ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство."

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство Векторная алгебра Системы координат Векторное пространство. Рассмотрим теперь множество К и поле P произвольной природы. Предположим, что для всех элементов из К определены операции сложения и умножения на числа из Р. Будем называть элементы из К векторами, независимо от их конкретной природы. Множество К называется линейным или векторным пространством над полем P, если для всех векторов из К определены операции сложения и умножения на числа из P, причем выполнены следующие аксиомы: А. Каждой паре векторов x, y отвечает вектор x+y, называемый суммой x и y, причем: - сложение коммутативно: x+y=y+x; - сложение ассоциативно: x+(y+z)=(x+y)+z; - существует единственный нулевой вектор 0 такой, что x+0=x для любого вектора x; - для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор x, такой, что x+(-x)=0. В. Каждой паре α, x, где α - число, а x вектор, отвечает вектор αx, называемый произведением α и x, причем: - умножение на число ассоциативно: α(βx)=(αβ)x; - 1 x=x для любого вектора x. С. Операция сложения и умножения связаны между собой следующими соотношениями: - умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов: α(x+y)=αx+αy; - умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел: (α+β)x=αx+βx. В любом линейном пространстве для каждого вектора x имеет место равенство 0 x=0, где в правой части 0 означает нулевой вектор, а в левой число нуль. В любом линейном пространстве для любого вектора x справедливо соотношение x=(-1)x. В любом линейном пространстве имеет место равенство α 0=0 для любого α. С точки зрения операций умножения, сложения и вычитания формально имеют место все правила эквивалентных преобразований алгебраических выражений в любом линейном пространстве. В дальнейшем эти правила мы уже не будем оговаривать особо. Множество L линейного пространства К называется его линейным подпространством, если при тех же операциях, что и в пространстве К, оно само является линейным пространством. Множество, состоящее из одного нулевого вектора, является линейным подпространством. Это подпространство называется нулевым. Наименьшим подпространством является нулевое, наибольшим само исходное линейное пространство. Эти два пространства называются тривиальными, остальные нетривиальны.

2 Каждое линейное пространство в своем описании содержит две существенно различные части. Во-первых, линейное пространство есть совокупность конкретных объектов, называемых векторами. Во-вторых, над этими конкретными объектами определены операции сложения и умножения на число. Поэтому можно интересоваться либо природой векторов и их свойствами, либо свойствами указанных операций независимо от природы элементов. Во всех практически интересных случаях построение и исследование линейных пространств осуществляется в два этапа: сначала, учитывая природу векторов, определяют операции сложения и умножения на число, а затем на основе свойств этих операций изучают сами пространства. Поэтому два пространства, устроенные одинаково по отношению к операциям сложения и умножения на число, можно считать обладающими одинаковыми свойствами. Рассмотрим множество всех линейных пространств, заданных над одним и тем же полем Р. Естественно спросить, чем похожи и чем различаются между собой эти пространства. Векторы любого класса допускают однозначное представление в виде перемещений (то есть направленных отрезков) в геометрическом пространстве. В большинстве приложений векторы появляются как функции точки в геометрическом пространстве. 2.Векторная алгебра. Векторы представляют собой направленные отрезки в пространстве, имеющие определенную длину. Вектор - отрезок определенной длины, одна из ограничивающих точек которого принята за начало, а другая за конец. Длина вектора (модуль) расстояние между ограничивающими его точками. К векторам относится и нуль-вектор, у которого начало и конец совпадают. Определение: Векторы называются коллинеарными, если они располагаются на одной прямой или на параллельных прямых, то есть если существует прямая, которой они параллельны. Определение: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или если существует плоскость, которой они параллельны. Если компланарные векторы имеют общее начало, то они лежат в одной плоскости. Определение: Векторы называются равными, если они имеют равные модули, коллинеарны и направлены в одну сторону. (Если вектора направлены в противоположные стороны при равных модулях и наличии коллинеарности, то они противоположны). Вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. Сложение векторов Пусть даны два вектора а и b. 1. Возьмем произвольную точку 0 и построим вектор ОА=, потом от этой же точки отложим вектор ОВ=b. Построим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм OAСB. Вектор ОС, являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из вершины 0, и будет суммой векторов а+b. А С +b О b В

3 2. От произвольной точки 0 отложим вектор ОА=а, затем от точки А отложим вектор АВ=b. Вектор, соединяющий начало первого слагаемого с концом второго, будет суммой этих векторов ОВ=а+b. А b b О +b В Свойства сложения векторов I. Сложение векторов коммутативно (переместительное свойство): а+b=b+а II. Сложение векторов ассоциативно (сочетательное свойство): а+(b+c)=(а+b)+c Сумму любого конечного числа векторов можно построить по следующему правилу: из произвольной точки 0 откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго, к концу второго начало третьего и т.д. Суммой данных векторов будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Разность векторов это третий вектор с=-b, сумма которого с вычитаемым вектором b дает. Правило построения вектора разности: откладываем векторы OA= и OB=b из общей точки 0. Вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора b, и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, и будет разностью векторов и b. A -b=c O b B Если на векторах и b, отложенных из общей точки, построить параллелограмм, то вектор OC (одна диагональ параллелограмма) равен сумме +b, а вектор BA (другая диагональ) равен разности -b. A O -b +b O b B C b BУмножение вектора на скаляр. Пусть даны вектор и число λ. Произведением вектора на число λ называется вектор с, коллинеарный вектору а, имеющий длину с = λ а и то же направление, что и вектор а, если λ>0, и противоположное направление, если λ<0. Из определения умножения вектора на число следует, что если b=λ, то векторы b и коллинеарны. Очевидно, что из коллинеарности векторов следует, что b=λ. Определение: вектора и b коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет

4 место равенство b=λ. 1). Для любых чисел λ и γ и любого вектора а справедливо равенство λ(γа)=(λγ)а. 2). Пусть существует вектор а не равный нулю. Для любого коллинеарного ему вектора b существует, и притом только одно λ, удовлетворяющее равенству: b=λ. Это число либо λ= b /, либо λ=- b / в зависимости от того направлены ли вектора и b одинаково или противоположно. Умножение вектора на число обладает распределительным свойством λ(+b)=λ+λb, (λ 1 +λ 2 )=λ 1 +λ 2. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления (это следует из определения умножения вектора на число). Угол между двумя векторами. Пусть даны два произвольных вектора и b. Отложим от произвольной точки векторы OA=, OB=b. Угол между векторами это угол, на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора l, расположенного на оси. Тогда, углом между вектором и осью будет угол между векторами а, l. Проекция вектора на ось и составляющая B авектора по оси. A A а B O x 1 x 2 l А / В / B В / А / O x 2 x 1 l Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка A / B /, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных A на ось из начала и конца вектора, которой приписан знак «+», если отрезок A / B / ориентирован в положительную сторону относительно 0l и знак -, если наоборот. ) F A \ ϕ B O A I B I l 14 Теорема 1: Проекция вектора а на ось l равна модулю вектора а, умноженному на косинус угла между вектором и осью: ПР Ol ()= cosφ. Теорема 2: проекция суммы двух векторов O на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось AC=AB+BC; ПР Ol AC=ПР Ol (AB)+ПР Ol (BC) Теорема 3: если вектор умножить на число λ, то его проекция на ось также умножится на это число: ПР Ol (λ)=λ ПР Ol () A 1 Определение: вектор, соединяющий проекцию начала вектора а с проекцией его конца, называется составляющей вектора а по оси Ol: сост.ol=пр Ol l =AB. Линейная зависимость векторов. Векторы 1, 2,, k называются линейно B зависимыми, если существуют числа λ 1, λ 2, 1,λ к, не все равные нулю, для которых имеет место равенство λ 1 а 1 +λ 2 а 2 + +λ к а к =0. l

5 Векторы а 1,а 2,,а к называются линейно независимыми, если равенство (I) имеет место только при λ 1 =λ 2 = =λ к =0 (то есть в тривиальном случае). Полагая, что, например, λ 1 0 запишем: а 1 =-(λ 2 а 2 )/λ 1 -(λ 3 а 3 )/λ 1 - -(λ к а к )/λ 1 Выражение в правой части линейная комбинация векторов а 2,а 3,,а к. Если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных (верно и обратное). Линейная зависимость векторов на плоскости. Теорема 1: всякие три вектора, b, c на плоскости линейно зависимы. Доказательство: нужно доказать, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. 1) среди векторов есть пара коллинеарных, пусть и b, то есть =λb или =λb+0 c, то есть есть линейная C комбинация b и c. 2) Коллинеарных векторов нет. Перенесем все три вектора в общее начало. M С c М с а B О b O В b Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам c и b до пересечения с прямыми, на которых находятся вектора b и c. Тогда, очевидно, что OM=OC+OB, но OC и OB коллинеарны b и c соответственно, то есть OC=λ 1 c; OB=λ 2 b. Поэтому, =λ 1 c+λ 2 b, то есть является линейной комбинацией векторов b и c. Следствие: Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы, то есть один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных. Доказательство: пусть даны а 1,а 2,,а к ; к>3 Из теоремы имеем а 1 =μ 2 а 2 +μ 3 а 3 Тогда для k векторов а 1 =μ 2 а 2 +μ 3 а а k, что и требовалось доказать. Теорема 2: Для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны. Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум. Линейная зависимость в пространстве. Теорема 3: всякие четыре вектора, b, c, d в пространстве линейно зависимы. Доказательство: Пусть все векторы имеют общее начало. Покажем, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. 1) Пусть среди них есть тройка компланарных (, b, c). Так как все компланарные векторы выходят из одной точки, то значит, они лежат в одной плоскости, а по теореме I они линейно зависимы, то есть один можно записать в виде линейной комбинации остальных: а=μ 2 b+μ 3 c И для четырех: =μ 2 b+μ 3 c+0 d, то есть линейная комбинация b, c, d.

6 2) Среди них нет тройки компланарных. Тогда вектор а можно представить в виде суммы трех векторов, коллинеарных соответственно b,c,d. z M 3 M d O c y b M 2 M Для этого 1 P через точку x M проведем плоскости параллельные трем плоскостям, определяемым парами b,c; c,d; d,b, и получим параллелепипед с диагональю а=om. Очевидно, а=om=om 1 +M 1 P+PM. Но OM 1 =λ 1 b, M 1 P=OM 2 =λ 2 c, PM=OM 3 =λ 3 d. Следовательно, =λ 1 b+λ 2 c+λ 3 d, то есть,b,c,d линейно зависимы. Следствие: 1) Если число векторов в пространстве больше четырех, то они линейно зависимы. 3) для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. 4) Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора. Пусть е 1 и е 2 образуют базис. Любой вектор а на плоскости можно представить в виде: а=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 (так как три вектора на плоскости линейно зависимы), то есть разложить по базису. Числа λ 1, λ 2 аффинные координаты вектора а на плоскости а={λ 1 ; λ 2 }. Теорема 4: разложение вектора а по базису е 1 и е 2 является единственным. Доказательство: пусть существует разложение одного вектора а по базису е 1,е 2 ; а=μ 1 е 1 +μ 2 е 2 ; а=ν 1 е 1 +ν 2 е 2 Вычтем второе уравнение из первого: 0=(μ 1 -ν 1 )е 1 +(μ 2 -ν 2 )е 2 Но е 1 и е 2 линейно независимы, поэтому μ 1 -ν 1 =0; μ 2 -ν 2 =0, то есть μ 1 =ν 1 ; μ 2 =ν 2 и разложение по базису единственно. Базис в пространстве это три любых линейно независимых вектора. Всякие три некомпланарных вектора образуют базис. Любой вектор а однозначно разлагается по векторам базиса: а=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +λ 3 е 3 ; где λ 1, λ 2, λ 3 аффинные координаты вектора в пространстве. 3.Системы координат Фиксируем в пространстве т.о и рассматриваем произвольную точку М. Радиусомвектором т. М по отношению к точке О называется вектор ОМ. Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке М можно сопоставить упорядоченную тройку чисел компоненты ее радиус-вектора. Определение: декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

7 Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая ось абсцисс, вторая ось ординат, третья ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. M 1 x M 3 Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. На каждой из осей выберем единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси: векторы i, j, k, причем i = j = k =1. Эти три взаимноперпендикулярных вектора называются ортами. Так как эти орты некомпланарны, то они образуют базис, называемый декартовым ортогональным. Рассмотрим некоторый вектор а в пространстве, переместим его в точку О, то есть построим ОМ=а. Проведя через конец вектора а плоскости, параллельные координатным осям, получим параллелепипед. а=ом 1 +М 1 Р+РМ, где М 1 Р=ОМ 2 ; МР=ОМ 3 Векторы ОМ 1, ОМ 2, ОМ 3 составляющие вектора а=ом по осям Ox, Oy, Oz ОМ 1 =ПР Ох ОМ i, ОМ 2 =ПР Оу ОМ j, ОМ 3 =ПР Оz OM k. Обозначим проекции вектора а=ом на оси Ox, Oy, Oz x, y, z. Тогда, разложение вектора по ортогональному базису будет таким: а= x i+ y j+ z k. Это разложение вектора на составляющие по координатным осям. Если проекции вектора а на оси координат равны x, y, z, то можно записать: а={ x, y, z }. Это прямоугольные декартовы координаты. Линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями: λа=λ x i+λ y j+λ z k ±b=( x ±b x )i+( y ±b y )j+( z ±b z )k Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ, которые вектор составляет с осями координат. x z z M M k O j y i M 2 P γ α β y O Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а: x x = cosα, то есть cosα= ;

8 y y = cosβ, то есть cosβ= ; z z = cosγ, то есть cosγ=. Вектор =OM диагональ параллелепипеда, а зная теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда: OM 2 = OM OM OM 3 2 и = cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1. Условия коллинеарности двух векторов. + + ; получим Пусть вектор = x i+ y j+ z k и b=b x i+b y j+b z k коллинеарны. Тогда, =λb. Но при умножении вектора на число его проекции на оси также умножаются на это число. Тогда, x =λb x ; y =λb y ; z =λb z. Верно и обратное. Итак, для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны: x /b x = y /b y = z /b z. 2 x 2 y 2 z

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. Элементы теории множеств. 1.Множества и основные операции над ними Отображения. Разбиения на классы... 3

ЛЕКЦИЯ N1. Элементы теории множеств. 1.Множества и основные операции над ними Отображения. Разбиения на классы... 3 ЛЕКЦИЯ N. Элементы теории множеств..множества и основные операции над ними....отображения. Разбиения на классы... 3.Множества и основные операции над ними. Понятие множества и элемента множества относятся

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четвёрка {O,e 1,e 2,e 3 }, в которой O это некоторая

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики

Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее