Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:"

Транскрипт

1 1

2 2

3 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка и выполнение контрольных работ. 3

4 Векторная алгебра. 1. Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). 2. Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). 3. Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов. Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1: Коллинеарны ли векторы c 1 и c 2, разложенные по векторам a и b, где 1 2 c 5a 3 b, c 4 a b, a 2; 1;5, b 7;1; 3. Решение: 1. Вычислим проекции векторов c1, c 2 на оси координат: c1 5a 3b 52 37;5 1 31; ; 2;16, c2 4a b 42 7;4 1 1; ; 3;17 2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат: c , c1, c2 не коллинеарны. c Задание 2: Перпендикулярны ли векторы a 7;1;2, b 3;2; 1? Решение: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле: a, b ax bx ay by az bz, где a a x; ay; az, b bx ; by; bz вычислим скалярное произведение: ab, векторы не перпендикулярны. Задание 3: Компланарны ли векторы a 1;2; 1, b 0;2;1, c 2;0;3? Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, a a a смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: где a a x; ay; az, b bx ; by; bz, c c x; cy; cz 4 x y z abc b b b, x y z c c c x y z вычислим смешанное произведение векторов: abc векторы не компланарны Задание 4: При каком значении векторы,, перпендикулярны? Решение: AB AC где A B C 2;1;, 3;1;4, 2;5;3.,

5 1) Для определения, при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: AB, AC 0, для этого найдем проекции векторов AB и AC на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора AB 3 2;1 1;4 1;0;4, AC 2 2;5 1;3 0;4;3 AB, AC (4 ) 3 0 4, 3. Итак: векторы AB и AC перпендикулярны при 4 и при 3. Задание 5: Даны точки: A B C Найти: 1. пр 2AC 3CB ABCB 2. AB 4BC ; 3. AB CB, AB ; 4. орт вектора AB ; ; 5. AB 4 BC, BA AC 6. AB 2 BC, CB AB ; 1;0; 1, 0;1;3, 2;0;1. ; 7. AB BC AC; Решение: 1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор AB, BC можно вычислить по формуле: пр AB, где скалярное произведение векторов BC BC вычисляется по формуле: a, b ax bx ay by az bz, где a a x; ay; az, b bx ; by; bz, и длина вектора: a a a y a итак,в нашем случае, формула принимает вид: пр 2AC 3CB ABCB 2 3 AB CB x z 2AC 3 CB, AB CB AB CB для нахождения пр AC CB необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора: 5

6 CB 2 1;0 0;1 1 1;0;2, CB 1 2 ;1 1;4 2 3;2;6, CB CB AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4, 0 2;1 0;3 1 2;1;2, AC AB 2AC 2 1;2 0;2 2 2;0;4,3 3 2 ;3 1;3 2 6;3;6, 2AC ;0 3;4 6 4;3;10, AB CB, 2AC 3CB , AB CB на основании формулы, выше написанной, получим : AC CB AB CB AB CB 2 3, 78 пр 2AC 3CB ABCB 7 78 ; 7 пр 2AC 3CB ABCB 2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой: a a 2 2 2, ; ; x ay az a ax ay az, для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат: AB 0 1;10;3 1 1;1;4, BC 2 0;0 1;13 2; 1; 2, 4BC 1 8;1 4 ;4 8 7; 3; 4 4BC 4 2;4 1 ;4 2 8; 4; 8, AB AB BC ; Итак: AB 4BC Угол между векторами можно найти из определения скалярного, a, b a b cos a, b a, b arc cos ab a b произведения: формула принимает вид: AB CB, AB arccos AB CB, AB AB CB AB в нашем случае находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов: AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4, CB 0 2;1 0;3 1 2;1;2, CB 1 2 ;1 1;4 2 1;0;2, AB AB CB, AB , AB CB , AB

7 AB CB, AB AB CB, AB arccos arccos arccos arccos ; AB CB AB Итак AB CB, AB arccos Направление вектора a определяется углами,,, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: cos ax a ay a x y az ax,cos,cos. a a a a a a a a a a a a x y z x y z x y z Направляющие косинусы вектора связаны соотношением cos cos cos 1 мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину AB 0 1;10;3 1 1;1;4, орт вектора AB ; ; AB Итак: орт вектора AB ; ; Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле: a, b ax bx ay by az bz, a a x; ay; az, b b x; by; bz (см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов : AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4, BC 2 0;0 1;1 3 2; 1; 2, 4BC 1 8;1 4 ;4 8 7; 3; 4, AC 1 1; 1 0; 4 2 0; 1; 6 4BC 4 2;4 1 ;4 2 8; 4; 8, AB BA AB 1 1 ; 1 1; 1 4 1; 1; 4, AC 2 1;0 0;1 1 1;0;2, BA AB 4BC, BA AC ; Итак: AB 4 BC, BA AC 27; 6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: i j k a b a a a b b b, x y z y y z, где a a x; ay; az, b bx ; by; bz Находим проекции векторов на оси координат: 7

8 BC AB 2 1 ;1 1;2 4 1;0; 2 AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4, 2 0;0 1;1 3 2; 12, 2BC 2 2;2 1 ;2 2 4; 2; 4, AB 2BC 14;1 2 ;4 4 3; 1;0, CB 0 2;1 0;3 1; 2;1;2, CB i j k AB 2 BC, CB AB i 1 2 j 0 1 k 30 k i 00 j 2 3 2i 0 j 0k k 0i 6 j 2i 6 j k. Итак: AB 2 BC, CB AB 2i 6 j k. 7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: a a a x y z x y z, где a a x; ay; az, b bx ; by; bz, c c x; cy; cz a b c b b b c c c x y z BC 2 1;0 0;1 1 1;0;2, 8 AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4, 2 0;0 1;1 3 2; 1; 2, AC AB BC AC ; Итак: AB BC AC 0. Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды: A 1;4;3, B 2;3;1, C 2;1;3, D 0;1;2. Вычислить: 1. объем пирамиды; 2. длину ребра AB ; 3. площадь грани ABC ; Решение: 1. Объем пирамиды равен 1 6 объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен: x y z x y z x y z V a b c, a a ; a ; a, b b ; b ; b, c c ; c ; c, Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат: AB 2 1;3 4;13 1; 1; 2, AC 2 1;14;3 3 3; 3;0, 0 1;1 4;2 3 1; 3; 1, AD Тогда объем пирамиды равен:

9 1 V AB AC AD 6 Вычислим объем по указанной формуле: V ; Длина ребра AB AB AB 2 1;3 4;1 3 1; 1; AB ; (смотри пункт 5,3) 3. Площадь грани ABC вычисляется по формуле: 1 SABC AB, AC 2 так как грань ABC треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат: AB 2 1;3 4;1 3 1; 1; 2, AC 2 1;1 4;3 3 3; 3;0 i j k 1 1 SABC i 6 j 6k ; 2 2 9

10 Контрольная работа Задания для индивидуальной контрольной работы Задание 1: Коллинеарны ли векторы c1 и c 2, разложенные по векторам a и b? Задание 2: Перпендикулярны ли векторы a и b? Задание 3: Компланарны ли векторы a, b, c? Задание 4: При каком значении векторы AB и AC перпендикулярны? Задание 5: Даны координаты точек ABC.,,. Вычислить: 1) пр (2AC 3 CB) ; ABCB 2) AB 4BC ; 3) ( AB CB), AB ; 4) орт вектора AB ; 5) AB 4 BC, BA AC 6) AB 2 BC, CB AB ; ; 7) AB BC AC ; Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Вычислить: 1) объем пирамиды; 2) длину ребра AB ; 3) площадь грани ABC ; Варианты для индивидуальной контрольной работы. Вариант 1 a 1; 2;3, b 3;0; 1, c 2a 4 b, c 3 a b a 2;3; 1, b 1; 1; 3, c 1; 9; a 1;3; 1, b 3; 2; A; 2;3, B0; 1;2, C 3; 4; A1;2;1, B1;3; 4, C 0;1; A B C D 1; 1;1, 1;2; 4, 2;0; 6, 2;5;1. 10

11 Вариант 2 a 1;0;1, b 2;3;5, c a 2 b, c 3a 2 b a 2;1;4, b 4;1; a 3; 2;1, b 2;1;1, c 3; 1; A0; 3;, B12; 3; 3, C 9; 3; A0;1;2, B3; 1;2, C 1;2; A B C D 0;5;0, 2;3; 4, 0;0;6, 3;1; 1. Вариант 3 a 2; 4;1, b 1;2; 7, c 5a 3 b, c 2 a b a 0;1;2, b 1;3; a 2; 1;2, b 1;2; 3, c 3; 4; A3; ; 1, B5;5; 2, C 4;1; A0;2;3, B3;1;2, C 1;5; A B C D 0;0;6, 4;0; 4, 1;3; 1, 4; 1; 3. Вариант 4 a 1;2; 3, b 2; 1; 1, c 5a 3 b, c 8 a b a 1;2;1, b 3;1; a 1;2;4, b 2;1; 5, c 1; 1; A1;2;, B3;4; 6, C 1;1; A1;0;3, B1;4;1, C 0;2; A B C D 5;6; 1, 6; 5;2, 6;5;1, 0;0;2. Вариант 5 a 3; 5;4, b 5;9; 7, c 2a 3 b, c 3a 2 b a 2;1;7, b 2;4; a 2; 1;1, b 1;2;3, c 1; 3; A4; 2;0, B; 2;4, C 3; 2; A1;1;0, B4;1;2, C 1;2; A B C D 2; 5;3, 3;2; 5, 5; 3; 2, 5;3; 2. Вариант 6 11

12 a 1;4; 2, b 1;1; 1, c a b, c 4a 2 b a 4;1;5, b 1;3; a 3; 1;2, b 2; 1; 1, c 4; 2; A5;3; 1, B; 2;0, C 6; 4; A 1;4;2, B5;2;3, C 0;1; A6;0;4, B0;6;4, C 4;6;0, D0; 6;4. Вариант 7 a 1; 2;5, b 3; 1;6, c 4a 2 b, c b 2 a a 3; 1;2, b 2;3; a 1;1; 1, b 7;3; 6, c 1;1; A3; 7; 5, B0; ; 2, C 2;3; A3; 2;1, B1;3;2, C 2;4; A B C D 3;2;4, 2;4;3, 4;3; 2, 4; 2; 3. Вариант 8 a 3;5; 1, b 2; 1;1, c 6a 3 b, c b 2 a a 4; 1;5, b 1; 3; a 2; 4;9, b 2;0; 3, c 7;9; A2; 4;6, B0; 2;, C 2;3; A1;3; 1, B3;2;3, C 1;3; A B C D 6;3;5, 5; 6;3, 3;5;6, 6; 1; a 9;1;2, b 1;1; a 1;1;1, b 1;1; 1, c 6;0; A0;1; 2, B3;1;2, C ;1; A1; 1;6, B4;5; 2, C 1;3; A5; 2; 1, B4;0;0, C 2;5;1, D1;2;5. Вариант 9 a 2; 3; 4, b 1;0; 5, c 3a 9 b, c a 3 b. 12

13 Вариант 10 a 1;4;2, b 3;2; 6, c 2a 5 b, c 3b 6 a a 8;2;3, b 2;8; a 7;2;3, b 5; 3;2, c 10; 11; A3;3;1, B1;5; 2, C 4; ; A7;1;2, B5;3; 2, C 3;2; A4;2;5, B3;0;4, C 0;2;3, D5; 2; 4. Вариант 11 a 5;0; 1, b 7;2;3, c 2 a b, c 3b 6 a a 7;3;4, b 1; 1; a 1;2;1, b 3; 5;3, c 2;7; A2;1; 1, B6; 1;5, C 4;2; A2;3; 2, B2; 3;2, C 1;3; A B C D 4;2;5, 3;0;4, 0;2;3, 5;2; 4. Вариант 12 a 0;3; 2, b 1; 2;1, c 5a 2 b, c 3a 2 b a 6; 4;2, b 1;2; a 2;1; 1, b 3; 5;3, c 2; 1; A; 2;1, B4; 2;5, C 5; 2; A4;2; 1, B3;0;4, C 1;2; A4;4;10, B7;10;2, C 2;8;4, D 9;6;9. Вариант 13 a 2;7;1, b 3;5;2, c 2a 3 b, c 3a 2 b a 1; 2;3, b 3;2; a 1; 1; 1, b 1;4;2, c 3;7; A6; ;3, B6;3; 2, C 7;3; A1;2;3, B1;2; 3, C 2;3; A4;6;5, B6;9;4, C 2;10;10, D 7;5;9. Вариант 14 13

14 a 3;7;0, b 1; 3;4, c 4a 2 b, c b 2 a a 2;4;1, b 2;1; a b c 4.14 A0;0;4, B; 6;1, C 5; 10; A4; 5;2, B1; 3;4, C 5;2; A3;5;4, B8;7;4, C 5;10;3, D 4;7;8. 7;2; 3, 5;3;2, 10;11; 5. Вариант 15 a 1;2; 1, b 2; 7;1, c 6a 2 b, c b 2 a a 3;4;1, b 1;1; a 1; 2;1, b 5;3;1, c 7;2; A2; 8; 1, B4; ;0, C 2; 5; A4;4;9, B7;10;2, C 2;8; A B C D 10;6;5, 2;8;4, 6;8;9, 7;10;3. Вариант 16 a 7;9; 2, b 5;4;3, c 4 a b, c 4 b a a 1;4;2, b 2;2; a 2;4; 9, b 7;3;6, c 1;1; A3; 6;9, B0; 3;, C 9; 12; A4;6;5, B6;9;4, C 7;5; A1;8;2, B5;2;6, C 5;7;4, D 4;10;9. Вариант 17 a 5;0; 2, b 6;4;3, c 5a 3 b, c 6b 10 a a 5;1;3, b 2;1; a 3;4;5, b 2;1;3, c 1;4; A0;2; 4, B8;2;2, C ;2; A3;5;4, B8;7;4, C 4;7; A6;6;5, B4;9;5, C 4;6;11, D 5;9;3. 14

15 Вариант 18 a 8;3; 1, b 4;1;3, c 2 a b, c 2b 4 a a 4;3;7, b 4;1; a 5;6; 2, b 2; 3;1, c 2;1; A3;3; 1, B5;1; 2, C 4; ; A10;6;5, B 2;8;4, C 7;10; A B C D 3;2;1, 3;1; 6, 1; 4;3, 5; 1;3. Вариант 19 a 3; 1;6, b 5;7;10, c 4a 2 b, c 2b 4 a a 4;2;1, b 1; 2; a 5;6;1, b 4;1;1, c 2; 1; A4;3; 5, B0;1; 3, C 2;4; A6;3;5, B8;7;3, C 5;10; A8;6;4, B10;5;5, C 5;6;8, D8;10; 7. Вариант 20 a 1; 2;4, b 7;3;5, c 6a 3 b, c b 2 a a 6;7;1, b 3;2; a 2; 1;4, b 4; 1;1, c 3;4; A; 1;0, B2; 1;4, C 8; 1; A1;8;2, B5;2;6, C 6;9; A7;7;3, B6;5;8, C 3;6;7, D 8;4; a 6; 7; 1, b 2;1; a 2; 1;4, b 4;1; 1, c 1;1; A7; ;2 B8;1;3, C 6; 1; A7;2;2, B5;7;6, C 2;3; A B C D Вариант 21 a 3; 7;0, b 4; 6;1, c 3a 2 b, c 5a 7 b. 4;0;0, 2;1;2, 1;3;2, 3;2;7. 15

16 Вариант 22 a 2; 6;4, b 3; 7;6, c 2a 3 b, c 3a 5 b a 3; 3;4, b 2;1; a 2;1;3, b 3; 2;1, c 4; 2; A2;3;, B1;3; 2, C 3; 7; A5;6; 1, B2;4;3, C 5;2; A 2;1;2, B4;0;1, C 3;2;7, D1;3;2. Вариант 23 a 5; 1;2, b 6;1; 7, c 3a 9 b, c 4b 6 a a 4; 5;1, b 2;3; a 3;1; 4, b 4;3;1, c 1;2; A2;2;7, B; 1;6, C 2;5; A3;2;4, B3;1; 2, C 5; 2; A1;3;2, B3;2;7, C 4;0;1, D2;1; a 5;4;2, b 2; 1; a 4;3; 2, b 1;2;2, c 2;2; A1;2; 3, B0; ; 2, C 3;4; A5; 2;1, B4;2;5, C 1;2; A B C D Вариант 24 a 3;5; 3, b 6;1; 2, c 2 a b, c 3a 5 b. 3;2;7, 1;3;2, 2;1;3, 4; 2;3. Вариант 25 a 4;2;9, b 0; 1;3, c 4b 3 a, c 4a 3 b a 5; 4;2, b 3;5; a 3;1;4, b 2;1;1, c 5;4; A0;3; 6, B9;3;, C 12;3; A7;5;6, B2; 5;2, C 3;1; A B C D 3;1; 2, 1; 2;1, 2;1;0, 2;2;5. Вариант 26 16

17 a 2; 1;6, b 1;3;8, c 5a 2 b, c 2a 5 b a 5;4; 2, b 4;4; a 1;2;1, b 3;2; 1, c 5;6; A3;3; 1, B5;1; 2, C ;1; A2;1;2, B1; 2;2, C 3; 1; A B C D 1; 2;1, 3;1; 2, 2;2;5, 2;1; a 7; 3;1, b 1;1; a 1;2; 2, b 4;5;4, c 6;5; A 2;1;1, B2;3;2, C 0; ; A1;3;2, B2;3;2, C 5;6; A B C D Вариант 27 a 5;0;8, b 3;1;7, c 3a 4 b, c 12b 9 a. 3;2;1, 2;1;0, 1; 2;1, 3;1;2. Вариант 28 a 1;3;4, b 2; 1;0, c 3a 2 b, c 3b 5 a a 9; 5;6, b 1;3; a 2; 1;2, b 3;3;3, c 4;5; A6;4; 1, B2; 3; 5, C 4;3; A5;1; 2, B4;2;7, C 2;1; A B C D 3; 2;9, 3; 6; 2, 2;3;5, 2; 5;6. Вариант 29 a 5; 2; 7, b 4;0; 8, c 3a 4 b, c 6b 7 a a 2;2; 7, b 2; 2; a 2;1;3, b 2; 2;8, c 1;1; A0; ; 9, B0; 2;1, C 1;2; A1; 6;1, B2; 3; 2, C 1;3; A B C D 3;6; 2, 2;1; 1, 4; 2;5, 3;2; 1. 17

18 Вариант 30 a 2;0;5, b 1;3;4, c 2a 6 b, c 5a 6 b a 3; 4; 6, b 1; 2; a 2;1; 4, b 1;1; 2, c 1; 2; A4;2; 5, B1; ; 7, C 3;10; A2; 1;3, B1; 7;1, C 6;4; A B C D 2; 1; 5, 2;9; 5, 3;4;1, 3; 2; 1. Образец решения варианта Задание 1. Коллинеарны ли векторы c 1 и c 2, разложенные по векторам a и b, где 1 2 c 5a 3 b, c 4 a b, a 2; 1;5 b 7;1; 3. Решение: 1. Вычислим проекции векторов c1, c 2: c1 5a 3b 52 37;5 1 31; ; 2;16, c2 4a b 42 7;4 1 1; ; 3;17 2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов: c , c1, c2 не коллинеарны. c Задание 2. a 7;1;2, b 3;2; 1? Перпендикулярны ли векторы Решение: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, вычислим скалярное произведение: Задание 3. ab, векторы не перпендикулярны. Компланарны ли векторы a 1;2; 1, b 0;2;1, c 2;0;3? Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, вычислим смешанное произведение векторов: abc векторы не компланарны. Задание Найти угол между векторами,, AB AC где A B C Решение: Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: 2;1;3, 3;1;4, 2;5;3. 18

19 AB AC, 3 2;11;4 3, 2 2;5 1; cos AB, AC AB AC AB, AC arc cos 0. 2 Задание 5. A 1;0; 1, B 0;1;3, C 2;0;1. Даны точки: Найти: 1. пр BC AB ; 2. пр 2AC 3CB ABCB 3. AB 4BC ; ; 4. AB CB, AB ; 5. AB, BC ; 6. AB 4 BC, BA AC ; 7. AB, BC ; 8. AB 2 BC, CB AB ; 9. AB BC AC ; 10. AB BC, BC, AC ; 11.AB, BC BC ; 12. орт вектора AB. Решение: 1. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле: пр BC AB AB, BC BC 2 0;0 1;1 3 2; 1; 2 AB 0 1;10;3 1 1;1;4, находим проекции векторов: BC вычисляем скалярное произведение векторов и длину вектора: AB BC BC, , пр AB BC Находим проекции векторов: AB 1;1;4, CB 2;1;2, AC 1;0;2, AB CB 3;2;6,2AC 3CB 4;3;10, AB CB AC CB, , AB CB 7 19

20 78 ; ABCB 7 3. Находим проекции векторов: AB 1;1;4, BC 2; 1; 2, AB 4BC 7; 3; 4 пр 2AC 3CB AB 4BC 74 ; 4. Находим проекции векторов: AB 1;1;4, CB 2;1;2, AB CB 1;0;2 AB CB AB, AB CB, AB arccos arccos arccos ; AB CB AB AB, BC ; 6. AB 4BC 7; 3; 4, BA AC 0; 1; 6 AB 4 BC, BA AC 27 i j k 7. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: a, b ax ay az b b b AB, BC i 6 j k 2;6; 1 где a a x; ay; az, b bx ; by; bz 8. AB 2BC 3; 1;0, BA AC 0; 1; 6 i j k i j k ; AB 2 BC, BA AC i 18 j 3 k i j k AB BC, BC, AC i 5 j 6k ; y y z 9. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: a b c b b b, где x; y; z, x; y; z, x; y; z a a a a b b b b c c c c i j k 10. AB BC, BC i 6 j k 2;6; ; a a a x y z x y z c c c x y z AB BC AC ; 1 0 2

21 11. AB, BC 11, AB, BC BC 11 2; 1; 2 22;11;22 ; Орт вектора AB ; ;, так как орт- это вектор единичной длины необходимо каждую проекцию вектора разделить на его длину. Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды: A B C D 1;4;3, 2;3;1, 2;1;3, 0;1;2. Вычислить: 1. объем пирамиды; 2. длину ребра AB ; 3. площадь грани ABC ; 4. угол между ребрами AB и AD. Решение: 1 1. Объем пирамиды вычисляется по формуле: V AB AC AD V ; Длина ребра AB AB AB ; 3. Площадь грани ABC вычисляется по формуле: S i j k 1 1 SABC i 6 j 6k ABC 1 AB, AC ; Угол между ребрами AB и AD вычисляется по формуле: AB, AD AB, AD arccos AB AD AB, AD arccos arccos Задание 7. Имеет ли смысл выражение a b, c, d, a b? Обосновать. Решение: Выражение a b, c, d, a b смысла не имеет, так как складывать числа с векторами нельзя: в результате скалярного призведения bc, получим число, затем мы должны сложить вектор a с результатом скалярного произведения (число), что не возможно. Задание 8. Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их. Решение:

22 Рассмотрим одну из указанных задач, например, задачу 8,3: x a 1;2;1, x b 1;3;2, x, oy тупой, x 2 <0, x 2. Дано: Найти: x x ; x ; x Решение: По условию: x a x, a 0 1 x 2 x 1 x 0, x b x, b 0 1 x 3 x 2 x 0, x 2 x x x Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, решением которой и будут проекции исходного вектора: x1 x x3 x3 x1 2x 2x 3 0 x1 x2 x1 3x2 2x по формулам Крамера находим отношение x3 x x1 x2 x x1 x2 x3 4 коэффициентов: x x x 1 2 3, x x x, x x x3 9 x x3 4 x3 x Условие x 2 0 выполняется при x3 0 то есть x x1, x2, x Ответ: x ; ; Второй способ решения: По условию: i j k x a, x b x y a, b i 3 j 5k 1; 3; x x x t, x t, x 3 t, x 5 t

23 Найденные значения x1, x2, x 3 подставим в условие x 2, найдем t так, что бы x Итак: x x1 x2 x3 t 9t 25t 35t 2 t. 35 Так как по условию x2 0, то Итак: t x1, x2, x Ответ: x ; ; Задания для индивидуальной контрольной работы Задание 1 Коллинеарны ли векторы c1 и c 2, разложенные по векторам a иb? Задание 2 Перпендикулярны ли векторы a и b? Задание 3 Компланарны ли векторы a, b, c? Задание 4 Найти угол между векторами AB и AC. Задание 5 Даны координаты точек ABC,,. Вычислить: 1) пр BC AB ; 2) пр (2AC 3 CB) ; ABCB 3) AB 4BC ; 4) ( AB CB), AB ; 5) ( AB, BC ) ; 6) AB 4 BC, BA AC ; 7) AB, BC ; 8) AB 2 BC, CB AB ; 9) AB BC AC ; 23

24 Задание 6 10) AB BC, BC, AC ; 11) AB, BC AC ; 12) орт вектора AB ; Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Вычислить: 1) объем пирамиды; 2) длину ребра AB ; 3) площадь грани ABC ; 4) угол между ребрами AB и AD ; Задание 7 Имеет ли смысл выражение? Обосновать. Задание 8 Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их. 8.1 Дано: x a a ; a ; a, x, oz острый (или с любой другой осью, тупой или x y z острый), x A, где A произвольное число. Найти: x x x x ; ; Дано: ; ;,, x a a a a x a A. x y z Найти: x x x x ; ; Дано: x a a ; a ; a, x b b ; b ; b, x, oy другой осью), x A. тупой(острый или с любой Найти: x x x x x y z x y z ; ; Дано: x oz (любой другой оси), x a A a a x ay az x b B b b x by bz Найти: x x x x ; ; ,, ; ;,,, ; ;. 8,5 Дано:,,,,, x a A x b B x c C, где x y z x y z x y z a a ; a ; a, b b ; b ; b, c c ; c ; c, A, B, C произвольные числа. Найти: x x x x ; ; Варианты для индивидуальной контрольной работы. 24

25 ВАРИАНТ 1 a 1; 2;3, b 3;0;1, c 2a 4 b, c 3 a b a 1;3; 1, b 3; 2; a 2;3; 1, b 1; 1;3, c 1;9; A1; 2;3, B0; 1;2, C 3; 4; A1;2;1, B 1;3;4, C 0;1; A B C D 1;1;1, 1;2;4, 2;0;6, 2;5; a b c c,,,. ВАРИАНТ 2 a 1;0;1, b 2;3;5, c a 2 b, c 3a 2 b a 2;1;4, b 4;1; a 3; 2;1, b 2;1;1, c 3; 1; A0; 3;6, B12; 3; 3, C 9; 3; A0;1;2, B3; 1;2, C 1;2; A B C D 0;5;0, 2;3; 4, 0;0;6, 3;1; a, b, c, a. ВАРИАНТ 3 a 2;4;1, b 1; 2;7, c 5a 3 b, c 2 a b a 0;1;2, b 1;3; a 2; 1;2, b 1;2; 3, c 3; 4; A3;3; 1, B5;5; 2, C 4;1; A0;2;3, B3;1;2, C 1;5; A B C D 0;0;6, 4;0; 4, 1;3; 1, 4; 1; a, b c, d. ВАРИАНТ 4 a 1;2; 3, b 2; 1; 1, c 5a 3 b, c 8 a b a 1;2;1, b 3;1; a 1;2;4, b 2;1; 5, c 1; 1; 1. 25

26 4.4 A1;2; 3, B3;4; 6, C 1;1; A1;0;3, B1;4;1, C 0;2; A B C D 5;6; 1, 6; 5;2, 6;5;1, 0;0; a b, c, d. ВАРИАНТ 5 a 3;5;4, b 5;9;7, c 2 a b, c 3a 2 b a 2;1;7, b 2;4; a 2; 1;1, b 1;2;3, c 1; 3; A4; 2;0, B1; 2;4, C 3; 2; A1;1;0, B4;1;2, C 1;2; A B C D 2; 5;3, 3;2; 5, 5; 3; 2, 5;3; a,5 d, b, c. ВАРИАНТ 6 a 1;4; 2, b 1;1; 1, c a b, c 4a 2 b a 4;1;5, b 1;3; a 3; 1;2, b 2; 1; 1, c 4; 2; A5;3; 1, B5;2;0, C 6;4; A 1;4;2, B5;2;3, C 0;1; A6;0;4, B0;6;4, C 4;6;0, D0; 6; a, b, c, d. ВАРИАНТ 7 a 1; 2;5, b 3; 1;6, c 4a 2 b, c b 2 a a 3; 1;2, b 2;3; a 1;1; 1, b 7;3; 6, c 1;1; A3; 7; 5, B0; 1; 2, C 2;3; A3; 2;1, B1;3;2, C 2;4; A B C D 7.7 3;2;4, 2;4;3, 4;3; 2, 4; 2; 3. a, b, c. ВАРИАНТ 8 26

27 a 3;5; 1, b 2; 1;1, c 6a 3 b, c b 2 a a 4; 1;5, b 1; 3; a 2; 4;9, b 2;0; 3, c 7;9; A2; 4;6, B0; 2;4, C2;3; A1;3; 1, B3;2;3, C 1;3; A B C D 7.8 6;3;5, 5; 6;3, 3;5;6, 6; 1;2. a, b, c c. ВАРИАНТ 9 a 2; 3; 2, b 1;0;5, c 3a 9 b, c a 3 b a 9;1;2, b 1;1; a 1;1;1, b 1;1; 1, c 6;0; A0;1; 2, B3;1;2, C 4;1; A1; 1;6, B4;5; 2, C 1;3; A5; 2; 1, B4;0;0, C 2;5;1, D1;2; a b, c, a. ВАРИАНТ 10 a 1;4;2, b 3; 2;6, c 2 a b, c 3b 6 a a 8;2;3, b 2;8; a 7;2;3, b 5; 3;2, c 10; 11; A3;3;1, B1;5; 2, C 4;1; A7;1;2, B5;3; 2, C 3;2; A4;2;5, B3;0;4, C 0;2;3, D5; 2; пр ab d,. ВАРИАНТ 11 a 5;0; 1, b 7;2;3, c 2 a b, c 3b 6 a a 7;3;4, b 1; 1; a 1;2;1, b 3; 5;3, c 2;7; A2;1; 1, B6; 1;5, C 4;2;1. 27

28 5.11 A2;3; 2, B2; 3;2, C 1;3; A B C D 4;2;5, 3;0;4, 0;2;3, 5;2; пр dc,. dc ВАРИАНТ 12 a 0;3; 2, b 1; 2;1, c 5a 2 b, c 3a 2 b a 6; 4;2, b 1;2; a 2;1; 1, b 3; 5;3, c 2; 1; A1; 2;1, B4; 2;5, C 5; 2; A4;2; 1, B3;0;4, C 1;2; A4;4;10, B7;10;2, C 2;8;4, D 9;6; пр a b dc, 3. ВАРИАНТ 13 a 2;7;1, b 3;5;2, c 2a 3 b, c 3a 2 b a 1; 2;3, b 3;2; a 1; 1; 1, b 1;4;2, c 3;7; A6; 2;3, B6;3; 2, C7;3; A1;2;3, B1;2; 3, C 2;3; A4;6;5, B6;9;4, C 2;10;10, D 7;5; пр a, b, c. c3d ВАРИАНТ 14 a 3;7;0, b 1; 3;4, c 4a 2 b, c b 2 a a 2;4;1, b 2;1; a b c 4.14 A0;0;4, B3; 6;1, C 5; 10; A4; 5;2, B1; 3;4, C 5;2; A3;5;4, B8;7;4, C 5;10;3, D 4;7;8. 7;2; 3, 5;3;2, 10;11; пр a b c 4c7d,,. 28

29 ВАРИАНТ 15 a 1;2; 1, b 2; 7;1, c 6a 2 b, c b 2 a a 3;4;1, b 1;1; a 1; 2;1, b 5;3;1, c 7;2; A2; 8; 1, B4; 6;0, C 2; 5; A4;4;9, B7;10;2, C 2;8; A B C D 10;6;5, 2;8;4, 6;8;9, 7;10; пр cd, 3 d b, c. ВАРИАНТ 16 a 7;9; 2, b 5;4;3, c 4 a b, c 4 b a a 1;4;2, b 2;2; a 2;4; 9, b 7;3;6, c 1;1; A3; 6;9, B0; 3;6, C 9; 12; A4;6;5, B6;9;4, C 7;5; A1;8;2, B5;2;6, C 5;7;4, D 4;10; пр b a c 3c,,. ВАРИАНТ 17 a 5;0; 2, b 6;4;3, c 5a 3 b, c 6b 10 a a 5;1;3, b 2;1; a 3;4;5, b 2;1;3, c 1;4; A0;2; 4, B8;2;2, C 6;2; A3;5;4, B8;7;4, C 4;7; A6;6;5, B4;9;5, C 4;6;11, D 5;9; пр 2, a b a c d. ВАРИАНТ 18 a 8;3; 1, b 4;1;3, c 2 a b, c 2b 4 a a 4;3;7, b 4;1; a b c 4.18 A3;3; 1, B5;1; 2, C 4;1;1. 5;6; 2, 2; 3;1, 2;1; 1. 29

30 5.18 A10;6;5, B 2;8;4, C 7;10;3. 6,18 A7;2;2, B5;7;7, C 5;3;1, D 2;3; пр ab 3 b d, b. ВАРИАНТ 19 a 3; 1;6, b 5;7;10, c 4a 2 b, c 2b 4 a a 4;2;1, b 1; 2; a 5;6;1, b 4;1;1, c 2; 1; A4;3;0, B0;1;3, C 2;4; A6;3;5, B8;7;3, C 5;10; A8;6;4, B10;5;5, C 5;6;8, D8;10; пр c d a 5bc 4,,. ВАРИАНТ 20 a 1; 2;4, b 7;3;5, c 6a 3 b, c b 2 a a 6;7;1, b 3;2; a 2; 1;4, b 4; 1;1, c 3;4; A1; 1;0, B2; 1;4, C 8; 1; A1;8;2, B5;2;6, C 6;9; A7;7;3, B6;5;8, C 3;6;7, D 8;4; d c a b,,. ВАРИАНТ 21 a 3;7;0, b 4;6; 1, c 3a 2 b, c 5a 7 b a 6; 7; 1, b 2;1; a 2; 1;4, b 4;1; 1, c 1;1; A7;0;2 B8;1;3, C 6; 1; A7;2;2, B5;7;6, C 2;3; A B C D 4;0;0, 2;1;2, 1;3;2, 3;2; a b c d,,,. ВАРИАНТ 22 30

31 a 2; 1;4, b 3; 7; 6, c 2a 3 b, c 3a 3 b a 3; 3;4, b 2;1; a 2;1;3, b 3; 2;1, c 4; 2; A2;3;2, B1;3; 2, C 3; 7; A5;6; 1, B2;4;3, C 5;2; A 2;1;2, B4;0;1, C 3;2;7, D1;3; b, a 2 b, c. ВАРИАНТ 23 a 5; 1; 2, b 6;0;7, c 3a 2 b, c 4b 6 a a 4; 5;1, b 2;3; a 3;1; 4, b 4;3;1, c 1;2; A2;2;7, B0; 1;6, C 2;5; A3;2;4, B3;1; 2, C 5; 2; A1;3;2, B3;2;7, C 4;0;1, D2;1; a, d, a, b. ВАРИАНТ 24 a 3;6;3, b 7;1;2, c 2 a b, c 3a 5 b a 5;4;2, b 2; 1; a 4;3; 2, b 1;2;2, c 2;2; A1;2; 3, B0;1; 2, C 3;4; A5; 2;1, B4;2;5, C 1;2; A B C D 3;2;7, 1;3;2, 2;1;3, 4; 2; a b, c, d. ВАРИАНТ 25 a 4;2;9, b 0; 1;3, c 4b 3 a, c 4a 3 b a 5; 4;2, b 3;5; a 3;1;4, b 2;1;1, c 5;4; A0;3; 6, B9;3;6, C 12;3; A7;5;6, B2; 5;2, C 3;1; A B C D 3;1; 2, 1; 2;1, 2;1;0, 2;2;5. 31

32 7.25 пр a, b, d. ab ВАРИАНТ 26 a 2; 1;6, b 1;3;8, c 5a 2 b, c 2a 5 b a 5;4; 2, b 4;4; a 1;2;1, b 3;2; 1, c 5;6; A3;3; 1, B5;1; 2, C 4;1; A2;1;2, B1; 2;2, C 3; 1; A B C D ; 2;1, 3;1; 2, 2;2;5, 2;1;0. пр a, b, c. b2a ВАРИАНТ 27 a 5;0;8, b 3;1;7, c 3a 4 b, c 12b 9 a a 7; 3;1, b 1;1; a 1;2; 2, b 4;5;4, c 6;5; A 2;1;1, B2;3;2, C 0;1; A1;3;2, B2;3;2, C 5;6; A B C D ;2;1, 2;1;0, 1; 2;1, 3;1;2. пр b, d. bc, ВАРИАНТ 28 a 1;3;4, b 2; 1;0, c 3a 2 b, c b 3 a a 8; 2;3, b 1;3; a 2; 1;2, b 3;3;3, c 4;5; A1;4; 1, B2;3; 5, C 8;4; A3;1; 2, B4; 2;7, C 2;1; A B C D 1; 2;1, 3;1; 2, 2;2;5, 2;1; пр b c ab,,. ВАРИАНТ 29 32

33 a 4;2; 7, b 5;0; 3, c 2a 5 b, c 6b 2 a a 8;2; 3, b 2;2; a 2;1; 3, b 2;2;1, c 1;1; A0;1;0, B0;2;1, C 1;2; A1; 2;1, B2;3;2, C 1;3; A B C D ;1;2, 2;1;1, 1; 2;3, 3;2;1. a b, c, d, c. ВАРИАНТ 30 a 2;0; 5, b 1; 3; 4, c 2a 6 b, c 5a 2 b a 3;6; 7, b 1;2; a 2; 1;4, b 1;1;2, c 1;2; A4;0;4, B 1;6;7, C 1;10; A2;2;5, B3;2;7, C 3;5; A2; 1;1, B2;2;5, C 3;2;1, D1; 2; a, 2 a b, d. 33

34 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, с. 2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, с. 3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, с. 34

35 35

36 36


Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ТВ Крюкова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Варианты заданий для студентов заочной формы обучения Составители Лазарева РИ Куницына ТС Зголич МВ Томск 07 СОДЕРЖАНИЕ I Правила оформления

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Задачник по темам «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» для студентов очной

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и индивидуальные задания Составители: ПОПОВ Вячеслав Александрович, ЩЕРБАКОВА Антонина Васильевна Редактор Ю.В.

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ» ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных домашних заданий

МАТЕМАТИКА «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ» ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова, ВВ Солодов МАТЕМАТИКА

Подробнее