4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)"

Транскрипт

1 ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому правилу поставлено в соответствие число y на котором определен Множество M функций ( J ( y функционал называется его областью определения В приложениях часто встречаются функционалы вида где b J ( y = F( y( y ( d ( a F ( y p [ a b] и ( y p ( - заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция для R y p - плоскости с декартовыми прямоугольными координатами y p Будем обозначать через C [ a b] пространство всех непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций с нормой y = ma y( + ma y ( [ a b] [ a b] y ˆ выполнено нера- Говорят что функция y( M минимум функционала ( y y( M для которого ( y( < ε венство J ( y J ( yˆ Говорят что функция yˆ ( M максимум функционала ( y y( M для которого ( y( < ε венство J ( y J ( yˆ ˆ дает (слабый локальный J если число ε > такое что дает (слабый локальный J если число ε > такое что y ˆ выполнено нера-

2 Простейшая вариационная задача Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала ( в классе непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций y( удовлетворяющих граничным условиям y a = y ( b = B ( ( A Если функция ŷ ( является решением простейшей вариационной задачи то она на [ a b] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера F d F = y d y d (здесь - полная производная по d ( Экстремалью называется всякое решение уравнения Эйлера ( Задача со свободным концом (концами Пусть функционал ( рассматривается при граничном условии y ( a = A ( Тогда говорят что = a - закрепленный конец = b - свободный конец Задачей со свободным концом называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала ( в классе непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций y( удовлетворяющих условию ( ŷ является решением задачи со свобод- Если функция ( ным концом то она на [ b] a необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера ( и граничному условию при = b вида

3 F y ( b yˆ ( b yˆ ( b = Если функционал ( y ( J рассматривается при граничном условии y b = (6 то ( B = a - свободный конец Функция ŷ ( ( y доставляющая J слабый локальный экстремум должна удовлетворять уравнению Эйлера ( граничному условию (6 и граничному условию при = a : F ( a yˆ ( a yˆ ( a = (7 y Если граничных условий не ставится то есть оба конца свободные то ŷ ( должна удовлетворять уравнению Эйлера ( и граничным условиям ( (7 Решение уравнения Эйлера Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с переменными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида ( ( n ( ( n a y + a y + + an ( y + an ( y = f ( (8 где [ a b] - независимая переменная; y ( - искомая функция; f ( a ( a ( K an ( - заданные на [ a b] функции причем : [ a b] функция a ( Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида n a = b = n где b b - заданные числа ( причем b : n K b n ( n n ( n + b y + + b y b y f ( n + n = t = e ( t ln b y (9 Заменой = (9 сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициента-

4 dy dy dt dy t dy ми Действительно = = = e d dt d dt dt d y d dy t d t dy d y dy = = = e e = e t d d d dt dt Допустим что -ая производная имеет вид = dt dt d y d t d y d y dy e + α + + = K α dt dt dt d y d y dy = + α + + K α где α α K α - dt dt dt постоянные Тогда (+-ая производная будет равна + d y d d y t d d y = = e = + d d d dt d + ( + t d y d y dy = e ( + α + = + K α dt dt dt + d y d y dy ( = + α K α dt dt dt Так как в преобразованном уравнении в случае отсутствия кратных корней характеристического уравнения решения имеют вид y = e следовательно в исходном λt уравнении λ они имеют вид y = Поэтому можно непосредственно подставить его в уравнение Эйлера (9 Поскольку λ d = λ( λ L ( λ + при λ то характеристическое уравнение имеет вид d b λ( λ L ( λ n + + K+ bn λ( λ + bn λ + bn = ( Каждому простому корню λ уравнения ( соответствует частное решение однородного уравнения Эйлера λ ;

5 каждому действительному корню λ кратности l ( l со- l линейно независимых частных решений одно- ответствует λ λ ( родного уравнения Эйлера ln ln В случае невещественных корней λ надо учитывать что i β = iβ ln e то паре комплексно сопряженных корней α ± iβ уравнения ( будут соответствовать два решения α однородного уравнения Эйлера cos( β ln α sin( β ln Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример (- Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал 9y yy y ( + y d y ( = y ( = d Составляем уравнение Эйлера F y F y = : d 9y yy y F( y y = + ( y 8y y F y = d y y Fy = + + y d y F y = + y Уравнение Эйлера ( имеет вид 8y y y y + y = или y y = ( λ l и

6 Для его решения применяем стандартный алгоритм: Решения однородного линейного уравнения ищем в виде: y = λ Характеристическое уравнение ( λ = λ λ = ( λ ( λ = ( ( λ + = λ λ или Его корни λ = λ = Соответствующее общее решение однородного уравнения y o = C + C Частное решение (случай нерезонансный ищем в виде y ч = a a y ч = y ч = уравнение Эйлера получаем a подставляя в неоднородное a = или a = те a = и y ч = Общее решение неоднородного уравнения Эйлера C y = + C + Постоянные и C находим из граничных условий C C + C + = C + C = C или откуда получаем C = те C = C = + 8C + = ; C + 6C = ; Стационарная точка y ˆ = + Исследование на экстремум

7 Δ J Пусть h C [ ; ] ( = h( = = J ( yˆ + h J ( yˆ h Рассмотрим Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( yˆ = В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера (на экстремали оно обращается в ноль Следовательно 9h hh ΔJ = ( + h d Интегрируя по частям и учитывая равенства h = h = ( ( находим hh d = dh h = d Таким образом 9h h = те МИНИМУМ ΔJ + ( h h = d = h + + h ( h d d = Пример (- Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал определив знак приращения e J ( y = ( y + y y y d ( = ln y Задача со свободным концом Составляем уравнение Эйлера F y F y = : d d ln F( y y = ( y + y y y 6

8 ln d F y = y F y = y F y = y + y d Уравнение Эйлера ( имеет вид ln y y y = или y + y y = ln ( Для его решения применяем стандартный алгоритм: t Заменой = e ( t = ln сведем ( к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: yt y = yt t = ( yt yt yt ytt t yt ytt yt y = = + = = и ytt yt + yt y = t или y tt y = t ( Решения однородного линейного уравнения ( λt ищем в виде: y = e Характеристическое уравнение λ = Его корни λ = ± Соответствующее решение однородного уравнения t t yo = Ce + Ce Частное решение (случай нерезонансный ищем в виде y ч = at + b Подставляя в неоднородное уравнение Эйлера получаем at b = t те a = b = и y ч = t Общее решение неоднородного уравнения Эйлера t t y = Ce + Ce + t или возвращаясь к независимой переменной : 7

9 y = C + C + ln Постоянные C и C находим из следующих краевых условий y = F ( y = e Таким образом F y = ( = = ( C e + C + e = y = e e C C + C + e C = e 8 e и ( + C = = C + C = или от- + = ; C + e C = ; куда получаем e те C = C = Стационарная точка yˆ = ln Исследование на экстремум h C e h ( = и F Рассмотрим Пусть Δ J = J ( yˆ + h J ( yˆ y = e = Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( yˆ = В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера Следовательно ΔJ = ( h + h d МИНИМУМ ( [ e ] > те Пример Найти стационарные точки функционала J ( y = ( y 8 y + 6y y d Задача без ограничений Составляем уравнение Эйлера d F y F y = : y + y + y = 6 d

10 Для его решения применяем стандартный алгоритм: Решения однородного линейного уравнения ищем в виде: y = λ Δ J Характеристическое уравнение λ + = Его корни λ = i λ = i Соответствующее решение однородного уравнения y o = C sin( ln + C cos( ln Частное решение ищем в виде y ч = a : y ч = Общее решение неоднородного уравнения Эйлера y = C sin ln + C cos ln + ( ( C C Постоянные и находим из следующих краевых условий: Тк F y = F = = y = F y = y 8 C cos( ln C sin( ln C C sin = ( ln = = то те C = C = Стационарная точка y ˆ = Исследование на экстремум h C F и F Рассмотрим Пусть = J ( yˆ + h J ( yˆ y = = y = = Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( yˆ = В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера (на экстремали оно обращается в ноль Следовательно ΔJ = ( h h d 9

11 α Тк полагая h = ε получаем α α ΔJ = ε ( α d = ε ( α α d те ΔJ > при α > и ΔJ < при α < то НЕТ НИ МИНИМУМА НИ МАКСИМУМА 6 Задачи для самостоятельного решения Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал: 8 (- ( 9y yy y + y d y ( = y ( = 8yy 86 (- + ( y y 7y 87 (- ( y yy yy 88 (- ( y π 7 y y d y ( = ( = y d = y d + y y ( = y y ( = ( = 89 (- ( y + yy y y sin d ( π 6 y = π y = 9 (- y y ( y y y cos d ( = π + 9 (- ( y yy + y y cos d ( π y = y π y y = 6 y = 6

12 π 9 (- ( y yy + y y sin d ( = π y y = Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал определив знак приращения: d 9 (- J ( y = e y + 6e y y ( y ( e y = 9 (- J ( y = y + y ( y d ( = y 9 (- J ( y = ( y + y 8e y 8e y d e y ( = e y 96 (- J ( y = ( y + y y y d ( = ln y Найти экстремаль и исследовать функционал на экстремум определив знак приращения: 6y 97 (- J ( y = ( y y + yy d ( = 7 y ( = + y 98 (- J ( y = y + yy + ( y y d ( = y( = e [ y] 99 (- J ( y = ( y yy + y + ( ln y ( = y ( e = + e d + y (- J ( y = yy ( y y d y ( = ( = y 6

13 π + (8- J ( y = y ( y 6y sin d ( = π y y = (8- J ( y = π y ( y y d y ( = ( = (8- J ( y = ( y π [ y ye ] + d y ( = (8- J ( y = y yy + ( y d ( = Исследовать на экстремум функционал: y [ ( ( ] y π π y = e (- y + 8 yy y d y ( = y ( = 6 (- y + ( + ( + yy ( y + y d ( = y ( = 7 y 7 (- [ ( y ( 9 + yy y ] y ( = 6 9 d ( = y [ ( ( ] ( = 8 (- ln y + ln + yy y d y y( = [ y ( ] ( = 9 (-6 + yy y + y d y y ( = π 6

14 [ ( ] y ( = ( = 7 (-6 y yy y 6y d (-6 + 6yy y + y d y [ y ( ] y ( = ( = 7 (-6 y yy + y 6y d y [ ( ] y ( = ( = y 7 Ответы: 8 Уравнение Эйлера: y y = y ˆ = + C y = + C + 86 Уравнение Эйлера: y y = y ˆ = + + C y = + C + минимум 87 Уравнение Эйлера: y y = yˆ = + C y = + C + максимум 88 Уравнение Эйлера: y 6y = 6 yˆ = C y = + C максимум 89 Уравнение Эйлера: y y = cos cos yˆ = cos y = Ce + Ce + максимум 6

15 9 Уравнение Эйлера: y y = sin yˆ = sin y = Ce + Ce sin максимум cos 9 Уравнение Эйлера: y y = cos + yˆ = cos y = Ce + Ce минимум 9 Уравнение Эйлера: y y = sin yˆ = sin y = Ce + Ce sin минимум 9 Уравнение Эйлера: y y = e yˆ = ( + e y = C e + Ce + e максимум 9 Уравнение Эйлера: y + y y = y ˆ = + C y = C + + максимум 9 Уравнение Эйлера: y y = e y = C ( e e + C e + минимум 6 yˆ = + e ( 96 Уравнение Эйлера: y + y y = ln yˆ = ln C y = C + + ln минимум 97 Уравнение Эйлера: y + y y = y ˆ = + C y = C + + максимум 98 Уравнение Эйлера: y + y = 6 yˆ = + + C y = C + минимум 99 Уравнение Эйлера: y + y y = ln yˆ C = ln y = C + ln минимум

16 Уравнение Эйлера: y + y = 6 yˆ = C y = C + максимум Уравнение Эйлера: y + y = sin yˆ = sin y = C sin + C cos + sin максимум Уравнение Эйлера: y + π y = y ˆ = π π π y = C cos + C sin + максимум π Уравнение Эйлера: y + y = e yˆ = e y = C cos + C sin + e минимум ln Уравнение Эйлера: y + y = y ˆ = + ln y = C + C ln + минимум Уравнение Эйлера: y + y y = y ˆ = C y = + C минимум 6 Уравнение Эйлера: y ˆ = + y + y y = C y = C + + максимум 7 Уравнение Эйлера: y + y y = C = + C минимум y 8 Уравнение Эйлера: y + y 6y = C y + = C максимум yˆ = y ˆ = 6

17 9 Уравнение Эйлера: y + y y = yˆ = ( C y = C + + ΔJ = + ( - максимум h h d Уравнение Эйлера: y + y y = y ˆ = + ( C y = C + + ΔJ = + ( - минимум h h d Уравнение Эйлера: y + y y = yˆ = ( C y = C + + ΔJ = + ( - максимум h h d Уравнение Эйлера: y + y y = ( yˆ = C y = C + + ΔJ = + ( - минимум h h d 66


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами. ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи. ТЕМА Условный экстремум Задача Лагранжа Изопериметрические задачи Основные определения и теоремы В вариационных задачах на условный экстремум множество функций, на которых исследуется функционал, подчиняется

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э.

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедраа «Высшая математика» Основы вариационного исчисления Методические

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Тема: Второе определение вариации функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Простейшая задача вариационного исчисления Лектор Пахомова

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Семинар 12. Вариационное исчисление

Семинар 12. Вариационное исчисление Семинар 12 Вариационное исчисление О. Если каждой функции (из некоторого нормированного пространства вещественнозначных функций ) поставлено в соответствие некоторое (вещественное) число, то говорят, что

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ. для поступающих на первый курс

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ. для поступающих на первый курс МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на первый курс 4 Доказать, что числовая последовательность >, n+ + n n N, является сходящейся, и вычислить её предел

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности.

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности. ТЕМА 9 Задачи с подвижной границей Условия трансверсальности Основные определения и теоремы Рассмотрим функционал V[ ] = F(,, d, заданный на кривых ( ( C [ ab, ], граничные точки которых A (, и B(, в свою

Подробнее

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( )

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( ) 55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (, ), где ρ ( ) + ( ), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления Лекция Задачи классического вариационного исчисления Постановка задачи J u infsup G u G u & r u U R 3 Γ 4 Граничные условия 4 закрепленные когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Подробнее

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения Лекция 5 Решение волнового уравнения 1. Решение Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения 1.Решение Даламбера Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны 2 u t 2 = 2

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Утверждено Редакционно-издательским советом

Подробнее

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 7(3) 3 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3 ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых вектор-функций ( ( ( удовлетворяющих

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на третий курс

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на третий курс МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИСЬМЕННАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на третий курс 4 Вычислить поверхностный интеграл первого рода d z +, где поверхность = z = + y 4 Вычислить поверхностный

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

4 Задача со старшими производными

4 Задача со старшими производными 4 Задача со старшими производными 4.1 Постановка задачи Рассмотрим задачу со старшими производными (для определенности задачу на минимум) в пространствах C n ([, t 1 ], R) и P C n ([, t 1 ], R) J(x( ))

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Семинар 5 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Описание сигналов Для описания сигналов используются функции времени Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова В.М.

Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова В.М. Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова ВМ Методические указания по решению задач экзаменационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения 0-04 уч г Долгопрудный

Подробнее

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]):

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]): 2 Задача Больца 2.1 Постановка задачи Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([, t 1 ]): B(x( )) = L(t, x(t), ẋ(t)) dt + l(x( ), x(t 1 )) extr. (P )

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Задачи и упражнения по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»

Задачи и упражнения по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Т. В. Елисеева Задачи и упражнения по курсу

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Разбалловка. Для всех задач: арифметическая ошибка (-1) балл. По каждому пункту допускается частичный балл на усмотрение проверяющего.

Разбалловка. Для всех задач: арифметическая ошибка (-1) балл. По каждому пункту допускается частичный балл на усмотрение проверяющего. Разбалловка Для всех зада: арифметиеская ошибка (-) балл. По каждому пункту допускается астиный балл на усмотрение проверяющего. Задаа ( баллов) (задаа может быть решена двумя способами) Подстановка y

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее