Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян, В.С. Пилиди Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ Ростов-на-Дону 013

2 Печатается по решению учебно-методической комиссии факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от 17 июня 013 г. (протокол 10). Рецензент: доктор физ.-мат наук, профессор А.Э. Пасенчук. Аннотация Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка. Приводятся основные определения и теоретические утверждения. Рассмотрены методы решения задач по данной теме, приведены многочисленные примеры. Авторы: к. ф.-м. н. А.В. Абрамян, д. ф.-м. н., проф. В.С. Пилиди

3 3 1. Предварительные сведения В дальнейшем, если не оговорено противное, слово «число» будет означать комплексное число. Множество всех вещественных (комплексных) чисел, как обычно, будем обозначать через ( ). Для числа z запись z a bi всегда будет означать, что числа a и b являются вещественными. Мы будем рассматривать функции вещественной переменной, принимающие комплексные значения. Для таких функций понятия предела, непрерывности и дифференцируемости вводятся совершенно аналогично используемым в курсе математического анализа. Приведем для примера определение предела последовательности комплексных чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что последовательность { a } 1 комплексных чисел сходится к комплексному числу a, если для любого 0 найдется такое натуральное N( N( )), что для всех N выполняется неравенство a a. Числа последовательности комплексных чисел запишем в виде a u iv. Тогда сходимость комплексной последовательности { a } 1 равносильна сходимости двух последовательностей вещественных чисел u 1 и { v } 1 { } комплексного числа u vi. Это легко следует из такой оценки: для произвольного ma{ u, v } uvi ma{ u, v }. Для этого случая справедливы основные свойства пределов (кроме свойств, связанных с неравенствами, поскольку для комплексных чисел отношения «больше» и «меньше» не вводятся).

4 4 По аналогии вводятся понятия предела функции и производной функции. Отметим, что если функция f определена в окрестности U точки 0 и имеет вид f ( ) u( ) iv( ), U, где функции u и v принимают вещественные значения, то существование производной функции f в точке 0 равносильно существованию производных функций u и v в этой точке, и тогда f ( ) u( ) iv( ) Для производных комплекснозначных функций остаются в силе основные свойства производных из курса математического анализа (производная суммы и произведения функций, производная многочлена с комплексными коэффициентами). Приведем также определение экспоненциальной функции с комплексным показателем. Если z a bi, то полагают e e (cosb isi b). Из этого определения следует, что e e и, следовательно, экспоненциальная функция комплексного аргумента нигде не обращается в ноль. z z z z Покажем, что введенная функция сохраняет основное свойство показа- 1 1 тельной функции: e e e для любых z 1, z. Предположим, что z1 a bi, z c di. Тогда abi z z abi cdi a c 1 e e e e e (cosbisi b) e (cosd isi d) ac ( ac) i( bd) e bd i bd e e e 1 (cos( ) si( )). Для произвольного имеет место равенство ( e ) e,. Действительно, пусть a bi. Тогда a ( a e ) ( e (cosbisi b)) ae (cosb isi b) e ( bsib ibcos b) a e (( a bi)cos b i( a bi)si b)) ( ) a abi e (cosbisi b) e. a a z z a z

5 5 ЗАМЕЧАНИЕ. Экспоненциальную функцию комплексного аргумента можно ввести также формулой: e z 0 z, z.! Здесь в правой части находится ряд с комплексными членами, который сходится для всех значений z. Можно доказать, что такое определение равносильно предыдущему. Напомним некоторые определения и утверждения теории многочленов. Говорят, что ненулевой многочлен f ( ) делит многочлен g ( ) если существует такой многочлен h, ( ) что g ( ) f( h ) ( ) для всех. Сокращенно наличие такого соотношения обозначается так: f ( ) g( ). Кратностью корня многочлена f называется такое натуральное число k, что k ( ) f ( ), ( ) f( ). Эти условия равносильны выполнению соотношений k 1 ( k1) ( k) f( ) 0, f( ) 0,, f ( ) 0, f ( ) 0. В частности, для простого корня ( k 1) имею место соотношения f ( ) 0, f ( ) 0. Многочлен степени 1 с комплексными коэффициентами имеет точно комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Отсюда, в частности, следует, что многочлен p( ) тождественно равный нулю на некотором промежутке 1, является нулевым. Действительно, множество точек любого промежутка является бесконечным, а ненулевой многочлен может обращаться в ноль только в конечном множестве точек. 1 Говоря «промежуток», мы, разумеется, исключаем из рассмотрения отрезок, начало которого совпадает с его концом.

6 6 Нам потребуется следующее утверждение. Если многочлен с вещественными коэффициентами имеет невещественный корень имеет корень i той же кратности. Говорят, что многочлен f, записанный в виде f ( ) a a a a, i, то он имеет формальную степень. Здесь не делается никаких предположений о значении коэффициента a 0. Отметим, что эта характеристика определяется не самим многочленом, а способом его записи. Например, многочлены, 3 0, 0 0 имеют формальные степени 1, и 3 соответственно. Напомним также следующие факты из курса алгебры. Квадратная однородная система линейных алгебраических уравнений a111 a1 a1 0, a11 a a0, a11 a a0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы равен нулю. Квадратная система линейных алгебраических уравнений a111 a1 a1 b`1, a11 a ab, a11 a ab является определенной (то есть имеет единственное решение) в том и только том случае, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля. Это утверждение называется теоремой Крамера. Определитель

7 где 1,,, произвольные числа, называется определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда отличен от нуля тогда и только тогда, когда, все числа 1,,, попарно различны.,

8 8. Основные определения Линейным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение следующего вида: ( ) ( 1) a ( ) y ( ) a ( ) y ( ) a ( ) y( ) a ( ) y( ) f( ). Будем предполагать, что все функции a i и правая часть f определены и непрерывны на некотором промежутке I, который считается фиксированным. Кроме того, всегда предполагается, что функция a 0 не обращается в ноль на промежутке I, так что, деля обе части уравнения на a 0, можно было бы ограничиться случаем a 0 ( ) 1. Сделаем некоторые уточнения. Обозначим через F множество всех функций, определенных на промежутке I и имеющих на этом промежутке непрерывные производные вплоть до порядка включительно 1. Множество F является линейным пространством относительно операций сложения функций и умножения функции на число. Решение рассматриваемого уравнения будем искать в пространстве F. На множестве F определим дифференциальный оператор L, действующий по формуле ( ) ( 1) ( Ly)( ) a( y ) ( ) a( y ) ( ) a ( y ) ( ) a( y ) ( ), I. Оператор L действует из пространства F в пространство функций, определенных и непрерывных на промежутке I. ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда оператор рассматриваемого вида записывают следующим образом: 1 d d d L a a a a d d d 1 Промежуток I считается фиксированным, поэтому зависимость F от I мы не отмечаем.

9 9 Оператор L является линейным: легко проверить, что для любых функций u, v F и любых чисел, имеет место равенство L( u v) Lu Lv. Рассматриваемое дифференциальное уравнение будем записывать в виде Ly f. Если функция f является тождественно нулевой, это уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Приведем теперь некоторые простые утверждения о решениях рассматриваемого дифференциального уравнения. Говоря о решениях неоднородного уравнения, мы имеем в виду решения уравнения с фиксированной правой частью. 1. Линейная комбинация решений однородного уравнения также является решением этого уравнения. Предположим, что y,, L( yz) LyLz 0. z F, Ly 0, Lz 0. Тогда для произвольных ЗАМЕЧАНИЕ. Это утверждение может быть переформулировано следующим образом: множество решений однородного линейного уравнения является подпространством линейного пространства F.. Разность двух решений неоднородного уравнения является решением однородного уравнения. Действительно, из соотношений Ly L( y z) Ly Lz f f 0. f, Lz f получаем: 3. Сумма решений неоднородного и однородного уравнений является решением неоднородного уравнения. Предположим, что Ly f, Lz 0. Тогда L( y z) LyLz f. 4. Пусть y 0 фиксированное решение неоднородного уравнения. Если z пробегает множество всех решений однородного уравнения, то

10 10 функции y0 z пробегают множество всех решений неоднородного уравнения. В силу свойства 3, сумма y0 z является решением неоднородного уравнения. При этом могут быть получены все решения неоднородного уравнения. Действительно, выберем его произвольное решение y. В силу свойства, функция z y y0 является решением однородного уравнения. Остается заметить, что y y0 z. Напомним, что общим решением дифференциального уравнения называется совокупность всех его решений. В этом контексте каждое отдельное решение принято назвать частным. Тогда свойство 4 иногда формулируется так: общее решение неоднородного дифференциального уравнения является суммой его частного решения и общего решения однородного уравнения. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Ly f. Требуется найти функцию y F, удовлетворяющую уравнению Ly f и дополнительным ( 1) условиям: y ( 0) 0, y( 0) 1,, y ( 0) 1. Здесь 0, 1 комплексные числа. I, 0, 1, Известно, что эта задача Коши имеет единственное решение. На этот важный факт, который мы приводим без доказательства, в дальнейшем будем неоднократно ссылаться, называя его теоремой единственности решения задачи Коши.

11 11 3. Однородное дифференциальное уравнение В случае конечномерных линейных пространств вводится понятие базиса. Это такая система векторов, что любой элемент линейного пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации. Оказывается, что аналогичный факт имеет место для множества решений однородного уравнения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функции y 1, y,, y, определенные на промежутке I, линейно зависимы на этом промежутке, если существуют такие числа c 1, c,, c, не все равные нулю, что cy( ) c y( ) c y ( ) для всех I. Если это соотношение тождественно выполняется только в случае c1c c 0, эти функции называются линейно независимыми на промежутке I. ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенное определение это обычные определения линейной зависимости и независимости, примененные к линейному пространству всех функций, определенных на промежутке I. ПРИМЕР. Функции y 0 ( ) 1, y 1 ( ), y ( ),, ( ) y линейно независимы на любом промежутке I. Действительно, предположим, что c y ( ) c y ( ) c y ( ) c y ( ) 0, I Это означает, что многочлен f( ) c0 c 1 c c тождественно обращается в ноль на промежутке I и, следовательно, является нулевым. Отсюда вытекает, что ci 0, i 0, 1,,. ПРИМЕР. Пусть a, b, a b. Тогда функции y ( ) e и z ( ) e линейно независимы на любом промежутке I. Действительно, предполо- a b

12 1 жим, что для некоторых констант A, B имеет место равенство Ae на a b Be 0 для всех I. Умножая обе части этого соотношения b e, получаем, соотношение тождества по, находим, что ( a b) Ae 1 0. Дифференцируя обе части ( ) Aa ( be ) ab 0. Учитывая, что a b 0, а экспоненциальная функция нигде не обращается в ноль, отсюда выводим, что A 0. Следовательно, Be 0, и тогда B 0. b В дальнейшем утверждение из последнего примера будет существенно обобщено. Предположим, что y 1, y,, y F 1. Определитель y1( ) y( ) y( ) y1( ) y ( ) y( ) ( ), I, ( 1) ( 1) ( 1) 1 y ( ) y ( ) y ( ) называется определителем Вронского. 1 ЗАМЕЧАНИЕ 1. Разумеется, функция ( ) зависит от выбранных функций y i, то есть более точной была бы запись вида ( y1, y,, y; ), однако мы, как правило, будем использовать приведенное выше сокращенное обозначение, считая, что функции y i известны из контекста. ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что функция ( ) является непрерывной на промежутке I. ЛЕММА 1. Если функции y 1, y,, y F 1 линейно зависимы на промежутке I, то ( ) 0 на I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что константы C 1, C,, C не все равны нулю, и выполняется равенство Cy 1 1( ) Cy ( ) Cy( ) 0, I. (1) 1 Польский математик Ю. Гёне-Вронский ( ).

13 13 Последовательно дифференцируя обе части этого соотношения 1 раз, получаем, что для любого I Cy 1 1 ( ) Cy ( ) Cy ( ) 0, Cy 1 1( ) Cy ( ) Cy ( ) 0,... ( 1) ( 1) 1 1 Cy ( ) C y ( ) Cy ( 1) ( ) 0. Приведенные тождественных соотношений (1) и () означают, что при любом I однородная система линейных уравнений с основной матрицей y1( ) y( ) y( ) y1( ) y( ) y( ) ( 1) ( 1) ( 1) y1 ( ) y ( ) y ( ) имеет нетривиальное решение C 1, C,, C. Следовательно, определитель такой системы равен нулю, то есть ( ) 0, I. Лемма доказана. ЛЕММА. Пусть y 1, y,, y () F решения однородного уравнения Ly 0. Если ( 0) 0 для некоторой точки 0 I, то функции y 1, y,, y линейно зависимы на промежутке I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Cy 1 1( 0) Cy( 0) Cy( 0) 0, Cy 1 1( 0) Cy( 0) Cy ( 0) 0, Cy 1 1( 0) Cy ( 0) Cy ( 0) 0, ( 1) ( 1) ( 1) Cy 1 1 ( 0) C y( 0) Cy ( 0) 0 (3)

14 14 с неизвестными C 1, C,, C. Определитель основной матрицы этой системы по условию равен нулю. Следовательно, система имеет нетривиальное решение C1 1, C,, C. Рассмотрим функцию y ( ) y( ) y( ) y( ), I. 1 1 Эта функция является линейной комбинацией решений однородного уравнения и, следовательно, будет решением этого уравнения. Из первого уравнения системы (3) следует, что y ( ) y ( ) y ( ) y( ) Аналогично из остальных уравнений этой системы получаем равенства ( 0) 0, y 0 y ( ) 0,, ( y 1) ( 0) 0. Остается заметить, что тривиальное решение y 0 ( ) 0, I, удовлетворяет таким же условиям: y 0 ( 0 ) 0, y0 ( 0) 0,, y ( 1) 0 ( 0) 0. В силу теоремы единственности решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения, функции y и y 0 совпадают на промежутке I, то есть y 0 на промежутке I, Лемма доказана. y ( ) y ( ) y ( ) 0, I. 1 1 ТЕОРЕМА 1. Пусть y 1, y,, y F решения однородного уравнения Ly 0, ( ) определитель Вронского. Тогда выполняется одно и только одно из условий: 1) функция ( ) нигде не обращается в ноль на промежутке I, и решения y 1, y,, y линейно независимы на промежутке I ; ) ( ) 0, I, и решения y 1, y,, y линейно зависимы на промежутке I. Это утверждение является непосредственным следствием лемм 1 и.

15 15 ПРИМЕР. Пусть 1,,, попарно различные комплексные 1 числа. Покажем, что функции 1 ( ) y e, ( ) y e,, y ( ) e линейно независимы на промежутке I. ( k) k 1 Для произвольной точки I из соотношений y1 ( ) 1 e, k 0, 1,, 1 и аналогичных соотношений для остальных функций рассматриваемого семейства, получаем: e e e 1 ( ) Здесь из первого столбца определителя вынесен множитель e, из второго e, и так далее. Остается заметить, что экспоненциальная функция нигде не обращается в ноль, а определитель в правой части это определитель Вандермонда, который не обращается в ноль поскольку числа 1,,, попарно различны. Из леммы 1 получаем, что рассматриваемые функции линейно независимы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решений однородного уравнения Ly 0 порядка называется линейно независимая система его решений, содержащая элементов. ТЕОРЕМА. Для однородного уравнения Ly 0 существует фундаментальная система его решений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольную точку 0 I. Для произвольных чисел 0, 1,, 1 обозначим через y( 0, 1,, 1; ) решение задачи Коши ( 1) , 0), 0 1 Ly 0, y( ), y ( ) y (, y ( ) на промежутке I.

16 16 Тогда Рассмотрим следующие функции на промежутке I : y ( ) y (1,0,0,,0; ), 1 y ( ) y (0,1,0,,0; ),... y ( ) y(0,0,0,,1; ) ( 0) По теореме 1 функции y 1, y,, y линейно независимы на промежутке I. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Разумеется, в качестве данных для задачи Коши можно было брать любые числовые значения, так, чтобы соответствующий определитель не обращался в ноль в точке 0. ТЕОРЕМА 3. Пусть y 1, y,, y фундаментальная система решений однородного уравнения Ly 0 степени. Тогда любое решение y ( ) этого уравнения может быть представлено в виде где C 1, C,, y ( ) Cy( ) Cy( ) Cy( ),, 1 1 C некоторые постоянные. I ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольную точку 0 систему линейных уравнений Cy 1 1( 0) Cy( 0) Cy ( 0) y ( 0), Cy 1 1( 0) Cy( 0) Cy ( 0) y( 0), Cy 1 1( 0) Cy( 0) Cy ( 0) y( 0),... ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Cy 1 1 ( 0) C y( 0) C y ( 0) y ( 0) I и рассмотрим

17 17 с неизвестными C 1, C,, C. Это квадратная система линейных уравнений. Определитель основной матрицы этой системы равен ( y1, y,, y; 0). Он отличен от нуля, в силу линейной независимости функций y 1 ( ), y ( ),, y ( ). По теореме Крамера эта система линейных уравнений имеет единственное решение Рассмотрим функцию Тогда,,,. C1 1 C C z ( ) y( ) y( ) y( ),. (4) 1 1 I z ( ) y( ) y( ) y( ) y ( ) Продифференцировав обе части соотношения (4), аналогично получаем, что z( 0) y( 0), затем так же находим, что z( ) y( ),, 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 z ( ) y ( ). В силу единственности решения задачи Коши, функции y ( ) и z ( ) совпадают на промежутке I, то есть Теорема доказана. y ( ) y( ) y( ) y( ),. 1 1 I

18 18 4. Однородное уравнение с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение ( ) ( 1) ay ay a y ay с постоянными коэффициентами. Предполагаем, что a0 0. Для этого уравнения мы оставляем сокращенную запись Ly 0. Многочлен f ( ) a a a a 1 называется характеристическим многочленом этого уравнения, а уравнение a0 a1 a 1a 0 его характеристическим уравнением. ТЕОРЕМА 4. Пусть. Функция y ( ) e, I является решением уравнения Ly 0 тогда и только тогда, когда число является корнем его характеристического многочлена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для рассматриваемой функции y, ( ) учитывая соотношение ( k) k ( y ( )) y ( ), имеем: ( Ly)( ) ( a a a a ) y( ) f( ) e. Отсюда следует, что условия Ly 0 и f ( ) 0 являются равносильными. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что характеристический многочлен дифференциального уравнения Ly 0 не имеет кратных корней и его корнями являются числа 1,,,. Тогда функции 1 e, e,, e ( ) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

19 19 Действительно, эти функции являются решениями рассматриваемого уравнения и, как было доказано выше, они образуют линейно независимую систему. В случае дифференциального уравнения с вещественными коэффициентами можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из функций, принимающих только вещественные значения. Рассмотрим такое уравнение Ly 0, как и выше предполагая, что его характеристический многочлен не имеет кратных корней. В этом случае простому невещественному корню i характеристического многочлена соответствует простой корень i. Этим корням соответствуют решения ( i ) e e cos( ) ie si( ), ( i) e e cos( ) ie si( ). Отсюда следует, что 1 ( i) ( i) e cos( ) ( e e ), 1 ( i) ( i) e si( ) ( e e ). i Из формулы (6) следует, что функции e cos( ) и e si( ), будучи линейными комбинациями решений однородного дифференциального уравнения, сами являются решениями этого уравнения. Отсюда и из формулы (5) вытекает, что если в фундаментальной системе решений, которая (5) (6) строится по следствию теоремы 4, заменить функции ( ) e i и ( ) e i функциями e cos и e si, то полученная система функций тоже будет фундаментальной системой решений. Перейдем к примерам. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y yy 0.

20 0 Характеристический многочлен имеет вид будут 1 1 и. Поэтому функции e и. Его корнями e образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения имеет вид 1 Ce C e, где C 1 и C произвольные постоянные. Рассмотрим задачу Коши для этого уравнения. Будем искать решение, удовлетворяющее условиям y(0) 3, y(0) 0. Отсюда и из соотношений y ( ) Ce Ce, 1 Следовательно C1, C 1. y( ) Ce C e получаем уравнения 1 C C 3, C C ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y y5y 0. Характеристический многочлен имеет вид 5. Его корнями будут 1 1 i и 1 i. Поэтому функции (1 i) e и (1 i) e образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения имеет вид (1) i (1) i 1 Ce Ce, где C 1 и C произвольные постоянные. В силу сказанного выше, фундаментальную систему решений будут образовывать функции e cos и e si. Тогда общее решение может быть записано в виде y ( ) e( C1cos() Csi( ) ), где C 1 и C произвольные постоянные. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение 3 d y d y dy y 0 3 d d d. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что 1 является корнем характеристического многочлена Деля этот многочлен на 1, получаем: ( 1)( 4 13).

21 1 Решая квадратное уравнение , находим еще два корня многочлена: 3i и 3i. По корням 1 и 3i строим фундаментальную систему решений e, e cos3, 1e C 3 C e cos(3 ) C e si(3 ), где C 1, C и C 3 произвольные постоянные. e si3. Общее решение имеет вид Перейдем к рассмотрению случая кратных корней характеристического многочлена. Дифференциальные уравнения, характеристическими многочленами которых являются многочлены f ( ), f ( ), f (3) ( ) и т.д., будем обозначать соответственно через Ly 1 0, Ly 0, Ly 3 0 и т.д. В частности, ( 1) ( ) L y a y ( 1) a y a y. ЛЕММА 3. Предположим, что функция u ( ) определена на промежутке I и имеет на нем производные до порядка включительно. Рассмотрим функцию v ( ) u ( ), I. Тогда имеют место равенства ( k) ( k) ( k1) v ( ) u ( ) ku ( ), I, k 1,,,. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по числу k. При k 1 v( ) ( u( )) u( ) u( ), то есть формула верна. Предположим, что формула верна для некоторого k, 1k 1. Тогда ( k1) ( k) ( k) ( k1) v ( ) ( v ( )) ( u ( ) ku ( )) ( k1) ( k) ( k1) ( k1) ( k) u ( ) u ( ) k( u ( )) u ( ) ( k 1) u ( ). Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение леммы является непосредственным следствием формулы Лейбница:

22 ( ) k ( k) ( k) k0 ( f ( g ) ( )) C f ( g ) ( ). ЛЕММА 4. Предположим, что функция u ( ) определена на промежутке I и имеет на нем производные до порядка включительно. Определим функцию v ( ) u ( ), I. Тогда имеет место равенство ( Lv)( ) ( Lu)( ) ( Lu)( ), I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Учитывая лемму 3, для I, получаем: ( ) ( ) ( 1) v ( ) u ( ) u ( ), ( 1) ( 1) ( ) v ( ) u ( ) ( 1) u ( ), v( ) u( ) u( ), v( ) u( ) u( ), Кроме того, v ( ) u ( ). Умножая выписанные соотношения соответственно на a 0, a 1,, a и складывая возникающие равенства, получим доказываемое соотношение. Лемма доказана. ЛЕММА 5. Пусть u ( ) решение уравнения Ly 0 на промежутке I. Функция v ( ) u ( ), I является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда u ( ) является решением уравнения Ly 1 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из леммы 4 получаем: ( Lv)( ) ( Lu)( ) ( Lu)( ), I. Учтем, что Lu 0. Тогда Lv Lu 1. Отсюда вытекает утверждение леммы. ТЕОРЕМА 5. Пусть корень кратности k характеристического многочлена f дифференциального уравнения Ly 0. Тогда функции e, e,, k 1 e 1 1,, являются решениями этого уравнения. e,

23 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условий f ( ) 0, f ( ) 0,, f ( 1) ( ) 0 следует, что функция e В силу леммы 3, функция k является решением каждого из уравнений Ly 0, L y 0,, L y 0, L y 0. 1 k k1 e является решением каждого из уравнений Ly 0, L y 0,, L y 0, L y 0. 1 k3 k Снова учитывая лемму 3, находим, что функция ( e ) e является решением каждого из уравнений Ly 0, L y 0,, L y 0. 1 k3 Продолжая этот процесс дальше, получаем аналогичные утверждения для функций 3 e,, причем на каждом шаге количество уравнений, которым удовлетворяет данная функция, уменьшается на единицу. На предпоследнем шаге получаем, что функция k e Ly 0, L y 0. 1 удовлетворяет уравнениям Снова используя лемму 3, получаем, что функция k k1 ( e ) e является решением уравнения Ly 0. Теорема доказана. Перейдем к построению фундаментальной системы решений в рассматриваемом случае. Рассмотрим функцию ( ) pe ( ), где p многочлен, 0. ЛЕММА 6. Функция ( ) ( ) ( 1,, ) имеет вид ( ) ( ) qe ( ), где q некоторый многочлен 1. Если q 0, то p 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства леммы достаточно убедиться в справедливости следующего утверждения: если ( ) pe ( ), где многочлен p ненулевой, то ( ) qe ( ), где многочлен q ненулевой. Дифференцируем функцию : 1 Разумеется, зависящий, вообще говоря, от.

24 4 ( ) p( ) e p( ) e ( p( ) p( )) e q( ) e, где q ( ) p ( ) p( ). Пусть k 0 1 k1 p ( ) b b b k, где k 0, b0 0. Тогда разложение многочлена q по убывающим степеням имеет вид q ( ) b 0 k k, поскольку степень многочлена p меньше степени многочлена p и, следовательно, старший член b 0 многочлена p( ) не имеет подобных в разложении многочлена p ( ). Из условия b0 0 следует, что многочлен q не является нулевым. Лемма доказана. ЛЕММА 7. Пусть k 1, 1,,, k попарно различные числа, I произвольный промежуток. Если для многочленов p 1 ( ), p ( ),, pk ( ) выполняется условие 1 k ( ) ( ) ( ) e 0,, 1 k p e p e p I то все эти многочлены являются нулевыми. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по числу k. Пусть k 1. Если pe ( ) 0 на промежутке I, то многочлен p( ) тождественно равен нулю на I, поскольку экспоненциальная функция нигде не обращается в ноль. Следовательно, многочлен p является нулевым. Предположим, что доказываемое утверждение верно для некоторого k 1. Допустим, что 1 k k1 p e p e p e p I 1 k k 1 ( ) ( ) ( ) ( e ) 0,. e k 1 Умножая обе части этого тождества на, получим: ( a ) ( a ) 1 k k1 1 k1 k k1 p ( ) e p ( ) e p ( ) 0, I. (7) Из условия леммы следует, что все числа 1 k 1, k 1,, k k 1 отличны от нуля. Для любого многочлена все его производные достаточно большого порядка являются нулевыми многочленами. Дифференцируя обе

25 5 части тождества (7) по столько раз, чтобы производная многочлена pk 1 ( ) стала нулевой и учитывая лемму, получаем тождество ( ) ( ) ( ) 1 k q e q e q e I 1 k1 k1 k k1 ( ) ( ) ( ) 0,, где q 1, q,, q k некоторые многочлены. В силу индуктивного предположения, многочлены q 1, q,, q k являются нулевыми. Из леммы 6 следует, что нулевыми должны быть и многочлены p 1, p,, p k. Отсюда и из (7) следует, что pk1 ( ) 0, I. Следовательно, многочлен pk 1 нулевой. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 6. Пусть 1,, k все корни характеристического многочлена дифференциального уравнения Ly 0, имеющие кратности m 1,, m k соответственно. Тогда функции i e i, e, i e,, m i, i 1, 1 i e,, k, образуют фундаментальную систему решений этого уравнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выпишем рассматриваемую систему функций более подробно: m e, e, e,, e, m 1 e, e, e,, e, m 1 k k k k k e, e, e,, e. Первая строка содержит m 1 функций, вторая m функций,, последняя строка содержит m k функций. Общее число функций равно m m m k 1. Сумма кратностей всех комплексных корней многочлена равна его степени, то есть выписанная система содержит функций. Остается показать, что эта система функций линейно независима. Предположим, что линейная комбинация этих функций тождественно рав-

26 6 на нулю на некотором промежутке I. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми экспоненциальными множителями и вынесем их за скобки. Получаем соотношение вида 1 k ( ) ( ) ( ) e 0,, 1 k p e p e p I где коэффициентами многочленов линейной комбинации. p i являются коэффициенты исходной В силу леммы 7, все эти многочлены являются нулевыми, их коэффициенты равны нулю, то есть все коэффициенты исходной линейной комбинации равны нулю. Теорема доказана. В общем случае справедлив аналог утверждения, рассмотренного нами в случае простых корней характеристического многочлена. Пусть Ly 0 уравнение с вещественными коэффициентами, i невещественный корень характеристического многочлена кратности k. Тогда фрагмент фундаментальной системы решений, отвечающий корням i и i, то есть семейство функций ( i) ( i) ( i) k1 ( i) e, e, e,, e, ( i) ( i) ( i) k1 ( i) e, e, e,, e, может быть заменен следующим семейством функций: k1 e cos, e cos, e cos,, e cos, k1 e si, e si, e si,, e si. ЗАМЕЧАНИЕ. Слова «может быть заменен» из предыдущего абзаца означают, что полученное семейство функций останется фундаментальной системой решений. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение d y d y d y d y d d d d Разлагаем характеристический многочлен на множители:

27 ( 1). Многочлен имеет корень 0 кратности и корень 1 кратности 3. Фундаментальную систему решений образуют функции 1,, e, e, e. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение 4 d y d y y 0. 4 d d 4 Характеристический многочлен имеет вид 1 ( 1). Он имеет корни i и i кратности. Фундаментальную систему решений образуют функции cos, cos, si, si.

28 8 5. Метод вариации произвольной постоянной Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение порядка с непрерывными коэффициентами ( ) ( 1) a( y ) a( y ) a ( y ) a( y ) f, или, как и выше, в сокращенной записи Ly f. Будем предполагать, что функции a 0, a 1,, a и f определены и непрерывны на промежутке I, причем функция a 0 не обращается на этом промежутке в ноль. Пусть y 1, y,, y фундаментальная система решений однородного уравнения Ly 0. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид где C 1, C,, y ( ) Cy( ) C y ( ) C y ( ), I, 1 1 C произвольные постоянные. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде где C 1, C,, y ( ) C( y ) ( ) C ( ) y ( ), I, (A 0 ) 1 1( ) C y( ) C подлежащие нахождению функции, непрерывно дифференцируемые на промежутке I. Потребуем, чтобы для всех I выполнялись соотношения y( ) C ( ) y( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ), (A 1 ) 1 1 y( ) C ( ) y( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ), (A ) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) y ( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ), Дифференцируя обе части (A 0 ) по, получаем: (A 1 )

29 9 y( ) C ( ) y( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ) 1 1 C( ) y ( ) C( ) y ( ) C( ) y ( ), I. 1 1 Отсюда следует, что для выполнения соотношения (A 1 ) необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество C( ) y ( ) C( ) y ( ) C( ) y ( ) 0, I. (B 0 ) 1 1 Дифференцируя обе части (A 1 ) по, получаем: y( ) C ( ) y( ) C ( ) y( ) C ( ) y( ) 1 1 C( ) y( ) C( ) y( ) C( ) y ( ), I. 1 1 Сравнивая это соотношение с (A ), получаем следующее тождество: 1 1 C( ) y( ) C ( ) y ( ) C( ) y( ) 0, I. (B 1 ) Продолжая дальше, получаем соотношения 1 1 C( ) y ( ) C( ) y( ) C( ) y( ) 0, I, (B ) ( ) ( ) ( ) 1 C( ) y1 ( ) C ( ) y C ( ) y 0, I. (B ) Продифференцируем обе части соотношения (A 1 ) по : ( ) ( ) 1 1 ( 1) 1 y1 ( ) ( ) y ( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ) C ( ) y ( ) ( 1) ( 1) C C ( ) ( ) C ( ) y ( ) ( ) y ( ), I. Подставляя функцию y в уравнение Ly (A 1 ),, (A ), (A 1 ), (A 0 ), получаем: (A ) f и учитывая соотношения (A ), ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( ) C1 ( ) y ( ) C ( ) y ( ) C y ( ) C ( )( Ly )( ) C ( )( Ly )( ) C ( )( Ly )( ) f( ), I. 1 1 Поскольку Ly1 0, Ly 0,, Ly 0, получаем соотношение ( 1) ( 1) C1 ( ) y1 ( ) C ( ) y ( ) ( 1) C ( ) y ( ) f( ), I. (B 1 ) Выпишем вместе уравнения (B 0 ), (B 1 ),, (B 1 ): для произвольного I :

30 30 C1( ) y1( ) C( ) y( ) C( ) y( ) 0, C1( ) y1( ) C( ) y( ) C( ) y ( ) 0, C1( ) y1( ) C( ) y ( ) C( ) y( ) 0, ( ) ( ) ( ) C1( ) y1 ( ) C ( ) y C( ) y 0, ( 1) ( 1) ( 1) C1 ( ) y1 ( ) C( ) y ( ) C( ) y ( ) f( ). Это квадратная система линейных уравнений. Определителем основной матрицы этой системы является определитель Вронского ( ) для системы функций y 1, y,, y. Для фундаментальной системы решений этот определитель всюду отличен от нуля. По теореме Крамера данная система линейных уравнений при любом I имеет единственное решение. Легко проверить, что его решения, то есть определенные на промежутке I функции C, 1 C,, C, являются непрерывными. Допустим, что решениями указанной системы являются функции F 1, F,, F. Тогда функции находятся по формулам где Cj( ) Fj( ) dkj, j1,,,, K j, j 1,,,, произвольные постоянные. Заметим, что, зафиксировав произвольные первообразные функций получим частное решение неоднородного уравнения. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение C i F j, мы 1 y y. Корнями характери- cos стического уравнения 1 0 являются i. Общее решение однородного уравнения имеет вид y ( ) C1cos Csi, где C 1 и C произвольные постоянные. Тогда Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y ( ) C( )cos C ( ) s i. (8) 1

31 31 y( ) C ( )si C ( )cos C( )cos C ( ) si. 1 1 Требуем выполнения равенства C1 ( )cos C ( )si 0 на всем рассматриваемом промежутке. Тогда Далее, y( ) C ( )si C ( )cos. 1 y( ) C ( )cos C ( )si C ( )si C ( )cos. 1 1 Подставляя функцию y ( ) в неоднородное уравнение, после приведения 1 подобных получаем: C1( )si C( )cos. Окончательно имеем cos систему линейных уравнений для нахождения функций C 1 ( ) и C ( ) : C1( )cos C( )si 0, 1 C 1( )si C ( )cos. cos Умножая первое уравнение на cos, второе на si и складывая получаемые соотношения, находим: C 1 ( ) tg. Аналогично после умножения первого уравнения на si, а второго на cos получаем: C ( ) 1. Тогда dcos C1( ) tgd l cos K1, cos C ( ) d K, где K 1 и K произвольные постоянные. Теперь возможны два несущественно отличающихся варианта завершения решения. Можно взять указанные функции C 1 ( ) и C ( ) с произвольными постоянными и, пользуясь формулой (8), выписать общее решение уравнения. Второй вариант состоит в том, чтобы, выбрав фиксированные значения K 1 и K (например, K1 K 0), найти по формуле (8) частное решение неоднородного уравнения, а затем для получения общего

32 3 решения прибавить к этому частному решению общее решение неоднородного уравнения, то есть произвольную линейную комбинацию функций cos и si. Окончательный вариант будет тем же самым: y ( ) (l cos K) cos ( K)si. 1

33 33 7. Случай правых частей специального вида Рассмотрим дифференциальное уравнение 0 ( ) ( 1) 1 1 ay ( ) a( y ) ( ) a ( y ) ( ) a( y ) ( ) f( ) (9) с постоянными коэффициентами в предположении, что f ( ) e P( ), где, P многочлен степени m. Будем также предполагать, что a 0. Это условие используется в (опускаемом нами) доказательстве приводимой ниже теоремы 7. Отметим, что в исключенном случае a 0 заменой z y уравнение сводится к уравнению порядка 1. ПРИМЕР Рассмотрим уравнение y y y 0. Выполним замену y z. Тогда y z, y z, и уравнение принимает вид z z z 0. Характеристический многочлен последнего уравнения корень 1 кратности. Поэтому общее решение имеет вид 1 z ( ) Ce Ce, где C 1 и C произвольные постоянные. Решение исходного уравнения ищем по формуле 1 y ( ) zd ( ) ( Ce Ce) d 1 3 Ce C ( e e ) C. 1 имеет Здесь функция e e первообразная функции e, C 3 постоянная интегрирования. Вернемся к рассмотрению уравнения (9). Целое неотрицательное число k определим следующим образом. Если является корнем характеристического многочлена дифференциального уравнения, то k равно кратности этого корня. В противном случае (если не является корнем

34 34 этого многочлена) полагаем k 0. В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение. k ТЕОРЕМА 7. Рассматриваемое уравнение имеет единственное решение вида y ( ) e Q ( ), где Q многочлен степени m. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В случае f ( ) P( ), полагая 0, также можно использовать эту теорему. Тогда частное решение нужно искать в виде y ( ) Q ( ) (число 0 не является корнем характеристического многочлена, так как a 0 и, следовательно, k 0). ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем при решении примеров мы будем использовать обозначения, m, k, введенные перед формулировкой теоремы 7, без пояснений. Для нахождения решения в соответствии с приведенной теоремой используется метод неопределенных коэффициентов. Многочлен Q записывается в виде m m m1 Q ( ) b b b b с подлежащими нахождению коэффициентами m b i и соответствующую функцию y ( ) подставляем в уравнение. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему линейных уравнений с неизвестными b i. В силу приведенной теоремы, эта система имеет единственное решение. Мы получаем частное решение данного дифференциального уравнения. Рассмотрим еще один случай. Рассмотрим уравнение Ly f при следующих предположениях: все коэффициенты дифференциального уравнения являются вещественными, f ( ) e ( P( )cos Q( )si ), P и Q многочлены формальной степени m с вещественными коэффициентами,,.

35 35 ЗАМЕЧАНИЕ. В качестве m естественно взять наибольшую из степеней многочленов P и Q. Целое неотрицательное число k определим так. Если число i является корнем характеристического многочлена дифференциального уравнения, то k равно кратности этого корня. В противном случае полагаем k 0. В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение. k ТЕОРЕМА 8. Рассматриваемое уравнение имеет единственное решение вида y ( ) e ( R ( )cos S ( )si ), где R и S многочлены формальной степени m. Прежде, чем перейти к примерам, сделаем еще одно замечание. Рассмотрим дифференциальное уравнение Ly f. Предположим, что функция f может быть записана в виде f f1 f и известны решения y 1 и y уравнений Ly f1 и Ly f соответственно. Тогда функция y y1 y является решением уравнения Ly f. Действительно, L( y y ) Ly Ly f f f Это замечание позволяет расширить класс правых частей, для которых можно эффективно найти решение. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y y e. Используем теорему 7. В этом случае 1, P ( ), m 1. Число не является корнем характеристического многочлена 1. Следовательно, частное решение можно искать в виде y ( ) e( A B). Дифференцируя дважды, находим, что y( ) e ( A A B), и, подставляя в уравнение, получаем: e (AA B) e.

36 36 Сокращая на e и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений A, AB 0. Тогда A 1, B 1, и частное решение принимает вид y ( ) ( 1) e. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид y ( ) ( 1) e Ccos Csi, где C 1 и C произвольные постоянные. 1 ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y y e. Найдем отдельно частные решения уравнений y y и y y e. Второе уравнение рассмотрено нами в предыдущем примере. Перейдем к уравнению y y. Число 0 не является корнем характеристического многочлена. Решение уравнения ищем в виде y( ) A B C. Подставляя в уравнение, получаем соотношение A B( AC), следовательно, A 1, B 0, C, и частное решение уравнения имеет вид y ( ). Тогда частным решением исходного уравнения является функция ( 1) e, общее решение этого уравнения имеет вид ( 1) e C cos C si, где C 1 и C произвольные постоянные. 1 ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y 3y y e. Снова используем теорему 7. В этом случае 1, P ( ), m 1. Число 1 является простым корнем характеристического многочлена 3 ( )( 1), то есть k 1, частное решение ищем в виде: y ( ) e( A B). Подставляя функцию y ( ) в уравнение, получаем соотношение

37 37 Ae ( A B) e e. Приравнивая коэффициенты при функциях e и A, AB 0. e, получаем уравнения: Отсюда находим: A 1, B, и частное решение принимает вид: y ( ) ( ) e. Общее решение уравнения имеет вид: 1 y( ) ( ) e Ce C e, где C 1 и C произвольные постоянные. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение y y 4y 4y 10si. Используем теорему 8. Характеристический многочлен уравнения имеет вид ( )( )( 1). В обозначениях теоремы 8 имеем: 0, 1, m 0. Число i i не является корнем характеристического многочлена. Частное решение ищем в виде y ( ) Acos Bsi. Подставляя в уравнение, получаем соотношение ( 5A 5 B)cos (5A5 B)si 10si. Приравнивая коэффициенты при косинусах и синусах, находим: 5A 5B0, 5A5B 10. Эта система имеет единственное решение A 1, B 1. Частное решение неоднородного уравнения имеет вид y ( ) cos si. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид 1 3 y ( ) cossi Ce Ce Ce. ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение Используем теорему 8. В этом случае y y 4cos.

38 38 0, 1, R( ) 4, S ( ) 0, m 1. Число i i является простым корнем характеристического многочлена 1, то есть k 1. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y( ) (( AB)cos ( C D)si ). Подставляя эту функцию в уравнение, получаем соотношение ( A D)cos ( BC)si 4Ccos 4Asi 4cos. (10) Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях, получаем соотношения: A D 0, BC 0, C 1, A 0. Отсюда находим: A 0, B 1, C 1, D 0, и частное решение неоднородного уравнения принимает вид y ( ) cos si. ЗАМЕЧАНИЕ. При решении примера мы воспользовались тем, что для выполнения тождественного соотношения (10) необходимо и достаточно совпадения коэффициентов при одинаковых функциях. Это следует из линейной независимость системы функций cos, cos, cos,, cos, si, si, si,, si, при любом натуральном. Последний факт, в свою очередь, вытекает, например, из того, что эти функции образуют фундаментальную систему решений для уравнения с характеристическим многочленом имеющим корни i и i кратности 1. 1 ( 1),

39 39 Литература 1) Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, 31с. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, с.

40 40 Оглавление 1. Предварительные сведения Основные определения Однородное дифференциальное уравнение Однородное уравнение с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольной постоянной Случай правых частей специального вида Литература... 39


Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Факультет информационных технологий и вычислительной техники Е В Новикова, А Г Родионова, Н В Родионова

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О А Кононова, Н И Ильинкова, Н К Филиппова Линейные

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее