СЕМИНАР 3. Решение: Используем соотношение неопределённости «импульскоордината» p r ħ (ħ = 1, эрг сек), полагая для оценки

Транскрипт

1 СЕМИНАР 3 1. Имеется частица с массой m = 1 г, движущаяся со скоростью v = 1 см/. Оценить неопределенность в координате и временнòм положении этой частицы. Можно ли их наблюдать? Используем соотношение неопределённости «импульскоордината» p r ħ (ħ = 1, эрг ), полагая для оценки Δp p = m v: Δr ħ Δp ħ m v = 1, эрг 10 7 см. 1г 1 см Ничтожность этой величины, исключающая возможность её наблюдения, очевидна. Столь же ничтожна и неопределенность во временнòм положении этой частицы. Действительно, используя соотношение неопределённости «энергия-время» E t ħ и полагая ΔE T(кин. эн. ) = mv 1г (1см = ) 0,5 эрг, получаем Δt ħ ΔE = 1, эрг 0,5 эрг Данные одного из экспериментов по измерению спектров -частиц от 41 распада 95Am (t 1 = 43,6 лет) показывают наличие -пика с энергией 5,476 МэВ и шириной на половине высоты Γ 15 кэв. Можно ли эти -частицы наблюдать в виде трека в ядерной фотоэмульсии (толщина трека в фотоэмульсии не может быть меньше диаметра одного проявленного зерна равного 0,5 мкм = см) и, если можно, то не будет ли это противоречить утверждению квантовой механики о невозможности движения частиц по траекториям. Квантовая механика требует выполнения соотношения неопределенности «импульс-координата» p r ħ или pc r ħc. В данном случае r = см. Найдем pc, учитывая, что Γ T α : pc = m α c T α = m αc 377 МэВ T T α = 0,015 МэВ α 5,476 МэВ 0,8 МэВ.

2 Найдём теперь квантовую неопределённость в r, вытекающую из неопределённости pc 0,8 МэВ: r = ħс 00 МэВ Фм = 00 МэВ см 0, см, pc 0,8 МэВ 0,8 МэВ что почти на 6 порядков ниже толщины трека 0, см. Таким образом наличие достаточно отчетливого (с разрешением 0,5 мкм) трека - частицы в фотоэмульсии не противоречит утверждению квантовой механики о невозможности движения частиц по траекториям. 3. Имеются -частицы с кинетической энергией 5 МэВ и неопределенностью v в скорости того же порядка, что и сама скорость v. Будут ли следы этих -частиц наблюдаться в виде чётких треков в позиционно-чувствительном детекторе (например, ядерной фотоэмульсии или камере Вильсона)? Рассчитаем неопределённость r в координате -частиц, используя соотношение неопределённости «импульс-координата»: r ħ m v ħ mv = 1, г см 4 1, г 1, см см. Таким образом, треки будут чёткими (их расплывание заметно не будет). В решении было использовано следующее: масса m -частицы примерно равна четырём нуклонным массам 4 m нукл 4 1, г МэВ/с и их скорость v = c T см mc 5 МэВ см ,5 109 МэВ. 4. Рассмотрим атом. Типичная энергия электрона в атоме T e 10 эв. Оценить неопределенность в пространственном положении такого электрона. Используем ħ = 6,58 10 МэВ. Оценим неопределённость Δr e в пространственном положении такого электрона, полагая Δp e p e = T e m e :

3 Δr e ħ ħc Δp e p e c = ħc T e m e c 00 МэВ см 10 5 МэВ 0,511 МэВ 0, см. Полученная пространственная неопределённость отвечает размеру атома. 5. Типичная кинетическая энергия нуклона (протона или нейтрона) в ядре T N 0 МэВ. Оценить неопределённость Δr N в пространственном положении такого нуклона. Полагая Δp N p N = T N m N, имеем Δr N ħ ħ = Δp N p N ħc T N m N c 00 МэВ Фм 0 МэВ 1000 МэВ 1 Фм = см. Эта пространственная неопределённость отвечает ядерному масштабу. В решении использовано m N c 939 МэВ 1000 МэВ. Этим приближением удобно пользоваться для многих оценок. 6. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга «импульскоордината» ( p r ħ), оценить кинетические энергии электрона в атоме и кварка в нуклоне. Рассмотрим атом. Соотношение неопределенности запишем в виде p e c r e ħc. Для оценок полагаем r e R ат, где R ат радиус атома, а p e p e, где p e импульс электрона. Электрон на орбите атома нерелятивистский, поэтому p e T e m e. Итак, получаем T e 1 m e c (ħc ) 1 R ат 10 6 эв ( эв см 10 8 см ) 4 эв. Рассмотрим теперь нуклон. Он, как известно, состоит из трех кварков (их массы -5 МэВ/с ). Радиус нуклона R N 1 Фм. Кварки внутри нуклона релятивистские. Это следует из массы нуклона ( 1000 МэВ) и суммарной массы трёх кварков, из которых состоит нуклон. А эта суммарная масса всего 10 МэВ. Т.е. масса нуклона формируется в основном за счёт кинетической энергии кварков внутри нуклона и эта энергия во много раз больше энергии покоя кварков. Итак, кварки в нуклоне релятивистские,

4 поэтому p q c T q. Полагая Δp q c p q c T q, для кинетической энергии кварка внутри нуклона получаем T q ħc 00 МэВ 1 Фм = 00 МэВ. R N 1 Фм Ядро 5 B из возбужденного состояния с энергией 0,7 МэВ распадается испусканием гамма-кванта с периодом полураспада t 1 = с. Оценить неопределенность в энергии E испущенного гамма-кванта. В соотношении неопределенности Гейзенберга «энергия- время» E t ħ используем в качестве t величину периода полураспада t 1. Тогда ΔE ħ = ħc c = 00 МэВ см см 6 эв. t 1 t 1 8. Найти среднее время жизни ядра 1 С в первом возбужденном состоянии с энергией E 4,44 МэВ, если при гамма-распаде этого состояния формируется гамма-линия шириной (10,8 0,6) 10 6 кэв. Используем соотношение неопределенности E t ħ, в котором E, а t τ. Получаем τ = ħ Γ = ħс Γс кэв см кэв см Из соотношения неопределенности «импульс-координата» получить соотношение неопределенности ΔJ z Δφ ħ (это задача на дом и необязательная, лишь для желающих). 10. Определить момент количества движения частицы с l. L = ħ l(l + 1) = ħ ( + 1) = 6, МэВ, Дж. 11. Рассчитать угловой момент, связанный с движением Земли вокруг Солнца. Каков орбитальный момент l, отвечающий такому движению? Масса Земли m З = г, среднее расстояние до Солнца r = 150 млн. км = 1, см, период обращения вокруг Солнца t = 365 дн 3,

5 Рассчитываем среднюю скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца: v = πr 3,14 1, см t 3, см км = 30. Рассчитываем угловой момент, связанный с движением Земли вокруг Солнца: L = m З v r = г см 1, см =, эрг = =, Дж. Рассчитываем l: Откуда l L ħ L = ħ l(l + 1) ħl., Дж 1, Дж, Рассчитать угловой момент, связанный с движением Солнца вокруг центра Галактики. Каков орбитальный момент l, отвечающий такому движению? Масса Солнца m С = г, расстояние до центра Галактики r =, км, скорость вращения вокруг центра Галактики v = 0 км. Имеем: L = m С vr = г, 10 7 см,6 10 см = 1, эрг 1, Дж. Рассчитываем l: L = ħ l(l + 1) ħl и l L ħ 1, Дж 1, Дж Нуклон имеет орбитальный момент l 1. Чему может быть равен его полный момент j и проекция этого момента на ось z? j = l + s = j или 1 j 3. Т.е. j = 1 или j = 3. j z = ±j, ±(j 1),, ± 1.

6 Итак, если j = 1, то j z = ± 1. Если j = 3, то j z = ± 1, ± Нуклон имеет орбитальный момент l 3. Чему может быть равен его полный момент j и проекция этого момента на ось z? (Эта задача решается аналогично предыдущей). 15. Найти углы, которые векторы углового момента с j 1/ и j 1 составляют с осью z. (Эта задача для самостоятельного решения) Атом калия состоит из ядра 19K и 19-ти электронов. Полный момент, создаваемый электронами I 5/. Спин ядра J 3/. Чему может быть равен полный момент атома F? F = I + J = = 1,, 3, 4. Этот результат следствие нижеследующего соотношения: 5 3 F Назовите какую-либо причину, запрещающую распад n p + e. Одна из причин сохранение углового момента. Спин всех частиц в вышеприведенном распаде 1/. Таким образом, слева угловой момент распадающегося из состояния покоя нейтрона равен 1/. Справа - система двух конечных частиц со спином 1/ может быть лишь в состоянии с результирующим целым или нулевым угловым моментом. Имеем распад, в котором угловой момент не сохраняется.