По дисциплине «Линейная алгебра»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "По дисциплине «Линейная алгебра»"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной техники КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине «Линейная алгебра» на тему: «Линейные преобразования векторного пространства Тензоры второй валентности» Выполнила: студентка 2 курса, группы 13ФМ1 Арефьева ТА Руководитель: Доцен Хорошева ЭА Пенза

2 Содержание 1 Линейные преобразования 3 2 Матрица линейного преобразования 6 3 Определитель матрицы линейного преобразования Ранг матрицы 12 4 Линейные преобразования и билинейные формы 15 5 Умножение линейных преобразований и умножение матриц 24 6 Обратное линейное преобразование и обратная матрица 30 7 Группа линейных преобразований и ее подгруппы 33 Список литературы 2

3 1 Линейные преобразования П1 До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов В настоящей главе будут рассматриваться векторные функции одного векторного аргумента Изучение таких функций оказывается важным для многих разделов геометрии, механики и физики Как мы увидим далее, важнейшие из таких функций линейные - связаны с тензорами валентности 2, которые уже рассматривались в предыдущей главе Говорят, что в линейном пространстве задана, векторная функция векторного аргумента этого пространства поставлен в соответствии некоторый вектор того же пространства Векторная функция называется линейной, если она обладает следующими двумя свойствами: где и два любых вектора пространства и любое действительное число Линейную вектор функцию называют также линейным преобразованием пространства или линейным оператором в этом пространстве В дальнейшем при обозначении линейной вектор функции мы будем опускать скобки всюду, где это не может привести к недоразумениям, и записывать ее в виде Геометрически первое из свойств, определяющих линейную вектор функцию, означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах и, при линейном преобразовании переходит в диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис а) Второе же свойство означает, что если длину вектора увеличить в несколько раз, то длина вектора увеличиться во столько же раз (рис б) Отсюда следует, что при линейном 3

4 преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные, а компланарные в компланарные П2 Рассмотрим некоторые примеры линейных преобразований а) Преобразование, которое ставит в соответствие вектору сам этот вектор, очевидно, является линейным Оно называется тождественным преобразованием и обозначается буквой, так что б) Преобразование, которое ставит в соответствии вектору вектор, также является линейный В самом деле, если, то Геометрически линейное преобразование представляет собой однородное растяжение ( или сжатие) всех векторов пространства с одинаковым коэффициентов растяжения Такое преобразование называется гомотетией ( При растяжение всех векторов пространства сопровождается отражением их от начала координат) в) При линейное преобразование, рассмотренное в предыдущем примере, ставит в соответствие любому вектору нулевой вектор Это преобразование обозначают и называют нулевым преобразованием, так что г) Преобразование при не является линейным, так как, и Рассмотрим еще несколько примеров линейных преобразований в двумерном пространстве, в котором задан ортонормированный базис д) Преобразование, которое вектору ставит в соответствии вектор, представляет собой геометрическое растяжение (сжатие) плоскости в направлении, параллельном вектору (рис 2) Докажем, что это преобразование будет линейным: 4

5 е) При λ = 0 рассмотренное выше преобразование переходит в преобразование Это преобразование представляет собой проектирование вектора на ось, порождаемую вектором Проектирование, следовательно, является линейным преобразованием ж) Преобразование, которое ставит в соответствии каждому вектору плоскость вектор, получающийся из вектора поворотом на угол, будет, как легко проверить с помощью геометрического построения, линейным преобразованием (рис7) Его называют преобразование поворота или просто поворотом плоскости з) Преобразование, которое вектору ставит в соответствии вектор, носит название преобразование сдвига Линейность этого преобразования доказывается так же, как в примере д) При этом преобразовании конец вектора перемещается по прямой, параллельной оси, на величину (рис 8, а); квадрат, построенный на векторах и, переходит в параллелограмм, построенный на векторах и (рис 8, б) 5

6 2 Матрица линейного оператора 1 Предположим, что в пространстве выбран некоторый базис Разложение произвольного вектора по этому базису имеет вид Рассмотрим теперь в пространстве линейное преобразование Обозначим через координаты вектора относительно базиса Тогда Мы хотим найти зависимость координат вектора вектора от координат исходного Так как преобразование линейное, то Запишем разложение вектора по исходному базису в виде 6

7 или, в сокращенной форме, Подставляя эти разложения в выражение для вектора, найдем Или, сокращенно, Но ; поэтому координаты вектора имеют вид Или, короче,,,, (1) Полученные формулы дают возможность определить координаты вектора и связанного с данным вектором линейным преобразованием Они показывают, что координаты вектора и выражаются через координаты вектора линейно и однородно Запишем коэффициенты формул, связывающих координаты векторов виде матрицы и, в Эта матрица называется матрицей линейного преобразования буквой, так что и обозначается Так как в матрице число строк и столбцов одинаково и равно трем, то она будет квадратной матрицей третьего порядка 7

8 Таким образом, мы доказали, что если в пространстве задан базис, то всякому линейному преобразованию этого пространства соответствует определенная квадратная матрица третьего порядка Обратно, если дана квадратная матрица третьего порядка, то при заданном базисе ей будет соответствовать определенное линейное преобразование В самом деле, если дана матрица, то с ее помощью можно построить векторную функцию, определяемую формулами (1) В силу линейности и однородности этих формул построенная вектор-функция будет линейной Итак, если в пространстве задан некоторый базис, то между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами третьего порядка устанавливается взаимно однозначное соответствие Рассмотрим теперь линейное преобразование на плоскости Легко видеть, что если на этой плоскости задан базис то ее линейное преобразование может быть записано в виде При этом, Следовательно, в заданном базисе линейное преобразование плоскости описывается квадратной матрицей второго порядка Вообще, в мерном линейном пространстве линейное преобразование при заданном базисе записывается в виде, 8

9 Где индексы и принимают значения от 1 до и по индексу производится суммирование Матрицей линейного преобразования в этом случае будет квадратная матрица порядка : 2 Найдем теперь матрицы линейных преобразований, рассмотренных в предыдущем параграфе а) Так как при тождественном преобразовании то и в любом базисе матрица тождественного преобразования имеет вид Если использовать введенный в предыдущей главе симметричный символ Кронекера то эту матрицу можно переписать в виде Матрица называется единичной б) При подобном преобразовании координаты векторов и связаны соотношением Поэтому матрица подобного преобразования в любом базисе имеет вид Или в) При нулевом преобразовании и Поэтому матрица нулевого преобразования состоит из одних нулей: 9

10 Матрица называется нулевой Заметим, что матрицы тождественного, подобного и нулевого преобразований имеют указанный выше вид не только в трехмерном пространстве, но и в пространстве любого числа измерений г) Геометрическое растяжение (сжатие) плоскости в направлении, параллельном вектору, ставит в соответствии вектору вектор Поэтому И матрица этого преобразования имеет вид д) При геометрическое сжатие становится проектированием на ось параллельно вектору Матрица этого проектирования имеет вид Е) Чтобы найти матрицу поворота плоскости, рассмотрим на ней ортонормированный базис Если преобразование поворот на угол, то (рис 9) Поэтому И 10

11 Следовательно, матрица поворота плоскости вид в прямоугольном базисе имеет ж) Сдвиг плоскости в направлении вектора ставит в соответствии вектору, ставит в соответствии вектор Это преобразование также будет линейным и его матрица имеет вил Геометрически это преобразование представляет собой совокупность двух геометрических растяжений (сжатий) плоскости относительно взаимно перпендикулярных осей и с коэффициентами, соответственно равными и Если какой-нибудь из коэффициентов растяжения отрицателен, например, то растяжение в раз сопровождается отражением от прямой з) Точно так же в пространстве преобразование, представляющее собой совокупность трех геометрических растяжений (сжатий) относительно взаимно перпендикулярных осей, ставит в соответствии вектору вектор Это преобразование будет линейным, и его матрица записывается так: Матрица такого вида, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными матрицами В частности, если, то рассматриваемое преобразование становится преобразованием гомотетии Если, то это преобразование будет преобразованием гомотетии только в плоскости векторов 11

12 3 Определитель матрицы линейного преобразования Ранг матрицы Отнесем пространство к ортонормированному базису и рассмотрим в нем линейное преобразование Базисные векторы переходят при этом преобразовании в векторы Координаты векторов преобразования составляют столбцы матрицы линейного Вектор при преобразовании перейдет в вектор, где Следовательно, вектор раскладывается по векторам так же, как исходный вектор по векторам Рассмотрим единичный куб, построенный на базисах векторах Ориентированный объем этого куба равен в зависимости от того, будет тройка векторов правой или левой Если воспользоваться величиной, то можно записать, что При преобразовании куб, построенный на векторах перейдет в наклонный параллелепипед, построенный на векторах Ориентированный объем этого параллелепипеда равен смешанному произведению векторов : Определитель, содержащийся в этом выражении, отличается от определителя матрицы линейного преобразования только тем, что в нем строки заменены столбцами Так как величина определителя при этом не меняется, то, Где через обозначен определитель матрицы 12

13 Рассмотрим теперь произвольный параллелепипед, построенный на векторах При линейном преобразовании он перейдет в параллелепипед, построенный па векторах, При этом векторы раскладываются по векторам таким же образом как векторы по векторам исходного базиса Поэтому если обозначить через объем параллелепипеда, построенного на векторах, а через объем параллелепипеда, построенного на векторах, то откуда Таким образом, определитель матрицы линейного преобразования представляет собой коэффициент искажения объема при линейном преобразовании Если, то ориентированные объемы и имеют одинаковые знаки и, следовательно, преобразование сохраняет ориентацию векторов; если же, то преобразование меняет ориентацию векторов на противоположную Если, то И векторы будут линейно зависимы Предположим, что они не коллинеарны, и обозначим через π плоскость, порожденную этими векторами Тогда каждый вектор перейдет в вектор, лежащей в этой плоскости π Следовательно, линейное преобразование переводит все векторы пространства в векторы, лежащие в плоскости π Если же векторы коллинеарны, то преобразование переводит все векторы пространства в векторы прямой, на которой лежат векторы Наконец, если, то преобразование переводит любой вектор пространства в нулевой вектор 13

14 Если, то линейное преобразование называется вырожденным Но, как мы только что видели, степень вырождения преобразования может быть различной Чтобы определить ее, введем новое понятие понятие ранга матрицы Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, содержащегося в этой матрице Если, то ранг матрицы равен 3 Если, по векторы не коллинеарны, то, как легко видеть, в этой матрице найдется отличный от нуля определитель второго порядка, поскольку по крайней мере два ее столбца не пропорциональны, и ранг матрицы будет равен 2 Если и векторы коллинеарны, то все определители второго порядка, содержащиеся в матрице, равны нулю, и ее ранг будет равен 1 (конечно, при этом предполагается, что хотя бы один из векторов отличен от нуля) Наконец, нулевой ранг имеет только нулевая матрица Обратно, если ранг матрицы равен 2, 1 или 0, то эта матрица будет содержать соответственно два линейно независимых столбца, один линейно независимый столбец или же все элементы матрицы равны нулю А это означает, что среди векторов будет два линейно независимых вектора или один вектор или все они будут равны нулевому вектору Теперь мы подытожим предыдущие рассуждения в виде следующей теоремы Теорема Если ранг матрицы линейного преобразования пространства равен ), то оно отображает это пространство на линейное пространство размерности Примером преобразования ранга два может служить проектирование векторов пространства на одну из координатных плоскостей параллельно третьему базисному вектору Например, при проектировании на плоскость вектору ставится в соответствие вектор При таком преобразовании,,, 14

15 И матрица этого преобразования имеет вид Более общим преобразованием ранга два будет преобразование Где векторы, и, попарно не коллинеарны Это преобразование отображает все векторы пространства на векторы плоскости, определяемой векторами, Примером преобразования ранга 1 является проектирование векторов пространства на какую-либо ось Если направление этой оси определяется единичным вектором,то проектирование на нее задается формулой Более общим преобразованием ранга будет преобразование 4 Линейные преобразования и билинейные формы Пусть и два произвольных вектора линейного пространства и линейное преобразование этого пространства Пусть вектор, получающийся в результате применения преобразования к вектору Образуем скалярное произведение векторов и Тогда выражение будет скалярной функцией векторных аргументов и Эта скалярная функция, как легко видеть, является билинейной формой В самом деле, 15

16 Докажем теперь, что компоненты тензора валентности 2, определяемого билинейной формой, совпадают с элементами матрицы линейного преобразования Действительно, если в пространстве задан ортонормированный базис, то,,, И так как, то Где записывается теперь в виде матрица линейного преобразования Билинейная форма Это выражение показывает, что матрица коэффициентов билинейной формы совпадает с матрицей линейного преобразования Но матрица коэффициентов билинейной формы образует, как мы знаем, тензор валентности 2 Следовательно, матрица линейного преобразования также представляет собой тензор валентности 2 Но легко видеть, что и, обратно, всякий тензор валентности 2 определяет в линейном пространстве линейное преобразование В самом деле, пусть такой тензор и координаты произвольного вектора пространства Свернув тензор с координатами вектора, получим координаты нового вектора : Определенная таким образом вектор-функция, как легко доказать, будет линейной Следовательно, тензор определяет в пространстве линейное преобразование матрица которого совпадает с матрицей, составленной из компонент этого тензора 2 Тензоры любой фиксированной валентности образуют линейное пространство размерности В частности, это относится и к тензорам валентности 2 Поставим в соответствие сумме тензоров и линейное преобразование матрицей которого является тензор Это, 16

17 преобразование называется суммой преобразований и, матрицами которых служат тензоры и : Точно так же произведению тензора на действительное число λ поставим в соответствие линейное преобразование, матрица которого есть тензор Это преобразование называется произведением преобразования на число : Геометрически преобразование можно осуществить следующим образом Пусть произвольный вектор пространства и, Тогда (рис 10, а) Действительно, обозначая через координаты соответствующих векторов относительно базиса, получим Точно так же доказывается, что (рис 10, б) Так как тензоры валентности 2 образуют линейное пространство размерности 9, то и соответствующие им линейные преобразования также образуют линейное пространство той же размерности 3 Кроме преобразования, с тензором можно связать еще одно линейное преобразование, которое вектору вектор с координатами ставит в соответствии отверстие ; 17

18 Здесь свертывание в правой части производится по первому индексу тензора Это преобразование обозначают символом и называют сопряженным преобразованием по отношению к преобразованию Если положить, то линейное преобразование запишется в виде Следовательно, матрицей преобразования служит матрица, получающаяся из матрицы путем замены ее строк столбцами; такая операция называется операцией транспонирования матриц Рассмотрим теперь произвольную билинейную форму ортонормированном базисе эта форма записывается в виде В Пусть - линейное преобразование, матрица которого совпадает с матрицей этой билинейной формы Тогда форма может быть записана в виде Но можно провести другую группировку членов в билинейной форме записать ее так и Вектор с координатами получается из вектора при помощи преобразования Поэтому билинейная форма может быть записана и так: Сравнивая два полученных выше выражения для формы, находим, что (1) 4 Линейное преобразование называется симметричным, если оно совпадает с преобразованием, сопряженным по отношению к Докажем: для того чтобы линейное преобразование было симметричным, необходимо и достаточно, чтобы связанная с ним билинейна форма была симметричной 18

19 Пусть Тогда, Что и означает симметрию формы Пусть, обратно, форма симметрична Это означает, что, те Сравнивая полученное равенство с соотношением (1), найдем, что Так как это равенство должно выполняться для любого вектора, то А так как последнее равенство выполняется для любого вектора, то Из доказанного предложения следует, что матрица симметричного преобразования является симметричной, т е удовлетворяет условию Это следует из того, что этим свойством обладает тензор, определяемый симметричной билинейной формой Далее, из того же предложения следует также, что между симметричными линейными преобразованиями и квадратичными формами существует взаимно однозначное соответствие, а именно: симметричному линейному преобразованию с матрицей соответствует квадратичная форма Которая может быть записана в виде, Обратно, квадратичной форме преобразование с матрицей соответствует симметричное 19

20 Рассмотрим характеристическую поверхность тензора, соответствующую симметричному линейному преобразованию Уравнение той поверхности, записанное раньше в виде Может быть переписано так: Эту поверхность называют также характеристической поверхностью симметричного линейного преобразования Докажем теперь, что вектор имеет направление нормали к характеристической поверхности симметричного линейного преобразования, проведенного в той е точке, для которой вектор коллинеарен вектору (рис11) В самом деле, вектор нормали к поверхности, заданной в декартовой прямоугольной системе координат уравнения, имеет своими координатами величины, так что Но,, Что и доказывает наше утверждение 5 Линейное преобразование называется кососимметричным, если Аналогично тому, как это было сделано для симметричного преобразования, можно доказать, что билинейная форма, соответствующая кососимметричному преобразованию, будет кососимметричной, и обратно Отсюда непосредственно следует, что матрица кососимметричного линейного преобразования кососимметрична, т е удовлетворяет условию, 20

21 И, в частности, (здесь по индексу нет суммирования) Рассмотрим теперь вектор, где Подставляя сюда значения компонент дискриминантного тензора, получим, что,,, Где величина равна +1 в правой и -1 в левой системе координат Поэтому матрица кососимметричного преобразования может быть записана так: Докажем теперь, что любое кососимметричное линейное преобразование может быть представлено в виде В самом деле, если, то Но выражение, стоящее в правой части этих формул, в точности совпадают с координатами векторного произведения векторов и 6 Найдем билинейные и квадратичные формы, соответствующие некоторым из линейных преобразований, рассмотренных в предыдущих параграфах этой главы а) Тождественному преобразованию будет соответствовать билинейная форма 21

22 совпадающая со скалярным произведением векторов и Так как эта форма симметрична, то - симметричное линейное преобразование Соответствующая ему квадратичная форма имеет вид Поэтому его характеристической поверхностью будет единичная сфера б) Преобразование гомотетии соответствует билинейная форма только множителем отличающаяся от предыдущей Эта форма симметрична, так же, как и преобразование гомотетии Матрица билинейной формы и соответствующего ей преобразования гомотетии имеет вид Определяемый этой матрицей тензор иногда называют шаровым Квадратичная форма, соответствующая преобразованию гомотетии, записывается в виде Его характеристической поверхностью будет сфера радиуса Заметим, что коэффициент гомотетии может быть и отрицательным В этом случае характеристической поверхностью будет сфера мнимого радиуса в) Преобразованию которое ставит в соответствии вектору вектор соответствует билинейная форма Эта форма является симметричной Таким же будет и преобразование Его матрицей является диагональная матрица, которая, конечно, симметрична Квадратичная форма, соответствующая этому преобразованию, записывается в виде А ее характеристическая поверхность имеет уравнение Полученное уравнение определяет центральную поверхность второго порядка, для которой координатные оси являются осями симметрии Если все коэффициенты растяжения положительны, то эта поверхность будет эллипсоидом Если два из чисел положительны, а одно отрицательно, то характеристической поверхностью будет однополостный гиперболоид Если одно 22

23 из чисел положительно, а два отрицательны, то характеристическая поверхность является двуполостным гиперболоидом И, наконец, если все числа отрицательны, то характеристическая поверхность будет мнимым эллипсоидом Если два какие - либо значения одинаковы, то характеристическая поверхность становится поверхностью вращения Если, то характеристическая поверхность становится сферой г) Преобразование поворота плоскости вокруг точки на угол определяется тензором, матрица которого имеет вид Билинейная форма, соответствующая этому преобразованию, запишется так: Или Это билинейная форма уже не является симметричной Поэтому преобразование, сопряженное преобразование, не совпадает с Его матрица имеет вид Геометрически преобразование означает поворот вокруг точки на угол д) Преобразование сдвига плоскости в направлении вектора определяется тензором, матрица которого имеет вид Геометрически преобразование уже в направлении вектора также представляет собой сдвиг, но теперь Так как преобразования, рассмотренные в двух последних примерах, не являются симметричными, то для них не имеет смысла строить характеристические поверхности 23

24 5 Умножение линейных преобразований и умножение матриц 1 Пусть в пространстве заданы два линейных преобразования и Возьмем произвольный вектор пространства и подвергнем его преобразованию Он перейдет при этом в вектор Подвергнем вектор преобразованию Получим третий вектор Вектор можно рассматривать как вектор функцию векторного аргумента : Легко видеть, что функция будем линейным преобразованием, так как Линейное преобразование преобразований и : называется произведением линейных В этом произведении сомножители пишутся справа налево в том порядке, в каком производятся соответствующие преобразования Отметим основные свойства умножения линейных преобразований а) Произведение линейных преобразований обладает сочетательным свойством: В самом деле, пусть произвольный вектор Тогда б) Умножение любого преобразования на тождественное не меняет этого преобразования: Действительно, 24

25 Таким образом, при умножении линейных преобразований тождественное преобразование играет роль единицы в) Умножение линейных преобразований не коммутативно, те, вообще говоря, Покажем на примере справедливость этого неравенства Пусть преобразование поворот плоскости на вокруг точки, а преобразование проектирование векторов этой плоскости на ось и произвольный вектор Тогда легко видеть (рис 12), что вектор направлен по оси, а вектор по оси Поэтому и, следовательно, Преобразования, для которых выполняется равенство, называются перестановочными Например, что Точно так же, если преобразование представляет собой геометрическое растяжение плоскости вдоль оси, а геометрическое растяжение вдоль оси, то снова В самом деле, если, то И 25

26 Найдем линейное преобразование, сопряженное произведению линейных преобразований и Имеем Отсюда следует, что Так как это соотношение должно выполнятся для любых и, то 2 Пусть теперь в пространстве задан базис Линейным преобразованием и в этом базисе соответствуют матрицы и, а преобразованию матрица Эта матрица называется произведением матриц и : Найдем, как выражаются элементы матрицы через элементы матриц и Пусть, Тогда в базисе линейное преобразование записывается в виде А линейное преобразование в виде Линейное преобразование получим, исключая из этих соотношений : Следовательно, элементами матрицы будут велbчины Отсюда видно, что величины представляют собой компоненты тензора валентности 2, который получается при свертывании тензоров и по индексу Запишем подробнее элементы матрицы : 26

27 Так как То можно заметить, что элемент матрицы получается путем умножения элементов й строки матрицы на соответствующие элементы го столбца и сложение полученных произведений Подобным же путем можно определить умножение квадратных матриц любого порядка Например, для матриц второго порядка оно будет выглядеть так: Отмеченные выше основные свойства умножения линейных преобразований автоматически переносятся на умножение матриц Матрица тождественного преобразования играет в этом умножении роль единицы, поэтому-то она и называется единичной матрицей Умножение матриц, как и умножение преобразований, вообще говоря, не является перестановочным Подтвердим этот факт следующим числовым примером: 3 Докажем теперь следующее важное предложение: Пусть и произвольные квадратные матрицы третьего порядка В прямоугольном базисе им будут соответствовать линейные преобразования и Произведение Рассмотрим произвольный параллелепипед, образованный векторами, и обозначим его ориентированный объем через При преобразовании векторы перейдут в векторы, образующие параллелепипед, объем которого А векторы при преобразовании перейдут в векторы, образующие параллелепипед с объемом Но, с другой стороны,, и поэтому, и поэтому Следовательно,, те, что и требовалась доказать 27

28 Эта теорема может быть доказана и чисто алгебраически, если воспользоваться хорошо известными свойствами определителей Проведем доказательство для матриц второго порядка Пусть Тогда Первый и четвертый из этих определителей равны нулю, так как их столбцы пропорциональны Следовательно, Доказанное предложение называют также теоремой об умножении определителей Из этой теоремы следует, что Кроме того, ясно, что если хотя бы одно из преобразований или вырожденное, то вырожденным будет и их произведение 4Умножение матриц, определенное в этом параграфе, дает возможность записать в новом виде формулы преобразования компонент матрицы линейного оператора при переходе к новому базису Как мы уже видели, матрица линейного преобразования представляет собой тензор валентности 2 При переходе от ортонормированного базиса базису, определяемому уравнениями Компоненты такого тензора преобразуются по формулам, к ортонормированному (1) 28

29 Здесь компоненты ортогональной матрицы, определяющей преобразование базиса Но для ортогональной матрицы справедливы соотношения Где - элементы матрицы, определяющей переход от нового базиса к старому В силу этих соотношений формулы (1) могут быть переписаны в виде, Рассмотрим теперь правую часть последних формул Легко, видеть, что она представляет собой результат умножения матриц Если через обозначить матрицу линейного преобразования в новом базисе, то можно переписать эти формулы в виде Такая запись формулы преобразования матрицы линейного оператора при переходе к новому базису оказывается очень удобной Докажем, пользуясь этой записью, что определитель матрицы линейного преобразования не меняется при переходе к новому базису В самом деле, из теоремы об умножении определителей и равенства (2) следует, что (2) Но Поэтому Это равенство показывает, что определитель линейного преобразования является инвариантом, и поэтому он должен иметь определенный геометрический смысл И действительно, выше ( 3) мы видели, что определитель линейного преобразования равен коэффициенту искажения объемов при этом преобразовании Заметим, что матрица, определяющая переход от базиса к новому базису, не является тензором, так как индексы и относятся к 29

30 различным системам координат, и она не определяет билинейной формы в пространстве 6 Обратное линейное преобразование и обратная матрица 1 Рассмотрим некоторое линейное преобразование Преобразование называется обратным для преобразования если те если оно возвращает вектор, определяется равенством Где тождественное преобразование Легко видеть, что преобразование, обратное, будет линейным преобразованием Не для всякого линейного преобразования существует обратно Пусть, например, преобразование проектирование пространства на плоскость Тогда образы всех векторов пространства лежат на этой плоскости, и если мы возьмем вектор, не лежащий на ней, то он не будет иметь прообраза Далее мы докажем, что каждое невырожденное линейное преобразование имеет обратное Преобразование, обратное преобразованию обозначается так что Очевидно, что и Пусть преобразование имеет обратное и матрица преобразования в некотором базисе Матрицу преобразования называют обратной матрицей для матрицы и обозначают Так как при перемножении преобразований их матрицы перемножаются, то и Где единичная матрица Из последнего равенства следует, что Те произведение определителей взаимно обратных матриц равно единице Значит, если имеет обратную, то ее определитель отличен от нуля: 30

31 2 Докажем теперь, что если невырожденное линейное преобразование, то оно имеет обратное преобразование, и притом только одно Линейное преобразование записывается в форме в произвольном базисе Где матрица преобразования Найти обратное преобразование это значит найти вектор по заданному вектору Эта задача будет решена, если выразить координаты вектора через координаты вектора, т е если разрешить предыдущие уравнения относительно Но система, состоящая из трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение при любых тогда и только тогда, когда определитель этой системы отличен от нуля, т е когда - невырожденное линейное преобразование Найдем теперь матрицу преобразования, обратного, считая, что Для этого перепишем уравнение (1) более подробно в виде (1) Так как определитель этой системы отличен от нуля, то для ее решения можно применить известные формулы Крамера Например, Если обозначить через алгебраическое дополнение элемента в определителе, то предыдущее выражение примет вид Аналогично, для и получим 31

32 Коэффициенты при, стоящие в этих разложениях, и являются элементами обратной матрицы Если обозначить элементы обратной матрицы через то можно записать Те элемент обратной матрицы равен алгебраическому дополнению элемента исходной матрицы, деленному на ее определитель Матрица линейного преобразования является тензором валентности 2 Этот тензор называется обратным для тензора, соответствующего линейному преобразованию Пусть теперь - матрица второго порядка Для нее обратная матрица найдется аналогичным способом Но Поэтому Пусть, например, Тогда и Найдем соотношения, которым удовлетворяют элементы взаимно матриц Пусть Тогда Пользуясь правилом умножения матриц, выведенным в предыдущем параграфе, мы получим отсюда Где в левой части по индексу, как всегда, производится суммирование, а в правой стоит симметричный символ Кронекера 32

33 Отметим еще одно соотношение, связанное с обращением произведения линейных преобразований, Которое доказывается непосредственно: Аналогичное соотношение имеет место и для матриц Обратим внимание еще на то, что матрица матрица перехода от нового базиса к старому базису будет обратной матрицей по отношению к матрице перехода от старого базиса к новому Поэтому 7 Группа линейных преобразований ее подгруппы 1 Рассмотрим совокупность невырожденных линейных преобразований трехмерного линейного пространства В этой совокупности определена операция умножения преобразований Обладающая следующими свойствами а) Совокупность невырожденных преобразований замкнута относительно умножения, так как - невырожденное преобразование, если и не вырождены б) Операция умножения преобразований подчиняется сочетательному закону: в) Совокупности невырожденных преобразований принадлежит тождественное преобразование такое, что г) Для каждого невырожденного преобразования существует единственное обратное преобразование такое, что Этими свойствами обладает умножение не только линейных преобразований Например, для совокупности всех положительных рациональных чисел обычное умножение также обладает перечисленными четырьмя свойствами; то же самое можно сказать и об умножении во множестве отличных от нуля комплексных чисел Число таких примеров легко увеличить Любое множество элементов, в 33

34 котором определена операция умножения, обладающая перечисленными свойствами, называется группой Таким образом, совокупность невырожденных линейных преобразований трехмерного линейного пространства образует группу Эту группу называют полной линейной группой третьего порядка и обозначают Так как каждому невырожденному линейному преобразованию пространства при заданном базисе соответствует квадратная матрица третьего порядка с определителем, отличным от нуля, и умножению преобразований соответствует умножение матриц, то эти матрицы также образуют группу По существу эта группа ничем не отличается от группы линейных преобразований, и ее мы тоже будем называть полной линейной группой и обозначать Точно так же совокупность невырожденных линейных преобразований векторов плоскости образует группу - полную линейную группу второго порядка, обозначаемую Матрицы второго порядка с определителями, отличными от нуля, образуют такую же группу Вообще, совокупность невырожденных линейных преобразований пространства так же, как и совокупность квадратных матриц n-го порядка с определителями, отличными от нуля, образует группу полную линейную группу порядка 2 Но не только совокупность всех невырожденных линейных преобразований трехмерного пространства образует группу В этой совокупности имеются подмножества, которые также замкнуты относительно умножения и вместе с каждым своим элементом содержат обратный ему элемент, а значит, образуют группу (что касается свойств б)) и в), то они для подмножества выполняются автоматически: свойство сочетательности, справедливое для всего множества, выполняется и для подмножества, а тождественное преобразование принадлежит подмножеству, поскольку последнее вместе с каждым преобразованием содержит обратное к нему преобразование, а также их произведение Такие группы называются подгруппами полной линейной группы Рассмотрим несколько примеров таких подгрупп а) Пусть преобразование пространства не меняет ориентацию некомпланарных троек векторов Определитель матрицы такого преобразования будет положителен: > 0 Произведение двух 34

35 преобразований, не меняющих ориентации тройки векторов, очевид но, также не меняет их ориентации Таким же свойством обладает и преобразование, обратное преобразованию Поэтому совокупность таких преобразований образует группу, которая является подгруппой группы Этой группе соответствует группа матриц третьего порядка с положительными определителями Заметим, что совокупность матриц с отрицательными определителями группы не образует, так как произведением двух матриц с отрицательными определителями будет матрица с положительным определителем б) Пусть преобразование не меняет абсолютной величины объема параллелепипеда, натянутого на любые три вектора Тогда абсолютная величина определителя матрицы этого преобразования равна единице: = ±1 Преобразования, обладающие этим свойством, как и их матрицы, очевидно, образуют группу Эта группа называется унимодулярной группой Подгруппу унимодулярной группы образуют преобразования, сохраняющие и объем, и ориентацию тройки векторов Для таких преобразований в) Рассмотрим совокупность вращений плоскости вокруг начала координат Эта совокупность является группой, так как произведение двух вращений, очевидно, также является вращением, как и преобразование, обратное к вращению Подтвердим это формальной выкладкой В самом деле, если - матрицы вращения на угол и угол, то, - матрица вращения на угол, то - матрица вращения на угол 3 Рассмотрим еще одну важную подгруппу полной линейной группы подгруппу ортогональных преобразований Линейное преобразование называется ортогональным, если оно не меняет величину скалярного 35

36 произведения векторов Это значит, что если - ортогональное преобразование, и два произвольных вектора и, то Докажем прежде всего, что ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними В самом деле, если ортогональное преобразование и, то, откуда следует, что Пусть, далее,, угол между векторами и и угол между векторами и Так как и то, и так как угол между векторами изменяется в пределах от 0 до, то = Поэтому ортогональные преобразования пространства называют также вращениями Заметим, что если потребовать от преобразования только сохранения длин векторов, то уже этого достаточно для того, чтобы оно было ортогональным В самом деле, пусть преобразование А оставляет неизменными длины векторов и, Тогда, и, откуда Так как и, то что и требовалось доказать Докажем следующую теорему Теорема Для того чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло соотношению В самом деле, пусть и Тогда, пользуясь свойствами билинейной формы, доказанными в 5, получим, (1) 36

37 Если, то и ортогональное преобразование Обратно, если ортогональное преобразование, то и Соотношение (1), которому удовлетворяет ортогональное преобразование, может быть записано в виде и Докажем теперь, что ортогональные преобразования образуют группу Пусть - ортогональные преобразования; тогда, Если, то Следовательно, - ортогональное преобразование А это означает, что совокупность ортогональных преобразований замкнута по отношению к операции умножения Далее, если ортогональное преобразование, то этим же свойством обладает и преобразование В самом деле, из того, что, следует, что А это означает ортогональность преобразования Следовательно, ортогональные преобразования образуют группу Эту группу обозначают через Она, конечно, является подгруппой полной линейной группы Заметим, что доказать групповой характер совокупности ортогональных преобразований можно чисто геометрически Действительно, если преобразования и не меняют длин векторов и углов между ними, то и их произведение обладает этим свойством так же, как и преобразования и Рассмотрим теперь матрицы ортогональных преобразований так называемые ортогональные матрицы С такими матрицами мы уже встречались, когда рассматривали преобразования ортогонального базиса В силу соотношения (1) матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию 37

38 и равносильному условию Если обозначить через элемент матрицы, то Поэтому записанные выше условия в координатной форме запишутся так:, (2) Первое из этих соотношений означает, что сумма квадратов элементов какоголибо столбца ортогональной матрицы равна единице (случай ), а сумма произведений соответствующих элементов различных ее столбцов равна нулю (случай ) Второе соотноше ние означает то же самое для строк ортогональной матрицы Заметим, что соотношения (2) только обозначениями отличаются от формул (6) Было доказано геометрически, что определитель ортогональной матрицы равен ±1 Теперь можно дать простое аналитическое доказательство этого утверждения Из соотношения и теоремы об умножении определителей следует, что так как и Отсюда непосредственно следует, что = ±1- Ортогональные преобразования, определитель матрицы которых равен +1, сохраняют ориентацию троек векторов и называются собственными вращениями Собственные вращения, как легко видеть, образуют группу, являющуюся подгруппой группы Ее обозначают и называют подгруппой собственных вращений Ортогональные преобразования, определитель матрицы которых равен -1, меняют ориентацию троек векторов и называются несобственными вращениями Несобственные вращения, конечно, группы не образуют К несобственным вращениям относятся, например, преобразования, состоящие в отражении пространства относительно некоторой плоскости, проходящей через начало координат В самом деле, при отражении пространства относительно плоскости длины векторов и углы между ними сохраняются, а ориентация троек векторов меняется на противоположную Легко доказать, что любое несобственное, 38

39 вращение можно представить в виде произведения собственного вращения и отражения относительно некоторой плоскости 4 Все рассмотренные до сих пор подгруппы полной линейной группы, как и сама эта группа, состоят из бесконечного числа элементов Но существуют такие подгруппы этой группы, которые состоят из конечного числа элементов, - так называемые конечные подгруппы Особенно интересны конечные подгруппы ортогональной группы, которые называют группами симметрии Эти группы имеют важное значение для кристаллографии и других разделов физики Рассмотрим некоторые примеры групп симметрии на плоскости и в пространстве а) Пусть тождественное преобразование и - преобразование, состоящее в отражении всех векторов пространства от начала координат Для этих преобразований мы имеем, Следовательно, совокупность преобразований, состоящая из двух элементов и, замкнута относительно операции умножения и операции обращения, а значит, она представляет собой группу Таблица умножения элементов этой группы может быть записана в виде Произведение любых двух сомножителей этой группы не зависит от их порядка Такие группы называются коммутативными Преобразования этой группы переводят в себя любую фигуру, для которой точка является центром симметрии б) Пусть тождественное преобразование плоскости и поворот плоскости на угол Тогда преобразование представляет собой поворот плоскости на угол, в частности, Преобразования,,,, образуют группу, так как, 39

40 где остаток от деления числа на Эта группа тоже будет коммутативной Она называется циклической группой -го порядка в) Пусть три взаимно перпендикулярные оси пространства, проходящие через точку, и преобразования, представляющие собой поворот па угол вокруг соответствующей оси Четыре преобразования образуют группу с таблицей Так как произведение любых элементов этой группы не зависит от порядка сомножителей, то эта группа будет коммутативной Преобразования этой группы переводят в себя любую фигуру, для которой оси являются осями симметрии г) Пусть и две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку, и поворот на угол вокруг оси, а поворот на угол вокруг оси Рассмотрим преобразования Докажем, что эти преобразования образуют группу Заметим, что преобразование представляет собой поворот на угол вокруг оси, получающейся из оси при преобразовании Точно так же преобразование есть поворот на угол вокруг оси, получающейся из оси при преобразовании Поэтому Кроме того, пользуясь тем, что, найдем Теперь таблица умножения этих преобразований может быть записана в виде 40

41 В этой таблице слева стоит первый сомножитель произведения, а сверху второй Так как таблица не является симметричной, то рассматриваемая группа не будет коммутативной 41

42 Список литературы 1 Акивис МА, Гольдберг ВВ Тензорные исчисления: Учебпособие 3-е изд, перераб М: ФИЗМАТЛИТ, с ISBN Ефимов НВ Квадратичные формы и матрицы Издательство:»ФИЗМАТЛИТ» 42

43 43

44 44

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

T T T. e 1. e 2 , T 2 + T 21 T T , T 3 + T 22 + T 23

T T T. e 1. e 2 , T 2 + T 21 T T , T 3 + T 22 + T 23 0. Главные оси симметрического тензора -го ранга В 8 было показано, что для любого тензора второго ранга и для любого направления μ (единичного вектора) можно поставить в соответствие вектор-проекцию pr

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лекция 2. Тензорная алгебра

Лекция 2. Тензорная алгебра Лекция 2 Тензорная алгебра В данной лекции формулируется определение тензора, рассматриваются операции над тензорами, доказывается обратный тензорный признак Также вводятся понятия ортогонального тензора

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

abc bca abca abc cdh abc d h fgh ghab jkab abc egh bac geh cba hge bca ghe

abc bca abca  abc cdh abc d h fgh ghab jkab abc egh bac geh cba hge bca ghe ТЕНЗОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ В первой главе введем понятия полиады тензора и тензорного произведения опираясь на уже известные понятия скаляра и вектора; определим основные действия с тензорами в линейном

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

η η η (2.2) η η η η η η ζ η (2.3) (2.4) η η η : (2.5) jdζ

η η η (2.2) η η η η η η ζ η (2.3) (2.4) η η η : (2.5) jdζ 2. Элементы тензорного исчисления В предыдущих разделах были введены в рассмотрение некоторые векторы, например, скорость v, перемещение dr. Что же такое вектор? Вектор не скаляр, но в то же время, как

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

10. ТЕНЗОРЫ. то объект называется тензором первого ранга. В формуле (1) элементы матрицы перехода от первого базиса ко второму (см. п. 4 параграфа 5).

10. ТЕНЗОРЫ. то объект называется тензором первого ранга. В формуле (1) элементы матрицы перехода от первого базиса ко второму (см. п. 4 параграфа 5). 10. ТЕНЗОРЫ 1. Понятие о тензорах. Ранее вы уже изучили скалярные и векторные величины, для задания которых необходимо одно или три числа соответственно. Матрица размерности 3 3 объединяет 9 чисел. Но

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

с=a b (Рис.1) Этот оператор обладает всеми свойствами линейности: a (b 1 +b 2 )=a b 1 + a b 2,

с=a b (Рис.1) Этот оператор обладает всеми свойствами линейности: a (b 1 +b 2 )=a b 1 + a b 2, Лекция 6 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Тензоры в механике. Все механические величины являются тензорами различных рангов. Тензорами нулевого ранга являются скаляры, т.е. величины, характеризуемые одним вещественным

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 4 ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1. Векторы... 5 1. Предварительные замечания (5). 2. Определение вектора (6). 3. О другом определении вектора (6). 4. Линейные операции (8). 5. Векторные

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Вращения твердых тел

Вращения твердых тел Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O(3) И SO(3) В. М. Гордиенко

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O(3) И SO(3) В. М. Гордиенко Сибирский математический журнал Январь февраль, Том 43, 1 УДК 515471 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП O3 И SO3 В М Гордиенко Аннотация: Для спинорных представлений групп O3, SO3 и SU

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Лекция 1. Векторное исчисление

Лекция 1. Векторное исчисление Лекция 1. Векторное исчисление В данной лекции напоминаются основы векторного исчисления и вводятся некоторые новые понятия, подготавливающие почву для дальнейшего освоения тензорного исчисления. Многие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 1. Разложите пятимерное перестановочное (мономиальное) представление группы S 5 в прямую сумму двух неприводимых. Указание:

Подробнее