Учебный план дисциплины.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Учебный план дисциплины."

Транскрипт

1 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра, векторный анализ, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Цель преподавания дисциплины: дать студентам практическую подготовку и теоретические основы по математике для успешного освоения фундаментальных, общетехнических и специальных предметов учебного курса. Задачи изучения математики.. Знать основные понятия и методы исследования и решения задач читаемой дисциплины.. Уметь применять математические методы к решению задач; проводить конкретные расчеты в рамках выполнения аудиторных и домашних заданий.. Иметь представление о математической символике для выражения количественных и качественных соотношений объектов; о применении теоретических рассуждений при доказательстве теорем. Общие рекомендации студенту по работе над курсом математики. Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:. Изучение материала по лекциям.. Изучение материала по учебнику.. Выполнение еженедельных домашних заданий.. Выполнение контрольных домашних заданий (КДЗ). Студент может обращаться к преподавателю для получения консультации, посещать имеющиеся факультативные занятия.

2 Указания к выполнению КДЗ.. Каждое контрольное домашнее задание должно выполняться в отдельной тонкой тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 6 см. для замечаний преподавателя.. На титульном листе тетради должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины, номер выполняемого варианта. Как правило, номер варианта задается преподавателем.. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров, обязательно записывая условия каждой задачи.. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. 5. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ». 6. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ «Неопределенный и определенный интеграл» I. Вычислить интегралы:. ( ).. cos sin( ) 7. Вариант

3 5 8. sin cos arctg II. Вычислить определённые интегралы:.. 6 ; = sin t. cos III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:.. + IV. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:. y = ; y=. ρ = cosφ I.Решение. ( ) = + = ( + ) = + = (получили сумму табличных интегралов ) = ln + + c. = ( ) = arcsin + c. cos = ( + cos) = + cos = + sin + c. 7 = ( 7) = 7 ln c

4 5. 5 = ( 5 ) = ( 5 ) 6 ln 5 + c Для вычисления этих интегралов пользовались основной таблицей интегралов, формулами тригонометрии, действиями со степенями и дробями. 6. sin( ) = известно, что d ( ) =, тогда sin( ) = имеем свойство дифференциала т.е. d( ) = a d (a + b) = sin( ) d( ) = (-cos (- )) + c = cos (- ) + c 7. = d( ) = ln + c 8. sin cos = имеем формулу sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α β)], тогда [sin5 + sin( )] = sin5 sin = sin5 ( cos) = cos5 + cos + c 5 9. = ++5 выделим полный квадрат в знаменателе = = ( + ) + (+) + = d(+) (+) + = + arctg + c. arctg = воспользуемся формулой интегрирования по частям U dv = U V V du Пусть U = arctg du = +( ) dv = V=

5 Имеем: arctg (+) посчитаем получившийся интеграл = (+) 7 ( ) +( ) d( ), замена = t ( ) (+( ) ) = t dt = (t +) dt = t + dt dt +t t + t + t + t arctgt = arctg dt = dt t + Получаем: arctg = arctg + arctg + с = II. Вычислить определенные интегралы. Нам понадобятся формула Ньютона-Лейбница b f() = F(х) b a = F(b) F(a) a и правила пользования заменой и формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.. = = = ( ( ) + + = ) = ( 6 ) =. 6 = sin t = { = cos t dt ; 6 6 sin t = 6 cos t = cos t т. к. < t <, то cos t = cos t Необходимо пересчитать пределы интегрирования = = sin t, т. е. t = (sin t = ) = = sin t, т. е. t = (sin t = ) } cos t cos t dt = (8t + 8 sint) = 6 cos t dt = 8 ( + cost)dt = 8 + sin 8 sin = =

6 8 III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.. = Подинтегральная функция имеет разрыв (не определена) в точке =. ε Тогда lim [ ε + ] = lim [( ε ε ) = lim ε [ +ε + ( ε) ( ) () = lim ε [ ε + + ε ] = (+ε) ] = + ( ) Следовательно, интеграл расходится.. M + = lim M + + = lim [ M + arctg M ] = = lim (arctg M arctg ) = M + = Известно, что arctg +, arctg, arctg =. +ε ] = III. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями.. y = ; y =. Сделаем рисунок. Кривые заданы в декартовой системе координат, следовательно, S A B y = - a b y = b S = (f f ) = ( ) a Найдем пределы интегрирования a и b. Для этого решим совместно a b

7 9 y = { y = Получаем S = = = ; = ± ; a = ; b =. ( ) = ( ) = ( ) + ( ) (кв. ед. ). ρ = cos φ Сделаем рисунок. Кривая задана в полярных координатах. Это известная кривая четырехлистник, которую можно построить по точкам. Но воспользуемся ее свойствами. S ρ cos φ = k φ + k k φ + k 8 8 Удобнее записать k φ + k Имеем зоны, т.е. лепестка. 7 φ 8 8 φ φ 5 φ Воспользуемся симметричностью этих лепестков. Тогда вся площадь S = 8 S, где S заштрихованная площадь. Здесь φ меняется в интервале [, ]. Имеем: 8 β S = ρ (φ) dφ = ( cos φ) dφ = 9 cos φ dφ = α 8 = 9 cos φ dφ = 9 ( = 9 ( + cos 8φ)dφ 8 = 9 (φ + 8 sin 8φ) 8 ) = 9 ; Тогда S = 8 S = 8 9 = 9 = (кв. ед. )

8 КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ I. Вычислить определенные интегралы. Вариант Вариант Вариант. ;. ( + cos ) ;. ( + ) ; sin. ; ;. + ;. ;. ( ) ;. (e 5 + ) ; sin. ;. ;. cos 8 (sin + cos ) ; 5. ; 5. ; 5. ; e ( )5 ; sin cos ; ln ; arctg + ; 6. ; 7. arcsin ( ) ; 8. cos cos ; 8. sin 8 sin ; 8. cos 5 ; ; ; 9. ;. arccos.. sin.. arcctg.. Вариант Вариант 5 Вариант 6 sin cos cos sin. cos

9 cos ( cos ) 6. ln sin + arctg 8. e + 6. ctg sin 7. e cos sin sin cos8. cos. ( + ) ln. arctg Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9. cos. ( ). (sin cos ). e tg + sin.. ( + ). ( ) (+) ln5 (+) e 9 e 7. sin ln 7. cos( )

10 sin 7 sin 9. tg 9. cos cos. ( ) e. ( )ln. e Вариант Вариант Вариант. +. ( ). +sin cos tg 7sin e ctg cos 6. sin sin(9 + ) 6. cos sin sin 7. arctg sin sin5 9. sin 7 cos 9. cos sin. ( + )cos. arctg. ( + )ln

11 Вариант Вариант Вариант 5. cos 8. sin cos ctg cos sin arccos 6. cos. ( ). sin cos e 6. arccos 7. ln 7. ( ) 7. ln sin 9. sin sin cos cos.. sin. arcsin Вариант 6 Вариант 7 Вариант e (e +. ). (sin + cos ). 7 sin.. +. ( +). +sin cos e. 5. (. tg + )

12 5. ( ) ln arctg sin7 sin 9. cos cos sin 7. e cos sin. sin. arcsin. cos Вариант 9 Вариант Вариант.. 6 sin ( ). 7 cos sin cos e ( + 5) 7 6. e 5e ln 7. sin 5 cos ( ) 5. ctg cos arccos (ln+5) 5

13 5 9. sin 8 9. sin cos5 9. cos cos. ln( ). arctg. e Вариант Вариант Вариант. (sin cos ) ( + ) sin cos 5. ctg (ln 5) ( +) (ln+7) sin cos 9. cos sin e.. 5. sin cos cos 7 sin sin. ( )ln. ( )e. sin d Вариант ctg cos 6. e 7. ( ) ln( )

14 sin cos arcsin II. Вычислить определенные интегралы. Вариант a) ( ) ; б) + cos ; tg = t; в) e. Вариант a) ; б) e ; e = t; в) e + e cos. Вариант a) ( + 5) Вариант e a) ; б) ; + = t ; в) sin ; б) ; = t; в) e. + ln Вариант 5 a) ; б) ; = sin t ; в) e. / Вариант 6 6 a) ; б) e e + e ; e = t; в) ( + ) cos.

15 Вариант 7 a) ; б) ; = t; в). Вариант 8 a) Вариант 9 a) ( + 5) ; б) / + sin / 9 7 ; ctg = t; в) ln( + ). ; б) ( ) ; = t ; в) ( ) sin. ( ) + e Вариант a) e + e ; б) ; + = t ; в) arcsin. Вариант e a) ln ; e б) ; = t; в) arctg. + Вариант a) ; б) ; tg = t; в) ln. + cos Вариант a) + ; б) e e e + ; e = t ; в) arctg. ln 5

16 8 Вариант a) sin ; 7 б) + + ; + = t; в) ln. e Вариант 5 a) ; б) ; = t; в) ( + 5)e. 9 Вариант 6 a) cos sin ; + б) ; + = t ; в) ( ) ln. + + e Вариант 7 a) ( ) ; б) 9 ; = sin t ; в) ln(). Вариант 8 a) sin ; б) + cos ; tg = t; в) ln( + ). e e e Вариант 9 a) + ; б) e e e ; e = t ; в) arccos. + Вариант ln 5 a) ( + ) ; б) 6 ; = sin t в) sin.

17 9 Вариант a) sin cos 5 ; б) 6 ( + ) ( + ) + = t + ; в) arctg. Вариант a) ; б) + + ; + = t; e в) ln. Вариант a) ; б) e ; e = t ; в) arccos. Вариант ln a) ( + ) ; б) 5 ; = 5 sin t ; в) ( ) cos. Вариант 5 5 a) cos ; б) 6 + ; = t; в) ( ) ln e III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. Вариант Вариант Вариант а) ; а) ; а) ; + б) +. б) б) 9 +.

18 Вариант Вариант 5 Вариант 6 а) ; а) ; а) ( ) ; 6 + б) +. б) б). + + Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 а) ( + ) ; а) ( ) ; а) + б) e + +. б). б) + ( ) Вариант Вариант Вариант а) ( ) ; а) ; а) ( ) ; + б). б) б) Вариант Вариант Вариант5 а) ln ; а) ; а) ; + б) + 9. б) +. б) ;

19 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 а) ; а) ln( ) ; а) ; + б) +. б) б). + Вариант 9 Вариант Вариант а) ; а) ; а) ( + ) ; + б) 5. б) + +. б) + + Вариант Вариант Вариант а) ; а) + б) Вариант 5 а) 5 ; + б) ( + ). + + ; а) ; ln( + ). б) + + ( ). б)

20 III. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. IV.. а) y = + ; y =. б) ρ = e φ ; φ.. а) y = ; y =. б) ρ = φ; φ.. а) y = ; y =. б) ρ = φ ; φ.. а) y = e ; y = e ; =. б) ρ = + sin φ. 5. а) y = ln ; y = ln. 6. а) y = + ; y = +. б) ρ = sin 6φ. б) ρ = sin φ. 7. а) y = + ; y =. б) ρ = sinφ. 8. а) y = ; y = 9. y = 9. а) y = + ; y + =.. а) y = ; = ; y =. = б) ρ = cosφ. б) ρ = + cosφ. б) ρ = sinφ.

21 . а) y = ( ) ; y = 6 ; y =. б) ρ = + cosφ.. а) y = ; y =.. а) y = ln ; y = ; = e. б) ρ = cos φ ; φ. б) ρ = φ ; φ.. а) y = ; y = ; = ; = 8. б) ρ = + cosφ. 5. а) y = ; y = б) ρ = ( + cosφ). 6. а) y = ; y = 8; =. 7. а) y = ; y =. б) ρ = sin φ. б) ρ = 5 φ ; φ. 8. а) y = ; y = 9. а) y = ; ; y =. y =.. а) y = ; y = ; = ; =. б) ρ = e φ ; φ. б) ρ = sinφ. б) ρ = cosφ.. а) y = + ; y = = ; =. б) ρ = cosφ.

22 . а) y = ; y =. б) ρ = + cosφ.. а) y = 6 ; y = 7 ; > ; y >. б) ρ = 5sinφ.. а) y = sin; y = cos; =. б) ρ = e φ ; φ. 5. а) y =,5 ; y =,5. б) ρ = φ; φ.

23 5 ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ «Дифференциальные уравнения» Вариант I. Решить уравнение y = y(y + ). II. Найти общее решение уравнения y + III. Найти общее решение уравнения: а) y = (y ) ; б) y = yy y = sin. IV. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных коэффициентов). а) y 5y = e 5 б) y + y + 6y = sin + ( + ) cos V. Решить задачу Коши. y y = y() = ; y () = VI. Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных. y + y = tg Решение. I. y = y(y + ) Разделим обе части уравнения на х, получим y = y + y y = y + y y = ( y ) + y Правая часть этого уравнения есть функция отношения следовательно, это однородное уравнение. Обозначим y = u y = u и y = u + u y, Имеем: u + u = u + u

24 6 II. sin u = u - это уравнение с разделяющимися переменными du du = u u = Интегрируем: = ln + C. Подставим u = y u y = ln + C Если константу С записать в другом виде «ln C», то общее решение будет иметь вид: = ln + ln C = ln C C = e y y y В процессе решения мы делили обе части уравнения на х и u и могли потерять решения х= и u= ( u= y = y=) Непосредственной проверкой убеждаемся, что х = не является решением; а у = решение, которое не входит в общий интеграл ни при каком С Имеем ответ: C = e y ; у=. y + sin y = Это линейное уравнение y + P()y = Q(), где P() = ; Q() = Пусть y = uv y = u v + uv Имеем u v + uv + sin uv = v (u + u) + uv = sin ). u + u = уравнение с разделяющими переменными. du = u du = ln u = ln u = u, т.к ln = ln( ) ). uv = sin, подставим найденное u v = sin v = sin Интегрируем v = cos + C Тогда y = uv = ( cos + C)

25 7 Ответ: y = ( cos + C) III. a) y = (y ) Это уравнение второго порядка, не содержащее функцию у. Положим y = z() y = z Уравнение имеет вид z = z это уравнение с разделяющимися dz переменными. = z dz = = + C. z z Вернемся к у, получаем z = ; y = ; y = ln + C +C +C + C Это и будет ответом. б) y = y y Это уравнение второго порядка, не содержащее Х. Положим y = p(y) y = p p Имеем p p = y p p (p y) = ) p = y = y = C ) p = y dy y +C = Ответ: y=c; dp dy = y p = y + C y = y + C C arctg y C = X + C C arctg y C = X + C IV. а) y 5y = e 5 Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. ) Рассмотрим однородное уравнение: y 5y =. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни k - 5k = k(k -5) = k = k, = ± 5 Следовательно, y = C e + C e 5 + C e 5 - oбщее решение однородного уравнения в случае действительных различных корней характеристического уравнения. ) Правая часть неоднородного уравнения f() = P o ()e = e 5 ; P () = многочлен нулевой степени, α = 5 (α не является корнем

26 8 характеристического уравнения). Тогда y чн = A e 5 частное решение неоднородного уравнения. ) Найдем неопределенный коэффициент А Имеем y = A e 5 ; y = 5A e 5 ; y = 5A e 5 ; y = 5A e 5. Подставим найденные производные в исходное уравнение 5A e 5 5 5A e 5 = e 5 A = A = 5 y чн = 5 e5. Известно, что y н = y ОО + y чн Ответ: y н = C + C e 5 + C e e5 б) Найти вид общего решения уравнения y + y + 6y = sin + ( )cos ). Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k + k + 6 = k, = ± 6 = ± i 5 = ± 5i если корни характеристического уравнения комплексны α±βi, то y = e α [C cosβ + C sin β] y = e [C cos5 + C sin 5] ). Правая часть уравнения имеет вид: f() = P ()cos + Q ()sin, где P () = - многочлен степени Q () = - многочлен степени Для правой части нашего уравнения y чн = M ()cos + N ()sin, здесь M () и N () многочлен -ой степени c неопределенными коэффициентами. ) Общее решение неоднородного уравнения yн есть сумма общего решения однородного уравнения y и частного решения неоднородного уравнения yчн yн=y+yчн

27 9 Имеем y н = e [C cos5 + C sin5] + (A + B + C )cos + +(A + B + C )sin V. y y = ; y() = ; y () = ) Найдем y для уравнения y y = Характеристическое уравнение k - k = k = ; k = Корни действительны и различны, следовательно, y = C e + C e = C + C e ) Найдем yчн, f() = P ()e α ; P () = многочлен, α =. Значит, y чн = (A + B + C) e = (A + B + C) Множитель Х появляется из-за того, что α = есть однократный корень характеристического уравнения. ) Найдем коэффициенты A, B, C y чн = A + B + C y чн = A + B + C y чн = 6A + B Подставим в уравнение 6A + B 6A B C = 6A = Отсюда: { 6A B = B C = A = 6 B = C = y н = C + C e 6 ) Чтобы решить задачу Коши, нужно найти С и С, воспользовавшись начальными условиями: y = C + C e { 6 y = C e y() = C + C = y () = C = C = 8 C = 8 Ответ: y = e 6 искомое решение.

28 VI. y + y = tg ) Рассмотрим однородное уравнение y + y = и найдем корни его характеристического уравнения k + = k, = ±i т.е. функции y = cos и y = sin будут частными решениями этого однородного уравнения. ) Запишем решение неоднородного уравнения в виде: y = C ()cos + C ()sin нахождения C () и C () { С y + C y = С y + C y = f() и составим систему уравнений для С { cos + C sin = С sin + C cos = tg Применим метод Крамера для решения системы: = cos sin sin cos = cos + sin = c = tg sin cos = tg sin = sin cos c = cos = cos tg = sin sin tg Тогда c = c = sin C cos = sin = ( cos) = cos cos = ln tg( + ) + sin + C c = c = sin c = sin = cos + C Ответ: y н = [sin ln tg ( + ) + C ] cos + [C cos ] sin = = C cos + C sin cos ln tg( + )

29 КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ I. Найти общее решение уравнения:. (y + y) = dy. ( y) + ( + y)dy =. y = + y y. y y = ( + y) ln +y 5. y + y = y y 6. ( + y) = dy 7. y = y e y 8. y y = tg y 9. ( + 6y ) + ( y + y )dy =. ( y ) + (y + y)dy =. +ydy +y + dy y =. ( + ey) + ey ( ) dy = y. (y ) + ydy =. ( + y y ) + (y + y )dy = 5. dy y = ydy

30 6. ( + y + y ) = dy 7. ( + 6y + y ) ( + y)dy = 8. y+y = dy y y 9. y = y + y. dy = y y. y + ( y )dy =. y = y ln y. y = y. y = y y 5. y y = + y

31 I. Найти общее решение уравнения:. y + y =. y + y =. y + y = e. ( + ) y y = ( + ) 5. y + y = e 6. y sin y = cos 7. y + y cos = sin cos 8. ( ) y + y = 9. y + y =. y + y = y ln. y + y = y. ( ) y y = a y. y y a y = +. y y tg = sec 5. y + y = e 6. y y + = 7. y y tg + y cos = 8. y + y + + y = 9. ( y) y = y (y ). y + ( + ) y = e. (e y ) y =. y = ( + y). (y ) ln = y. (y e + ) + (e + 5) dy = 5. y = y y

32 II. Найти общее решение уравнения:. а) y = e 5 ; б) y = y 5, y () = -, y () =. а) y y = + ln ; (+ln ) б) y y = (y ). а) y + (y ) y = ; б) y y = (y ) y. а) + y = ; б) y [ + (y ) ] = ay 5. а) y +e +e y = + e ; б) y y y = 6. а) ( + cos) y ( sin) y = ( + cos) ; б) y = e y 7. а) ( + e ) y + e y + ( + e ) = ; б) y = y y 8. а) y tg = y + ; б) y y + 6 =, y () =, y () = 9. а) y = (y ) ; б) y y = (y ). а) y (e + ) + y = ; б) y y = (y ). а) ( + ) y + y = ; б) y = y, y ( ) = y ( ) =

33 5. а) y = y ln y ; б) y y + (y ) =. а) ( + sin) y y cos = ; б) y y =. а) y y = ; б) y y = (y ) (y ) 5. а) y + y = + ; б) y = e y y () =, y () = 6. а) y + y + = ; б) y y = + (y ) 7. а) y y = (y ) ; б) (y ) = y y () =, y () = 8. а) y = y + sin y ; б) y y + (y ) + = 9. а) (y ) = y ; б) y = 8y y () =, y () =. а) y = + y ; б) y y = y ( ) =, y ( ) =. а) ( + ) y + (y ) + = ; б) y + y (y ) =. а) y = y ; б) y y = y

34 6. а) y + y = ; б) y = 8 y y () =, y () =. а) y = y ; б) y y = (y ) + 5. а) (y ) = (y ); б) y y = y 6 y () =, y () = IV. Найти вид общего решения уравнений (без нахождения неопределенных коэффициентов). а) y y = 5e ; б) y + y + 5y = sin. а) y y + y = e ; б) y + y + y = cos. а) y 9y + y = e ; б) 5y 6y + 5y = cos. а) y + 5y y = e ; б) y + y + y = (sin + cos) 5. а) y y y = 5 e ; б) y + y + 5y = ( + ) cos 6. а) y y y = e ; б) y + y + 9y = cos5 7. а) y + y y = e ; б) y y + y = ( + ) sin 8. а) y 9y + 8y = 8e 8 ; б) y + y = 8 cos

35 9. а) y 6y + 8y = e ; б) y + 9y = ( + ) sin. а) y + y y = e ; б) y + y = cos. а) y y 8y = e ; б) y + y + y = 5 sin 7. а) y y = ( + 5) e 6 ; б) y y + y = (cos + sin). а) y + y y = ( ) e ; б) y + 6y = ( + ) sin. а) y + y y = e ; б) y y + 8y = cos 5. а) y + y y = e ; б) y y + 6y = ( + )sin5 6. а) y 9y + 8y = 5e ; б) y + y + 5y = (cos + sin) 7. а) y + y 5y = e ; б) y + y + y = ( + )sin 8. а) y + y 8y = e 7 ; б) 5y 6y + 5y = sin 9. а) y + 8y + 5y = 7 e ; б) y y + y = ( )cos. а) y + y y = e ; б) y y + 5y = ( + )sin

36 8. а) y + 6y + 5y = e 5 ; б) y y + 9y = (sin5 cos5). а) y + y + 6y = ; б) y + y + y = sin ( )cos. а) y + y + y = e 7 ; б) y + y = sin. а) y + 9y + y = ; б) y + 9y = ( )sin 5. а) y + y + 8y = e ; б) y + y = 5cos V. Решить задачу Коши. y y = ( ); y() = ; y () =. y y = ( ); y() = ; y () =. y y = ( ); y() = ; y () =. y y = e ( + ); y() = ; y () = 5. y y = e ( + ); y() = ; y () = 6. y y = e ( + ); y() = ; y () = 7. y + 5y = e y() = ; y () = 8. y + 5y = e y() = ; y () = 7 9. y + 5y = e y() = 7 ; y () = 6 7. y + y = e y() = ; y () =. y + y = e y() = ; y () =. y + y = e y() = ; y () =. y y = y() = ; y () = 5. y y = y() = ; y () = 9 5. y y = y() = ; y () = y 6y = + y() = ; y () = 7

37 9 7. y 6y = + y() = ; 8 y () = 7 8. y 6y = + y() = ; 6 y () = 9 9. y y = y( ) = ; y ( ) =. y y = y( ) = ; y ( ) =. y y = y( ) = ; y ( ) = e. y y = e y() = ; y () =. y y = e y() = ; y () = 6. y y = e y() = ; y () = 6 5. y y = e y() = ; y () = e VI. Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных,) y + y = cos,) y + y = sin 5,6) y + y = ctg 7,8) y y + y = 9,) y y + y = e,) y + y = sin e +,) y + y + y = e 5,6) y y + y = e +e 7,8) y + y = tg 9,) y y + y = e ( + + ),) y + y = +e,) y + y + y = e 5,6) y + y = cos 8

38 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах ч. I и II М. Айрис-пресс 8.. Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.-Айрис-пресс 7.. Самохин А.В. и др. Сборник задач по высшей математике ч. IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. М. РИО МГТУ ГА 5. 8

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр МИНОБРНАУКИ РОССИИ Бугульминский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический

Подробнее

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление»

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет» МАТЕМАТИКА Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» заочной формы обучения семестр Екатеринбург,

Подробнее

Раздел 2. Интегрирование функции одной переменной Вариант Вариант Раздел 3. Диференциальные уравнения...

Раздел 2. Интегрирование функции одной переменной Вариант Вариант Раздел 3. Диференциальные уравнения... Оглавление Правила оформления и сдачи контрольных работ по курсу «Математика» Вопросы к экзамену по дисциплине "Математика" ( курс, семестр) Раздел Функции многих переменных 5 Вариант 5 Вариант 5 Вариант

Подробнее

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика».

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика». - уч. год Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математическому анализу семестр для студентов заочной формы обучения

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

МАТЕМАТИКА : ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

МАТЕМАТИКА : ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технологической политики и образования Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Донской

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

3 (3, 2, -7) A A (3, 4, -7) Задачи для контрольной работы 1 1(3, 4, 2) A 2 (1, 2, 1) A 3 (-2, -3, 4) A 4 (3, -6, -3) 1(1, 3, 1) A 2 (-1, 4, 6) A

3 (3, 2, -7) A A (3, 4, -7) Задачи для контрольной работы 1 1(3, 4, 2) A 2 (1, 2, 1) A 3 (-2, -3, 4) A 4 (3, -6, -3) 1(1, 3, 1) A 2 (-1, 4, 6) A Задачи для контрольной работы Задание. Дана система линейных уравнений a a a a a a a a a b b b Решить систему: а) методом Гаусса; по правилу Крамера; средствами матричного исчисления (зад. )... 5. 7. 9.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и задания по высшей математике для

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

удовлетворяет начальным условиям y x x, y(2) 1. постоянными коэффициентами y 5 y 6 y e. экстремум. tg(2 x) dx для функции sin(4 ) e dx.

удовлетворяет начальным условиям y x x, y(2) 1. постоянными коэффициентами y 5 y 6 y e. экстремум. tg(2 x) dx для функции sin(4 ) e dx. Найти указанный предел, не пользуясь правилом Лопиталя: lim 5 e d Вычислить cos Найти частное решение заданного дифференциального уравнения, которое / y удовлетворяет начальным условиям y, y() 4 Найти

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Требования к студентам Дисциплина «Основы математического анализа» ориентирована на уровень знаний, полученных

РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Требования к студентам Дисциплина «Основы математического анализа» ориентирована на уровень знаний, полученных РАЗДЕЛ. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.. Требования к студентам Дисциплина «Основы математического анализа» ориентирована на уровень знаний, полученных студентами при изучении школьного курса математики. Студент

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть)

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) Задания билета,, 4 5 Разделы, 4, 5, 6, 7, 0,,,, 8, 9,, 6, 7, 8, 0 4, 5, 9 Количество баллов 5 б 0 б 5 б Содержание Раздел Производная,

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики

Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Вопросы к экзамену по математике для студентов заочного отделения специальностей 86 «Финансы и кредит»

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по выполнению практических заданий для студентов I курса направления подготовки

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 70800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий

Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий Методические указания к решению индивидуального задания Индивидуальное задание соответствует теме «Неопределённый интеграл» теоретического

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,,6, БМТ, Лекция 7 Определенный интеграл

Подробнее

Линейные уравнения 1-го порядка

Линейные уравнения 1-го порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsuaz/kitablar/846pdf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, С.В.

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система.

Содержание. Балльно - рейтинговая система. Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 80700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа «Неопределенный

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС)

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС) Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Томский лесотехнический техникум» КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 5.0.0 «ЛЕСНОЕ

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Экзаменационный билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.. Вычисление двойного интеграла. 3. Найти общее решение уравнения y " 5y ' + y = 0. 4. Вычислить y d dy dz. 0 0 y Экзаменационный

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

МАТЕМАТИКА 3/1/4 РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МАТЕМАТИКА 3/1/4 РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ // Одобрено кафедрой «Высшая и прикладная математика» Утверждено деканом факультета «Управление процессами перевозок» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 1 и 2. по дисциплине «МАТЕМАТИКА» (двухсеместровый курс)

Кафедра «Высшая математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 1 и 2. по дисциплине «МАТЕМАТИКА» (двухсеместровый курс) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тихоокеанский государственный университет» Кафедра «Высшая математика»

Подробнее