Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ"

Транскрипт

1 Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного произведения; 1.5. Случай ортонормированного правого базиса; 1.6. Лемма. 2. Нормальное уравнение плоскости и его эквивалентность общему уравнению плоскости. 3. Радиус вектор r 0 = D n и уравнение плоскости (r r 0,n) = Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. 5. Нормальное уравнение плоскости, заданной своим параметрическим векторным уравнением.

2 6. Нормальное уравнение прямой. 7. Радиус вектор r 0 = D n План лекции 3 и уравнение прямой (r r 0,n) = Необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых на плоскости. 9. Уравнение прямой в форме Плюккера. 10. Задача 1. Метрические задачи. 11. Задача 2. Метрические задачи. 12. Задача 3. Точка пересечения трех плоскостей. 13. Задача 4. Прямая как пересечение двух плоскостей.

3 4 Конспект лекции 12. Нормальные уравнения прямой и плоскости 1. Взаимный базис Пусть {e 1,e 2,e 3 } это правая тройка некомпланарных векторов в пространстве, отложенных от общей точки O. Таким образом определена правая общая декартова система координат Oxyz. Отметим, что смешанное произведение (e 1,e 2,e 3 ) > 0. Введём так называемый взаимный базис {f 1,f 2,f 3 }, к базису {e 1,e 2,e 3 }, определённый формулами f 1 = [e 2,e 3 ] (e 1,e 2,e 3 ), f 2 = [e 3,e 1 ] (e 1,e 2,e 3 ), f 3 = [e 1,e 2 ] (e 1,e 2,e 3 ). 1. Прежде всего докажем, что векторы {f 1,f 2,f 3 }, образуют базис.. Действительно, рассмотрим уравнение αf 1 + βf 2 + γf 3 = 0 α[e 2,e 3 ] + β[e 3,e 1 ] + γ[e 2,e 3 ] = 0. Умножая скалярно обе части последнего уравнения на векторы e 1, e 2 и e 3, с учётом свойств векторных произведений получим равенства α(e 1,e 2,e 3 ) = 0, β(e 1,e 2,e 3 ) = 0, γ(e 1,e 2,e 3 ) = 0 α = β = γ = 0. Следовательно, векторы семейства {f 1,f 2,f 3 } образуют базис. 2. Скалярно умножая векторы взаимного базиса {f 1,f 2,f 3 } на векторы семейства {e 1,e 2,e 3 } получим следующие равенства: (f 1,e 1 ) = 1, (f 1,e 2 ) = 0, (f 1,e 3 ) = 0; (f 2,e 1 ) = 0, (f 2,e 2 ) = 1, (f 2,e 3 ) = 0; (f 3,e 1 ) = 0, (f 3,e 2 ) = 0, (f 3,e 3 ) = Векторно умножая между собой векторы взаимного базиса {f 1,f 2,f 3 } получим следующие равенства: e [f 1,f 2 ] = 3 (e 1,e 2,e 3 ), [f e 1 2,f 3 ] = (e 1,e 2,e 3 ), [f e 3,f 1 ] = 2 (e 1,e 2,e 3 ). 4. В том случае, когда векторы {e 1,e 2,e 3 } образуют правый ортонормированный базис имеют место равенства f 1 = e 1, f 2 = e 2, f 3 = e 3. Лемма 1. Если {f 1,f 2,f 3 } это взаимный базис к базису {e 1,e 2,e 3 } и a = a x e 1 + a y e 2 + a z e 3, то a x = (a,f 1 ), a y = (a,f 2 ), a z = (a,f 3 ). Доказательство. Для доказательства нужно воспользоваться линейностью скалярного произведения по первому аргументу и формулами из второго пункта. Лемма доказана.

4 2. Нормальные уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве5 2. Нормальные уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве Сначала докажем теорему о нормальном уравнении плоскости в пространстве. Теорема 1. В произвольной декартовой системе координат Oxyz, порожденной репером Oe 1 e 2 e 3, общее уравнение плоскости Ax + By + Cz = D эквивалентно нормальному уравнению плоскости (r,n) = D с некоторым вектором n. Доказательство. Сначала рассмотрим случай прямоугольной декартовой системы координат Oxyz. В этом случае базис {e 1,e 2,e 3 } можно считать ортонормированным. Введём вектор n с координатами (A,B,C) : n = Ae 1 + Be 2 + Ce 3. Тогда Ax + By + Cz = D (n,r) = D, где r = xe 1 + ye 2 + ze 3 это радиус вектор произвольной точки плоскости с координатами (x, y, z). Это выполнено в силу доказанного нами ранее представления скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе. Теперь мы рассмотрим случай косоугольной декартовой системы координат. В этом случае тройку векторов {e 1,e 2,e 3 } будем считать произвольным базисом. 1. Пусть в рассматриваемой общей декартовой системе координат Oxyz задано уравнение (r,n) = D Пусть в репере Oe 1 e 2 e 3 рассматриваемой общей декартовой системе координат радиус вектор r произвольной точки задается задаётся своим разложением по базису r = xe 1 + ye 2 + ze 3. Заметим, что в силу линейности скалярного произведения по первому аргументу справедливо равенство Итак, где (r,n) = (e 1,n)x + (e 2,n)y + (e 3,n)z. (r,n) = D Ax + By + Cz = D, A = (e 1,n), B = (e 2,n), C = (e 3,n).

5 6 Конспект лекции 12. Нормальные уравнения прямой и плоскости 2. Пусть в общей декартовой системе координат Oxyz с репером Oe 1 e 2 e 3 нам задана плоскость своим общим уравнением Ax + By + Cz = D. Найдём такой вектор n, чтобы были справедливы следующие равенства: (n,e 1 ) = A, (n,e 2 ) = B, (n,e 3 ) = C. Будем искать вектор n в виде разложения по взаимному базису {f 1,f 2,f 3 }: n = αf 1 + βf 2 + γf 3. Умножая последовательно это равенство на e 1, e 2 и e 3 мы получим следующие равенства: Значит, Итак, (n,e 1 ) = α, (n,e 2 ) = β, (n,e 3 ) = γ. n = Af 1 + Bf 2 + Cf 3. n = A[e 2,e 3 ] + B[e 3,e 1 ] + C[e 1,e 2 ]. (e 1,e 2,e 3 ) Но тогда имеют место следующие выражения: Ax + By + Cz = D (n,e 1 )x + (n,e 2 )y + (n,e 3 )z = D (n,r) = D, r = xe 1 + ye 2 + ze 3. Теорема доказана. Замечание 1. Заметим, что в силу нормального уравнения плоскости (r, n) = D радиус вектор r 0 = D n некоторой точки M 0 удовлетворяет нормальному уравнению плоскости. Действительно, имеем (r 0,n) = D = D. Поэтому нормальное уравнение плоскости можно переписать в следующем эквивалентном виде: (r r 0,n) = 0, r 0 = D n. Последнее уравнение означает, что точка M с радиусом вектором r лежит на плоскости, которой принадлежит точка M 0 с радиусом

6 2. Нормальные уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве7 вектором r 0 тогда и только тогда, когда вектор M 0 M = r r 0 ортогонален вектору n. Поэтому вектор n, который имеет вид n = A[e 2,e 3 ] + B[e 3,e 1 ] + C[e 1,e 2 ], (e 1,e 2,e 3 ) является вектором нормали к плоскости, имеющей общий вид Ax + By + Cz = D. Замечание 2. Заметим, что если плоскость задана своим векторным уравнением r = r 0 + at + bτ, то в качестве вектора n нормали к плоскости можно взять вектор [a,b], который, согласно определению векторного произведения, ортогонален и вектору a и вектору b и нормальное уравнение плоскости можно записать в следующей форме: (r r 0,[a,b]) = 0 (r r 0,a,b) = 0. В качестве следствия из теоремы 1 можно сформулировать следующую теорему: Теорема 2. Для того чтобы две плоскости, заданные своими общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 и A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 в некоторой общей декартовой системе координат с репером Oe 1 e 2 e 3, были параллельны необходимо и достаточно, чтобы A 1 = λa 2, B 1 = λb 2, C 1 = λc 2 при λ 0. Доказательство. Пусть {f 1,f 2,f 3 } это взаимный базис с базисом {e 1,e 2,e 3 }. Необходимость. Пусть плоскости параллельны. Уравнения плоскостей можно записать в следующем нормальном виде: (r,n 1 ) = D 1, (r,n 2 ) = D 2, n 1 = A 1 f 1 + B 1 f 2 + C 1 f 3, n 2 = A 2 f 1 + B 2 f 2 + C 2 f 3 Векторы n 1 и n 2 это векторы нормалей к соответствующим плоскостям. В силу параллельности плоскостей вектора нормалей коллинеарны. Итак, найдется такое число λ 0, что n 1 = λn 2 (A 1 λa 2 )f 1 + (B 1 λb 2 )f 2 + (C 1 λc 2 )f 3 = 0 A 1 = λa 2, B 1 = λb 2, C 1 = λc 2. Достаточность. Пусть A 1 = λa 2, B 1 = λb 2, C 1 = λc 2. Тогда из тех же формул для векторов нормалей получим равенство n 1 = λn 2. Это означает, что плоскости параллельны.

7 8 Конспект лекции 12. Нормальные уравнения прямой и плоскости Теорема доказана. Справедливо следующее аналогичное утверждение для прямой на плоскости: Теорема 3. В произвольной декартовой системе координат Oxy, порожденной репером Oe 1 e 2 общее уравнение прямой на плоскости Ax + By = D эквивалентно нормальному уравнению прямой на плоскости (r,n) = D с некоторым вектором n. Доказательство. Заметим, что общее уравнение прямой на плоскости Ax + By = D можно переписать в следующем эквивалентном виде: (r,n) = D, n = A[e 2,e 3 ] + B[e 3,e 1 ], (e 1,e 2,e 3 ) где e 3 это произвольный вектор перпендикулярный рассматриваемой плоскости. Теорема доказана. Замечание 3. Вектор r 0 = D n лежит на прямой, определённой нормальным уравнением (r, n) = D, и поэтому нормальное уравнение прямой на плоскости можно переписать в следующем эквивалентном виде: (r r 0,n) = 0, из которого следует, что точка M с радиус вектором r лежит на прямой, содержащей точку M 0 с радиус вектором r 0, тогда и только тогда, когда вектор M 0 M ортогонален вектору n, который имеет вид n = A[e 2,e 3 ] + B[e 3,e 1 ], (e 1,e 2,e 3 ) если прямая на плоскости задана своим общим уравнением Ax + By = = D. Справедливо следующее утверждение: Теорема 4. Для того чтобы две прямые на плоскости, заданные своими общими уравнениями A 1 x + B 1 y = D 1 и A 2 x + B 2 y = D 2 в некоторой общей декартовой системе координат с репером Oe 1 e 2, были параллельны необходимо и достаточно, чтобы A 1 = λa 2, B 1 = λb 2 при λ 0.

8 3. Уравнение прямой в пространстве в форме Плюккера 9 3. Уравнение прямой в пространстве в форме Плюккера Рассмотрим сначала следующее векторное уравнение относительно некоторого полюса O пространства: [r r 0,a] = 0. (3.1) Это уравнение прямой, проходящей через точку M 0 с радиус вектором r 0 и направляющим вектором a. Действительно, по доказанному векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Это означает, что найдется такое t R, что r r 0 = at r = r 0 + at. Отметим, что уравнение (3.1) в силу линейности векторного произведения по первому аргументу можно переписать в следующем виде: [r,a] = [r 0,a]. (3.2) Дадим определение. Определение 1. Векторным уравнением прямой в форме Плюккера называется следующее уравнение: [r,a] = M, a 0, (M,a) = 0. (3.3) Докажем, что действительно, уравнение (3.3) описывает прямую в пространстве с направляющим вектором a. Действительно, радиус вектор r 0 = [a,m] (a,a) удовлетворяет уравнению Плюккра. Справедлива следующая цепочка равенств: [r 0,a] = 1 (a,a) [[a,m],a] = 1 (a,a) [a,[a,m]] = = 1 (a(a,m) M(a,a)) = M. (a,a) Итак, уравнение Плюккера можно переписать в следующем виде: [r,a] = [r 0,a] [r r 0,a] = 0 r = [a,m] (a,a) Это уравнение прямой. + at, t R.

9 10 Конспект лекции 12. Нормальные уравнения прямой и плоскости 4. Некоторые основные задачи на прямую и плоскость Задача 1. Пусть на плоскости даны точка M 1 (r 1 ) и прямая, заданная уравнением (r, n) = D. Тогда 1. радиус вектор r 2 точки M 2, являющейся ортогональной проекцией точки M 1 (r 1 ) на прямую l, выражается формулой r 2 = r 1 (r 1,n) D n; (4.1) 2. расстояние от точки M 1 (r 1 ) до прямой l выражается формулой d(m 1,l) = (r 1,n) D ; (4.2) n 3. Радиус вектор r 3 точки M 3, симметричной точке M 1 (r 1 ) относительно прямой l, выражается формулой Решение. r 3 = r 1 2 (r 1,n) D n. (4.3) Рис. 1. К задаче 1. Пункт 1. Имеет место равенство M 1 M 2 = r 2 r 1 = λn (4.4) при некотором λ R. Заметим, что (r 2,n) = D,

10 4. Некоторые основные задачи на прямую и плоскость 11 поэтому умножим скалярно на n обе части равенства (4.4) и получим равенство D (r 1,n) = λ λ = (r 1,n) D. (4.5) Из (4.4) и (4.5) получим искомое равенство r 2 = r 1 (r 1,n) D n. (4.6) Пункт 2. Из формул (4.4) и (4.6) получим цепочку равенств d(m 1,l) = M 1 M 2 = r2 r 1 = (r 1,n) D n = (r 1,n) D. n Пункт 3. Действительно, r 3 = OM 3 = OM 1 + M 1 M 3 = r 1 +2 M 1 M 2 = r 1 2 (r 1,n) D n. Рис. 2. К задаче 2. Задача 2. Пусть в пространстве даны точка M 1 (r 1 ) и плоскость, заданная уравнением (r, n) = D. Тогда 1. радиус вектор r 2 точки M 2, являющейся ортогональной проекцией точки M 1 (r 1 ) на плоскость π, выражается формулой r 2 = r 1 (r 1,n) D n; (4.7) 2. расстояние от точки M 1 (r 1 ) до плоскости π выражается формулой d(m 1,π) = (r 1,n) D ; (4.8) n

11 12 Конспект лекции 12. Нормальные уравнения прямой и плоскости 3. Радиус вектор r 3 точки M 3, симметричной точке M 1 (r 1 ) относительно плоскости π, выражается формулой r 3 = r 1 2 (r 1,n) D n. (4.9) Решение. В точности повторяет решение задачи 1. Задача 3. Найдите радиус вектор x общей точки M трёх плоскостей: (r,n 1 ) = D 1, (r,n 2 ) = D 2, (r,n 3 ) = D 3, где (n 1,n 2,n 3 ) 0. Решение. Искомый вектор x удовлетворяет следующей системе уравнений: (x,n 1 ) = D 1, (x,n 2 ) = D 2, (x,n 3 ) = D 3. Пусть {n 1,n 2,n 3 } это взаимный базис к базису {n 1,n 2,n 3 }. Будем искать вектор x в виде разложения по взаимному базису: Заметим, что Итак, имеем x = yn 1 + zn 2 + tn 3. D 1 = (x,n 1 ) = y(n 1,n 1) = y, D 2 = z, D 3 = t. x = D 1 n 1 + D 2 n 2 + D 3 n 3 = D 1[n 2,n 3 ] + D 2 [n 3,n 1 ] + D 3 [n 1,n 2 ]. (n 1,n 2,n 3 ) Задача 4. Напишите параметрическое векторное уравнение прямой l, заданной как линия пересечения двух непараллельных плоскостей P 1 : (r,n 1 ) = D 1 ; P 2 : (r,n 2 ) = D 2. Решение. Первый способ. Следствием указанных уравнений плоскостей является следующее векторное уравнение: n 1 (r,n 2 ) n 2 (r,n 1 ) = D 2 n 1 D 1 n 2, которое в свою очередь можно переписать в форме Плюккера где [r,a] = M, a = [n 1,n 2 ], M = D 2 n 1 D 1 n 2. Теперь перепишем в следующем виде r = r 0 + at, r 0 = [a,m] a 2 = [[n 1,n 2 ],D 2 n 1 D 1 n 2 ] [n 1,n 2 ] 2.

12 4. Некоторые основные задачи на прямую и плоскость 13 Рис. 3. К задаче 4. Второй способ. Направляющий вектор искомой прямой равен a = [n 1,n 2 ]. Вектор r 0 начальной точки прямой ищем как радиус вектор основания перпендикуляра, опущенного из полюса на искомую прямую, т. е. как решение следующих уравнений: (r 0,n 1 ) = D 1, (r 0,n 2 ) = D 2, (r 0,a) = 0. Из результата задачи 8 семинара 11 имеем r 0 = D 1[n 2,a] + D 2 [a,n 1 ] +0 [n 2,a] (n 1,n 2,a) Уравнение имеет следующий вид: r = [[n 1,n 2 ],D 2 n 1 D 1 n 2 ] [n 1,n 2 ] 2 = [a,d 2n 1 D 1 n 2 ] [n 1,n 2 ] 2. + [n 1,n 2 ]t.


0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четвёрка {O,e 1,e 2,e 3 }, в которой O это некоторая

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе 1 Глава 1 Векторы Аффинная система координат 1 Равенство направленных отрезков Векторы Семейство множеств называется направленным, если в пересечении любых двух его элементов лежит третий (возможно, совпадающий

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов Рассматриваем векторы на плоскости или в пространстве. b a a, b длины векторов, ϕ угол между векторами 0 ϕ π. Скалярное произведение векторов можно определить так: a, b

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ По тематике раздела студент должен уметь: Составить

Подробнее