Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения"

Транскрипт

1 Лекция 5 Решение волнового уравнения 1. Решение Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения

2 1.Решение Даламбера Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны 2 u t 2 = 2 u a2 x 2. (1) Введем переменные ξ = x at, η = x + at, тогда уравнение примет вид 2 u =, решение которого ξ η имеет вид: u ξ, η = θ 1 ξ + θ 2 η, где θ 1 ξ, θ 2 η произвольные дифференцируемые функции, тогда решение (1) u x, t = θ 1 x at + θ 2 x + at называется решением Даламбера.

3 Рассмотрим задачу Коши: найти решение уравнения (1) удовлетворяющее начальным условиям u u = u x, = u t= t 1 x. (2) t= Найдем вид функций θ 1 y, θ 2 z из начальных условий: u t= = u x = θ 1 x + θ 2 x, u t x= = u 1 x = aθ 1 x + aθ 2 x Интегрируем 2-е равенство на промежутке x, x,

4 Получаем систему: x u x = θ 1 x + θ 2 x, u 1 ξ dξ = aθ 1 x + aθ 2 x. x Следовательно получаем θ 1 x = 1 2 u x 1 θ 2 x = 1 2 u x + 1 x x x x u 1 ξ dξ u 1 ξ dξ

5 Таким образом решение задачи (1)-(2) имеет вид: u x, t = 1 2 u x at + u x + at x+at x at u 1 ξ dξ. (3) Функция определяемая формулой Даламбера, представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости.

6 Рассмотрим неоднородное уравнение колебаний однородной струны под действием возмущающей силы 2 u t 2 = 2 u a2 + f(x, t). (4) x2 удовлетворяющее нулевым начальным условиям u u =, = t= t t=

7 Рассмотрим вспомогательную задачу 2 w t 2 = 2 w a2 x 2, w =, w = f x, τ, t=τ t t=τ Тогда по формуле (3) w x, t, τ = w x, t τ, τ = 1 Решение задачи (4) x+a(t τ) x a(t τ) u x, t = w x, t τ, τ dτ t = 1 t x+a(t τ) x a(t τ) = f ξ, τ dξ f ξ, τ dξ. dτ. (5)

8 Очевидно, что решение задачи 2 u t 2 = a2 2 u x 2 + f x, t, u t= = u x, u t t= = u 1 x есть сумма решений (3) и (5), то есть u x, t = 1 2 u x at + u x + at x+at x at u 1 ξ dξ + 1 t x+a(t τ) x a(t τ) f ξ, τ dξ dτ

9 3. Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения 1. Однородное уравнение: 2 u t 2 = 2 u a2, < x <, t > (1) x2 u t= = u x, u t t= = u 1 x, (2) u x= =, u x= =. (6) Решение задачи (1), (2), (6) будем искать методом разделения переменных, т.е. в виде u x, t = T t X x, тогда (1) преобразуем к виду: T (t) a 2 T = X (x) X = λ2,

10 Решение начально-краевой задачи для однородного волнового уравнения Откуда, учитывая условие (6) получаем два дифференциальных уравнения: T + λ 2 a 2 T =, X + λ 2 X =, X = X = Краевая задача для 2-го уравнения имеет нетривиальное решение при λ n = πn sin πnx T n t вида X n =. Тогда первое уравнение имеет решение: = A n cos πnat + B n sin πnat. Пусть ряд A n cos πnat + B n sin πnat sin πnx n=1 сходится, тогда нетрудно показать, что он есть решение (1), удовлетворяющее условиям (6). Найдем A n и B n.

11 Решение начально-краевой задачи для однородного волнового уравнения u x, t = A n cos πnat n=1 Подставим условия (2) в (7), получаем Откуда получаем A n = 2 + B n sin πnat u = u x = A n sin πnx, t= u t t= = u 1 x = u x sin πnx dx, n=1 n=1 πna B n = 2 πna sin πnx B n sin πnx u 1 x sin πnx, (7) dx (8)

12 3.2 Решение начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения 2. Неоднородное уравнение: 2 u t 2 = 2 u a2 x Рассмотрим нулевые начальные условия: 2 + f x, t, < x <, t > (4) u t= = u x, u t t= = u 1 x, (2) u x= =, u x= =. 6 u t= =, u t t= = (9) Решение (4), (9), (6) будем искать в виде, обеспечивающем выполнение условий (6): u(x, t) = n=1 T n (t) sin πnx,

13 Решение начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения тогда T n (t) является решение задачи: T + λ 2 a 2 T = f n t, T =, T =, где f n t = 2 f x, t sin πnx dx, T n t = πna Следовательно решение задачи (4), (2), (6) u x, t = A n cos πnat n=1 где A n и B n по формулам (8), а T n t = 2 πna t t откуда следует, что f n t τ sin πnaτ f(x, t τ) + B n sin πnat sin πnx dτ. + T n t sin πnx sin πnaτ dxdτ.,

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

Подробнее

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи 1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. u(, y) = u x (, y) =, y (, s), u(x, ) =, u(x, s) = f(x), x (, ). (1.1) Шаг 1. Будем искать решение уравнения u

Подробнее

Лекция I. I.1. Уравнение колебания струны. x + x. α(x + x) u tt = v 2 u xx v = T(x + x)

Лекция I. I.1. Уравнение колебания струны. x + x. α(x + x) u tt = v 2 u xx v = T(x + x) Лекция I I.. Уравнение колебания струны Пусть ρ линейная плотность струны. Обозначим через u(, t) профиль струны в момент времени t. Силу натяжения T() будем считать постоянной (смещения малы). Запишем

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода.

1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода. 1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода. 699 M. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с однородными

Подробнее

Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения и метод характеристик

Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения и метод характеристик Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения и метод характеристик 447, 449, 451, 448, 45, 45, 454, 453, 455, 456, 457, I, II, III, IV, V. 1. Метод продолжения Рассмотрим задачу Коши на прямой для

Подробнее

1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным.

1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным. 1 Сведение неоднородных краевых условий к однородным. Рассмотрим неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с неоднородными краевыми условиями первого рода. u t a 2 u xx = fx,

Подробнее

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Метод Фурье Стоячие волны 4 Лекция 4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной

Подробнее

Линейные уравнения 1-го порядка

Линейные уравнения 1-го порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsuaz/kitablar/846pdf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

2 u. t 2. = ψ(x), (2) t=0. u(x, t) = u 1 (x at) + u 2 (x + at) (3) η = x + at

2 u. t 2. = ψ(x), (2) t=0. u(x, t) = u 1 (x at) + u 2 (x + at) (3) η = x + at ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт Фундаментального Образования Факультет Общенаучных Кафедр - ФОК Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера.

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n ), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями.

1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями. 1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями. 688. Найти решение u(x, t уравнения u t = a u xx, u(, t = u x (, t =, u(x, = ϕ(x (1.1 Шаг 1. Будем искать решение

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА» МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Найти общее решение уравнения u tt a u xx..) Шаг. Находим замену переменных Способ через

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич ГЛАВА Цилиндрические функции 3. Функции Бесселя первого

Подробнее

3.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера

3.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Даламбера Бесконечная струна. Формула Даламбера Полубесконечная струна 3 Лекция 3.1 Уравнения гиперболического типа.

Подробнее

Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу.

Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу. Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу..Характеристические задачи. Наряду с задачей Коши для волнового уравнения могут ставиться и другие задачи важные в приложениях. При изучении процессов

Подробнее

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МАТИ Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского

Подробнее

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Семинар 5 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Описание сигналов Для описания сигналов используются функции времени Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Семинар по теме Дифференциальные уравнения с малым параметром

Семинар по теме Дифференциальные уравнения с малым параметром Семинар по теме Дифференциальные уравнения с малым параметром апреля 16 г. Исследование гармонического осцилятора с возбуждающей силой Найдём общее решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора

Подробнее

Лекция 4. Волновые уравнения

Лекция 4. Волновые уравнения Лекция 4. Волновые уравнения 1. Вывод уравнения колебаний струны 2. Уравнение продольных колебаний стержня 3. Начальные условия, краевые условия 4. Постановка задач 1. Вывод уравнения колебаний струны

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

Уравнение Гельмгольца в сферических координатах

Уравнение Гельмгольца в сферических координатах Уравнение Гельмгольца в сферических координатах Неволновое уравнение Гельмгольца I. Краевые задачи в шаре Рассмотрим для примера) задачу Дирихле для неоднородного неволнового уравнения Гельмгольца в шаре:

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой

Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой 582, 586, 588, 574, 58, 583, 585, 587, 584.. Формула Пуассона В n-мерном Евклидовом пространстве E n = x = x,..., x n } рассмотрим задачу Коши для простейшего

Подробнее

Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия)

Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия) Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия) 1. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности в стержне. Неоднородное уравнение с однородными

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

нахождения частицы в данной точке пространства: dv dp dv Ψ(x, y, z, t) 2 dv. ZZZ ZZZ ΨΨ dv. Отсюда вытекает условие нормировки волновой функции ZZZ

нахождения частицы в данной точке пространства: dv dp dv Ψ(x, y, z, t) 2 dv. ZZZ ZZZ ΨΨ dv. Отсюда вытекает условие нормировки волновой функции ZZZ Уравнение Шредингера Волновая функция Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике 12 Лекция 12.1 Уравнение Шредингера 12.1.1 Волновая функция В нерелятивистской квантовой механике состояние

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА МИИТ» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Задачи для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике.

Задачи для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике. УМФ семинар К 6 5 Задачи для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике 1 713 Найти функцию ux, y; t из условий u t = a 2 u xx + u yy + fx, y; t, x, y Π, t > ; ux, y; =, x, y Π; u, y; t

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

D ставится в соответствие определенная точка w = u + iv. Множество D называется множеством определения

D ставится в соответствие определенная точка w = u + iv. Множество D называется множеством определения Методические указания к контрольной работе по математике Тема 1. Функции комплексной переменной Дадим определение функции комплексной переменной. Определение. Говорят что на множестве D точек комплексной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕГУЩИХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕГУЩИХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УДК 57969 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА БЕГУЩИХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ КУТУНАЕВ ЖН Ошский технологический университет имакад ММАдышева v@g Рассматривается более общее уравнение

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2 БИЛЕТ Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Структура общего решения Подбор частного решения Решить уравнение: x = 0 Найти решение задачи Коши: =

Подробнее

1. Основные уравнения математической физики

1. Основные уравнения математической физики 1. Основные уравнения математической физики В математической физике возникают самые разнообразные дифференциальные уравнения, описывающие различные физические процессы. Целью нашего курса является изучение

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя,

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя, функции Бесселя 8 7/8 8 7в Решить смешанную задачу u Δu < > u u ; u u g( s u u < где g - гладкие на [ ] функции - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя j K j K ; Δu u u yy y s Уроев стр 5 7

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

2 Решение ищем МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ в виде:

2 Решение ищем МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ в виде: функции Бесселя 5 6/7 73 7 Найти решение смешанной задачи: Δ y s < π > s < π π где - минимальный положительный корень Бесселя ( Уроев стр 5 7 (пример стр 69 7 пример стр 7-7 Фарлоу У с ЧП для научных работников

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Методические указания к выполнению практических

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

имеет вид: где C произвольная постоянная, где C произвольная постоянная. является функция:

имеет вид: где C произвольная постоянная, где C произвольная постоянная. является функция: Тест по дисциплине «Уравнения с частными производными» Раздел Уравнения с частными производными -го порядка Общее решение уравнения u u 0 имеет вид: u(, ) ln C, где C произвольная постоянная, u(, ) F(

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее