Системы тригонометрических уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Системы тригонометрических уравнений"

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких систем и различные специальные приёмы мы будем изучать сразу на конкретных примерах. Может случиться, что одно из уравнений системы содержит тригонометрические функции от неизвестных x и y, а другое уравнение является линейным относительно x и y. В таком случае действуем очевидным образом: одну из неизвестных выражаем из линейного уравнения и подставляем в другое уравнение системы. Задача 1. Решить систему: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. Из первого уравнения выражаем y через x: и подставляем во второе уравнение: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x. Его решения запишем в виде двух серий: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Остаётся найти соответствующие значения y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Как всегда в случае системы уравнений, ответ даётся в виде перечисления пар x; y). 6 + n; 5 ) 5 6 n, 6 + n; ) 6 n, n Z. Обратите внимание, что x и y связаны друг с другом посредством целочисленного параметра n. А именно, если в выражении для x стоит +n, то в выражении для y автоматически появляется n, причём с тем же самым n. Это следствие «жёсткой» зависимости между x и y, задаваемой уравнением x + y =. Задача. Решить систему: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Здесь имеет смысл сначала преобразовать первое уравнение системы: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Таким образом, наша система равносильна следующей системе: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Подставляем x y = в первое уравнение: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В результате приходим к системе: x + y = n, x y =. Складываем эти уравнения, делим на и находим x; вычитаем из первого уравнения второе, делим на и находим y: x = + n, y = + n n Z). + n; + n ), n Z. В ряде случаев тригонометрическую систему удаётся свести к системе алгебраических уравнений подходящей заменой переменных. Задача. Решить систему: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Замена u = sin x, v = cos y приводит к алгебраической системе относительно u и v: u + v = 1, u v = 1. Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: u = 1, v = 0. Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям: sin x = 1, cos y = 0, откуда + k; + n ), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Теперь в записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k и n. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что в данной системе отсутствует «жёсткая» связь между x и y например, в виде линейного уравнения), поэтому x и y в гораздо большей степени независимы друг от друга.

3 В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр n, записав ответ в виде + n; ) + n. Это привело бы к потере бесконечного множества 5 решений системы. Например, потерялось бы решение ; ), возникающее при k = 1 и n = 0. Задача 4. Решить систему: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Преобразуем сначала второе уравнение: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Теперь делаем замену: u = sin x, v = sin y. Получим систему: u + v = 1, u + 4v = 1. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Остаётся сделать обратную замену: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или, sin y = 1 6, и записать ответ. k; 1) n 6 + n ), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n ), k, n Z. Задача 5. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Здесь для получения алгебраической системы нужно поработать ещё больше. Первое уравнение нашей системы запишем в виде: Во втором уравнении имеем: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Таким образом, исходная система равносильна системе: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y ) 1 = cos x y cos x + y.

4 Делаем замену u = cos x y, v = cos x + y и получаем алгебраическую систему: uv = 1, u v = 4. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Первая пара даёт систему: x y = 1, = k, Отсюда cos x y cos x + y Вторая пара даёт систему: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1, = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Отсюда x = ± + n + k), y = ± + n k). ± ) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ± ) + n k), k, n Z. Однако свести систему тригонометрических уравнений к системе алгебраических уравнений удаётся далеко не всегда. В ряде случаев требуется применять различные специальные приёмы. Иногда удаётся упростить систему путём сложения или вычитания уравнений. Задача 6. Решить систему: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Складывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. А эта система, в свою очередь, равносильна совокупности двух систем: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Отсюда x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n); ) ) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Иногда можно прийти к решению, умножая уравнения друг на друга. Задача 7. Решить систему: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Напомним, что умножить уравнения системы друг на друга это значит записать уравнение вида «произведение левых частей равно произведению правых частей». Полученное уравнение будет следствием исходной системы то есть все решения исходной системы удовлетворяют и полученному уравнению). В данном случае умножение уравнений системы приводит к уравнению: 1 = sin y cos y = sin y, откуда y = /4 + n n Z). Подставлять y в таком виде в систему неудобно лучше разбить на две серии: y 1 = 4 + n, Подставляем y 1 в первое уравнение системы: y = 4 + n. tg x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Легко видеть, что подстановка y 1 во второе уравнение системы приведёт к тому же самому результату. Теперь подставляем y : tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k; ) 4 + n, 4 ) + k; 4 + n, k, n Z. Иногда к результату приводит деление уравнений друг на друга. Задача 8. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Преобразуем: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Введём временно обозначения: α = x + y, β = x y. Тогда полученная система перепишется в виде: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Ясно, что cos β 0. Тогда, поделив второе уравнение на первое, придём к уравнению tg α =, которое является следствием системы. Имеем: α = + n n Z), и снова в целях дальнейшей подстановки в систему) нам удобно разбить полученное множество на две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Подстановка α 1 в любое из уравнений системы приводит к уравнению: cos β = 1 β 1 = k k Z). Аналогично, подстановка α в любое из уравнений системы даёт уравнение: cos β = 1 β = + k k Z). Итак, имеем: то есть откуда α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k); ) 7 + n k), + n + k); ) + n k), k, n Z. В некоторых случаях на помощь приходит основное тригонометрическое тождество. Задача 9. Решить систему: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Возведём обе части каждого уравнения в квадрат: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Сложим полученные уравнения: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, откуда sin y = 0 и y = n n Z). Это следствие исходной системы; то есть, для всякой пары x; y), являющейся решением системы, второе число этой пары будет иметь вид n с некоторым целым n. Разбиваем y на две серии: y 1 = n, y = + n. Подставляем y 1 в исходную систему: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решением данной системы служит серия sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z). Обратите внимание, что теперь недостаточно было бы подставить y 1 в какое-то одно из уравнений системы. Подстановка y 1 в первое и второе уравнение системы приводит к системе двух разных уравнений относительно x.) Аналогично, подставляем y в исходную систему: Отсюда sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z). ) ) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Иногда в ходе преобразований удаётся получить простое соотношение между неизвестными и выразить из этого соотношения одно неизвестное через другое. Задача 10. Решить систему: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Во втором уравнении системы преобразуем удвоенное произведение синусов в разность косинусов: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Выражаем отсюда y через x: y = x + n, 7

8 и подставляем в первое уравнение системы: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Дальнейшее тривиально. Получаем: cos x = 1, откуда x = ± Остаётся найти y из полученного выше соотношения: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n ), k, n Z. Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего многоообразия систем тригонометрических уравнений. В любой сколько-нибудь непростой ситуации требуется проявлять изобретательность, которая вырабатывается только практикой решения разнообразных задач. Во всех ответах предполагается, что k, n Z. Задачи 1. Решите систему: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; n). Решите систему: x + y = 4, tg x tg y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctg 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решите систему: sin x + sin y = 1, x y = 4 б). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решите систему: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решите систему: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; б) arctg 5 + k; arctg 1 + n), arctg 1 + k; arctg 5 + n) 6. Решите систему: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решите систему: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решите систему: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решите систему: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y )k n k ) ; 1) k 1 + n + k )) ; б) ) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решите систему: cos x = tg cos y = tg y + ), 4 x + ). 4 k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решите систему: ) tg 4 + x = cos y, ) tg 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решите систему: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решите систему: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решите систему: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решите систему: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решите систему: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); б) ) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. «Физтех», 010 ) Решить систему уравнений 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. МГУ, экз. для иностр. гр-н, 01 ) Решите систему уравнений: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. МГУ, ВМК, 005 ) Найдите все решения системы уравнений sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n ) xn, где xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. МГУ, географич. ф-т, 005 ) Решите систему уравнений 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. МГУ, ф-т гос. управления, 005 ) Решите систему уравнений sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. МФТИ, 199 ) Решите систему уравнений 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5 ); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5 ), 6 + k k, n Z 11

12 . МФТИ, 199 ) Решите систему уравнений tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. МФТИ, 1996 ) Решите систему уравнений sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1)k k) ; k, n Z 5. МФТИ, 1996 ) Решите систему уравнений sin x + ) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. МФТИ, 1997 ) Решите систему уравнений 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тригонометрические неравенства Предполагается, что читатель умеет решать простейшие тригонометрические неравенства Мы же переходим к более сложным задачам Задача

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Иррациональные уравнения и системы Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a

Подробнее

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественнонаучная школа при КрасГУ

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественнонаучная школа при КрасГУ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественнонаучная школа при КрасГУ Математика: Модуль для 0 класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

Инвариантность и задачи с параметрами

Инвариантность и задачи с параметрами Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Симметрия в задачах с параметрами 1. (МГУ, ф-т почвоведения, 001 ) При каких значениях b уравнение имеет ровно один корень? tg b = log

Подробнее

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Подробнее

Урок алгебры в 10 классе. Тема урока: Способы решения тригонометрических уравнений. Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме.

Урок алгебры в 10 классе. Тема урока: Способы решения тригонометрических уравнений. Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме. Урок алгебры в 10 классе Тема урока: Способы решения тригонометрических уравнений Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме. Задачи урока: 1) Образовательные - Расширить и углубить

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим.

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим. Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим. Разработчик: И.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Подробнее

8 класс Алгебра. Тема "Рациональные дроби"

8 класс Алгебра. Тема Рациональные дроби 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений Решение тригонометрических уравнений Решение тригонометрических уравнений Цели: Познакомиться с видами тригонометрических уравнений Познакомиться со способами решения уравнений. Выработать навыки применения

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Подробнее

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А г. П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А г. П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А. 06 г П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Дорогой читатель. Если встретившись с необходимостью найти

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях.

Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях. Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

учебного пособия Пункт деятельности Требования часов с рус. яз. обучения / И. Г. Арефьева, О. И. Пирютко. Минск : Аверсэв, 2017.

учебного пособия Пункт деятельности Требования часов с рус. яз. обучения / И. Г. Арефьева, О. И. Пирютко. Минск : Аверсэв, 2017. 64 7 класс Алгебра (5 ч в неделю, 175 ч) Алгебраический компонент (3 ч в неделю) 105 ч и геометрический компонент (2 ч в неделю) 70 ч Используемые учебные пособия: 1. Арефьева, И. Г. Алгебра : учеб. пособие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1 Физтех 0, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x =

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ Успех решения тригонометрических уравнений и неравенств, доказательства тригонометрических тождеств и решения вычислительных задач в значительной мере определяются знанием основных

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Апрель Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В4 В В В7 С 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9,,4 ( ; ) ( log ;) + n,, 8 49 8,7 ( 4; ) ( ; + ), 8 9, 4 8 + 7

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства. Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Лекция 6 ТЕМА. Тригонометрия. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Лекция 6 ТЕМА. Тригонометрия.  Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Лекция 6 ТЕМА Тригонометрия. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 017 Домашнее задание 1. Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика. 10 класс. Тригонометрия. ЗАЧЁТ 1, 2 Таблицы, контрольные работы, зачёты

МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика. 10 класс. Тригонометрия. ЗАЧЁТ 1, 2 Таблицы, контрольные работы, зачёты МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика 1 класс Тригонометрия ЗАЧЁТ 1, Таблицы, контрольные работы, зачёты Учитель Немова Н.М. Первая квалификация 15 уч г Пояснительная записка. Данный дидактический материал предназначен

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Простейшие тригонометрические уравнения. 2

Простейшие тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Простейшие тригонометрические уравнения. Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения Задание для 8-х

Подробнее

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр. 1 06.09.2012 1) Решить неравенство: x 7 17. 2) Умножить 612 на 100000. 3) Чему равна разность чисел 661 и 752? 4) Сравнить выражения: 54 6 и 7.

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

На вступительном экзамене по математике поступающий должен. показать:

На вступительном экзамене по математике поступающий должен. показать: Программа вступительного испытания по математике, проводимого Северо-Кавказским институтом-филиалом РАНХиГС самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема показать: На

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Простейшие тригонометрические уравнения. 1

Простейшие тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Простейшие тригонометрические уравнения. 1 Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

Рабочая программа по математике (алгебре и началам анализа) 10а класс (профильный уровень)

Рабочая программа по математике (алгебре и началам анализа) 10а класс (профильный уровень) Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 16 Щѐлковского муниципального района Московской области УТВЕРЖДАЮ Директор МБОУ СОШ 16 ЩМР МО О.Н.Курьякова 2016г.

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Глава 1 Системы линейных уравнений 1.1 Определители второго и третьего порядка Определителем (детерминантом) 2-го порядка называется a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Определителем (детерминантом)

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

Подробнее

РЕШЕНИЯ. Вариант 17 (Решения тестовых заданий) Ответ: 3) 3 4. Красных роз юноша купил штуки. Осталось

РЕШЕНИЯ. Вариант 17 (Решения тестовых заданий) Ответ: 3) 3 4. Красных роз юноша купил штуки. Осталось РЕШЕНИЯ Вариант 7 (Решения тестовых заданий) На 6 м расход краски составит 6 0 6 (кг) Следовательно, останется 6 576 (кг) Ответ: ) 576 кг ( ) ( ) ( 6) : ( ) 8 6 Ответ: ) 6 При условии y 0 (модуль есть

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

Одно замечательное тождество для sin nx

Одно замечательное тождество для sin nx Одно замечательное тождество для x Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

ID_3685 1/10 neznaika.pro

ID_3685 1/10 neznaika.pro 1 Числа и их свойства Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Представьте число

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная программа состоит из трех разделов: В первом разделе перечислены основные математические понятия и факты, которыми должен владеть абитуриент. Во втором дан перечень основных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс)

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) п/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Календарно- тематический план по математике для 7 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю ( всего 170 часа)

Календарно- тематический план по математике для 7 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю ( всего 170 часа) Календарно- тематический план по математике для 7 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю ( всего 170 часа) Стандарты Тема Часы Стандарты Дата Ресурсы Интеграция Оценивание I полугодие Глава I Рациональные

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике

Подробнее

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81.

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание Найти область определения функции f, и изобразить её на координатной плоскости 9 6 ln ln 8 ln arccos ln ln 5 arccos 5 6 8 6 7 8 arcsin ln 7 9 arcsin

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее