Практическая работа 9

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практическая работа 9"

Транскрипт

1 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые интегралы методом замены переменной и по частям. В результате выполнения практической работы студент должен: знать: символику и определение неопределённого интеграла; свойства неопределённого интеграла; табличные интегралы; методы интегрирования (непосредственное, введение новой переменной и по частям). уметь: определять метод интегрирования; вычислять неопределённые интегралы. Краткие теоретические сведения Первообразная функция. Неопределённый интеграл Одной из главных задач дифференциального исчисления является задача нахождения скорости изменения какой-либо функции, т.е. задача нахождения производной ( или дифференциала). На практике часто приходится решать обратную задачу: зная скорость изменения функции, найти эту функцию; эта операция называется интегрированием. Это означает, что необходимо найти функцию F по одному из выражений df f d или F f, где f - известная функция. Искомая функция f. функции F называется первообразной функцией по отношению к f называется такая Первообразной функцией для данной функции функция F, производная которой равна f (или, что то же самое, дифференциал которой равен f d). Например, первообразной функцией для функции является, ибо. Но эта

2 первообразная не единственная, а только одна из многих, так как функции, и вообще где c, c произвольная постоянная, тоже являются первообразными для f, ибо c. Действительно, если на некотором промежутке функция является первообразной для функции f, то для этой последней будет первообразной и любая функция вида F c, где Если F C F c постоянная. какая либо первообразная функция для, где f F, то выражение C произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f и обозначается символом f d. При этом функция f называется подынтегральной функцией, а выражение называется подынтегральным выражением, знак называется знаком f d интеграла. Согласно определению неопределённого интеграла, можно записать f d F C. Операция нахождения первообразной по данной функции называется интегрированием. Основные свойства неопределённого интеграла Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: f d f, d f d f d. () Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: () df F C. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

3 af d a f d, a 0 (5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: f gd f d gd (6) Таблица неопределённых интегралов Таблица n n d C, n n d C 0 d ln C, 0 a a d C,0 a ln a 5 d C 6 d cos C 5 7 d cos C 6 8 gd cos C 9 cgd ln C d g C, n, n cos d cg C, n, n d arc C, d arg C d arcg C a a a d arc C, a 0 a a d a ln C,, a a a a d ln a C, a a ln 7 a Непосредственное интегрирование при 0 Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределённых интегралов путём приведения их к табличным с применением основных свойств. При этом подынтегральную функцию обычно предварительно соответствующим образом преобразуют. 0 5 Метод замены переменной

4 В основе метода замены переменной (или метода подстановки) вычисления неопределённых интегралов лежит следующая формула, являющаяся простым следствием правила дифференциро-вания сложной функции: f gg d Fg C где F какая либо первообразная функции f, g. Действительно, согласно этому правилу получаем ( Fg C) Fgg f gg. Тогда f gg d сводится к виду где. f d, g Таблица п/п Умение Найти интеграл f d методом переменной замены Алгоритм Подобрать замену или. Выразить подынтегральную функцию через новую переменную: Выразить d через и используя. f g d,. равенства d d или d d Записать данный интеграл по формуле замены переменной f d f d. 5 Применить к полученному интегралу основные свойства неопределённого интеграла и воспользоваться таблицей основных интегралов. 6 Вернуться от переменной к исходной переменной подставив., При помощи подстановки интегралы: kbkb 8 d a b u и m u нетрудно вычислить следующие k ab ab g C. 9 g d C a. a ln g a b d cos a b C cos a b C. a a b d a d d ga b C. cos a b a cg a b C a b a d m arc C, m 0 k m m k 0... Отыскание функции по заданной производной или по дифференциалу задача неопределённая,

5 d так как означает, множество первообразных функций вида y F C, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым величина C может принимать любые числовые значения, если на первообразную функцию не наложено никаких начальных условий. Чтобы из множества первообразных функций выделить одну определённую функцию, должны быть заданы начальные условия. Под начальными условиями понимается задание частных значений и для первообразной функции y F C, по которым находится определённое значение C, удовлетворяющее этим начальным условиям. f y 6 Метод интегрирования по частям Пусть u u, v vдифференцируемые функции от х. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем duv udv vdu. Поэтому udv duv vdu. Интегрируя обе части этого равенства, получим udv duv vdu. Используя свойство неопределённых интегралов: duv uv C, получим формулу udv uv vdu. Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет переходить от заданного интеграла udv к интегралу vdu ; последний при удачном разбиении подынтегрального выражения на и dv может оказаться более простым, чем первоначальным. При использовании формулы интегрирования по частям для нахождения интегралов от произведения нельзя дать общее правило для определения того, какой сомножитель в подынтегральном выражении следует обозначить через и какой через ) Применение формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение удаётся представить в виде произведения двух множителей u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu было более простой задачей, чем интегрирование исходного выражения udv. ) При вычислении интегралов вида Pln d, Parc d, P arcgd, где Pмногочлен, за функцию u принимается соответственно ln,arc, arcg. dv. Ограничимся следующими рекомендациями: ) При вычислении интегралов вида a P d, P ad, P cos ad, a 0, C; u u

6 за u принимается многочлен. Если многочлен выше первой степени, то операцию интегрирования по частям следует применять несколько раз. ) При вычислении интегралов вида P P a a bd, cos bd, a b формула интегрирования по частям применяется последовательно два раза, причём оба раза за u выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая. После двукратного интегрирования по частям получается линейное уравнение относительного искомого интеграла. 0, Таблица п/п Умение Найти интеграл f d методом по частям интегрирования Алгоритм Представить подынтегральное выражение в виде произведения u dv. Найти du ud иv dv. f d Применить формулу интегрирования по частям udv uv vdu. Найти интеграл vdu. Образец решения задач Метод непосредственного интегрирования Пример. Найти неопределённый интеграл d Используя свойства неопределённого интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов-(6), и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла-(5), получаем: d d d. и затем, используя таблицу, формулы (, 6) d d ln cos C. Пример. Найти неопределённый интеграл. d 5 d Почленно разделим на, используя свойства неопределённого интеграла (5), (6), а затем формулы (, ) таблицы, получим: 5 d d 5 d d 5 ln C.

7 Метод подстановки или метод введения новой переменной или метод замены переменной. Это самый эффективный приём сведения неопределённого интеграла к табличному виду. Пример. Найти неопределённый интеграл d.. Положим, тогда ; ; Продифференцировав получим d d. d d d d d d ln, d d C ln d d d C ln C. Правило: Интеграл от нечётной степени синуса или косинуса находим путём отделения одного множителя, затем, используя формулу cos, разбиваем на два интеграла, и далее замена переменных. Пример. Найти неопределённый интеграл d. d d cos d d cos d cos d d d d cos C cos cos C. Правило: Интеграл от чётной степени синуса или косинуса можно найти путём понижения степени вдвое по формулам половинных углов:

8 cos ; cos. Пример 5. Найти неопределённый интеграл d Пример 6. d. cos d d cos d C. Найти неопределённый интеграл. d Пример 7. d d d C d C. Найти неопределённый интеграл cos 7 d. cos 7 cos d d d 7 8 d 8 C cos 8 8 C. Пример 8. arc Найти неопределённый интеграл d. arc d arc d d d C arc C. Метод интегрирования по частям. Пример 9. Найти d.

9 u, dv d d du d, v d d C. d. C, Пример 0. Найти. ln d u ln, dv d ln d, v d ln d ln ln d du d ln Пример. du d, v. C. Найти cos d. cos d du d, v u, dv cos d, v cos d, u, dv d, d du d, v d cos cos cos d cos C cos C. Пример. Найти d. u, dv d, d du d, v d cos. cos cos d (для нахождения последнего интеграла применим ещё раз формулу

10 интегрирования по частям) = u, dv cos d, cos du d, v cos d. 9 cos d. d Таким образом получили уравнение первой степени относительно искомого интеграла. 9 d cos d. Из данного равенства находим d cos умножим обе части уравнения на d d Пример. Найти arc d. cos cos,., получим, u arc, dv d, d arc d d arc., Вновь полученный интеграл du v найдём методом подстановки. arc d arc arc d C arc Задание к практической работе d d d C arc d arc C. d arc d

11 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределённом интеграле» Вариант Вычислить неопределённые интегралы. d d, 5 d d 5 5 ln d 6 d cos 7 d 8 ln d 9 arc d 0 d d ln 6 d arc d 6 d 5 d Контрольные вопросы Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Метод непосредственного интегрирования. Метод интегрирования подстановкой. 5 Метод интегрирования по частям.

12 Литература Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник.- М.: Высшая школа, с.:ил. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., с.:ил. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, с.


Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования.

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. 5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. Актуальность темы Неопределенный интеграл одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование. Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится

Подробнее

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ;

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ; ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование тригонометрических выражений Интегрирование тригонометрических выражений R d Общий случай (si,cos ) Подстановка : Отсюда : z z dz si ; cos ; d ; z z z Универсальная подстановка, как правило, приводит к очень громоздким выкладкам Рассмотрим

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

8. Первообразная и неопределенный интеграл

8. Первообразная и неопределенный интеграл ТЕОРИЯ 8. Первообразная и неопределенный интеграл Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F() называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Практическая работа 13 Вычисление неопределенных интегралов

Практическая работа 13 Вычисление неопределенных интегралов Практическая работа Вычисление неопределенных интегралов Цель: закрепить навыки интегрирования рациональных функций, интегрирования методом замены переменной и интегрирования по частям Оборудование (приборы,

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 8.. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница В главе 7 рассмотрели процесс интегрирования, который Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм 646-76 немецкий философ, математик,

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ» МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Н.В. НИГЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

t + x x dx = + C = = ax bx c I Ax + B dx

t + x x dx = + C = = ax bx c I Ax + B dx 67 Тогда ( ( ( d C C d ( Интегралы вида I b c I A B,, I b c b c Для вычисления интеграла I выделяется полный квадрат под знаком радикала b c b b b c ± и применяется подстановка b u, du du В результате

Подробнее

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию.

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Задача о площади криволинейной трапеции =f() B A f(ξ i ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ i ξ 1 2 i-1 i S k 1 f ( ) k Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана ЕБ Павельева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» УДК 57

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

Работу выполила преподаватель высшей квалификационной категории Беккер М.С. Кисловодск 2010 год

Работу выполила преподаватель высшей квалификационной категории Беккер М.С. Кисловодск 2010 год Министерство здравоохранения Ставропольского края Государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования Ставропольского края «Кисловодский медицинский колледж» Методическое

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Практическая работа 8. Тема: «Производные и дифференциалы высших порядков. Правила Лопиталя»

Практическая работа 8. Тема: «Производные и дифференциалы высших порядков. Правила Лопиталя» Практическая работа 8 Тема: «Производные и дифференциалы высших порядков. Правила Лопиталя» Цель работы: закрепить навыки вычисления производной по правилам и формулам дифференцирования; научиться вычислять

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Е В НОВАК Т В РЯЗАНОВА И В НОВАК ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие МИНИТЕРТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция. Аннотация Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее