IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
|
|
|
- Святослав Голубец
- 2 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства. 4. Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл. 5. Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. плоскости. 6. Плоскость: Уравнение плоскости. 7. Расстояние от точки до плоскости. 8. Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и Теоретические упражнения 1. Пусть векторы a и b не коллинеарны и AB a 2, BC 4a b CD 4b, DA a b. Найти и и доказать коллинеарность векторов BC и DA 2. Разложить вектор s a b c по трем некомпланарным векторам m a b 2c, n a b, p 2b 3c. 3. Найти угол между единичными векторами e 1 и e 2, если известно, что векторы a e1 2e 2 и b 5e1 4e 2 взаимно перпендикулярны. 4. Доказать компланарность векторов a, b и c зная, что ab bc ca Доказать, что уравнение плоскости; проходящей через точки,, x y z и x2, y2, z 2 перпендикулярно плоскости Ax By Cz D 0, можно записать в виде,.
2 x x y y z z x x y y z z A B C 6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые можно записать в виде x x1 y y1 z z1 и l m n x x y y z z l m n l m n x x y y z z l m n Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку x, y, z параллельно плоскостям A1 x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2z D2 0 можно записать в виде прямых x x1 y y1 z z1 B C A C A B B C A C A B Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух x x1 y y1 z z1 и l m n одной плоскости является выполнение равенства x x y y z z l m n l m n x x y y z z l m n Доказать, что расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и имеющей направляющий вектор S, определяется формулой d, AB S S...
3 10. Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки A x y z и,, 1, 1, 1 B x2 y2 z 2. Их направляющие векторы 1 S и S 2 известны. Доказать, что расстояние между ними определяется формулой d S S AB S S Расчетные задания Задача 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r x p q r 2, 4, 7, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, x p q r 6, 12, 1, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 0, 1, x p q r 1, 4, 4, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, x p q r 9, 5, 5, 4, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, x p q r 5, 5, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 4, x p q r 13, 2, 7, 5, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 0, x p q r 19, 1, 7, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, x p q r 3, 3, 4, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 1, x p q r 3, 3, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, x p q r 1, 7, 4, 1, 2, 1, 2, 0, 3, 1, 1, x p q r 6, 5, 14, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 2, 1, x p q r 6, 1, 7, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, x p q r 5, 15, 0, 1, 0, 5, 1, 3, 2, 0, 1, 1.
4 1.14. x p q r 2, 1, 11, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, x p q r 11, 5, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 5, x p q r 8, 0, 5, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 4, 1, x p q r 3, 1, 8, 0, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 0, x p q r 8, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 1, x p q r 9, 8, 3, 1, 4, 1, 3, 2, 0, 1, 1, x p q r 5, 9, 13, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 1, x p q r 15, 5, 6, 0, 5, 1, 3, 2, 1, 1, 1, x p q r 8, 9, 4, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 3, x p q r 23, 14, 30, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2, x p q r 3, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 4, 2, x p q r 1, 7, 0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, x p q r 11, 1, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, x p q r 13, 2, 18, 1, 1, 4, 3, 0, 2, 1, 2, x p q r 0, 8, 9, 0, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 0, x p q r 8, 7, 13, 0, 1, 5, 3, 1, 2, 1, 0, x p q r 2, 7, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 3, x p q r 15, 20, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 5, 3, 2. Задача 2. Коллинеарны ли векторы c 1 и c 2, построенные по векторам a и b?
5 a 1, 2, 3, b 3, 0, 1, c 2a 4 b, c 3 b a a 1, 0, 1, b 2, 3, 5, c a 2 b, c 3 a b a 2, 4, 1, b 1, 2, 7, c 5a 3 b, c 2 a b a 1, 2, 3, b 2, 1, 1, c 4a 3 b, c 8 a b a 3, 5, 4, b 5, 9, 7, c 2 a b, c 3a 2 b a 1, 4, 2, b 1, 1, 1, c a b, c 4a 2 b a 1, 2, 5, b 3, 1, 0, c 4a 2 b, c b 2 a a 3, 4, 1, b 2, 1, 1, c 6a 3 b, c b 2 a a 2, 3, 2, b 1, 0, 5, c 3a 9 b, c a 3 b a 1, 4, 2, b 3, 2, 6, c 2 a b, c 3b 6 a a 5, 0, 1, b 7, 2, 3, c 2 a b, c 3b 6 a a 0, 3, 2, b 1, 2, 1, c 5a 2 b, c 3a 5 b a 2, 7, 1, b 3, 5, 2, c 2a 3 b, c 3a 2 b a 3, 7, 0, b 1, 3, 4, c 4a 2 b, c b 2 a a 1, 2, 1, b 2, 7, 1, c 6a 2 b, c b 3 a a 7, 9, 2, b 5, 4, 3, c 4 a b, c 4 b a a 5, 0, 2, b 6, 4, 3, c 5a 3 b, c 6b 10 a a 8, 3, 1, b 4, 1, 3, c 2 a b, c 2b 4 a a 3, 1, 6, b 5, 7, 10, c 4a 2 b, c b 2 a
6 a 1, 2, 4, b 7, 3, 5, c 6a 3 b, c b 2 a a 3, 7, 0, b 4, 6, 1, c 3a 2 b, c 5a 7 b a 2, 1, 4, b 3, 7, 6, c 2a 3 b, c 3a 2 b a 5, 1, 2, b 6, 0, 7, c 3a 2 b, c 4b 6 a a 9, 5, 3, b 7, 1, 2, c 2 a b, c 3a 5 b a 4, 2, 9, b 0, 1, 3, c 4b 3 a, c 4a 3 b a 2, 1, 6, b 1, 3, 8, c 5a 2 b, c 2a 5 b a 5, 0, 8, b 3, 1, 7, c 3a 4 b, c 12b 9 a a 1, 3, 4, b 2, 1, 0, c 6a 2 b, c b 3 a a 4, 2, 7, b 5, 0, 3, c a 3 b, c 6b 2 a a 2, 0, 5, b 1, 3, 4, c 2a 5 b, c 5a 2 b a 1, 2, 8, b 3, 7, 1, c 4a 3 b, c 9b 12 a Задача 3. Найти косинус угла между векторами AB 3.1. A B C 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5. и AC A B C 0, 3, 6, 12, 3, 3, 9, 3, A B C 3, 3, 1, 5, 5, 2, 4, 1, A B C 1, 2, 3, 3, 4, 6, 1, 1, A B C 4, 2, 0, 1, 2, 4, 3, 2, A B C 5, 3, 1, 5, 2, 0, 6, 4, 1.
7 3.7. A B C 3, 7, 5, 0, 1, 2, 2, 3, A B C 2, 4, 6, 0, 2, 4, 6, 8, A B C 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, A B C 3, 3, 1, 1, 5, 2, 4, 1, A B C 2, 1, 1, 6, 1, 4, 4, 2, A B C 1, 2, 1, 4, 2, 5, 8, 2, A B C 6, 2, 3, 6, 3, 2, 7, 3, A B C 0, 0, 4, 3, 6, 1, 5, 10, A B C 2, 8, 1, 4, 6, 0, 2, 5, A B C 3, 6, 9, 0, 3, 6, 9, 12, A B C 0, 2, 4, 8, 2, 2, 6, 2, A B C 3, 3, 1, 5, 1, 2, 4, 1, A B C 4, 3, 0, 0, 1, 3, 2, 4, A B C 1, 1, 0, 2, 1, 4, 8, 1, A7, 0, 2, B7, 1, 3, C 8, 1, A B C 2, 3, 2, 1, 3, 1, 3, 7, A2, 2, 7, B0, 0, 6, C 2, 5, A B C 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, A B C 0, 3, 6, 9, 3, 6, 12, 3, 3.
8 3.26. A B C 3, 3, 1, 5, 1, 2, 4, 1, A B C 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 0, A B C 1, 4, 1, 2, 4, 5, 8, 4, A0, 1, 0, B0, 2, 1, C 1, 2, A B C 4, 0, 4, 1, 6, 7, 1, 10, A B C 2, 4, 6, 0, 2, 4, 6, 8, 10. Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b a p q b p q p q p q 2, 2 ; 1, 2, a p q b p q p q p q 3, 2 ; 4, 1, a p q b p q p q p q 3, 2 ; 1 5, 1, a p q b p q p q p q 3 2, 5 ; 4, 1 2, a p q b p q p q p q 2, 2 ; 2, 3, a p q b p q p q p q 3, 2 ; 2, 3, a p q b p q p q p q 2, 3 ; 3, 2, a p q b p q p q p q 4, ; 7, 2, a p q b p q p q p q 4, 3 ; 1, 2, a p q b p q p q p q 4, 2 ; 7, 2, 3.
9 4.11. a p q b p q p q p q 3 2, ; 10, 1, a p q b p q p q p q 4, 2 ; 5, 4, a p q b p q p q p q 2 3, 2 ; 6, 7, a p q b p q p q p q 3, 2 ; 3, 4, a p q b p q p q p q 2 3, 2 ; 2, 3, a p q b p q p q p q 2 3, 3 ; 4, 1, a p q b p q p q p q 5, 3 ; 1, 2, a p q b p q p q p q 7 2, 3 ; 1 2, 2, a p q b p q p q p q 6, ; 3, 4, a p q b p q p q p q 10, 3 2 ; 4, 1, a p q b p q p q p q 6, 2 ; 8, 1 2, a p q b q p p q p q 3 4, ; 2,5, 2, a p q b p q p q p q 7, 3 ; 3, 1, a p q b p q p q p q 3, 3 ; 3, 5, a p q b p q p q p q 3, 3 ; 7, 2, a p q b p q p q p q 5, ; 5, 3, a p q b p q p q p q 3 4, 3 ; 2, 3, 4.
10 4.28. a p q b q p p q p q 6, 5 ; 1 2, 4, a p q b p q p q p q 2 3, 2 ; 2, 1, a p q b p q p q p q 2 3, 5 ; 2, 3, a p q b p q p q p q 3 2, 2 ; 4, 3, 3 4. Задача 5. Компланарны ли векторы a, b и c? 5.1. a b c 2, 3, 1, 1, 0, 1, 2, 2, a b c 3, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, a b c 1, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 1, a b c 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 3, a b c 3, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, a b c 3, 1, 1, 2, 1, 0, 5, 2, a b c 4, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, a b c 4, 3, 1, 6, 7, 4, 2, 0, a b c 3, 2, 1, 1, 3, 7, 1, 2, a b c 3, 7, 2, 2, 0, 1, 2, 2, a b c 1, 2, 6, 1, 0, 1, 2, 6, a b c 6, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, a b c 7, 3, 4, 1, 2, 1, 4, 2, 4.
11 5.14. a b c 2, 3, 2, 4, 7, 5, 2, 0, a b c 5, 3, 4, 1, 0, 1, 4, 2, a b c 3, 10, 5, 2, 2, 3, 2, 4, a b c 2, 4, 3, 4, 3, 1, 6, 7, a b c 3, 1, 1, 1, 0, 1, 8, 3, a b c 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 1, a b c 4, 1, 2, 9, 2, 5, 1, 1, a b c 5, 3, 4, 4, 3, 3, 9, 5, a b c 3, 4, 2, 1, 1, 0, 8, 11, a b c 4, 1, 6, 1, 3, 7, 2, 1, a b c 3, 1, 0, 5, 4, 5, 4, 2, a b c 3, 0, 3, 8, 1, 6, 1, 1, a b c 1, 1, 4, 1, 0, 3, 1, 3, a b c 6, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, a b c 4, 1, 1, 9, 4, 9, 6, 2, a b c 3, 3, 3, 4, 7, 6, 3, 0, a b c 7, 10, 5, 0, 2, 1, 2, 4, a b c 7, 4, 6, 2, 1, 1, 19, 11, 17.
12 Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A 4 и его высоту, опущенную из вершины A 4 на грань A1 A2 A A A A A 1, 3, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 4, 6, A A A A 4, 2, 6, 2, 3, 0, 10, 5, 8, 5, 2, A A A A 7, 2, 4, 7, 1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, A A A A 2, 1, 4, 1, 5, 2, 7, 3, 2, 6, 3, A A A A 1, 5, 2, 6, 0, 3, 3, 6, 3, 10, 6, A A A A 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 9, 1, 6, A A A A 5, 2, 0, 2, 5, 0, 1, 2, 4, 1, 1, A A A A 2, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 0, 6, 10, 9, A A A A 2, 0, 4, 1, 7, 1, 4, 8, 4, 1, 4, A A A A 14, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 6, 3, 2, 2, A A A A 1, 2, 0, 3, 0, 3, 5, 2, 6, 8, 4, A A A A 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, A A A A 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 0, A A A A 2, 3, 1, 4, 1, 2, 6, 3, 7, 7, 5, A A A A 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 5, 9, A A A A 1, 5, 7, 3, 6, 3, 2, 7, 3, 4, 8, A A A A 3, 4, 7, 1, 5, 4, 5, 2, 0, 2, 5, 4.
13 6.18. A A A A 1, 2, 3, 4, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 4, A A A A 4, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 5, 1, 3, 2, A A A A 1, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 2, A A A A 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 0, A A A A 1, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, A A A A 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 6, 0, 5, A A A A 3, 10, 1, 2, 3, 5, 6, 0, 3, 1, 1, A A A A 1, 2, 4, 1, 2, 4, 3, 0, 1, 7, 3, A A A A 0, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 1, A A A A 1, 3, 0, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 3, A A A A 2, 1, 1, 0, 3, 2, 3, 1, 4, 4, 7, A A A A 3, 5, 6, 2, 1, 4, 0, 3, 1, 5, 2, A A A A 2, 4, 3, 5, 6, 0, 1, 3, 3, 10, 8, A A A A 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 6, 3, 8. Задача 7. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M1, M 2, M M M M M 3, 4, 7, 1, 5, 4, 5, 2, 0, 12, 7, M M M M 1, 2, 3, 4, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 6, M M M M 3, 1, 1, 9, 1, 2, 3, 5, 4, 7, 0, 1.
14 7.4. M M M M 1, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 4, M M M M 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, M M M M 1, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 5, 9, M M M M 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 6, 3, 2, M M M M 3, 10, 1, 2, 3, 5, 6, 0, 3, 6, 7, M M M M 1, 2, 4, 1, 2, 4, 3, 0, 1, 2, 3, M M M M 0, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 5, 3, 4, M M M M 1, 3, 0, 4, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 3, M M M M 2, 1, 1, 0, 3, 2, 3, 1, 4, 21, 20, M M M M 3, 5, 6, 2, 1, 4, 0, 3, 1, 3, 6, M M M M 2, 4, 3, 5, 6, 0, 1, 3, 3, 2, 10, M M M M 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 2, M M M M 1, 3, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 5, 4, M M M M 4, 2, 6, 2, 3, 0, 10, 5, 8, 12, 1, M M M M 7, 2, 4, 7, 1, 2, 5, 2, 1, 10, 1, M M M M 2, 1, 4, 3, 5, 2, 7, 3, 2, 3, 1, M M M M 1, 5, 2, 6, 0, 3, 3, 6, 3, 10, 8, M M M M 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 5, 9, 4, 13, M M M M 5, 2, 0, 2, 5, 0, 1, 2, 4, 3, 6, 8.
15 7.23. M M M M 2, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 0, 6, 14, 3, M M M M 2, 0, 4, 1, 7, 1, 4, 8, 4, 6, 5, M M M M 14, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 6, 3, 1, 8, M M M M 1, 2, 0, 3, 0, 3, 5, 2, 6, 13, 8, M M M M 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 5, 3, M M M M 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 2, 3, M M M M 2, 3, 1, 4, 1, 2, 6, 3, 7, 5, 4, M M M M 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 3, 7, M M M M 1, 5, 7, 3, 6, 3, 2, 7, 3, 1, 1, 2. Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A. перпендикулярно вектору BC 8.1. A B C 1, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 3, A B C 1, 3, 4, 1, 5, 0, 2, 6, A B C 4, 2, 0, 1, 1, 5, 2, 1, A B C 8, 0, 7, 3, 2, 4, 1, 4, A B C 7, 5, 1, 5, 1, 3, 3, 0, A B C 3, 5, 2, 4, 0, 3, 3, 2, A B C 1, 1, 8, 4, 3, 10, 1, 1, A B C 2, 0, 5, 2, 7, 3, 1, 10, 1.
16 8.9. A B C 1, 9, 4, 5, 7, 1, 3, 5, A B C 7, 0, 3, 1, 5, 4, 2, 3, A B C 0, 3, 5, 7, 2, 6, 3, 2, A B C 5, 1, 2, 2, 4, 3, 4, 1, A B C 3, 7, 2, 3, 5, 1, 4, 5, A B C 0, 2, 8, 4, 3, 2, 1, 4, A B C 1, 1, 5, 0, 7, 8, 1, 3, A B C 10, 0, 9, 12, 4, 11, 8, 5, A B C 3, 3, 6, 1, 9, 5, 6, 6, A2, 1, 7, B9, 0, 2, C 9, 2, A B C 7, 1, 4, 8, 11, 3, 9, 9, A B C 1, 0, 6, 7, 2, 1, 9, 6, A B C 3, 1, 0, 6, 3, 3, 9, 4, A B C 4, 2, 5, 3, 3, 7, 9, 3, A B C 0, 8, 10, 5, 5, 7, 8, 0, A B C 1, 5, 2, 6, 2, 1, 2, 2, A B C 0, 7, 9, 1, 8, 11, 4, 3, A B C 3, 1, 7, 0, 2, 6, 2, 3, A B C 5, 3, 1, 0, 0, 3, 5, 1, 0.
17 8.28. A B C 1, 2, 2, 13, 14, 1, 14, 15, A B C 7, 5, 0, 8, 3, 1, 8, 5, A B C 3, 6, 4, 8, 3, 5, 10, 3, A B C 2, 5, 3, 7, 8, 1, 9, 7, 4. Задача 9. Найти угол между плоскостями x 3y 5 0, 2x y 5z x 3y z 1 0, x z x 5y 3z 1 0, x 4y z x y 2z 15 0, 5x 9y 3z x 2y 4z 17 0, 9x 3y 6z x y 2 z 1 0, x y 2 z y z 0, 2y z x 3y 2z 0, x 2y 6z x 2y 2z 3 0, 16x 12y 15z x y 5z 16 0, x 2y 3z x 2y z 1 0, x z x y z 4 0, y z x 2y 2z 16 0, x y 3z x 2y z 9 0, x y 3z x 2y 2z 3 0, 2x y 2z x 2y 3z 1 0, x y z x 3y 2z 8 0, x y z 3 0.
18 x 2y 3z 23 0, y z x y 3z 7 0, y z x 2y 2z 17 0, x 2y x 2y 1 0, x y x z 5 0, 2x 3y x 3y z 18 0, 2y z x 3z 2 0, x 2y 2z x 4y z 1 0, 2x y 4z y z 9 0, x y 2z x 6y 14z 1 0, 5x 15y 35z x y 7z 1 0, 2x 2y x y 5 0, 2x y x y z 2 3 0, x y z x 2y 2z 7 0, x y Задача 10. Найти координаты точки A, равноудаленной от точек B и C A0, 0, z, B5, 1, 0, C 0, 2, A0, 0, z, B3, 3, 1, C 4, 1, A0, 0, z, B3, 1, 3, C 1, 4, A z B C 0, 0,, 1, 1, 6, 2, 3, A z B C 0, 0,, 13, 4, 6, 10, 9, A z B C 0, 0,, 5, 5, 6, 7, 6, A z B C 0, 0,, 18, 1, 0, 15, 10, 2.
19 10.8. A z B C 0, 0,, 10, 0, 2, 9, 2, A z B C 0, 0,, 6, 7, 5, 8, 4, A z B C 0, 0,, 6, 7, 1, 1, 2, A z B C 0, 0,, 7, 0, 15, 2, 10, A0, y, 0, B3, 0, 3, C 0, 2, A0, y, 0, B1, 6, 4, C 5, 7, A y B C 0,, 0, 2, 8, 10, 6, 11, A y B C 0,, 0, 2, 4, 6, 7, 2, A0, y, 0, B2, 2, 4, C 0, 4, A y B C 0,, 0, 0, 4, 1, 1, 3, A y B C 0,, 0, 0, 5, 9, 1, 0, A y B C 0,, 0, 2, 4, 6, 8, 5, A y B C 0,, 0, 7, 3, 4, 1, 5, A y B C 0,, 0, 0, 2, 4, 4, 0, A x, 0, 0, B0, 1, 3, C 2, 0, A x, 0, 0, B4, 0, 5, C 5, 4, A x B C, 0, 0, 8, 1, 7, 10, 2, A x, 0, 0, B3, 5, 6, C 1, 2, A x B C, 0, 0, 4, 5, 2, 2, 3, 4.
20 A x B C, 0, 0, 2, 0, 6, 0, 2, A x, 0, 0, B1, 5, 9, C 3, 7, A x, 0, 0, B4, 6, 8, C 2, 4, A x, 0, 0, B1, 2, 3, C 2, 6, A x B C, 0, 0, 2, 4, 6, 1, 2, 3. Задача 11. Пусть k коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка A принадлежит образу плоскости? A 1, 2, 1, : 2x 3y z 1 0, k A 2, 1, 2, : x 2y z 1 0, k A 1, 1, 1, : 3x y 2z 4 0, k A 2, 4, 1, : 3x y 2z 2 0, k A 1, 1 3, 2, : x 3y z 6 0, k A 1 2, 1 3, 1, : 2x 3y 3z 2 0, k 1, A 2, 0, 1, : x 3y 5z 1 0, k A 1, 2, 1, : 5x y z 6 0, k A 2, 5, 4, : 5x 2y z 3 0, k A 2, 3, 1, : x y 2z 2 0, k A 2, 3, 3, : 3x 2y z 2 0, k
21 A 1 4, 1 3, 1, : 4x 3y 5z 10 0, k A 0, 1, 1, : 6x 5y 3z 4 0, k A 2, 3, 2, : 3x 2y 4z 6 0, k A 2, 1, 1, : x 2y 6z 10 0, k A 5, 0, 1, : 2x y 3z 1 0, k A 1, 1, 1, : 7x 6y z 5 0, k A 1 3, 1, 1, : 3x y 5z 6 0, k A 2, 5, 1, : 5x 2y z 3 0, k A 1, 2, 3, : x 3y z 2 0, k 2, A 4, 3, 1, : 3x 4y 5z 6 0, k A 3, 5, 2, : 5x 3y z 4 0, k A 4, 0, 3, : 7x y 3z 1 0, k A 1, 1, 2, : 4x y 3z 6 0, k A 2, 5, 1, : 5x 2y 3z 9 0, k A 3, 2, 4, : 2x 3y z 5 0, k A 5, 0, 6, : 6x y z 7 0, k A 1, 2, 2, : 3x z 5 0, k A 3, 2, 4, : 2x 3y z 6 0, k A 7, 0, 1, : x y z 1 0, k
22 A 0, 3, 1, : 2x y 3z 1 0, k Задача 12. Написать канонические уравнения прямой x y z 2 0, 2x y 3z x 2y z 4 0, 2x 2y z x 3y z 6 0, x 3y 2z x 5y 2z 11 0, x y z x y 3z 4 0, x y 2z x y 3z 2 0, 2x y z x 7 y 4z 2 0, x 7 y z x 5y 4z 8 0, 6x 5y 3z x 3y z 6 0, x 3y 2z x y z 2 0, 2x y 3z x 3y 2z 2 0, x 3y z x y z 2 0, x y 2z x y z 6 0, 3x y 2z x 4y 2z 1 0, 2x 4y 3z x y z 2 0, x 2y z x 3y 2z 1 0, 2x 3y z x y 3z 1 0, x y z x 5y z 5 0, 2x 5y 2z x y 2z 4 0, x y 3z 2 0.
23 x y 2z 2 0, x y z x y z 2 0, x 2y z x 5y 2z 5 0, 2x 5y z x 3y 2z 6 0, x 3y z x 3y z 1 0, 2x 3y 2z x 3y 2z 6 0, x 3y z x y 3z 2 0, 2x y z x 5y z 11 0, x y 2z x 7 y z 2 0, x 7 y 4z x 3y z 2 0, x 3y 2z x 4y 3z 1 0, 2x 4y 2z x 5y 3z 8 0, 6x 5y 4z 4 0. Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости x 2 y 3 z 1, x 2 y 3 z x 1 y 3 z 1, x 2 y 5 z x 1 y 5 z 1, x 3 y 7 z x 1 y z 3, 2 x y 4 z x 5 y 3 z 2, 3 x y 5 z
24 x 1 y 2 z 3, x 3 y 5 z x 1 y 2 z 1, x 2 y 5 z x 1 y 2 z 4, x 2 y 4 z x 2 y 1 z 4, 2 x y 3 z x 2 y 2 z 3, 2 x 3 y 5 z x 1 y 1 z 2, 4 x 2 y z x 1 y 1 z 1, 3 x 2 y 4 z x 2 y 1 z 3, x 2 y z x 3 y 2 z 2, 5 x y 4 z x 2 y 2 z 4, x 3 y 5 z x 3 y 4 z 4, 7 x y 4 z x 3 y 1 z 1, 2 x 3 y 7 z x 3 y 1 z 3, 3 x 4 y 7 z
25 x 5 y 2 z 4, 2 x 5 y 4 z x 1 y 8 z 5, x 2 y 3 z x 3 y 1 z 5, x 7 y 3 z x 5 y 3 z 1, 3 x 7 y 5 z x 1 y 2 z 6, 4 x y 6 z x 3 y 2 z 8, 5 x 9 y 4 z x 1 y z 1, x 4 y 13 z x 1 y 3 z 5, 3 x 2 y 5 z x 2 y 1 z 3, 3 x y 4 z x 1 y 2 z 3, x 2 y 5 z x 1 y 3 z 2, 3 x 7 y 2 z x 3 y 2 z 5, 5 x 7 y 9 z x 7 y 3 z 1, 2 x y 7 z
26 Задача 14. Найти точку M, симметричную точке M относительно прямой (для вариантов 1 15) или плоскости (для вариантов 16 31). x 1 y 1,5 z 0, 3, 2, M x 4,5 y 3 z 2 2, 1, 1,. 1 0, M x 2 y 1,5 z 1 1, 1, 1, M x 0,5 y 1,5 z 1,5 1, 2, 3, M x 3,5 y 1,5 z 1, 0, 1, M x 2 y 1,5 z 0,5 2, 1, 0, M x 0,5 y 1,5 z 0,5 2, 3, 0, M x y 1,5 z 2 1, 0, 1, M x 1,5 y z 2 0, 2, 1, M x 6 y 3,5 z 0,5 3, 3, 1, M x 1 y 1,5 z 3 3, 3, 3, M x 0,5 y 0,7 z 2 1, 2, 0,. 1 0, M
27 x 1 y 0,5 z 1,5 2, 2, 3, M x 0,5 y 1 z 4 1, 0, 1, M x 0,5 y 1,5 z 1,5 0, 3, 2, M M 1, 0, 1, 4x 6y 4z M 1, 0, 1, 2x 6y 2z M 0, 2, 1, 2x 4y M 2, 1, 0, y z M 1, 2, 0, 4x 5y z M 2, 1, 1, x y 2z M 1, 1, 1, x 4y 3z M 1, 2, 3, 2x 10y 10z M 0, 3, 2, 2x 10y 10z M 1, 0, 1, 2y 4z M 3, 3, 1, 2x 4y 4z M 2, 3, 0, x 5y M 2, 2, 3, y z M 1, 0, 1, 2x 4y M 3, 3, 3, 8x 6y 8z
28 M 2, 0, 3, 2x 2y 10z
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы
векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой
Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.
Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их
Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы
Экзаменационный билет 1.
Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние
{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение
{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c
Задачи по аналитической геометрии
I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.
Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат
Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
Примеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b
Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского
Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:
1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка
Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского
Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.
Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
План практических занятий по линейной алгебре1 семестр
План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что
Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.
Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма
Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.
Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций
Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов
Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного
Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или
Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ
Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра
Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия
Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь
СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
. Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины
Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:
Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим
Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи
Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;
6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды
Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0
Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,
a b и вычисляемое по формуле a b a b cos
2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для
ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.
ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену
Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического
Аналитическая геометрия. Лекция 1.5
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому
ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных
ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих
11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр
11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение
Задачи для отработки пропущенных занятий
Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ
ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:
Плоскость. Прямая в пространстве 1
Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и
Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.
Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности
Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"
Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание
4. Векторная алгебра
15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;
Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие
ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный
8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.
Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.
На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y
Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве
Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов
Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко
Задания для аудиторной и самостоятельной работы
Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный
ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые
ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются
А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса
Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила
Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:
Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая
Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.
Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых
Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных
( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R
Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать
(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)
Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.
a b =S пар. = a b sin( a,b );
Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный
1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,
Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (
Глава 7 Плоскость в пространстве
Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости
Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ
СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные
Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия
Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный
Практикум по геометрии
Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная
-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.
--. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n
б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,
. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:
Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.
Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,
0.5 setgray0 0.5 setgray1
05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными
СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)
13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве
3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют