МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное исчисление, Дифференциальные уравнения ) Часть II Утверждено на заседании Ученого совета академии Протокол 9 от 8 Днепропетровск НМетАУ 9

2 УДК 778) Методические указания к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное исчисление, Дифференциальные уравнения ) Часть ІI /Сост: А Н Дук, Е Г Ткаченко, Н В Целуйко и др - Днепропетровск: НМетАУ, 9 7 с Методические указания содержат варианты задач по разделам Интегральное исчисление, Дифференциальные уравнения дисциплины Высшая математика и варианты контрольных заданий, излагаемые в соответствии со стандартом Министерства образования и науки Украины Предназначены для студентов всех экономических специальностей, а также для студентов с проблемами здоровья Составители: А Н Дук, ст преподаватель Е Г Ткаченко, ст преподаватель Н В Целуйко, ст преподаватель М С Сазонова, доцент Г М Бартенев, ас В В Толстой, ас Ответственный за выпуск Г Г Швачич, канд техн наук, проф Подписано к печати 9 Формат 6х8 /6 Бумага типогр Печать плоская Уч-изд л, Усл печ л,6 Тираж экз Заказ Национальная металлургическая академия Украины 96, Днепропетровск-, пр Гагарина, Редакционно-издательский отдел НМетАУ

3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Неопределенный интеграл Основные формулы интегрирования Таблица n n n 8 g cos 9 cg sin rcg sin cos cos sin rcsin 6 g cos 7 cg sin В формулах - постоянная, - независимая переменная, или любая дифференцируемая функция от независимой переменной Вычислить интегралы: 6 по формуле таблицы ) rcsin по формуле таблицы ) по формуле таблицы ) ) ) d )

4 Самостоятельно найти интегралы: ) ) sin 8 Таблица Интегрирование посредством замены переменной В результате применения метода замены переменной, интеграл заменяется другим интегралом, близким к табличному Например, чтобы найти интеграл, положим принятой замены, находим : Дифференцируя обе части d Подставляя значения, в исходный интеграл, получим интеграл с новой переменной : d, который является табличным Решим его относительно переменной d d d Вернемся к исходной переменной, заменяя : Выбор удачной замены переменной имеет огромное значение, но дать одно общее правило невозможно Рассмотрим некоторые полезные замены для важнейших типов интегралов

5 cos sin sin cos cos sin d d d d rcg rcg d d ) d d d d ) ) d d d d d d

6 Самостоятельно найти интегралы: подстановка 7 6 Таблица sin cos подстановка подстановка 8 9 cos sin подстановка ) подстановка 6 подстановка Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: udv uv vdu ) По этой формуле взятие интеграла udv сводится к взятию интеграла vdu Применение формулы целесообразно, когда последний интеграл будет проще исходного, или ему подобен Для применения формулы подынтегральное выражение разбивают на произведение множителей u и dv За dv всегда выбирается выражение, содержащее u du cos dv cos sin sin sin cos v cos sin 6

7 7 ) rcg rcg rcg rcg rcg rcg v dv du rcg u rcg v dv du u rcsin rcsin rcsin v dv du u Последний интеграл рассмотрим отдельно: d d d Учитывая полученный выше результат, имеем: rcsin rcsin v dv du u Рассмотрим отдельно полученный интеграл Применим повторно интегрирование по частям: v dv du u С учетом результатов первого интегрирования по частям, получаем ответ:

8 ) u du 6 cos sin sin cos dv v sin К полученному интегралу вновь применяем интегрирование по частям: u du sin cos cos sin dv v cos Подставим полученный результат в предыдущее решение: cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos Самостоятельно найти интегралы: Таблица sin rcsin sin 7 ) 8 ) rcg rc 6 9 Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен Для отыскания интегралов такого типа следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат: 8 8 ) Запишем d ) вместо и проинтегрируем 8

9 9 ) ) 8 rcg d 8 7 Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат: d d d ) 8 7 Разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе: d d d Возвращаясь к переменной, окончательно получим: ) ) 9 6 d d d d d 7 6 Выделяем из подынтегральной неправильной дроби целую часть: 7 6 Интегрируем по отдельности: 7 6 Рассмотрим последний интеграл отдельно:

10 9 ) d Окончательно получим: ) [ ] ) ) 6 9 ) 7 ) 7 ) d d d Разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе: d d d Решим полученные интегралы по отдельности: rcsin ) d d d d d d d Возвращаясь к переменной, окончательно получим: rcsin ) С

11 6 d d d d d d v d dv d du u d Самостоятельно найти интегралы: Таблица ) 6 ) 6 ) 9 Интегралы от тригонометрических функций При взятии интегралов от тригонометрических функций воспользуемся следующими формулами: [ ] [ ] [ ] ) cos ) cos cos cos ) cos ) cos sin sin ) sin ) sin cos sin sin cos sin ) cos cos ) cos sin cos sin cos cos ) cos cos ) cos ) cos cos sin6 cos6 ) cos6 sin

12 Рассмотрим отдельно последний интеграл: sin 8 cos cos) cos Подставляя в предыдущее равенство, получим: cos sin sin sin sin 8 8 sin cos ) cos sin d sin sin d cos cos ) d cos cos sin sin cos sin sin cos ) sin sin cos 8 8 Первый интеграл: sin cos) cos Второй интеграл: sin 8 sin cos d sin cos 6 6 sin cos d d sin Подставляя результаты в исходный интеграл, получим: sin sin cos ) d 6 sin cos Отделяем от меньшей нечетной степени один множитель cos cos cos и выполняем замену sin : sin cos d 6 6 sin cos sin sin )cos d cos d 6 8 sin sin ) d d 8 8

13 g rcg d 6 g d g rcg g 7 sincos [ sin8 sin ) ] sin8 cos cos8 6 Самостоятельно найти интегралы: d d d sin d Таблица 6 sin sin 6 cg d 7 sin cos sin cosd sin cos cos 8 sin ) g cg) d sin cos 6 cos 6 9 cos cos g 7 ) 6 Интегрирование рациональных функций Для решения интегралов данного типа необходимо неправильные дроби привести к правильным путем выделения целой части, а знаменатели правильных дробей разложить на простейшие действительные множители 8 Разложим знаменатель на простейшие действительные множители: дроби: 8 ) ) ) Схема разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые 8 A A ) B ) B ) A A A B B Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного равенства:

14 8 : : : B A A B A A B A B A Подставим найденные значения в схему разложения: ) ) 8 Возвращаемся к исходному интегралу: ) 8 6 Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель: 6 Разложим знаменатель на простейшие действительные множители, а затем подынтегральную дробь на элементарные слагаемые дроби: ) ) : : : : ) ) ) ) ) D B A B A D B A D B A D B A Возвращаясь к интегралу, получим: ) 6 rcg

15 Разложим подынтегральную правильную дробь на элементарные слагаемые дроби: ) ) ) ) ) D B A ) ) : : : : ) ) ) ) ) ) ) D B A A D B B D B A A D B B D B A D B A Возвращаясь к интегралу, получим: Последний интеграл находим отдельно: rcg rcg d d d d Подставляя в предыдущее равенство, найдем: rcg ) Разложим подынтегральную правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:

16 6 ) ) ) : : : : ) ) ) ) ) ) ) ) A D A B A D B B A A D B A D B A Возвращаясь к интегралу, получим: ) ) ) Рассмотрим интегралы по отдельности: ) ) sin ) cos cos ) cos cos ) rcg d d g d d g d d d d d d d Окончательно имеем: ) ) ) rcg rcg

17 7 Самостоятельно найти интегралы: Таблица 7 ) 7 ) 8 ) Интегрирование иррациональных функций ) rcg d d d d d d d Возвращаемся к исходной переменной: rcg ) ) ) d d d ) sin sin sin cos cos 6sin ) sin cos sin ) cg d d d cg d cg d d d

18 8 ) ) ) ) ) ) d d d d d Самостоятельно найти интегралы: Таблица 8 ) 9 ) 7 d Интегрирование некоторых трансцендентных функций cos sin Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой: ) cos sin cos sin g g d d d g

19 g cg rcg g rcg d d g rcg d ) d d d d d d d d Самостоятельно найти интегралы: cos cos g sin sin g 6 g 7 Таблица 9 cos sin 8 9 ) Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла: При перестановке пределов меняется знак интеграла: ) f f ) Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f ) Отрезок интегрирования можно разбивать на части: c ) f ) f f ) c 9

20 Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых: [ ) f ) f ) ] f ) f ) f f ) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: cf ) c f ) 6 Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти 7 соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона Лейбница: sin f ) f ) F ) F ) F ) Вычислить интегралы: ) )sin 7 u du dv sin v cos 9 7 Самостоятельно найти интегралы: )cos cos Таблица sin cos 7 cos cos ) cos 6 8 )

21 Замена переменной в определенном интеграле При выполнении замены в определенном интеграле, кроме перехода к новой переменной, допустим, необходимо от исходных пределов перейти к новым пределам β α, которые определяются из исходной подстановки d F f β α ) ) Вычислить интегралы: 6 cos cos 7 cos sin sin sin 8sin 6 cos sin ) ) rcg d d g cg d d d d d d d d d

22 Самостоятельно найти интегралы: Таблица Подстановка х ) 6 d Подстановка 7 7 ) Подстановка 8 6 Подстановка 9 g g 9 Подстановка х cos sin cos Применение определенного интеграла для нахождения площади плоской фигуры Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями: Параболой и прямой 6 8 Совместно решая оба уравнения, определим точки пересечения линий: 8 6 Приравняем правые части Решая квадратное уравнение, находим значения : 6 По известным 6 7 значениям находим : Получаем две точки 7 пересечения: A, B 6 ) Построим данные линии:

23 ) ) 6 8 Искомая площадь находится как разность площади параболы и площади прямой: S S S 8 ) 6) Параболами 6 Совместно решая оба уравнения, определим точки пересечения линий: Приравняем правые части Решая квадратное уравнение, находим значения : По известным значениям находим : Получаем две точки пересечения: ), B ) A Построим данные линии: ) )

24 Искомая площадь находится как разность площадей парабол: 8 9 S S S ) ) 8 8 Кубическими параболами ) ) Приравнивая левые части уравнений, находим значение : 6 Соответственно, находим значения : 6 6) Точки пересечения линий: O ), A ), B ) Искомая площадь состоит из двух одинаковых частей, поэтому найдем половину ее как разность площадей кубических парабол и затем умножим на два S S S ) 6) d 6) d ) 6 Эллипсом cos, sin 6) d Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса, поэтому делят его на четыре равные части Найдем площадь части, лежащей в первой четверти и результат умножим на четыре S

25 у B ) Аа ) О х Преобразуем интеграл к переменной, пользуясь исходными параметрическими уравнениями sin sin d Получим: S sin sin sin d sin d cos ) d Кардиоидой ρ cosϕ) 9 6 ρ φ) 8 7 φ Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому площадь ее равна удвоенной площади верхней части, построенной при изменении < ϕ < Для линий, заданных в полярных координатах, площадь определяется как:

26 S ϕ ϕ ρ dϕ dϕ cosϕdϕ cosϕ) dϕ cos ϕ ) dϕ cosϕ cos ϕ sinϕ sin ϕ ϕ) dϕ Самостоятельно найти площадь, ограниченную следующими линиями: Таблица Параболой 6 и осью O Полукубической параболой и прямыми Астроидой cos sin Параболой и прямой Гиперболой 6 и прямой 7 6 Кубической параболой и прямыми 7 Окружностью и параболой 8 Лемнискатой ρ cosϕ 9 Трехлепестковой розой ρ cosϕ Кардиоидой ρ cosϕ) и окружностью ρ Применение определенного интеграла для нахождения объема тела вращения Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: p, вокруг оси O Построим параболу и прямую: 6

27 у х О а При вращении полученной фигуры образуется сегмент параболоида вращения Объем этого тела : V p p p, вокруг оси O у О х Если у данного эллипса <, при вращении его вокруг малой оси получаем сжатый эллипсоид вращения, с объемом: V d d При вращении эллипса вокруг большой оси получаем удлиненный эллипсоид вращения, объем которого соответственно, вокруг оси O V 7

28 ) ) Ограниченная данными линиями фигура, при вращении вокруг оси Ох образует тело, объем которого можно найти как разность объемов тел V и V, где V - объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох прямой V - объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох параболы Точки пересечения линий нужны для определения пределов интегрирования Выразим из уравнения параболы и подставим у в уравнение прямой Тогда: 9 Соответственно, находим : Точки пересечения: 9 A, B Находим V и V : V 9 6 V ) V V V cos sin, вокруг оси O 8

29 ) ) При построении получаем астроиду Фигура, ограниченная астроидой, при вращении вокруг оси O образует тело, объем которого: V Исходя из данных параметрических уравнений астроиды cos sin, преобразуем приведенный выше интеграл к 6 переменной : sin cos sin d Тогда: V sin cos 6 8 cos cos cos cos ) 6 sin d 6 cos ) ) d 6 7 cos sin d cos sin d d sin d 9 Самостоятельно найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: Таблица вокруг оси O sin одной волной) вокруг оси O 9

30 вокруг оси O вокруг оси O ) вокруг оси O 6 вокруг прямой 7 вокруг оси O Несобственные интегралы К ним относят интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций lim β β lim β ) β lim β ) β β lim lim lim lim α β rcg rcg α α β α rcg ) rcg ) Здесь при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв lim lim ) ) ε ε ε ) Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке ) lim ε ε ) lim ) ε ε lim ε ε lim ε ε lim ε ε ) lim ε ) ) ) ε

31 8 cos sin cosd )sind 8 cos cos 8 sin cos d 8 cos 6 sin d Здесь в результате замены переменной, данный несобственный интеграл преобразовался в собственный, который может быть вычислен без предельного перехода Самостоятельно вычислить несобственные интегралы: Таблица d 7 ) 6 6 ) 8

32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида f ) ϕ d ) ) Задача Проинтегрировать дифференциальное уравнение d Уравнение является уравнением вида ), те дифференциальным уравнением с разделёнными переменными Метод его решения состоит в интегрировании обеих частей уравнения, те интегрируя обе его части d, d тк d c c, c c получим общий интеграл дифференциального уравнения в виде: c Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида или вида f ) ϕ ) f ) ϕ d ) ) f ) ϕ ) ) Метод решения состоит в сведении его путём разделения переменных к дифференциальному уравнению с разделёнными переменными ) и его решению Задача Проинтегрировать дифференциальное уравнение ) d

33 Запишем уравнение в виде ) d Разделим переменные, те добьёмся того, чтобы при и d не было чужих переменных чужой для является переменная, а для d ) Для этого разделим обе части уравнения на выражения, содержащие чужие переменные, те на и на ) : ) d ) ) d ) Проинтегрируем обе части уравнения, те d ) Тк d c c, а ) d ) d d c c, d d то получим общий интеграл уравнения в виде: c Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения Тк d, то перепишем уравнение в виде d Умножим обе части уравнения на Получим d

34 ) Разделим переменные Для этого обе части уравнения разделим на Получим уравнение d Проинтегрируем обе части уравнения, те d d Тк c c, а c, то получим общий интеграл уравнения в виде или в виде c, c Последнее равенство, пользуясь свойствами логарифмов можно переписать в виде, n n, c) Тогда потенцируя последнее равенство, можно переписать его в виде те общий интеграл уравнения имеет вид: c, c Задача Найти решение задачи Коши, )

35 Найдём общий интеграл уравнения Определим вид уравнения Приведём его к виду ) Для этого разделим обе части на, те, и перенесём в правую часть уравнения: Полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными вида ) Тк d, то перепишем уравнение в виде d Умножим обе части уравнения на Получим d Разделим переменные Для этого обе части уравнения умножим на Получим уравнение d Проинтегрируем обе части уравнения d Получим общий интеграл уравнения в виде c ) Теперь найдём частное решение уравнения, те решение задачи Коши, используя дополнительное условие { ) : { ) c 8 c

36 c Подставляя полученное значение c в общий интеграл ), получим частное решение уравнения, которое является решением задачи Коши: ЗАДАНИЕ Проинтегрировать дифференциальные уравнения: d g ) d 6 ) d )6 ) 6 7 sin 8 Найти решение задачи Коши:, ) ) ) d, ), ) d, ) вида ) cg,, d 6, ) 7 ) cos d, Однородные дифференциальные уравнения Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение P, ) Qd, ), ) где P, ), Q, ) однородные функции одной и той же степени, или вида 6

37 f 6) Однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой, 7) Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения Уравнение является однородным, тк может быть представлено в виде 6) При помощи замены 7) получим:, те дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Решим его: d, d, : d d,, c c 7

38 С учётом того, что, общий интеграл дифференциального уравнение будет иметь вид: c Задача 6 Найти решение задачи Коши ) d ), ) Уравнение является однородным, тк может быть представлено в виде ), где функции Q, ) ), P, ) ) являются однородными одного и того же второго порядка: P, ) ) ) ) P, ), Q, ) ) ) ) Q, ) Приведём уравнение к виду ) Для этого обе части уравнения поделим на : d ) ) d С учётом того, что, уравнение перепишем в виде ) ) Выражая отсюда, получим уравнение в виде, от которого можно перейти к виду ), поделив числитель и знаменатель на n, где n порядок однородных функций Q, ) ) и P, ) ), те на :, 8

39 При помощи замены 7) получим: Покажем, что полученное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Для этого приведём его к виду ) ) : Решим полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными d, d, : d, Тк d, d 9

40 а c d d d d d d c c,, то получим общий интеграл дифференциального уравнения в виде: которое с учётом замены c,, может быть записано в виде c Теперь найдём частное решение уравнения, те решение задачи Коши, используя дополнительное условие ) { { : c, c c Те решение задачи Коши будет иметь вид ЗАДАНИЕ Проинтегрировать дифференциальные уравнения: ) d 6 d ) 7 g 8

41 Найти решение задачи Коши: sin, ) ) d, ), ), ) ), 6, ) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида P, ) Qd, ), 8) если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u, ) При этом необходимо и достаточно выполнение условия P Q 9) Задача 7 Найти общий интеграл дифференциального уравнения sin ) cos d ) Поверим для уравнения выполнение условия 9) Для уравнения sin ) cos d ), P, ) Q, ) в котором и Q, ) cos, выполняется условие 9), тк частные производные P, ) cos и Q, ) cos равны между собой Те уравнение является уравнением в полных дифференциалах Полагаем u u P, ) sin, Q, ) cos Найдём

42 u, ) sin ) sin ϕ ) Тогда с одной стороны u u cos ϕ ) А с другой стороны Q, ) cos Тогда cos ϕ ) cos, те ϕ ) d d d ϕ ϕ d Итак, ϕ ) c, ) u sin c, тогда общий интеграл u, ) c уравнения будет иметь вид: sin c c или sin c, где c с с Задача 8 Найти общий интеграл дифференциального уравнения ) d ) Уравнение ) d ) P, ) Q, ) является уравнением в полных дифференциалах, тк для него выполняется условие 9), те Полагаем P, ) Q, ) u u P, ), Q, )

43 Найдём u, ) ) ϕ ) Тогда с одной стороны u u ϕ ) А с другой стороны Q, ) Тогда ϕ ), те ϕ ) Итак, ϕ ) c u, ) c, тогда общий интеграл u, ) c уравнения будет иметь вид: c c или c, где c с с ЗАДАНИЕ Проинтегрировать дифференциальные уравнения: sin ) cos sin d ) sin ) cos d ) sin ) cos d ) sin )cos ) )cos sin d ) Найти решение задачи Коши: ) d 6 sin ) cos d ) 7 ) d

44 ) ) d, ) ) ) d, ) Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям в полных дифференциалах В ряде случаев 9) может не выполняться, но исходное дифференциальное уравнение может быть приведено к уравнению в полных дифференциалах при помощи интегрирующего множителя Задача 9 Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение Уравнение cos sin d ) sin cos ) sin cos ) cos sin d ) P, ) Q, ) не является уравнением в полных дифференциалах, тк для него не выполняется условие 9), тк P, ) cos cos sin Функцию Q, ) cos P Q cos sin Q, ) cos sin можно рассматривать, как функцию только от, тогда интегрирующий множитель будет зависеть только от и находиться следующим образом: P Q Q, ) µ ) Умножим обе части исходного дифференциального уравнения на интегрирующий множитель sin cos ) cos sin d ) P, ) Q, )

45 Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, тк для него выполняется условие 9), те P, ) cos cos sin ) Q, ) Полагаем u P, ) sin cos ) u Q, ) cos sin ), Найдём u, ) cos sin d ) sin u dv sin d ϕ ) du d vcos sin cos cos d) ϕ ) [ sin cos sin ] ϕ ) Тогда с одной стороны u sin sin cos sin ϕ ) sin cos ϕ ) u А с другой стороны, ) P sin cos Тогда sin cos ϕ ) sin cos, те ϕ ) Итак, ϕ ) c [ ] u, ) sin cos sin c, тогда общий интеграл u, ) c уравнения будет иметь вид: [ sin cos sin ] c c или [ sin cos sin ], где c c с с Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение Уравнение d )

46 { ) d P, ) Q, ) не является уравнением в полных дифференциалах, тк для него не выполняется условие 9), тк Функцию P, ) Q, ) P Q P, ) является функцией только от, тогда интегрирующий множитель будет зависеть только от и находится следующим образом: P Q d d P, ) µ ) Умножим обе части исходного дифференциального уравнения на интегрирующий множитель ) d { ) d P, ) Q, ) Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, тк для него выполняется условие 9), те P, ) Полагаем u P, ) Найдём Q, ) u, ), Q u, ) ϕ ) 6

47 Тогда с одной стороны u u ϕ ) А с другой стороны Q, ) Тогда те Итак, ϕ ), ϕ ) ϕ ) c u, ) c, тогда общий интеграл u, ) c уравнения будет иметь вид: c c или c, где c с с ЗАДАНИЕ Проинтегрировать дифференциальные уравнения: d cos ) d Линейные дифференциальные уравнения 7 d ) Линейным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида P ) Q ) ) Метод вариации произвольной постоянной метод Лагранжа) Задача Проинтегрировать дифференциальное уравнение sin

48 Уравнение является уравнением вида ), те линейным дифференциальным уравнением Решим соответствующее однородное дифференциальное уравнение: Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: OO d d d 8 c c c общее решение однородного дифференциального уравнения, где с произвольная постоянная Пусть c c ) Тогда OН Найдём его Подставим c ) общее решение неоднородного уравнения c ) c ) c ) в исходное дифференциальное уравнение Получим c ) c ) c ) sin c ) sin

49 c ) sin dc sin c ) sin cos Подставим полученную функцию c ) в решение неоднородного линейного уравнения в виде: Задача Решить задачу Коши cos OН g cos, Получим общее Уравнение является уравнением вида ), те линейным дифференциальным уравнением, если делением на виду g cos cos cos привести его к Решим соответствующее однородное дифференциальное уравнение: cos Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: d cos d cos d cos g c g c 9

50 OO g c общее решение однородного дифференциального уравнения, где с произвольная постоянная Пусть c c ) Тогда OН c ) g общее решение неоднородного уравнения Найдём его Подставим c ) g g c ) c ) g cos в исходное дифференциальное уравнение Получим c ) g c ) c ) : cos cos cos g g g g g g c ) : cos g c ) g cos Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, находим d g g d u dv c ) g cos d d cos du d v d ) d g g g Подставим полученную функцию c ) в OН Получим общее решение неоднородного линейного уравнения в виде: ) g g g g g g Теперь найдём частное решение уравнения, те решение задачи Коши, используя дополнительное условие { {: g

51 g g Подставляя полученное значение в общее решение неоднородного дифференциального уравнения, получим частное решение уравнения, которое является решением задачи Коши: g g Метод подстановки метод Бернулли) Задача Проинтегрировать дифференциальное уравнение sin Уравнение является уравнением вида ), те линейным дифференциальным уравнением Получим Сделаем в исходное уравнение подстановку u v ) uv uv ) uv sin uv uv Вынесем в левой части v за скобки: u sin vu ) uv ) Приравняем скобку при v нулю Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

52 При значении уравнение будет иметь вид: u u du u du u u u выражение в скобках ) обращается в ноль и sin uv sin v v sin Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получим, что v sin c cos c Подставим полученные функции u и решение неоднородного линейного уравнения в виде: cos c) v в ) Получим общее Задача Проинтегрировать дифференциальное уравнение g cos cos Уравнение является уравнением вида ), те линейным дифференциальным уравнением Сделаем в исходное уравнение подстановку ), ) Получим uv g uv uv cos cos Вынесем в левой части v за скобки:

53 u g vu ) uv ) cos cos Приравняем скобку при v нулю Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: При значении уравнение будет иметь вид: u u u cos du u cos du u cos u g g u g выражение в скобках ) обращается в ноль и g uv cos g g v cos g v g cos Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получим с учётом нахождения интеграла )), что g v cg c cos g g g Подставим полученные функции u и решение линейного уравнения в виде: v в ) Получим общее g g g g g c) g c ЗАДАНИЕ Найти общие решения дифференциальных уравнений: ) cos

54 Найти решение задачи Коши: sin,, ) ),, ), ) 6 g sin, 6 Дифференциальные уравнения Бернулли Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида P ) Q ) m, m, m 6) Задача Решить дифференциальное уравнение Уравнение является уравнением вида 6), те дифференциальным уравнением Бернулли Сделаем в исходное уравнение подстановку ), ) Получим uv uv uv uv ) Вынесем в левой части v за скобки: u vu ) uv uv 7) Приравняем скобку при v нулю Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: u u du u du u u u

55 При значении u выражение в скобках ) обращается в ноль и уравнение будет иметь вид: uv v dv uv v v dv v С учётом того, что u dv c du v, c v v c Подставим полученные функции u и решение уравнения Бернулли в виде: c ЗАДАНИЕ 6 Найти общее решение дифференциальных уравнений: v в ) Получим общее ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Это дифференциальное уравнение выглядит так: c 8) Для его решения необходимо составить характеристическое уравнение:

56 где соответствует уравнением: k k c, 9) k, k,, которое является квадратным k D c,, ) ± D ) Тогда в зависимости от корней ) характеристического квадратного уравнения 9) частные линейно независимые решения и общее решение однородного дифференциального уравнения 8) будет иметь вид: Корни k, k Линейно независимые частные решения, Общее решение однородного дифференциального уравнения действительные, различные D > ): k k действительные, равные D ): k k k комплексносопряжённые k, D < ): α ± βi k k k k α cos β α sin β c c k k c c c c) k k k c cosβ c cos β c cos c cos β) α α α β Задача 6 Найти общее решение дифференциального уравнения Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение k k, 6

57 Тогда k c c D ) 6, k, ± k действительные, различные, частные, линейно независимые решения общее решение дифференциального уравнения Задача 7 Найти решение задачи Коши 6 9, ), ) Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение k 6k 9, D 6) 9 6 6, Тогда k,, 6± 6 действительные, равные частные, линейно независимые решения c c ) общее решение дифференциального уравнения Найдём решение задачи Коши Найдём производную: ) ) c c) c c) c Тогда тк ) { { c ) { { то c ) те c c ) c c { c { c c c c Тогда решение задачи Коши имеет вид: ) Задача 8 Найти решение задачи Коши 7

58 , ), ) Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение k k, D 6, k, ± 6 ± i ± i комплексно-сопряжённые α, β Тогда cos, sin частные, линейно независимые решения ccos csin ) общее решение дифференциального уравнения Найдём решение задачи Коши Найдём производную: ) ) c cos c sin ) c cos c sin ) csin ccos ) Тогда тк ) { { c ) { { то cos csin) ccos csin) csin ccos) те c { c { c c 8 c c Тогда решение задачи Коши имеет вид: c c cos sin ) sin Задача 9 Найти общее решение дифференциального уравнения Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение k k, kk ),

59 k k, k, k действительные, различные Тогда, частные, линейно независимые решения c c общее решение дифференциального уравнения Задача Найти общее решение дифференциального уравнения Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение k k, k, k, ± ±, k действительные, различные Тогда, частные, линейно независимые решения c c общее решение дифференциального уравнения Задача Найти общее решение дифференциального уравнения Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение Тогда, cos cos k, k, k, ± ± i ± i, α, β частные, линейно sin sin независимые решения ccos csin общее решение дифференциального уравнения ЗАДАНИЕ 7 Найти общее решение дифференциальных уравнений: 8 6 9

60 6 Найти решение задачи Коши, ), ), ), ) 7 8, ), ), ), ) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Это дифференциальное уравнение выглядит так: c f ) ) Метод вариации произвольных постоянных метод Лагранжа) для любой правой части f)) Задача Найти общее решение дифференциального уравнения g Решим соответствующее однородное уравнение:, cos cos k, k, k, ± ± i ± i, α, β частные, линейно sin sin независимые решения однородного уравнения c c c cos c sin общее решение однородного OO уравнения Полагая c c ) и c ) c, будем искать общее решение неоднородного дифференциального уравнения в виде c ) c ) c )cos c )sin OН 6

61 Для определения функций c ) и c ) решаем систему уравнений c ) c ) c { c ) c ) те )cos c )sin f ) { c )sin c )cos g Решим её по относительно неизвестных c ), c ) по формулам Крамера cos sin sin cos cos sin sin sin g cos cos sin cos sin g Отсюда ) c sin cos c ) sin sin cos c ) c ) cos cos cos sin g cos c ) c ) sin cos Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет ОН sin g cos cos sin вид: ) ЗАДАНИЕ 8 Найти общее решение дифференциальных уравнений: cos sin 6 cos 7 g 6

62 8 9 9 cos 9 cg sin sin 6

63 вида) вида Метод неопределённых коэффициентов для f) специального Общее решение ОН уравнения ) с правой частью f) специального [ β β ] α f ) P ) cos Q ) sin, ) n где P ), Q ) многочлены n-ой и m-ой степени соответственно) может n m быть найдено следующим образом: ОН OO m %, ) где OO общее решение соответствующего однородного уравнения 8), а % частное решение неоднородного дифференциального уравнения ), которое может быть подобрано в виде [ ) cos β ) sin β ] %, ) r α Pl Ql где P ), Q ) полные многочлены l-ой степени, l m{ nm, }, r l l количество совпадений числа соответствующего однородного уравнения α βi с корнями характеристического уравнения Задача Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: ОН OO % 9 Найдём общее решение OO соответствующего однородного уравнения: 9 k 9, k 9, k, ± 9 ±, k k, c c OO 6

64 В исходном уравнении переписать ) f ) Сравнивая вид ) f в виде f ) [ cos ) sin ) ] f с ), можем, те α, β k Составим число α βi r Степени многочленов в f ): k n, m, тогда l m,) Следовательно, частное решение % неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: Тогда % ) ) A B A B % A B) A B) % 9 A B) A B) A B) A Подставляя %, %, % в исходное дифференциальное уравнение % 9%, получим: 9 A B) A B) A B) A 9 A B), : A B A B A B A A B Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях этого равенства, получим: 9 A 9 A A A { B B A 6B A A B 6 B A A B Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения выглядит так: % ) 6 Тогда окончательно ОН OO % c c ) 6 Задача Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: ОН OO % 8 6

65 Найдём общее решение OO соответствующего однородного уравнения: 8 k k 8, D ) 8) 6, k, ± 6 ± 6 k, k, c c OO В исходном уравнении f ) Сравнивая вид f ) с ), можем переписать f ) в виде f ) )cos ) sin ), те k α, β Составим число α βi r Степени многочленов k в f ): n, m, тогда l m,) Следовательно, частное решение % неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: Тогда % ) A B A B % A B % A Подставляя %, %, % в исходное дифференциальное уравнение % % 8%, получим: [ ] A A B 8 A B, A A B 8A 8B 8 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях этого равенства, получим: 6

66 A 8 8 A 8 A A A 8B B B AB Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения выглядит так: Тогда окончательно % ОН OO % c c Задача Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: ОН OO % 6 9 Найдём общее решение OO соответствующего однородного уравнения: 6 9 k 6k 9, D , k, 6± 6±, OO c c ) В исходном уравнении переписать ) f ) Сравнивая вид ) f в виде f ) [ cos ) sin ) ] f с ), можем, те α, β k Составим число α βi r Степени многочленов в f ): k n, m, тогда l m,) Следовательно, частное решение % неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: 66

67 % A A Тогда % A A % A 6A 6A 9A A A 9 A Подставляя %, %, % в исходное дифференциальное уравнение % 6% 9%, получим: A A 9A 6 A A 9A, : A A 9A A 8A 9A Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях этого равенства, получим: A A A A A A A Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения выглядит так: Тогда окончательно % ОН OO % c c ) Задача 6 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: ОН OO % sin Найдём общее решение OO соответствующего однородного уравнения: k, k, k, ± ± i ± i α β, cos cos sin sin 67

68 c cos c sin OO В исходном уравнении f ) sin Сравнивая вид f ) с ), можем переписать ) f в виде f ) [ cos ) sin ) ], те α k, β Составим число i α βi i r Степени k i многочленов в f ): n, m, тогда l m,) Следовательно, частное решение % неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: Тогда % A cos Bsin ) % Acos Bsin Asin Bcos ) % Asin Bcos Asin Bcos Acos Bsin ) Asin Bcos AcosBsin ) Подставляя %, %, % в исходное дифференциальное уравнение % % sin, получим: sin Asin Bcos Acos Bsin ) A cos Bsin ) sin Приравнивая коэффициенты при одинаковых выражениях sin, cos,, cos в разных частях этого равенства, получим: sin A cos B A sin B B cos A A B Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения выглядит так: Тогда окончательно % cos ОН OO % ccos csin cos Задача 7 Найти общее решение дифференциального уравнения 8 6 sin 68

69 Решение: ОН OO % Найдём общее решение OO соответствующего однородного уравнения: 8 k k 8, D ) 8 6 6, k, ± 6 ± i ± i α, β, cos sin В исходном уравнении можем переписать ) OO c c cos sin ) f ) 6 sin Сравнивая вид f ) с ), f в виде f ) [ 6 cos sin ], те α, β k Составим число i α βi i r Степени многочленов в k i f ): n, m, тогда l m,) Следовательно, частное решение % неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: Тогда % cos sin ) cos sin ) A B A B % Acos Bsin ) Asin Bcos ) B A ) sin A B ) cos % B A ) sin B A ) cos A B ) cos A B ) sin sin B A) cos B A) Подставляя %, %, % в исходное дифференциальное уравнение % % %, получим: 8 6 sin 8 Acos Bsin ) 6 sin, : sin B A) cos B A) B A ) sin A B ) cos получим: [ ] sin B A) cos B A) B A)sin A B)cos 8 Acos Bsin ) 6sin, Приравнивая коэффициенты при одинаковых выражениях sin, cos, 69

70 { 6 sin B A A 8B 8B 6 B cos B A8A B 8A A Итак, частное решение неоднородного дифференциального уравнения выглядит так: 6 % sin Тогда окончательно 6 ОН OO % ccos csin sin 7


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания к решению индивидуального задания Индивидуальное задание соответствует теме «Неопределённый интеграл» теоретического

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ)

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ) ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ρ ρ (ϕ) β α ρ УДК 57(76) ББК В6я7 Н9 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета Р е ц е н з е н т Кандидат физико-математических наук, доцент ГОУ ВПО

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ АН Дук ЕГ Ткаченко НВ Целуйко ГМ Бартенев ВВ Толстой ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Разделы: Дифференциальное исчисление

Подробнее

К.А. ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

К.А. ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ КА ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Рязань УДК 7 Интегральное исчисление функции одной

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Е В НОВАК Т В РЯЗАНОВА И В НОВАК ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие МИНИТЕРТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МАТЕМАТИКА : ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

МАТЕМАТИКА : ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технологической политики и образования Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Донской

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Контрольная работа Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной З а д а ч и 1-10 Необходимо найти производные первого порядка функций одной переменной, используя правила дифференцирования

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра Математики и математического моделирования МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно графических

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее