Системы тригонометрических уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Системы тригонометрических уравнений"

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких систем и различные специальные приёмы мы будем изучать сразу на конкретных примерах. Может случиться, что одно из уравнений системы содержит тригонометрические функции от неизвестных x и y, а другое уравнение является линейным относительно x и y. В таком случае действуем очевидным образом: одну из неизвестных выражаем из линейного уравнения и подставляем в другое уравнение системы. Задача 1. Решить систему: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. Из первого уравнения выражаем y через x: и подставляем во второе уравнение: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x. Его решения запишем в виде двух серий: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Остаётся найти соответствующие значения y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Как всегда в случае системы уравнений, ответ даётся в виде перечисления пар x; y). 6 + n; 5 ) 5 6 n, 6 + n; ) 6 n, n Z. Обратите внимание, что x и y связаны друг с другом посредством целочисленного параметра n. А именно, если в выражении для x стоит +n, то в выражении для y автоматически появляется n, причём с тем же самым n. Это следствие «жёсткой» зависимости между x и y, задаваемой уравнением x + y =. Задача. Решить систему: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Здесь имеет смысл сначала преобразовать первое уравнение системы: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Таким образом, наша система равносильна следующей системе: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Подставляем x y = в первое уравнение: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В результате приходим к системе: x + y = n, x y =. Складываем эти уравнения, делим на и находим x; вычитаем из первого уравнения второе, делим на и находим y: x = + n, y = + n n Z). + n; + n ), n Z. В ряде случаев тригонометрическую систему удаётся свести к системе алгебраических уравнений подходящей заменой переменных. Задача. Решить систему: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Замена u = sin x, v = cos y приводит к алгебраической системе относительно u и v: u + v = 1, u v = 1. Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: u = 1, v = 0. Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям: sin x = 1, cos y = 0, откуда + k; + n ), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Теперь в записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k и n. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что в данной системе отсутствует «жёсткая» связь между x и y например, в виде линейного уравнения), поэтому x и y в гораздо большей степени независимы друг от друга.

3 В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр n, записав ответ в виде + n; ) + n. Это привело бы к потере бесконечного множества 5 решений системы. Например, потерялось бы решение ; ), возникающее при k = 1 и n = 0. Задача 4. Решить систему: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Преобразуем сначала второе уравнение: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Теперь делаем замену: u = sin x, v = sin y. Получим систему: u + v = 1, u + 4v = 1. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Остаётся сделать обратную замену: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или, sin y = 1 6, и записать ответ. k; 1) n 6 + n ), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n ), k, n Z. Задача 5. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Здесь для получения алгебраической системы нужно поработать ещё больше. Первое уравнение нашей системы запишем в виде: Во втором уравнении имеем: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Таким образом, исходная система равносильна системе: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y ) 1 = cos x y cos x + y.

4 Делаем замену u = cos x y, v = cos x + y и получаем алгебраическую систему: uv = 1, u v = 4. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Первая пара даёт систему: x y = 1, = k, Отсюда cos x y cos x + y Вторая пара даёт систему: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1, = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Отсюда x = ± + n + k), y = ± + n k). ± ) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ± ) + n k), k, n Z. Однако свести систему тригонометрических уравнений к системе алгебраических уравнений удаётся далеко не всегда. В ряде случаев требуется применять различные специальные приёмы. Иногда удаётся упростить систему путём сложения или вычитания уравнений. Задача 6. Решить систему: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Складывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. А эта система, в свою очередь, равносильна совокупности двух систем: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Отсюда x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n); ) ) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Иногда можно прийти к решению, умножая уравнения друг на друга. Задача 7. Решить систему: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Напомним, что умножить уравнения системы друг на друга это значит записать уравнение вида «произведение левых частей равно произведению правых частей». Полученное уравнение будет следствием исходной системы то есть все решения исходной системы удовлетворяют и полученному уравнению). В данном случае умножение уравнений системы приводит к уравнению: 1 = sin y cos y = sin y, откуда y = /4 + n n Z). Подставлять y в таком виде в систему неудобно лучше разбить на две серии: y 1 = 4 + n, Подставляем y 1 в первое уравнение системы: y = 4 + n. tg x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Легко видеть, что подстановка y 1 во второе уравнение системы приведёт к тому же самому результату. Теперь подставляем y : tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k; ) 4 + n, 4 ) + k; 4 + n, k, n Z. Иногда к результату приводит деление уравнений друг на друга. Задача 8. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Преобразуем: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Введём временно обозначения: α = x + y, β = x y. Тогда полученная система перепишется в виде: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Ясно, что cos β 0. Тогда, поделив второе уравнение на первое, придём к уравнению tg α =, которое является следствием системы. Имеем: α = + n n Z), и снова в целях дальнейшей подстановки в систему) нам удобно разбить полученное множество на две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Подстановка α 1 в любое из уравнений системы приводит к уравнению: cos β = 1 β 1 = k k Z). Аналогично, подстановка α в любое из уравнений системы даёт уравнение: cos β = 1 β = + k k Z). Итак, имеем: то есть откуда α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k); ) 7 + n k), + n + k); ) + n k), k, n Z. В некоторых случаях на помощь приходит основное тригонометрическое тождество. Задача 9. Решить систему: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Возведём обе части каждого уравнения в квадрат: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Сложим полученные уравнения: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, откуда sin y = 0 и y = n n Z). Это следствие исходной системы; то есть, для всякой пары x; y), являющейся решением системы, второе число этой пары будет иметь вид n с некоторым целым n. Разбиваем y на две серии: y 1 = n, y = + n. Подставляем y 1 в исходную систему: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решением данной системы служит серия sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z). Обратите внимание, что теперь недостаточно было бы подставить y 1 в какое-то одно из уравнений системы. Подстановка y 1 в первое и второе уравнение системы приводит к системе двух разных уравнений относительно x.) Аналогично, подставляем y в исходную систему: Отсюда sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z). ) ) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Иногда в ходе преобразований удаётся получить простое соотношение между неизвестными и выразить из этого соотношения одно неизвестное через другое. Задача 10. Решить систему: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Во втором уравнении системы преобразуем удвоенное произведение синусов в разность косинусов: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Выражаем отсюда y через x: y = x + n, 7

8 и подставляем в первое уравнение системы: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Дальнейшее тривиально. Получаем: cos x = 1, откуда x = ± Остаётся найти y из полученного выше соотношения: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n ), k, n Z. Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего многоообразия систем тригонометрических уравнений. В любой сколько-нибудь непростой ситуации требуется проявлять изобретательность, которая вырабатывается только практикой решения разнообразных задач. Во всех ответах предполагается, что k, n Z. Задачи 1. Решите систему: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; n). Решите систему: x + y = 4, tg x tg y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctg 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решите систему: sin x + sin y = 1, x y = 4 б). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решите систему: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решите систему: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; б) arctg 5 + k; arctg 1 + n), arctg 1 + k; arctg 5 + n) 6. Решите систему: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решите систему: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решите систему: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решите систему: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y )k n k ) ; 1) k 1 + n + k )) ; б) ) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решите систему: cos x = tg cos y = tg y + ), 4 x + ). 4 k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решите систему: ) tg 4 + x = cos y, ) tg 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решите систему: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решите систему: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решите систему: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решите систему: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решите систему: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); б) ) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. «Физтех», 010 ) Решить систему уравнений 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. МГУ, экз. для иностр. гр-н, 01 ) Решите систему уравнений: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. МГУ, ВМК, 005 ) Найдите все решения системы уравнений sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n ) xn, где xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. МГУ, географич. ф-т, 005 ) Решите систему уравнений 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. МГУ, ф-т гос. управления, 005 ) Решите систему уравнений sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. МФТИ, 199 ) Решите систему уравнений 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5 ); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5 ), 6 + k k, n Z 11

12 . МФТИ, 199 ) Решите систему уравнений tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. МФТИ, 1996 ) Решите систему уравнений sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1)k k) ; k, n Z 5. МФТИ, 1996 ) Решите систему уравнений sin x + ) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. МФТИ, 1997 ) Решите систему уравнений 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. 5. Системы тригонометрических уравнений

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. 5. Системы тригонометрических уравнений 008-009 уч. год., кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Системы тригонометрических уравнений В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением нескольких типов систем тригонометрических

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими вычислениями, обычно сводятся к стандартным манипуляциям с тригонометрическими

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Подробнее

Обратные тригонометрические функции. 2

Обратные тригонометрические функции. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Обратные тригонометрические функции. Перед этим листком следует повторить статью «Обратные тригонометрические функции.», в которой приводятся определения

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Задание для -х классов (05 06 учебный

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Комментарий Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются

Подробнее

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec Занятие. Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества). Формулы приведения. Любой угол измеряется

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА,

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова. Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова. Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ типы задач и методы их решений Часть Тригонометрия

Подробнее

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг Тема: Преобразование тригонометрических выражений Тригонометрические уравнения Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Тригонометрический круг Основные тригонометрические формулы sin cos tg cos sin sin cos sin

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЯ Н.В. ЛАТЫПОВА

ТРИГОНОМЕТРИЯ Н.В. ЛАТЫПОВА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕЙ "ЦЕНТР

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ.......................................... Равносильные преобразования.............................. Двукратное

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

уч. год. 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

уч. год. 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. - уч год кл Математика Алгебраические уравнения неравенства системы уравнений и неравенств Системы уравнений Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных:

Подробнее

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5»

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5» МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Ноябрь 0 Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В В В В7 С 90, 0 0 0,8 0, arcsi 7, 00 0-0, +, +, ( + +, 0-0, 0, 9 Отрезку принадлежат корни 78,8 79 700 9, - 0, 0, arccos 8 7,

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

ОТВЕТЫ ,5-0, arcsin ,

ОТВЕТЫ ,5-0, arcsin , АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, класс Ответы и критерии, Апрель ОТВЕТЫ Вариант/ задания А А В В В В4 В5 С 6,5-4 8 arcsin 4 4,5 -,8 arcsin + k, 4,5 8-6 arccos 5 4 4,5, 5 arc tg9 + k, 5 4, -,4 6 6 8-7,5 7 6 855,4

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. 1 из 14 2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел и записать эти числа в форме z = ρe iϕ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико-техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические

Подробнее

Подготовка к вступительным экзаменам

Подготовка к вступительным экзаменам МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть Тригонометрические уравнения

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Содержание Уравнения с модулем 1 Определение модуля 1 Замена переменной 3 Перебор промежутков Равносильные переходы 5 5 Задачи 6 В данной статье мы изучаем

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С Шестаков, М Галицкий, Москва УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов

Подробнее

Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников

Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников А.Г. КОРЯНОВ, А.А. ПРОКОФЬЕВ Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников Лекции Москва Педагогический университет «Первое сентября» 0 Анатолий Георгиевич Корянов, Александр Александрович Прокофьев Материалы

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012

ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

ОТВЕТЫ ,5 0,4 ( 1) ,6 ( )

ОТВЕТЫ ,5 0,4 ( 1) ,6 ( ) МАТЕМАТИКА, 0 класс Ответы и критерии, Январь 0 Вариант/ ОТВЕТЫ задания В В В В В5 В6 В7 С 57 0, ; ; ; k 560 5,5 0, ( ) arccos + k, 96 0 0,6 ( ) 900 9 6 0,75 5 500 9 5 0,5 6 79 8,5 0,6 7 05,9 7 8 0,5 (

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos.

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos. Задача 1 Сумма трѐх положительных углов равна 90 o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего? Пусть,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90 o, все они

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, 0 класс Ответы и критерии, Январь 0 Вариант/ ОТВЕТЫ задания А А В В В В4 В С 4 00 00 0-0, 0, arcsin + πk, 9 0-0, 0, arccos + πk, πk, 000 0000-0, - 0, arcsin + πk, 4 4 49,6 4000-0,

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: Решение однородных тригонометрических уравнений

Инструкция к практическому занятию: Решение однородных тригонометрических уравнений Молодечненский государственный политехнический техникум Инструкция к практическому занятию: Решение однородных тригонометрических уравнений Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Элементарная математика и практикум по решению задач. Тригонометрия

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Элементарная математика и практикум по решению задач. Тригонометрия УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» Т. В. Пивоварук УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Элементарная математика и практикум по решению задач. Тригонометрия для

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА 3.. УРАВНЕНИЯ n-й СТЕПЕНИ 3... Уравнение n-й степени. Исключение слагаемых (n )-й степени. Понижение степени уравнения с известным корнем (случай

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Замена переменной

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Замена переменной И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Содержание Замена переменной Предварительные преобразования Симметрические уравнения 3 3 Однородные уравнения 4 4 Замена в биномах 4 5 Задачи 5 В ряде случаев

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

Часть 3. «Математика, естественные и технические науки: методика и практика преподавания, теоретические и экспериментальные исследования»

Часть 3. «Математика, естественные и технические науки: методика и практика преподавания, теоретические и экспериментальные исследования» «Вестник ЦМО МГУ», 006 г., 6 Часть. «Математика, естественные и технические науки: методика и практика преподавания, теоретические и экспериментальные исследования» МЕТОДИКА И ПРАКТИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫХ

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ.

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ. 7 ( ; 8 ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ Необходимые сведения из теории Тригономе трия (от греч trigonon треугольник,

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 3. Системы уравнений.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 3. Системы уравнений. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 3 Системы уравнений Теоретический материал Методы решения систем уравнений 1 Метод подстановки Этот метод заключается в том, что из одного любого уравнения

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

17-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. из 0 7-е занятие. Вычисление вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Классификация ИОТОХ повторение) Найти ИОТОХ заданной функции и определить их тип: В 4.33 z 3 2 cos z). В 4.37 ez/ z).

Подробнее

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному УДК 7:51 ББК 22.1я72 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 20. Задачи с параметром Под ред. И. В. Ященко Электронное издание М.: МЦНМО, 2015 240 с. ISBN 978-5-449-2122-8 Рабочая тетрадь по математике

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНКУЛЬТУРЫ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Тюмень

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ Приведем пример решения тестового задания второго уровня сложности из пособия для подготовки к тестированию, изданного Центром тестирования Министерства Образования РФ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1) Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, Корянов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Календарно-тематическое планирование Математика. 10 класс

Календарно-тематическое планирование Математика. 10 класс Календарно-тематическое планирование Математика 10 класс Базовый уровень (4 ч в неделю, 140 ч) Учебные пособия: 1. Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 10 кл. учреждений общ. сред. образования

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее