Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I"

Транскрипт

1 Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства определителя второго порядка Основные и производные 2 Определитель порядка > 2 Определение как числовой функции столбцов; 22 Теорема об основных свойствах определителя; 23 Формулы Крамера 3 Перестановки 3 Определение Запись через двухрядную таблицу; 32 Теорема о количестве всех перестановок S ; 33 S группа; 34 Определение инверсии; 35 Чётные и нечётные перестановки; 36 Лемма о знаке перестановки; 37 Теорема о sig(στ = sig(σ sig(τ; 38 Взаимно обратные перестановки 4 Существование и единственность определителя 4 Общий вид полилинейной и кососимметричной функции столбцов размера Вывод; 42 Теорема о формуле полного развёртывания; 43 Следствие F(A = F(I deta; 44 Теорема о равенстве deta = deta T

2 План лекции 3 5 Определители специального вида 5 Лемма об определителе треугольной матрицы; 52 Определитель блочной матрицы 6 Разложение определителя по столбцам и строкам 6 deta = a j k Aj k Алгебраическое дополнение; j= 62 deta = a j k Aj k ; k= 63 A j k = ( k+j M j k; 64 Фальшивое разложение определителя

3 4 Конспект лекции 7 Определители I Определители второго порядка Система уравнений { ax + by = p, cx + dy = q, ( где a,b,c,d,p,q это заданные числа, x,y это неизвестные Матричная форма записи ( ( ( a b x p AX = B, A =, X =, B = (2 c d y q Введём определитель матрицы 2 2: det A = a b ( a b c d = A = det c d def = ad bc (3 Решение системы при условии deta p b q d x = a b = det A x det A, y = a p c q c d a b = deta y det A, (4 c d где A x = ( ( p b a p, A q d y = c q Свойства определителя второго порядка как функции двух столбцов ( ( a b a =, b = c d det a,b = a b c d Теорема Определитель второго порядка обладает следующими основными свойствами: ( линейность по первому столбцу: det α a + α 2 a 2,b = α det a,b + α 2 det a 2,b или в развернутом виде, α a + α 2 a 2 b α c + α 2 c 2 d = α a b c d + α 2 a 2 b c 2 d ; также имеет место линейность по второму столбцу det a,β b + β 2 b 2 = β det a,b + β 2 det a,b 2 ;

4 (2 кососимметричность: в развернутом виде (3 нормировка: где 2 Определители порядка > 5 det a,b = det b,a ; a b c d ( e = = b a d c ; det e,e 2 =, (, e 2 = это стандартный базис в пространстве K 2 ; или = 2 Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = = A,A 2,,A, a a2 a a a a 2 A =, A a =,, A = a a 2 a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом квадратной числовой матрицы A называется числовая функция столбцов этой матрицы обозначаемая det : K } {{ K } K, deta = A = det A,A 2,,A = A,A 2,,A и обладающая следующими свойствами: ( полилинейность, т е α A + α A,A 2,,A = α A,A 2,,A + α A,A 2,,A ;

5 6 Конспект лекции 7 Определители I (2 кососимметричность, т е при перестановке двух соседних столбцов определитель меняет знак на противоположный A,,A k,a k+,,a = A,,A k+,a k,,a ; (3 нормировка: определитель единичной матрицы I K равен единице det I = Замечание Можно доказать, что при перестановке двух произвольных столбцов определитель меняет свой знак на противоположный Формулы Крамера для квадратных систем уравнений a x + a x2 + + a x = b, a 2 x + a 2 2 x2 + + a 2 x = b 2, (2 a x + a 2 x2 + + a x = b, или в матричной форме где B = (b,b 2,,b T Пусть x A + x 2 A x A = B, (22 def = A,A 2,,A, def = B,A 2,,A = B,A 2,,A = x A + x 2 A x A,A 2,,A = = x A,A 2,,A +x 2 A }{{} 2,A 2,,A + + }{{} = = + x A,A 2, A = x x = }{{} = k def = A,,A k,b,a k+,,a x k = k (23 Теорема 2 Если, то при условии существовании решения системы (2 оно дается формулой (23 при k =, 3 Перестановки Пусть N = {,2,,} Определение 2 Перестановкой множества N называется взаимно однозначное отображение (инъективное и сюрьективное σ : N N

6 3 Перестановки 7 Множество всех перестановок множества N обозначается как S Замечание Перестановку σ удобно записывать в виде следующей таблицы: ( 2, σ(i σ(j при i j σ( σ(2 σ( Справедливо следующее утверждение: Теорема 3 Количество всех перестановок элементного множества N равно! Наблюдение Определена ассоциативная операция произведения перестановок: (τσ(i = τ(σ(i i N Наблюдение 2 Определена тождественная перестановка Наблюдение 3 Для каждой перестановки определена обратная перестановка Лемма S N группа Определение 3 Будем говорить, что два различных элемента i,j N = {,2,} образуют инверсию в перестановке σ S, если числа i j и σ(i σ(j имеют разные знаки Например, рассмотрим такую перестановку [ ] σ = Справедливы следующие выражения: 3 < и σ( σ(3 = 2 > Следовательно, числа и 3 образуют инверсию в указанной перестановке σ Замечание 2 Если перестановка σ задана упорядоченной по верхнему ряду таблицей [ ] 2 σ =, σ( σ(2 σ( то инверсия в перестановке σ обнаруживается в виде наличия в нижнем ряде чисел σ(i и σ(j таких, что большее число находится левее меньшего Например, в перестановке ( σ = имеется 6 инверсий А именно, следующие пары чисел нижнего ряда предыдущей таблицы: (3,, (3,2, (5,2, (5,, (5,4, (2,

7 8 Конспект лекции 7 Определители I Определение 4 Перестановка σ S называется чётной (нечётной, если она содержит чётное (нечётное число инверсий Знаком перестановки σ называется число {, если σ чётная перестановка, sig(σ =, если σ нечётная перестановка Л е м м а 2 Справедливо следующее равенство: ( sig(σ = sig {i,j} N, i j i j σ(i σ(j (3 Справедлива важная теорема: Теорема 4 Знак произведения двух перестановок σ S и τ S равен произведению знаков этих перестановок: Доказательство Шаг Пусть даны две перестановки [ ] [ 2 σ =, τ = σ( σ(2 σ( sig(στ = sig(σ sig(τ (32 2 τ( τ(2 τ( ] (33 Для каждой фиксированной перестановки, например, для σ, помимо записи в виде упорядоченной по верхнему ряду двухрядной таблицы (33, существуют способы записи не упорядоченные по верхнему ряду Например, такой вариант [ σ = τ( τ(2 τ( σ(τ( σ(τ(2 σ(τ( ], (34 поскольку τ S взаимно однозначное отображение С учётом (34 мы приходим к следующей формуле для знака sig(σ : ( τ(i τ(j sig(σ = sig (35 σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j Шаг 2 Следовательно, имеем sig(σ sig(τ = ( τ(i τ(j = sig σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j ( = sig {i,j} N, i j {i,j} N, i j τ(i τ(j σ(τ(i σ(τ(j = τ(i τ(j = ( i j sig sig ( i j τ(i τ(j воспользуемся очевидным равенством sig(xy = sig(x sig(y для произвольных чисел x,y R

8 4 Существование и единственность определителя 9 ( τ(i τ(j i j = sig = σ(τ(i σ(τ(j τ(i τ(j {i,j} N, i j ( i j = sig = sig(στ σ(τ(i σ(τ(j {i,j} N, i j Теорема доказана Следствие Взаимно обратные перестановки имеют один и тот же знак Доказательство σ σ = ε = sig(ε = sig ( σ σ = sig (σ sig ( σ Следствие доказано 4 Существование и единственность определителя Общий вид полилинейной и кососимметричной функции F(A,A 2,,A столбцов квадратной матрицы A = A,A 2,,A размера Пусть Тогда e = a a 2 A = a A =, e 2 = σ =,, A = a a 2 ṇ a,, e = a σ e σ,, A = σ = a σ e σ В силу полилинейности функции F(A,A 2,,A справедлива следующая цепочка равенств: F (A,A 2,,A = F a σ e σ, a σ 2 2 e σ 2,, a σ e σ = = σ = σ 2 = σ = σ = σ 2 = σ = a σ aσ 2 2 aσ F (e σ,e σ2,,e σ (4

9 Конспект лекции 7 Определители I Поскольку F ( e σ,,e σj,,e σj,e σ =, (42 F (e σ,e σ2,,e σ = sig(σf(e,e 2,,e, (43 то силу формул (4 (43 приходим к равенству F (A,A 2,,A = c sig(σa σ aσ 2 2 aσ, σ k = σ(k, (44 σ S где c := F(e,e 2,,e = F(I (45 Теорема 5 Справедлива следующая формула полного развертывания определителя: deta = A,A 2,,A def = sig(σa σ aσ 2 2 aσ, σ k = σ(k, (46 σ S где A = a a 2 a, A 2 = a 2 a 2 2 a 2,, A = a a 2 ṇ a Следствие Всякая кососимметрическая и полилинейная числовая функция F(A столбцов квадратной матрицы A имеет следующий вид: F(A = F(I deta, где I это единичная квадратная матрица Теорема 6 deta T = deta Доказательство Пусть ( A T = ã j k (a, A = j k, ãj k = ak j deta T = = σ S sig(σã σ ãσ 2 2 ãσ Теперь нам нужно переставить множители a σ( a2 σ(2 a σ(, σ(k = σ k, σ S sig(σa σ a 2 σ 2 a σ (47 таким образом, чтобы нижние индексы упорядочить по возрастанию Рассмотрим соответствующую перестановку: [ ] σ( σ(2 σ( τ = τ = σ 2 Но тогда [ τ = σ = ] [ 2 2 σ ( σ (2 σ = ( σ σ 2 σ ]

10 5 Определители специального вида Следовательно, a σ a 2 σ 2 a σ = a σ Поскольку sig(σ = sig(σ, то a σ 2 deta T = sig(σ a σ a σ 2 2 a σ σ S = = sig(σ a σ a σ 2 2 a σ σ S 2 a σ (48 = = sig(τa τ a τ aτ2 = deta (49 τ S Теорема доказана Следствие Определитель deta матрицы A = A,A 2,,A T является полилинейной и кососимметрической функцией своих строк 5 Определители специального вида Л е м м а 3 Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали Доказательство Рассмотрим, например, нижнетреугольную матрицу A = (a j k, которая определяется условием, что a j k = при j < k, т е имеет следующий вид: a a 2 a 2 2 a a 2 a a a2 a a deta = sig σa σ aσ 2 2 aσ (5 σ S Заметим, что в этой сумме остается только одно слагаемое sig(,2,,a a 2 2 a = a a 2 2 a Действительно, в силу определения нижнетреугольной матрицы имеем a σ k k = при σ k < k при k =, (52

11 2 Конспект лекции 7 Определители I Отсюда в сумму (5 ненулевой вклад могут дать только слагаемые, для которых σ k k при k =, (53 С другой стороны, имеем σ + σ σ = (54 Из сравнения (53 с (54 приходим к выводу, что σ k = k σ =,σ 2 = 2,,σ = Лемма доказана Справедлива следующая важная теорема об определители блочной матрицы Теорема 7 Пусть квадратная матрица A K (m+ (m+ имеет блочную структуру A = B D O C, где B и C это квадратные блоки размеров m m и соответственно Тогда B D O C = B C (55 Доказательство Шаг Прежде всего заметим, что deta является полилинейной кососимметрической функцией первых m столбцов (m m это размер квадратной матрицы B при фиксированных оставшихся столбцах матрицы A Тогда согласно следствию из теоремы 5 получим формулу где deta = F(B, (56 F(B = F(I m B, F(I m = I m O D C (57 Шаг 2 В силу следствия из теоремы 6 числовая функция F(I m (как определитель соответствующей матрицы является полилинейной и кососимметрической функцией своих последних строк ( это размер матрицы C при фиксированной матрице D Поэтому где F(I m = G(C = G(I C, (58 G(I = I m D (59 O I Теперь заметим, что (59 это определитель верхнетреугольной матрицы, у которой на главной диагонали расположены единицы, т е G(I = (5

12 6 Разложение определителя по столбцам и строкам 3 Собирая формулы (56 (5, получим формулу deta = B C Теорема доказана 6 Разложение определителя по столбцам и строкам Пусть A = (A,,A, A k K Введём естественный базис арифметического пространства вектор столбцов K e =, e 2 =,, e = Запишем k й столбец в следующем виде разложения по арифметическому базису: A k = a j k e j (6 j= Тогда имеет место следующая цепочка равенств: deta = A,,A k,,a = A,, a j k e j,,a = = j= a j k A,,e j,,a = j= a j k Aj k (62 Определение 5 Определитель A j k при j,k, называется алгебраическим дополнением элемента a j k k го столбца и j ой строки Лемма 4 Имеет место следующее равенство: deta = a j k Aj k (63 k= Доказательство Это равенство следствие равенства deta T = deta Лемма доказана Формулы для вычисления алгебраических дополнений Сначала вычислим алгебраическое дополнение A элемента a матрицы A j=

13 4 Конспект лекции 7 Определители I Итак, справедливы следующие равенства: A = e,a 2,,A = a 2 a a 2 2 a 2 a2 a = a 2 2 a2 a 2 a, где мы воспользовались формулой (55 для вычисления определителя блочной матрицы Теперь вычислим алгебраическое дополнение A j k элемента aj k матрицы A Действительно, A j k = A,,A k,e j,a k+,,a = a a k a k+ a a j a j k a j k+ a j a j a j k a j k+ a j a j+ a j+ k a j+ k+ a j+ a a k a k+ a Теперь многократно переставляя k й столбец мы получим следующий определитель A j k = A,,A k,e j,a k+,,a = = ( k e j,a,,a k,a k+,,a = a a k a k+ a a j = ( k a j k a j k+ a j a j a j k a j k+ a j a j+ a j+ k a j+ k+ a j+ a a k a k+ a

14 6 Разложение определителя по столбцам и строкам 5 Теперь многократно мы должны переставить j ую строчку В результате получим равенство a j a j k a j k+ a j a a k a k+ a A j k = ( k ( j a j a j k a j k+ a j a j+ a j+ k a j+ k+ a j+ a a k a k+ a Теперь мы можем воспользоваться формулой (55 для вычисления блочной матрицы и получить следующую формулу: A j k = ( k+j M j k, (64 где символом M j k мы обозначили дополнительный минор к элементу a j k Черта сверху означает, что мы из определителя deta вычеркнули j ю строчку и k й столбец: a a k a k+ a M j a j a j k k = aj k+ aj a j+ a j+ k aj+ k+ aj+ a a k a k+ Минор M j k это определитель ( го порядка Теорема 8 Справедливы следующие формулы: deta = ( k+j M j ka j k = ( k+j M j ka j k (65 j= Фальшивое разложение определителя Рассмотрим определитель A,,A k,b p,a k+,,a, (66 у которого вместо столбца A k находится столбец B p, который зададим его разложением по арифметическому базису {e,e 2,,e } следующим образом: B p = b j pe j (67 j= k= a

15 6 Конспект лекции 7 Определители I После подстановки (67 в (66 получим равенство A,,A k,b p,a k+,,a = = b j p A,,A k,e j,a k+,,a = j= b j pa j k, (68 где A j k это алгебраическое дополнение элемента aj k матрицы A Теперь возьмём в качестве B p = A p Тогда если p k мы получим равенство = A,,A k,a p,a k+,,a = a j pa j k, поскольку в определителе два столбца равны в этом случае Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема 9 Справедливы следующие формулы: { a j pa j deta, если p = k; k =, если p k j= k= j= a q k Aj k = { det A, если q = j;, если q j j= (69 (6

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка

Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 1. Определитель второго порядка Лекция 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определитель второго порядка Рассмотрим следующую систему двух уравнений относительно неизвестных x и y: { a x+b y = c, ( a 2 x+b 2 y = c 2 Методом исключения переменных построим

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ 0 План лекции ЛЕКЦИЯ МАТРИЦЫ Матрицы и способы их задания Определение матрицы; 2 Запись через столбцы A k и строки A j ; 3 Специальные матрицы 3 Нулевая; 32 Квадратная; 33 Диагональная

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы Лекция 1 МАТРИЦЫ 1 Матрицы На этой лекции мы введём основное для всего курса аналитической геометрии понятие матрицы Необходимость введения понятия матрицы обусловлена, например, компактностью записи линейных

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 2 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители.

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Литература: 1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Издание 2-е дополненное. М.: Изд-во

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы.

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.

Перестановки. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ СН ЗЕМЛЯНСКИЙ Перестановки Матрицы и определители Системы линейных уравнений Учебное пособие Бишкек Предисловие Учебное пособие предназначено

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Детерминант (определитель) матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ АКАДЕМИЯ НАУК МОЛДОВЫ И В БЕЛОУСОВ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ матрицы и определители Кишинев: 2007 CZU 512643(0758) Б 43 Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее