ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ"

Транскрипт

1 Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Математический анализ» Н.А.Ефремова СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» Москва - 08

2 Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Математический анализ» Н.А.Ефремова СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей ИПСС Москва 08

3 УДК 59. Е 9 Ефремова Н.А. Случайные величины: Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по математике. - М.: РУТ (МИИТ), с. В учебно-методическом пособии представлены основные понятия и правила для случайных величин. Кратко дается теоретическая основа, затем иллюстрации на примерах, и в заключении тесты для самопроверки. Рецензент: Платонова О.И., к.ф.-м.н., доцент кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ). РУТ(МИИТ), 08

4 Предисловие Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретные случайные величины представляют собой целочисленные значения исходов, непрерывные любые возможные значения на определенном участке (интервале, отрезке, полупрямой и т.д.) Примеры дискретных случайных величин: Эксперимент со случайным исходом Бросание монеты раза и регистрация числа выпавших «цифр» Бросание игральной кости один раз и регистрация результата со случайным исходом Регистрация числа дорожных происшествий на определенном участке дороги в течение недели Регистрация спроса на машины Случайная величина Значение случайной величины Число «цифр» 0,, Выпавшее число,, 3, 4, 5, 6 Число дорожных происшествий за неделю Число заказов на машины в течение дня 0,,, 3, 0,,, 3, Примерами непрерывных случайных величин являются время, которое служащий тратит на дорогу (0-30 минут), рост студентов, проходящих медкомиссию, срок службы электроламп, а также ситуации, связанные с измерениями веса, объема товаров, размеров изделий и т.д. 3

5 . Дискретная случайная величина Пример.. Бросаем монету три раза и регистрируем число выпавших «гербов». Возможные исходы:. Ц Ц Ц. Ц Ц Г 3. Ц Г Ц 4. Ц Г Г 5. Г Ц Ц 6. Г Ц Г 7. Г Г Ц 8. Г Г Г Дискретная случайная величина количество «гербов», ее возможные значения: X= 0 или или или 3. Получили следующее вероятностное распределение, основанное на значениях возможных исходов: х р Распределение дискретной случайной величины x может быть представлено, например, в виде линейного графика: 4

6 Среднее значение, основанное на вероятностном распределении, называется математическим ожиданием (при условии многократного проведения эксперимента). Математическое ожидание дискретной случайной величины X обозначим М(X). Сумма вероятностей всех исходов (полной группы событий) равна. Математическое ожидание имеет вид: M ( X ) x i pi, где x i все возможные значения, которые может принимать случайная величи- i на, p i вероятности, с которыми случайная величина принимает соответствующие значения. Нетрудно привести примеры случайных величин, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Поэтому, кроме математического ожидания вводят и другие числовые характеристики случайной величины. Так, например, вариация вероятностного распределения может быть измерена при помощи дисперсии (обозначим - D(X)) или среднего квадратического отклонения - ( (X)). Дисперсия имеет вид: D( X ) i xi M ( X ) pi Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Более удобным на практике является, если числовая характеристика имеет размерность, равную размерности случайной величины. Поэтому вводят среднее квадратическое отклонение (X) = D (X ). D(X) - всегда положительная величина, по определению. 5

7 Вернемся к примеру.. Математическое ожидание «гербов»: M(X) = x i pi = i Дисперсия «гербов»: D(X)= i i 3 8,5 3,5 i =,5 8 x M ( X ) p = 0,5 = 0, Непрерывная случайная величина Предположим, что мы имеем непрерывную случайную величину, принимающую значения из интервала ( x, x). Плотностью вероятностей или дифференциальной функцией распределения называют отношение вероятности попадания значений случайной величины х на малый интервал Δх к длине участка Δх в пределе при Δх 0: p( x X x x) lim f ( x). x График плотности вероятностей непрерывной случайной величины представляет собой кривую, в отличие от линейной диаграммы для распределения дискретной случайной величины. График плотности вероятностей называется кривой распределения. А). Плотность вероятностей: f(x) = 5 x, < x < 5 8 6

8 График плотности вероятностей для заданной функции будет иметь вид: Б). Плотность вероятностей: f(x)=0,006x(0- х), 0 x 0. График плотности вероятностей для заданной функции будет иметь вид: Любому значению дискретной случайной величины соответствует определенная вероятность. Очевидно, что это невозможно для непрерывной переменной. Здесь вероятность соответствует некой области значений непрерывной случайной величины. 7

9 Например, находим вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 69, мм до 70,9 мм. Графически вероятность изображается как площадь под кривой, ограниченная пределами значений переменной. Общая площадь под кривой распределения соответствует общей вероятности равной : b f ( x) dx. a В случае, если x ( ; ) : f ( x) dx. В примере Б) вероятность того, что случайная величина примет значение от до 5 представлена закрашенной площадью графика плотности распределения : Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из какого-то промежутка, 8

10 равна площади под графиком функции плотности вероятности на этом промежутке. Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной случайной величины, не принимает какое-то определенное значение, допустим,5 кг, она может быть меньше или больше,5 кг, или от,5 до 3,0 мм, или от 0 до 5 минут. Числовые характеристики непрерывной случайной величины имеют соответственно вид: Математическое ожидание: M ( X ) xf ( x) dx. Дисперсия: D ( X ) ( x M ( X )) f ( x) dx. Среднее квадратическое отклонение: ( X ) D( X ). Пример.. У одного из студентов дорога в университет занимает минут, у другого 5-35 минут. Любое время на дорогу в этих пределах равновероятно. Построим график для обоих случаев. 9

11 Для первого студента: Для второго студента: Так как вероятность полной группы событий равна, то площади под кривыми должны быть тоже равны, следовательно, для -го студента плотность вероятности должна быть равна /5, для -го студента /0. Мы можем посчитать вероятность того, что дорога в университет у каждого из студентов занимает от 30 до 35 минут. 0

12 Для первого студента: P Для второго студента: P (35 30) 0 Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение для каждого из студентов соответственно равны: для первого студента: 5 x 45 M ( X ) xdx x ,5 D( X ) ( ( )) 8,75 5 x M X dx 30 ( X) D( X) 4,33 для второго студента: 35 x M ( X ) xdx

13 35 D( X ) ( ( )) 0 x M X dx 5 ( X ) D( X ),886 8,33 3. Действия со случайными величинами Иногда возникает необходимость сформировать новую случайную величину в виде суммы, произведения или разности исходных случайных величин, а также, когда новая случайная величина получается при умножении исходной на какое-то число. В таких ситуациях справедливы следующие свойства для числовых характеристик случайных величин. Свойства математического ожидания:. ( СХ ) СМ( Х ), множитель. М где С -постоянный i. М ( X ) M X i i 3. Для независимых случайных величин Х и У: М ( ХУ) М ( Х ) М ( У) Свойства дисперсии:. D( CX ) C D( X ), где C - постоянный множитель. D( X Y) D( X ) D( Y) - для независимых случайных величин X иy. i

14 4. Примеры вероятностных распределений В настоящем разделе рассматриваются основные законы распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины - биноминальный закон и закон распределения Пуассона. Для непрерывных случайных величин равномерное и нормальное распределение, которое, в частности, используется при аппроксимации других распределений. Приводятся примеры приложения названных законов распределения. Биномиальное распределение вероятностей: Пусть некоторое событие А в4n испытаниях может наступить k раз (не наступить соответственно n-k раз). По правилу умножения вероятностей независимых событий вероятность появления события A k раз в n испытаниях равна p k q n-k, где p- вероятность появления события A в одном испытании, а q- вероятность противоположного события А (p+ q=). Общее число событий A равно числу способов, каким можно составить любые k испытаний из n, причем безразлично в какой последовательности. Это число k равно С n. Подобные события A несовместны. Следовательно, вероятность появления события A k раз в n испытаниях Р n (k) равна С p k q n-k. k k nk Формулу Р n (k) = n называют формулой Бернулли. Далее в качестве дискретной случайной величины Х будем рассматривать число появлений собы- 3 С p q k n

15 тия A в n испытаниях. Очевидно, Х принимает значения 0,,,3, n. Вероятности того, что Х примет одно из этих значений находят по формуле Бернулли. Закон распределения x можно записать в виде таблицы: X 0 k N P 0 Сn q n Сn pq n- С k n p k q n-k n Сn р n Этот закон распределения называют биномиальным. Заметим, что сумма вероятностей, стоящих во второй строке таблицы, равна. Пример 4.. Пусть x - число гербов, выпавших при шести бросаниях монеты. По формуле Бернулли: k k 6k k P6 k C6 / / C6 / 64 Здесь p=/- вероятность появления герба, следовательно, q = -/=/ вероятность появления цифры. Получили следующий биноминальный закон распределения: X P /64 6/64 5/64 0/64 5/64 6/64 /64 Пример 4.. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. В проверяемой партии 4 изделия. Составить закон распределения числа нестандартных изделий среди проверяемых изделий. 4

16 Решение: Здесь p=-0,8 - вероятность того, что изделие нестандартно. Дискретная случайная величина x - число нестандартных изделий, может принимать значения k=0,,, 3 и 4. Вероятности соответствующих значений могут быть вычислены по формуле Бернулли P ( k С p q k k 4k : 4 ) X P 0,4096 0,4096 0,536 0,056 0,006 4 Можно показать, по определению, что для случайной величины с биноминальным распределением вероятностей математическое ожидание составляет M(Х)=np, дисперсия - D(Х)=npq, а следовательно, среднее квадратическое отклонение - = npq. Распределение Пуассона: При большом количестве испытаний расчеты по формуле Бернулли могут занять много времени. Показано (см., например []), что: )при малой вероятности успеха в каждом опыте (предпочтительно p 0,), ) при большом количестве опытов (предпочтительно n 30), 5

17 3) предполагаемое количество «успехов» меньше пяти, т. е при n p 5 и n p сохраняет постоянное значение, что означает - среднее число появлений события A в различных сериях испытаний (при различных значениях n) остается неизменным, расчеты можно произвести, воспользовавшись формулой Пуассона: k e Pn ( k), где λ = n p. k! Придавая k целые значения и вычислив соответствующие вероятности, можно написать закон распределения Пуассона в виде таблицы: X 0 N Pn(k) e λ λe -λ λ e -λ! n e n! Заметим, что имеются специальные таблицы, пользуясь которыми, можно сразу найти Pn(x), зная k и λ. Т.к. одним из свойств распределения Пуассона является, что среднее число «успехов» постоянно на протяжении всего времени, то Математическое ожидание = Дисперсия = λ Это свойство полезно в тех случаях, когда имеются данные о случайной величине и требуется узнать, применимо или нет распределение Пуассона. 6

18 Равномерное распределение: Равномерное распределение простейший пример распределения непрерывной случайной величины. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение. Если [а, b] - область возможных значений случайной величины, то график плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х, имеет вид: Нетрудно посчитать среднее значение рассматриваемой случайной величины: b b a M ( X ) xdx b a a Дисперсия соответственно равна: b b a D( X ) ( x ) dx или b a a l b a D( X ), где l. 7

19 Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал ( α, β ), принадлежащий (а,b), равна P ( x ) f ( x) dx. b a Пример. пример равномерного закона распределения. Нормальное распределение: Нормальное распределение вероятностей является важнейшим из распределений. Случайная величина имеет нормальное распределение, если функция плотности вероятностей случайной величины существует и имеет вид: ( xa) ( x) e f, где а и - действительные числа, причем >0. 8

20 На рисунке показаны графики функции f (x) при различных значениях а и. Можно показать (см, например, [] или []), что если случайная величина нормально распределена, то M (Х) = а, а D (Х) = Из свойства дифференциальной функции f(x), следует, что вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна: P x f x dx Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна: 9

21 P x e xa dx. Пользуясь функцией Лапласа, Ôx x z e dz, 0 эту вероятность можно записать: à à P (α < x < β) =Ф -Ф. Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства x - a < δ. Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством δ < x a < δ или a - δ < x < a + δ. Тогда x a Pa x a à à à P à (использовали нечетность функции Лапласа). При решении многих задач полезным является правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания по аб- 0

22 солютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Действительно, если возьмем δ =3σ, то по установленному выше правилу Р( x - a < 3σ) = Ф(3) 0,9973. Вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что нормально распределенная случайная величина принимает значения вне интервала (a - 3σ;a + 3 σ): Р( x - a 3 σ) 0,007. Очевидно, такой малой вероятностью можно пренебречь.

23 Тест для самопроверки. Распределение дискретной случайной величины X представлено в виде следующего графика: Тогда значение a равно ) 0,3 ) 3) 0, 4) 0,5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: x p 0, 0,3 0,6 Тогда математическое ожидание случайной величины Y=*X равно ) 3,4 ) 3,8 3) 3,7 4) 4 3. Дисперсия дискретной случайной величины X равна 6,5. Тогда среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X равно ) 0,5 ),5 3) 3,75 4) 6

24 4. График плотности вероятностей непрерывной случайной величины x имеет вид: Тогда значение a равно ) 0, ) 0,5 3) 0,33 4) 5. График плотности вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид: Тогда вероятность того, что случайная величины примет значение от 0,5 до,8 равна 3 ) 0, ) 0,3 3) 0, 4) 50 3

25 6. График плотности вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид: Тогда значение a равно ),5 ) 3) 4),5 7. Для непрерывной случайной величины X из задания 0 математическое ожидание равно ) 0, ) 5 3),5 4) 0,5 8. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятностей: Тогда дисперсия случайной величины X равна ) 3 ) 0,5 3) 4, 4) 3,5 9. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятностей f(x): 4

26 f (x) 0, x 0 x, 0 x 0, x 0 Тогда математическое ожидание случайной величины X равно ) ) 6 3) 3 4) 0. Для отработки наблюдений используют закон с равномерной плотностью распределения: 0, если x < 0 f (x) = 0,, если 0 < x < 30 0, если x > 30 Тогда математическое ожидание заданной случайной величины равно: ),5 ) 5 3) 30 4). Если при обработке наблюдений получили, что среднее значение равно дисперсии и равно, то вероятность того, что при 00 испытаниях наблюдаемое событие появится раза приблизительно равно (выбираем число, которое наиболее близко к значению искомой вероятности): ) 0,5 ) 3) 0,7 4) 0, 5

27 . Известно, что случайная величина распределена равномерно: f (x) = 0, x < а / (в - а), а < x < в 0, x > в Среднее значение этой величины равно, а дисперсия /3. Тогда случайная величина имеет ненулевое значение для всех x из интервала: ) (0; ) ) (0; ) 3) (/3; ) 4)(0;) 3. Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормального распределения с плотностью вероятности: x f ( x) e 0,008 0,0 Чтобы вес товара соответствовал требованиям закона о мерах и весах, средний вес упаковки должен быть не менее 000 гр. На какой средний вес упаковки в данный момент налажена машина: (х в кг) ),5 ),0 3) 4) другое значение 6

28 4. Функция плотности вероятностей электроламп по сроку работы имеет вид: Тогда средний срок работы лампы составляет: ) 40 часов ) 700 часов 3) (0; 60) часов 4) 600 часов Ответы на задания контрольного теста: задания ответа

29 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие...3. Дискретная случайная величина Непрерывная случайная величина Действия со случайными величинами 4. Примеры вероятностных распределений...3 Тест для самопроверки.... 8

30 ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА []Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 006. [] Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов экономических специальностей. М.: Изд-во ВШЭ, 005. [3] Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: Изд-во «ЮНИТИ»,

31 Учебно-методическое издание Ефремова Наталия Алексеевна СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по математике для студентов строительных специальностей Тираж 70 экз. Изд Москва, Копировальный центр PrintSide 30


ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Н.А.Ефремова ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть. Случайные величины Задача.1. Фекла решила удивить своего бойфренда роскошным ужином и купила для этого в супермаркете пакет с картофелем.

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач 9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

По классическому определению вероятности:

По классическому определению вероятности: ..3. Среди 00 лотерейных билетов есть выигрышных. Найти вероятность того, что наудачу выбранных билета выиграют. Решение: 00! 99 00 C 00 490 способами можно выбрать билета из 00. 9!!! 4 C 0 способами можно

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). 0000.6-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/4853.pdf 000.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение).

Подробнее

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

={ }, которая каждому элементарному событию ставит в

={ }, которая каждому элементарному событию ставит в 1.11. Определение одномерной случайной величины, закон распределения, функция распределения Пусть ={} множество всех элементарных событий опыта E. def Одномерной случайной величиной называется числовая

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей -го курса ФРК I Раздел: Линейная алгебра Определения: матрицы, строки и столбцы матрицы Прямоугольная, квадратная матрица Главная

Подробнее

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1 1 Если A B, то чему равно AB? 14 Тесты по теории вероятностей Тест 1 Сформулируйте классическое определение вероятности События A, B, C взаимно независимы P( A) P( B) P( C) 1 Найдите P( A B C) 4 Испытываются

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

1.2. Элементы теории вероятностей.

1.2. Элементы теории вероятностей. .. Элементы теории вероятностей.... Случайные события. Случайные события обычное явление в жизни. Примеры случайных событий: выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты, выпадение числа при бросании

Подробнее

Контрольные и курсовые на сайте Содержание

Контрольные и курсовые на сайте  Содержание Содержание Задача 1... 3 Задача... Задача 3... 5 Задача... 6 Задача 5... 7 Задача 6... 8 Задача 7... 9 Задача 8... 10 Задача 9... 11 Задача 10... 1 Список использованной литературы... 13 Задача 1 В партии

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ. Методические указания и примерная программа проведения. лабораторной работы (практического занятия ) в среде MathCad

И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ. Методические указания и примерная программа проведения. лабораторной работы (практического занятия ) в среде MathCad БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ Методические указания и примерная программа проведения лабораторной работы (практического занятия в среде MathCad по курсу «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

Предельные теоремы 1

Предельные теоремы 1 Предельные теоремы 1 Неравенства Чебышёва Теорема. X 0 1. Если случайная величина неотрицательна и имеет конечное математическое ожидание MX, то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышёва

Подробнее

Теория вероятностей математическая статистика и случайные процессы Контрольная работа назад. Контрольная работа по курсу Теория вероятностей

Теория вероятностей математическая статистика и случайные процессы Контрольная работа назад. Контрольная работа по курсу Теория вероятностей Теория вероятностей математическая статистика и случайные процессы Контрольная работа назад Контрольная работа по курсу Теория вероятностей Контрольная работа состоит из пяти задач, текст задачи и её параметры

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Математическое ожидание.

Математическое ожидание. Лекция. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция

Подробнее

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)).

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)). Оглавление Глава 5 Предельные теоремы 5 Неравенство Чебышѐва 5 Типы сходимости случайных величин 3 Диаграмма зависимости видов сходимости 3 53 Суммы случайных величин 4 Среднее арифметическое случайных

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; ) построить многоугольник

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными.

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными. .7. В партии готовой продукции состоящей из изделий три бракованных. Определить вероятность того что при случайном выборе изделий одновременно все они окажутся не бракованными. Какова вероятность того

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли Схема независимых испытаний Повторные испытания Бернулли 1 Схема независимых испытаний Предположим, что производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью

Подробнее

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения, ее свойства. Арифметические операции над случайными величинами.

Подробнее

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н. Тимошенко, А.Н. Козлов В.В. Трофимов СЕРТИФИКАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ АВИАТОПЛИВООБЕСПЕЧЕНИЯ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ Учебно-методическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС) АА Зеленина, ЕО Лагунова, ИС Стасюк

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее