ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания для студентов заочной формы обучения Составители МВ Зголич, ЛА Валуйская Томск 03

2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии/ Сост МВ Зголич, ЛА Валуйская Томск: Изд-во Том гос архит-строит ун-та, с Рецензент РИ Лазарева Редактор ГД Садритдинова Методические указания к контрольной работе по дисциплине ББ «Математика» при изучении темы «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» студентами первого курса заочной формы обучения всех специальностей и всех направлений и профилей подготовки специалистов и бакалавров Содержат теоретические сведения, решения типовых задач и варианты контрольных заданий Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол 3 от 0 декабря 0 г Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе ВВ Дзюбо с до 0908 Оригинал-макет подготовлен МВ Зголич Подписано в печать г Формат Бумага офсет Гарнитура Таймс Уч-изд л,58 Тираж 50 экз Заказ Изд-во ТГАСУ, , г Томск, пл Соляная, Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ , г Томск, ул Партизанская, 5

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 4 Основные понятия 5 Определение вектора, его длины 5 Коллинеарные и компланарные векторы 5 3 Линейные операции над векторами 6 4 Базис Разложение вектора по базису 8 5 Скалярное произведение векторов 9 6 Векторное произведение векторов 0 7 Смешанное произведение векторов 8 Прямая линия на плоскости 9 Плоскость в пространстве 4 Вопросы для самопроверки 7 Рекомендации по решению задач 8 Задачи для контрольных заданий 4 Список рекомендуемой литературы 30 3

4 ВВЕДЕНИЕ Методические указания разработаны для студентов заочного факультета ТГАСУ Рекомендуются для самостоятельной работы студентов в процессе выполнения контрольных работ при изучении темы "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" Математическое содержание раздела направлено на формирование у студента общекультурных (ОК) и профессиональных компетенций (ПК): ОК- ОК-9 ПК- Владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения Способность к целенаправленному применению базовых знаний в области математических, естественных, гуманитарных и экономических наук в профессиональной деятельности Способность использовать законы и методы математики, естественных, гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач В результате освоения материала студент должен: Знать: Основные понятия, методы и задачи векторной алгебры и аналитической геометрии Уметь: Использовать математические методы в технических приложениях Владеть: Методами математического анализа 4

5 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА : ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА, ЕГО ДЛИНЫ Вектор это направленный отрезок (или, другими словами, упорядоченная пара точек) Для вектора принято обозначение АВ, где точка A начало, точка B конец вектора Длиной (модулем) вектора АВ называется расстояние между началом вектора и его концом Обозначается АВ 3 Вектор, у которого совпадают начало и конец, называют нулевым вектором и обозначают 0 КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными Коллинеарность векторов принято обозначать AB CD Если хотят подчеркнуть сонаправленность коллинеарных векторов, пишут AB CD, если же коллинеарные векторы противоположно ориентированы, принята запись AB CD Нулевой вектор принято считать коллинеарным любому вектору Совокупность трех и более векторов, лежащих в одной плоскости или параллельных одной плоскости, называют компланарной 5

6 Например, на рис тройки векторов AA, AB, DC и AA, AD, BB являются компланарными, тройка AA, AB, AD не компланарна А векторы AA и BB коллинеарны, AB и C D коллинеарны, причем, AA BB, AB C D B C A D B C A Рис D 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 3 Суммой векторов a и b называется вектор, который находится либо по правилу параллелограмма (рис ), либо по правилу треугольника (рис 3) В первом случае для нахождения суммы оба вектора откладываются от одной точки, на этих векторах строится параллелограмм Тогда сумма данных векторов есть вектор, начало которого совпадает с началами обоих векторов-слагаемых и направленный по диагонали параллелограмма (рис ) Чтобы найти сумму двух векторов a и b по правилу треугольника, нужно расположить векторы последовательно (от конца вектора a отложить начало вектора b ) Тогда их сумма это вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (вектора a ), а конец совпадает с концом второго вектора (вектора b ) (рис 3) 6

7 a b a b a b a a b b Рис Рис 3 3 Сумму любого числа векторов находят по правилу многоугольника (рис 4) a b с d a S b с d Рис 4 По правилу многоугольника путем параллельного переноса начало каждого последующего вектора помещают в конец предыдущего Вектор S a b c d получен путем соединения начала первого вектора и конца последнего вектора 33 Произведением вектора a на число α называется вектор b, удовлетворяющий условиям: b a, если α > 0; 7

8 b a, если α < 0 b α a 3 0 a 0 При этом принята запись b α a На рис5 изображены векторы a, a, a a a a Рис 5 4 БАЗИС РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ 4 Базисом на плоскости называют пару ненулевых неколлинеарных векторов 4 Разложить вектор c по базису a и b значит представить вектор c в виде c α a βb, где α, β некоторые числа, которые называются координатами вектора c в базисе a и b 43 Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны Например, в пространстве векторы a {;; 3} и b 3 { ; 4;6} коллинеарны, так как λ, где 4 6 8

9 λ Векторы {3; 5} с и d {6;7 } на плоскости не коллинеарны, так как 3 5, а значит, они образуют базис Если известны координаты начала x ; y ; ) ( z A и координаты конца B ( x; y; z) вектора AB, то его координаты находятся по формуле AB { x x; y y; z z} 45 Если вектор a { x; y} на плоскости задан своими координатами, то его длина находится по формуле a x y В пространстве длина вектора a { x; y; z} вычисляется по формуле a x y z 5 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 5 Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Для скалярного произведения принято обозначение ( а,b ) Таким образом, по определению (a,b) a b cos φ Если хотя бы один из векторов а и b нулевой, скалярное произведение полагается равным нулю 5 Зная координаты векторов a { x; y; z} и b { x; y; z}, можно найти их скалярное произведение по формуле ( a, b ) x x y y z z 9

10 53 С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами а и b по формуле (а,b) cos а b Или в координатах cos x x x y y z z y z x y z 54 Из 53 следует условие перпендикулярности ненулевых векторов: b (a,b) 0 x x y y z z 0 а 6 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 6 Векторным произведением двух неколлинеарных векторов а и b называется вектор c, удовлетворяющий трем условиям: ) c a, с b ; ) вектор c ориентирован так, что тройка векторов а,b, с образует правую тройку векторов; 3) с а b sin, где угол между векторами а и b Для векторного произведения принято обозначение c [ a, b ] 6 Из определения получаем условие коллинеарности двух векторов: два вектора а и b коллинеарны (угол между ними равен 0 или 80 0, значит sin 0) тогда и только тогда, когда их векторное произведение [ a, b ] равно нулю 63 В декартовых координатах векторное произведение векторов a { x; y; z} и b { x; y; z} представляется в виде определителя третьего порядка 0

11 [ a, b] x y z где i, j, k орты декартова базиса (единичные взаимно перпендикулярные векторы, образующие правую тройку) 64 Геометрический смысл векторного произведения векторов а и b заключается в том, что модуль векторного произведения данных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис6), те S [ a, b] [ a, b ] i x j y k z пар, ма b a S Рис 6 7 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 7 Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение (те число) векторного произведения двух первых векторов на третий вектор Для смешанного произведения принято обозначение ( a,b, c) Таким образом, по определению ( a,b, c) ([ a,b ], c)

12 7 Смешанное произведение трех векторов, взятое по модулю, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: V ( a,b, c) пар да 73 Условие компланарности трех векторов: смешанное произведение ( a,b, c) равно 0 тогда и только тогда, когда векторы a,b, c компланарны: ( a,b, c) 0 74 Если известны координаты векторов a { x; y; z}, b { x; y; z}, c { x3; y3; z3}, то смешанное произведение вычисляется по формуле x y z ( a, b, c) x y z 8 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 8 Уравнение прямой можно записать, если: ) на прямой известна точка M 0 ( x0; y0 ) и известен вектор n { A; B}, перпендикулярный этой прямой (вектор n { A; B} называют нормальным вектором прямой) (рис 7а) ) на прямой известна точка M 0 ( x0; y0 ) и известен вектор S { m; n}, параллельный этой прямой (вектор S называется направляющим вектором прямой) (рис 7б) S n x 3 M 0 M 0 y 3 z 3 а) б) Рис 7

13 8 Как получить уравнение прямой в том и другом случаях? а) Пусть задана точка M 0 ( x0; y0 ) и известен вектор n { A; B} Получим уравнение прямой, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору n Для этого возьмем на прямой произвольную точку M ( x; y) (рис 8а) n S M 0 M 0 M M а) б) Рис 8 n 0 Поскольку векторы n и M 0 M перпендикулярны, те, M M, то их скалярное произведение равно нулю: ( n, M 0M) 0 А так как n { A; B}, M 0M { x x0; y y0}, то в координатах получаем А х х ) (у у ) 0 ( 0 В 0 Раскрыв скобки и обозначив С А х0 В у0, получаем общее уравнение прямой на плоскости Ах Ву С 0 б) Пусть теперь задана точка M 0 ( x0; y0 ) и известен вектор S { m; n} Получим уравнение прямой, проходящей через точку M 0 параллельно вектору S { m; n} Для этого возьмем на прямой произвольную точку M ( x; y) (рис8б) 3

14 По условию коллинеарности векторов (см свойство 43) M 0M { x x0; y y0} и S { m; n} получаем каноническое уравнение прямой на плоскости х х0 y y0 m n Если на прямой заданы две точки M ( x; y) и M ( x; y) тогда также известен направляющий вектор S { x x; y y} (рис 9) прямой и каноническое уравнение примет вид х х y y х х у у Это уравнение прямой, проходящей через две точки M S M Рис9 9 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 9 Уравнение плоскости можно получить в каждом из следующих двух случаев: ) Если на плоскости в заданной системе координат известна точка M 0( x0; y0; z0) и известен нормальный вектор n { A; B; C} этой плоскости (те вектор, перпендикулярный плоскости) 4

15 ) Если на плоскости известна точка M 0( x0; y0; z0) и известны два неколлинеарных между собой вектора, параллельных данной плоскости Как получить уравнение плоскости в том и другом случаях? ) Пусть дана точка M 0( x0; y0; z0) и нормальный вектор n { A; B; C} Требуется получить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0( x0; y0; z0) перпендикулярно вектору n { A; B; C} (рис 0) M 0 n M Рис0 Пусть M ( x; y; z) произвольная точка плоскости По условию перпендикулярности из того, что n M 0M ( n, M 0M) 0 Переходя к координатам векторов, получим A x x ) B( y y ) C( z ) 0 ( 0 0 z0 Введем обозначение D A x0 B y0 C z0, тогда уравнение плоскости примет вид: A x By Cz D 0 Это уравнение называют общим уравнением плоскости Заметим, что в этом уравнении коэффициенты A, B, C координаты нормального вектора плоскости 5

16 ) Пусть задана точка M 0( x0; y0; z0) и два неколлинеарных вектора S { m ; n ; p} и S { m ; n ; p} Требуется получить уравнение плоскости, проходящей через точку M x ; y ; ) параллельно векторам S и S (рис ) 0( 0 0 z0 S S M 0 M Рис Пусть M ( x; y; z) произвольная точка плоскости По условию задачи векторы M 0 M, S, S компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( М0М, S, S ) 0 Переходя к координатам векторов, получим: х m m х 0 у n n у 0 z p p z 0 0 Раскрывая определитель, получим общее уравнение плоскости 6

17 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Что называется вектором и длиной (модулем) вектора? Какие векторы называются коллинеарными и компланарными? 3 Что называется суммой векторов? Каковы способы нахождения суммы двух и большего числа векторов? 4 Что называется произведением вектора на число? 5 Что называется базисом на плоскости? 6 Что значит «разложить вектор по базису»? Что называется координатами вектора в данном базисе? 7 В каком случае векторы являются коллинеарными? 8 Как выражаются координаты вектора через координаты начала и конца вектора? 9 Как вычисляется длина вектора? 0 Что называется скалярным произведением двух векторов, как оно выражается через координаты векторов? Как вычисляется угол между двумя векторами? Каково условие перпендикулярности векторов? 3 Что называется векторным произведением двух векторов и как оно выражается через координаты векторов? 4 Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов? 5 В чем заключается геометрический смысл векторного произведения? 6 Что называется смешанным произведением трех векторов, каков его геометрический смысл и как оно выражается через координаты векторов? 7 Сформулируйте условие компланарности трех векторов? 8 Что называется нормальным и направляющим векторами прямой на плоскости? 9 Как записать уравнение прямой на плоскости, если известен: а) ее нормальный вектор; б) ее направляющий вектор 0 Как записать уравнение прямой, проходящей через две точки? 7

18 Как записывается уравнение плоскости, если известна точка, через которую она проходит, и нормальный вектор? Как записывается уравнение плоскости, если известна точка, через которую она проходит, и два неколлинеарных вектора, параллельных ей? РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Задача Даны векторы a { ; }, b { 3;4}, c { 7;8} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Решение Покажем, что векторы a и b образуют базис Действительно, так как они ненулевые и неколлинеарные, поскольку, то согласно пункту 4 векторы образуют базис 3 4 Разложим вектор c по векторам a и b То есть представим вектор c в виде c α a βb и найдем координаты вектора c (числа α и β ) Записав это равенство в координатах, те подставив в него координаты векторов a, b и c, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов α и β : α 3β 7, α 4β 8 Решая полученную систему одним из известных методов, получаем α, β 3 Значит, вектор c раскладывается по векторам a и b следующим образом: c a 3b Ответ: c a 3b 8

19 Задача Даны точки А ( 4; ), А (; 3), А 3 ( 0; 5) Найти: ) длину вектора A A A A и 3 А А A ; ) угол между векторами A A Рис a Решение Чтобы найти длину (модуль) вектора A A Найдем координаты вектора AB согласно пункту 44: A { ( 4); 3 } {6; 5} Теперь, следуя указанию 45, A вычислим длину вектора A A : A A 6 ( 5) 6 Угол между векторами A A и A A 3 (п53) найдем по формуле cos ( A A, A ) A A A A Для этого найдем сначала координаты вектора А А3 : A A 3 { 0 ( 4);5 } { 6;3}, а затем вычислим скалярное произведение: ( A A, A ) 6 ( 6) ( 5) 3 5 Найдем также длину вектора AD (п 45): 3 9

20 A A 3 ( 6) 3 45 Подставляя найденные величины в формулу для нахождения косинуса угла, получаем cos Задача 3 Даны вершины пирамиды А ( 4; ; 6), В(; 3; 0), С ( 0; 5; 8) и D ( 5; ; 4) Найти: ) площадь грани ABC ; ) объем пирамиды D A C Решение Чтобы найти площадь грани ABC, воспользуемся формулой S ABC [ AB, AC] Найдем координаты векторов AB и AC : AB AС { { ( 0 4); ( 3 4),5 B Рис 3 ;0 ;8 6} 6} {6; { 5; 6} 6;3;} 0

21 Вычислим векторное произведение векторов AB и AC по формуле из пункта 63: i j k [ AB, AC] i 4 j k 6 Найдем теперь модуль векторного произведения (п45): 3 [ AB, AC] 8 4 ( ) Отсюда получаем S ABC 8 4 квед Из школьного курса известно, что объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c, равен от объема параллеле- 6 пипеда, построенного на тех же векторах Таким образом, V пир ( АВ, АС, AD) И мы получаем ( АВ, АС, AD) 6 3 Искомый объем равен 56 V пир кубед 6 3 Задача 4 Заданы вершины треугольника А (3; 4), В (5; ) и С ( 4; 6) Требуется составить уравнения: ) стороны АВ; ) высоты ВР, проведенной из вершины В Решение Чтобы получить уравнение стороны АВ (рис4), воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: 0 0

22 х х х х B y у y у A P Рис 4 C Уравнение прямой АВ примет вид: х 3 у 4 х 3 у Полученное каноническое уравнение простым преобразованием приведем к виду 3х у 3 0 Это общее уравнение прямой АВ 3 Чтобы получить уравнение высоты BP, воспользуемся тем, что вектор АС является нормальным вектором прямой BP Пусть M ( x; y) произвольная точка этой прямой ВМ АС ( АС, ВМ ) 0 Найдем координаты векторов АС и BM : АС { 7; }, BM { x 5; y } Тогда получим 7( х 5) ( у ) 0 Отсюда окончательно общее уравнение искомой прямой BP имеет вид: 7х у 39 0

23 Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ;0; ), и параллельной плоскости 4x y z 6 0 Решение Из общего уравнения плоскости 4x y z 6 0 находим координаты ее нормального вектора n {4; ; } Так как по условию данная плоскость параллельна искомой плоскости, то ее нормальный вектор перпендикулярен искомой плоскости (рис 5) n M M Рис 5 Таким образом, получаем первый случай из рассмотренных выше (п 9) Векторы M M и n перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю: ( n, M M ) 0 Имея координаты этих векторов: M M { x ; y, z }, n {4; ;}, получаем 4( x ) ( ) y ( z ) 0 Упростив это уравнение, получаем общее уравнение искомой плоскости: 4x y z 3 0 3

24 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Студент должен выполнять контрольное задание по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра) Вариант Даны векторы a { 4; }, b {3;5}, c {; 7} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (4;), A (0;7), A 3 (0;) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (4;;5), A (0;7;), A 3(0;;7), A 4(;5;0 ) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( 8; ), B(;0), C(4;4) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (;;0) и параллельной плоскости 3x y z 0 Вариант Даны векторы a { 3; }, b { ;}, c {7; 4} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (4;4), A (4;6), A 3 (;8) Найти: ) длину вектора A A A A и 3 А А ; ) угол между векторами 4

25 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (4;4;0), A (4;6;), A 3 (;8;4), A 4 (9;6;9) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( 5; ), B(7;6), C(5; 4) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ;;) и параллельной плоскости x y z 3 0 Вариант 3 Даны векторы a { 3;5}, b {; 7}, c {7;3 } Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (4;6), A (6;9), A 3 (;0) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (4;6;5), A (6;9;4), A 3 (;0;0), A 4 (7;5;9) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A(4;8), B(; 0), C( 6; ) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (;; ) и параллельной плоскости x y z 3 0 Вариант 4 Даны векторы a { 3;}, b {; }, c {8; } Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b 5

26 Даны координаты точек A, A, A 3 : A (3;5), A (8;7), A 3 (5;0) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (4;;5), A (0;7;), A 3 (0;;7), A 4 (;5;0) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( 6; ), B(4;8), C(; 8) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3;;) и параллельной плоскости 3 x y z 0 Вариант 5 Даны векторы a { 3;}, b {; }, c {5;5 } Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (0;6), A (-;8), A 3 (6;8) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (0;6;6), A (-;8;), A 3 (6;8;9), A 4 (7;0;3) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A(;6), B(4; ), C( ; 6) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (; ; ) и параллельной плоскости x y z 0 6

27 Вариант 6 Даны векторы a { 3;}, b {; }, c {; 3} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (;8), A (5;), A 3 (5;7) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (;8;), A (5;;6), A 3 (5;7;4), A 4 (4;0;9) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( 7;3), B(; ), C( ; 5) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ;;) и параллельной плоскости x y z 3 0 Вариант 7 Даны векторы a { 4; }, b {3;5}, c {5; 9} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (6;6), A (4; 9), A 3 (4;6) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (6;6;5), A (4;9;5), A 3 (4;6;), A 4 (6;9;3) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( ; ), B(7; 6), C(;) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 7

28 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (;;) и параллельной плоскости x y z 0 Вариант 8 Даны векторы a { ;}, b { ;}, c {;8 } Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (7;), A (5;7), A 3 (5;3) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (7;;), A (5;7;7), A 3 (5;3;), A 4 (;3;7) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A( 5;3), B(3;4), C(7; 3) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (0;;0) и параллельной плоскости x y z 3 0 Вариант 9 Даны векторы a { ;}, b { ;}, c {; } Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (8;6), A (0;5), A 3 (5;6) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (8;6;4), A (0;5;5), A 3 (5;6;8), A 4 (8;0;7) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 8

29 4 Даны вершины треугольника A( ;0), B(;6), C(4;) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (; ; ) и параллельной плоскости 3 x y z 0 Вариант 0 Даны векторы a { 5;}, b {3; 4}, c {4;} Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A, A, A 3 : A (7;7), A (6;5), A 3 (3;5) Найти: ) длину вектора A A ; ) угол между векторами A A и А А3 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A4 : A (7;7;3), A (6;5;8), A 3 (3;5;8), A 4 (8;4;) Найти: ) площадь грани A A ; ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A(0;0), B(;6), C(4;) Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (;;) и параллельной плоскости x y z 3 0 9

30 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература Лесняк ЛИ, Старенченко ВА Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия: Учебное пособие Томск: Изд-во НТЛ, с Беклемишев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для вузов М: ФИЗМАТЛИТ, с 3 Беклемишев ДВ Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре СПб: Лань, с 4 Бортаковский АС, Пантелеев АВ Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов- М: Высшая школа, с Дополнительная литература Клетеник ДВ Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие СПб: Лань, с Письменный ДГ Конспект лекций по высшей математике часть М: Айрис-пресс, с 30

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Варианты заданий для студентов заочной формы обучения Составители Лазарева РИ Куницына ТС Зголич МВ Томск 07 СОДЕРЖАНИЕ I Правила оформления

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к контрольной работе Составитель ЛИ Цепилевич

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Томский государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ Тестовые задания

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Контрольные задания по разделу «Неопределенные и определенные интегралы»

Контрольные задания по разделу «Неопределенные и определенные интегралы» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее