Высшая математика для психологов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Высшая математика для психологов"

Транскрипт

1 Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00

2

3 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная алгебра 4 Аффинные действия с векторами 4 Определители -го и -го порядков 0 Координаты вектора 4 Скалярное произведение 5 Векторное и смешанное произведения 5 Глава Линейная алгебра 0 Матрицы и действия с ними 0 Определитель матрицы и его свойства Системы линейных уравнений Глава Аналитическая геометрия 5 Основные формулы аналитической геометрии 5 Фигуры первого порядка 6 Фигуры второго порядка 7 Контрольная работа по аналитической геометрии Контрольная работа по алгебре 7

4 ГЛАВА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АФФИННЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ Связанным вектором называется упорядоченная пара точек (А, В), точка А называется началом, точка В концом Если начало и конец связанного вектора совпадают, то он называется нулевым На рисунке связанный вектор изображается отрезком прямой, соединяющим его начало и конец, со стрелкой у его конца (рис ) Рис Длиной (модулем) связанного вектора называется расстояние между его началом и концом Направлением ненулевого связанного вектора называется направление луча, вершина которого совпадает с началом вектора и который содержит конец вектора Направление нулевого связанного вектора считается произвольным Свободным вектором называется множество всех связанных векторов, длина и направление которых совпадают соответственно с длиной и направлением некоторого связанного вектора Каждый связанный вектор, принадлежащий данному свободному вектору, называется представителем последнего 4

5 Свободные векторы обозначаются буквами,, c, Свободный вектор, содержащий связанный вектор (А, В), обозначается также AB Свободный вектор состоит из бесчисленного множества связанных векторов, причем из каждой точки исходит точно один его представитель Любым его представителем свободный вектор полностью определяется Все нулевые связанные векторы образуют один свободный вектор, который называется нулевым и обозначается 0 На рисунке свободный вектор условно изображается каким-либо его представителем Длиной и направлением свободного вектора называется соответственно длина и направление любого его представителя Длина свободных векторов AB и а обозначается соответственно AB и а или а В дальнейшем свободные векторы называются кратко векторами Признак равенства векторов Два вектора равны тогда и только тогда, когда их длины и направления совпадают Противоположным для вектора а называется вектор той же длины и противоположного направления, обозначается он а Два или большее число векторов называются коллинеарными, если их представители с общим началом лежат на одной прямой Три или большее число векторов называются компланарными, если их представители с общим началом лежат в одной плоскости Коллинеарность, одинаковая направленность и противоположная направленность векторов обозначаются соответственно символами,,, компланарность векторов,, c обозначается символом Ср (,, c) 5

6 Сложение векторов Пусть даны два вектора а и Пусть (О, А) представитель вектора а с началом в точке О, (А, В) представитель вектора с началом в точке А Тогда суммой + будет вектор (рис ): + = OB Чтобы найти сумму n векторов а, а,, а n, нужно взять, во-первых, представитель (О, А ) вектора а с началом в некоторой точке О, во-вторых, представитель (А, А ) вектора а с началом в точке А и т д до последнего вектора а n Тогда вектор, определяемый точкой О и концом взятого представителя а n, будет искомой суммой а +а + +а n (правило многоугольника) На рис показано сложение четырех векторов: u = + + c + d Сумма двух неколлинеарных векторов совпадает с вектором, определяемым диагональю параллелограмма, построенного на представителях слагаемых, как на сторонах (рис ) Сумма трех некомпланарных векторов совпадает с вектором, определяемым диагональю параллелепипеда, построенного на представителях слагаемых, как на ребрах Длина суммы векторов не больше суммы длин слагаемых Рис Рис 6

7 Операция сложения обладает свойствами: ) переместительности (коммутативности) + = + ; ) сочетательности (ассоциативности) (+)+c=+(+c); ) а+0=а; а+( а)=0 Вычитание векторов Вычитание действие, обратное сложению Разностью векторов и называется такой вектор х, который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор : x+= Разность совпадает с суммой +( ), то есть =+( ) Геометрически разность находиться так: для векторов и берутся их представители (О, А) и (О, В) с общим началом О, тогда = BA (рис 4) Рис 4 Умножение вектора на число Произведением λа (или аλ) вектора а 0 на число λ 0 называется новый вектор с, такой, что: ) длина вектора с равна произведению длины вектора а на абсолютную величину числа λ: с = а λ ; ) направление вектора с совпадает с направлением вектора а, если λ положительное число, или противоположно ему, если λ число отрицательное: с а, если λ>0; с а, если λ<0 Если а=0 или λ=0, то произведение λа=0 7

8 Операция умножения вектора на число обладает свойствами: ) сочетательности относительно числового множителя: μ (λ ) = (μ λ) ; ) распределительности относительно суммы векторов: λ ( + ) = λ + λ; ) распределительности относительно суммы чисел: (λ + μ) = λ + μ; 4) из равенства аλ=0 следует а=0 или λ=0 Признак коллинеарности векторов Для того чтобы два вектора и 0 были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы а = λ Линейная комбинация векторов Вектор u называется линейной комбинацией векторов а, а,, а n, если его можно представить следующим образом: u = α а + α а + +α n а n, где α, α,, α n действительные числа, которые называются коэффициентами линейной комбинации Векторы а, а,, а n называются линейно зависимыми, если существуют числа α, α,, α n, одновременно не равные нулю и такие, что α а + α а + +α n а n = 0 Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы Деление вектора на число Частным = λ λ от деления вектора а на число λ 0 называется вектор х, произведение которого на делитель λ дает делимый вектор λx = Частное совпадает с произведением : λ λ 8

9 λ = λ Длина частного λ равна частному от деления длины вектора а на абсолютную величину числа λ: =, λ λ а направление частного λ совпадает с направлением вектора а, если λ положительное число, или противоположно ему, если λ число отрицательное Деление вектора на число обладает свойствами: ) + = + (распределительность), λ λ λ α ) α =, α = (сочетательность) λ λ μ μα Ортом а ненулевого вектора а называется вектор, длина которого равна единице, одинаково направленный с а Справедлива формула o = Деление вектора на вектор Операция деления вектора на вектор возможна только для коллинеарных векторов Частным c = c от деления вектора с на коллинеарный ему вектор а 0 называется число х, произведение которого с делителем а дает делимый вектор c x = c Частное от деления коллинеарных векторов равно частному от деления их длин, взятому со знаком «+» или, 9

10 в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы: c c c = +, если с а, c =, если с а Деление коллинеарных векторов обладает свойствами: λ ) = λ, μ = (сочетательность), c c c μ c ) + = c c + c (распределительность) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Матрицей второго (третьего) порядка называется таблица вида: A = i где символы j являются числами или функциями и называются элементами матрицы Каждой матрице А ставится в соответствие число det А, называемое ее определителем го или го порядка (в зависимости от порядка матрицы) и определяемое равенством:, 0

11 = det det = =, = + + Для вычисления определителя третьего порядка удобно использовать правило треугольника, описываемое следующей схемой (рис ) = Рис КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов (е, е ) Координатами вектора а на плоскости относительно базиса (е, е ) называются коэффициенты разложения вектора а по базисным векторам, то есть числа а и а такие, что = а е + а е То, что вектор а имеет координаты а, а, записывается так:

12 а(а, а ) или а = {а, а } Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов (е, е, е ) Координатами вектора а в пространстве относительно базиса (е, е, е ) называются коэффициенты разложения вектора а по базисным векторам е, е, е, то есть числа а, а, а такие, что а = а е + а е + а е Базис на плоскости и в пространстве, образованный единичными попарно взаимно перпендикулярными векторами, называется ортонормированным Базисные векторы обозначаются: i, j в случае плоскости и i, j, k в случае пространства Координаты вектора а относительно ортонормированного базиса называются ортонормированными и обозначаются а х, а у для вектора плоскости и а x, а y, а z для вектора в пространстве Справедливы следующие формулы: а х = cos i, аy = а cos j, аz = а cos k Если вектор u является линейной комбинацией векторов,,, m с коэффициентами α, β,, μ, то каждая координата вектора u является линейной комбинацией соответствующих координат векторов,,, m с теми же коэффициентами и обратно, то есть u = α + β + + μm равносильно тому, что u = α + β + + μm, u = α + β + + μm, u = α + β + + μm В частности, если u = ±, то

13 u = ±, u = ±, u = ± и обратно; если u = α, то u = α, u = α, u = α и обратно Два ненулевых вектора на плоскости и в пространстве коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответственные координаты пропорциональны Три вектора в пространстве, и c компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю: c c c = 0 4 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и называется число, равное произведению длин перемножаемых векторов и косинуса угла между ними: = cosˆ ; если а=0 или =0, то полагают =0 Скалярное произведение обладает следующими свойствами Скалярное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда сомножители взаимно перпендикулярны Скалярное произведение положительно, если угол между сомножителями острый, и отрицательно, если этот угол тупой

14 Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: = 4 Скалярное произведение переместительно: =, сочетательно относительно числового множителя: (λ а) = λ ( ) и распределительно: ( + ) c = c + c 5 Для ортонормированного базиса ( i j, k) произведение выражается формулой в частности = + +, x x x y y y = + + z z z, скалярное Скалярное произведение применяется: а) для выражение условия перпендикулярности векторов: равносильно =0, б) для вычисления длины вектора: длина вектора есть корень квадратный из скалярного квадрата вектора: =, в) для вычисления угла между векторами: cos = 4

15 5 ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Базис (е, е, е ) в пространстве называется положительно ориентированным, короче положительным (правым), если для представителей векторов с общим началом направление кратчайшего вращения от представителя вектора е к представителю вектора е (при условии, что смотрят с конца представителя вектора е ) противоположно направлению вращения часовой стрелки (рис 5, а) В противном случае базис (е, е, е ) называется отрицательно ориентированным, короче отрицательным (левым) (рис 5, б) а Рис 5 б При транспозиции двух векторов базиса его ориентация меняется на противоположную Базис (а, а, а ) одинаково (противоположно) ориентирован с базисом (е, е, е ) тогда и только тогда, когда 5

16 определитель, составленный из координат векторов первого базиса относительно второго, положителен (отрицателен) Пространство с выделенным классом положительных базисов называется ориентированным Векторным произведением [ ] двух неколлинеарных векторов а и называется новый вектор, который удовлетворяет трем условиям: а) длина его равна произведению длин перемножаемых векторов и синуса угла между ними: [ ] = sin, б) векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям: [ ] и [ ], в) базис (,, [ ]) положительный Если и коллинеарны, то полагают [ ] = 0 Свойства векторного произведения: Векторное произведение обращается в нуль только тогда, когда сомножители коллинеарны Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на представителях сомножителей с общим началом, как на сторонах: [ ] = S пар-ма Векторное произведение антипереместительно: [ ] = [ ], сочетательно относительно числового сомножителя: λ [ ] = [(λ) ] = [ (λ)] и распределительно: [(+) c] = [ c]+[ c], [ (+c)] = [ ] + [ c] 6

17 4 Если векторы и заданы координатами относительно положительного ортонормированного базиса а(а х, а у, а z ) и ( x, y, z ), то [ ] и y y z z [ ] =, x z x z y y x x, x x i j k z z y y 5 Двойные векторные произведения [ [ c]] и [[ ] c] выражаются равенствами: [ [ c]] = ( c) c ( ) и [[ ] c] = ( c) ( c) В геометрии векторное произведение применяется: а) для выражения условия коллинеарности двух векторов: равносильно [ ] = 0; б) для вычисления площади треугольника, двумя сторонами которого являются представители векторов и : S Δ = [ ] ; в) для вычисления синуса угла между векторами: sin = [ ] В механике векторное произведение применяется для вычисления момента М силы F относительно точки: M = [r F], где r радиус-вектор точки приложения с полюсом в данной точке 7

18 Смешанным произведением c трех векторов, и с называется число, равное скалярному произведению двух векторов: векторного произведения первых двух сомножителей [ ] и третьего вектора с: c = [ ] c Свойства смешанного произведения: Смешанное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда сомножители компланарны Смешанное произведение положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда сомножители образуют положительный (отрицательный) базис, то есть c > 0 равносильно тому, что базис (,, c) положительный и c < 0 равносильно тому, что (,, c) отрицательный Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда, построенного на представителях сомножителей с общим началом, как на ребрах: c = V пар-да 4 Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке сомножителей: c = c = c; оно меняет знак при перестановке двух сомножителей: c = c; сочетательно относительно числового сомножителя: λ(c) = (λ)c = (λ)c = (λc); распределительно: ( + )c = c+ c; ( + )c = = c+ c и (c +c ) = c+ c 5 В случае положительного ортонормированного базиса: 8

19 c = c x x x В геометрии смешанное произведение применяется: а) для выражения условия компланарности трех векторов: Cp (,, c) равносильно c = 0; б) для вычисления объема тетраэдра, ребрами которого, выходящими из его общей вершины, служат представители векторов, и с: V T = c 6 c y y y c z z z 9

20 ГЛАВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ Матрицей размера m n, где m и n натуральные числа, называется прямоугольная таблица вида n n n n n n () i где j элементы матрицы Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n Матрица называется ступенчатой, если ниже и левее первого отличного от нуля элемента строки матрицы стоят нулевые элементы Например: 0 4 A = () Число отличных от нуля строк ступенчатой матрицы называется ее рангом Ранг матрицы () равен : rnk A = Матрицы одного размера можно складывать, умножать на число Если A = i j и одного размера, то определена матрица С = А + В Элементы матрицы С находятся по формуле i j i j i j B = i j матрицы C = + () 0

21 Элементы матрицы D = λ A определяются равенством: d i j i j = λ (4) Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, то их произведение С = А В находится по формуле i c = (5) i j k k k j ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ И ЕГО СВОЙСТВА Понятие определителя квадратной матрицы вводится методом индукции Если определитель матрицы порядка К определен, то определитель матрицы порядка К+ находится по формуле: i i i i i i A A + A + + k + Ak det = K +, () i где A j определитель матрицы, которая получается из данной вычеркиванием из нее i-той строки и j-того столбца, умножением на (-) i+j В формуле () величина i называется алгебраическим дополнением элемента j Значение det A не зависит от выбора строки (столбца), элементы которой (которого) участвуют в равенстве () Свойства определителя следующий i A j

22 Если в определителе поменять местами два столбца (две строки), то от этого знак определителя изменится на противоположный Если у элементов некоторого столбца (строки) определителя есть общий числовой множитель λ, то этот множитель можно вынести за знак определителя Если элементы k-ого столбца (k-ой строки) определителя есть суммы двух слагаемых, то такой определитель распадается на сумму двух определителей того же порядка, у которых в k-ом столбце (k-ой строке) соответствующие слагаемые, а остальные столбцы (строки) те же, что и в исходном определителе 4 Если в определителе один из столбцов (одна из строк) есть линейная комбинация остальных, то такой определитель равен нулю 5 Если к некоторому столбцу (строке) определителя прибавить линейную комбинацию других столбцов (других строк), то от этого определитель не изменится 6 Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей матриц-сомножителей: det ( A B) = det A det B

23 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Существуют три вида элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы A = i j : Перемена местами строк (столбцов) матрицы; Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число; Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду Рангом матрицы называется ранг соответствующей ступенчатой матрицы Всякой системе m линейных уравнений с n неизвестными x + + n xn m m x + + n x соответствует матрица системы m n m n = n = m и расширенная матрица системы m n m n m Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение

24 Теорема Кронекера Капелли Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы совпадали, то есть: ( A B) rnka rnk = Теорема Совместная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы равен числу неизвестных Квадратная матрица А называется вырожденной (невырожденной), если det A = 0 (det A 0) Если А невырожденная матрица, то существует единственная матрица А такая, что A A = A A = E, где E = единичная матрица Матрица 0 A = i j называется обратной матрицей, если ее элементы находятся по формуле i A j = deti A Обратные матрицы используются при нахождении матричного уравнения A X = B ( X A = B) Неизвестная матрица Х находится по формуле X = A B ( X = B A ) j 4

25 ГЛАВА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве) определена парой (0, (i, j)) ((0, (i, j, k ))) и представляет собой отображение, которое каждой точке М ставит в соответствие координаты ее радиус-вектора v M =OM относительно базиса (i, j) ((i, j, k )) OM = x i +y j+z k К основным формулам аналитической геометрии относятся следующие: Выражение координат вектора через координаты его начала и конца: AB (х х, у у, z z ), где А(x, y, z ), B(x, y, z ) Расстояние между двумя точками: x) + ( y y) + ( z ) AB = ( x z ; 5

26 Площадь треугольника с вершинами А(x, y, z ), B(x, y, z ), C(x, y, z ): yb y A zb za S ΔABC = [ AB AC] = + y y z z C A C A xb xa zb za xb xa yb y A + + x x z z x x y y C C A A C C A A ФИГУРЫ -ГО ПОРЯДКА Фигура Ф, определяемая уравнением F(x, y, z), называется алгебраической фигурой порядка Р, если F(x, y, z) многочлен степени Р Порядок фигуры не зависит от выбора системы координат Множество фигур -го порядка на плоскости совпадает с множеством прямых: всякую прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ax + By + C = 0 (A + B 0) () И, обратно, всякое уравнение () определяет прямую Основные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение: l: Ax + By + C = 0 (A + B 0) Геометрический смысл коэффициентов А, В: n(a, B) l Вектор n называется нормальным вектором Каноническое уравнение: x x0 y y 0 l: = () 6

27 Вектор (а, а ) l и называется направляющим вектором прямой l, (x 0, y 0 ) l Параметрическое уравнение: x = x 0 + t () y = y 0 + t 4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом: l: y = kx +, (4) где k тангенс угла наклона прямой l к оси OX ФИГУРЫ -ГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра) Если r радиус окружности, C(, ) ее центр, то уравнение окружности имеет вид (x ) + (y ) = r Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (ее обозначают через ), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами Если поместить фокусы эллипса в точках F (-c, 0) и F (c, 0) (рис ), то получим каноническое уравнение эллипса x + y =, 7

28 где большая, малая полуось эллипса, причем,, c связаны соотношением = + c Рис Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом c e = Расстояния некоторой точки M(x, y) эллипса от фокусов (фокальные расстояния) определяются формулами r = + ex и r = ex В силу определения эллипса для любой его точки r + r = Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями x = ± e Гипербола есть геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина (ее обозначают через а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами 8

29 Если поместить фокусы гиперболы в точках F (-c, 0) и F (c, 0) (рис ), то получим каноническое уравнение гиперболы x y =, где действительная, мнимая полуось Рис Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y = ± x На этих прямых лежат диагонали характеристического прямоугольника, основание которого равно а, высота, а центр находиться в начале координат Отношение гиперболы c e = называется эксцентриситетом 9

30 Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями x = ± e Фокальные радиусы правой ветви гиперболы r =ex, r =ex+ Очевидно, r r = Фокальные радиусы левой ветви гиперболы r =-ex+, r =-ex Очевидно, r r = Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы) p Если директрисой параболы является прямая x =, фокусом точка F ( p,0) (рис ), то каноническое уравнение параболы имеет вид y = px Рис Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс При p>0 парабола обращается в положительную сторону оси, а при p<0 в отрицательную 0

31 p Фокальный радиус вычисляется по формуле r = x +

32 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ номер варианта (совпадает с номером в списке группы) На плоскости относительно некоторого базиса даны координаты трех векторов: r + 4 r 4 r 0 при четном: ;, ;, c ;; r + 7 r 5 r при нечетном: ;, ;, c ; r r r r r r ) Найти координаты векторов + c ; + c ) Проверить, что векторы r и r образуют базис на плоскости Найти координаты вектора c r в этом базисе ) Определить, при каком значении параметра α векторы r и m r (, α) будут коллинеарными r rr r r r 4) Найти координаты вектора ( c) c( ) r r r r r r r 5) Вычислить c, + ( + c) 6) Найти косинус угла между векторами r и r В пространстве относительно некоторого базиса даны координаты трех векторов: r 4 r + 4 r + 6 при четном: ; ;, ; ;, c, ; ; при нечетном: r + 7 r 5 r + ; ;, ; ;4, c; ;5

33 r r r ) Найти координаты вектора + 5 c r rr ) Найти координаты вектора ( c) r ) Вычислить r rr + c 4) Найти косинус угла между векторами r и r r 5) Найти [ r r ], [ r r ],[[ r r r r r r ] c],[ [ c]], r r c На плоскости относительно декартовой системы координат даны координаты трех точек: при четном: при нечетном: Найти: A ;, В ;4, С ;7; A ;, В4;, С; ) координаты вектора CA; ) координаты точек M, M, M, делящих отрезки AB, BC, AC в отношениях λ =, λ =, λ =, соответственно; ) координаты центра тяжести треугольника ABC; 4) длину отрезка AB; 5) площадь треугольника ABC; 6) угол B 4 Относительно декартовой системы координат даны координаты вершин треугольника: при четном: A ;7, В ;, С ; ;

34 + + 7 при нечетном: A ;, В 5;, С ; Составить уравнения: ) трех его сторон; ) медианы, проведенной из вершины С; ) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС 5 Относительно декартовой системы координат даны координаты точки: при четном : + A ; ; + 5 при нечетном: A ; Найти: ) угловой коэффициент прямой l, проходящей через точку А параллельно вектору (; ); ) уравнение прямой l, проходящей через точку А под углом π 4 к прямой l ; ) уравнение прямой l, проходящей через точку А и отсекающей на осях координат равные отрезки; 4) косинус угла между прямыми lи l ; 5) уравнения прямых l 4 и l 4, проходящих через начало координат параллельно прямой l ; 6) расстояние между прямыми l и l 4 ; 7) координаты точки В пересечения прямых l и l 4 ; 8) расстояние от точки В до прямой l 4

35 6 В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение Составить это уравнение, зная, что расстояние между фокусами равно c, большая полуось равна : + при четном: c =, = ; при нечетном: c =, = Найти: ) эксцентриситет эллипса; ) уравнения директрис; ) расстояние от правого фокуса до ближайшей директрисы 7 В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение Составить это уравнение, зная, что расстояние между фокусами равно c, большая полуось равна : + 4 при - четном: c =, = ; + + при нечетном: c =, = Найти: ) эксцентриситет гиперболы; ) уравнения директрис; ) уравнения асимптот; 4) длину отрезка асимптоты гиперболы, заключенного между ее центром и директрисой; 5) расстояния от фокусов гиперболы до ее асимптот; 5

36 6) уравнение сопряженной гиперболы; ее эксцентриситет, уравнения директрис 8 В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение Составить это уравнение, зная, что расстояние от фокуса до директрисы равно Найти: ) координаты фокуса; ) уравнение директрисы; ) координаты точек пересечения параболы с окружностью x + y = 6

37 7 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО АЛГЕБРЕ Даны матрицы А, В, С и числа α, β Вычислить α(а+в) βс, если = 0 A, = B, α =, β = + Вычислить А+В, αа, АВ, ВА, если = 0 A, = 0 B, α = + Вычислить произведение матриц ) ( ), ) , ) Вычислить определители второго порядка: ) + +, ) + 5 Вычислить определитель третьего порядка:

38 8 ) 5, ) 0 6 Разложить определитель по элементам: ) третьей строки 0 5 d c, ) второго столбца 0 d c 7 Вычислить обратную для следующей матрицы Решить матричные уравнения: ) А Х=С, если = 5 A, = C ) Х В=C, если + = 0 B, = C Исследовать систему линейных уравнений: х -х +х +4х 4 =5 4х -х +5х +6х 4 =7 6х -х +5х +6х 4 =7 х -4х +9х +0х 4 = 0 Привести матрицу к ступенчатому виду: 4 0 5

39 Вычислить ранг матрицы


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Ответы. Ответы к задаче 1

Ответы. Ответы к задаче 1 Ответы Ответы к задаче Три Три x, x, x ; ; ; свободные члены системы не содержат неизвестных и записываются обычно в правых частях уравнений 5 Уравнения называют линейными, если они представляют собой

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию Определители Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Федеральное агентство по образованию. Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к контрольной работе Составитель ЛИ Цепилевич

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ОГ Илларионова, ЕА Жукова, ПН Бондарчук МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Москв Москва - 05 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее