y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0"

Транскрипт

1 Система уравнений пограничного слоя. Знаменательный успех в исследованиях движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 904 году и связан с именем Л. Прандтля. Прандтль показал как можно упростить систему уравнений Навье-Стокса для того, чтобы получить её приближённое решение в предельном случае очень малой вязкости. Как видно из автомодельных решений системы Навье-Стокса, действие вязкости на некотором расстоянии от поверхности тела почти не проявляется. Картина линий тока, а также распределение скоростей внутри жидкости в этом случае практически имеют такой же вид, как и при потенциальном течении жидкости без трения. Однако жидкость не скользит по поверхности тела, как при потенциальном течении, а прилипает к ней. Переход от нулевой скорости на стенке к скорости, фактически совпадающей со скоростью движения жидкости в модели без препятствия, совершается в очень тонком слое, называемым пограничным слоем. Толщина пограничного слоя δ и при стремится к нулю. Принято различать две области, между которыми нельзя, правда, провести резкой границы:. Тонкий слой в непосредственной близости от тела. Здесь производная в направлении, перпендикулярном к стенке, очень велика, вязкость оказывает существенное влияние на течение, касательные напряжения τ = η велики;. Область, где вязкость не играет существенной роли, течение здесь практически потенциальное. Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса в безразмерной форме в плоском двумерном случае. Пусть ось x направлена вдоль стенки, ось y перпендикулярно стенке: Тогда система Навье-Стокса имеет вид: при условиях прилипания и начальных условиях t + u x + v = p x + ( u t + u x + v = p + u x + v y = 0 x + u, ( v x + v, u = v = 0 ( u t=0 = u 0 (x, y, v t=0 = v 0 (x, y. Кроме того, считаем, что u(t, x, y U(t, x при y и толщина пограничного слоя δ. Будем считать также, что все скорости отнесены к скорости набегающего потока U, а все длины к характерному линейному размеру тела L, так что безразмерная величина x в рассматриваемой области по порядку равна O(, = UL ν = ϱ UL η. Из уравнения неразрывности следует, что раз x, то и, а так как v = 0, то v y=δ δ, x y=δ δ, t y=δ δ, v y=δ δ, но x u x y=δ. ведет себя по порядку как u x, т.е. локальное ускорение приблизительно x. Это означает, что очень внезапные ускорения, например подобные тем, которые возникают при сильных волнах давления, исключаются из рассмотрения. Оценим в величинах δ величины, входящие в первые два уравнения Навье-Стокса: Примем, что t равно конвективному u t + u x + v δ δ = p x + ( u x + δ u δ ( t + u x + v = p + ( v x + δ δ δ δ δ v δ

2 x + = 0 Сохраняя в уравнениях величины порядка, получим t + u x + v = p x + u 0 = p x + = 0 (3 при условиях u = v = 0, u t=0 = u 0 (x, y, u(t, x, y U(t, x при y. Обращаем ( внимание, что получившаяся система включает три неизвестных функции {p, u, v} величина ϱ не меняется из-за несжимаемости, т.к. dϱ dt = ϱ t + u ϱ x + v ϱ = 0, а уравнений в системе пограничного слоя Прандтля два. По предложению Прандтля, из-за p = 0 давление считается заданным из внешнего потенциального течения и определяется уравнением Бернулли U t + U U x = p ϱ x, где U(t, x есть скорость "проскальзывания" внешнего потенциального течения на границе y = 0. (Заметим, что написанная здесь система (3, составлена уже в размерных величинах. 0. Отрыв пограничного слоя Рассмотрим обтекание осесимметричного тела вязкой несжимаемой жидкостью: Можно сделать некоторые существенные выводы о физических свойствах пограничного слоя. Первое, при каких обстоятельствах происходит перенос жидкости, заторможенной в пограничном слое, во внешнее течение или отрыв течения от стенки. P P y 0 A > 0, 0 = 0, 0 < 0 0 Точка P точка перегиба. В точке отрыва A не соблюдаются условия, при которых из уравнения Навье-Стокса получена система Прандтля. Обычно точка отрыва - та точка, до которой только и возможен расчет пограничного слоя. В этом случае давление, создаваемое в пограничном слое внешним течением, перестает быть известной величиной. При стационарном течении отрыв возможен лишь при dp dx > 0. Так как u = v = 0 и на стенке контура тела имеется область возрастающего давления, то жидкость, заторможенная в пограничном слое и обладающая небольшой кинетической энергией, не в состоянии далеко продвинуться в область высокого давления. Она отклоняется в сторону, отрывается от тела и оттесняется во внешнее течение. Кроме того, вблизи стенки заторможенные частицы жидкости под действием градиента давления обычно начинают двигаться в сторону, противоположную

3 направлению внешнего течения. Точка отрыва граница между прямым и возвратным течениями в прилегающем к стенке слое: = 0. Из уравнения при y = 0 (на стенке получим Так как p uu x + vu y = p x + νu yy ν u = dp dx. (4 = 0 (предположение Прандтля, то, дифференцируя (4 по переменной y, получаем (uu x + vu y = dp ρ dx + νu yy y u yyy = 0. Если dp/dx < 0, то и u/ < 0 (профиль скоростей выпуклый. В случае замедленного течения dp/dx > 0 и u/ > 0. Так как u/ < 0 на некотором расстоянии от стенки, то существует точка P внутри пограничного слоя, такая что u/ = 0. Точка P точка перегиба профиля скоростей. 0. Сопротивление трения в пограничном слое. Если в случае идеальной несжимаемой жидкости тело не испытывает сопротивления трения (парадокс Д Аламбера, то в случае движения в приближении пограничного слоя можно определить не только распределение скоростей и точку отрыва, но и сопротивление, которое возникает вследствие трения движущейся жидкости о поверхность тела. Касательное напряжение на стенке тела равно τ 0 = η, В случае плоского обтекания для сопротивления получим формулу W тр = b l τ 0 cos ϕ S k, k=0 где b - высота тела, ϕ - угол между касательной и направлением U набегающего потока, S - координата вдоль тела. Так как cos ϕ ds = dx, получаем l W тр = b η dx. x Закон подобия в системе Прандтля. Рассмотрим стационарную систему уравнений пограничного слоя uu x + vu y = UU x + u, u x + v y = 0, при условиях u = v = 0, u U(x при y. Здесь = U L ν, где U скорость набегающего потока, L размер тела, ν кинематическая вязкость. Сделаем замену v = v, y = y, u = u, U = U. Тогда 3

4 u u x + v u y = U U x + U u x + v y = 0 u y =0 = v y =0 = 0, u (x, y U (x, при y. (5 В системе исчезла зависимость от числа. В пограничном слое можно считать =, зависимость поля скоростей от определяется лишь аффинным преобразованием (сравните со случаем автомодельного решения системы Навье-Стокса в окрестности критической точки. Следовательно, точка отрыва не зависит от числа, от зависит лишь угол, под которым частицы жидкости отходят от поверхности тела: Течение в конфузоре и диффузоре (источник-сток Решение уравнений вязкой несжимаемой жидкости обычно связано с трудностями, которые возникают из-за нелинейных членов. В результате не всегда может быть получено точное решение. Поэтому представляют интерес задачи, которые имеют точное решение, одной из которых как раз и является здесь задача. Определим движение жидкости между двумя плоскими стенками, расположенными друг к другу под углом. Α В идеальной жидкости (ν = 0, = решение имеет вид v = Q π, Q мощность источника (Q > 0 или стока (Q < 0, трение о стенки при ϕ = ±α отсутствует. В полярной системе координат рассмотрим течение вида: ϑ = ϑ (, Q ϑ q = ϑ z = 0 p = p (, Q Система Навье-Стокса будет иметь вид: ( ϑ ϑ = p ρ + ν ϑ + ϑ + ϑ ϑ Q p ρ Q + ν ϑ (ϑ = 0 Q = 0 Применим Π-теорему: p ϱ v Q,, Θ, α, ν = η ϱ L L L T T T L I I L T, ϑ = Q u (Q, p ρ = Q p (Q и подставим во второе уравнение системы Навье-Стокса. Q dp ρ 3 dq + νq du 3 Q dp ν dq = du dq p = ν Q u + c dq = 0 Подставляя в первое уравнение и используя ϑ = Q ρα, получаем: u + 4u + Q ν u = c u + u + Q 3ν u3 = c u + c Q = ± du c +c u Q 6ν u3 u 4

5 Это выражение определяет искомую зависимость скорости u от Q. Величина Q может быть как положительной, так и отрицательной. Если Q<0, то жидкость направлена в точку 0, которая является стоком. В этом случае говорят о течении в конфузоре. В этом случае интеграл положителен. Влияние вязкости проявляется только в узком слое вблизи стенок, где значение скорости, соответствующее истоку, падает до нуля. Если Q>0, то такое течение называется диффузорным. В случае, если мощность источника невелика, под корнем в подынтегральном выражении будет положительная величина. Симметричное расходящееся течение в диффузоре возможно при условии, 0 < Q ν <, то есть чисел Рейнольдса, не превышающих значения. При увеличении числа Рейнольдса, определяющихся условием Q ν будет решение, соответствующее одному максимуму и одному минимуму, при этом движение будет асимметрично. При дальнейшем увеличении возникает симметричное решение с одним максимумом и двумя минимумами. При число чередующихся максимумов и минимумов возрастает ток, что не существует никакого предельного решения. Сделаем вывод: при решение при конфузороном течении не стремится к уравнению Эйлера, а при диффузороном, при > max движение делается неустойчивым и возникает турбулентность. Решение уравнений пограничного слоя. Преобразование Мизеса Рассмотрим систему Прандтля t + u x + v = p ρ x + ν u x + = 0, u t=0 = u 0 (x, y, u = v = 0, В стационарном случае { U t + UU x = p x ρ u(t, x, y y U(x, y uu x + vu y = UU x + νu yy, u x + v y = 0, u = v = 0, u(x, y y U(x, (6 UU x = p x ρ p = p 0 ρ U В 97 году Мизес предложил следующее преобразование: введем функцию тока u = ψ, v = ψ x тогда будет выполнено уравнение неразрывности. Введем следующие координаты: ξ = x, η = ψ(x, y 5

6 тогда ξ u x = u ξ x + u η η x = u ξ vu ψ, ξ u y = u ξ + u η η = uu ψ, Подставим эти выражения в первое уравнение системы Прандтля: uu ξ uvu ψ + vuu ψ = ρ p ξ + νu (u ψ ψ, Введем так называемое полное давление g = p + ρ(u /, малой величиной ρ(v / пренебрегаем. Тогда g x = νu g ψ, u = [g p(x] ρ при условиях g ψ=0 = p(x, g ψ= = p(x + ρ(u /. Обратное, ψ ρ y = u = ψ, ψ=0 g p(x Это уравнение нелинейное, имеет особую точку при ψ = 0: u ψ=0 = 0 следовательно, так как g ψ= = p(x + ρ(u /, то так как то g x = ( p x ψ=0 0 u ψ=0 = 0, a u g x 0 ψ=0 g x = ψ=0 Это уравнение сложно для исследования. Впервые теорема существования, единственности в физическом классе решений, т.е. функций, при которых имеет место обратное преобразование в переменные (x, y, была доказана О.А.Олейник в 963 году. В частности, в этой работе доказана теорема существования в целом, если g/x 0. v = (u x + (v y = 0 (ψ x u = (ψ = ψ = ψ x x ψ ψ ψ x (ψ x + ψ x ψ = UU x + ν 3 ψ 3, ψ = ψ y = 0, при y = 0, ψ y = U(x, при y = 6

7 Преобразование Крокко 963 год. Италия. Дана система уравнений пограничного слоя (рассматривается нестационарный случай: { ut + uu x + vu y = ρ p x + νu yy u x + v y = 0 Применим метод исключения. Исключим v из системы. Продифференцируем по y первое уравнение системы (: Выразим v из первого уравнения системы (: u ty + u y u x + uu xy + v y u y + vu yy = νu yyy (8 Подставим полученное выражение для v в (. Получим v = u y ( ρ p x + νu yy u t uu x (9 u ty + u y u x + uu xy + v y u y + u y ( ρ p x + νu yy u t uu x u yy = νu yyy (0 Используя соотношение v y = u x, взаимно уничтожим второе и четвертое слагаемые в (4. Соберем вместе u ty и u t : u y u ty u t u yy u u y = u y ( u t y ( y u y Дробь в левой части (5 есть производная по y отношения ( u t u y. Аналогично соберем вместе uu xy и uu x : Наконец, соберем вместе νu yy и νu yyy : u x u y u x u yy uu u y = uu y ( u x y ( y u y u yyy u y u yy u y (7 u y = u y ( u yy u y y (3 Понизим порядок ДУ (4. Для этого u y будем искать в виде функции f(u: (u y =f(u. Введем новые переменные: τ = t, ξ = x, η = u(t,x,y U(t,x. Здесь U(t, x - внешнее течение, а 0<η<. Причем, существует такое u, которое при y, стремящемся к бесконечности, стремится к U(t, x. Далее совершаем действия, аналогичные приведенным в преобразовании Мизеса. Вводим новую функцию ω = u y U, из которой следует, что u y = ωu. u Тогда u yy = Uω y η U = Uω ηω с учетом того, что U не зависит от y. Аналогично u yyy = Uω ηη ω + u yy u y Используем полученное в (5-(7. В результате выражение (4 примет вид: Uω τ + U t ω + U η (Uω ξ + U x ω = νuω ω ηη + ρ p xω η + ηω η U t U + η ω η U x (4 После преобразования (8 в области {τ >0, 0<=ξ<X, 0<η<} получим следующее уравнение: где А и В определяются из выражений: νω ω ηη ω τ ηuω ξ + Aω η + Bω = 0, (5 7

8 A = (η U x + (η U t U B = η( xu U x U t U Эти выражения были получены при =. Рассмотрим граничные условия уравнения при : (6 (7 u t + uu x + vu y = ρ p x + νu yy (8 Если считать, что v =v 0 (x=const, то слагаемое vu y в ( исчезнет. Граничные условия при с учетом введенных выше замен будут выглядеть следующим образом: (νωω η v 0 ω + C η=0 = 0, (9 ω η= = 0, u τ=0 = ω 0 = u 0y U. (0 Неклассический пограничный слой. Запишем систему уравнений Навье-Стокса в сферической системе координат [], положив массовые силы равными нулю: t + u + u θ θ + u ϕ sin θ ϕ u θ + u ϕ = p + ( u u u θ ctg θ ϕ sin θ ϕ θ, θ θ t + u θ + u θ θ θ + ϕ t + u ϕ + u θ ϕ θ + уравнение неразрывности u ϕ θ sin θ ϕ + uu θ u ϕ ctg θ = p θ + ( u θ ( u ϕ sin θ где ϕ ϕ + u ϕ(u + u θ ctg θ = p sin θ ϕ + = + sin θ (u + θ + ctg θ + (u θ sin θ θ θ + sin θ + ϕ ϕ = 0. u θ sin θ u ϕ sin θ ( u ϕ ϕ, cos θ ϕ sin θ ϕ +, θ cos θ θ ϕ ϕ Рассмотрим осесимметричное течение (для которого все частные производные по переменной ϕ от функций, характеризующих течение, равны нулю: ϕ = 0, u ϕ = 0 в стационарном случае: u + u θ θ u θ = p + ( u u θ u + u θ θ θ + u u θ = = + уравнение неразрывности приобретает вид p θ + ( u θ + θ + ctg θ u θ ctg θ θ, θ и u θ sin θ + θ θ ; + θ θ + u + u θ ctg θ = 0. Поскольку нас интересует решение в пограничном слое, сделаем замену переменных так, чтобы толщина пограничного слоя δ стала порядка. Рассмотрим пограничный слой вокруг единичного шара и координаты = + y, x = θ (координата y направлена по нормали к поверхности шара, x дуга окружности радиуса, соответствующая углу θ. Введём новые функции u = u θ, v = u,, 8

9 u составляющая скорости по касательной, v по нормали к шару. Система уравнений Навье- Стокса примет вид uv x +vv y u = p y + ( v yy + v y + v xx + v x ctg x v u ctg x u x, uu x + vu y + uv = p x + ( u yy + u y + u xx + u x ctg x u sin x + v x, u x + v y + v + u ctg x = 0. Пренебрегая слагаемыми порядка, получим систему уравнений неклассического пограничного слоя для обтекания единичного шара: uu x + vu y + uv = p x + u yy + u y, Сравним эту систему с классической u x + v y + u = p y, v + u ctg x = 0. u u x + vu y = p x + u yy 0 = p y (u x + (v y = 0 (здесь расстояние от точки с координатой x = θ до оси симметрии (sin x u x + (sin x v y = sin x u x + cos x u + sin x v y = sin x(u x + ctg x u + v y. Так как = + y, то при + и, если пренебречь величинами порядка, то неклассический пограничный слой переходит в классический. Заметим также, что если в системе уравнений Навье-Стокса сохранить слагаемые порядка, то u xx, v xx останутся и получившаяся система будет эллиптической (тем самым, по сути, никакого упрощения в сравнении с исходной системой не произойдёт. С этой точки зрения неклассический пограничный слой, как и классический, описывается более простой, параболической, системой уравнений и поэтому стационарное решение может находиться слой за слоем по оси Ox, что существенно облегчает численное исследование задачи. Список литературы [] Л.И. Седов, Механика сплошной среды, "Наука", Москва, (977. 9

Раздел 3. Элементы теории пограничного слоя

Раздел 3. Элементы теории пограничного слоя Лекция 8 Раздел 3. Элементы теории пограничного слоя 7. Уравнения пограничного слоя 7. Понятие о пограничном слое Теория пограничного слоя, разработанная Л. Прандтлем, применяется при описании задач внешнего

Подробнее

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения

Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения # 8, август 6 УДК 533655: 5357 Аналитические формулы для расчета тепловых потоков на затупленных телах малого удлинения Волков МН, студент Россия, 55, г Москва, МГТУ им Н Э Баумана, Аэрокосмический факультет,

Подробнее

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Лекция 7 6. Неслоистые течения 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Рассмотрим тело, расположенное в набегающем на него потоке (рис..9). Для определенности будем считать течение плоским, т.е. тело,

Подробнее

Раздел 2. Базовые поля течений вязкой жидкости

Раздел 2. Базовые поля течений вязкой жидкости Лекция 5 Раздел. Базовые поля течений вязкой жидкости В этом разделе рассматриваются течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянными материальными коэффициентами. Наша задача отыскать в этом случае точные

Подробнее

Гидромеханика Модуль 1

Гидромеханика Модуль 1 Гидромеханика Модуль 1 1. Свойства жидкости. 2. Внешняя и внутренняя задача гидромеханики. 3. Массовые и поверхностные силы. 4. Потенциал массовых сил. 5. Главный вектор и главный момент гидродинамических

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА Методические указания для выполнения лабораторной работы Томск 2014 Рассмотрено и утверждено

Подробнее

Х.Рауз МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ М.: Изд. литературы по строительству, 1967, 392 стр. Эта книга посвящена исследованиям различных форм течения жидкости, а

Х.Рауз МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ М.: Изд. литературы по строительству, 1967, 392 стр. Эта книга посвящена исследованиям различных форм течения жидкости, а Х.Рауз МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ М.: Изд. литературы по строительству, 1967, 392 стр. Эта книга посвящена исследованиям различных форм течения жидкости, а также изложению теории пограничного слоя и механики свободного

Подробнее

5. Слоистые течения в движущихся системах. 5.1 Установившееся течение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами

5. Слоистые течения в движущихся системах. 5.1 Установившееся течение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами Лекция 6 5. Слоистые течения в движущихся системах 5. Установившееся течение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами Рассмотрим геометрию, показанную на рис..5. Зазор между двумя коаксиальными

Подробнее

Глава 6. Турбулентность в стратифицированных средах

Глава 6. Турбулентность в стратифицированных средах 7 Глава 6. Турбулентность в стратифицированных средах В большинстве случаев реальные геофизические среды являются стратифицированными. Гидросфере, как правило, свойственна устойчивая стратификация, а атмосфере

Подробнее

Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса

Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса А.Ш.Акыш, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики МОН РК Казахстан, 5, Алматы, Пушкина, 5, тел. 77) 935, E-mail: akysh4@mail.ru ) Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса Аннотация. Современное состояние

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Л. Сенницкий, О затухающем движении гидромеханической системы, Сиб. журн. индустр. матем., 214, том 17, номер 2, 119 124 Использование Общероссийского

Подробнее

1 Вывод уравнений для возмущений течения жидкости

1 Вывод уравнений для возмущений течения жидкости 1 Вывод уравнений для возмущений течения жидкости 1.1 Возмущения в виде бегущих волн Запишем полную систему уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, состоящую из уравнения неразрывности и трёх уравнений

Подробнее

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ В ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ. В. П. Бушланов, И. В. Бушланов, Е. Н. Сентякова

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ В ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ. В. П. Бушланов, И. В. Бушланов, Е. Н. Сентякова ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 03. Т. 54, N- 4 09 УДК 53.5.077. О КОЭФФИЦИЕНТЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ В ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ В. П. Бушланов, И. В. Бушланов, Е. Н. Сентякова Государственный морской

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ЛЕКЦИЯ 2 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЛЕКЦИЯ 2 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ На дополнительных семинарах будет рассматриваться методика решения задач по механике. Рассмотрим движение тела по некоторой траектории.

Подробнее

Пристенные турбулентные течения

Пристенные турбулентные течения Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт прикладной математики и механики Кафедра гидроаэродинамики Курс лекций «Модели турбулентности» (http://cfd.spbstu.ru/agarbaruk/lecture/turb_models)

Подробнее

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 5 УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Основным динамическим уравнением квантовой механики описывающим эволюцию состояния микрочастицы во времени является уравнение Шрѐдингера: () Ĥ оператор Гамильтона в общем случае

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Иерархия уравнений мелкой воды: вывод, исследование, вычислительные алгоритмы

Иерархия уравнений мелкой воды: вывод, исследование, вычислительные алгоритмы Иерархия уравнений мелкой воды: вывод, исследование, вычислительные алгоритмы З.И. Федотова, Г.С. Хакимзянов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: zf@ict.nsc.ru, khak@ict.nsc.ru

Подробнее

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 2 Теорема Гаусса 1.1. (1.19 из задачника) Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ; б) поле плоского конденсатора;

Подробнее

О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом

О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом Электронный журнал «Техническая акустика» http://webceter.ru/~eeaa/ejta/ 004, 5 Псковский политехнический институт Россия, 80680, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4, e-mail: kafgid@ppi.psc.ru О скорости звука

Подробнее

КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 56 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 21. Т. 42, N- 3 УДК 532.522.2.13.4:532.594 КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Ю. Г. Чесноков Санкт-Петербургский

Подробнее

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ Средняя длина свободного пробега молекулы n, где d эффективное сечение молекулы, d эффективный диаметр молекулы, n концентрация молекул Среднее число соударений, испытываемое молекулой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

1.7. Элементы механики жидкостей и газов.

1.7. Элементы механики жидкостей и газов. .7. Элементы механики жидкостей и газов..7.. Общие свойства жидкостей и газов..7.. Кинематическое описание движения жидкости..7.3. Уравнение движения и равновесия жидкости..7.4. Гидростатика..7.5. Стационарное

Подробнее

Московская городская олимпиада по теоретической механике. МЭИ(ТУ)

Московская городская олимпиада по теоретической механике. МЭИ(ТУ) Московская городская олимпиада по теоретической механике. МЭИ(ТУ) - 010 Задача 1. Система сил приложена к точкам (0, 0, a), (0, b, 0) и (c, 0, 0) твердого тела. Дано: F 1 = 4F F 4, F 4 = 1кН, F 5 = F 3.

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА Лекция 5 План лекции: 1. Общие понятия теории конвективного теплообмена. Теплоотдача при свободном движении жидкости в большом объёме 3. Теплоотдача при свободном движении жидкости

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики.

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики. 11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Подробнее

Асимптотика затопленной струи и процессы переноса в ней

Асимптотика затопленной струи и процессы переноса в ней ТРУДЫ МФТИ 3 Том 5, Аэрогидромеханика 59 УДК 5355 З М Маликов, А Л Стасенко,3 Институт механики и сейсмостойкости сооружений АН РУз Московский физико-технический институт (государственный университет)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Рассмотрим ряд наиболее часто используемых разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для линейного уравнения переноса: u t + c(x, t) u x = f(x,

Подробнее

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ С ОБЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ С ОБЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА Вычислительные технологии Том 12, 5, 27 НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКИХ СЛОЕВ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ С ОБЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА В.К. Андреев Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия Сибирский

Подробнее

Лекция 13. Формула Стокса. Понятие ротора. Оператор Гамильтона. Основные виды векторных полей. Формула Стокса.

Лекция 13. Формула Стокса. Понятие ротора. Оператор Гамильтона. Основные виды векторных полей. Формула Стокса. Лекция 13 Формула Стокса Понятие ротора Оператор Гамильтона Основные виды векторных полей Формула Стокса Для установления связи между криволинейными интегралами с поверхностными интегралами проведем согласование

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВОЙ СМЕСИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ И ЩЕЛЯХ. Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВОЙ СМЕСИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ И ЩЕЛЯХ. Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия ДЕТОНАЦИЯ ГАЗОВОЙ СМЕСИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ И ЩЕЛЯХ В.Н. ОХИТИН С.И. КЛИМАЧКОВ И.А. ПЕРЕВАЛОВ Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Москва Россия Газодинамические параметры

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП АКАДЕМИЧЕСКОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОМУ ПРЕДМЕТУ «ФИЗИКА».

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП АКАДЕМИЧЕСКОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОМУ ПРЕДМЕТУ «ФИЗИКА». ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП АКАДЕМИЧЕСКОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОМУ ПРЕДМЕТУ «ФИЗИКА» 0 ГОД ВАРИАНТ З А Д А Ч А Маленький шарик падает с высоты = м без начальной

Подробнее

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов Предварительные сведения из математики Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними. a b = a

Подробнее

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) t x u 5. Расщепление потоков Для того, чтобы лучше понять разностное представление членов, учитывающих конвективный перенос, рассмотрим упрощенную задачу: ) вязкие члены не учитываются ) течение является одномерным

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

МЕТОДОМ СТОКСА ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ

МЕТОДОМ СТОКСА ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М Ф Решетнева УДК 537 (0755) Рецензент доктор физико-математических наук, профессор Е В БАБКИН

Подробнее

8 Теорема Остроградского Гаусса

8 Теорема Остроградского Гаусса 36 8 Теорема Остроградского Гаусса Теорема (Остроградского - Гаусса Если векторная функция a = a( P непрерывно дифференцируема в области (V, ограниченной замкнутой поверхностью (Q, то поток векторного

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

3. Элементы теории размерности

3. Элементы теории размерности Лекция 4 3. Элементы теории размерности 3.1 П-теорема Понятие размерности физической величины тесно связано с процессом измерения, в котором физическую величину сравнивают с некоторым ее эталоном (единица

Подробнее

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести 126 Теоретическая и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. 2013. Том 5, 2 УДК 531.38 А. А. Адуенко, Н. И. Амелькин Московский физико-технический институт (государственный университет) О предельных движениях волчка

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ, ОСНОВЫ БИОРЕОЛОГИИ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕМОДИНАМИКИ

ЛЕКЦИЯ 4 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ, ОСНОВЫ БИОРЕОЛОГИИ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕМОДИНАМИКИ ЛЕКЦИЯ 4 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ, ОСНОВЫ БИОРЕОЛОГИИ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕМОДИНАМИКИ I. Идеальная и реальная жидкости II.Ньютоновские и неньютоновские жидкости III.Течение вязкой жидкости по трубам IV.Предмет

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

r12 q r rik r i r 3 r i. 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

Потенциальное силовое поле Потенциальное силовое поле и силовая функция

Потенциальное силовое поле Потенциальное силовое поле и силовая функция 335 Потенциальное силовое поле 3351 Потенциальное силовое поле и силовая функция (, ) M, Силовое поле это часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует сила, зависящая от

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Л 2. Затухающие колебания

Л 2. Затухающие колебания Л Затухающие колебания 1 Колебательный контур Добавим в колебательный контур, состоящий из конденсатора C, индуктивности L и ключа К, Замкнем ключ - по закону Ома C IR L где введены обозначения D q C dq

Подробнее

+ (u ) ρ + ρ u = 0. ρ u. + ρ (u ) u + p = τ. ρ e. + ρ (u ) e + p u = Φ q. x j x i 3 δ u k x k C 2 + T

+ (u ) ρ + ρ u = 0. ρ u. + ρ (u ) u + p = τ. ρ e. + ρ (u ) e + p u = Φ q. x j x i 3 δ u k x k C 2 + T Уравнения Навье-Стокса Мы ограничимся рассмотрением уравнений движения для совершенного газа (идеального газа с постоянными теплоемкостями). ρ t + (u ) ρ + ρ u = 0 ρ u t ρ e t Уравнение состояния + ρ (u

Подробнее

1.4. Элементы динамики вращательного движения

1.4. Элементы динамики вращательного движения 14 Элементы динамики вращательного движения 141 Момент силы и момент импульса относительно неподвижных точек и оси 14 Уравнения моментов Закон сохранения момента импульса 143 Момент инерции твердого тела

Подробнее

Распределения Больцмана и Максвелла

Распределения Больцмана и Максвелла Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский государственный университет Методические указания по курсу общей физики Распределения Больцмана и Максвелла Ростов-на-Дону

Подробнее

Таким образом, мы пришли к закону (5).

Таким образом, мы пришли к закону (5). Конспект лекций по курсу общей физики Часть II Электричество и магнетизм Лекция. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ (продолжение).4. Теорема Остроградского Гаусса. Применение теоремы Докажем теорему для частного

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

В результате по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о величине вектора υ в разных точках пространства. Рис. 20.

В результате по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о величине вектора υ в разных точках пространства. Рис. 20. Лекция 0 Стационарное движение жидкости. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости и его применение. Формула Торричелли. Реакция вытекающей струи. Л-: 8.3-8.4; Л-: с. 69-97

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 001. Т., N- 15 УДК 539.3.01 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко,

Подробнее

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ИНВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ИНВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Шелаев А.Н. Сведения об авторе ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ИНВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Обобщённая геометрическая модель инвариантных сечений (ИС) окружности ИС, являющиеся геометрическими

Подробнее

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат 7 класс (2016-17 учебный год). Занятие 1. Введение в кинематику. Равномерное прямолинейное движение Часть 1. Теория и примеры решения задач Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

Подробнее

m T T 2 k 2 период колебаний, когда масса будет равна сумме масс T-? Выразим массу m 1 и m 2 тогда тогда и подставим в формулу для общего периода

m T T 2 k 2 период колебаний, когда масса будет равна сумме масс T-? Выразим массу m 1 и m 2 тогда тогда и подставим в формулу для общего периода 5 Модуль Практика Задача Когда груз, совершающий колебания на вертикальной пружине, имел массу m, период колебаний был равен с, а когда масса стала равной m, период стал равен 5с Каким будет период, если

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Уравнения Рейнольдса

Уравнения Рейнольдса Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт прикладной математики и механики Кафедра гидроаэродинамики Курс лекций «Модели турбулентности» (hp://cd.spbs.r/agarbar/lecre/rb_models)

Подробнее

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля 1.5 Поток вектора напряженности электрического поля Ранее отмечалось, что величина вектора напряженности электрического поля равна количеству силовых линий, пронизывающих перпендикулярную к ним единичную

Подробнее

ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕМЕ «КОЛЕБАНИЯ» Вариант Если колебания величины описываются дифференциальным уравнением:

ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕМЕ «КОЛЕБАНИЯ» Вариант Если колебания величины описываются дифференциальным уравнением: 1. Что называется колебаниями? Вариант 1 2. Если колебания величины описываются дифференциальным уравнением: 2 2 0 f0cos t, то что определяется формулой: 2 2 0 2? 3. Складываются два гармонических колебания

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ 2.1. Средняя скорость течения и расход

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ 2.1. Средняя скорость течения и расход 2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ 2.1. Средняя скорость течения и расход При гидравлических расчетах трубопроводов течение жидкости полностью характеризуется средней по сечению скоростью потока

Подробнее

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени:

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

Подробнее

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Отчет 2806-1807-97294-0815 Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Данный документ составлен на основе отчета о проведенном пользователем admin расчете по определению

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

18. Модель турбулентности Прандтля

18. Модель турбулентности Прандтля Лекция 18 18.1 Гипотеза Буссинеска 18. Модель турбулентности Прандтля Гипотеза Буссинеска, основывающаяся на концепции вихревой вязкости, заключается в том, что тензор турбулентных напряжений (6.0) можно

Подробнее

Криволинейные интегралы 2-го типа

Криволинейные интегралы 2-го типа Глава 2 Криволинейные интегралы 2-го типа 2. Необходимые сведения из теории Напомним, обсужденный нами на предыдущем занятии криволинейный интеграл -го типа был удобен при отыскании скалярных величин,

Подробнее

ВАРИАНТ Дано: Решение

ВАРИАНТ Дано: Решение ВАРИАНТ 0 Дано: Решение V 0 =0м/ c h = 30 м t п -? s -? Тело движется свободно под действием силы тяжести Сначала мяч летит вверх и поднимается на максимальную высоту а затем падает вниз двигаясь при этом

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ).

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ). Тензор скоростей деформации. Чтобы замкнуть систему пяти дифференциальных уравнений, состоящую из законов сохранения, делают различные предположения о свойствах сплошной среды. Пусть за время dt вектор

Подробнее

Тема 1.3. Элементы механики жидкостей

Тема 1.3. Элементы механики жидкостей Тема.3 Элементы механики жидкостей. Давление жидкости и газа Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

3.3. Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля

3.3. Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ 3.. Работа сил электростатического поля 3.. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля 3.3.

Подробнее

Решение уравнения Навье Стокса. E.Г. Якубовский. Аннотация

Решение уравнения Навье Стокса. E.Г. Якубовский. Аннотация Решение уравнения Навье Стокса EГ Якубовский НМСУГ e i yuovi@eu Аннотация Решение нелинейных уравнений в частных производных могут определять значение неизвестных функций с большой величиной При этом они

Подробнее

Тема 2. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний

Тема 2. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний Тема. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний П.1. Свободные затухающие колебания. П.. Логарифмический декремент затухания. Апериодический процесс П.3. Вынужденные колебания

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

Повышение давления жидкости в замкнутом объеме при тепловом воздействии через стенки

Повышение давления жидкости в замкнутом объеме при тепловом воздействии через стенки Теплофизика и аэромеханика 23 том 2 4 УДК 532.58 Повышение давления жидкости в замкнутом объеме при тепловом воздействии через стенки В.Ш. Шагапов Ю.А. Юмагулова 2 Институт механики Уфимского научного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ Рассмотрим ещё одну важную динамическую величину кинетическую

Подробнее

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R) . Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )

Подробнее

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 Занятие 1 Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 2x 3, (б) f(x) = 6 cos 2x + 8 sin 2x. Занятие 2 2. Мат индукция.

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Экзамен. Метод изображений. 2. Точечный заряд и проводящий заземленный шар.

Экзамен. Метод изображений. 2. Точечный заряд и проводящий заземленный шар. Экзамен. Метод изображений.. Точечный заряд и проводящий заземленный шар. Рассмотрим задачу. Дан проводящий заземленный шар радиусом и точечный заряд на расстоянии a> от центра шара. Найти потенциал в

Подробнее

Тема 11: Основы гидродинамики. Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда

Тема 11: Основы гидродинамики. Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда 1 Тема 11: Основы гидродинамики Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда Плотностью тела называется величина равная отношению массы этого тела к его объёму: m V Размерность плотности: [ ρ] = кг/м 3. Если

Подробнее

5. Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле. Тензор электромагнитного поля

5. Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле. Тензор электромагнитного поля 5 Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле Тензор электромагнитного поля 51 Необходимость получения уравнения движения в ковариантной форме Уравнение движения заряженной

Подробнее

Тема 5. Механические колебания и волны.

Тема 5. Механические колебания и волны. Тема 5. Механические колебания и волны. 5.1. Гармонические колебания и их характеристики Колебания процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося

Подробнее

16. О сопряженных задачах конвективного теплообмена

16. О сопряженных задачах конвективного теплообмена Лекция 16 16. О сопряженных задачах конвективного теплообмена В задачах конвективного теплообмена между телом и потоком жидкости или газа используются, как правило, граничные условия 3-го рода (закон Ньютона),

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в поперечном потоке плотной слабоионизованной плазмы.

Вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в поперечном потоке плотной слабоионизованной плазмы. УДК 533 Вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в поперечном потоке плотной слабоионизованной плазмы. М.В. Котельников, С.Б. Гаранин Разработана математическая и численная модель обтекания

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее