ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург 2015

2 УДК (075.8) Ф 17 Ф 17 Файншмидт, В.Л. Элементы алгебры и аналитической геометрии: учебное по собие /В.Л.Файншмидт ; Балт. гос. техн. ун-т. СПб., с. ISBN Пособие соответствует программе курса теории функций комплексного аргумента для технических специальностей. Оно содержит теоретическую часть, варианты индивидуальных заданий и проверочных работ. Предназначено для студентов всех технических специальностей. УДК (075.8) Рецензент: д-р физ.-мат. наук проф. каф. мат. анализа мат. мех. факультета СПбГУ В.В. Жук Утверждено редакционно-издательским советом университета c В.Л. Файншмидт, 2015 ISBN c БГТУ, 2015

3 Предисловие 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Основой для написания этого пособия является курс лекций, который автор в соответствии с программой по высшей математике неоднократно читал студентам первого курса в самом начале их обучения. Пособие содержит минимальный, с точки зрения автора, набор сведений по алгебре и аналитической геометрии, который нужен для изучения дальнейших разделов как высшей математики, так и важнейших общетехнических и специальных инженерных дисциплин. Первая и вторая части пособия посвящены операциям над векторами и матрицами и применениям этих операций к задачам аналитической геометрии к решению систем линейных алгебраических уравнений. В третьей части приведены выводы канонических уравнений кривых второго порядка, исследование этих уравнений и методика приведения общего уравнения второй степени к канонической форме. В четвертой части вводится понятие комплексного числа и рассматриваются операции над комплексными числами, а также изучаются свойства многочленов и рациональных дробей. Я приношу благодарность П.М. Виннику, В.В Жуку, ознакомившимся с рукописью пособия и давшими ряд полезных советов. Я также благодарю Н.В. Тарасову, оказавшую мне большую помощь при подготовке пособия к изданию.

4 4 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ 1.1. Определители 2-го и 3-го порядков Мы начнем с одного вспомогательного понятия, необходимого при изучении различных геометрических и алгебраических объектов. Рассмотрим таблицу с двумя строчками и двумя столбцами, содержащую четыре элемента: ( ) a11 a 12. a 21 a 22 Эту таблицу будем называть матрицей размерности 2 2. Определителем написанной матрицы, или определителем второго порядка, называют величину, которая записывается в виде a 11 a 12 a 21 a 22 и вычисляется по такому правилу: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. Например, = = 2. Отметим следующие свойства определителей: 1. Если строки определителя поменять местами, то определитель изменит знак, то есть a 11 a 12 a 21 a 22 = a 21 a 22 a 11 a Определитель со строкой, состоящей из нулей, равен нулю. 3. Определитель с пропорциональными строками равен нулю, то есть

5 1.1. Определители 2-го и 3-го порядков 5 a 11 a 12 λa 11 λa 12 = Если к одной строке определителя прибавить другую, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 12 a 21 + λa 11 a 22 + λa Общий множитель строки можно вынести за знак определителя: λa 11 λa 12 a 21 a 22 = λ a 11 a 12 a 21 a 22. Все перечисленные выше свойства несложно проверить. Рекомендуем читателю сделать это самостоятельно. Заменим в определителе первый столбец первой строкой, второй столбец второй строкой. Такая операция называется транспонированием. Легко видеть, что при транспонировании определитель не меняется. Отсюда следует, что все те свойства определителя, которые справедливы для строк, справедливы и для столбцов. Теперь введем определители третьего порядка. Оказывается, что не удается сделать это так же просто, как в случае определителя второго порядка. Пусть имеется матрица 3 3, то есть таблица вида a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Возьмем какой-нибудь элемент этой матрицы и вычеркнем его строку и его столбец. Из оставшихся четырех элементов можно естественным образом построить определитель второго порядка. Такой определитель называют минором матрицы, соответствующим вычеркнутому элементу. Очевидно, что каждому элементу соответствует только один минор. Элемент a ij будем называть четным, если сумма i + j четная, и нечетным, если нечетная.

6 6 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Алгебраическим дополнением четного элемента называется его минор, а нечетного элемента его минор, взятый с противоположным знаком. Например, алгебраическими дополнениями элементов a 13 и a 23 являются соответственно a 21 a 22 a 31 a 32 и a 11 a 12 a 31 a 32. В дальнейшем алгебраическое дополнение элемента a ij будем обозначать через A ij. Теперь можно сформулировать такое утверждение: сумма произведений элементов строки или столбца на их алгебраические дополнения одна и та же для всех строк и столбцов матрицы, то есть a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 = = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 = a 13 A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33. Справедливость этого утверждения доказывается простой проверкой (раскрытием всех входящих в него определителей). Мы не будем этого делать. Основываясь на последнем утверждении, мы дадим такое определение: определителем матрицы размерности 3 3, или определителем третьего порядка, называется сумма произведений элементов строки или столбца этой матрицы на их алгебраические дополнения. В дальнейшем определитель третьего порядка будем обозначать так: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 В соответствии со сказанным выше можно написать, например: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13. Такое представление называют разложением определителя по элементам первой строки..

7 1.2. Геометрические векторы 7 Если мы разложим определитель по элементам первого столбца, то равенство примет вид a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31. П р и м е р = = = 4( 7) 3( 19) + 2( 11) = 7. Мы вычислили определитель с помощью разложения по элементам первой строки. Естественно, что тот же результат можно получить, например, разложением по второй строке: = = = 3(0) + 4( 2) 5( 3) = 7. Нетрудно показать, что свойства, которые были приведены для определителей второго порядка, остаются справедливыми и для определителей третьего порядка. Рекомендуем читателю проверить это. Позже мы введем определители четвертого и более высоких порядков Геометрические векторы Мы исходим из того понятия вектора, которое обычно вводится в школе, а именно, будем называть вектором (или геометрическим вектором) направленный отрезок, то есть отрезок, в котором различают начало и конец. На рисунке обычно у конца вектора ставится стрелка. Если A начало вектора, а B его конец, то вектор обозначается: AB. Нередко для краткости мы будем обозначать векторы одной буквой. Например, a.

8 8 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Модулем вектора называют его длину. Модуль обозначают так: AB или a. Ясно, что всякий вектор характеризуется модулем и направлением. Вектор, модуль которого равен нулю, обозначают обычно нулем и называют нуль-вектором. Ясно, что нуль-вектор не имеет направления, а потому ему можно приписать любое направление. Вектор, модуль которого равен единице, называют единичным вектором или ортом. Займемся операциями, которые можно производить с геометрическими векторами. Для этого прежде всего заметим, что различают три различных типа геометрических векторов: 1) закрепленные (или связанные ) векторы; 2) скользящие векторы; 3) свободные векторы. Эти типы зависят от того, как вводится понятие равенства векторов. Можно ввести равенство так: два вектора называются равными, если они имеют общее начало и общий конец. Векторы, для которых так определено равенство, называют закрепленными или связанными. Векторы такого типа используют, например, при изучении механики деформируемых тел. Вот другой способ введения равенства: два вектора считают равными, если они имеют одинаковые направления и модули и лежат на одной прямой. Такие векторы называют скользящими. Скользящие векторами в теоретической механике описывают силы, действующие на материальные тела. Наконец, два вектора считаются равными, если они имеют одинаковые направления и одинаковые модули. При таком способе определения равенства векторы называют свободными. Ясно, что свободный вектор не меняется, если его начало перенести из одной точки в другую. Свободные векторы оказываются весьма удобным инструментом при решении большого числа задач геометрии. В дальнейшем, если не сделано каких-либо оговорок, мы будем называть векторами именно свободные векторы. Теперь рассмотрим две простейшие операции над векторами (свободными): сложение векторов и умножение вектора на число (скаляр).

9 1.2. Геометрические векторы 9 Сложение векторов, как известно из школьного курса математики, производится по правилу параллелограмма или, что то же, по правилу треугольника (рис.1). Сумму векторов a и b обозначают a + b. b a + b a + b b a Рис. 1. Сложение векторов a Сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами, то есть a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c. Так как длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон, то a + b a + b. Это неравенство называют неравенством треугольника. Введем понятие разности векторов. Разностью векторов a и b будем называть такой вектор, который при сложении с b дает вектор a. Разность обозначают так: a b. Произведением вектора a на положительное число λ называют вектор, имеющий то же направление, что и a, и длину λ a. Произведением вектора a на отрицательное число λ называют вектор, имеющий направление, противоположное a, и длину λ a. Произведением вектора a на число 0 называют нуль-вектор. Произведение вектора a на число λ обозначают λa или aλ. Легко видеть, что введенное произведение обладает такими свойствами: (λ + µ)a = λa + µa, λ(a + b) = λa + λb,

10 10 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ λ(µa) = (λµ)a (здесь λ и µ числа). Из данных нами определений нетрудно увидеть, что a b = a + ( 1)b, так что вычитание векторов всегда можно свести к сложению. Сложение векторов и умножение векторов на числа называют линейными операциями над векторами. Выражение λ 1 a 1 + λ 2 a λ m a m называется линейной комбинацией векторов a 1, a 2,..., a m Проекции вектора Пусть имеется некоторая числовая ось. Назовем ее Ox. Пусть также имеется вектор AB. Спроектируем на ось точки A и B (рис.2). Получим точки A (x 1 ) и B (x 2 ). Вектор A B называется геометрической проекцией вектора AB на ось Ox : A B = геом.пр. Ox AB. B A α i O 1 A (x 1 ) B (x 2 ) Рис. 2. Проекции вектора x Разность координат x 2 x 1 называют алгебраической проекцией вектора AB на ось Ox : x 2 x 1 = алг.пр. Ox AB.

11 Из рис.2 видно, что 1.4. Пространство R 1 11 алг.пр. Ox AB = AB cosα, где α угол между положительным направлением оси Ox и направлением вектора AB. Если мы обозначим через i орт оси Ox, то получим такую связь между геометрической и алгебраической проекциями: A B = (x 2 x 1 )i. Обе проекции обладают свойством линейности, то есть пр. Ox (a + b) = пр. Ox a + пр. Ox b, пр. Ox (λa) = λпр. Ox a. В дальнейшем нам понадобится проектировать один вектор на другой. Мы будем понимать под проекцией вектора a на вектор b проекцию вектора a на ось, совпадающую по направлению с b. Например, алг.пр. i a = алг.пр. Ox a Пространство R 1 Начнем этот параграф с такого определения: векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Коллинеарность векторов будем обозначать так: a b. Поскольку мы рассматриваем свободные векторы, то можно считать, что коллинеарные векторы лежат на одной прямой. Найдем условие коллинеарности векторов. Для этого вспомним прежде всего, что при умножении любого вектора a на число получается вектор, ему коллинеарный. С другой стороны, очевидно, что если два вектора коллинеарны, то один из них можно получить умножением другого на некоторое число. Итак, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них равен другому, умноженному на некоторое число. Если один из векторов равен другому, умноженному на некоторое число, то говорят, что эти два вектора линейно зависимы. Используя последнее определение, можем сказать, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

12 12 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В дальнейшем понятие линейной зависимости (а также понятие линейной независимости) распространим на более широкий класс объектов, поскольку оно оказывается весьма полезным не только в векторной алгебре, но и во многих других разделах математики. Рассмотрим теперь множество всех коллинеарных, то есть лежащих на одной прямой, векторов. Это множество будем называть пространством R 1 или одномерным пространством. Зафиксируем в R 1 какой-нибудь ненулевой вектор a, который назовем базисным. Тогда, в силу сказанного выше, любой вектор d из R 1 можно представить в виде d = λa. Значит, каждому вектору d из R 1 соответствует определенное вещественное число λ. Это число называют координатой или компонентой вектора в базисе a. Очевидно также, что при заданном базисе a для каждого вещественного числа λ в этом случае можно построить один соответствующий ему вектор d. Таким образом, задав базис, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множеством векторов R 1 и множеством вещественных чисел R. При этом ясно, что линейным операциям над векторами отвечают такие же операции над вещественными числами их координатами. В соответствии с этим будем в дальнейшем использовать запись d = (λ). Часто в качестве базисного вектора берут единичный вектор (орт), направленный в ту же сторону, что и ось. В этом случае нетрудно понять, что λ = d, если направление d совпадает с направлением орта, и λ = d, если направление d противоположно направлению орта. Например, если i орт, то запись a = 6i означает, что вектор a имеет длину 6 и направлен в сторону, противоположную i Пространство R 2 Выше мы рассмотрели множество векторов, лежащих на одной прямой. Теперь обратимся к векторам, лежащим в одной плоскости. Начнем опять с определения: векторы называют компланарными, если они параллельны одной плоскости. Имея дело со свободными векторами, можем считать, что компланарные векторы лежат в одной плоскости. Очевидно, что два вектора всегда компланарны. Выясним, каково условие компланарности трех векторов.

13 1.5. Пространство R 2 13 Пусть векторы a, b, d компланарны. Будем для определенности считать, что два из них, например a и b, не коллинеарны, и отложим все три вектора из одной точки (рис. 3). b B d 0 A Рис. 3. Компланарные векторы a Видно, что d = OA+OB. Но OA a и OB b. Поэтому должно быть OA = λ 1 a и OB = λ 2 b. Следовательно, d = λ 1 a + λ 2 b, то есть если три вектора компланарны, то один из них является линейной комбинацией двух других. С другой стороны, очевидно, что если один из векторов есть линейная комбинация двух других, то все три вектора лежат в одной плоскости. Итак, три вектора компланарны тогда и только тогда, когда один из них есть линейная комбинация двух других. В предыдущем разделе мы ввели понятие линейной зависимости двух векторов. Теперь расширим это понятие на случай нескольких: если имеется несколько векторов и один из них оказывается линейной комбинацией других, то говорят, что эти векторы линейно зависимы. Используя последнее определение, можем сказать, что три вектора лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Рассмотрим теперь множество всех векторов, лежащих в одной плоскости. Это множество называют двумерным пространством или пространством R 2. Зададим в R 2 пару неколлинеарных векторов a и b. Эти векторы будем называть базисными. Тогда, в соответствии со сказанным выше, всякий вектор d можно представить в виде d = λ 1 a + λ 2 b.

14 14 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Это означает, что при заданном базисе всякий вектор в R 2 описывается определенной парой вещественных чисел (λ 1, λ 2 ). Естественно, что и всякой паре вещественных чисел в этом случае отвечает один вектор. Таким образом, между векторами из R 2 и парами вещественных чисел имеется взаимно однозначное соответствие. При этом линейным операциям над векторами из R 2 соответствуют такие же линейные операции над парами чисел. В связи с этим множество пар вещественных чисел тоже будем называть пространством R 2. Будем писать d = (λ 1, λ 2 ), а числа λ 1 и λ 2 называть координатами вектора d в заданном базисе. Заметим, что часто координаты вектора записывают не в строчку, а столбиком: ( ) λ1 d =. λ 2 Как правило, наиболее удобным оказывается базис, построенный из ортов i и j координатных осей Ox и Oy. В этом случае, как нетрудно увидеть из рис.4, координатами вектора d являются его алгебраические проекции на координатные оси. Обозначив эти проекции соответственно d x и d y, получим d = d x i + d y j = (d x, d y ). d y y d β j 0 i α d x x Рис. 4. Разложение вектора по ортам осей в R 2

15 1.6. Пространство R 3 15 Зная проекции, можно найти модуль и направление вектора. Действительно, из рис.4 видно, что d = d 2 x + d2 y, cosα = d x d 2 x + d 2 y, cosβ = d y d 2 x + d 2 y Величины cos α и cos β называют направляющими косинусами вектора d. Нетрудно заметить, что cos 2 α + cos 2 β = 1. П р и м е р. Найдем модуль и направляющие косинусы вектора AB, если A(2, 6) и B(7, 9). Ясно, что в нашем случае AB = (7 2)i + (9 6)j = 5i + 3j = (5, 3), а потому AB = 34, cosα = 5 34, cosβ = Пространство R 3 Теперь обратимся к множеству всех геометрических векторов. Это множество мы будем называть трехмерным пространством или пространством R 3. Возьмем в R 3 три некомпланарных вектора a, b, c и покажем, что всякий вектор d можно представить в виде их линейной комбинации. Для этого отложим все четыре вектора из одной точки (рис.5). d D c b M 0 Рис. 5. Разложение вектора по базису в R 3 a

16 16 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Затем построим плоскость, содержащую векторы a и b. Далее, из конца вектора d проведем параллельно c отрезок до пересечения с построенной плоскостью. Назовем этот отрезок M D. Хорошо видно, что d = OM +MD. Так как векторы OM, a и b компланарны, то OM = λ 1 a + λ 2 b. Кроме того, MD c. Поэтому MD = λ 3 c. Следовательно, мы можем представить вектор d в виде d = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Таким образом, любые четыре вектора в R 3 линейно зависимы, то есть один из них может быть представлен в виде линейной комбинации других. Значит, задав в качестве базиса три некомпланарных вектора a, b, c, мы можем всякий вектор d описать тройкой (λ 1, λ 2, λ 3 ) его координат в этом базисе. Естественно, что при заданном базисе a, b, c каждой тройке вещественных чисел (λ 1, λ 2, λ 3 ) отвечает определенный вектор d из R 3. Следовательно, между множеством геометрических векторов и множеством троек вещественных чисел имеется взаимно однозначное соответствие. При этом линейным операциям над векторами соответствуют такие же линейные операции над тройками. Поэтому в дальнейшем множество троек вещественных чисел тоже будем называть пространством R 3. Будем использовать такую запись: d = (λ 1, λ 2, λ 3 ). Как и в двумерном случае, используется и такой способ записи: d = λ 1 λ 2. λ 3 Обычно в качестве базиса в пространстве R 3 берут орты i, j, k координатных осей Ox, Oy и Oz. В этом случае координатами всякого вектора d оказываются его алгебраические проекции на координатные оси (рис.6). Если мы обозначим эти проекции через d x, d y, d z, то можем написать: d = (d x, d y, d z ) = d x i + d y j + d z k.

17 z 1.6. Пространство R 3 17 d z i k 0 j d d y y d x x Рис. 6. Разложение вектора по ортам осей в R 3 Вектор d является диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого направлены вдоль координатных осей. Зная величины этих ребер d x, d y, d z, нетрудно найти модуль и направление вектора. Действительно, d = d 2 x + d 2 y + d 2 z. Если мы обозначим через α, β, γ углы между координатными осями Ox, Oy, Oz и вектором d, то увидим, что cosα = d x d, cosβ = d y d, cosγ = d z d. Величины cos α, cos β, cos γ называют направляющими косинусами вектора. Для любого вектора направляющие косинусы связаны равенством cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Рекомендуем читателю проверить это самостоятельно.

18 18 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ П р и м е р. Найти модуль и направляющие косинусы вектора, идущего из точки A(3, 1, 4) в точку B(2, 4, 8). Ясно, что AB = (2 3)i + (4 + 1)j + (8 4)k = i + 5j + 4k = ( 1, 5, 4). Следовательно, AB = = 42, cosα = 1 42, cosβ = 5 42, cosγ = Скалярное произведение векторов Мы умеем складывать и вычитать векторы. Теперь выясним, как можно их умножать. Оказывается, что умножение векторов можно вводить двумя различными способами. Начнем с умножения, которое называют скалярным. Скалярным произведением вектора a на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между векторами. Используют такие обозначения скалярного произведения: Итак, a b = a b = (a, b). a b = a b = (a, b) = a b cosϕ, где ϕ угол между векторами. Отметим свойства скалярного произведения. 1. a a 0, причем a a = 0 только тогда, когда a = 0. Действительно, в силу определения скалярного произведения, должно быть a a = a 2. Но a 2 0 всегда и обращается в ноль лишь при a = a b = b a. Это свойство очевидным образом следует из определения. 3. a b = a алг.пр. a b. Действительно, алг.пр. a b = b cosϕ. Следовательно, a b = a b cosϕ = a алг.пр. a b.

19 1.7. Скалярное произведение векторов a(b + c) = a b + a c. Напомним, что алг.пр. a (b + c) = алг.пр. a b + алг.пр. a c. Поэтому a(b + c) = a алг.пр. a (b + c) = a (алг.пр. a b + алг.пр. a c) = = a алг.пр. a b + a алг.пр. a c = a b + a c. 5. a(λb) = λ(ab), где λ число. Это следует из того, что алг.пр. a (λb) = λ алг.пр. a b. 6. a b = 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны. Действительно, если векторы ортогональны, то cos ϕ = 0, а потому a b = 0. Если же a b = 0, то или a = 0, или b = 0, или cosϕ = 0. Во всех трех случаях векторы, очевидно, ортогональны. Приведем простой пример использования этих свойств. П р и м е р. Найдем произведение (4a 3b)(2a + b), зная, что a = 5, b = 4 и угол α между векторами a и b равен π 4. В соответствии с приведенными свойствами мы можем раскрыть скобки и привести подобные члены: (4a 3b)(2a + b) = 8aa 2ab 3bb. В силу определения скалярного произведения: aa = a 2 = 25, b b = b 2 = 16, Поэтому a b = a b cosα = = (4a 3b)(2a + b) = Остановимся на простейших приложениях скалярного произведения. 1. Так как a b = a b cosϕ, то cosϕ = a b a b. Это значит, что скалярное произведение можно использовать для нахождения угла между векторами.

20 20 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ 2. Мы видели, что a b = a алг.пр. a b. Отсюда алг.пр. a b = a b a, то есть с помощью скалярного произведения можно находить проекцию одного вектора на другой. 3. Пусть материальная точка движется по прямой так, что ее перемещение описывается вектором s. При этом на точку действует постоянная сила F, образующая угол α с направлением s. Тогда работа силы на перемещении точки A = F s = F s cosα. Таким образом, скалярное произведение позволяет найти работу силы. Выясним, как находится скалярное произведение, если векторы разложены по ортам координатных осей. Пусть a = a x i + a y j + a z k и b = b x i + b y j + b z k. В соответствии со свойствами скалярного произведения a b = (a x i + a y j + a z k)(b x i + b y j + b z k) = = a x b x i i + a x b y i j + a x b z i k + a y b x j i + a y b y j j+ +a y b z j k + a z b x k i + a z b y k j + a z b z k k. Из самого определения скалярного произведения нетрудно увидеть, что i i = j j = k k = 1 и i j = j k = k i = 0. Поэтому равенство превращается в такое: a b = a x b x + a y b y + a z b z. Мы получили формулу для вычисления скалярного произведения векторов, разложенных по ортам осей координат. П р и м е р 1. Найти проекцию вектора a = 3i 2j+5k на вектор b = 4i + 5j + 2k. В соответствии со сказанным выше, алг.пр. b a = a b b = = = 4 5.

21 1.8. Преобразование координат 21 П р и м е р 2. Проверить, являются ли ортогональными векторы a = (6, 3, 7) и b = ( 4, 5, 3)? Для ответа на вопрос находим скалярное произведение a b = 6 ( 4) ( 7) ( 3) = 12. Так как a b 0, то векторы не ортогональны Преобразование координат Предположим, что в пространстве имеются две системы координат. Выясним, как изменяются координаты точки при переходе от одной системы к другой. Пусть начало одной системы находится в точке O, а второй в точке O 1. Понятно, что вторую систему можно получить из первой с помощью параллельного переноса, при котором начало попадет в точку O 1, и последующего поворота системы вокруг нового начала. Поэтому вначале выясним, как изменяются координаты точки при параллельном переносе системы координат, а затем найдем формулы преобразования координат при повороте системы. Будем считать, что первая система координат определяется осями Ox, Oy, Oz, а вторая осями O 1 X, O 1 Y, O 1 Z, причем одноименные оси параллельны и направлены в одну сторону (рис.7). M Z z O 1 Y x O y X Рис. 7. Параллельный перенос осей в R 3

22 22 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Обозначим через (a, b, c) координаты точки O 1 в первой системе. Это означает, что параллельный перенос системы характеризуется вектором OO 1 = (a, b, c). Теперь возьмем произвольную точку M c координатами (x, y, z) в первой системе и (X, Y, Z) во второй. Ясно, что OM = (x, y, z), O 1 M = (X, Y, Z) и O 1 M = OM OO 1. Поэтому X = x a, Y = y b, Z = z c. Получили формулы преобразования координат точки при параллельном переносе осей. Теперь найдем формулы преобразования координат при повороте системы. Пусть системы координат Oxyz и Ox 1 y 1 z 1 имеют общее начало (рис.8). z 1 z y 1 y x x 1 Рис. 8. Поворот координат в пространстве R 3 Обозначим орты осей соответственно i, j, k и i 1, j 1, k 1. Будем считать, что нам известны все углы между координатными осями (между ортами) систем. Эти данные запишем для удобства в виде таблицы: i 1 j 1 k 1 i α 1 α 2 α 3 j β 1 β 2 β 3 k γ 1 γ 2 γ 3

23 1.8. Преобразование координат 23 Возьмем какую-нибудь точку M. Пусть ее координаты в первой системе (x, y, z), а во второй (x 1, y 1, z 1 ). Тогда OM = xi + yj + zk = x 1 i 1 + y 1 j 1 + z 1 k 1. Умножив скалярно последнее равенство на i, получим x = x 1 i 1 i + y 1 j 1 i + z 1 k 1 i = x 1 cosα 1 + y 1 cosα 2 + z 1 cosα 3.. Тем самым мы выразили координату x через координаты другой системы. Аналогичным образом можно выразить величины y и z, так что при повороте системы старые координаты выражаются через новые по формулам x = x 1 cosα 1 + y 1 cosα 2 + z 1 cosα 3, y = x 1 cosβ 1 + y 1 cosβ 2 + z 1 cosβ 3, z = x 1 cosγ 1 + y 1 cosγ 2 + z 1 cosγ 3. Точно так же мы могли бы написать формулы для выражения новых координат через старые. Отметим теперь следующее обстоятельство: мы задали девять углов, характеризующих взаимное положение систем. Покажем, что такого количества на самом деле не нужно, поскольку эти углы связаны между собой. Для этого разложим орты i, j, k по ортам второй системы: i = cosα 1 i 1 + cosα 2 j 1 + cosα 3 k 1, j = cosβ 1 i 1 + cosβ 2 j 1 + cosβ 3 k 1, k = cosγ 1 i 1 + cosγ 2 j 1 + cosγ 3 k 1. Умножим каждое из последних равенств на i, j, k. Вспоминая, что i i = j j = k k = 1, i j = j k = k i = 0, получим шесть равенств cos 2 α 1 + cos 2 α 2 + cos 2 α 3 = 1, cos 2 β 1 + cos 2 β 2 + cos 2 β 3 = 1, cos 2 γ 1 + cos 2 γ 2 + cos 2 γ 3 = 1, cosα 1 cosβ 1 + cosα 2 cosβ 2 + cosα 3 cosβ 3 = 0, cosβ 1 cosγ 1 + cosβ 2 cosγ 2 + cosβ 3 cosγ 3 = 0, cosγ 1 cosα 1 + cosγ 2 cosα 2 + cosγ 3 cosα 3 = 0. Таким образом, девять заданных нами углов связаны шестью уравнениями. Значит, независимых углов всего три.

24 24 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В заключение заметим, что из найденного ранее можно, в частности, получить формулы преобразования координат на плоскости, то есть в пространстве R 2. При этом в случае параллельного переноса осей будет { X = x a, Y = y b. Для характеристики поворота осей на плоскости, очевидно, достаточно задать лишь угол α между осями Ox и Ox 1 (рис. 9). y y 1 x 1 α x Рис. 9. Поворот координат на плоскости При этом оказывается { x = x1 cosα y 1 sin α, y = x 1 sin α + y 1 cosα, где α угол между осями Ox и Ox 1. Рекомендуем читателю показать справедливость этих формул Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора a на вектор b называют такой вектор c, который удовлетворяет следующим трем условиям: 1) вектор c перпендикулярен к векторам a и b ; 2) векторы a, b и c образуют тройку той же ориентации, что и тройка векторов i, j, k (это означает следующее: если смотреть из конца вектора c, то кратчайший поворот от вектора a к вектору b должен казаться поворотом против часовой стрелки) (рис. 10). 3) c = a b sin ϕ, где ϕ - наименьший угол между a и b, то есть c равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

25 1.9. Векторное произведение векторов 25 a b b ϕ a Рис. 10. Векторное произведение векторов Векторное произведение обозначают a b или [a, b]. Отметим такие свойства векторного произведения: 1. a b = (b a), то есть при перемене местами сомножителей векторное произведение меняет знак. Иначе говоря, векторное произведение не обладает переместительным свойством. 2. (λa) b = λ(a b). 3. a b = 0 тогда и только тогда, когда a b. Все три свойства нетрудно проверить, используя определение векторного произведения. 4. (a 1 + a 2 ) b = a 1 b + a 2 b. Это свойство мы не будем доказывать. Остановимся на некоторых простейших приложениях векторного произведения. 1. Векторное произведение можно использовать для нахождения площадей, зная что a b = S, где S площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. П р и м е р. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах 4a + 5b и 2a 3b, если известно, что a = 6, b = 5, угол между векторами a и b равен π 3. В соответствии с только что сказанным площадь параллелограмма находится так: S = (4a + 5b) (2a 3b).

26 26 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Раскрывая скобки, получаем S = 8a a + 10b a 12a b 15b b. Ввиду свойств векторного произведения должно быть Поэтому a a = b b = 0, b a = (a b). S = 22(a b) = 22 a b sin π 3 = = Если в некоторой точке A пространства приложена сила F, то вектор M = OA F называют моментом этой силы относительно точки O. Выясним, как находится векторное произведение векторов, разложенных по ортам координатных осей. Пусть a = a x i + a y j + a z k и b = b x i + b y j + b z k. Тогда, в силу свойств векторного произведения, получим a b = (a x i + a y j + a z k) (b x i + b y j + b z k) = = a x b x i i + a x b y i j + a x b z i k + a y b x j i + a y b y j j + a y b z j k+ +a z b x k i + a z b y k j + a z b z k k. Из определения векторного произведения следует, что i i = j j = k k = 0, Поэтому i j = k, j i = k, j k = i, k j = i, k i = j, i k = j. a b = a x b y k a x b z j a y b x k + a y b z i + a z b x j a z b y i = = i(a y b z a z b y ) j(a x b z a z b x ) + k(a x b y a y b x ) =

27 = i a y Смешанное произведение векторов 27 b y a z b z j a x b x a z b z + k a x Полученное выражение, как нетрудно увидеть, можно представить в форме определителя третьего порядка, так что оказывается i j k a b = a x a y a z b x b y b z. П р и м е р. Найти площадь треугольника, имеющего вершины в точках A(2, 3, 1), B(4, 2, 4) и C(5, 1, 1). Найти также длину высоты, опущенной из вершины C. Так как площадь треугольника S равна половине площади соответствующего параллелограмма, то S = 1 AB AC. Поэтому 2 вначале находим AB = (2, 5, 3) и AC = (3, 4, 2). Затем вычисляем векторное произведение Отсюда AB AC = i j k b x a y b y. = 22i + 13j 7k. AB AC = = 702 = Следовательно, S = Пусть h длина высоты, опущенной из вершины C. Тогда, очевидно, должно быть AB h = AB AC, откуда AB AC h =. AB Так как AB AC = 3 78 и AB = = 38, то оказывается, что h = = Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов a, b и c называют выражение (a b) c, в котором векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор.

28 28 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Естественно, что смешанное произведение является величиной скалярной. Выясним сразу, какой геометрический смысл имеет такое произведение. Для этого допустим вначале, что векторы a, b и c образуют тройку той же ориентации, что и векторы i, j, k (рис. 11), и запишем смешанное произведение в виде (a b) c = a b c cosα, где α угол между a b и c. a b α b c 0 Рис. 11. Смешанное произведение векторов a Хорошо видно, что a b является площадью параллелограмма, построенного на векторах a и b, а c cosα = h, где h высота параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c. Значит, (a b) c = Sh = V, где V объем параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Если бы векторы a, b, c образовывали тройку другой ориентации, то оказалось бы, что (a b) c = Sh = V. В любом случае можем написать, что (a b) c = V, то есть смешанное произведение можно использовать для нахождения объемов. Теперь остановимся на некоторых свойствах смешанного произведения. 1. (a b) c = (c a) b = (b c) a. Действительно, тройки (a, b, c), (c, a, b) и (b, c, a) имеют одну и ту же ориентацию, и на них строится один и тот же паралле-

29 1.10. Смешанное произведение векторов 29 лепипед. Поэтому либо все три смешанных произведения равны V, либо все три равны V. 2. (a b) c = a (b c). Действительно, мы знаем, что (a b) c = (b c) a. Однако в скалярном произведении можно менять порядок сомножителей. Поэтому (a b) c = a (b c). Свойство доказано. Из доказанного свойства следует, что при записи смешанного произведения можно не указывать, между какими сомножителями ставится знак. Поэтому обычно смешанное произведение обозначают в виде трех последовательно написанных векторов: a b c. Этот способ записи будем использовать в дальнейшем. 3. a b c = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b, c компланарны. В самом деле, объем параллелепипеда равен нулю тогда и только тогда, когда его ребра лежат в одной плоскости. Из последнего свойства очевидным образом следует, что три вектора a, b, c некомпланарны, а значит, образуют базис пространства R 3 в том и только том случае, когда их смешаннное произведение отлично от нуля. Выясним, как практически вычисляется смешанное произведение. Для этого предположим, что векторы разложены по ортам координатных осей, то есть a = a x i + a y j + a z k, b = b x i + b y j + b z k, c = c x i + c y j + c z k. Тогда i j k a b c = a(b c) = (a x i + a y j + a z k) b x b y b z c x c y c z = ( = (a x i + a y j + a z k) i b ) y b z c y c z j b x b z c x c z + k b x b y c x c y = b = a y b z x c y c z a y b x b z c x c z + a z b x b y c x c y. Полученное выражение, очевидно, можно записать в виде определителя третьего порядка: a x a y a z a b c = b x b y b z c x c y c z.

30 30 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Мы нашли способ вычисления смешанного произведения векторов, разложенных по ортам осей координат. П р и м е р. Найти объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2, 1, 2), B( 2, 3, 4), C(3, 5, 4), D(4, 2, 6). Нам нужно найти объем тетраэдра, построенного на ребрах AB, AC и AD. Как известно, объем тетраэдра равен 1 3 произведения площади треугольника, лежащего в его основании, на высоту тетраэдра. Значит, можно написать, что Vтетр = 1 3 S трh. Но площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Поэтому Vтетр = 1 6 S парh, то есть объем тетраэдра, построенного на ребрах AB, AC и AD, оказывается в шесть раз меньше, чем объем параллелепипеда, построенного на тех же ребрах: Vтетр = 1 6 AB AC AD. Так как AB = ( 4, 4, 2), AC = (1, 6, 2) и AD = (2, 3, 4), то AB AC AD = = 90, а потому Vтетр = Уравнения плоскости В этом и последующих разделах мы применим полученные выше сведения о векторах для изучения плоскостей и прямых. Как известно из геометрии, существуют различные способы задания плоскости. Например, плоскость можно задать тремя точками, или парой пересекающихся прямых, или прямой и точкой вне

31 1.11. Уравнения плоскости 31 этой прямой, или парой параллельных прямых, или точкой и вектором, который перпендикулярен плоскости. Начнем с последнего способа. Пусть задана точка M 0 (x 0, y 0, z 0 ), лежащая в плоскости, и вектор n = (A, B, C), перпендикулярный к плоскости. Этот вектор называют нормальным вектором или нормалью к плоскости (рис. 12). n M 0 M Рис. 12. К выводу уравнения плоскости Возьмем на плоскости произвольную точку M(x, y, z), которую в дальнейшем будем называть текущей точкой плоскости. Выясним, как должны быть связаны между собой координаты текущей точки из-за того, что она лежит на плоскости. Для этого заметим, что точка M будет лежать на плоскости тогда и только тогда, когда M 0 M n (рис. 12). Как мы знаем, условием ортогональности векторов является равенство n M 0 M = 0. Введем в рассмотрение векторы, идущие из начала координат O : r 0 = OM 0 = (x 0, y 0, z 0 ) и r = OM = (x, y, z). Их называют радиусами-векторами или векторными координатами точек M 0 и M. Очевидно, что M 0 M = r r 0. Поэтому полученное нами уравнение можно записать так: n (r r 0 ) = 0. Таким образом, точка M лежит на плоскости тогда и только тогда, когда ее радиус вектор r удовлетворяет последнему уравнению. Мы будем называть это уравнение векторным уравнением плоскости. Так как n = (A, B, C) и r r 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ), то, раскрыв скалярное произведение, получаем скалярное уравнение плоскости,

32 32 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ проходящей через заданную точку: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Меняя в последнем уравнении коэффициенты A, B, C, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку M 0. Поэтому последнее уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей. Раскрыв скобки и положив D = Ax 0 By 0 Cz 0, приведем уравнение плоскости к виду Ax + By + Cz + D = 0. Таким образом, всякой плоскости отвечает уравнение первой степени относительно текущих координат. Нетрудно понять и следующее: для всякого уравнения Ax + By + Cz + D = 0 можно построить плоскость, текущие координаты которой будут удовлетворять этому уравнению. Уравнение Ax + By +Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости. Укажем одно важное свойство уравнения плоскости: коэффициенты при текущих координатах равны проекциям нормали к плоскости на соответствующие координатные оси. Отметим несколько частных случаев общего уравнения. 1. Уравнение By+Cz+D = 0 описывает плоскость, параллельную оси Ox. Действительно, такой вид уравнения означает, что проекция A нормали на ось Ox равна нулю, то есть нормаль перпендикулярна оси Ox. В таком случае плоскость параллельна оси Ox. Аналогично уравнениями Ax + Cz + D = 0 и Ax + By + D = 0 описываются плоскости, параллельные осям Oy и Oz соответственно. Итак, плоскость параллельна той оси, координата которой отсутствует в уравнении. 2. Уравнение Ax+By +Cz = 0, очевидно, описывает плоскость, которая проходит через начало координат. П р и м е р 1. Найти плоскость, проходящую параллельно плоскости 3x + 2y z + 9 = 0 через точку A(2, 5, 4).

33 1.11. Уравнения плоскости 33 Так как плоскости параллельны, то они имеют общую нормаль n = (3, 2, 1). Зная нормаль и точку, через которую искомая плоскость проходит, можем написать ее уравнение: 3(x 2) + 2(y + 5) (z 4) = 0 или 3x + 2y z + 8 = 0. П р и м е р 2. Найти плоскость, которая перпендикулярна к плоскости 4x 3y + 5z 2 = 0 и проходит через точки A( 1, 3, 4) и B(1, 2, 5). Если M(x, y, z) текущая точка искомой плоскости, то векторы AM = (x + 1, y 3, z 4) и AB = (2, 5, 1) лежат в этой плоскости. Кроме того, так как плоскость перпендикулярна заданной, то нормаль n = (4, 3, 5) к заданной плоскости параллельна искомой. Таким образом, мы нашли три компланарных вектора: AM, AB и n. Как мы знаем, условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения. Это означает, что должно быть или AM AB n = 0 x + 1 y 3 z = 0. Тем самым мы получили уравнение, которому должны удовлетворять координаты текущей точки, то есть уравнение искомой плоскости. Раскрывая определитель, нетрудно привести полученное уравнение к обычному виду: 11x + 3y 7z + 30 = 0. Выведем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и M 3 (x 3, y 3, z 3 ). Для этого возьмем на плоскости текущую точку M(x, y, z). Эта точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда компланарны векторы M 1 M,

34 34 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ M 1 M 2, M 1 M 3. Как мы знаем, условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Значит, для текущей точки плоскости должно выполняться уравнение M 1 M M 1 M 2 M 1 M 3 = 0. Если радиусы-векторы точек M, M 1, M 2, M 3 обозначим соответственно через r, r 1, r 2, r 3, то уравнение сможем записать в виде (r r 1 )(r 2 r 1 )(r 3 r 1 ) = 0. Итак, мы получили векторное уравнение плоскости, проходящей через три точки. Вспомнив правило вычисления смешанного произведения, можем записать это уравнение в скалярной форме: x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. П р и м е р 3. Найти уравнение плоскости, которая отсекает на координатных осях отрезки, равные a, b, c. Из условия очевидно, что плоскость проходит через три заданные точки M 1 (a, 0, 0), M 2 (0, b, 0) и M 3 (0, 0, c). Возьмем текущую точку M(x, y, z) и подставим координаты всех точек в последнее уравнение: x a y z a b 0 a 0 c = 0. Раскрывая определитель, получаем xbc abc + yac + zab = 0 или xbc + yac + zab = abc, откуда x a + y b + z c = 1. Это уравнение называют уравнением плоскости в отрезках на осях Уравнения прямой в пространстве Прямую, как и плоскость, можно задавать различными способами. Мы начнем с такого: зададим некоторую точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ), через которую проходит прямая, и вектор s = (l, m, n), которому

35 1.12. Уравнения прямой в пространстве 35 s M 0 M Рис. 13. К выводу уравнения прямой прямая параллельна. Этот вектор называют направляющим вектором прямой (рис. 13). Чтобы по этим условиям найти уравнение прямой, возьмем на ней текущую точку M(x, y, z). Очевидно, что точка лежит на прямой в том и только том случае,когда MM 0 s. Как мы видели раньше, условием коллинеарности является выполнение равенства MM 0 = t s, где t некоторое число. Обозначив через r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) и r = (x, y, z) радиусы-векторы точек M 0 и M, имеем M 0 M = r r 0. Следовательно, или r r 0 = t s r = t s + r 0. Получили векторное параметрическое уравнение прямой. Изменяя в этом уравнении параметр t от до +, получаем все точки прямой. Записывая векторное равенство в проекциях на координатные оси, получаем скалярные параметрические уравнения прямой: x = lt + x 0, y = mt + y 0, z = nt + z 0, t (, + ). Эти уравнения часто записывают в одну строчку: x = lt + x 0, y = mt + y 0, z = nt + z 0, t (, + ).

36 36 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Заметим, что обычно в уравнениях прямой не пишут t (, + ), считая это само собой разумеющимся. Параметрические уравнения прямой бывают очень удобными при решении задач геометрии, механики и т. п. Найдя из каждого из трех параметрических уравнений прямой параметр t, получим x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n. Эти равенства называют каноническим уравнением прямой. П р и м е р 1. Найти уравнение прямой, которая перпендикулярна плоскости 3x 5y+4z 2 = 0 и проходит через точку M 0 ( 2, 3, 2). Так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали к плоскости, то есть нормаль является направляющим вектором прямой. Из уравнения плоскости видно, что нормалью является вектор n = (3, 5, 4). Следовательно, s = (3, 5, 4). Зная s и точку M 0, можем написать скалярные параметрические уравнения, определяющие координаты текущей точки прямой: x = 3t 2, y = 5t + 3, z = 4t + 2. Очевидно, что каноническое уравнение этой прямой выглядит так: x = y 3 5 = z 2 4. П р и м е р 2. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью x = 3t 1, y = 2t + 4, z = t + 3 2x 4y + 3z 7 = 0. Для решения подставим координаты точек прямой в уравнение плоскости. Получим 2(3t 1) 4(2t + 4) + 3(t + 3) 7 = 0, откуда t = 16. Следовательно, x = 47, y = 36, z = 19, то есть прямая пересекает плоскость в точке (47, 36, 19).

37 1.12. Уравнения прямой в пространстве 37 Предположим, что прямая проходит через две заданные точки: M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ). В этом случае ее направляющим вектором будет M 1 M 2 = r 2 r 1, где r 1 и r 2 радиусы-векторы точек M 1 и M 2. Поэтому векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид или r = t (r 2 r 1 ) + r 1 r = (1 t) r 1 + t r 2, t (, + ). Записав последнее равенство в проекциях на координатные оси, получим скалярные параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки: x = (1 t) x 1 + t x 2 y = (1 t) y 1 + t y 2 z = (1 t) z 1 + t z 2, t (, + ). Заметим следующее: если в написанных равенствах изменять параметр t лишь от 0 до 1, то получится множество точек отрезка, соединяющего точки M 1 и M 2. Так как l = x 2 x 1, m = y 2 y 1, n = z 2 z 1, то каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1. Прямую можно задать как пересечение пары плоскостей. В этом случае координаты текущей точки прямой должны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, так что прямая описывается равенствами вида { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Заметим, что всегда можно перейти от одного способа записи уравнения прямой к другому. П р и м е р 3. Пусть прямая задана пересечением двух плоскостей { 3x + 2y 4z 6 = 0, 2x + y + 3z 8 = 0.

38 38 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Найдем другие формы уравнения этой прямой. Чтобы решить задачу, возьмем на прямой две конкретные точки. Для этого положим вначале в системе x = 0. Тогда, как легко увидеть, окажется y = 5, z = 1. Значит, точка M 1 (0, 5, 1) лежит на прямой. Взяв z = 0, получим x = 10, y = 12. Получили еще одну точку M 2 (10, 12, 0) на прямой. Теперь можем написать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки: x 10 = y 5 17 = z 1 1. Отсюда нетрудно перейти к параметрическому заданию: x = 10t, y = 17t + 5, z = t + 1. Заметим, что эту задачу можно было решить и несколько иначе. Очевидно, что нормали к обеим плоскостям перпендикулярны к линии их пересечения. Поэтому их векторное произведение должно быть параллельно линии пересечения плоскостей. Это значит, что такое произведение можно принять в качестве направляющего вектора прямой. Зная произведение и найдя одну точку на линии пересечения, можем написать уравнение прямой Уравнения прямой на плоскости Уравнения прямой на плоскости нетрудно получить как частный случай уравнения прямой в пространстве. Для этого можно считать, что прямая лежит на плоскости xoy, а в таком случае во всех уравнениях следует координату z считать равной нулю. Например, векторное параметрическое уравнение останется в том же виде, что и раньше: r = t s + r 0, но в нем будет r = (x, y), r 0 = (x 0, y 0 ), s = (l, m). В соответствии с этим скалярные параметрические уравнения принимают вид { x = l t + x0, y = m t + y 0. Каноническое уравнение прямой оказывается таким: x x 0 l = y y 0 m.

39 1.13. Уравнения прямой на плоскости 39 Векторное уравнение прямой, проходящей через две точки, вида не изменит: r = (1 t) r 1 + t r 2 а скалярные будут такими: { x = (1 t) x1 + t x 2, y = (1 t) y 1 + t y 2. Ясно, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки, запишется так: Из последнего уравнения x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1. y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ). Пусть ϕ угол наклона прямой к оси Ox (этот угол отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления оси Ox ). Положим k = tg ϕ. Тогда, очевидно, k = y 2 y 1 x 2 x 1. Значит, уравнение можно записать в виде y y 1 = k(x x 1 ). Изменяя в нем угловой коэффициент k от до +, получаем все прямые, проходящие через точку (x 1, y 1 ). Поэтому оно называется уравнением пучка прямых. Теперь перепишем уравнение в виде y = kx+y 1 kx 1 и положим b = y 1 kx 1. Получим y = kx + b. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. Входящая в уравнение величина b является ординатой точки пересечения прямой с осью Oy. Поэтому ее называют начальной ординатой прямой. Если известны угловые коэффициенты пары прямых, то по ним нетрудно найти угол ϕ между этими прямыми. Пусть k 1 и k 2

40 40 1. ВЕКТОРЫ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ угловые коэффициенты прямых, то есть k 1 = tg ϕ 1, k 2 = tg ϕ 2, где ϕ 1 и ϕ 2 углы, которые прямые образуют с осью Ox. Нетрудно понять, что должно быть ϕ = ϕ 2 ϕ 1. Поэтому tg ϕ = tg(ϕ 2 ϕ 1 ) = tg ϕ 2 tg ϕ tg ϕ 2 tg ϕ 1 = k 2 k k 2 k 1. Отсюда ϕ = arctg k 2 k k 2 k 1. Заметим, что второй угол между этими прямыми равен π ϕ. Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда равны их углы с осью Ox. Это приводит к очевидному условию параллельности: k 1 = k 2. Если прямые взаимно перпендикулярны, то tg ϕ должен обратиться в бесконечность. Для этого должно быть k 2 k 1 = 1 или, что то же, k 2 = 1 k 1. Тем самым мы нашли условие перпендикулярности прямых на плоскости: k 2 = 1 k 1. П р и м е р. Через точку A(4, 2) провести прямую перпендикулярно прямой 3x + 5y 6 = 0. Для решения преобразуем уравнение заданной прямой к виду y = 3 5 x Видно, что угловой коэффициент этой прямой равен 3 5. В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент искомой прямой равен 5 3. Зная угловой коэффициент и точку A(4, 2), через которую проходит прямая, можем написать ее уравнение: y + 2 = 5 (x 4) 3 или 5x 3y 26 = 0.

41 1.13. Уравнения прямой на плоскости 41 В заключение отметим следующее: любое уравнение прямой на плоскости можно привести к виду Ax + By + C = 0, представляющему собой уравнение первой степени относительно ее текущих координат (x, y). С другой стороны, понятно, что для любого уравнения, имеющего вид Ax + By + C = 0, можно построить прямую, текущие координаты которой удовлетворяют этому уравнению. Поэтому уравнение Ax + By + C = 0 называют общим уравнением прямой на плоскости.

42 42 2. МАТРИЦЫ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 2.1. Матрицы Основной задачей этого раздела является расширение и обобщение тех простых понятий, которые мы рассматривали выше. Это даст, в частности, возможность изучить системы линейных алгебраических уравнений: найдем условия разрешимости системы и рассмотрим способы нахождения решений. Мы уже сталкивались с понятием матрицы в самом начале курса. Теперь дадим общее определение этого понятия. Матрицей размерности m n называют таблицу такого вида: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Величины a ij, входящие в матрицу, называются ее элементами. Нередко будем обозначать матрицы более кратко. Например, {a ij }, или A m n, или просто A. Вектором-столбцом называют матрицу, имеющую размерность m 1 : a 1 a 2. a m. Матрицу размерности 1 n, то есть матрицу вида (a 1, a 2,... a m ), называют вектором-строкой. Матрицу, состоящую из нулей, называют нуль-матрицей. Будем обозначать нуль-матрицу просто нулем: 0.

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее