0.5 setgray0 0.5 setgray1

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "0.5 setgray0 0.5 setgray1"

Транскрипт

1 05 setgray0 05 setgray

2 Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом квадратной числовой матрицы A называется числовая функция столбцов этой матрицы обозначаемая det : K } {{ K } K, deta = A = det A,A 2,,A = A,A 2,,A и обладающая следующими свойствами: ( полилинейность, т е α A + α A,A 2,,A = α A,A 2,,A + α A,A 2,,A ; (2 кососимметричность, т е при перестановке двух соседних столбцов определитель меняет знак на противоположный A,,A k,a k+,,a = A,,A k+,a k,,a ; (3 нормировка: определитель единичной матрицы I K равен единице det I =

3 2 Перестановки 3 Замечание Можно доказать, что при перестановке двух произвольных столбцов определитель меняет свой знак на противоположный Формулы Крамера для квадратных систем уравнений a x + a x2 + + a x = b, a 2 x + a 2 2 x2 + + a 2 x = b 2, ( a x + a 2 x2 + + a x = b, или в матричной форме где B = (b,b 2,,b T Пусть x A + x 2 A x A = B, (2 def = A,A 2,,A 0, def = B,A 2,,A = B,A 2,,A = x A + x 2 A x A,A 2,,A = = x A,A 2,,A +x 2 A }{{} 2,A 2,,A + + }{{} = =0 + x A,A 2, A = x x = }{{} =0 k def = A,,A k,b,a k+,,a x k = k (3 Теорема Если 0, то при условии существовании решения системы ( оно дается формулой (3 при k =, 2 Перестановки Пусть N = {,2,,} Определение 2 Перестановкой множества N называется взаимно однозначное отображение (инъективное и сюрьективное σ : N N Множество всех перестановок множества N обозначается как S Замечание Перестановку σ удобно записывать в виде следующей таблицы: ( 2, σ(i σ(j при i j σ( σ(2 σ( Справедливо следующее утверждение:

4 4 Лекция 4 Определители Теорема 2 Количество всех перестановок элементного множества N равно! Наблюдение Определена ассоциативная операция произведения перестановок: (τσ(i = τ(σ(i i N Наблюдение 2 Определена тождественная перестановка Наблюдение 3 Для каждой перестановки определена обратная перестановка Лемма S N группа Определение 3 Будем говорить, что два различных элемента i,j N = {,2,} образуют инверсию в перестановке σ S, если числа i j и σ(i σ(j имеют разные знаки Например, рассмотрим такую перестановку [ ] σ = Справедливы следующие выражения: 3 < 0 и σ( σ(3 = 2 > 0 Следовательно, числа и 3 образуют инверсию в указанной перестановке σ Замечание 2 Если перестановка σ задана упорядоченной по верхнему ряду таблицей [ ] 2 σ =, σ( σ(2 σ( то инверсия в перестановке σ обнаруживается в виде наличия в нижнем ряде чисел σ(i и σ(j таких, что большее число находится левее меньшего Например, в перестановке ( σ = имеется 6 инверсий А именно, следующие пары чисел нижнего ряда предыдущей таблицы: (3,, (3,2, (5,2, (5,, (5,4, (2, Определение 4 Перестановка σ S называется чётной (нечётной, если она содержит чётное (нечётное число инверсий Знаком перестановки σ называется число {, если σ чётная перестановка, sig(σ =, если σ нечётная перестановка

5 2 Перестановки 5 Л е м м а 2 Справедливо следующее равенство: ( sig(σ = sig {i,j} N, i j i j σ(i σ(j (2 Справедлива важная теорема: Теорема 3 Знак произведения двух перестановок σ S и τ S равен произведению знаков этих перестановок: Доказательство Шаг Пусть даны две перестановки [ ] [ 2 σ =, τ = σ( σ(2 σ( sig(στ = sig(σ sig(τ (22 2 τ( τ(2 τ( ] (23 Для каждой фиксированной перестановки, например, для σ, помимо записи в виде упорядоченной по верхнему ряду двухрядной таблицы (23, существуют способы записи не упорядоченные по верхнему ряду Например, такой вариант [ σ = τ( τ(2 τ( σ(τ( σ(τ(2 σ(τ( ], (24 поскольку τ S взаимно однозначное отображение С учётом (24 мы приходим к следующей формуле для знака sig(σ : ( τ(i τ(j sig(σ = sig (25 σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j Шаг 2 Следовательно, имеем sig(σ sig(τ = ( τ(i τ(j = sig σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j ( = sig {i,j} N, i j {i,j} N, i j τ(i τ(j σ(τ(i σ(τ(j = τ(i τ(j = ( i j sig sig ( i j τ(i τ(j воспользуемся очевидным равенством sig(xy = sig(x sig(y для произвольных чисел x,y R ( τ(i τ(j i j = sig = σ(τ(i σ(τ(j τ(i τ(j {i,j} N, i j ( i j = sig = sig(στ σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j

6 6 Лекция 4 Определители Теорема доказана Следствие Взаимно обратные перестановки имеют один и тот же знак Доказательство σ σ = ε = sig(ε = sig ( σ σ = sig (σ sig ( σ Следствие доказано 3 Существование и единственность определителя Общий вид полилинейной и кососимметричной функции F(A,A 2,,A столбцов квадратной матрицы A = A,A 2,,A размера Пусть Тогда e = A = 0 0 A = a a 2 a, e 2 = σ =,, A = 0 0 a a 2 ṇ a,, e = a σ e σ,, A = σ = 0 0 a σ e σ В силу полилинейности функции F(A,A 2,,A справедлива следующая цепочка равенств: F (A,A 2,,A = F a σ e σ, a σ 2 2 e σ 2,, a σ e σ = Поскольку = σ = σ 2 = σ = σ = σ 2 = σ = a σ aσ 2 2 aσ F (e σ,e σ2,,e σ (3 F ( e σ,,e σj,,e σj,e σ = 0, (32 F (e σ,e σ2,,e σ = sig(σf(e,e 2,,e, (33 то силу формул (3 (33 приходим к равенству F (A,A 2,,A = c sig(σa σ aσ 2 2 aσ, σ k = σ(k, (34 σ S

7 где 4 Свойства определителя 7 c := F(e,e 2,,e = F(I (35 Теорема 4 Справедлива следующая формула полного развертывания определителя: deta = A,A 2,,A def = sig(σa σ aσ 2 2 aσ, σ k = σ(k, (36 σ S где A = a a 2 a, A 2 = a 2 a 2 2 a 2,, A = a a 2 ṇ a Следствие Всякая кососимметрическая и полилинейная числовая функция F(A столбцов квадратной матрицы A имеет следующий вид: F(A = F(I deta, где I это единичная квадратная матрица 4 Свойства определителя Теорема 5 deta T = deta Доказательство Пусть ( A T = ã j k (a, A = j k, ãj k = ak j deta T = sig(σã σ ãσ 2 2 ãσ = sig(σa σ a 2 σ 2 a σ (4 σ S σ S Теперь нам нужно переставить множители a σ( a2 σ(2 a σ(, σ(k = σ k, таким образом, чтобы нижние индексы упорядочить по возрастанию Рассмотрим соответствующую перестановку: [ ] σ( σ(2 σ( τ = τ = σ 2 Но тогда [ τ = σ = Следовательно, ] [ 2 2 σ ( σ (2 σ = ( a σ a 2 σ 2 a σ = a σ a σ 2 σ σ 2 σ ] 2 a σ (42

8 8 Лекция 4 Определители Поскольку sig(σ = sig(σ, то deta T = sig(σ a σ a σ 2 2 a σ σ S = = sig(σ a σ a σ 2 2 a σ σ S = = sig(τa τ a τ aτ2 = deta (43 τ S Теорема доказана Следствие Определитель deta матрицы A = A,A 2,,A T является полилинейной и кососимметрической функцией своих строк 5 Определители специального вида Л е м м а 3 Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали Доказательство Рассмотрим, например, нижнетреугольную матрицу A = (a j k, которая определяется условием, что a j k = 0 при j < k, т е имеет следующий вид: a a 2 a a a 2 a 0 a a2 a a deta = sig σa σ aσ 2 2 aσ (5 σ S Заметим, что в этой сумме остается только одно слагаемое sig(,2,,a a 2 2 a = a a 2 2 a Действительно, в силу определения нижнетреугольной матрицы имеем a σ k k = 0 при σ k < k при k =, (52 Отсюда в сумму (5 ненулевой вклад могут дать только слагаемые, для которых σ k k при k =, (53

9 С другой стороны, имеем 5 Определители специального вида 9 σ + σ σ = (54 Из сравнения (53 с (54 приходим к выводу, что σ k = k σ =,σ 2 = 2,,σ = Лемма доказана Справедлива следующая важная теорема об определители блочной матрицы Теорема 6 Пусть квадратная матрица A K (m+ (m+ имеет блочную структуру A = B D O C, где B и C это квадратные блоки размеров m m и соответственно Тогда B D O C = B C (55 Доказательство Шаг Прежде всего заметим, что deta является полилинейной кососимметрической функцией первых m столбцов (m m это размер квадратной матрицы B при фиксированных оставшихся столбцах матрицы A Действительно, пусть Тогда имеем F(A,,A = A A 2 A m D O O O C F(A,,αA k + βa k,,a m = A αa k + βa k A m D O O O C = = A αa k + βa k A m D O αo + βo O C = = α A A k A m D O O O C + β A Ak A m D O O O C = = αf(a,,a k,,a m + βf(a,,a k,,a m Полилинейность доказана Докажем кососимметричность F(A,,A k,,a l,,a = = A A k A l A m D O O O O C = A A l A k A m D O O O O C = = F(A,,A l,,a k,,a

10 0 Лекция 4 Определители где Тогда согласно получим формулу deta = F(B, (56 F(B = F(I m B, F(I m = I m O D C (57 Шаг 2 В силу следствия из теоремы 5 числовая функция F(I m (как определитель соответствующей матрицы является полилинейной и кососимметрической функцией своих последних строк ( это размер матрицы C при фиксированной матрице D Поэтому где F(I m = G(C = G(I C, (58 G(I = I m D (59 O I Теперь заметим, что (59 это определитель верхнетреугольной матрицы, у которой на главной диагонали расположены единицы, т е Собирая формулы (56 (50, получим формулу Теорема доказана G(I = (50 deta = B C 6 Разложение определителя по столбцам и строкам Пусть A = A,,A, A k R Введём естественный базис арифметического пространства вектор столбцов R e =, e 2 =,, e 0 = 0 0 Запишем k й столбец в следующем виде разложения по арифметическому базису: A k = a j k e j (6 j= Тогда имеет место следующая цепочка равенств: deta = A,,A k,,a = A,, a j k e j,,a = j=

11 6 Разложение определителя по столбцам и строкам = a j k A,,e j,,a = j= a j k Aj k (62 Определение 5 Определитель A j k при j,k, называется алгебраическим дополнением элемента a j k k го столбца и j ой строки Лемма 4 Имеет место следующее равенство: deta = a j k Aj k (63 k= Доказательство Это равенство следствие равенства deta T = deta Лемма доказана Формулы для вычисления алгебраических дополнений Сначала вычислим алгебраическое дополнение A элемента a матрицы A Итак, справедливы следующие равенства: a 2 a A 0 a 2 2 a 2 a 2 2 a 2 = e,a 2,,A = =, 0 a2 a a2 a где мы воспользовались формулой (55 для вычисления определителя блочной матрицы Теперь вычислим алгебраическое дополнение A j k элемента aj k матрицы A Действительно, a a k 0 a k+ a A j k = A a j a j k 0 a j k+ a j,,a k,e j,a k+,,a = a j a j k a j k+ a j a j+ a j+ k 0 a j+ k+ a j+ a a k 0 a k+ a Теперь многократно переставляя k й столбец мы получим следующий определитель A j k = A,,A k,e j,a k+,,a = j= = ( k e j,a,,a k,a k+,,a =

12 2 Лекция 4 Определители 0 a a k a k+ a 0 a j = ( k a j k a j k+ a j a j a j k a j k+ a j 0 a j+ a j+ k a j+ k+ a j+ 0 a a k a k+ a Теперь многократно мы должны переставить j ую строчку В результате получим равенство a j a j k a j k+ a j 0 a a k a k+ a A j k = ( k ( j 0 a j a j k a j k+ a j 0 a j+ a j+ k a j+ k+ a j+ 0 a a k a k+ a Теперь мы можем воспользоваться формулой (55 для вычисления блочной матрицы и получить следующую формулу: A j k = ( k+j M j k, (64 где символом M j k мы обозначили дополнительный минор к элементу a j k Черта сверху означает, что мы из определителя deta вычеркнули j ю строчку и k й столбец: a a k a k+ a M j a j a j k k = aj k+ aj a j+ a j+ k aj+ k+ aj+ a a k a k+ Минор M j k это определитель ( го порядка Теорема 7 Справедливы следующие формулы: deta = ( k+j M j ka j k = ( k+j M j ka j k (65 j= k= a

13 7 Важные теоремы об определителях 3 Фальшивое разложение определителя Рассмотрим определитель A,,A k,b p,a k+,,a, (66 у которого вместо столбца A k находится столбец B p, который зададим его разложением по арифметическому базису {e,e 2,,e } следующим образом: B p = b j pe j (67 j= После подстановки (67 в (66 получим равенство A,,A k,b p,a k+,,a = = b j p A,,A k,e j,a k+,,a = j= b j pa j k, (68 где A j k это алгебраическое дополнение элемента aj k матрицы A Теперь возьмём в качестве B p = A p Тогда если p k мы получим равенство 0 = A,,A k,a p,a k+,,a = a j pa j k, поскольку в определителе два столбца равны в этом случае Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема 8 Справедливы следующие формулы: { a j pa j deta, если p = k; k = 0, если p k j= k= j= a q k Aj k = { det A, если q = j; 0, если q j j= 7 Важные теоремы об определителях (69 (60 Теорема 9 Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда её столбцы (строки линейно зависимы Доказательство Пусть A = (a j k это квадратная матрица порядка : a a a a 2 a 2 2 a 2 A A =, A = A A 2,A 2,,A, A = a a 2 a A

14 4 Лекция 4 Определители Шаг Достаточность Пусть столбцы A,,A матрицы A линейно зависимы Например, deta = A,A 2,,A = A = c 2 A c A c 2 A c A,A 2,,A = = c 2 A 2,A 2,,A + + c A,A 2,,A = 0 Шаг 2 Необходимость Пусть det A = 0 Проведём доказательство утверждения по индукции Для случая = 2 утверждение проверяется непосредственно Предположим, что утверждение имеет место для квадратных матриц порядка Докажем утверждение для случая квадратных матриц порядка Без ограничения общности можно считать, что a 0 Вычтем из всех остальных строчек первую умноженную соответственно на числа a2,, a a a, тогда получим A a A a 2 a A 2 A 2 a2 A a 0 a 2 2 a2 a a 2 a 2 a2 a a 0 = det = = A A a A a 0 a2 a a a 2 a a a a (7 Разлагая этот определитель по первому столбцу, с учётом неравенства a 0 получим равенство a 2 2 a2 a a 2 a 2 a2 a a 0 = a2 a a a a a a a Это определитель матрицы порядка, поэтому по предположению индукции строки этого определителя зависимы, но тогда, очевидно, линейно зависимы и строки, начиная со второй, в определителе (7 ( B 2 = 0,a 2 2 a2 a 2,,a2 a2 = A 2 a2 A, a a a ( B = 0,a 2 a a a 2,,a a a a = A a A a a

15 7 Важные теоремы об определителях 5 Таким образом, найдётся такой нетривиальный набор коэффициентов α 2,,α, что α 2 B α B = 0 ( a 2 a α α a a A + α 2 A α A = O Теорема доказана Следствие Однородная система уравнений AX = O относительно переменных имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда det A = 0 deta = 0 X 0 = (x 0,,x 0 T O, A x A x 0 = O Теорема 0 Если A и B матрицы из K, то Доказательство Пусть C := AB, где det(ab = deta detb A = A,,A, C = C,,C, C k = A B k = detc = C,,C = j = = A j b j,, j = j = j = A j b j = A j b j k j= b j bj det A j,,a j (72 Очевидно, что ненулевой вклад дают лишь те слагаемые, в которых числа {j,,j } различны, т е образуют перестановку из чисел,, : [ ] [ 2 σ =, σ j j 2 j j j = 2 j 2 Проведем перестановку столбцов в выражении det A j,,a j det A,,A : det A j,,a j = sig(σ deta detc = det A sig(σb σ bσ = det A detb σ S Теорема доказана ]

16 6 Лекция 4 Определители 8 Обратная матрица Определение Квадратная матрица A называется невырожденной или не особой, если deta 0 Теорема Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A 0 Доказательство Шаг Необходимость Пусть квадратная матрица A обратима и A это обратная A A = I A A = A A = A 0 Шаг 2 Достаточность Пусть deta 0 a a 2 a A T a 2 a 2 2 a 2 = a a 2 a Сопоставим матрице A T матрицу A, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы A T : A A 2 A A A 2 A 2 2 A 2 = A A 2 A Справедлива следующая цепочка равенств: {A A } j k = {A} j p {A } p k = a j pa k p = det A δ kj A = A deta p= Теорема доказана p=

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определитель второго порядка Рассмотрим следующую систему двух уравнений относительно неизвестных x и y: { a x+b y = c, ( a 2 x+b 2 y = c 2 Методом исключения переменных построим

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ 0 План лекции ЛЕКЦИЯ МАТРИЦЫ Матрицы и способы их задания Определение матрицы; 2 Запись через столбцы A k и строки A j ; 3 Специальные матрицы 3 Нулевая; 32 Квадратная; 33 Диагональная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 5 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A K m следующего общего вида: a a a A a 2 a 2 2 a 2 A = = A A 2,A 2,,A =, a m a2 m a m A m где a a a 2 A =,,A a 2

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы Лекция 1 МАТРИЦЫ 1 Матрицы На этой лекции мы введём основное для всего курса аналитической геометрии понятие матрицы Необходимость введения понятия матрицы обусловлена, например, компактностью записи линейных

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ СН ЗЕМЛЯНСКИЙ Перестановки Матрицы и определители Системы линейных уравнений Учебное пособие Бишкек Предисловие Учебное пособие предназначено

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Решения задач первой олимпиады

Решения задач первой олимпиады Решения задач первой олимпиады Задача 2006 1 Элементов какого порядка в группе S n больше: четного или нечетного? (Предложил А. Э. Гутерман.) Решение. При n = 2, 3 легко убедиться, что подстановок четного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы.

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости Лекция 7 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Преобразование базисов и координат на плоскости Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом:

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Детерминант (определитель) матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2 Говорят также, что на пространстве X задана функция со значениями в Y. ϕ : X Y

2 Говорят также, что на пространстве X задана функция со значениями в Y. ϕ : X Y ГЛАВА 9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ 1 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ОПЕРАТОРАМИ Пусть X, Y линейные пространства. Будем говорить, что задано отображение ϕ пространства X в пространство Y ϕ : X

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах.

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах. ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А Б СОБОЛЕВ, А Ф РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ В двух книгах Книга 1 Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования

Подробнее

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии

Высшая математика Элементы алгебры и геометрии О.В. Баранова Высшая математика Элементы алгебры и геометрии Часть 1 Ижевск 2014 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Математический факультет О.В. Баранова

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее