Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к контрольной работе Составитель ЛИ Цепилевич Томск 008

2 Элементы линейной и векторной алгебры: методические указания / Сост ЛИ Цепилевич Томск: Изд-во Том гос архит- строит ун-та с Рецензент доцент РИ Лазарева Редактор ЕЮ Глотова Методические указания по высшей математике для студентов первого курса заочного факультета сокращенного курса обучения к выполнению контрольной работы по теме «Элементы линейной и векторной алгебры» Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики протокол 9 от г Утверждены и введены в действием проректором по учебной работе ВВ Дзюбо с до 090 Подписано в печать Формат 60х84/6 Бумага офсет Гарнитура Таймс печать офсет Уч-изд л 6 Тираж Заказ Изд-во ТГАСУ 6400 г Томск пл Соляная Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ 6400 г Томск ул Партизанская 5

3 Данные методические указания предназначены для студентов заочного факультета и дают ряд практических рекомендаций студентам по выполнению контрольной работы Указания содержат краткие теоретические сведения рекомендации по решению типовых задач контрольные задания список рекомендуемой литературы КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Основные понятия ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и действия над ними Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел состоящая из m строк и n столбцов: а а а n a a an А am am a mn здесь m число строк n число столбцов Если m = n то матрица становится квадратной матрицей порядка n Примеры: а) матрица размерности В 4 ; 0

4 4 б) матрица второго порядка С ; 5 в) матрица третьего порядка D 4 0 Числа а ij называют элементами матрицы; здесь i номер строки j номер столбца на пересечении которых в матрице А находится элемент а ij Матрицы можно складывать (вычитать) причем лишь те у которых размерности совпадают Чтобы сложить (вычесть) две матрицы надо сложить (вычесть) их элементы стоящие на одинаковых местах Матрицу можно умножить на число отличное от нуля Для этого надо все элементы матрицы умножить на это число 4 Матрицу А можно умножить на матрицу В следующим образом: в матрице А взять строку а в матрице В взять столбец; перемножить строку и столбец умножив первый элемент строки на первый элемент столбца затем второй элемент строки на второй элемент столбца и т д Сложив полученные произведения мы найдем один элемент матрицы-произведения стоящий на месте пересечения строки с номером строки из матрицы А и столбца с номером столбца из матрицы В Таким образом нужно умножить каждую строку матрицы А на каждый столбец матрицы В Из правила умножения матриц следует: перемножать можно только такие матрицы в которых число элементов в строке первой матрицы равняется числу элементов в столбце второй матрицы И второй вывод: перемножаемые матрицы нельзя менять местами

5 Определители Свойства Определителем второго порядка соответствующим матрице второго порядка а а А a a а а называется число а а а а а а Определителем третьего порядка соответствующим матрице третьего порядка а а а А a a a a a a а а а называется число а а а а а а а а а + а а а а а а а а а а а а а а а Свойства определителя третьего порядка: а) определитель не меняется при транспонировании (замены строк столбцами с теми же номерами); б) при перемене местами двух строк (или столбцов) определитель меняет свой знак; в) при умножении всех элементов какой-либо строки (или столбца) на число отличное от нуля определитель умножится на это число; г) определитель имеющий нулевую строку (или столбец) равен нулю; д) определитель имеющий две одинаковые строки (или столбцы) равен нулю; е) определитель у которого соответствующие элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны равен нулю; 5

6 ж) если каждый элемент какого-либо столбца (или строки) определителя есть сумма двух слагаемых то определитель равен сумме двух определителей у одного из которых элементами соответствующего столбца (строки) являются первые слагаемые у другого вторые Элементы стоящие на остальных местах у всех определителей одинаковы; з) величина определителя не изменится если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца) умноженные на одно и то же число 4 Минор и алгебраическое дополнение Минором некоторого элемента определителя называется определитель получаемый из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится этот элемент Обозначают М Алгебраическое дополнение любого элемента равно минору этого элемента взятого со своим знаком если сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится элемент есть число четное и с противоположным знаком если это число нечетное Обозначают А ij 5 Формула для вычисления определителя третьего порядка Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения Например а А а А а ij А где А А А алгебраические дополнения соответственно для элементов первой строки Последняя запись называется разложением определителя по элементам первой строки Разлагать определитель можно по элементам любой строки или любого столбца 6

7 Решение системы линейных уравнений методом Крамера Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х х х : а х а х а х b ax ax ax b ax ax a x b здесь а ij коэффициенты при х i а b i свободные члены Данная система имеет единственное решение тогда и только тогда когда определитель составленный из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля Неизвестные х i находятся по формулам Крамера х х х где определитель из коэффициентов при неизвестных а i определитель который получается из путем замены i -го столбца столбцом свободных членов 4 Матричный способ решения системы линейных уравнений 4 Квадратная матрица определитель которой отличен от нуля называется невырожденной 4 Матрица А называется обратной для невырожденной матрицы А если где А А А А Е 0 0 Е 0 0 единичная матрица 0 0 7

8 4 Для нахождения обратной матрицы необходимо проделать следующие действия: а) найти (если = 0 то А не существует); б) составить матрицу А элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А; в) транспонируя полученную матрицу найдем присоединенную матрицу А ~ ; ~ г) обратная матрица А А 44 Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х х х : а х а х а х b ax ax ax b ax ax a x b Обозначим а а а b x А a a a В b X x a a a b x Тогда система запишется в виде матричного уравнения 8 A X B которое решается следующим образом: А ( А Х ) А В ( А А) Х А В Е Х А В Х А В 5 Ранг матрицы 5 Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы Ранг матрицы А обозначают r rang A

9 5 Базисным минором матрицы А называют любой отличный от нуля минор этой матрицы порядок которого равен рангу матрицы А 5 Теорема (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы 54 Наиболее удобным на практике методом нахождения ранга матрицы является метод элементарных преобразований к числу которых относятся: а) транспонирование матрицы б) перестановка двух строк или столбцов в) умножение всех элементов строки или столбца на число отличное от нуля г) прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца умноженных на одно и то же число Элементарные преобразования не меняя ранга матрицы позволяют ее привести к треугольному виду когда выше или ниже главной диагонали находятся нулевые элементы Ранг такой матрицы равен числу ее ненулевых строк 6 Произвольные системы линейных уравнений 6 Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными вида а х а х аn хn b ax ax anxn b amx amx amn xn bn 9

10 Обозначим а а аn x b a a a А n x b X В am ama mn x n b m А основная матрица системы Х матрица-столбец из неизвестных В матрица-столбец из свободных членов Добавив к основной матрице А столбец из свободных членов В получим расширенную матрицу системы А р : а а аn b a a a n b А р am amamn bmn 6 Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения На вопрос о совместности системы линейных уравнений дает ответ теорема КронекераКапелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы Если ранг равен числу неизвестных в системе то система имеет единственное решение; если ранг меньше числа неизвестных то система имеет бесчисленное множество решений 7 Метод Гаусса решения системы линейных уравнений Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных Суть метода состоит в следующем: путем элементарных преобразований о которых уже говорилось выше из всех уравнений системы кроме первого исключают неизвестное х ; затем из всех уравнений кроме первого и второго исключают не- 0

11 известное х и т д В результате придем к тому что в последнем уравнении останется только одно неизвестное Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса Обратный ход метода Гаусса состоит в следующем: найдя из последнего уравнения единственное входящее в него неизвестное представляем это найденное значение в предпоследнее уравнение где оставалось два неизвестных и найдем второе неизвестное и т д пока не дойдем до первого уравнения в котором уже найдены все неизвестные кроме одного 8 Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования 8 Пусть величины у у yn линейно и однородно выражаются через величины х х хn следующим образом: у а х а х аn хn у ax ax an xn () yn anx anx ann xn Переход от величин х х хn к величинам у у yn по формулам () называется линейным преобразованием переменных х х х n Это преобразование однозначно определяется квадратной матрицей а а а n a a a А n an anann которую будем называть матрицей преобразования Линейное преобразование () можно записать в матричном виде Y А Х

12 где у x у x Y X у n x n Действиям над преобразованиями соответствуют такие же действия над их матрицами 8 Всякий ненулевой вектор r называется собственным вектором данного линейного преобразования с матрицей А если выполняется соотношение Аr λr где число Число при этом называют собственным числом (или собственным значением) линейного преобразования Рассмотрим частный случай линейного преобразования с квадратной матрицей третьего порядка а а а А a a a a a a Чтобы вектор x r x x был собственным должно выполняться соотношение Аr λr или ах а х а х λх ax ax ax λ х ax ax ax λ х или ( а λ) х а х а х 0 ах ( а λ) х ах 0 ах ах ( а λ) х 0

13 Чтобы полученная однородная система имела ненулевые решения ее определитель должен быть равен нулю т е а λ а а а а λ а а а 0 () а λ Уравнение () называется характеристическим уравнением линейного преобразования ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 9 Понятие вектора Линейные операции над векторами 9 Вектором называют направленный отрезок (или упорядоченную пару точек) Вектор обозначают либо а либо АВ где точка А начало точка В конец его 9 Длиной (или модулем) вектора называют расстояние между началом вектора и его концом Обозначение а или АВ 9 Нулевой вектор вектор длина которого равна 0 или вектор у которого начало и конец находятся в одной точке 94 Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными Коллинеарность векторов а и b обозначают следующим образом: а b 95 Векторы лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными 96 Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов вычитания векторов и умножения вектора на число 97 Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника для чего их нужно расположить следующим образом: начало

14 второго вектора совместить с концом первого; тогда вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго и будет вектором суммы a b a a b b 98 Два вектора можно сложить по правилу параллелограмма Для этого начала обоих векторов помещают в общую точку Затем на векторах отложенных от общей точки как на сторонах строят параллелограмм диагональ которого исходящая из общей точки будет вектором суммы a а b 99 Сумму любого числа векторов находят по правилу многоугольника: начало каждого следующего слагаемого вектора помещают в конце предыдущего слагаемого вектора; вектор соединяющий начало первого с концом последнего вектора есть сумма этих векторов а b b с d a b c d 4 a b c d

15 90 Чтобы найти разность двух векторов их надо привести к общему началу Тогда вектор проведенный из конца вектора-вычитаемого в конец вектора-уменьшаемого и будет вектором разности a b 0 a b a b Заметим: вектор разности двух векторов это вектор являющийся другой диагональю параллелограмма построенного на данных векторах как на сторонах 0 b 9 В результате умножения вектора а на число получается вектор коллинеарный вектору а одинаково с ним направленный если > 0 и противоположно направленный если < 0 причем длина вектора λ а в λ раз больше длины вектора а а a a b а а a 5

16 0 Понятие базиса Разложение вектора по базису 0 Базисом на плоскости называют пару ненулевых неколлинеарных векторов через которые может быть выражен любой вектор лежащий в той же плоскости 0 Разложить вектор с по базису а и b значит представить вектор с в виде с αа βb где и некоторые числа которые называют координатами вектора с в базисе а и b а сами векторы а и b называют базисными Пишут: с {αβ} 0 Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их соответствующими координатами относительно одно и того же базиса т е при сложении векторов их одноименные координаты складываются а при умножении вектора на число умножаются на это число 04 Если два вектора коллинеарны то их соответствующие координаты пропорциональны 05 Если базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину то такой базис называют ортонормированным а сами базисные векторы обозначают i j на плоскости и i j k в пространстве Тогда разложение по базису i j k имеет вид a xi yj zk где х у z координаты вектора а в базисе i j k ( i j k называют ортами) 6

17 z z у x 0 i k j y х 06 Если точка А (х у z ) начало вектора АВ а В (х у z ) конец этого вектора то можно найти координаты самого вектора АВ : АВ { x x y y z z} Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов а и b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Для скалярного произведения принято обозначение ( а b) Тогда ( а b) a b cos Если векторы а и b заданы своими координатами т е а { x y z} и b { x y z} то их скалярное произведение находится по формуле ( а b) x x y y z z 7

18 С помощью скалярного произведения можно найти: а) модуль вектора а { x y z} а ( а а) х y z б) угол между векторами а и b ( a b) xx yy zz сos a b x y z x y z 4 Условие перпендикулярности двух векторов а и b состоит в следующем: а b ( a b ) 0 8 Векторное произведение двух векторов Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с удовлетворяющий условиям: а) с а и с b ; б) вектор с ориентирован так что векторы а b с образуют правую тройку; в) с а b sin = S параллелограмма построенного на этих векторах Векторное произведение обозначают [ a b] Если а { x y z} и b { x y z} то их векторное произведение выражается в виде определителя третьего порядка i j k [ a b] x x y y z z где i j k орты декартова базиса

19 Смешанное произведение трех векторов Смешанным произведением трех векторов а b с называется число равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов [ a b] на третий вектор с Обозначают смешанное произведение ( a b с) Тогда по определению ( a bс) ([ a b] c) Смешанное произведение векторов а x y } { z b { x y z} с { x y z} равно определителю третьего порядка составленному из координат перемножаемых векторов т е х y z ( a b с ) x y z x y z Если ( a b с ) 0 то векторы а b с лежат в одной плоскости т е компланарны 4 Смешанное произведение трех некомпланарных векторов а b с взятое по модулю равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах исходящих из общего начала: V ( a b c ) пар ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Что называется матрицей размерности m n? Что такое квадратная матрица второго порядка третьего порядка? Привести примеры Какие операции можно производить над матрицами? Привести примеры 9

20 Способы вычисления определителя третьего порядка Привести примеры 4 Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как найти обратную матрицу? 5 В чем состоит метод Крамера решения системы линейных уравнений? 6 В чем состоит матричный метод решения системы линейных уравнений? 7 Что называется рангом матрицы? Как его можно найти? 8 Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли 9 В чем заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений? 0 Какие векторы называются собственными и как они находятся? Что называется вектором и модулем вектора? Какие векторы называются коллинеарными и компланарными? Перечислите линейные операции над векторами Дайте определения каждой из этих операций Приведите примеры 4Что называется координатами вектора в данном базисе? 5 К чему сводятся линейные операции над векторами заданными координатами? Приведите примеры 6 Что называется скалярным произведением двух векторов? Как оно выражается через координаты векторов? 7 Как найти угол между векторами? 8 Условие перпендикулярности двух векторов Привести примеры пар перпендикулярных векторов 9 Что называется векторным произведением двух векторов? Как оно выражается через координаты векторов? 0 Что собою геометрически представляет векторное произведение двух векторов? 0

21 Что называется смешанным произведением трех векторов? Как оно выражается через координаты векторов? Что собою геометрически представляет смешанное произведение трех векторов? В чем состоит условие компланарности трех векторов? РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ Задача Вычислить определители второго порядка: Решение: Согласно пункту будем иметь: ; 4 ( ) 8 ( ) 8 ; ( ) Задача Вычислить определитель третьего порядка 4 Решение: Один из способов вычисления определителя таков Припишем к определителю снизу первую и вторую строки:

22 4 Проведем в определителе из левого верхнего угла в нижний правый угол главную диагональ а из верхнего правого угла в нижний левый угол побочную диагональ Подсчитаем сумму произведений элементов на главной диагонали и на двух прямых ей параллельных Затем найдем сумму произведений элементов на побочной диагонали и на двух прямых ей параллельных Определитель будет равен разности этих двух сумм: ( ( ) ( ) 4 ( )) ( ( ) 4 ( ) ( ) ) ( 4 9 8) ( 4 ) 0 Второй способ использует формулу в пункте 5: а А а А а А Найдем алгебраические дополнения Это есть миноры взятые или со своим знаком или с противоположным Чтобы найти минор для элемента а (в нашем случае а = ) нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец определителя на пересечении которых находится этот элемент: 4 После этого остается определитель второго порядка т е М 6 8 Сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится а есть + = т е четное число Поэтому А М 8 Аналогично найдем миноры для а и а :

23 М 8 9 и М причем для а сумма номеров строки и столбца равна нечетному числу а для а четному числу 4 Отсюда следует: А М 9 и А М 5 Окончательно имеем: ( 8) ( 9) Задача Решить систему линейных уравнений х 4х х 5 х 4х х х х 7 методом Крамера Решение: Составим определитель системы (т е определитель из коэффициентов при х х х ): Посчитаем определитель разлагая его по элементам третьего столбца: Так как 0 то система имеет единственное решение х х х 5 4 где 4 0 (вместо первого столбца в написан столбец 7 свободных членов)

24 5 0 (вместо второго столбца в написан столбец свободных членов) (вместо третьего столбца в написан столбец 7 свободных членов) Вычисляем : Тогда 4 0 х х 0 х Система решена 0 Задача 4 Исследовать на совместность систему линейных уравнений х х х х х х 4 4х х 4х Если система совместна решить ее методом Гаусса 4

25 Решение: Составим основную матрицу (из коэффициентов при неизвестных х х х ) и расширенную матрицу добавив к основной матрице еще один столбец из свободных членов: А А р Так как основная матрица полностью содержится в расширенной матрице то при нахождении ранга расширенной матрицы мы будем одновременно находить и ранг основной матрицы Будем приводить расширенную матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований которые перечислены в пункте 54 Умножим первую строку на () и прибавим ко второй строке чтобы первый элемент второй строки обратился в нуль; затем первую же строку умножим на (4) и прибавим к третьей чтобы первый элемент третьей строки тоже стал равным нулю Получим Умножим вторую строку на () и прибавим к третьей строке в результате получается матрица треугольного вида так как ниже главной диагонали лежат нулевые элементы Ранг матрицы равен числу ненулевых строк т е ранг основной матрицы равен Ранг расширенной матрицы тоже равен потому что для нее не существует минора порядок которого больше Значит система совместна 5

26 Решим ее методом Гаусса Данной системе эквивалентна система х х х х х х 4 Нами был выполнен прямой ход Проведем обратный ход: х (из последнего уравнения) х 6 х (из второго уравнения) х х х 4 (из первого уравнения) Ответ: х = х = х = Задача 5 Решить систему линейных уравнений х х 4х х х 5х х х х матричным методом Решение: Обозначим 4 х А 5 Х х В х Система равносильна матричному уравнению А Х В Посчитаем определитель матрицы: 4 5 ( ) ( ) ( 4) ( 5) ( 4) ( 5) ( ) ( ) Так как 0 значит матрица А имеет обратную матрицу а уравнение А Х В имеет единственное решение 6

27 Х А В Найдем матрицу А обратную матрицу А (пункт 4) Алгебраические дополнения для всех девяти элементов матрицы А ищем так как это было проделано в примере А 5 М 7 А 4 8 М А 5 М А 4 М А М А М А 4 М 6 А 4 5 М 5 А М Матрица А имеет вид: 7 А 8 6 Транспонируем ее т е заменяем каждую строку на столбец с тем же номером и получаем присоединенную матрицу ~ А и обратную матрицу А Обратная матрица найдена тогда решение матричного уравнения а значит и системы получится следующим образом: 7

28 7 8 6 Х А В ( 7) 8 ( ) ( 6) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 Ответ: х = х = х = 0 Задача 6 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования заданного в некотором базисе матрицей 5 6 А 0 Решение: Следуя теории изложенной в пункте 8 имеем систему для нахождения собственного вектора с координатами х х х : 5х 6х х λх (5 λ) х 6х х 0 х х λх или х λх х 0 х х х λх х х ( λ) х 0 () Характеристическое уравнение принимает вид: 5 λ 6 λ 0 ( λ) Считаем определитель разлагая его по элементам первого столбца: 8 (5 λ) λ ( ) 6 ( λ) ( λ) 6 λ (5 λ) (λ ( λ) ) ( 6( λ) 6) (6 λ) λ 4λ 4λ 6 0

29 Находим корни уравнения λ 4λ 4λ 6 0 : λ (λ 4) 4(λ 4) (λ 4) (λ 4) (λ 4)(λ )(λ ) 0 Корни уравнения λ 4 λ λ являются собственными значениями линейного преобразования Будем находить для каждого собственного значения соответствующий собственный вектор подставляя в систему () нужное Для = 4 система выглядит так: х 6х х 0 х 4х х 0 х х 5х 0 Сложим два последних уравнения: х 4х 0 и выразим х через х : х х Подставим х х в первое уравнение: х х х 0 или х 9х Получили в результате решение системы в виде х 9 х х х Так как однородная система имеет множество ненулевых решений то х может принимать любые значения отличные от 0 Положим х = t тогда собственный вектор примет вид r {9t t t} Аналогично находим собственные векторы для двух других Для = система имеет вид: х 6х х 0 х х х 0 х х х 0 Сложили два последних уравнения: х 0 или х 0 9

30 Подставили х 0 в первое уравнение: 0 х 6х 0 или х х Положим х = t тогда r { t t 0} Для = система имеет вид: 7х 6х х 0 х х х 0 х х х 0 Сложив два последних уравнения получим: 4х х 0 или х х Подставив в первое уравнение х х получим: 7х 6х 6х 0 или х 0 Положим х = t тогда r {0 t } t Ответ: для =4 r {9t t t} для = r { t t 0} для = r {0 t } t Задача 7 Даны вершины АВС: А ( ) В (0 4 5) С ( 0) Требуется найти: ) косинус внутреннего угла при вершине А; ) площадь АВС Решение: ) Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения (пункт ) по формуле ( a b) cos a b

31 Сделаем схематично чертеж АВС B A C Внутренний угол при вершине А есть угол образованный векторами АВ и АС исходящими из общей точки А Значит АВ АС cos АВ АС Найдем координаты векторов АВ и АС (пункт 06): АВ { } { } АC { 0 } { 0 } Зная координаты векторов АВ и АС найдем их модули (пункт ) и скалярное произведение (пункт ): АВ ( ) АС ( ) 0 ( ) 4 9 АВ АС ( ) ( ) 0 ( ) Тогда cos (знак () говорит о том что тупой угол)

32 ) Площадь АВС может быть найдена как половина площади параллелограмма АВDС B D A C S пар AB АС (п ) S АВС AB АС Найдем векторное произведение векторов АВ и АС (пункт ): i j k АВ АС 0 (разложить определитель по элементам первой строки i j k ) = i j k 0 6i 7 j 4k 0 Полученное разложение вектора которым является векторное произведение по ортам i j k указывает нам координаты вектора АВ АС { 6 7 4} модуль этого вектора: (пункт 05) Осталось найти AB АС ( 6) ( 7) S АВС 0

33 Задача 8 Даны четыре точки А ( ) В ( ) С ( 0) D (5 0 6) Проверить лежат ли данные точки в одной плоскости Решение: Одну из данных точек примем за общее начало например точку А Из точки А направим векторы в точки В С и D Если векторы АВ АС и АD будут компланарны т е будут лежать в одной плоскости то и все четыре точки А В С D тоже будут лежать в одной плоскости Найдем координаты векторов АВ {} АC {04} АD { 4} и их смешанное произведение (п ) ( АВ АС AD) 0 4 ( ) (разложили определитель по элементам первого столбца) = = 8 8 = 0 Отсюда следует (п ) что векторы АВ АС АD лежат в одной плоскости следовательно и точки А В С D тоже лежат в одной плоскости Задача 9 Даны четыре точки А ( ) В ( 0) С (4 ) D (0 5 ) Найти объем пирамиды АВСD Решение: Средствами векторной алгебры может быть найден объем параллелепипеда построенного на векторах а b c как на сторонах: V ( ab c) Сделаем схематичный чертеж данной пирамиды

34 A B C D 4 Объем пирамиды равен 6 объема параллелепипеда сторонами которого являются те же векторы что и у пирамиды Если взять за общее начало векторов точку В то V пир Vпар ( ВА ВС ВD) 6 6 Находим координаты векторов ВA { } ВC { } ВD { } и их смешанное произведение ( ВА ВС ВD) ( ) ( ) 0 6 Тогда V пир ( ) Ответ: V пир =

35 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 0 Решить систему линейных уравнений методом Крамера х х х х х х 7 х х х х х 5 х х х х х 4 6х 7х х 6 х х 7 х х х 5 4 х х х 7 х х х 4х х х 7 5 х 6х х 6 х х х 8 х х 6 х 7х х 0 4х 9х 4х 8 х х 4 7 х х 5х 4 х х 6х 4х х 4х 8 х х 0 х х 7х 6 х х 8х 8 9 5х 4х 4х 9 х х 4х 9 х 5х 9 0 х х 5х 4 х 6х 4х х 4х 0 0 Исследовать на совместность систему линейных уравнений и решить ее если она совместна методом Гаусса х х х х х х х х х х х х х х х х х х 5

36 х х х 5 х х х х х х 4 4 х х х х х х 4 х х х 5 5 х х - х х х х 5 х - х х 6 х х х х х х 4 х х х 7 х х х х х х 6 х х х 5 8 х х х х х х 0 4х х х 7 9 х 5х х 4х х х 4 х х х 0 х х х 5 х х х 0 х х х 8 0 Решить систему линейных уравнений матричным методом 4х х х 0 х х х х х х х х х х х 4 4х х 4х х х х 5 х х х х х х 4 х х х х х 4х х 6 5 х х х 5 х х х х х 6 х х х 6 6 х х х 4х х х

37 7 х х х х х х х х х 0 8 х х х х х х 0 4х 5х х 9 х х х х х х 4 х х х 0 х х х х х х х х х 40 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования заданного матрицей А А А А А А А А А 0 А А 0 0 7

38 4 50 Даны вершины АВС Требуется найти: ) косинус внутреннего угла при указанной вершине треугольника; ) площадь АВС А ( ) В ( ) С (0 0 5) угол при А А (0 4 5) В (4 ) С ( ) угол при В А ( ) В ( 0) С (0 4 5) угол при С 4 А ( ) В ( ) С (4 ) угол при А 5 А ( ) В (0 4 ) С ( ) угол при В 6 А (4 ) В ( 0 ) С (5 ) угол при С 7 А ( ) В ( 7) С (4 ) угол при А 8 А ( ) В ( ) С (4 ) угол при В 9 А ( 7) В (0 5) С ( ) угол при С 0 А ( 5) В ( 4) С ( ) угол при А 5 55 Даны четыре точки А В С D Проверить лежат ли данные точки в одной плоскости А ( ) В ( 4 ) С ( 0 ) D ( 4 ) А ( 4 ) В ( ) С ( 5) D ( 5) А ( ) В ( ) С ( 4 ) D ( 5) 4 А ( ) В (0 4 5) С ( ) D ( ) 5 А (4 ) В ( 0 ) С ( 0 ) D ( ) Даны четыре точки А В С D вершины пирамиды Найти объем пирамиды АВСD 8 6 А ( 6 ) В (5 6) С (5 7 4) D (4 0 9) 7 А (6 6 5) В (4 9 5) С (4 6 ) D (6 9 ) 8 А (0 6 6) В ( 8 ) С (6 8 9) D (7 0 ) 9 А (7 ) В (5 ) С ( 7) D (5 ) 0 А (5 6 8) В (0 5 5) С (6 9 9) D (4 6 5)

39 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература Виленкин ИВ Высшая математика / ИВ Виленкин ВМ Гробер Ростов-н/Д : «Феникс» 005 Гл с 4 6 Баврин ИИ Высшая математика / ИИ Баврин М : Академкнига 004 Гл с 6 85 Дополнительная литература Беклемешев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / ДВ Беклемешев М : Наука 980 С 4 4 Бугров ЯС Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / ЯС Бугров СМ Никольский М : Наука 980 С Ефимов НВ Краткий курс аналитической геометрии / НВ Ефимов М : Наука 97 С Клетеник ДВ Сборник задач по аналитической геометрии / ДВ Клетеник М : Физматгиз 96 С Минорский ВН Сборник задач по высшей математике / ВН Минорский М : Наука 987 С Фаддеев ДК Сборник задач по высшей алгебре / ДК Фаддеев ИС Соминский М : Наука 968 С 8 9


ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составитель Т.С. Куницына.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составитель Т.С. Куницына. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Варианты заданий для студентов заочной формы обучения Составители Лазарева РИ Куницына ТС Зголич МВ Томск 07 СОДЕРЖАНИЕ I Правила оформления

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители Е.В. Черникова, Н.Н. Белов

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители Е.В. Черникова, Н.Н. Белов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее