Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика"

Транскрипт

1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения". Модуль 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 2.1 к.ф.-м.н. Меньшова И.В. к.ф.-м.н. Чирков Д.М.

2 1. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 1.1. Основные понятия. Дифференциальный оператор, его свойства. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, его свойство 1.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения Линейно зависимые и независимые системы функций на отрезке. Определитель Вронского Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

3 Основные понятия и теоремы теории ЛДУ высших порядков ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

4 Определение 1 Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка это уравнение вида b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x), (1) где b 0 (x) 0,b 1 (x),...,b n (x),g(x) заданные непрерывные на множестве X функции.

5 Определение 1 Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка это уравнение вида b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x), (1) где b 0 (x) 0,b 1 (x),...,b n (x),g(x) заданные непрерывные на множестве X функции. Множество X отрезок или интервал, или полупрямая, или вся числовая прямая.

6 Определение 1 Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка это уравнение вида b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x), (1) где b 0 (x) 0,b 1 (x),...,b n (x),g(x) заданные непрерывные на множестве X функции. Множество X отрезок или интервал, или полупрямая, или вся числовая прямая. Функции b 0 (x),b 1 (x),...,b n (x) называют коэффициентами ЛДУ, функцию g(x) называют свободным членом ЛДУ. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

7 Определение 1 Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка это уравнение вида b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x), (1) где b 0 (x) 0,b 1 (x),...,b n (x),g(x) заданные непрерывные на множестве X функции. Множество X отрезок или интервал, или полупрямая, или вся числовая прямая. Функции b 0 (x),b 1 (x),...,b n (x) называют коэффициентами ЛДУ, функцию g(x) называют свободным членом ЛДУ. Искомая функция y и все её производные входят в уравнение (1) в первых степенях, поэтому уравнение называется линейным. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

8 Определение 2 Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка.

9 Определение 2 Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

10 Определение 2 Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка. Примеры 1 ЛОДУ: x 2 y +xy y = 0

11 Определение 2 Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Если g(x) 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка. Примеры 1 ЛОДУ: x 2 y +xy y = 0 2 ЛНДУ: x 2 y +xy y = e x lnx ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

12 Разделим обе части уравнения (1) на b 0 (x) 0: b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x) : b 0 (x) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

13 Разделим обе части уравнения (1) на b 0 (x) 0: b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x) y (n) + b 1(x) b 0 (x) y(n 1) b n(x) g(x) y = b 0 (x) b 0 (x) : b 0 (x) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

14 Разделим обе части уравнения (1) на b 0 (x) 0: b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x) y (n) + b 1(x) b 0 (x) y(n 1) b n(x) g(x) y = b 0 (x) b 0 (x) : b 0 (x) Обозначим: a 1 (x) = b 1(x) b 0 (x),...,a n(x) = b n(x) g(x), f(x) = b 0 (x) b 0 (x). ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

15 Разделим обе части уравнения (1) на b 0 (x) 0: b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x) y (n) + b 1(x) b 0 (x) y(n 1) b n(x) g(x) y = b 0 (x) b 0 (x) : b 0 (x) Обозначим: a 1 (x) = b 1(x) b 0 (x),...,a n(x) = b n(x) g(x), f(x) = b 0 (x) b 0 (x). Тогда уравнение (1) примет вид y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y = f(x) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

16 Разделим обе части уравнения (1) на b 0 (x) 0: b 0 (x) y (n) +b 1 (x) y (n 1) +...+b n (x) y = g(x) y (n) + b 1(x) b 0 (x) y(n 1) b n(x) g(x) y = b 0 (x) b 0 (x) : b 0 (x) Обозначим: a 1 (x) = b 1(x) b 0 (x),...,a n(x) = b n(x) g(x), f(x) = b 0 (x) b 0 (x). Тогда уравнение (1) примет вид y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y = f(x) приведенное ЛДУ n-го порядка (2) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

17 Уравнение (2) с заданными начальными условиями y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y = f(x) y(x 0 ) = y0 0, y (x 0 ) = y1 0, y (x 0 ) = y2 0,...,y(n 1) (x 0 ) = yn 1 0, x 0 X (3) называется задачей Коши. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

18 Уравнение (2) с заданными начальными условиями y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y = f(x) y(x 0 ) = y0 0, y (x 0 ) = y1 0, y (x 0 ) = y2 0,...,y(n 1) (x 0 ) = yn 1 0, x 0 X (3) называется задачей Коши. Теорема 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши) Решение задачи Коши (3) существует и единственно на любом отрезке [a;b] X. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

19 Введем обозначения: L[y] = y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y линейный дифференциальный оператор n-го порядка ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

20 Введем обозначения: L[y] = y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y Тогда L[y] = 0 ЛОДУ n-го порядка, линейный дифференциальный оператор n-го порядка ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

21 Введем обозначения: L[y] = y (n) +a 1 (x) y (n 1) +...+a n (x) y Тогда L[y] = 0 ЛОДУ n-го порядка, L[y] = f(x) ЛНДУ n-го порядка линейный дифференциальный оператор n-го порядка ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

22 Лемма 1 (свойство линейного оператора) Пусть y 1 = y 1 (x) и y 2 = y 2 (x) произвольные функции, имеющие производные до n-го порядка включительно; C 1,C 2 произвольные постоянные. Тогда выполняется равенство L[C 1 y 1 +C 2 y 2 ] = C 1 L[y 1 ]+C 2 L[y 2 ] ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

23 Теорема 2 (о структуре общего решения ЛНДУ) Общее решение yон неоднородного уравнения L[y] = f(x) представляет собой сумму какого-либо частного решения yчн этого уравнения и общего решенияy oo соответствующего однородного уравнения L[y] = 0: yон = y oo +yчн ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

24 Доказательство: 1 Применим линейный дифференциальный оператор к сумме функций y oo (x) и yчн(x). Используя лемму 1, получим: L[y oo (x)+yчн(x)] = L[y oo (x)]+l[yчн(x)] = f(x)+0 = f(x) Следовательно, функция y(x) = y oo (x)+yчн(x) является решением ДУ L[y] = f(x). ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

25 Доказательство: 1 Применим линейный дифференциальный оператор к сумме функций y oo (x) и yчн(x). Используя лемму 1, получим: L[y oo (x)+yчн(x)] = L[y oo (x)]+l[yчн(x)] = f(x)+0 = f(x) Следовательно, функция y(x) = y oo (x)+yчн(x) является решением ДУ L[y] = f(x). 2 Теперь покажем, что любое решение y(x) неоднородного уравнения L[y] = f(x) можно представить в виде y(x) = y oo (x)+yчн(x): L[y(x) yчн(x)] = L[y(x)] L[yчн(x)] = f(x) f(x) = 0 ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

26 Доказательство: 1 Применим линейный дифференциальный оператор к сумме функций y oo (x) и yчн(x). Используя лемму 1, получим: L[y oo (x)+yчн(x)] = L[y oo (x)]+l[yчн(x)] = f(x)+0 = f(x) Следовательно, функция y(x) = y oo (x)+yчн(x) является решением ДУ L[y] = f(x). 2 Теперь покажем, что любое решение y(x) неоднородного уравнения L[y] = f(x) можно представить в виде y(x) = y oo (x)+yчн(x): L[y(x) yчн(x)] = L[y(x)] L[yчн(x)] = f(x) f(x) = 0 Теорема доказана. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

27 Теорема 3 (о наложении решений) Пусть y 1 = y 1 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x), y 2 = y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 2 (x). Тогда y 1 (x)+y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x)+f 2 (x). ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

28 Теорема 3 (о наложении решений) Пусть y 1 = y 1 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x), y 2 = y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 2 (x). Тогда y 1 (x)+y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x)+f 2 (x). Доказательство: ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

29 Теорема 3 (о наложении решений) Пусть y 1 = y 1 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x), y 2 = y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 2 (x). Тогда y 1 (x)+y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x)+f 2 (x). Из леммы 1 следует, что Доказательство: L[y 1 (x)+y 2 (x)] = L[y 1 (x)]+l[y 2 (x)] = f 1 (x)+f 2 (x) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

30 Теорема 3 (о наложении решений) Пусть y 1 = y 1 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x), y 2 = y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 2 (x). Тогда y 1 (x)+y 2 (x) решение уравнения L[y] = f 1 (x)+f 2 (x). Доказательство: Из леммы 1 следует, что L[y 1 (x)+y 2 (x)] = L[y 1 (x)]+l[y 2 (x)] = f 1 (x)+f 2 (x) Теорема доказана. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

31 Линейные однородные дифференциальные уравнения Линейно зависимые и независимые системы функций на отрезке. Определитель Вронского ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

32 Лемма 2 Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) частные решения ЛОДУ L[y] = 0; C 1,C 2,...,C n произвольные постоянные. Тогда линейная комбинация C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x) тоже является решением ЛОДУ L[y] = 0. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

33 Лемма 2 Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) частные решения ЛОДУ L[y] = 0; C 1,C 2,...,C n произвольные постоянные. Тогда линейная комбинация C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x) тоже является решением ЛОДУ L[y] = 0. Лемма 2 следует из леммы 1. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

34 Лемма 2 Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) частные решения ЛОДУ L[y] = 0; C 1,C 2,...,C n произвольные постоянные. Тогда линейная комбинация C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x) тоже является решением ЛОДУ L[y] = 0. Лемма 2 следует из леммы 1. Из леммы 2 следует, что множество решений ЛОДУ образует линейное пространство. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

35 Определение 3 Функции y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) называются линейно независимыми на отрезке [a;b], если равенство α 1 y 1 (x)+α 2 y 2 (x)+...+α n y n (x) = 0 (4) выполняется тогда и только тогда, когда α 1 =... = α n = 0 для всех чисел α j R, j = 1,2,...,n. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

36 Определение 3 Функции y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) называются линейно независимыми на отрезке [a;b], если равенство α 1 y 1 (x)+α 2 y 2 (x)+...+α n y n (x) = 0 (4) выполняется тогда и только тогда, когда α 1 =... = α n = 0 для всех чисел α j R, j = 1,2,...,n. Определение 4 Если хотя бы одно из чисел α j R, j = 1,2,...,n НЕ равно нулю и выполняется равенство (4), то функции y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) называются линейно зависимыми. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

37 Из определений 3 и 4 следует, что два решения y 1 (x) и y 2 (x) являются линейно независимыми на отрезке [a;b], если их отношение НЕ является ( постоянным ) на этом отрезке y1 (x) y 2 (x) const. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

38 Из определений 3 и 4 следует, что два решения y 1 (x) и y 2 (x) являются линейно независимыми на отрезке [a;b], если их отношение НЕ является ( постоянным ) на этом отрезке y1 (x) y 2 (x) const. Примеры 1 Функции sin x и cos x линейно независимы, т.к. sinx = tgx const. cosx

39 Из определений 3 и 4 следует, что два решения y 1 (x) и y 2 (x) являются линейно независимыми на отрезке [a;b], если их отношение НЕ является ( постоянным ) на этом отрезке y1 (x) y 2 (x) const. Примеры 1 Функции sin x и cos x линейно независимы, т.к. sinx = tgx const. cosx 2 Функции 3e x и e 2x линейно независимы, т.к. 3e x e 2x = 3e x const. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

40 Из определений 3 и 4 следует, что два решения y 1 (x) и y 2 (x) являются линейно зависимыми на отрезке ( [a;b], если) их отношение y1 (x) постоянно на этом отрезке y 2 (x) const. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

41 Из определений 3 и 4 следует, что два решения y 1 (x) и y 2 (x) являются линейно зависимыми на отрезке ( [a;b], если) их отношение y1 (x) постоянно на этом отрезке y 2 (x) const. Пример Функции 3e x и e x линейно зависимы, т.к. 3ex e x = 3 const. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

42 Для изучения линейной зависимости системы функций y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) используют определитель Вронского (вронскиан): ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

43 Для изучения линейной зависимости системы функций y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) используют определитель Вронского (вронскиан): W(x) W[y 1,y 2,...,y n ] y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) (5) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

44 Для изучения линейной зависимости системы функций y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) используют определитель Вронского (вронскиан): W(x) W[y 1,y 2,...,y n ] y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) (5) Определитель так назван в честь польского математика Юзефа Марии Вронского ( ). ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

45 Для изучения линейной зависимости системы функций y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) используют определитель Вронского (вронскиан): W(x) W[y 1,y 2,...,y n ] y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) (5) Определитель так назван в честь польского математика Юзефа Марии Вронского ( ). Пример W[y 1,y 2 ] = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1 y 2 y 1 y 2 ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

46 Теорема 4 Если дифференцируемые функции y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) линейно зависимы на отрезке [a; b], то определитель Вронского на этом отрезке равен нулю: W[y 1,y 2,...,y n ] 0 при x [a;b] ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

47 Теорема 4 Если дифференцируемые функции y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) линейно зависимы на отрезке [a; b], то определитель Вронского на этом отрезке равен нулю: W[y 1,y 2,...,y n ] 0 при x [a;b] Теорема 5 Если y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) линейно независимые решения уравнения L[y] = 0 на отрезке [a; b], то определитель Вронского, составленный из этих решений, НЕ обращается в нуль ни при одном значении x [a; b]. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

48 Пример Составим определитель Вронского из функций x, sin x, cos x: x sinx cosx W[x,sinx,cosx] = 1 cosx sinx 0 sinx cosx = x 0 Следовательно, функции x, sin x, cos x линейно независимы. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

49 Пример Составим определитель Вронского из функций x, sin x, cos x: x sinx cosx W[x,sinx,cosx] = 1 cosx sinx 0 sinx cosx = x 0 Следовательно, функции x, sin x, cos x линейно независимы. Следствие из теорем 4 и 5: Определитель Вронского системы решений ЛОДУ L[y] = 0 либо тождественно равен нулю на отрезке [a;b], и тогда эти решения являются линейно зависимыми; либо НЕ обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a;b], и тогда эти решения линейно независимы. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

50 Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

51 Определение 5 Фундаментальная система решений (ФСР) набор любых n линейно независимых на отрезке [a; b] частных решений ЛОДУ. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

52 Определение 5 Фундаментальная система решений (ФСР) набор любых n линейно независимых на отрезке [a; b] частных решений ЛОДУ.! Вронскиан, составленный из ФСР, отличен от нуля. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

53 Определение 5 Фундаментальная система решений (ФСР) набор любых n линейно независимых на отрезке [a; b] частных решений ЛОДУ.! Вронскиан, составленный из ФСР, отличен от нуля. Теорема 6 (о существовании ФСР) Любое ЛОДУ с непрерывными коэффициентами имеет ФСР. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

54 Определение 5 Фундаментальная система решений (ФСР) набор любых n линейно независимых на отрезке [a; b] частных решений ЛОДУ.! Вронскиан, составленный из ФСР, отличен от нуля. Теорема 6 (о существовании ФСР) Любое ЛОДУ с непрерывными коэффициентами имеет ФСР.! Любое ЛОДУ имеет бесконечно много ФСР. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

55 Теорема 7 (о структуре общего решения ЛОДУ) Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) ФСР ЛОДУ L[y] = 0. Общее решение ЛОДУ задается формулой y = C 1 y 1 +C 2 y C n y n ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

56 Теорема 7 (о структуре общего решения ЛОДУ) Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) ФСР ЛОДУ L[y] = 0. Общее решение ЛОДУ задается формулой y = C 1 y 1 +C 2 y C n y n Пример Функции y 1 (x) = e 2x, y 2 (x) = e 2x частные решения ЛОДУ второго порядкаy 4y = 0.

57 Теорема 7 (о структуре общего решения ЛОДУ) Пусть y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) ФСР ЛОДУ L[y] = 0. Общее решение ЛОДУ задается формулой y = C 1 y 1 +C 2 y C n y n Пример Функции y 1 (x) = e 2x, y 2 (x) = e 2x частные решения ЛОДУ второго порядкаy 4y = 0. Эти решения линейно независимы, т.к. определитель Вронского, построенный из них, отличен от нуля: W[e 2x,e 2x ] = e 2x e 2x 2e 2x 2e 2x = = 2e 2x e 2x 2e 2x e 2x = 4 0 ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

58 Пример (продолжение) Функции e 2x, e 2x образуют ФСР = y = C 1 e 2x +C 2 e 2x общее решение уравнения y 4y = 0. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

59 Пример (продолжение) Функции e 2x, e 2x образуют ФСР = y = C 1 e 2x +C 2 e 2x общее решение уравнения y 4y = 0.! Множество всех решений ЛОДУ образует линейное пространство; ФСР является базисом этого пространства. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

60 Для определителя Вронского выполняется формула Остроградского-Лиувилля: W[y 1,y 2,...,y n ] = W 0 e x a 1 (x)dx x 0 (6) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

61 Для определителя Вронского выполняется формула Остроградского-Лиувилля: W[y 1,y 2,...,y n ] = W 0 e x a 1 (x)dx x 0 (6) y 1,y 2,...,y n ФСР ЛОДУ L[y] = 0; W 0 значение вронскиана при x = x 0 (W 0 = W(x 0 )); a 1 (x) коэффициент перед производной y (n 1) в ЛОДУ L[y] = 0. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

62 Следствия формулы Остроградского-Лиувилля: ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

63 Следствия формулы Остроградского-Лиувилля: Теорема 8 (свойство вронскиана для системы решений ЛОДУ) Если определитель Вронского, построенный для системы решений ЛОДУ, равен нулю в какой-либо одной точке отрезка [a;b], то он равен нулю на всем отрезке [a;b]. ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

64 Следствия формулы Остроградского-Лиувилля: Теорема 8 (свойство вронскиана для системы решений ЛОДУ) Если определитель Вронского, построенный для системы решений ЛОДУ, равен нулю в какой-либо одной точке отрезка [a;b], то он равен нулю на всем отрезке [a;b]. Теорема 9 Если известно одно частное решение y 1 (x) ЛОДУ второго порядка y +a 1 (x)y +a 2 (x)y = 0, то его второе решение y 2 (x), линейно независимое с первым, можно найти по формуле e a 1 (x)dx y 2 (x) = y 1 (x) y1 2(x) dx (7) ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

65 Пример 1 Функцияy 1 (x) = e x является частным решением ЛОДУ второго порядка y 2y + y = 0. Найдем второе частное решение по формуле (7): y 2 (x) = e x e 2dx e 2x dx = ex e2x e 2x dx = ex Общее решение уравнения y 2y +y = 0: y = C 1 e x +C 2 xe x dx = e x x ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

66 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): y 2 (x) = sinx x e 2 x dx ( sinx x ) 2 dx =

67 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): y 2 (x) = sinx x e 2 x dx ( sinx x ) 2 dx = sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x)

68 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): y 2 (x) = sinx x = sinx x x 2 e lnx 2 sin 2 (x) dx = e 2 x dx ( sinx x ) 2 dx = sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x)

69 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 sin 2 (x) e 2 x dx ( sinx x dx = sinx x ) 2 dx = sinx x x2 x 2 sin 2 (x) dx = x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x)

70 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 sin 2 (x) e 2 x dx ( sinx x dx = sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x) x2 x 2 sinx dx = x ) 2 dx = sinx x sin 2 (x) dx sin 2 (x) =

71 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 sin 2 (x) e 2 x dx ( sinx x dx = sinx x = sinx x ( ctgx) = x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x) x2 x 2 sinx dx = x ) 2 dx = sinx x sin 2 (x) dx sin 2 (x) =

72 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 e 2 x dx ( sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x) x2 x 2 sinx dx = x ) 2 dx = sinx x sinx sin 2 dx = (x) x sin 2 (x) = sinx x ( ctgx) = sinx x cosx sinx = dx sin 2 (x) =

73 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 e 2 x dx ( sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x) x2 x 2 ) 2 dx = sinx x sinx sin 2 dx = (x) x sinx sin 2 dx = (x) x = sinx x ( ctgx) = sinx x cosx sinx = cosx x dx sin 2 (x) =

74 Пример 2 Функция y 1 (x) = sinx является частным решением ЛОДУ второго порядка y + 2 x y +y = 0. Найдем второе частное x решение по формуле (7): = sinx x y 2 (x) = sinx x x 2 e lnx 2 e 2 x dx ( sinx x x 2 e 2ln x sin 2 dx = (x) x2 x 2 ) 2 dx = sinx x sinx sin 2 dx = (x) x sinx sin 2 dx = (x) x = sinx x ( ctgx) = sinx x cosx sinx = cosx x Общее решение уравнения y + 2 x y +y = 0: ( ) sinx ( y = C 1 +C 2 cosx ) = C 1sinx C 2 cosx x x x dx sin 2 (x) = ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29

75 Пример 3 Функции 1,x 2,e x образуют ФСР какого-то (неизвестного) дифференциального уравнения. Необходимо найти это дифференциальное уравнение.

76 Пример 3 Функции 1,x 2,e x образуют ФСР какого-то (неизвестного) дифференциального уравнения. Необходимо найти это дифференциальное уравнение. Запишем искомое уравнение через определитель: 1 x 2 e x y 0 2x e x y 0 2 e x y = e x y

77 Пример 3 Функции 1,x 2,e x образуют ФСР какого-то (неизвестного) дифференциального уравнения. Необходимо найти это дифференциальное уравнение. Запишем искомое уравнение через определитель: 1 x 2 e x y 0 2x e x y 0 2 e x y = e x y Раскрывая этот определитель, получим ответ: (x 1)y xy +y = 0 ИиДУ, Модуль 2, Лекция / 29


Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Математический анализ. Лекция 3.2

Математический анализ. Лекция 3.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекции по дифференциальным уравнениям

Лекции по дифференциальным уравнениям ЮА Чаповский Лекции по дифференциальным уравнениям Группа: КА 34 II курс, семестр 3 Киев 2014 c ЮА Чаповский Оглавление 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 4 11 Общие сведения 5 111 Скалярные

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 70800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Л.О.Д.У. с постоянными. коэффициентами. Лекция 3

Л.О.Д.У. с постоянными. коэффициентами. Лекция 3 Л.О.Д.У. с постоянными коэффициентами Лекция 3 1 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка Рассмотрим линейные однородные дифференциальные уравнения с

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Математический анализ. Лекция 2.3

Математический анализ. Лекция 2.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция.5 Аннотация Несобственные интегралы I рода. Определение ограниченное числовое множество. Множество вещественных

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши

Подробнее

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич ГЛАВА Цилиндрические функции 3. Функции Бесселя первого

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Математический анализ. Лекция 3.4

Математический анализ. Лекция 3.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

«Интегралы и дифференциальные уравнения»

«Интегралы и дифференциальные уравнения» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА Билеты для подготовки к сдаче дисциплины : «Интегралы и дифференциальные уравнения» МГТУ имени Н.Э. Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Аттракторы неавтономных уравнений

Аттракторы неавтономных уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова В.М. Аттракторы неавтономных уравнений Научно-популярный материал Долгопрудный

Подробнее

Лекции по дифференциальным уравнениям

Лекции по дифференциальным уравнениям ЮА Чаповский Лекции по дифференциальным уравнениям Группы: КА 53, 54 II курс, семестр 3 Киев 2016 c ЮА Чаповский Оглавление 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 4 11 Общие сведения Примеры 5 111

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 4)

Дифференциальные уравнения (лекция 4) Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением

Подробнее

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Линейные и нелинейные уравнения физики Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 4. Функции Бесселя второго

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система.

Содержание. Балльно - рейтинговая система. Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 80700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа «Неопределенный

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Производная функции. Правила дифференцирования

Производная функции. Правила дифференцирования Производная функции. Правила дифференцирования Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Запишите выражение для Δy = f(х 0 + Δх) f(х) и найдите область определения функции Δу, если: a) f(x) = arcsin

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

Математический анализ. Лекция 3.3

Математический анализ. Лекция 3.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

7. Производная. = lim., f

7. Производная. = lim., f 7. Производная 7.1. Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку x (a, b). Если существует предел f(x + h) f(x) lim h 0 h f(y) f(x) = lim, y x y x его называют производной функции

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее