ВСЕРОССИЙСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВСЕРОССИЙСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 1993 2006"

Транскрипт

1 Н. Х. Агаханов И. И. Богданов П. А. Кожевников О. К. Подлипский Д. А. Терешин ВСЕРОССИЙСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ОКРУЖНОЙ И ФИНАЛЬНЫЙ ЭТАПЫ Под редакцией Н. Х. Агаханова Москва Издательство МЦНМО 2007

2 УДК 51 ББК :22.1 Р76 Авторы: Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников О. К. Подлипский, Д. А. Терешин Под редакцией Н. Х. Агаханова Издание осуществлено при поддержке Московского института открытого образования. Р76 Всероссийские олимпиады школьников по математике : Окружной и финальный этапы / Н. Х. Агаханов и др. Подред.Н.Х.Агаханова. М.: МЦНМО, с. ISBN В книге приведены задачи заключительных (четвертого и пятого) этапов Всероссийских математических олимпиад школьников годов с ответами и полными решениями. Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровеньроссийской олимпиадной школы. Частьзадач уже стала олимпиадной классикой. Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высокого уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям кружков и факультативов, школьникам старших классов. Для удобства работы приведен тематический рубрикатор. ББК :22.1 ISBN c Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников, О. К. Подлипский, Д. А. Терешин, c МЦНМО, 2007.

3 ВВЕДЕНИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ Данная книга посвящена Всероссийским олимпиадам школьников по математике. Книга рекомендуется как школьникам, интересующимся олимпиадами, так и учителям, руководителям кружков и факультативов. История математических олимпиад школьников в нашей стране берет свое начало в 30-х годах прошлого века, когда в Ленинграде и Москве были организованы первые олимпиады. До войны олимпиады проводилисьежегодно. Они быстро завоевали популярность. Сразу после войны они были возобновлены и проводились первоначально только в больших городах, где находились сильные университеты. В конце 50-х начале 60-х годов прошлого столетия математические олимпиады стали традиционными для многих городов Советского Союза. Первой математической олимпиадой, в которой приняли участие несколько областей РСФСР, стала проводившаяся в Москве олимпиада 1960 года. Ее иногда называют нулевой Всероссийской математической олимпиадой школьников. Официальная нумерация началась с 1961 года. В первой Всероссийской математической олимпиаде приняли участие команды почти всех областей РСФСР, а также команды союзных республик. Фактически в олимпиаде принимали участие команды всех территорий Советского Союза, поэтому с 1967 года эта олимпиада была переименована во Всесоюзную олимпиаду школьников по математике. А с 1974 года было принято решение о направлении на Всесоюзную олимпиаду не команд областей, а команд союзных республик. РСФСР на олимпиаде представляли шестькоманд: Москвы, Ленинграда и четырех зон (Северо-Западной, Центральной, Юго-Западной, а также Сибири и Дальнего Востока). Структурно Всероссийская олимпиада состояла из четырех этапов: школьного, городского (районного), областного (республиканского, краевого) и зонального. В отдельные зоны были выделены города Москва и Ленинград. Рольфинала для школьников РСФСР играла Всесоюзная олимпиада. Такая структура олимпиады сохранялась вплотьдо распада Советского Союза. С учебного года в Российской Федерации стал проводиться пятый, заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников. Впервые он был проведен в Краснодарском крае (город Анапа). В последующие годы заключительные этапы Всероссийской математической олимпиады проходили дважды в Майкопе и Твери, и по одному разу в Казани, Калуге, Нижнем Новгороде, Орле, Пскове, Рязани, Саратове, Чебоксарах, Ярославле.

4 4 ВВЕДЕНИЕ В 2001 году произошли изменения в схеме проведения четвертого этапа. Было введено новое деление (вместо зонального) на семьфедеральных округов: Южный, Центральный, Северо-Западный, Приволжский, Уральский, Сибирский и Дальневосточный. И сам четвертый этап стал называться федеральным окружным. При этом был сохранен особый статус городских олимпиад Москвы и Санкт-Петербурга. Такая структура проведения Всероссийской олимпиады (в пятьэтапов) сохраняется и в настоящее время. Согласно Положению, задания для четвертого и пятого этапов олимпиады разрабатываются Методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников. В ее состав в разные годы входили и входят студенты, аспиранты, преподаватели и научные сотрудники МГУ, СПбГУ, МФТИ(ГУ), ЯрГУ, НГУ, вузов и специализированных физико-математических школ Иваново, Калуги, Кирова, Костромы, Москвы, Нижнего Новгорода, Самары, Санкт-Петербурга, Саратова, члены редколлегии журнала Квант, а ее руководителем бессменно является профессор кафедры высшей математики МФТИ(ГУ) Геннадий Николаевич Яковлев. Большинство членов Комиссии победители и призеры Всесоюзных, Всероссийских и Международных математических олимпиад прошлых лет. Традиции современных Всероссийских олимпиад, их стильзакладывалисьв начале 90-х годов выдающимися математиками и педагогами, в их числе В.В. Вавилов, Л.П. Купцов, Ю.В. Нестеренко, С.В. Резниченко, И.Н. Сергеев, М.Г. Сонкин, А.А. Фомин. Большой вклад в олимпиадное движение был сделан безвременно ушедшими Н.Б. Васильевым, А.П. Савиным, М.В. Смуровым, И.Ф. Шарыгиным. Все задачи, включенные в книгу, являются авторскими. Многие из них уже стали олимпиадной классикой. В книгу вошли задания четвертого и пятого этапов Всероссийской математической олимпиады школьников, проводившихся в годах. После условия каждой задачи в скобках указан ее автор. Также в книгу включены решения задач. Для удобства работы с книгой приводится тематический рубрикатор.

5 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 5 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел; a A элемент a принадлежит множеству A; пустое множество; B A множество B является подмножеством множества A; A B объединение множеств A и B; A B пересечение множеств A и B; A \ B разностьмножеств A и B (т. е. множество, содержащее все такие элементы множестваa, которые не принадлежатb); f : A B функция f, определенная на множестве A, значения которой лежат в множестве B; n a i сумма чисел a 1, a 2,...,a n ; i=1 n a i произведение чисел a 1, a 2,...,a n ; i=1 [x] целая частьдействительного числа x, т.е. наибольшеецелое число, не превосходящее x; {x} дробная частьдействительного числа x,({x} = x [x]); a. b или b a a делится на b (или b делит a); a b (mod n) a сравнимо с b по модулю n (т. е. целые числа a и b дают равные остатки при делении на n); НОД(a, b) (или (a, b)) наибольший общий делитель чисел a и b; НОК(a, b) (или [a, b]) наименьшее общее кратное чисел a и b; AC ( ABC) дуга AC (дуга AC, на которой лежит точка B); P (M) или P M периметр многоугольника M; S(M) или S M площадьмногоугольника M; V (M) или V M объем многогранника M; ( a, b) скалярное произведение векторов a и b; n! n-факториал, произведениеn первых натуральных чисел, n! = = n; Cn k число сочетаний из n по k, т. е. количество k-элементных подмножеств n-элементного множества, Cn k = n! (0 k n). (n k)!k!

6 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

7 УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 7 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ г. 9класс 1. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a 2 + ab + b 2 3(a + b 1). 2. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11. (Р.Женодаров) 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б)bm = BN? (Б.Кукушкин) 4. В колоде n карт. Частьиз них лежит рубашками вверх, остальные рубашками вниз. За один ход разрешается взятьнесколько карт сверху, перевернутьполученную стопку и снова положитьее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз? (Д.Карпов) 5. Докажите, что уравнение x 3 +y 3 =4(x 2 y +xy 2 +1)не имеет решений в целых числах. (А.Калинин) 6. Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой l так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная l, пересекающаятреугольникипоравным отрезкам. Докажите, что если расположитьтреугольники в одной полуплоскости относительно прямой l так, чтобы другие их катеты лежали на прямой l, то также найдется прямая, параллельная l, пересекающая их по равным отрезкам. (В.Вавилов) 7. На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC точки N и M соответственно так, что AE = NE и CE = ME. Пусть K точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой. (П.Кожевников) 8. На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый знак + или, второй одно из натуральных чисел от 1 до Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю ал-

8 8 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ гебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать? (О.Богопольский, Д.Фон-дер-Флаас) 10 класс 9. На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH иотрезокbd вточкахn и K соответственно. Докажите, что если AK = BK,тоAN = 2KM. (Е.Малинникова) 10. См. задачу Решите в положительных числах систему уравнений x 1 + x 1 2 =4, x 2 + x 1 3 =1, x 3 + x 1 4 =4, (А.Перлин)... x 99 + x =4, x x 1 1 = У каждого из жителейгорода N знакомые составляют не менее 30% населения города. Жительидет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей. (А.Перлин) 13. См. задачу Докажите, что < 2. (В.Жуховицкий) 15. НасторонахBC и CDпараллелограмма ABCD взятыточки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F, разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями EK AD, FK AB, лежитна отрезке MN. (М.Сонкин) 16. Из квадратной доски клеток удалены четыре прямоугольника (см. рис. 1). На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделатьочередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Р.Женодаров) 11 класс 17. Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5 n равна 2 n. (Д.Кузнецов)

9 УЧЕБНЫЙ ГОД, 11 КЛАСС Докажите, что для любого натурального n>2 число [( 3 n + 3 n +2 ) ] 3 +1 делится на 8. (А.Калинин) 19. Точка O основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки * Рис. 1 AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания. (М.Смуров) 20. Дан правильный 2n-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставитьстрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой. (С.Токарев) 21. На доске написано: x x x+... =0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого получитьуравнение, имеющее ровно один действительный корень Сможет ли второй ему помешать? (И.Сергеев) 22. Семьтреугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семьпирамид по треугольникам равной площади. (В.Вавилов) 23. Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая l, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l, пересекающие ее в точках D и E. Затем,еслиD E, строятся правильные треугольники DEP и DET, лежащие по разные стороны от прямой l. Найдите геометрическое место точек P и T. (А.Савин) 24. В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из любого города можно проехатьпо дорогам в любой другой. Докажите, что это можно сделатьне более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.) (Е.Малинникова)

10 10 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г. 9класс 25. Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков меда и 22 банки сгущенного молока, причем горшок меда он съедал за 2 минуты, а банку молока за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увел Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок меда за 5 минут, а банку молока за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку молока и горшок меда можно делитьна любые части). (Д.Терёшин) 26. Города A, B, C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше расстояния от D до A, а расстояние от C до B меньше расстояния от D до B. Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B, меньше расстояния от города D до этой точки. (А.Левин) 27. Существует ли квадратный трехчлен P (x) с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P (n) также записывается одними единицами? (А.Перлин) 28. На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей естьпредставители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого). (Р.Женодаров) 29. Известно, что уравнение ax 5 + bx 4 + c =0имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx 5 + bx + a =0также имеет три различных корня. (Н.Агаханов) 30. Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S 1 с центром O 1 касается сторон LK и LP угла KLP вточкахa и D соответственно, а окружность S 2 такого же радиуса с центром O 2 касается сторон угла MLP, причем стороны LP вточкеb. Оказалось, что точка O 1 лежит

11 УЧЕБНЫЙ ГОД, 10 КЛАСС 11 на отрезке AB. Пусть C точка пересечения прямых O 2 D и KL.Докажите, что BC биссектрисауглаabd. (А.Кочерова) 31. Найдите все простые числа p, q, r и s такие, что их сумма простое число. а числа p 2 + qs и p 2 + qr квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.) (Р.Женодаров) 32. В классе 16 учеников. Каждый месяц учительделит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказалисьв разных группах? (Д.Тамаркин) 10 класс 33. Имеется семьстаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину,второй на треть, третий на четверть, четвертый наодну пятую, пятый на одну восьмую, шестой на одну девятую, и седьмой на одну десятую. Разрешается переливатьвсю воду из одного стакана в другой или переливатьводу из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудьстакан оказаться заполненным а) на одну двенадцатую; б) на одну шестую? (Н.Агаханов) 34. Уравнение x 2 + ax + b =0имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x 4 + ax 3 +(b 2)x 2 ax +1=0имеет четыре различных действительных корня. (С.Берлов) 35. Окружностьс центром O вписана в четырехугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пустьпрямая AO иотрезокef пересекаются в точке K, прямая DO и отрезок EF вточкеn, а прямые BK и CN вточкеm. Докажите, что точки O, K, M и N лежат на одной окружности. (М.Сонкин) 36. Прямоугольник m n разрезан на уголки: a b c Рис. 2 Докажите, что разностьмежду количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3. (Л.Емельянов) 37. Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел. (С.Кожухов) 38. Найдите свободный член многочлена P (x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P (19) = P (94) = = (Н.Агаханов) d

12 12 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 39. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC стороне DE. Докажите, что если AB = = AE = ED =1,тоBC + CD < 1. (С.Берлов) 40. В городе Цветочном n площадей и m улиц (m n +1). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо синей, либо красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадьи переименовываются все выходящие из нее улицы. Докажите, что вначале можно назватьулицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города. (С.Берлов, С.Рукшин) 11 класс 41. Докажите, что при всех x, 0 <x<π/3, справедливо неравенство sin 2x +cosx>1. (Н.Агаханов) 42. В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбитьне более, чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот деньмежду собой по телефону. (С.Гулько) 43. Окружностьс центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC вточкахe, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF вточкахn и M. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN,точкаO иточкаd лежат на одной прямой. (М.Сонкин) 44. В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек (m > n). За один ход разрешается передвинутьдве фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну вправо, вторую влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n. (И.Рубанов) 45. См. задачу Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению ( ) x +1 (x 1)f f(x) =x x 1 при всех x 1. Найдите все такие функции. (А.Калинин) 47. На боковых ребрах SA, SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A 1, B 1 и C 1 так, что плоскости A 1 B 1 C 1 и ABC параллельны. Пусть O центр сферы, проходящей через точки S, A, B и C 1. Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A 1 B 1 C. (Д.Терёшин)

13 УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС Внутри круга расположены точки A 1, A 2,...,A n, а на его границе точки B 1, B 2,...,B n так, что отрезки A 1 B 1, A 2 B 2,...,A n B n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнутьиз точки A i вточкуa j,еслиотрезок A i A j не пересекается ни с одним из отрезков A k B k, k i, j. Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из любой точки A p в любую точку A q. (С.Мисник, Д.Фон-дер-Флаас) г. 9класс 49. Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство x x 4 + y 2 + y y 4 + x 2 1 xy. (С.Дворянинов) 50. Можно ли расставитьпо кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом? (А.Шаповалов) 51. Две окружности радиусом R и r касаются прямой l вточкахa и B и пересека- C ются в точках C и D (см. рис. 3). Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB. (М.Сонкин) A B l 52. Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок одним Рис. 3 цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов? (С.Токарев) 53. Найдите все простые p такие, что число p 2 +11имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число). (Р.Женодаров) 54. Окружности S 1 и S 2 сцентрамиo 1 и O 2 пересекаются в точках A и B (см. рис. 4). Окружность, проходящая через точки O 1, O 2 и A, вторично пересекает окружность S 1 вточкеd, окружность S 2 в точке E и прямую AB вточкеc. Докажите, что CD = CB = CE. (М.Сонкин) 55. Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис. 5). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пятьотмеченных узлов, лежащих на одной окружности. (Д.Кузнецов)

14 14 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ C D B E O 1 O 2 S 1 A S 2 Рис. 4 Рис Можно ли в таблице расставитьнатуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагалисьв клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец? (А.Шаповалов) 10 класс 57. Дана функция f(x) = 1 3.Найдитеf(...f(f(19))...). (А.Белов) 1 x 3 } {{ } 95 раз 58. Натуральные числа m и n таковы, что НОК(m, n)+нод(m, n) =m + n Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое. (С.Токарев) 59. В остроугольномтреугольникеabc на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S вточкахe и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на медиане треугольника, проведенной из вершины B. (А.Скопенков) 60. На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой. (А.Берзиньш, И.Изместьев) 61. Рассматриваются всевозможные квадратичные функции f(x) = = ax 2 + bx + c,такие,чтоa<bи f(x) 0 для всех x. Какое наименьшее значение может приниматьвыражение a + b b + a c? (Р.Женодаров) 62. Дан четырехугольник ABCD, в котором AB = AD и ABC = = ADC =90. На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE. Докажите, что AF BE. (М.Сонкин) 63. N 3 единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (т. е. вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких N такое ожерелье из ку-

15 УЧЕБНЫЙ ГОД, 11 КЛАСС 15 биков можно упаковатьв кубическую коробку с ребром длины N? (Н.Авилов) 64. Улицы города Дужинска простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрестка и покрашена в один из трех цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрестке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекресток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрестков кратна четырем. (С.Дужин) 11 класс 65. См. задачу В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед куб. (Д.Терёшин, Р.Карасёв) 67. См. задачу На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k +1квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбитьне более чем на 2k 1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметьобщую точку. (В.Дольников) 69. Для углов α, β, γ справедливо равенство sin α +sinβ +sinγ 2. Докажите, что cos α +cosβ +cosγ 5. (А.Галочкин) 70. Числовая последовательность a 0, a 1, a 2,... такова, что при всех неотрицательных m и n (m n) выполняется соотношение a m+n + a m n = 1 2 (a 2m + a 2n ). Найдите a 1995,еслиa 1 =1. (О.Мусин) 71. Окружности S 1 и S 2 сцентрамиo 1 E и O 2 пересекаются в точках A и B (см. M F рис. 6). Луч O B 1 B пересекает S 2 вточке F,алучO N 2 B пересекает S 1 вточке E. Прямая, проходящая через точку B O 1 O 2 параллельно прямой EF, вторично пересекает окружности S 1 и S 2 вточкахm и N соответственно. Докажите, что MN = A Рис. 6 = AE + AF. (М.Сонкин) 72. См. задачу 64.

16 16 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г. 8класс 73. Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется ( ) рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое? 1 (К.Кноп) 74. Назовем билет с номером от до отличным,еслиразностьнекоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов. (А.Шаповалов) 75. Существует ли такой выпуклый (все углы меньше 180 ) пятиугольник ABCDE,чтовсеуглыABD, BCE, CDA, DEB и EAC тупые? (К.Кноп) 76. На столе лежат n спичек (n >1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1доn 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш. (И.Рубанов) 77. Можно ли так расставитьфишки в клетках доски 8 8,чтобывлюбых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках различным? (А.Шаповалов) 78. Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещаетуголα. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составитьтреугольник. (С.Дворянинов) 79. Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стер самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стер? (К.Кохась) 80. Имеется 4 монеты, из которых 3 настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирьтаковы, что если положитьна их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три 1 Напомним, что олимпиада происходила до деноминации.

17 УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 17 взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных? (С.Токарев) 9класс 81. Найдите все пары квадратных трехчленов x 2 + ax + b, x 2 + cx + d такие, что a и b корни второго трехчлена, c и d корни первого. (И.Изместьев) 82. В треугольнике ABC, в котором AB = BC, на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S 1 и S 2 соответственно. Касательная, проведенная к S 1 вточкеd, пересекает второй раз S 2 вточкеm. Докажите, что BM AC. (М.Сонкин) 83. Пусть a, b и c попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения (a + b)(b + c)(c + a) abc, если известно, что это число целое. (Д.Храмцов) 84. В одном из узлов шестиугольника со стороной n, разбитого на правильные треугольники (см. рис. 7), стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходитьв узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, n кто не может сделатьхода. Кто выигрывает при правильной игре? (Ф.Дужин) 85. Найдите все натуральные числа, имеющие Рис. 7 ровно шестьделителей, сумма которых равна (Р.Женодаров) 86. См. задачу ab(1 a)(1 b) Докажите, что если 0 <a, b<1,то < 1 (1 ab) 2 4. (Л.Медников, М.Сонкин) } {{ } 88. Имеется 8 монет, 7 из которых настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирьтаковы, что если положитьна их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных? (С.Токарев) 10 класс 89. Докажите, что если a, b, c положительные числа и ab + bc + ca > >a+ b + c,тоa + b + c>3. (Р.Женодаров)

18 18 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 90. Верно ли, что из произвольного треугольника можно вырезать три равные фигуры, площадькаждой из которых больше четверти площади треугольника? (С.Августинович) 91. Дан угол с вершиной B. Построим точку M следующим образом. Возьмем произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные ее вершины проведем касательные к описанной около нее окружности. Через M обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки M? (М.Сонкин) 92. В каждой клетке квадратной таблицы размером n n клеток (n 3) записано число 1 или 1. Если взятьлюбые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4. (В.Дольников) 93. См. задачу Дан треугольник A 0 B 0 C 0.НаотрезкеA 0 B 0 отмечены точки A 1, A 2,..., A n, а на отрезке B 0 C 0 точки C 1, C 2,..., C n так, что все отрезки A i C i+1 (i =0,1,...,n 1) параллельны между собой и все отрезки C i A i+1 (i =0, 1,...,n 1) тоже. Отрезки C 0 A 1, A 1 C 2, A 2 C 1 и C 1 A 0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C 1 A 2, A 2 C 3, A 3 C 2 и C 2 A 1 тоже, и т. д. Докажите, что сумма площадей всех n 1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A 0 B 0 C 0. (Л.Медников, М.Сонкин) 95. См. задачу На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя. (И.Изместьев) 11 класс 97. См. задачу Назовем медианой системы 2n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? (А.Шаповалов) 99. Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса 1 с центрами в вершинах покрывают весьтреугольник. 3 (В.Дольников)

19 УЧЕБНЫЙ ГОД, 8 КЛАСС Многочлен P (x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю? (И.Рубанов) 101. Дана функция f(x) = 4 4 x 2. Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x? (Н.Нецветаев) 102. Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных натуральных a, b, c и d среди чисел (a c)(b d) (b c)(a d), (b c)(a d) (a c)(b d), (a b)(d c) (a d)(b c), (a c)(b d) (a b)(c d), естьпо крайней мере два числа, равных n. (С.Дужин) 103. В треугольнике ABC взята точка O такая, что COA = B +60, COB = A +60, AOB = C +60. Докажите, что если из отрезков AO, BO, CO можно составитьтреугольник, то извысот треугольникаabc тоже можно составитьтреугольник и эти треугольники подобны. (К.Кноп) 104. Существует ли бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, такая, что при одновременной замене всех букв a на aba ибуквb на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)? (Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное n, чтодлявсякогоi =1, 2,... i-й член этой последовательности равен (i + n)-му.) (А.Белов) г. 8класс 105. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записатьв строку, но нельзя записатьпо кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. (Н.Агаханов) 106. Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложитьв пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различалисьпо весу не более, чем в полтора раза. (А.Шаповалов) 107. На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC точки E и M так, что DA + AE = KC + + CM = AB. Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60. (В.Произволов) 108. На предприятии трудятся человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчиненных равна 7. В понедельник каждый работник предприятия

20 20 ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ издает приказ и выдает копию этого приказа каждому своему непосредственному подчиненному (если такие есть). Далее, каждый день работник берет все полученные им в предыдущие деньприказы и либо раздает их копии всем своим непосредственным подчиненным, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников. (Е.Малинникова) 109. Отрезки AB, BC и CA соответственно диагонали квадратов K 1, K 2, K 3. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то он полностью покрывается квадратами K 1, K 2 и K 3. (Н.Агаханов) 110. Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором 1? (А.Шаповалов) 111. Найдите все такие пары простых чисел p и q,чтоp 3 q 5 =(p + q) 2. (С.Токарев) 112. В Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжатьна улицы города. Семье требуется каждый деньиметьв распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтисьсемья, если ее члены могут сами выбиратьзапрещенные дни для своих автомобилей? (И.Ященко) 9класс 113. Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один остроугольный. (А.Шаповалов) 114. Надоскезаписанычисла1, 2, 3,..., Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на три, то побеждает тот, кто делал первый ход, еслинет то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре? (А.Шаповалов) 115. Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложитьв пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различалисьпо весу не более, чем в полтора раза. (А.Шаповалов) 116. Назовем сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочета-

Олимпиада имени Леонарда Эйлера Дистанционный этап 1 тур Задача 1. Можно ли в половину клеток доски поместить по фишке так, чтобы в одном

Олимпиада имени Леонарда Эйлера Дистанционный этап 1 тур Задача 1. Можно ли в половину клеток доски поместить по фишке так, чтобы в одном 1 тур Задача 1. Можно ли в половину клеток доски 12 12 поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате 2 2, составленном из клеток доски, было нечётное количество фишек, а в остальных чётное? Задача 2.

Подробнее

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике Алтайский край учебный год 5 класс

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике Алтайский край учебный год 5 класс 2016 2017 учебный год 5 класс 51 Расставьте в записи 2 2 2 2 2 скобки и знаки действий так, чтобы получилось 24 52 Аня лжет по вторникам, средам и четвергам и говорит правду во все остальные дни недели

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

Городская математическая олимпиада. 6 класс. Детско-юношеский центр «Единство». 4 мая 2017 года.

Городская математическая олимпиада. 6 класс. Детско-юношеский центр «Единство». 4 мая 2017 года. Городская математическая олимпиада. 6 класс. Детско-юношеский центр «Единство». 4 мая 2017 года. 1. В ряд выписаны 10 двоек. Можно ли поставить между некоторыми из них знаки сложения, вычитания, умножения

Подробнее

XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников. 9 класс

XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников. 9 класс 9 класс Первый день 9.. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике. 1.

Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике. 1. II этап 7 класс 9.12.2012 Работа рассчитана на 180 минут 1. В записи 1 1 1 1 расставьте знаки действий и, если нужно, скобки так, чтобы значение получившегося выражения равня- 4 4 4 4 лось 2. 2. Собираясь

Подробнее

Оглавление 7 класс класс класс класс класс... 6

Оглавление 7 класс класс класс класс класс... 6 Наука 1 3 7 класс Оглавление 7 класс... 2 8 класс... 3 9 класс... 4 10 класс... 5 11 класс... 6 7 класс Наука 1 3 7 класс 1. По кругу в произвольном порядке расставили числа от 1 до 31 и подсчитали все

Подробнее

c Трушин Б.В., г. Троицк, 2 декабря 2006 г.

c Трушин Б.В., г. Троицк, 2 декабря 2006 г. Тема I. Четность Задача 1. Квадратная таблица 25 25 раскрашена в 25 цветов так, что в каждой строке и в каждом столбце представлены все цвета. Докажите, что если расположение цветов симметрично относительно

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Вариант 1 1 81 1. а) Решите уравнение ( ) cos sin = 9. π π;.. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 0, а боковое ребро SA равно 7. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно.

Подробнее

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов (Правильное и полное решение каждой задачи оценивается в 20 баллов) Олимпиада школьников СПбГУ

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-0 9 класс. Решения задач. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

6 класс. Решения и критерии проверки. (все задачи оцениваются исходя из 7-ми баллов, время на решение 4 часа)

6 класс. Решения и критерии проверки. (все задачи оцениваются исходя из 7-ми баллов, время на решение 4 часа) Образовательный центр «Сириус» Отбор на сентябрьскую математическую смену 2017 г., 13.05.2017 6 класс. Решения и критерии проверки. (все задачи оцениваются исходя из 7-ми баллов, время на решение 4 часа)

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Подробнее

(x 1 + x x n ) 2 ; б) x 1

(x 1 + x x n ) 2 ; б) x 1 Летнее задание 1 Докажите, что sin 3 α + cos 3 α 1 для любого угла α Сумма квадратов вещественных чисел, b, c и d равна 1 Докажите, что (1 )(1 b) cd 3 Докажите, что для любых положительных чисел 1,, n,

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов

Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов (Правильное и полное решение каждой задачи оценивается в 20 баллов) Первый вариант 1.

Подробнее

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Прототипы (456) заданий В-04 ЧАСТЬ 2 Задание B4 ( 27473) В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. Задание B4 ( 27474) В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите. Задание B4 ( 27742) Один острый угол прямоугольного

Подробнее

10 апреля. С/р 12. Касание (пр+окр, окр+окр), вписанные окружности

10 апреля. С/р 12. Касание (пр+окр, окр+окр), вписанные окружности С/р 12. Касание (пр+окр, окр+окр), вписанные окружности 10 апреля 1. стр. 129 6 2. стр. 130 15 3. При пересечении четырёх прямых образовались два треугольника, в которые вписали по окружности, см. рис.

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен БИЛЕТ 1 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение f(x). Ответ.

Подробнее

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость.

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость. Лекция 3. Методы изображений 27 2. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E 3 некоторую плоскость σ и какой-нибудь ненулевой вектор p r, непараллельный этой плоскости. Пусть A -произвольная

Подробнее

СПИСОК ЗАДАЧ ЛМШ-2013

СПИСОК ЗАДАЧ ЛМШ-2013 СПИСОК ЗАДАЧ ЛМШ-2013 Младшая олимпиадная группа 1-13 ИЮЛЯ 2013 Тема: Делимость (1-6 июля 2013) Преподаватель: Южаков В. И. День 1 (Вступительная олимпиада) 1. Дано выражение со знаками деления: 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10.

Подробнее

Финальный этап, 29 марта 2015 года

Финальный этап, 29 марта 2015 года 6 класс 1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр в обратном порядке (например, числа 4, 55, 626 палиндромы, а 20, 201, 2015 нет). Представьте число 2000

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Остатки и сравнения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Остатки и сравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Остатки и сравнения 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 2 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AC. 27235.

Подробнее

VIII Республиканский математический турнир памяти А. Б. Воронецкого Математическая игра «Самбо».

VIII Республиканский математический турнир памяти А. Б. Воронецкого Математическая игра «Самбо». Математическая игра «Самбо». 1. Аня, Маня и Таня как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Ани есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие

Подробнее

38-й Международный математический Турнир городов 2016/17 учебный год Весенний тур

38-й Международный математический Турнир городов 2016/17 учебный год Весенний тур 38-й Международный математический Турнир городов 2016/17 учебный год Весенний тур Решения задач Сложный вариант Младшие классы 1. [5] В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались

Подробнее

Решения заданий День 2

Решения заданий День 2 II Кавказская математическая олимпиада Решения заданий День Д. К. Мамий Д. А. Белов В. А. Брагин Л. А. Емельянов П. А. Кожевников С. И. Токарев 13 18 марта 017 г. г. Майкоп Республика Адыгея II Кавказская

Подробнее

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление I. Задания заключительного этапа олимпиады для 11 класса... 2 II. Задания 1 тура отборочного

Подробнее

CQ CB = CP CA = 4CP 2 = (2CP ) 2 = CM 2.

CQ CB = CP CA = 4CP 2 = (2CP ) 2 = CM 2. LXXVII Московская математическая олимпиада Решения задач 10 класса версия от 11.03.2014 Задача 1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + c принимает в точках 1 и c a значения разных знаков. Докажите, что

Подробнее

Решение задач 3 тура 2010/2011 года. (3 балла)

Решение задач 3 тура 2010/2011 года. (3 балла) Приносим свои извинения за то, что в решении последней задачи предыдущего тура была допущена ошибка, решение исправлено, баллы полученные участниками подкорректированы. В соответствующих файлах были внесены

Подробнее

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Задание 9 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Задание 9 132781. В выпуклом четырехугольнике ABCD,,,. Найдите

Подробнее

Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение

Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение по математике (2016-2017 уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые одинаковыми, разные разными. Получилось АБББ + А = ВГГГ. Восстановите пример. 5.2. Две тетради стоят

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 7-1 Дано равенство (x 7)(x 2 28x +...) = (x 11)(x 2 24x +...).

Подробнее

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов (Правильное и полное решение каждой задачи оценивается в 20 баллов) Олимпиада школьников СПбГУ

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ. Инструкция по выполнению работы

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ. Инструкция по выполнению работы http://решуегэ.рф/methodist ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник С4

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник С4 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задачник С4 Здесь приведены задачи С4, которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических, контрольных и тренировочных работах МИОО начиная

Подробнее

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (11 КЛАСС)

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (11 КЛАСС) Решите уравнение cos + cos 4 = + ctg 6 Решите неравенство + 4 + 5 3 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств + y a 6 4y 3, + y 4a 8y 0 + 4a 40 имеет ровно одно решение

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс 7.12.

Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике II этап 7 класс 7.12. II этап 7 класс 7.12.2014 Работа рассчитана на 180 минут 1. В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу? A 2.

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1 C Математика. класс. Вариант МА-5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение = cos x. 5π б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; π. а)

Подробнее

II этап 7 класс

II этап 7 класс II этап 7 класс 6.1.015 Работа рассчитана на 180 минут 1. На длинной ленте написаны цифры 015015015... Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45.

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике. Школьный этап. 5 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике. Школьный этап. 5 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике Школьный этап 5 класс 1. Расшифруйте ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. (7 баллов) БДСЕ + БДАЕ АЕСВЕ 2. Парусник отправляется

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Кафедра высшей математики Сборник задач для выявления одаренной молодежи ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДАРЕННОЙ МОЛОДЕЖИ 1. В окpужность вписан

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования. «Гомельский государственный университет. Имени Франциска Скорины»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования. «Гомельский государственный университет. Имени Франциска Скорины» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет Имени Франциска Скорины» ВПЛЕМЕШЕВ, ЮВКОЗЛОВА МАТЕМАТИКА методическое указания по выполнению

Подробнее

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1 Физтех 0, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x =

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур 000 7 класс 7 На контрольной в 7 а было мальчиков на три человека больше, чем девочек По результатам контрольной оказалось, что

Подробнее

ОММО решения для жюри общие критерии

ОММО решения для жюри общие критерии ОММО 01.0.015 решения для жюри общие критерии Общие критерии оценивания По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания): «+» задача решена

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 67 Перечня олимпиад школьников, 2016/2017 уч. год) Оглавление

Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 67 Перечня олимпиад школьников, 2016/2017 уч. год) Оглавление Задания Открытой олимпиады школьников по математике ( 67 Перечня олимпиад школьников, 2016/2017 уч. год) Оглавление I. Задания заключительного этапа олимпиады для 11 класса... 2 II. Задания 1 тура отборочного

Подробнее

ББК я72 М52 ISBN

ББК я72 М52 ISBN ББК 22.151я72 М52 Мерзляк А.Г. М52 Геометрия : 9 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др. М. : Вентана-Граф,

Подробнее

Многопрофильная олимпиада «Будущее Арктики» по математике для учащихся 4 классов

Многопрофильная олимпиада «Будущее Арктики» по математике для учащихся 4 классов Многопрофильная олимпиада по математике для учащихся 4 классов 1. Сколько получится, если сложить: а) наименьшее трехзначное и наибольшее двузначное число; б) наименьшее нечетное однозначное и наибольшее

Подробнее

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Муниципальное автономное образовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Составил: учитель математики Барда Мария

Подробнее

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x)

log ( ) 0 (10 баллов) 6. Найдите множество значений функции f ( x) Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 6 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 04-05 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9- классы 90 минут Министерством

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: x y y 0. Ответ: см. рис.. Решение. x y y 0 y(x y 0, y 0, ) 0 или.

Подробнее

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( )

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( ) Физтех 0, 0 класс, решения билета Известно, что sin x = cos y sin y, cos x = sin y cos y Найдите sin y 7 Ответ sin y = 0 Решение Возводя оба равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем = 0 sin

Подробнее

Трушин Б.В., 26 июня 2011 г.

Трушин Б.В., 26 июня 2011 г. Тема 1. Четность 1. На столе лежат 13 шестеренок, соединенных в замкнутую цепочку. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? 2. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 13 звенной ломаной,

Подробнее

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур 2012 года

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур 2012 года 7 класс 1. На столе стоят кофейник с кофе и молочник с молоком. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком (чашки одинаковые), после чего кофейник и молочник остались пустыми. При этом Катя выпила

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 06 г. Вариант. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход и с некоторым

Подробнее

Геометрия. Олимпиады-2014

Геометрия. Олимпиады-2014 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Геометрия. Олимпиады-2014 Данный листок содержит задачи по планиметрии, которые предлагались на различных олимпиадах в 2013 2014 учебном году. 1. (Математический

Подробнее

ID_348 1/9 neznaika.pro

ID_348 1/9 neznaika.pro Вариант 6 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 1 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят рублей

Подробнее

2. Решите неравенство. log ( ) 0

2. Решите неравенство. log ( ) 0 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): 8 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Вася сложил четвертую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете. Сможет ли Петя однозначно определить Васино

Подробнее

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1 Физтех 05, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k +, 5 x = + k, x = + k Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x = + k, k

Подробнее

ID_346 1/8 neznaika.pro

ID_346 1/8 neznaika.pro Вариант 4 Математика Профильный уровень Часть Ответом на задания должно быть целое число или десятичная дробь. Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из трёх роз каждому учителю

Подробнее

LXIII Всероссийская олимпиада школьников по математике. Задачи. LXIII Всероссийская олимпиада школьников по математике. 6 класс

LXIII Всероссийская олимпиада школьников по математике. Задачи. LXIII Всероссийская олимпиада школьников по математике. 6 класс Задачи. LXIII Всероссийская олимпиада школьников по математике 5 класс 1.Из бумаги вырезали квадрат 5 5 клеток. В нем вырезали две клетки и приклеили их так, как показано на рисунке. Как полученную фигуру,

Подробнее

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Отложенные задания (40) Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Прямоугольный параллелепипед описан около

Подробнее

Задания для 6 7 класса

Задания для 6 7 класса Задания для 6 7 класса 1. Первая часть Задача 1: Числа 789, 243 и 675 состоят из подряд идущих цифр. А сколько всего таких трехзначных чисел? Цифры 9 и 0 подряд идущими не являются. А. 36 Б.38 В. 46 Г.

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13?

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению одинаковых

Подробнее

Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс Вариант 1

Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс Вариант 1 Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. 1. Петя пошел в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя отвел

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. 0 класс. Вариант МА00409 (Профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 5 а) Решите уравнение sin x + sin x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач

3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач 3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач 10 класс 1. На клетчатой доске 20 17 расставлены несколько шахматных коней. Каждую секунду какой-нибудь один из коней делает ход на свободное поле. Через

Подробнее

Сборник олимпиадных задач по математике за уч. год 11 класс

Сборник олимпиадных задач по математике за уч. год 11 класс Сборник олимпиадных задач по математике за 013-016 уч. год Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 013-014 учебный год 1. Постройте график функции : y= +.. В последовательности квадратных

Подробнее

Вариант Найдите значение выражения Решение. Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 4.

Вариант Найдите значение выражения Решение. Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 4. Вариант 3143401 1. Найдите значение выражения Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 3. 2. На координатной прямой точками отмечены числа Какому числу соответствует точка B? 1) 2) 3) 0,42 4) 0,45,

Подробнее

0,3. а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1

0,3. а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1 Задача 1 0,3 5 а) 0,49 б)1,3 в) 0,13 г) 1 Задача Чему равно a 1 a, если 1 a 100? a а) 9998 б) 9999 в) 10000 г) 10001 3 Задача 3 Во сколько раз наименьшее общее кратное чисел 4 и 36 больше их наибольшего

Подробнее

( ) А) Б) В) Краевая диагностичеcкая paботa по МАТЕМАТИКЕ Вариант 1

( ) А) Б) В) Краевая диагностичеcкая paботa по МАТЕМАТИКЕ Вариант 1 МАТЕМАТИКА, 9 класс Вариант, Апрель 06 Краевая диагностичеcкая pбот по МАТЕМАТИКЕ Вариант ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ Работа состоит из 0 заданий. На выполнение всей работы отводится 90минут. При выполнении

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы Вписанные углы, четырехугольники, окружности Вписанные углы 1. Две окружности пересекаются в точках A и B. Продолжения хорд AC и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках E и F. Докажите,

Подробнее

Решения заданий День 2

Решения заданий День 2 II Кавказская математическая олимпиада Решения заданий День Д. К. Мамий Д. А. Белов В. А. Брагин Л. А. Емельянов П. А. Кожевников С. И. Токарев 13 18 марта 017 г. г. Майкоп Республика Адыгея II Кавказская

Подробнее

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x( x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

Подробнее

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Решения задач 8 9 класс 1. (А. Блинков) В шестиугольнике равны

Подробнее

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4.

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4. 9 класс 5). Найдите все решения системы уравнений xy x + y =, x y + xy =. Заметим, что x y + xy = xyx + y). Введем замену xy = a, x + y = b. Тогда получаем a b =, b a = ab, b a =, b a =, b = + a, ab =

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕАЛЬНОГО ВАРИАНТА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Часть 1 Модуль «Алгебра» 1 Найдите значение выражения Решение. Умножим и числитель и знаменатель дроби на 10: Ответ: 5. 2 Между какими числами заключено

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40 Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант 7 Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг

Подробнее

Ягубов.РФ. Исландия. Бахрейн Венесуэла ЮАР. Нидерланды Новая Зеландия. Аргентина. Германия. Мозамбик. Таджикистан. Вариант 15587

Ягубов.РФ. Исландия. Бахрейн Венесуэла ЮАР. Нидерланды Новая Зеландия. Аргентина. Германия. Мозамбик. Таджикистан. Вариант 15587 Вариант 15587 Ответом к заданиям 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ 1 справа от номера соответствующего

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

IX Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 19 ноября 2016 г., 7 класс, высшая лига. IX Ижевский командный турнир математиков

IX Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 19 ноября 2016 г., 7 класс, высшая лига. IX Ижевский командный турнир математиков 1 тур, 19 ноября 2016 г., 7 класс, высшая лига 1. Среди натуральных чисел от 1 до N числа, кратные 3, составляют не более 30%. Чему может 2. Даны три попарно различные натуральные числа. Ваня перемножил

Подробнее

Решения, выезд, вариант Ш

Решения, выезд, вариант Ш Решения, выезд, вариант Ш Решите неравенство log log + 4 + 9 log ( + + 6) + Ответ: ( ; ) [ 7 + 87; + ) Решение Находим ОДЗ: ( ; ) ( ; + ) Перепишем неравенство в виде log ( ( )( ) ) + log + + log + 4 +

Подробнее

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г.

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г. Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 05 г Вариант Одновременно из пункта A в пункт B отправляется автомобиль

Подробнее

B 2 B 1 C 1 C 2 M L D 1 D 2

B 2 B 1 C 1 C 2 M L D 1 D 2 Блиц. Младшая лига. 1. Решить ребус СУНЦ+УРФУ= УЧЕБА, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым буквам одинаковые цифры. В ответ написать наибольшее значение СУНЦ. Ответ: 9186 Решение.

Подробнее