Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n"

Транскрипт

1 Тема 9

2 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром

3 Степенные ряды Общий член степенного ряда является простейшим многочленом: u Частичная сумма степенного ряда является многочленом степени : S...

4 Степенные ряды Область сходимости степенных рядов имеет очень простую структуру согласно теореме Абеля: Степенной ряд с либо сходится на всей числовой прямой, либо существует такое число R, что в интервале X R, ряд сходится, а вне интервала расходится. Число R в этом случае называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал называется интервалом сходимости этого ряда. R

5 Степенные ряды Пусть дан степенной ряд, все коэффициенты которого отличны от нуля Тогда с. Если существует предел, lim с то он совпадает с радиусом сходимости степенного ряда R. с, N. с

6 Степенные ряды. Если же существует предел lim с, то радиус сходимости R lim C формула Коши Адамара.

7 Степенные ряды Теорема Свойства суммы степенного ряда Пусть степенной ряд сходится в интервале X R, R, где R. Тогда сумма ряда S :. непрерывна на интервале X,. интегрируема на любом отрезке, целиком лежащем в X, 3. дифференцируема любое число раз на интервале X. с

8 Нахождение суммы степенных рядов, используя свойства Пример. Найти сумму ряда... Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем х, сходится в интервале X,. По формуле для суммы прогрессии находим сумму ряда:

9 Нахождение суммы степенных рядов, используя свойства Пример. Найти сумму ряда Ряд является результатом почленного дифференцирования предыдущего ряда: Поэтому по свойству суммы степенного ряда

10 Нахождение суммы степенных рядов, используя свойства Пример 3. Найти сумму ряда. Преобразуем ряд: S... S l l l t dt t S

11 Разложение функции в степенной ряд. Пусть на интервале X функция некоторого степенного ряда с Тогда говорят, что на интервале X функция является суммой разлагается в степенной ряд с центром в точке или по степеням. Вопрос о разложении функции в степенной ряд является одним из важных прикладных вопросов теории степенных рядов.

12 Необходимые условия разложимости функции в степенной ряд. Если функция разлагается в степенной ряд с в некоторой окрестности X точки, то его коэффициенты находятся по формулам Т.е. должна быть бесконечно дифференцируема в точке. с!,,,...

13 Ряд Тейлора Определение. Степенной ряд коэффициентами называется рядом Тейлора для функции в точке, независимо от того, сходится ли он вообще или сходится ли он к данной функции. Коэффициенты с называются коэффициентами Тэйлора. с с!, с,,...

14 Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора. Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет производные любого порядка, которые равномерно ограничены в этой окрестности, т.е. существует такое число M, при котором X для любого натурального в любой точке. Тогда в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора: M!

15 Единственность разложения функции в ряд Тейлора. Если функция в разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

16 Ряд Маклорена Определение. Если и коэффициенты с степенной ряд,!!,,... называется рядом Маклорена для функции.

17 Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.. e si!, ;,! ; 3. os,! ;

18 Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций 4. artg, [ ;] 5. l, ;] 6....!, ;

19 Разложение в ряд Маклорена Пример 4. Зная разложение в степенной ряд элементарных функций, разложить в ряд Маклорена следующие функции:. si si 4 3! 6 5!.... os 3 os 3 6! 4! 8 6!...

20 Разложение в ряд Маклорена 3. si -можно найти коэффициенты ряда по определению, продифференцировав функцию + раз; -можно использовать равенство si / os, затем ряд для os si! 3 4! 4 5 6! 6 _...

21 Разложение в ряд Маклорена 4. -можно найти коэффициенты ряда по определению, продифференцировав функцию + раз; -можно использовать свойство суммы степенного ряда artg d

22 Приложения степенных рядов Степенные ряды используются для: представления неэлементарных функций например, неберущихся интегралов; приближённого вычисления чисел, значений функций и определённых интегралов; 3 приближённого решения алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.

23 Приложения степенных рядов Пример 5. Представить в виде суммы ряда неэлементарную функцию sit Si dt t Рассмотрим функцию si t t, t ;! тогда si t t t!

24 Приложения степенных рядов ;,!!!!! t dt t dt t dt t Si

25 Приложения степенных рядов Пример 6. Вычислить приближённо число е с точностью -3. Используем ряд Маклорена для : e Откуда при х= получаем k, Найдём такой номер k, что оценим остаток e, ;! r k k k! e r k!! 3 k k! k! k r для этого 3! k k 3 k

26 Приложения степенных рядов Искомый номер находим, решая неравенство: r k k k 3! k при k=6 7! k! k k e 6!!! 6!,78

27 Приложения степенных рядов Пример 7. Решить задачу Коши: Решение поставленной задачи y найдено в виде степенного ряда: Т.к. Т.к. y y y y,., y y может быть y, то y, то

28 Приложения степенных рядов Тогда Подставим выражения для и в исходное уравнение: y y y y y

29 Приложения степенных рядов Определим коэффициенты полученного уравнения, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях: !

30 Приложения степенных рядов. 3,,! 3 3 4,, 6! , k k k

31 Приложения степенных рядов Таким образом, искомое решение задачи Коши является суммой следующего степенного ряда: 473 y 3! 3


5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Тема: Ряды в комплексной плоскости

Тема: Ряды в комплексной плоскости Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости Лектор Янущик О.В. 217 г. 9. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция Представление функций рядами Тейлора

Лекция Представление функций рядами Тейлора С А Лавренченко wwwlawreceoru Лекция Представление функций рядами Тейлора Один полезный предел На прошлой лекции была разработана следующая стратегия: по достаточному условию представимости функции рядом

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

Функциональные комплексные ряды

Функциональные комплексные ряды Тема Функциональные комплексные ряды Определение. Если выполняется сразу k, N, N U k G сходящимся в области G., то ряд называется равномерно Достаточным признаком равномерной сходимости ряда является признак

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан SOME APPLICATION OF EXPONENTIAL SERIES Toraeva N.E., Akhmesabyrova

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

4 Ряды аналитических функций

4 Ряды аналитических функций 4 Ряды аналитических функций 4. Функциональные последовательности Пусть Ω C и f n : Ω C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно к функции f : Ω C, если для каждого z Ω lim n f n(z) = f(z).

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Ряд Лорана и его область сходимости. где - фиксированная точка комплексной плоскости, - некоторые комплексные числа. Этот ряд называется рядом Лорана.

Ряд Лорана и его область сходимости. где - фиксированная точка комплексной плоскости, - некоторые комплексные числа. Этот ряд называется рядом Лорана. Тема Ряд Лорана и его область сходимости. Рассмотрим ряд вида n C n n C n n n n C n n где - фиксированная точка комплексной плоскости, - некоторые комплексные числа. C n Этот ряд называется рядом Лорана.

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание

Лекция Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Лекция 3-18. Аналитические функции и их свойства 1 Напоминание Определение 1 Радиусом сходимости степенного ряда an z n (1) называется такое R, что вне круга радиуса R с центром в нуле ряд расходится,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее