МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие для студентов социологического факультета Саратов 2011

2 Оглавление Введение 3 1 Понятие матрицы 4 2 Действия операции над матрицами 6 3 Определитель матрицы Основные понятия Свойства определителей 18 4 Обратная матрица Основные понятия Матричные уравнения 32 5 Миноры и ранг матрицы 36 6 Системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ Основные понятия Решение невырожденных линейных систем Формулы Крамера Решение систем линейных уравнений Теорема Кронекера- Капелли 50 Список рекомендуемой литературы 55 2

3 Введение Настоящее учебное пособие предназначено в помощь, в первую очередь, студентам социологического факультета оно также может быть полезным для студентов всех специальностей, изучающих в том или ином объёме курс высшей математики Профессиональный уровень специалиста-социолога во многом зависит от того, насколько он освоил современный математический аппарат и умеет применять его на практике от простого логического анализа данных и до строгого научного обоснования интерпретации результатов при проведении социологических исследований Настоящее учебное пособие посвящено основам линейной алгебры В нём рассматриваются базовые понятия матрицы, действий над матрицами, определителя матрицы, обратной матрицы, миноров и ранга матрицы, системы линейных алгебраических уравнений, изучается вопрос о её решениях Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением значительного числа типовых примеров, что должно способствовать его более глубокому пониманию Автор признателен доценту Корневу ВВ за полезные обсуждения и благодарен ему за ряд ценных замечаний 3

4 1 Понятие матрицы Определение 1 Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины по n чисел в каждой строке и n столбцов одинаковой длины по m чисел в каждом столбце Матрица размерности m n записывается в виде a 11 a 12 a 1n A a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn или, сокращенно, A a ij i1,m, j1,n, где i номер строки меняется от 1 до m те i 1, 2,, m, j номер столбца меняется от 1 до n те j 1, 2,, n Числа a ij, составляющие матрицу, называются её элементами Замечание 1 Матрицы, как правило, обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C,, а их элементы, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, строчными буквами латинского алфавита a ij, b ij, c ij, Если хотят обратить внимание на размерность матрицы, то её дополнительно указывают как нижний индекс A A m n Пример 1 A A 2 3 a ij i1,2, j1,3 a11 a 12 a a 21 a 22 a Определение 2 Квадратной матрицей размерности n или n-го порядка называется матрица, состоящая из n строк и n столбцов число строк равно числу столбцов: A A n n a ij i1,n, j1,n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Определение 3 Элементы квадратной матрицы A размерности n, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, образуют главную диагональ: a 11, a 22,, a n 1, n 1, a nn Элементы квадратной матрицы A размерности n, стоящие на диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, образуют побочную диагональ: a n1, a n 1, 2,, a 2, n 1, a 1n 4

5 Определение 4 Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn a a 21 a 22 0 a n1 a n2 a nn верхнетреуголная матрица, нижнетреуголная матрица Определение 5 Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной: a A diag a 11, a 22,, a nn 0 a a nn Определение 6 Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной Обозначается буквой E { 1 при i j, E δ ij i1,n, j1,n, где δ ij символ Кронекера: δ ij 0 при i j Пример 2 Единичная матрица 4-го порядка E δ ij i1,4, j1, Определение 7 Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой Обозначается буквой O Пример 3 Нулевая матрица 3-го порядка O Нулевая матрица размерности 3 2 O

6 В матричном исчислении матрицы O и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике Определение 8 Матрица, содержащая один столбец те матрица размерности m 1 или одну строку те матрица размерности 1 n, называется вектором или вектором-столбцом и вектором-строкой соответственно Их вид: A A m 1 a 11 a 21 a m 1, B B 1 n b 11 b 12 b 1n Замечание 2 У элементов вектора-столбца можно опустить второй индекс, обозначающий столбец, он у всех элементов одинаковый, так как столбец единственный, а у элементов вектора-строки можно не писать первый индекс, обозначающий строку, он у всех элементов одинаковый, так как строка в данном случае одна: A a 1 a 2 a m, B b 1 b 2 b n Матрица размера 1 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом Определение 9 Две матрицы размерности m n A a ij i1,m, j1,n и B b ij i1,m, j1,n называются равными, если равны их соответствующие элементы, те a ij b ij i 1, m, j 1, n 2 Действия операции над матрицами I Сложение матриц операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковой размерности Определение 10 Суммой двух матриц размерности m n A a ij i1,m, j1,n и B b ij i1,m, j1,n называется матрица C A + B размерности m n C c ij i1,m, j1,n, элементы которой определяются по формуле c ij a ij + b ij i 1, m, j 1, n Пример 4 A A , B B ,

7 C A + B, C C Свойства операции сложения матриц: переместительное свойство коммутативность: A + B B + A; 2 сочетательное свойство ассоциативность: A + B + C A + B + C ; 3 сложение с нулём нулевой матрицей: A + O A II Умножение матрицы на число Определение 11 Произведением матрицы размерности m n A a ij i1,m, j1,n на число α называется матрица C α A размерности m n C c ij i1,m, j1,n, элементы которой определяются по формуле c ij α a ij i 1, m, j 1, n Пример 5 A A C α A, C C , α 2, Свойства операции умножения матрицы на число: 1 сочетательное свойство ассоциативность относительно числового множителя: α β A α β A ; 2 распределительное свойство дистрибутивность относительно суммы числовых множителей: α + β A α A + β A; 3 распределительное свойство дистрибутивность относительно суммы матриц: α A + B α A + α B; 4 умножение на единицу α 1: 1 A A 7

8 Определение 12 Матрица A 1 A называется матрицей, противоположной матрице A III Разность матриц операция разности матриц вводится только для матриц одинаковой размерности Определение 13 Разностью двух матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C A B той же размерности, определяемая следующим образом: C A + 1 B Другими словами, разностью двух матриц размерности m n A a ij i1,m, j1,n и B b ij i1,m, j1,n называется матрица C A B размерности m n C c ij i1,m, j1,n, элементы которой определяются по формуле c ij a ij b ij i 1, m, j 1, n Пример 6 A A 3 2 C C , B B 3 2 C A B, Свойство операции разности двух матриц: A A O IV Умножение матриц операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы-сомножителя равно числу строк второй матрицы-сомножителя, в частности, это условие выполняется для квадратных матриц одинаковой размерности Определение 14 Произведением матрицы размерности m k A a il i1,m, l1,k на матрицу размерности k n B b lj l1,k, j1,n называется матрица C A B размерности m n C m n c ij i1,m, j1,n, элементы которой определяются по формуле, c ij k a il b lj a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj i 1, m, j 1, n l1 Пример 7 A A 2 3 a11 a 12 a a 21 a 22 a , 8

9 c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24 B B 3 4 b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b C A B, c11 c C C 2 4 c ij i1,2, j1,4 12 c 13 c 14, где c 21 c 22 c 23 c 24 3 a 1l b l1 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 l , 3 a 1l b l2 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 l , 3 a 1l b l3 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 l , 3 a 1l b l4 a 11 b 14 + a 12 b 24 + a 13 b 34 l , 3 a 2l b l1 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 l , 3 a 2l b l2 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 l1, , 3 a 2l b l3 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 l , 3 a 2l b l4 a 21 b 14 + a 22 b 24 + a 23 b 34 l1 Таким образом, C c11 c 12 c 13 c c 21 c 22 c 23 c

10 Свойства операции умножения матриц: 1 сочетательное свойство ассоциативность: A B C A B C, где A матрица размерности m l, B матрица размерности l k, C матрица размерности k n; 2 распределительное свойство дистрибутивность: а сумма матриц умножается на матрицу слева C A + B C A + C B, где C матрица размерности m k, A и B матрицы одинаковой размерности k n; б сумма матриц умножается на матрицу справа A + B C A C + B C, где A и B матрицы одинаковой размерности m k, C матрица размерности k n; 3 умножение на числовой множитель: α A B α A B, где α числовой множитель, A матрица размерности m k, B матрица размерности k n; 4 для квадратной матрицы A размерности n умножение на единичную и нулевую матрицу даёт: A E E A A, A O O A O, где E и O соответственно единичная и нулевая матрицы размерности n Замечание 3 Отметим, что для квадратных матриц одной размерности в общем случае A B B A Пример 8 Рассмотрим квадратные матрицы размерности два: a11 a A 12 b11 b и B 12 a 21 a 22 b 21 b 22 10

11 Для них определены оба произведения A B и B A Вычисляются они следующим образом: a11 a A B 12 b11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22, a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 b11 b B A 12 a11 a 12 b 21 b 22 a 21 a 22 b11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22 Рассмотрим конкретные числовые примеры а Пусть A и B Тогда A B B A Таким образом, A B B A б Пусть Тогда A и B A B B A Таким образом, A B B A , ,

12 Определение 15 Квадратные матрицы одной размерности A и B, для которых выполняется соотношение A B B A, называются коммутирующими или перестановочными V Транспонирование матрицы Определение 16 Матрица, полученная из данной матрицы A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной Обозначается A T Другими словами, матрицей, транспонированной к данной матрице размерности m n A a ij i1,m, j1,n называется матрица размерности n m C A T, C c ji j1,n, i1,m, элементы которой определяются по формуле c ji a ij j 1, n, i 1, m Пример 9 а Пусть A A 3 2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a , C A T Тогда C C 2 3 c11 c 12 c 13 a11 a 21 a c 21 c 22 c 23 a 12 a 22 a б Пусть A A 3 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a , C A T Тогда C C 3 3 в Пусть c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a A A 1 3 a 11 a 12 a , C A T Тогда C C 3 1 c 11 c 21 c 31 a 11 a 12 a

13 Свойства операции транспонирования матрицы: 1 операция транспонирования, применяемая дважды, даёт нам исходную матрицу: A T T A; 2 транспонирование суммы матриц: A + B T A T + B T, где A и B матрицы одинаковой размерности; 3 транспонирование произведения матриц: A B T B T A T, где A матрица размерности m k, B матрица размерности k n Для этих матриц определено матричное произведение A B Транспонированные матрицы B T и A T имеют размерности n k и k m соответственно, следовательно, для них определено матричное произведение B T A T 3 Определитель матрицы 31 Основные понятия Для определения и изучения определителя квадратной матрицы порядка n нам будут нужны некоторые понятия и факты, относящиеся к конечным множествам Пусть дано некоторое конечное множество M, элементами которого являются первые n чисел натурального ряда: M {1, 2,, n} Помимо данного расположения чисел 1, 2,, n в их естественном порядке следования в натуральном ряде, их можно расположить упорядочить и многими другими способами Пример 10 а Пусть n 2 Числа 1, 2 можно расположить следующими способами: 1, 2 и 2, 1 б Пусть n 3 Числа 1, 2, 3 можно расположить следующими способами: 1, 2, 3 2, 1, 3 3, 1, 2 1, 3, 2 2, 3, 1 3, 2, 1 13

14 в Пусть n 4 Числа 1, 2, 3, 4 можно расположить следующими способами: 1, 2, 3, 4 2, 1, 3, 4 3, 1, 2, 4 4, 1, 2, 3 1, 2, 4, 3 2, 1, 4, 3 3, 1, 4, 2 4, 1, 3, 2 1, 3, 2, 4 2, 3, 1, 4 3, 2, 1, 4 4, 2, 1, 3 1, 3, 4, 2 2, 3, 4, 1 3, 2, 4, 1 4, 2, 3, 1 1, 4, 2, 3 2, 4, 1, 3 3, 4, 1, 2 4, 3, 1, 2 1, 4, 3, 2 2, 4, 3, 1 3, 4, 2, 1 4, 3, 2, 1 Определение 17 Всякое расположение чисел 1, 2,, n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел Каждую перестановку из n чисел будем обозначать i 1, i 2,, i n, где i j одно из чисел от 1 до n, стоящее в данной перестановке на j-м месте j 1, n, i j i k при j k те элементы перестановки попарно различны Лемма 1 Число различных перестановок из n чисел равно произведению 1 2 n 1 n, обозначаемому n! читается: «эн-факториал» Доказательство Подсчитаем количество всех возможных перестановок из n чисел Мы имеем n свободных мест, на которые нам надо распределить n чисел: 1 2 n 1 n номера позиций мест Первое число мы можем записать на любое место, те для его расположения имеется n различных вариантов Запишем первое число на одно из мест Для расположения второго числа у нас остается n 1 свободное место, поскольку одно из мест уже занято первым числом Значит, для каждого расположения первого числа мы имеем n 1 вариант расположения второго числа Таким образом, для расположения первых двух чисел мы имеем n n 1 различных вариантов Расположим каким-либо из вариантов первые два числа Для расположения третьего у нас имеется n 2 свободных места Значит, первые три числа мы можем расположить n n 1 n 2 различными способами Продолжая рассуждения, получим, что все n чисел можно расположить на n мест одним из n n 1 n различных способов Замечание 4 С ростом n число перестановок из n чисел чрезвычайно быстро возрастает: n 1 n! 1! 1 n 2 n! 2! n 3 n! 3! n 4 n! 4!

15 n 5 n! 5! n 6 n! 6! n 7 n! 7! n 8 n! 8! n 9 n! 9! n 10 n! 10! Рассмотрим какую-нибудь из перестановок из n чисел Определение 18 Будем говорить, что два числа i j и i k перестановки из n чисел i 1, i 2,, i n образуют инверсию, если большее число стоит раньше меньшего i j > i k при j < k Число инверсий в перестановке из n чисел i 1, i 2,, i n будем обозначать N i 1, i 2,, i n Пример 11 Рассмотрим перестановку из пяти чисел 3, 5, 2, 4, 1 i 1, i 2, i 3, i 4, i 5 Число i 1 3 образует инверсию с числом i 3 2, а также с числом i 5 1 Число i 2 5 образует три инверсии: с числами i 3 2, i 4 4, i 5 1 Число i 3 2 образует инверсию с числом i 5 1 Число i 4 4 также образует инверсию с числом i 5 1 Таким образом, в рассматриваемой перестановке семь инверсий N i 1, i 2, i 3, i 4, i 5 N 3, 5, 2, 4, 1 7 Определение 19 Будем говорить, что некоторая перестановка является чётной или перестановкой чётного типа, если она имеет чётное число инверсий и нечётной или перестановкой нечётного типа, если она имеет нечётное число инверсий Лемма 2 При n 2 число чётных перестановок из n чисел равно числу нечётных, те равно 1 2 n! Теперь, когда мы ввели в рассмотрение все вспомогательные понятия, можем квадратной матрице A размерности n сопоставить число, называемое её определителем или детерминантом, следующим образом Определение 20 Определителем детерминантом квадратной матрицы A размерности n a 11 a 12 a 1n A a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 15

16 называется алгебраическая сумма, составленная следующим образом 1 Ni 1,i 2,,i n a 1 i1 a 2 i2 a n in, 1 i 1,i 2,,i n те сумма берётся по всем возможным перестановкам i 1, i 2,, i n n! слагаемых, слагаемыми служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причём слагаемое берётся со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку число инверсий N i 1, i 2,, i n чётное, и со знаком минус в противоположном случае Для обозначения определителя матрица A используют запись det A или A Порядком определителя называется размерность соответствующей ему квадратной матрицы A Используя данное определение, подсчитаем определитель для квадратной матрицы размерности n 1, 2, 3 а Пусть n 1 Матрица размерности 1 1, состоящая из одного числа, и её определитель отождествляются с этим числом: A a 11 a 11, det A a 11 по определению б Пусть n 2 Для n 2 мы имеем всего две перестновки: 1, 2 и 2, 1 Число инверсий в первой из них N 1, 2 0, а во второй N 2, 1 1 Согласно сформулированному определению, определитель квадратной матрицы размерности два A 12 a11 a есть a 21 a 22 det A a 11 a 12 a 21 a 22 1 Ni 1,i 2 a 1 i1 a 2 i2 i 1,i 2 1 N1,2 a 11 a N2,1 a 12 a a 11 a a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали соответствующей матрицы минус произведение элементов её побочной диагонали: det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 16

17 Пример 12 Вычислим определители второго порядка: , , α + β α β α β α + β α + β2 α β 2 sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ α 2 + 2αβ + β 2 α 2 2αβ + β 2 4αβ, sin2 ϕ cos ϕ cos ϕ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ 1 в Пусть n 3 Для n 3 мы имеем 3! 6 перестановок: 1, 2, 3 N 1, 2, 3 0 1, 3, 2 N 1, 3, 2 1 2, 1, 3 N 2, 1, 3 1 2, 3, 1 N 2, 3, 1 2 3, 1, 2 N 3, 1, 2 2 3, 2, 1 N 3, 2, 1 3 Согласно сформулированному определению, определитель квадратной матрицы размерности три A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 есть a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 1 Ni 1,i 2,i 3 a 1 i1 a 2 i2 a 3 i3 i 1,i 2,i 3 1 N1,2,3 a 11 a 22 a N1,3,2 a 11 a 23 a N2,1,3 a 12 a 21 a N2,3,1 a 12 a 23 a N3,1,2 a 13 a 21 a N3,2,1 a 13 a 22 a a 11 a 22 a a 11 a 23 a a 12 a 21 a a 12 a 23 a a 13 a 21 a a 13 a 22 a 31 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Таким образом, в сумме из формулы для вычисления определителя 1 в этом случае будет три слагаемых со знаком плюс и три слагаемых со знаком минус При этом со знаком плюс берутся три слагаемых, состоящие из элементов главной диагонали a 11 a 22 a 33 и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали a 12 a 23 a 31 и a 13 a 21 a 32 ; со знаком минус три слагаемых, состоящие из элементов побочной диагонали 17

18 a 13 a 22 a 31 и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали a 12 a 21 a 33 и a 11 a 23 a 32 det A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Указанное правило называется правилом треугольников или правилом Саррюса Им удобно пользоваться при вычислении определителей третьего порядка Пример 13 Вычислим определители третьего порядка: , , 1 α 1 α 1 α α α α α 1 α α α 1 1 α α 1 α 2 α α 2 α α 2 Правило вычисления определителя матрицы порядка n является довольно сложным для восприятия и применения Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков например, разложение определителя по элементам i-й строки или j-го столбца, с которым мы познакомимся в следующем параграфе 32 Свойства определителей Сформулируем некоторые простейшие свойства определителей n-го порядка, относящиеся преимущественно к одному из следующих двух вопросов: с одной стороны, нас будут интересовать условия, при которых 18

19 определитель равен нулю; с другой стороны, мы укажем некоторые преобразования матрицы, которые не меняют ее определителя или же подвергают его легко учитываемым изменениям Некоторые из свойств поясним на примерах определителей второго и третьего порядка Свойство 1 Равноправность строк и столбцов определителя Определитель матрицы A не меняется при её транспонировании те при замене строк столбцами с теми же номерами и наоборот: det A det A T a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 21 a 12 a 22 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Замечание 5 Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов и обратно те что в определителе, в отличие от матрицы, строки и столбцы равноправны Исходя из этого, мы можем дальнейшие свойства рассматривать лишь для строк определителя Свойство 2 Определитель с нулевой строкой Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю Действительно, пусть все элементы некоторой i-й строки определителя являются нулями В каждое слагаемое из суммы 1, составляющей определитель, должен войти множителем один элемент из i-й строки, поэтому в нашем случае все слагаемые, образующие определитель, равны нулю Свойство 3 Перестановка строк определителя Если в определителе переставить две строки, то определитель изменит только знак a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 19

20 Свойство 4 Определитель с одинаковыми строками Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю В самом деле, пусть определитель равен числу α и пусть его строки с номерами i и j являются одинаковыми те соответствующие элементы i-й и j-й строк равны между собой После перестановки этих двух строк определитель, ввиду свойства 3, изменит знак и станет равен числу α Так как, однако, переставляются одинаковые строки, то определитель на самом деле не меняется, те α α Это возможно лишь в том случае, если α 0 определитель равен нулю Свойство 5 Вынесение множителя из строки Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число α, то сам определитель умножится на α Пусть на α умножены все элементы i-й строки Каждое слагаемое из суммы 1, образующей определитель, содержит ровно один элемент из i-й строки, поэтому каждое такое слагаемое приобретает множитель α, те сам определитель умножается на α Это свойство допускает и такую формулировку: общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя Свойство 6 Определитель с пропорциональными строками Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю В самом деле, пусть i-я строка определителя пропорциональна с некоторым коэффициентом α j-й строке определителя, те элементы i-й строки определителя отличаются от соответствующих элементов j-й строки одним и тем же множителем α Вынося этот общий множитель α из i-й строки за знак определителя, мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, равный по свойству 4 нулю Свойство 4 является, очевидно, частными случаями свойства 6 при α 1 Свойство 7 Определитель матрицы со строкой, представленной суммами Если все элементы k-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых a kj b kj + c kj j 1, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме k-й, такие же, как и в заданном определителе,а k-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b kj, в другом из 20

21 элементов c kj : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k 1, 1 a k 1, 2 a k 1, n b k1 + c k1 b k2 + c k2 b kn + c kn a k+1, 1 a k+1, 2 a k+1, n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n a k 1, 1 a k 1, 2 a k 1, n b k1 b k2 b kn + a k 1, 1 a k 1, 2 a k 1, n c k1 c k2 c kn a k+1, 1 a k+1, 2 a k+1, n a k+1, 1 a k+1, 2 a k+1, n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Действительно, каждое слагаемое из суммы 1, образующей заданный определитель, можно представить в виде i 1,i 2,,i n i 1,i 2,,i n i 1,i 2,,i n + i 1,i 2,,i n 1 Ni 1,i 2,,i n a 1 i1 a 2 i2 a k 1, ik 1 a k ik a k+1, ik+1 a n in 1 Ni 1,i 2,,i n a 1 i1 a 2 i2 a k 1, ik 1 b k ik + c k ik a k+1, ik+1 a n in 1 Ni 1,i 2,,i n a 1 i1 a 2 i2 a k 1, ik 1 b k ik a k+1, ik+1 a n in + 1 Ni 1,i 2,,i n a 1 i1 a 2 i2 a k 1, ik 1 c k ik a k+1, ik+1 a n in Мы получили, что первая сумма даёт определитель n-го порядка, отличающийся от заданного определителя лишь тем, что в k-й строке вместо элементов a kj стоят элементы b kj Соответственно вторая сумма составляет определитель n-го порядка, отличающийся от заданного определителя лишь тем, что в k-й строке вместо элементов a kj стоят элементы c kj Свойство 7 без труда распространяется на случай, когда всякий элемент k-й строки есть сумма не двух, a m слагаемых, m 2 Определение 21 Будем говорить, что k-я строка определителя есть линейная комбинация его остальных строк, если для всякой строки с номером i, i 1, 2,, k 1, k + 1,, n 1, n, можно указать такое число α i, что, умножая i-ю строку на α i, а затем складывая все строки, 21

22 кроме k-й причем сложение строк следует понимать так, что складываются элементы всех этих строк в каждом столбце отдельно, мы получим k-ю строку Некоторые из коэффициентов α i могут быть равными нулю, те k-я строка будет на самом деле линейной комбинацией не всех, а лишь некоторых из оставшихся строк В частности, если лишь один из коэффициентов α i отличен от нуля, мы получаем случай пропорциональности двух строк Наконец, если строка состоит целиком из нулей, то она всегда будет линейной комбинацией остальных строк, случай, когда все α i равны нулю Свойство 8 Определитель матрицы со строкой, являющейся линейной комбинацией других строк Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю В самом деле, пусть k-я строка будет линейной комбинацией s других строк, 1 s n 1 Всякий элемент k-й строки будет тогда суммой s слагаемых, а поэтому, применяя свойство 7, мы представим наш определитель в виде суммы определителей, в каждом из которых k-я строка будет пропорциональна одной из других строк По свойству 6 все эти определители равны нулю; равен нулю, следовательно, и заданный определитель Это свойство является обобщением свойства 6 Свойство 9 Сложение строк определителя Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число Пусть, в самом деле, к k-й строке определителя det A прибавляется i-я строка, умноженная на число α, те в новом определителе всякий элемент k-й строки имеет вид a kj + α a ij j 1, n Тогда, на основании свойства 7, этот определитель равен сумме двух определителей, из которых первый есть det A, а второй содержит две пропорциональные строки и поэтому равен нулю Так как число α может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной его строки другой строки, умноженной на некоторое число Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк Определение 22 Рассмотрим элемент a ij квадратной матрицы A раз- 22

23 мерности n A a 11 a 12 a 1, j 1 a 1j a 1, j+1 a 1n a 21 a 22 a 2, j 1 a 2j a 2, j+1 a 2n a i 1, 1 a i 1, 2 a i 1, j 1 a i 1, j a i 1, j+1 a i 1, n a i1 a 12 a i, j 1 a ij a i, j+1 a in a i+1, 1 a i+1, 2 a i+1, j 1 a i+1, j a i+1, j+1 a i+1, n a n1 a n2 a n, j 1 a nj a n, j+1 a nn Вычеркнем в этой матрице i-ю строку и j-й столбец Останется матрица порядка n 1 Её определитель, взятый со знаком плюс, если сумма i + j чётное число, и со знаком минус, если эта сумма нечётная, называется алгебраическим дополнением элемента a ij и обозначается A ij A ij 1 i+j a 11 a 12 a 1, j 1 a 1, j+1 a 1n a 21 a 22 a 2, j 1 a 2, j+1 a 2n a i 1, 1 a i 1, 2 a i 1, j 1 a i 1, j+1 a i 1, n a i+1, 1 a i+1, 2 a i+1, j 1 a i+1, j+1 a i+1, n a n1 a n2 a n, j 1 a n, j+1 a nn Пример 14 а Выпишем алгебраические дополнения элементов матрицы второго порядка a11 a A a 21 a A a 22 a 22 6, A a 21 a , A a 12 a 12 5, A a 11 a 11 3 б Выпишем алгебраические дополнения элементов матрицы третьего порядка A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a a 31 a 32 a A a 22 a 23 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a , 23

24 A a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 23 a 31 a , A a 21 a 22 a 31 a 32 a 21 a 22 a 31 a , A a 12 a 13 a 32 a 33 a 12 a 13 a 32 a , A a 11 a 13 a 31 a 33 a 11 a 13 a 31 a , A a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 31 a , A a 12 a 13 a 22 a 23 a 12 a 13 a 22 a , A a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 13 a 21 a , A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a Свойство 10 Разложение определителя по элементам строки Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов некоторой i-й его строки на их алгебраические дополнения: det A a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in Замечание 6 Заметим, что если некоторые из элементов i-й строки определителя, по которой производится его разложение, 24

25 равны нулю, то соответствующие им алгебраические дополнения не нужно будет вычислять Ввиду этого полезно предварительно так преобразовать определитель, используя свойство 9, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов достаточно много элементов оказалось замененными нулями В действительности свойство 9 позволяет в любой строке или любом столбце заменить нулями все элементы, кроме одного Как уже отмечалось выше, было бы затруднительно вычислять определители n-го порядка, применяя непосредственно их определение те каждый раз выписывая все n! слагаемых, определяя их знаки В силу свойства 10, определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков В частности, для определителя третьего порядка имеем разложение определителя по элементам первой строки a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 a a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 ; разложение определителя по элементам второй строки a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 a a 12 a a 32 a 33 + a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 a 23 a 11 a 12 a 31 a 32 ; разложение определителя по элементам третьей строки a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 a a 12 a a 22 a 23 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 + a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 Пример 15 Вычислим определитель четвёртого порядка a 11 a 12 a 13 a det A a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a , a 41 a 42 a 43 a

26 воспользовавшись его разложением по элементам второй строки det A a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 + a 24 A 24 Вычислим алгебраические дополнения A 2j, j 2, 3, 4 так как элемент a 21 0, то соответствующее ему алгебраическое дополнение вычислять нет смысла a 11 a 13 a 14 A a 31 a 33 a 34 a 41 a 43 a 44 a 11 a 13 a 14 a 31 a 33 a 34 a 41 a 43 a , a 11 a 12 a 14 A a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 a 11 a 12 a 14 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a , a 11 a 12 a 13 A a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a det A a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 + a 24 A 24 0 A Обратная матрица 41 Основные понятия Определение 23 Если для квадратных матриц A и B размерности n выполняются соотношения A B E, B A E, 2 26

27 где E единичная матрица размерности n, то матрица B называется обратной к матрице A и обозначается A 1 Замечание 7 Отметим, что если A B E и C A E, то B C Действительно, B E }{{} C A B C A B C A B C E C }{{} E Пример 16 Покажем, что матрица B является обратной для матрицы A , те проверим выполнение соотношений 2 Найдём матричные произведения A B B A E, Следовательно, матрица B является обратной для матрицы A E Обратная матрица существует не для любой квадратной матрицы Например, очевидно, что нулевая матрица не может иметь обратную, поскольку при умножении её на любую другую матрицу будем получать нулевую, а не единичную Прежде чем сформулировать критерий необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы введём несколько вспомогательных понятий и утверждений 27

28 Лемма 3 Определитель произведения двух квадратных матриц одинаковой размерности равен произведению определителей сомножителей: det A B det A det B Определение 24 Квадратная матрица A размерности n называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля det A 0, и вырожденной в противном случае det A 0 Определение 25 Матрицей, союзной к квадратной матрице A размерности n a 11 a 12 a 1n A a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn называется матрица, транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A: A A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn T A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn где A ij алгебраическое дополнение элемента a ij матрицы A Теорема 1 Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы Для того, чтобы у матрицы A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной det A 0 Тогда A 1 1 det A A, те элементы обратной матрицы B A 1 находятся по формуле b ij 1 det A A ji, где A ij алгебраическое дополнение элемента a ij матрицы A Доказательство Необходимость Покажем, что для того, чтобы у матрицы A существовала обратная, необходимо, чтобы матрица A была невырожденной det A 0 Пусть у матрицы A существует обратная матрица A 1 Тогда согласно определению обратной матрицы, для неё имеют место следующие соотношения: A A 1 A 1 A E, Воспользовавшись леммой 3, получаем очевидную цепочку равенств: det A det A 1 det A A 1 det E 1 Определитель матрицы A, если для неё существует обратная, должен быть обязательно отличен от нуля det A 0 28

29 Достаточность Покажем, что для того, чтобы у матрицы A существовала обратная, достаточно, чтобы матрица A была невырожденной det A 0 Пусть матрица A является невырожденной det A 0 Тогда введём в рассмотрение матрицу B 1 det A A те матрицу, элементы которой определяются по формуле b ij 1 det A A ji, где A ij алгебраическое дополнение элемента a ij матрицы A и покажем, что она является обратной для матрицы A Рассмотрим матричное произведение C A B это есть матрица с элементами n n A jk c ij a ik b kj a ik det A 1 n a ik A jk det A k1 k1 1 det A a i1a j1 + a i2 A j2 + + a in A jn Последнюю сумму можно рассматривать как разложение некоторого определителя по элементам j-й строки с элементами a i1, a i2,, a in, причём если i j, то это в точности определитель матрицы A, в противном случае i j в этом определителе есть две одинаковые строки i-я и j-я Следовательно, { 1 c ij det A det A 1 при i j, 0 при i j Таким образом, произведение C A B это матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нули, те C A B E Аналогичным образом рассмотрим матричное произведение H B A это есть матрица с элементами n n A ki h ij b ik a kj det A a kj 1 n A ki a kj det A k1 k1 1 det A A 1ia 1j + A 2i a 2j + + A ni a nj Последнюю сумму можно рассматривать как разложение некоторого определителя по элементам i-го столбца с элементами a 1j, a 2j,, a nj, причём если i j, то это в точности определитель матрицы A, в противном случае i j в этом определителе есть два одинаковых столбца i-й и j-й Следовательно, { 1 h ij det A det A 1 при i j, 0 при i j Таким образом, произведение H B A это матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нули, те H B A E Теорема доказана 29 k1 k1

30 Пример 17 Определить, при какихзначениях параметра λ существует матрица, обратная к матрице A λ В силу критерия необходимого и достаточного условия существования обратной матрицы, нужно определить, при каких значениях параметра λ матрица A является невырожденной det A 0 Найдём определитель матрицы A по правилу треугольников правилу Саррюса: det A λ λ λ λ λ 4λ 9 Если 4λ 9 0, те λ 9 4, то матрица A является невырожденной det A 0, а значит, имеет обратную Пример 18 Найти матрицу, обратную к матрице A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a a 31 a 32 a Сосчитаем определитель матрицы A, воспользовавшись правилом треугольников правилом Саррюса: det A Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A A a 22 a 23 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a , A a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 23 a 31 a , A a 21 a 22 a 31 a 32 a 21 a 22 a 31 a 32 30

31 , A a 12 a 13 a 32 a 33 a 12 a 13 a 32 a , A a 11 a 13 a 31 a 33 a 11 a 13 a 31 a , A a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 31 a , A a 12 a 13 a 22 a 23 a 12 a 13 a 22 a , A a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 13 a 21 a , A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a Выпишем матрицу, союзную к матрице A A A T 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 31 A 32 A 33 A 13 A 23 A T Таким образом, A 1 1 det A A

32 Убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной для матрицы A, можно проверив выполнение соотношений A A 1 A 1 A E Свойства обратной матрицы: 1 A 1 1 A; 2 A B 1 B 1 A 1 ; 3 A 1 T A T 1 ; 4 αa 1 1 α A 1 ; 5 det A A 1 1 или, что то же самое, det A 1 1 det A 42 Матричные уравнения Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: 1 AX B, где A известная невырожденная det A 0 квадратная матрица размерности n, B известная матрица размерности n m, X неизвестная матрица размерности n m В силу критерия необходимого и достаточного условия существования обратной матрицы, так как A невырожденная, то для неё существует обратная Умножим уравнение слева на матрицу A 1, получим A 1 A X A 1 B Поскольку A 1 A E и E X X, то найдём решение X A 1 B Пример 19 Решить матричное уравнение AX B, где a11 a A b11 b, B 12 b a 21 a b 21 b 22 b Сосчитаем определитель det A a 11 a 12 a 21 a a 11 a 22 a 12 a Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A A a 22 a 22 5, A a 21 a 21 2, A a 12 a 12 3, A a 11 a

33 Выпишем матрицу, союзную к матрице A A T A11 A 12 A11 A A 21 A 22 A 12 A Таким образом, A 1 1 det A A , X A B XA B, где A известная невырожденная det A 0 квадратная матрица размерности m, B известная матрица размерности n m, X неизвестная матрица размерности n m В силу критерия необходимого и достаточного условия существования обратной матрицы, так как A невырожденная, то для неё существует обратная Умножим уравнение справа на матрицу A 1, получим X A A 1 B A 1 Поскольку A A 1 E и X E X, то найдём решение X BA 1 Пример 20 Решить матричное уравнение XA B, где a11 a A , B b 11 b 12 b a 21 a b b 31 b Сосчитаем определитель det A a 11 a 12 a 21 a a 11 a 22 a 12 a Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A A a 22 a 22 3, A a 21 a 21 4, A a 12 a 12 2, A a 11 a

34 Выпишем матрицу, союзную к матрице A T A A11 A 12 A 21 A 22 Таким образом, A 1 1 det A A 1 X BA A11 A 21 A 12 A , 3 AXB C, где A известная невырожденная det A 0 квадратная матрица размерности n, B известная невырожденная det B 0 квадратная матрица размерности m, C известная матрица размерности n m, X неизвестная матрица размерности n m Разобъём исходное матричное уравнение на два так, чтобы свести рассмотрение к двум уже изученным случаям: A }{{} XB C AY C, XB Y Y Рассмотрим матричное уравнение AY C, где A известная невырожденная det A 0 квадратная матрица размерности n, C известная матрица размерности n m, Y неизвестная матрица размерности n m В силу критерия необходимого и достаточного условия существования обратной матрицы, так как A невырожденная, то для неё существует обратная Умножим уравнение слева на матрицу A 1, найдём решение Y A 1 C Рассмотрим матричное уравнение XB Y, где B известная невырожденная det B 0 квадратная матрица размерности m, Y A 1 C известная матрица размерности n m, X неизвестная матрица размерности n m В силу критерия необходимого и достаточного условия существования обратной матрицы, так как B невырожденная, то для неё существует обратная Умножим уравнение справа на матрицу B 1, найдём решение X Y B 1 A 1 CB 1 34

35 Пример 21 Решить матричное уравнение AXB C, где a11 a A b11 b, B a 21 a b 21 b C c11 c 12 c 21 c Сосчитаем определитель det A a 11 a 12 a 21 a a 11 a 22 a 12 a Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A A a 22 a 22 1, A a 21 a 21 2, A a 12 a , A a 11 a 11 3 Выпишем матрицу, союзную к матрице A T A A11 A 12 A11 A A 21 A 22 A 12 A Таким образом, A 1 1 det A A ,, Y A C Сосчитаем определитель det B b 11 b 12 b 21 b b 11 b 22 b 12 b Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы B B b 22 b 22 5, B b 21 b 21 3, 35

36 B b 12 b 12 3, B b 11 b 11 2 Выпишем матрицу, союзную к матрице B B T B11 B 12 B11 B B 21 B 22 B 12 B Таким образом, B 1 1 det B B , X Y B Миноры и ранг матрицы Определение 26 Рассмотрим матрицу A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn размерности m n Выделим в ней k строк и k столбцов те вычеркнем из неё несколько строк и столбцов, чтобы осталось ровно k строк и k столбцов, где k min {m, n}, min {m, n} наименьшее из чисел m и n Элементы, стоящие на пересечении выделенных k строк и k столбцов, образуют квадратную матрицу размерности k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A Пример 22 Выписать все миноры матрицы A a 11 a 12 a 13 a 14 a a 21 a 22 a 23 a 24 a a 31 a 32 a 33 a 34 a В силу условия k min {m, n} min {3, 5} 3, у данной матрицы есть миноры первого, второго и третьего порядка Элементы матрицы A являются её минорами первого порядка их у рассматриваемой матрицы штук 36

37 Выпишем миноры второго порядка матрицы A, будем обозначать их строчной латинской буквой m с нижним индексом: m 1 a 11 a 12 a 21 a , m 2 a 11 a 13 a 21 a , m 3 a 11 a 14 a 21 a , m 4 a 11 a 15 a 21 a , m 5 a 12 a 13 a 22 a , m 6 a 12 a 14 a 22 a , m 7 a 12 a 15 a 22 a , m 8 a 13 a 14 a 23 a , m 9 a 13 a 15 a 23 a , m 10 a 14 a 15 a 24 a , m 11 a 11 a 12 a 31 a , m 12 a 11 a 13 a 31 a , m 13 a 11 a 14 a 31 a , m 14 a 11 a 15 a 31 a , m 15 a 12 a 13 a 32 a , m 16 a 12 a 14 a 32 a , m 17 a 12 a 15 a 32 a , m 18 a 13 a 14 a 33 a , m 19 a 13 a 15 a 33 a , m 20 a 14 a 15 a 34 a , m 21 a 21 a 22 a 31 a , m 22 a 21 a 23 a 31 a , m 23 a 21 a 24 a 31 a , m 24 a 21 a 25 a 31 a , m 25 a 22 a 23 a 32 a , m 26 a 22 a 24 a 32 a , m 27 a 22 a 25 a 32 a , m 28 a 23 a 24 a 33 a , m 29 a 23 a 25 a 33 a , m 30 a 24 a 25 a 34 a Выпишем миноры третьего порядка матрицы A, будем обозначать их прописной латинской буквой M с нижним индексом: M 1 M 3 M 5 M 7 M 9 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 15 a 21 a 22 a 25 a 31 a 32 a 35 a 11 a 13 a 15 a 21 a 23 a 25 a 31 a 33 a 35 a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 a 12 a 14 a 15 a 22 a 24 a 25 a 32 a 34 a , M 2, M 4, M 6, M 8, M 10 a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 a 11 a 13 a 14 a 21 a 23 a 24 a 31 a 33 a 34 a 11 a 14 a 15 a 21 a 24 a 25 a 31 a 34 a 35 a 12 a 13 a 15 a 22 a 23 a 25 a 32 a 33 a 35 a 13 a 14 a 15 a 23 a 24 a 25 a 33 a 34 a ,,,, Определение 27 Наибольший из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы A называется рангом матрицы A Обозначается r A или rang A Другими словами, если в матрице A имеется минор k-го порядка, не равный нулю, а все её миноры k + 1-го порядка, окаймляющие этот минор те содержащие минор k-го порядка целиком внутри себя, если они определены, равны нулю, то ранг матрицы есть r A k 37

38 Определение 28 Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным У матрицы может быть несколько базисных миноров: если ранг матрицы A есть r A k, то базисным минором матрицы A называется любой ненулевой минор k-го порядка Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров: 1 Найти ненулевой элемент матрицы если такого нет, то ранг матрицы равен нулю 2 Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент 3 Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю В этом случае ранг матрицы равен r A k Пример 23 Найти ранг матрицы: A a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a a 31 a 32 a 33 a Будем применять метод окаймления миноров Элемент a 11 2 минор первого порядка отличен от нуля Вычислим миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент: M 1 a 11 a 12 a 21 a , M 2 a 11 a 13 a 21 a , M 3 a 11 a 14 a 21 a , M 4 a 11 a 12 a 31 a , M 5 a 11 a 13 a 31 a , M 6 a 11 a 14 a 31 a Все миноры третьего порядка равны нулю тк содержат нулевой столбец Значит, r A 2 Базисный минор те минор, порядок которого определяет ранг матрицы стоит на пересечении первой и третьей 38

39 строки с первым и третьим столбцами Нетрудно видеть, что базисным также является минор, который стоит на пересечении второй и третьей строки с первым и третьим столбцами M a 21 a 23 a 31 a Определение 29 Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: перестановка местами двух строк столбцов матрицы; умножение всех элементов некоторой строки некоторого столбца матрицы на число, отличное от нуля; прибавление ко всем элементам некоторой строки некоторого столбца матрицы соответствующих элементов другой её строки другого её столбца, умноженных на одно и то же число Определение 30 Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований Записывается A B Отметим свойства ранга матрицы: 1 При транспонировании матрицы её ранг не меняется 2 Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку нулевой столбец, то ранг матрицы не изменится 3 Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы Определение 31 Матрица A размерности m n называется трапецеидальной, если она имеет вид a 11 a 12 a 1k a 1n 0 a 22 a 2k a 2n A a kk a kn, где a 11, a 22,, a kk отличны от нуля, k min {m, n} 39

40 Ранг трапецеидальной матрицы равен числу k её ненулевых строк Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к трапецеидальному виду На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы и ранг трапецеидальной матрицы равен числу её ненулевых строк, то для отыскания ранга матрицы надо: 1 элементарными преобразованиями привести матрицу к трапецеидальному виду; 2 подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице Пример 24 Найти ранг матрицы: a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 A a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a Вычтем первую строку, умноженную на подходящий множитель из всех остальных, чтобы получить нули в первом столбце со второй по последнюю строку: A поменяли местами вторую и третью строки Вычтем вторую строку, умноженную на подходящий множитель из всех остальных, чтобы получить нули во втором столбце с третьей по последнюю строку:


Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами. ЛЕКЦИЯ Понятие о матрице и ее свойства Действия над матрицами Понятие матрицы Матрицей порядка (размерности ) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую столбцов: ( ) i строк

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах.

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах. ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А Б СОБОЛЕВ, А Ф РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ В двух книгах Книга 1 Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Часть 1. Матрицы.

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее