1) y =h/2 : τ yx =0 0= 2a 21 x 2a 22 hx 3a 23 h 2 x/2 4a 41 x 3, 2) y = h/2 : τ yx =0 0= 2a 21 x+2a 22 hx 3a 23 h 2 x/2 4a 41 x 3. Анализ этих условий дает: a 41 = a 22 =0, 4a 21 +3a 23 h 2 =0. (4.28)

70 Глава Нормальные напряжения σ y на нижней грани бруса отсутствуют, тогда как на верхней грани они должны уравновешивать заданную нагрузку, сжимающую площадки, к которым данная нагрузка приложена: 1) y =h/2 : σ y =0 0=2a 20 +a 21 h+12a 40 x 2 +a 23 h 3 /4, 2) y = h/2 : σ y = q q =2a 20 a 21 h+12a 40 x 2 a 23 h 3 /4. Отсюда вытекает, что a 40 =0, 2a 20 + a 21 h + a 23 h 3 /4=0, q =4a 20 (4.29) и совместное решение системы (4.28) (4.29) приводит к коэффициентам a 20 = q/4, a 21 =3q/4h, a 23 q/h 3. Формулы для напряжений еще более упрощаются: σ x =2a 02 +6a 03 y+12a 04 y 2 +20a 05 y 3 6qx 2 y/h 3, σ y = q/2+3qy/(2h) 2qy 3 /h 3, τ xy = 3qx/(2h)+6qxy 2 /h 3. (4.26b) Согласно равенствам (4.10), 2 ϕ/ y 2 =σ x, 2 ϕ/ x 2 =σ y, поэтому 4 ϕ x 4 = 2 σ y x 2 =0, 4 ϕ y 4 = 2 σ x y 2 =24a a 05 y, 4 ϕ x 2 y 2 = 2 σ x x 2 = 12qy h 3, что позволяет привести уравнение (4.14) к виду: 24 a a 05 y 24 qy/h 3 =0. Полученное равенство должно выполняться при любом значении y. Значит, a 04 =0, a 05 = q/(5h 3 ), поэтому (см. первую из формул (4.26b)) σ x =2a 02 +6a 03 y + 4q h 3 y3 6q h 3 x2 y. (4.30) Эти напряжения на торцах балки, т. е. при x=±l и любом y, должны отсутствовать. Однако наличие в формуле (4.30) слагаемого 4qy 3 /h 3 не позволяет такое требование реализовать. Приходится идти на смягчение граничных

71 360 Часть III условий, приравнивая к нулю усилия N и M z, порождаемые напряжениями σ x, а не сами эти напряжения: h/2 h/2 σ x 1 dy =0, h/2 h/2 yσ x 1 dy =0. Далее учитываются формула (4.30) и тот факт, что интегралы от нечетных степеней аргумента y обращаются в нуль: a 02 =0, 6a 03 h/2 h/2 y 2 dy + 4q h/2 h 3 h/2 y 4 dy 6ql2 h/2 h 3 h/2 y 2 dy =0. Так как то Кроме того, h/2 h/2 y 2 dy = h3 12 = I z, h/2 h/2 6a 03 = q(l2 0, 1 h 2 ) 2I z. y 4 dy = h5 80, M z =0, 5q(l 2 x 2 ), Q y = qx, S отс z =0, 5(h 2 /4 y 2 ) и формулы для напряжений приобретают окончательный вид: σ x = M z I z ( 4y 3 y+q h 3 3y ) ( 1, σ y = q 5h 2 3y 2h + 2y3 ) h 3, τ xy = Q ysz отс. (4.26c) I z Интересно сравнить этот результат с напряжениями, даваемыми элементарной теорией изгиба. Согласно последней, σ y 0 (волокна не давят друг на друга). На самом же деле напряжения σ y существуют и они меняются по высоте бруса по закону кубической параболы (см. рис. 4.5a), достигая наибольшего по модулю значения при y = h/2: max σ y = q. Эту величину можно сравнить с максимальными значениями напряжений σx 0 элементарной теории: max σx 0 =max M z = ql2 /2 ( l ) 2. W z h 2 /6 =3q h Тогда max σ y max σ 0 x = 1 3 h 2 l 2

72 Глава и при h l, т. е. в брусьях, действительно можно считать, что продольные волокна не давят друг на друга. Напряжения σ x отличаются от соответствующих напряжений технической теории на слагаемое (см. формулу (4.26c) 1 ирис.4.5b) ( 4y σx 3 = q h 3 3y ), 5h которое при y = h/2 принимает значение q/5. Для брусьев эта величина незначительна. Например, при h = l σ x(h/2) max σ 0 x = q 5 3q = 1 15, т. е. второе слагаемое в формуле (4.26c) 1 составляет всего 6,7% от первого даже в пластине, очень далекой по своим параметрам от бруса. Касательные напряжения (4.26c) 3 не отличаются от тех, что определяются формулой Журавского. В заключение можно еще раз напомнить, что решение (4.26c) пригодно лишь для бруса узкого прямоугольного сечения, тогда как техническая теория обслуживает любые призматические стержни Изгиб консоли треугольного профиля. Пусть конструкция, изображенная на рис. 4.6, выполнена из материала объемного веса γ. Кроме собственного веса, консоль несет поверхностную нагрузку с интенсивностью p y =qx/l. Требуется определить напряжения в пластине. Поставленную задачу удается решить, используя полином степени 3: ϕ = a 00 + a 01 y+a 02 y 2 +a 03 y 3 +a 10 x+a 11 xy+a 12 xy 2 + a 20 x 2 +a 21 x 2 y+a 30 x 3. Этот полином удовлетворяет уравнению (4.14) тождественно. При X =0, Y =γ и принятой функции ϕ(x, y) формулы (4.10) дают: σ x =2a 02 +6a 03 y+2a 12 x, σ y =2a 20 +6a 30 x+2a 21 y, (4.31) τ xy = a 11 2a 12 y 2a 21 x γx. В угловой точке x=y =0 никаких напряжений нет, так что a 11 = a 02 = a 20 =0. (4.32)

73 362 Часть III На грани y =0 касательные напряжения приравниваются к нулю, а нормальные к заданной интенсивности нагрузки: 1) y =0 : τ yx =0 0= 2a 21 x γx, 2) y =0 : σ y = p y qx/l=6a 30 x. Следовательно, 2a 21 = γ, 6a 30 = q/l и (см. также формулу (4.32)) σ x =6a 03 y+2a 12 x, σ y = γy qx/l, τ xy = 2a 12 y. (4.31a) Напряжения (4.31a) должны удовлетворять краевым условиям на наклонной кромке пластины, которые формулируются при помощи уравнений (4.9). При q νx =q νy =0 эти уравнения имеют вид: σ xl + τ xym =0, τ xyl + σ ym =0. (4.33) Индекс указывает на то, что напряжения берутся на грани y = xtg α, ане в любой точке тела. Согласно формулам (4.31a), σ x =(6a 03 tg α+2a 12 ) x, σ y = (γ tg α+q/l) x, τ xy = (2a 12 tg α) x, поэтому (ведь x 0 всюду, кроме вершины треугольника, и l = sin α, m=cosα) (6a 03 tg α+2a 12 )sinα (2a 12 tg α) cosα =0, (4.33a) (2a 12 tg α) sinα (γ tg α+q/l) cosα =0. Отсюда следует, что 2a 12 =[(q ctg α)/l + γ] ctg α 6a 03 = 2[(q ctg α)/l + γ] ctg 2 α. Остается подставить найденные константы в формулы (4.31a): (q ctgα+γl)(x 2y ctgα) σ x =, σ y = qx+γly y(q ctgα+γl), τ xy =. L tgα L L tgα (4.34) Если собственный вес не учитывать, то зависимости (4.32) упростятся: σ x =ql 1 (x 2y ctg α) ctg 2 α, σ y = qxl 1, τ xy = qyl 1 ctg 2 α. (4.34a) Напряжения σ y во всех горизонтальных слоях пластины одинаковы. Они меняются по оси 0x так же, как и нагрузка p y. Эпюры напряжений σ x и τ xy в сечении x = const представлены на рис Если же не учитывается поверхностная нагрузка, то σ x =γ(x 2y ctg α) ctg α, σ y = γy, τ xy = γy ctg α. (4.34b)

74 Глава Эпюры напряжений σ x и τ xy отличаются от графиков, представленных на рис. 4.7a, только иными значениями ординат. Однако напряжения σ y распределяются по высоте сечения иначе (рис. 4.7b). Решение (4.34) средствами технической теории изгиба брусьев получено быть не может. Прежде всего это относится к напряжениям σ y, которые согласно элементарной теории отсутствуют. На самом же деле эти напряжения существуют и имеют тот же порядок, что и напряжения σ x.так, при α=45 o в точках наклонной грани клина σ x = σ y =(q/l + γ) x. Не совпадают с параболическими касательными напряжениями элементарной теории и линейно меняющиеся по координате y напряжения (4.34) 3. Правда, применять формулу Журавского для вычисления касательных напряжений в брусьях переменного сечения и не полагается (см. формулы (II.3.3) и п. I I.5.6). Что же касается напряжений σ x, то они получаются одинаможно убедиться, выполнив вычисления по формуле σ x =M z /W z и определив наковыми как по элементарной теории, так и по формуле (4.34) 1. В этом тем самым крайние ординаты эпюр "σ x ", изображенных на рис. 4.7a и b. Естественно, момент сопротивления поперечного сечения вы-числяется с учетом меняющейся высоты прямоугольника, т. е. как функция вида W z =W z (x).

75 ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 5.1. Основные уравнения. Зачастую исследование напряжений и деформаций оснований сооружений выполняется на основе решения задачи, рассмотренной в конце XIX века французским ученым А. Фламаном. Имеется в виду задача о силе, приложенной к границе полуплоскости. Пусть однородная упругая среда занимает часть пространства ниже плоскости 0xz. Вдоль оси 0z, направленной перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 5.1), приложена распределенная нагрузка интенсивностью q. Если q =const, то задача о напряжениях и перемещениях в точках среды есть задача плоского деформированного состояния. В среде можно выделить тонкий слой единичной толщины, обозначить через P = q 1 силу, приложенную к такому слою, и отождествить последний с частью плоскости, ничем не ограниченной вдоль оси 0x, но расположенной только ниже этой оси. Описанную часть плоскости называют полуплоскостью. То, что решать данную задачу следует в полярных координатах, почти очевидно. В частности, указать ожидаемую зависимость напряжений в произвольной точке среды от координат θ и r намного проще, чем от аргументов x и y, что дает возможность при использовании полярных координат решить задачу обратным методом. Назначению функций, описывающих искомые напряжения, способствует следующий образ действий. Полуплоскость мысленно представляется в виде набора клиньев бесконечной длины с вершинами в точке 0 (рис. 5.2). Каждый из клиньев принимает на себя тем б ольшую долю силы P, чем меньше он наклонен к оси 0y. Стало быть, напряжения σ r должны убывать по углу θ. Ясно также, что они должны убывать и по аргументу r, т. е. с увеличением расстояния между точками 0 и M. Можно предположить также, что клинья не давят друг на друга и не скользят один по другому, а потому отсутствуют напряжения σ θ и τ θr = τ rθ. Существует множество функций, убывающих по своим аргументам. К ним относится и зависимость σ r = k cos θ r (5.1)

76 Глава (k коэффициент пропорциональности), заслуживающая внимания хотя бы потому, что проста. В пользу напряжений σ r = k cos θ r, σ θ = 0, τ rθ = 0 (5.2) говорит и то, что на границе полуплоскости, т. е. при θ =π/2, все они обращаются в нуль, а потому соблюдаются краевые условия задачи. Исключение составляет точка 0, в которой напряжения σ r не определены. Вблизи этой точки образуется зона местных напряжений (полукруг с радиусом, равным толщине слоя), которая из рассмотрения исключается. Приведенных соображений недостаточно, чтобы можно было признать напряжения (5.2) решением задачи. Необходимо, чтобы эти напряжения не противоречили полной системе уравнений теории упругости. Важно, однако, что при помощи некоторых правдоподобных рассуждений зависимости (5.2) удалось построить. Дальнейшее дело не слишком сложных формальных операций. Правда, для их выполнения нужны уравнения, в которые следует подставить напряжения (5.2). Таких уравнений пока нет, поскольку все необходимые для решения плоской задачи соотношения были получены в прямоугольной декартовой системе координат, а не в полярной. Указанный пробел следует ликвидировать. На рис. 5.3 изображен элемент, выделенный из упругого слоя единичной толщины. На данный элемент действуют силы, связанные с радиальными σ r, окружными (тангенциальными) σ θ и касательными τ θr = τ rθ напряжениями. Кроме того, имеются объемные силы S r и S θ интенсивностей P r и P θ соответственно. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка принимается, что S r =P r rdθ dr 1, S θ =P θ rdθ dr 1. Элемент находится в состоянии равновесия, поэтому сумму проекций всех приложенных к нему сил на ось 0n можно приравнять к нулю: P r drrdθ + (σ r +dσ r )(r+dr)dθ 1 σ r rdθ 1 + [(τ θr +dτ θr )dr 1 τ θr dr 1] cos (dθ/2) [(σ θ +dσ θ )dr 1 + σ θ dr 1] sin (dθ/2) = 0. Поскольку cos (dθ/2) 1, sin (dθ/2) dθ/2, то σ r drdθ+dσ r rdθ+dσ r drdθ+dτ θr dr σ θ drdθ dσ θ drdθ/2+p r rdrdθ =0. Подчеркнутые слагаемые, имеющие высший порядок малости по сравнению

77 366 Часть III с остальными слагаемыми, в дальнейшем не учитываются. Кроме того, так что dσ r = σ r r dr, dτ θr = τ θr θ dθ, σ r drdθ + r σ r r drdθ + τ θr θ drdθ σ θdrdθ + rp r drdθ = 0. Остается обе части данного равенства разделить на произведение rdrdθ. Аналогично составляется условие равновесия t =0. Итак, + P r = 0, σ r r + 1 r τ θr r + 1 r τ θr θ + σ r σ θ r σ θ θ + 2τ θr + P r θ = 0. (5.3) Приравнивание к нулю суммы моментов приложенных к элементу сил относительно точки M приводит к тождеству τ θr = τ rθ. Таким образом, условия равновесия плоской задачи теории упругости в полярных координатах получены (ср. с уравнениями (4.3)). Связь между деформациями и перемещениями в произвольной точке слоя проще всего установить при помощи уравнений (2.7), справедливых для любой криволинейной системы координат. В полярных координатах метрика на плоскости задается формулами ds 1 = dr, ds 2 = rdθ, следовательно (см. равенства (2.1)), A 1 =1, A 2 =r. С учетом сказанного замена в соотношениях (2.7) деформаций ε 1, ε 2, γ на деформации ε r, ε θ, γ rθ, перемещений u 1, u 2, u 3 на перемещения u r, u θ, 0 и переменных α 1, α 2 на аргументы r и θ при R 1 = дает: ε r = u r r, ε θ = 1 r u θ θ + u r r, γ rθ = 1 r u r θ + u θ r u θ r. (5.4) Аналогично можно получить и уравнение совместности деформаций. Для этого надо опереться на третье из равенств (2.14), сделав в нем ту же замену функций, коэффициентов и переменных, о которой говорилось до записи соотношений (5.4), и принять κ 1 =κ 2 =0: ( 1 γ rθ r 2 θ (rε θ ) ) + ε r + [ 1 ( 1 (γ rθ r) ε r r θ r 2 r θ + 1 )] 2 γ rθ = 0. Это уравнение упростится, если выполнить дифференцирование, привести подобные члены и учесть, что γ rθ θ + r 2 γ rθ r θ = 2 (rγ rθ ). r θ

78 Глава Результатом таких преобразований является равенство 2 (rε θ ) r r 2 ε r θ 2 ε r r = 1 r Закон Гука можно привести без комментариев: 2 (rγ rθ ) r θ ε r = (σ r νσ θ )/E, ε θ = (σ θ νσ r )/E, γ rθ = τ rθ /G. (5.5) Полная система уравнений плоской задачи теории упругости в полярных координатах получена. Для ее решения в напряжениях можно использовать два условия равновесия (5.3) и уравнение Леви (σ r +σ θ ) = 0. (5.6) Данное уравнение внешне ничем не отличается от равенства (4.13), что и понятно: сумма нормальных напряжений есть инвариант. Однако оператор Лапласа теперь должен быть записан в полярных координатах. Из курса высшей математики известно, что = 2 r r r r 2 θ 2, следовательно, ( 2 r r r ) ( ) r 2 θ 2 σ r +σ θ = 0. (5.6a) Для интегрирования системы уравнений (5.3) и (5.6) используется подстановка Эри: σ r = 1 r ϕ r ϕ r 2 θ 2, σ θ = 2 ϕ r 2, τ rθ = 1 ϕ r 2 θ 1 r. 2 ϕ r θ, (5.7) которая тождественно удовлетворяет условиям равновесия (5.3) при отсутствии объемных сил. Если же зависимости (5.7) ввести в равенство (5.6), получится разрешающее уравнение: ( 2 r r r )( 2 ϕ r 2 θ 2 r r ϕ r ϕ) r 2 θ 2 = 0. (5.8) Теперь можно вернуться к задаче Фламана и довести ее до конца Задача Фламана. Как было показано в п.5.1, напряжения (5.2) удовлетворяют краевым условиям задачи, и остается проверить, будут ли они обращать в тождества уравнения равновесия и Леви. При σ θ =τ θr =0 и P r =P θ =0 соотношения (5.3) и (5.6a) примут вид: σ r r + σ r r = 0, 0 0, 2 σ r r r σ r r σ r r 2 = 0. (5.9) θ2

79 368 Часть III Поскольку σ r = k r cos θ, σ r r = k cos θ, r2 2 σ r r 2 = 2k r 3 cos θ, 2 σ r θ 2 = k r cos θ, то при напряжениях (5.1) все три уравнения (5.9), а не только среднее, становятся тождествами типа 0 0. Значит, напряжения (5.2) действительно являются решением задачи Фламана. Что же касается константы k, то ее можно найти из условия равновесия полукруглого элемента, отделенного от остальной части полуплоскости цилиндрическим разрезом (см. рис. 5.2): Σ Y = 0 : P + 2 π/2 0 (σ r ds 1) cos θ = 0. Так как ds=rdθ, а напряжения σ r даются формулой (5.1), то 2k π/2 0 cos 2 θ dθ + P = 0 или k(θ+0, 5 sin 2θ) π/2 0 +P = 0. Значит, k = 2P/π и σ r = 2P cos θ. (5.10) π r От напряжений σ r можно перейти к напряжениям σ x, σ y, τ xy, отнесенным к декартовой системе координат. Изображенный на рис. 5.4b элемент, отделенный от полуплоскости тремя разрезами, находится в равновесии, поэтому Σ X =0: σ x dy 1 σ r ds 1 sin θ =0, Σ Y =0: τ xy dy 1 σ r ds 1 cos θ =0. Но ds=dy sin θ, так что σ x =σ r sin 2 θ, τ xy =σ r sin θ cos θ. Можно установить также (рис. 5.4c), что σ y = σ r cos 2 θ. Остается, учитывая формулу (5.10) и зависимости (см. рис. 5.4a) sin θ = x/r, cos θ = y/r, r 2 = x 2 +y 2, получить окончательный результат:

80 Глава σ x = 2P π x 2 y (x 2 +y 2 ) 2, σ y = 2P π y 3 (x 2 +y 2 ) 2, τ xy = 2P π xy 2 (x 2 +y 2 ) 2. Эпюры этих напряжений приведены на рис Решение (5.10) можно применить и для определения напряжений в точках полуплоскости при действии любой вертикальной нагрузки на ее границе. И в самом деле (рис. 5.6), согласно формуле (5.10), dσ r = 2dP π cos θ r = 2qdx π cos θ r 2q cos θ = πr rdθ cos θ = 2q π dθ, σ r = 2 π α 2 α 1 qdθ. При q =const отсюда следует: σ r = 2q(α 2 α 1 )/π. Распределение напряжений σ r по полуплоскости обладает свойством, на которое нельзя не обратить внимания. На рис. 5.7a показана окружность

81 370 Часть III диаметром D, касающаяся границы полуплоскости в точке приложения силы. Так как r =D cos θ, то в точках окружности формула (5.10) дает σ r = 2P πd = const. Стало быть, окружности, касающиеся оси 0x в точке 0, являются линиями равных напряжений, т. е. изобарами (рис. 5.7b). Это обстоятельство используется как для сокращения объема вычислений при анализе напряженного состояния в рассматриваемой среде, так и для решения ряда других задач (см. далее п. 5.5). И в заключение краткая историческая справка. В 1885 г. французский исследователь Ж. Буссинеск решил задачу о силе, приложенной к границе упругого полупространства. Проверить это трехмерное решение экспериментально было трудно, поэтому английский ученый Карус Вильсон упростил дело, поставив опыты на тонких пластинах, выполненных из оптически активного материала. На полученных поляризационных фотографиях были ясно видны те самые изобары, которые приведены на рис. 5.7b. Эти линии позже назвали кругами Буссинеска. Фламан, ознакомившись с опытами Вильсона, подтвердил его экспериментальные результаты теоретически (1892 г.) Полярная симметрия. Чистый изгиб кривого бруса. Полярно симметричным называют состояние, в котором напряжения не зависят от угла θ. В этом случае бигармоническое уравнение (5.8) становится обыкновенным дифференциальным уравнением вида d 4 ϕ dr r d 3 ϕ dr 3 1 d 2 ϕ r 2 dr dϕ r 3 dr = 0. Его решение может быть представлено в замкнутой форме: ϕ = A ln r + Br 2 ln r + Cr 2 + D. (5.11) Упрощаются и формулы (5.7). Напряжения τ rθ обращаются в нуль, а σ r = 1 r dϕ dr = A r 2 +B(1+2ln r)+2c, σ θ = d2 ϕ dr 2 = A +B(3+2ln r)+2c. (5.12) r2 Таким образом, все сводится к определению констант A, B и C. На рис. 5.8 изображен тонкий кривой брус, испытывающий деформацию чистого изгиба. Напряженное состояние такого бруса исследовалось в п. II.5.1 средствами технической теории. Теперь имеется возможность ре-

82 Глава шить задачу без помощи гипотез Бернулли Мариотта. На нижней и верхней гранях бруса нет нагрузки, а потому нет и напряжений σ r. Следовательно (см. формулу (5.12) 1 ), 1) r =b : σ r =0 0=A/b 2 +B(1+2ln b)+2c, 2) r =a : σ r =0 0=A/a 2 +B(1+2ln a)+2c. Напряжения σ θ должны уравновешивать заданные торцевые моменты: b M = σ θ rdr 1. a Вычислить этот интеграл проще всего при помощи равенства (5.7) 2, согласно которому σ θ =d 2 ϕ/dr 2. Так как b a r d2 ϕ dϕ dr = dr2 dr r b то (см. также формулу (5.11)) b a a dϕ ( dr dr = r dϕ ) dr ϕ b, a 3) M = A ln (b/a) + B(b 2 ln b a 2 ln a) + (B+C)(b 2 a 2 ). Совместное рассмотрение граничных условий 1) 3) дает: A = [4Ma 2 b 2 ln (b/a)]j 1, C = M[b 2 a 2 +2(b 2 ln b ln a)] 1 J 1, B = 2M(b 2 a 2 )J 1, J = (b 2 a 2 ) 2 4a 2 b 2 ln 2 (b/a) (5.13) и σ r = 4M ( a 2 b 2 J r 2 ln b a + b2 ln r b + a2 ln a ), r σ θ = 4M ( a2 b 2 J r 2 ln b a + b2 ln r b + a2 ln a (5.12a) r + b2 a 2). Полученное решение справедливо для бруса узкого прямоугольного сечения. Если задаваемые моменты M распределяются по высоте торцевых сечений иначе, нежели напряжения σ θ, то формулы (5.12a) можно применять лишь за пределами зон местных деформаций. Последние занимают приторцевые области бруса глубиною, примерно, h. По напряжениям (5.12) можно найти перемещения u r и u θ точек рассматриваемого тела. Сделать это надо хотя бы для того, чтобы оправдать

83 372 Часть III применение гипотезы плоских сечений в технической теории кривого бруса (см. п. II.5.1). В отличие от напряжений искомые перемещения зависят не только от переменной r, но и от угла θ. Пусть этот угол отсчитывается от вертикальной оси симметрии KK (см. рис. 5.8), а точка 0, принадлежащая данной оси, закреплена от любых смещений. Ясно, что с увеличением модуля угла θ от нуля до максимального значения перемещения u θ и u r также будут возрастать от нуля до своих наибольших значений. Подстановка напряжений (5.12) в уравнения (5.5) дает ε r = [A(1+ν)/r 2 + 2B(1 ν)ln r + (1 3ν)B + 2(1 ν)c] /E, ε θ = [ A(1+ν)/r 2 + 2B(1 ν)ln r + (3 ν)b + 2(1 ν)c] /E, γ rθ = 0. Тогда в соответствии с первой из формул (5.4) u r = [ A(1+ν)/r + 2B(1 ν)rln r B(1+ν)r + 2C(1 ν)r] /E + f 1 (θ), (5.14a) где f 1 (θ) функция интегрирования. Теперь видно, что rε θ u r = 4Br/E f 1 (θ). С другой стороны (см. равенство (5.4) 2 ), u θ / θ =rε θ u r. Значит, u θ = 4Brθ/E f 1 (θ)dθ + f 2 (r). (5.14b) При γ rθ =0 уравнение (5.4) 3 принимает вид: u r θ + r u θ r u θ = 0 или после подстановки перемещений (5.14a) и (5.14b) df 1 dθ + r df 2 dr f 2 + f 1 (θ)dθ = 0. Пользуясь независимостью аргументов r и θ, можно свести это равенство к двум зависимостям: df 1 dθ + f 1 (θ)dθ = C 1, r df 2 dr f 2 = C 1, (5.15) где C 1 константа. Первое из соотношений (5.15) эквивалентно уравнению f 1 +f 1 =0 с известным решением f 1 = C 2 sin θ + C 3 cos θ.

84 Глава Подстановка данной функции в уравнение (5.15) 1 дает C 1 = 0, а при C 1 = 0 из уравнения (5.15) 2 следует f 2 =C 4 r. Таким образом, u r =[ A(1+ν)/r+2B(1 ν)rln r B(1+ν)r+2C(1 ν)r] /E + + C 2 sin θ+c 3 cos θ, (5.14c) u θ = 4Brθ/E + C 4 r + C 2 cos θ C 3 sin θ. (5.14d) На оси KK перемещения u θ отсутствуют при любом значении аргумента r. Значит, C 2 = C 4 = 0. Постоянную C 3 можно найти, полагая, что при θ = 0 и r = (a+b)/2 обращается в нуль перемещение u r. После этого формулам (5.14c) и (5.14d) можно будет придать окончательный вид: u r =[ A(1+ν)/r+2B(1 ν)rln r B(1+ν)r+2C(1 ν)r] /E+C 3 cos θ, u θ = 4Brθ/E C 3 sin θ. Постоянные A, B, C даются зависимостями (5.13). Перемещения u θ линейно зависят от аргумента r, следовательно, поперечные сечения бруса не искривляются. Этим и объясняется практическое совпадение результатов вычислений по формулам (5.12a), полученным без помощи гипотез Бернулли Мариотта, и по формулам (II.5.12), (II.5.18) элементарной теории изгиба. Рассмотренная в этом пункте задача была решена в 1881 г. Х. С. Головиным, видным ученым в области теории упругости и строительной механики Задача о полом цилиндре, находящемся под действием внешнего и внутреннего давления. Решение данной задачи получил в 1852 г. Ламе. Полый толстостенный цилиндр (его поперечное сечение изображено на рис. 5.9) подвергается равномерному давлению изнутри и снаружи. Интенсивности нагрузок и радиусы внешнего и внутреннего контуров сечения заданы. Ясно, что напряженно-деформированное состояние тела не зависит от координаты θ, поэтому τ rθ =0. Напряжения σ r и σ θ определяются формулами (5.12): σ r = A/r 2 + B(1+2ln r) + 2C, σ θ = A/r 2 + B(3+2ln r) + 2C. (5.16) Эти напряжения должны удовлетворять только двум граничным условиям:

85 374 Часть III 1) r =a, σ r = q a : q a = A/a 2 + B(1+2ln a) + 2C, 2) r =b, σ r = q b : q b = A/b 2 + B(1+2ln b) + 2C, а потому три константы A, B, C оказываются связанными всего лишь двумя соотношениями. На помощь можно привлечь те же соображения, что использовались в главе 3 при обсуждении краевого эффекта. Дело в том, что функции (5.16) являются решением задачи при любых нагрузках q a, q b и, в частности, при отсутствии внешнего давления. Если же q b = 0, то напряжения σ r должны убывать по r, что возможно лишь при B = 0. В этом случае условия 1) и 2) дают: Таким образом (см. формулы (5.16)), A = a2 b 2 (q b q a ) b 2 a 2, 2C = q aa 2 q b b 2 b 2 a 2. σ r = a2 b 2 (q b q a ) r 2 (b 2 a 2 ) + q aa 2 q b b 2 b 2 a 2, σ θ = a2 b 2 (q b q a ) r 2 (b 2 a 2 ) + q aa 2 q b b 2 b 2 a 2. (5.17) Пусть q b =0. Тогда σ r = q aa 2 (r 2 b 2 ) r 2 (b 2 a 2 ), σ θ = q aa 2 (a 2 r 2 ) r 2 (b 2 a 2, (5.17a) ) и так как b>r, то радиальные напряжения σ r во всем теле трубы являются сжимающими, обращаясь в нуль лишь при r = b. Окружные напряжения всюду положительны. Из формул (5.17) видно, что σ r +σ θ =const, т. е. при любом нагружении сумма радиальных и окружных напряжений постоянна и одинакова во всех точках тела. Стало быть, в зависимости от знаков и значений интенсивностей нагрузок на границах цилиндра последний в направлении оси 0z либо равномерно сжимается, либо равномерно расширяется (эффект Пуассона). В обоих случаях деформация любого тонкого слоя трубы не стесняет деформирования соседних слоев, так что состояние тела можно трактовать и как плоское напряженное, и как плоское деформированное Расчет опорного катка. Пусть длинное цилиндрическое тело нагружается равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q по двум диаметрально противоположным образующим. Каждый тонкий слой тела может рассматриваться как диск, сжатый направленными навстречу друг другу сосредоточенными силами P = q 1 (рис. 5.10a). Если трактовать границу диска как круг Буссинеска и находить напряжения σ r (1) и σ r (2) в произвольной точке M этой границы от сил P 1 и P 2 соответственно (см. рис. 5.10b

86 Глава и формулу (5.10)), то будет получен следующий результат: σ r (1) = σ r (2) = 2P/(πD). Условия равновесия элемента, выделенного около точки M, дают: n =0 : σ nds 1 σ (1) r ds 1 1 cos θ 1 σ (2) r ds 2 1 sin θ 1 = 0, t =0 : τ nds 1 + σ (1) r ds 1 1 sin θ 1 σ (2) r ds 2 1 cos θ 1 = 0, и так как ds 1 = ds cos θ 1, ds 2 = ds sin θ 1, то Значит, πdσ n + 2P cos 2 θ 1 + 2P sin 2 θ 1 = 0, πdτ n 2P sin θ 1 cos θ 1 + 2P sin θ 1 cos θ 1 = 0. σ n = 2P/πD, τ n = 0, (5.18) т. е. граница диска оказалась равномерно сжатой нагрузкой с интенсивностью q =2P/πD (рис. 5.10c). Сказанного достаточно для понимания того, что решение обсуждаемой задачи может быть разбито на четыре этапа. А именно: 1. Для области, ограниченной окружностью диаметром D, решается задача Фламана при воздействии P 1 (рис. 5.11a). 2. Для указанной области решается задача Фламана при воздействии P 2 (рис. 5.11b) 3. Для этой же области решается задача Ламе при воздействии q a = 0, q b = σ n = 2P/πD (рис. 5.11c), нейтрализующем нагружение (5.18). (При использовании формул (5.17a) берется a=0, b=d/2.) 4. Полученные напряжения приводятся к единой системе координат и складываются.

87 376 Часть III Доводить решение этой задачи до конца необходимости нет Растяжение пластины, ослабленной круглым отверстием. О такой пластине говорилось при изучении концентрации напряжений. Но если в п. I.3.7 был указан экспериментальный путь исследования проблемы, то теперь будет найдено теоретическое решение. На рис изображена тонкая пластина, растягиваемая равномерно распределенными торцевыми силами интенсивностью σ. Заданы ширина 2h пластины и диаметр d = 2a кругового отверстия. Считается, что h a. Согласно принципу Сен-Венана, уже в точках окружности радиусом h напряженное состояние будет таким же, что и за пределами круга, очерченного на рис штриховой линией и ограничивающего зону местных деформаций. Напряжения σ n и τ n, действующие на площадке, наклоненной под углом θ к вертикали, даются формулами σ n = σl 2, τ n = σl 1 l 2, приведенными в п. I.3.6. Поскольку l = cos θ и cos 2 θ = 0, 5(1 + cos 2θ), sin θ cos θ =0, 5 sin 2θ, то σ n = 0, 5σ(1+cos 2θ), τ n = 0, 5σ sin 2θ. Из этих равенств видно, что напряжения в зоне местных деформаций могут быть найдены при решении задачи о состоянии кольца, загруженного так, как это показано на рис Нагрузка q 1 приводит к напряжениям σ r и σ θ, вычисляемым по формулам (5.17) при b=h, q a =0, q b = σ/2: σ r = σ (1 a2 ) 2(1 a 2 /h 2 ) r 2, σ θ = σ (1+ a2 ) 2(1 a 2 /h 2 ) r 2.

88 Глава При h a величиною a 2 /h 2 по сравнению с единицей можно пренебречь: σ r = σ 2 (1 a2 ), r 2 σ θ = σ (1+ a2 ) 2 r 2. (5.19) Нормальная нагрузка q 2 и касательная нагрузка q 3 к полярно симметричным не относятся, а потому при отыскании порождаемых ими напряжений надо обратиться к общим уравнениям плоской задачи теории упругости, например, к уравнению (5.8). Судя по рис. 5.13b и рис. 5.13c, можно ожидать, что при воздействии q 2 +q 3 напряжения σ r и σ θ меняются в окружном направлении пропорционально cos 2θ, а напряжения τ rθ пропорционально sin 2θ. В этом случае ϕ = f(r) cos 2θ, (5.20) где f(r) функция аргумента r. И в самом деле, согласно формулам (5.7), σ r = 1 r ( df dr 4f r ) cos 2θ, σ θ = d2 f dr 2 cos 2θ, τ rθ = 2 ( df r dr f ) sin 2θ, (5.21) r т. е. функция Эри (5.20) действительно обеспечивает ожидаемую зависимость напряжений от полярного угла. Подстановка зависимости (5.20) в бигармоническое уравнение (5.8) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции f(r): ( d 2 dr r d dr 4 )( d 2 f r 2 dr r df dr 4f ) r 2 = 0. Общее решение этого уравнения четвертого порядка имеет вид: Тогда f = Ar 2 + Br 4 + C/r 2 + D. df/dr = 2Ar + 4Br 3 2C/r 3, d 2 f/dr 2 = 2A + 12Br 2 + 6C/r 4,

89 378 Часть III σ r = (2A+ 6C r 4 + 4D ) r 2 cos 2θ, σ θ = (2A+12Br 2 + 6C ) r 4 cos 2θ, τ rθ = (2A+6Br 2 6C r 4 2D ) r 2 sin 2θ. Граница r =a свободна от нагрузки, так что 1) r = a, σ r = 0 : 0 = 2A + 6C/a 4 + 4D/a 2, (5.21a) 2) r = a, τ rθ = 0 : 0 = 2A + 6Ba 2 6C/a 4 2D/a 2. На линии r =h напряжения σ r, τ rθ уравновешиваются нагрузками q 2, q 3 : 3) r = h, σ r = 0, 5σ cos 2θ : σ/2 = 2A 6C/h 4 4D/h 2, 4) r = h, τ rθ = 0, 5σ sin 2θ : σ/2 = 2A + 6Bh 2 6C/h 4 2D/h 2. Система уравнений 1) 4) решается совместно. При этом учитывается, что h a, а потому можно пренебречь слагаемыми a 2 /h 2 и a 4 /h 4 по сравнению с единицей. Итог вычислений следующий: A= σ/4, B =0, C = a 4 σ/4, D =a 2 σ/2. Подстановка этих констант в формулы (5.21a) и добавление к напряжениям (5.21a) напряжений (5.19), обусловленных нагрузкой q 1, приводят к окончательному результату: σ θ = σ 2 σ r = σ [(1 a2 ) 2 r 2 [(1+ a2 r 2 ) (1+ 3a4 r 4 ) cos 2θ + (1 + 3a4 r 4 ], τ rθ = σ 2 4a2 ) ] r 2 cos 2θ, (1 3a4 r 4 + 2a2 r 2 ) sin 2θ. (5.22) Эпюра напряжений σ θ (r), построенная на лучах θ = π/2 и θ = 3π/2, приведена на рис Здесь (см. формулу (5.22) 2 ) σ θ = σ (1 + a2 2r 2 + 3a4 ) 2r 4. При r =a и r =h отсюда следует: σ θ (a) = 3σ, σ θ (h) = σ (1 + a2 2h 2 + 3a4 ) 2h 4 σ. Так как σ это номинальное напряжение в ослабленном сечении, то коэффициент концентрации напряжений равняется трем. В точках 1 и 2, где θ = π и θ = 0 соответственно, σ θ = σ, т. е. окрестности названных точек в окружном направлении сжаты. Вычисления показывают, что выведенными для случая h a формулами (5.22) можно пользоваться, если a<h/4. При a=h/4 погрешность зависимостей (5.22) составит 6%.

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И.

АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ. Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. АНАЛИЗ И ОСОБЕННОСТИ МЕТОДОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК НА ИЗГИБ Авторы : Косауров А.П., Тимофеев П.В Научный руководитель: доцент Скворцов В.И. г. Москва 03 Задачи об изгибе пластин и оболочек играют

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика»

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика» Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности «05.23.17 Строительная механика» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Основные понятия 1. Задачи сопротивления материалов. Стержень. Основные гипотезы

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 26. Т. 47, N- 6 129 УДК 539.3 ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ В. В. Калашников, М. И. Карякин Ростовский

Подробнее

Тычина К.А. XIV Б е з м о м е н т н а я т е о р и я о б о л о ч е к в р а щ е н и я.

Тычина К.А. XIV Б е з м о м е н т н а я т е о р и я о б о л о ч е к в р а щ е н и я. www.ychina.pro Тычина К.А. XIV Б е з м о м е н т н а я т е о р и я о б о л о ч е к в р а щ е н и я. Вспоминаем: Оболочка это тело, один из размеров которого много меньше двух других. Этот наименьший размер

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Доц. Кузьменко В.С. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Студент группы Допуск Выполнение Защита Цель работы: изучить виды деформации твердого тела и определить

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

Оглавление Введение... 3

Оглавление Введение... 3 Оглавление Введение... 3 Глава 1. Основные предпосылки, понятия и определения, используемые в курсе сопротивления материалов - механике материалов и конструкций... 4 1.1. Модель материала. Основные гипотезы

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 4. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

Лабораторная работа 5.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

Лабораторная работа 5.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА Глава 5. Упругие деформации Лабораторная работа 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА Цель работы Определение модуля Юнга материала равнопрочной балки и радиуса кривизны изгиба из измерений стрелы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева Кафедра «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин

Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин #, декабрь 2015 УДК 539.3 Сравнительный анализ решений задачи об изгибе пластины с использованием различных вариантов теории пластин Баксараев Г.Д., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им Н.Э. Баумана

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ 0 Энергетические методы определения перемещений 1 Обобщенные силы и перемещения Обобщенной силой (ОС) называется некоторое внешнее силовое воздействие

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1 Задача 1 Рассматривается два загружения плоской рамы, состоящей из стержневых элементов квадратного поперечного сечения При загружении распределенными нагрузками q и 2q в точке к указанного на рисунке

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК Омск РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности ДВС Составитель: А.И. Громовик Омск Издательство СибАДИ

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

Поверхностные интегралы 2-го типа

Поверхностные интегралы 2-го типа Глава 7 Поверхностные интегралы 2-го типа 71 Необходимые сведения из теории Основательно освоившись на предыдущих занятиях с поверхностными интегралами 1-го типа, перейдем ко второму типу поверхностных

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Краткая теория

Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Краткая теория Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Цель работы: определить модуль сдвига материала проволоки методом крутильных колебаний. Краткая теория. Деформация кручения

Подробнее

Криволинейные интегралы 2-го типа

Криволинейные интегралы 2-го типа Глава 2 Криволинейные интегралы 2-го типа 2. Необходимые сведения из теории Напомним, обсужденный нами на предыдущем занятии криволинейный интеграл -го типа был удобен при отыскании скалярных величин,

Подробнее

Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе, поперечном сдвиге и кручении

Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе, поперечном сдвиге и кручении Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 4 www.mai.ru/cience/trudy/ УДК 539.3 Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе поперечном сдвиге

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

Лекция Продольно поперечный изгиб Концентрация напряжений Продольно поперечный изгиб.

Лекция Продольно поперечный изгиб Концентрация напряжений Продольно поперечный изгиб. Лекция 3 3 Продольно поперечный изгиб 3 Концентрация напряжений 3 Продольно поперечный изгиб Рассмотрим случай одновременного действия на стержень, например с шарнирно закрепленными концами, осевой сжимающей

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Глава первая Растяжение и сжатие......6 1.1. Продольная сила...6 1.2. Нормальные напряжения, абсолютное удлинение и потенциальная энергия...8 1.3. Поперечная деформация

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика»

Курс лекций: «Прикладная механика» Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 4: «Основные виды микромеханических элементов. Механические свойства материалов. Тензоры механического Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко К основным видам конструкций

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

А. В. Бенин, О. В. Козьминская, Н. И. Невзоров, И. Б. Поварова, И. И. Рыбина. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Задачи и примеры. Учебное пособие

А. В. Бенин, О. В. Козьминская, Н. И. Невзоров, И. Б. Поварова, И. И. Рыбина. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Задачи и примеры. Учебное пособие ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ " (ПГУПС) А.

Подробнее

Механические испытания на изгиб Рис.6.3 Рис.6.4

Механические испытания на изгиб Рис.6.3 Рис.6.4 Лекция 8. Плоский изгиб 1. Плоский изгиб. 2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента. 3. Основные дифференциальные соотношения теории изгиба. 4. Примеры построения эпюр внутренних силовых

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Расчет прочности и устойчивости стального стержня по СНиП II-23-81*

Расчет прочности и устойчивости стального стержня по СНиП II-23-81* Отчет 5855-1707-8333-0815 Расчет прочности и устойчивости стального стержня по СНиП II-3-81* Данный документ составлен на основе отчета о проведенном пользователем admin расчете металлического элемента

Подробнее

Основные понятия сопромата

Основные понятия сопромата Основные понятия сопромата Прикладная наука об инженерных методах расчёта на прочность, жесткость и устойчивость деталей машин и конструкций, называется сопротивлением материалов. Деталь или конструкция

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

8. ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ Основные понятия и определения. Брус с прямой осью, как мы уже знаем, называется стержнем.

8. ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ Основные понятия и определения. Брус с прямой осью, как мы уже знаем, называется стержнем. 15 8. ИЗГИБ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ 8.1. Основные понятия и определения Брус с прямой осью, как мы уже знаем, называется стержнем. Изгиб это такой вид нагружения (деформации) бруса, при котором в его поперечных

Подробнее

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени:

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

Подробнее

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля 1.5 Поток вектора напряженности электрического поля Ранее отмечалось, что величина вектора напряженности электрического поля равна количеству силовых линий, пронизывающих перпендикулярную к ним единичную

Подробнее

(шифр и наименование направления)

(шифр и наименование направления) Дисциплина Направление Сопротивление материалов 270800 - Строительство (шифр и наименование направления) Специальность 270800 62 00 01 Промышленное и гражданское строительство 270800 62 00 03 Городское

Подробнее

7.8. Упругие силы. Закон Гука

7.8. Упругие силы. Закон Гука 78 Упругие силы Закон Гука Все твердые тела в результате внешнего механического воздействия в той или иной мере изменяют свою форму, так как под действием внешних сил в этих телах изменяется расположение

Подробнее

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики.

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики. 11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Отчет 2806-1807-97294-0815 Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Данный документ составлен на основе отчета о проведенном пользователем admin расчете по определению

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА КУРС ЛЕКЦИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА КУРС ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА копии КУРС ЛЕКЦИЙ По дисциплине «Теория упругости и пластичности» Для специальности - Промышленно-гражданское строительство

Подробнее

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 1 Глава 1. Введение 1.1.Основные понятия Прочность- способность материала конструкции сопротивляться внешним воздействиям. Жесткость- способность элементов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА

ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА Данный курс посвящён теоретической механике. Определение 1: Механика это наука, которая изучает движение и взаимодействие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ Рассмотрим ещё одну важную динамическую величину кинетическую

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5)

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5) Работа внешних сил Рассмотрим некоторое тело, имеющее объём и поверхность Пусть в момент времени t к телу приложены объёмные силы X и поверхностные Pν Эти силы вызывают в теле перемещения относительно

Подробнее

Лекция 7 (продолжение). Примеры решения на сложное сопротивление и задачи для самостоятельного решения

Лекция 7 (продолжение). Примеры решения на сложное сопротивление и задачи для самостоятельного решения Лекция 7 (продолжение). Примеры решения на сложное сопротивление и задачи для самостоятельного решения Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении Пример 1. Чугунный короткий стержень сжимается

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ 1. Перемещения точек несвободной системы Рис. 5.1 Предположим, что имеется система материальных точек P, ν = 1, 2,, N. Начало

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

290300, , , , ,

290300, , , , , МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Анализ внутренних силовых факторов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ УХТА 2002 УДК 539.3/6 А-72 Андронов И. Н. Анализ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность электрического поля величина, численно равная

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

r12 q r rik r i r 3 r i. 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ЛНШутенко, ВППустовойтов, НАЗасядько СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Краткий курс РАЗДЕЛ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5)

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5) ГЛАВА 11 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СО- СТОЯНИИ В гл. 9 в примерах 9.3, 9.4 мы столкнулись с напряженными состояниями, которые отличаются от простых состояний растяжения-сжатия и чистого

Подробнее

ГЛАВА 10. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАМ

ГЛАВА 10. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАМ ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАМ Стр Основные понятия Формула Эйлера Дифференциальное уравнение сжато-изогнутого стержня 4 4 Решение уравнения с помощью метода начальных параметров 5 5 Частное решение для

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра технической механики А.П. ЕВДОКИМОВ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра технической механики А.П. ЕВДОКИМОВ Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образование учреждение высшего образования «Российский государственный университет нефти и газа (национальный

Подробнее

Тема 2. Дополнительные характеристики электростатического поля. Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля

Тема 2. Дополнительные характеристики электростатического поля. Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля Тема 2 Дополнительные характеристики электростатического поля П1 Потенциал П2 Разность потенциалов П3Поток ЭСП П4Циркуляция ЭСП П5Закон Гаусса для ЭСП Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1.3. Теорема Гаусса. 1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики

IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики Обладать зарядом - одно из свойств материи, такое же, как обладать массой. Заряженные тела создают вокруг себя особый вид материальной

Подробнее

Лабораторная работа 15 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА. Краткая теория.

Лабораторная работа 15 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА. Краткая теория. Лабораторная работа 5 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА Цель работы: определить экспериментально модуль сдвига проволоки методом крутильных колебаний. Краткая теория.. Деформация

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Кинематика МЕХАНИКА. Система отсчета (СК+ часы, СО К) Абсолютно твердое тело. ньютоновская релятивистская. Физическая реальность и ее моделирование

Кинематика МЕХАНИКА. Система отсчета (СК+ часы, СО К) Абсолютно твердое тело. ньютоновская релятивистская. Физическая реальность и ее моделирование Л МЕХАНИКА Материальная точка Кинематика Физическая реальность и ее моделирование Система отсчета СК+ часы, СО К Абсолютно твердое тело Механика: ньютоновская релятивистская 1 Механика часть физики, которая

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

Методические указания на тему:«динамика точки и общие теоремы динамики системы»

Методические указания на тему:«динамика точки и общие теоремы динамики системы» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет» Утверждено на заседании кафедры

Подробнее

Строительная механика 1 часть

Строительная механика 1 часть 1 Строительная механика 1 часть Темы 1.Основные положения. 2.Геометрическая неизменяемость расчётных схем. 3.Построение эпюр усилий 4.Многопролётные шарнирные балки 5.Трёхшарнирные расчётные схемы 6.Замкнутый

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации

ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации Понятие о деформированном состоянии в точке ДТТ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее