10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ"

Транскрипт

1 . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным вектором (или короче нормалью для этой прямой. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор коллинеарный этой прямой т.е. принадлежащий или параллельный ей. Две прямые называются коллинеарными если они параллельны или совпадают. Общее уравнение прямой на плоскости: + B + C + B. (. Способ задания: прямая проходит через точку перпендикулярно вектору ( n i + B j (рис..а. Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициенты B координаты нормали n i + B j C B. ; свободный член j ( r ( r i а Нормаль n i + B j Рис.. β Нормированное уравнение прямой cos α + cos βρ n α ρ б Обозначая через r и r радиус-векторы точек ( и ( соответственно можно записать векторное уравнение прямой на плоскости проходящей через точку перпендикулярно нормали n i + B j : ( r r n. Равенство нулю скалярного произведения выражает условие перпендикулярности векторов r r и n (см. разд.9.7. В координатной форме уравнение имеет вид: ( + B (. (. (

2 Нормированное уравнение прямой на плоскости: cos α + cosβ ρ ρ. (. Способ задания: прямая проходит через точку перпендикулярно вектору n α i + cosβ j ( cos (рис..а. Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициенты cos направляющие косинусы нормали n cos α i + cosβ j ; свободный член cos α β ρ расстояние от начала координат до прямой (рис..б. + B + B Векторное параметрическое уравнение прямой на плоскости: Направляющий вектор прямой i + j ( r r Рис.. ( r r + t t o. (.4 Способ задания: прямая проходит через точку ( определяемую радиус-вектором r коллинеарно направляющему вектору o (рис... Параметр t в уравнении (.4 имеет следующий геометрический смысл: величина t пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки определяемой радиусвектором r. Физический смысл параметра t это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При t точка совпадает с начальной точкой ( r r при возрастании t движение происходит в направлении определяемом направляющим вектором.

3 Параметрическое уравнение прямой на плоскости: + t + t t +. (.5 Способ задания: прямая проходит через точку коллинеарно вектору ( i + j (рис... Геометрический смысл коэффициентов: и координаты i + j прямой; координаты точки ( направляющего вектора принадлежащей прямой. Параметр t имеет тот же смысл что и в уравнении (.4. Заметим что уравнение (.5 есть координатная форма записи уравнения (.4. Каноническое уравнение прямой на плоскости: +. (.6 Способ задания: прямая проходит через точку коллинеарно вектору ( i + j (см. рис... Геометрический смысл коэффициентов: и координаты направляющего вектора i + j прямой; координаты точки ( принадлежащей прямой. Один из знаменателей или в уравнении (.6 может быть равен нулю при этом считается что соответствующий числитель дроби равен нулю: это уравнение прямой параллельной оси ординат; это уравнение прямой параллельной оси абсцисс. ( Рис.. Направляющий вектор прямой i + j

4 Аффинное уравнение прямой на плоскости проходящей через две заданные точки: Уравнение (.7 можно записать в координатной форме: ( t + t t. ( t + t r ( t r + t r t. (.7 Способ задания: прямая проходит через две заданные точки и ( ( определяемые радиус-векторами r и r соответственно (рис..4. Радиус-вектор r определяет положение точки ( принадлежащей прямой. Геометрический смысл коэффициентов: и координаты точек ( и ( через которые проходит прямая (.7. Параметр t в уравнении (.7 определяет положение точки ( принадлежащей прямой. Например при t точка совпадает с точкой r r а при t с точкой ( r r. ( r r ( ( r Рис..4 ( Y ( X ( Рис..5 Y Угловой коэффициент k tg α ( Рис..6 α 4

5 : ( Уравнение прямой на плоскости проходящей через две точки ( и. (.8 Способ задания: прямая проходит через две заданные точки ( и ( (см. рис..4. Геометрический смысл коэффициентов: и координаты точек ( и ( через которые проходит прямая (.8. Как и в каноническом уравнении один из знаменателей дробей в (.8 может быть равен нулю при этом считается что соответствующий числитель этой дроби равен нулю. Уравнение прямой "в отрезках": +. (.9 Способ задания: прямая проходит через две заданные точки X ( и Y ( (рис..5. Геометрический смысл коэффициентов: прямая (.9 отсекает на координатных осях "отрезки" на оси абсцисс и на оси ординат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (или уравнение прямой разрешенное относительно : k + k tg α. (. π α Способ задания: прямая проходит через точку Y и образует угол α ( α < π ( с положительным направлением оси абсцисс (рис..6. Геометрический смысл коэффициентов: k угловой коэффициент прямой а ордината точки Y ( через которую проходит прямая (.. Если прямая проходит через заданную точку то применяется уравнение прямой с угловым коэффициентом вида: k. ( ( 5

6 Способы перехода от одного типа уравнения прямой к другому. Для перехода от общего уравнения прямой (. к нормированному уравнению (. достаточно разделить обе части общего уравнения на длину нормали n + B если свободный член отрицательный ( С < либо разделить на противоположную величину n + B если свободный член неотрицательный ( С.. Для перехода от общего уравнения прямой (. к каноническому уравнению (.6 нужно выполнить следующие действия: найти любое решение ( уравнения + B + C определяя тем самым координаты точки принадлежащей прямой; ( найти любое ненулевое решение ( однородного уравнения + B определяя тем самым координаты направляющего вектора в частности можно взять B ; записать каноническое уравнение (.6.. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему достаточно перенести все члены уравнения (.6 в левую часть: Полученное уравнение (при +. имеет вид (. с B C. 6

7 4. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому следует приравнять левую и правую части уравнения (.6 параметру t и записать полученное двойное равенство в виде системы (.5: t + t + t t. 5. Перейти от общего уравнения прямой (. к уравнению "в отрезках" (.9 можно при условии что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: + B C а затем разделить обе части уравнения на "в отрезках" (.9: B C : + C C +.. Обозначая C C B получить уравнение 6. Чтобы перейти от общего уравнения прямой (. + B + C к уравнению с угловым коэффициентом (. нужно разрешить общее уравнение относительно неизвестной : где k B C B C k + B B. Такой переход возможен при условии B. 7

8 Пример.. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат K и L ( 5. Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку KL (рис..7. Серединный перпендикуляр по определению проходит перпендикулярно отрезку KL через его середину. Находим координаты середины отрезка KL (см. частный случай заданы точки ( формулы (9. в разд.9..: т.е. (. Вектор KL можно взять в качестве нормали для серединного перпендикуляра. Определяем координаты этого вектора вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала: K Рис..7 L KL n B 5 4. Следовательно уравнение (. искомой прямой имеет вид 4 + C. Осталось найти величину свободного члена С. Поскольку точка ( принадлежит прямой то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой следовательно 4 + C. Отсюда C. Таким образом серединный перпендикуляр задается общим уравнением 4 5. Уравнение этой прямой можно было получить в виде (. подставляя координаты нормали n ( 4 T и точки ( : 4 ( (. Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения (см. рис..7. Чертеж в аналитической геометрии служит как правило лишь иллюстрацией к решению. 8

9 Пример.. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат заданы прямая уравнением + и точка ( 56 (рис..8. Требуется: а составить параметрическое уравнение прямой m проходящей через точку перпендикулярно заданной прямой; б найти ортогональную проекцию точки на прямую ; в определить координаты точки симметричной точке относительно прямой. а Нормаль n к прямой является направляющим вектором для прямой m. Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой : n i j тогда i j 5 6. Составляем параметрическое уравнение (.5 прямой m : m 5 + t 6 + ( t t. б Проекция точки является точкой пересечения прямых m и. Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой : + выражения координат 5 + t 6 t из параметрического уравнения прямой m. Получаем уравнение 5 + t ( 6 t + t t. Значению параметра t отвечает точка с координатами Следовательно искомая точка ( в В п."а" составлено параметрическое уравнение прямой m. В этом уравнении при t получаем точку при t точку значит искомую точку получим при поскольку в силу симметрии. Вычисляем координаты искомой точки: ( ( т.е. ( 7. Рис..8 n t 9

10 ... ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Пусть две прямые и заданы их общими уравнениями либо уравнениями с угловым коэффициентом: : + B + C ; : + B + C ; : k +. : k + Судить о взаимном расположении двух прямых на плоскости по коэффициентам задающих их уравнений позволяют следующие критерии: параллельности прямых: совпадения прямых: коллинеарности прямых: пересечения прямых: перпендикулярности прямых: B C либо k k ; B C B C либо k k ; B C B либо k B B B k ; либо k k ; + B B либо k k. Если прямые пересекаются то координаты общей точки находятся в результате решения одной из систем: + B + B + C + C либо k k + +.

11 Пример.5. Выяснить взаимное расположение каждой пары прямых (пересечение параллельность совпадение перпендикулярность в случае пересечения прямых найти их общую точку: а ; б ; в ; г ; д ; е то а Так как B B C C б Так как B C 4 B C 6 и. Следовательно прямые совпадают. B C 6 4 B 6 C и Следовательно прямые параллельны. 4 B B B B C C то C C 6 B. в Так как B C 4 B 6 C 6 то B 6 8 B 4 ( Следовательно B B и прямые пересекаются. Поскольку + B B 4 + ( 6 то прямые перпендикулярны. Координаты точки ( ; пересечения прямых удовлетворяют системе уравнений B C B 4 г Поскольку + B B + ( 4 7 и 8. C то B B и. Поэтому прямые пересекаются но не являются перпендикулярными. Координаты точки ( ; пересечения прямых удовлетворяют системе уравнений д Так как 4 k k 4 то k и k Поэтому прямые параллельны. е Для первой прямой имеем k. Разрешая второе уравнение относительно у получаем уравнение + т.е k. Поскольку k k то прямые пересекаются. Так как k k ( то прямые перпендикулярны. Координаты точки ( ; пересечения прямых удовлетворяют системе уравнений + +. B C C

12 ... МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний и величин углов по уравнениям образующих их прямых. Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол а два смежных угла дополняющих друг друга до π. В элементарной геометрии из двух смежных углов как правило выбирается меньший т.е. величина ϕ угла между двумя прямыми удовлетворяет условию ϕ π.. Расстояние d от точки ( до прямой + B + C (рис..а вычисляется по формуле d + B + B + C. d ( + B + C d ( + B + C + B + C а Рис.. б. Расстояние между параллельными прямыми + B + C и + B + C ( (рис..б находится как расстояние d от точки координаты которой удовлетворяют уравнению + B + C до прямой + B + C по формуле d + B + C. + B

13 а. Острый угол ϕ между двумя прямыми и находится по формулам + cosϕ если i + j и + + i + j направляющие векторы прямых и соответственно (в случае задания прямых каноническими или параметрическими уравнениями (рис..а; и и б cos + B + B B ϕ если n i + B j + B и n i + B j + нормали к прямым соответственно (в случае задания прямых общими уравнениями (рис..а; в k k tg ϕ k + k k k если tg α k и tg α k угловые коэффициенты прямых соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффициентами (рис..б. Если k k то ϕ π поскольку прямые перпендикулярны (см. разд... ϕ n n а ϕ ϕ Рис.. k tg α k tg α α α б ϕ α α

14 Пример.6. Найти: а расстояние от точки ( до прямой ; + 6 и б расстояние между параллельными прямыми ; в острый угол между прямыми г острый угол между прямыми д острый угол между прямыми а Воспользуемся формулой п. ( : и : + 4 ; 4 и и +. + B + C + 4 ( + 5 C : d. + B B 4 б Выберем произвольную точку на второй прямой. Например точку ( (при B C 6 : ( + B + C + ( 6 7 d. + B +. Тогда по формуле п. получаем в По общим уравнениям прямых находим нормали n i + B j i j n i + B j i j а также ϕ угол между прямыми используя формулу п."б" (при B B : cos ϕ + B + B B + B + + ( ( ( + ( 5 5 ; ϕ π. 4 4

15 г Прямые заданы каноническими уравнениями. По коэффициентам уравнений находим направляющие векторы i + j i j i + j i j а затем угол ϕ между прямыми по формуле п."а" (при : cos ϕ tg ϕ его: ( ( + ( ( + ( + ( 5 5 ϕ π. 4 д По уравнениям прямых определяем их угловые коэффициенты: затем угол ϕ между прямыми по формуле п."в": π 4 π 4 Рис.. tg ϕ k + k k k ( + ( т.е. ϕ π. 4 k k Пример.7. Составить уравнение прямой проходящей через точку на оси ординат и образующей с прямой + угол π. 4 Искомая прямая (с угловым коэффициентом k образует с заданной прямой (с угловым коэффициентом острый угол ϕ π. По формуле п."в" учитывая что угол ϕ острый составляем уравнение и упрощаем k + k k ± + k k k + Отсюда находим два решения: k или k. Следовательно учитывая (. при поставленной задаче удовлетворяют две прямые (рис.. : + или : + k. Заметим что эти прямые взаимно перпендикулярны поскольку выполняется ( условие k k. k. а 4 5

16 .. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА... КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида где старшие коэффициенты не равны нулю одновременно ( + +. Для каждой линии второго порядка существует прямоугольная система координат в которой уравнение принимает наиболее простой (канонический вид. Она называется канонической а уравнение каноническим уравнение эллипса; Канонические уравнения линий второго порядка уравнение мнимого эллипса; уравнение пары мнимых пересекающихся прямых; уравнение гиперболы; уравнение пары пересекающихся прямых; 6

17 6. уравнение параболы; 7. уравнение пары параллельных прямых; 8. + уравнение пары мнимых параллельных прямых; 9. уравнение пары совпадающих прямых. В этих уравнениях > > > причем в уравнениях. Линии ((4 (7(9 называются вещественными (действительными а линии (((8 мнимыми. Вещественные линии изображены в канонических системах координат. Изображения мнимых линий даются штриховкой только для иллюстрации. Линия второго порядка называется центральной если она имеет единственный центр (симметрии. В противном случае если центр отсутствует или не является единственным линия называется нецентральной. К центральным линиям относятся эллипсы (вещественный и мнимый гипербола пара пересекающихся прямых (вещественных и мнимых. Остальные линии нецентральные. 7

18 ... ЭЛЛИПС Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и есть величина постоянная ( бóльшая расстояния ( c между этими заданными точками (рис..4а. Точки и называются фокусами эллипса расстояние между ними c фокусным расстоянием середина отрезка центром эллипса. Отрезки и соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами называются фокальными радиусами точки. Отношение c e называется эксцентриситетом эллипса. Из определения ( c > следует что e <. Чем больше e тем эллипс более вытянут. При e т.е. при c фокусы и а также центр совпадают и эллипс является окружностью радиуса. В канонической системе координат введенной так как показано на рис..4б эллипс описывается каноническим уравнением + где c. Координатные оси (канонической системы координат являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса а его центр центром симметрии. Числа и называются большой и малой полуосями эллипса соответственно отношение k коэффициентом сжатия. Прямые ± ± ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник внутри которого находится эллипс (см. рис..4б. Точки пересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса. Эллипс + c ( rϕ r ϕ с а б Рис..4 в 8

19 где Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид cost sin t t < π. Уравнение эллипса в полярной системе координат r e cosϕ фокальный параметр эллипса < ( ( Уравнение + e. r ϕ (рис..4в имеет вид определяет эллипс с центром в точке ( оси которого параллельны координатным осям (рис..5а. Это уравнение сводится к каноническому путем параллельного переноса. При < это же уравнение определяет эллипс фокусы которого расположены на оси параллельной оси (рис..5б. В этом случае уравнение сводится к каноническому путем параллельного переноса и переименования координатных осей (см. разд.9... При R уравнение ( + ( R описывает окружность радиуса R с центром в точке (рис..5в. ( а < с б Рис..5 R в R 9

20 Пример.9. Изобразить эллипсы а ; б + ; в + + ( ( ( ( + в исходной ( и канонической ( системах координат. Найти полуоси фокусное расстояние эксцентриситет коэффициент сжатия фокальный параметр. а Система координат является канонической так как заданное уравнение имеет канонический вид. По уравнению определяем полуоси: большая полуось малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 4 с центром в начале координат (рис..6а. Учитывая симметричность эллипса вписываем его в основной прямоугольник. Вычисляем коэффициент сжатия эксцентриситет e c c ; k ; фокусное расстояние ; фокальный параметр. ( ( б Сравнивая заданное уравнение с уравнением эллипса + определяем что. Учитывая рис..5а изображаем заданный эллипс в исходной и канонической системах координат (рис..6б. Заметим что каноническая система получается из исходной параллельным переносом на вектор s i + j. Другими словами замена неизвестных + + приводит уравнение к ( ( каноническому виду: +. Так как каноническое уравнение эллипса такое же как и в п."а" то и все остальные параметры эллипсов совпадают: k ; c ; e ;. s s а б в Рис..6

21 ( ( в Сравнивая заданное уравнение с уравнением эллипса + определяем что. Учитывая рис..5б изображаем заданный эллипс в исходной и канонической системах координат (рис..6в. Заметим что каноническая система получается из исходной параллельным переносом на вектор s i j и переименованием осей. Другими словами замена неизвестных + + приводит уравнение к каноническому виду: +. ( ( Так как каноническое уравнение эллипса такое же как в п."а""б" то все остальные параметры эллипсов совпадают: k ; c ; e ;.

22 ... ГИПЕРБОЛА Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и есть величина постоянная ( меньшая расстояния ( c между этими заданными точками (рис..7а. Точки и называются фокусами гиперболы расстояние c между ними фокусным расстоянием середина отрезка центром гиперболы. Отрезки и соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами называются фокальными радиусами точки. Отношение c e называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения ( < c следует что. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e тем шире ветви гиперболы а чем ближе e к единице тем ветви гиперболы ýже. В канонической системе координат введенной так как показано на рис..7б гипербола описывается каноническим уравнением где c. e > Гипербола ( rϕ c r ϕ К а б Рис..7 в

23 Координатные оси (канонической системы координат являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы а ее центр центром симметрии действительной полуосью гиперболы мнимой полуосью гиперболы. Прямые ± ± ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник вне которого находится гипербола (см. рис..7б. Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс называются вершинами гиперболы. Прямые ± содержащие диагонали основного прямоугольника называются асимптотами гиперболы (см. рис..7б. Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис..7в имеет вид r e cosϕ где фокальный параметр гиперболы > e. r ϕ вид Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет ch t sh t t где ch t e t + e t гиперболический косинус а sh t e t e t гиперболический синус.

24 ( ( Уравнение определяет гиперболу с центром в точке оси ( которой параллельны координатным осям (рис..8а. Это уравнение сводится к ( ( каноническому параллельным переносом. Уравнение + определяет сопряженную гиперболу (рис..8б с центром в точке. Это уравнение сводится к ( каноническому путем параллельного переноса и переименования координатных осей (см. разд.9... ( ( а ( ( + б 6 s в 4 Рис..8 4

25 ( 4 ( 6 Пример.. Изобразить гиперболы а ; б. Вычисляем фокусное расстояние c + + ; эксцентриситет 4 фокальный параметр. Уравнения асимптот такие же как в п."а". 5 ( 6 ( 4 в исходной ( и канонической системах координат. Найти полуоси фокусное расстояние эксцентриситет фокальный параметр уравнения асимптот. ( а Сравнивая заданное уравнение с уравнением гиперболы определяем что 4 6 (. Учитывая рис..8а строим основной прямоугольник со сторонами 4 6 с центром в начале канонической системы координат. Проводим асимптоты продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу учитывая ее симметричность относительно координатных осей (изображена на рис..8в сплошной линией. Заметим что каноническая система координат получается из исходной параллельным переносом на вектор s 4 i + 6 j. Другими словами замена неизвестных приводит ( ( уравнение к каноническому виду:. Вычисляем фокусное расстояние c + + ; эксцентриситет c 6 ± ( 4. Составляем уравнения асимптот ± т.е. ( б Сравнивая заданное уравнение с уравнением +. e ; фокальный параметр 4 5 ( ( получаем параметры 4 6 гиперболы сопряженной для гиперболы построенной в п."а". Учитывая рис..8б строим основной прямоугольник и асимптоты гиперболы как в п."а" а затем сопряженную гиперболу (штриховая линия на рис..8в. Заметим что каноническая система получается из исходной в результате параллельного переноса на вектор s 4 i + 6 j и переименования координатных осей. Другими словами замена неизвестных ( ( 6 приводит уравнение к каноническому виду: (здесь c e ;

26 ..4. ПАРАБОЛА Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от заданной точки и заданной прямой d не проходящей через заданную точку. Точка называется фокусом параболы прямая d директрисой параболы середина перпендикуляра опущенного из фокуса на директрису вершиной параболы расстояние от фокуса до директрисы параметром параболы а расстояние от вершины параболы до ее фокуса фокусным расстоянием (рис..9а. Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше тем шире ветви параболы чем ближе к нулю тем ветви параболы ýже. d d Парабола d а Прямая перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус называется осью параболы (фокальной осью параболы. Отрезок соединяющий произвольную точку параболы с ее фокусом называется фокальным радиусом точки. Эксцентриситет параболы по определению равен единице ( e. В канонической системе координат введенной так как показано на рис..9б парабола описывается каноническим уравнением. В этой системе координат уравнение директрисы d ( координаты фокуса. Оси канонической системы координат называются главными осями параболы. d б Рис..9 d d в ( rϕ r ϕ 6

27 Уравнение параболы в полярной системе координат где параметр параболы а Уравнение ( ( r e cosϕ r ϕ (рис..9в имеет вид e ее эксцентриситет. определяет параболу с вершиной ось ( которой параллельна оси абсцисс: при > направление осей и совпадают (рис..а а при < противоположные (рис..б. Это уравнение сводится к каноническому параллельным переносом (а также изменением направления оси абсцисс в случае <. ( > ( ( а Уравнение ( < ( б Рис.. также определяет параболу с вершиной ось которой параллельна оси ординат: при > направление осей и совпадают (рис..в а при < противоположные (рис..г Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса переименования координатных осей (а также изменения направления координатной оси в случае <. > в ( ( < г 7

28 Пример.. Изобразить параболы а ; б ( ( ; в ( ( + ; в исходной ( и в канонической ( системах координат. Найти параметр параболы координаты фокуса и уравнение директрисы. а Система координат является канонической так как заданное уравнение имеет канонический вид. По уравнению определяем параметр. Строим параболу учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис..а. Координаты фокуса т.е.. Составляем уравнение директрисы т.е.. ( б Сравнивая заданное уравнение с уравнением параболы определяем что симметричную относительно оси < (рис..б. (. Учитывая рис..б строим параболу Заметим что каноническая система координат получается из исходной в результате параллельного переноса на вектор s i + j и изменения направления оси абсцисс. Другими словами замена неизвестных + приводит уравнение к каноническому виду: (. Так как каноническое уравнение параболы такое же как и в п."а" то значение параметра уравнение директрисы фокуса совпадают с найденными в п."а". и координаты 8

29 5 а s 5 б Рис.. s 5 в в Сравнивая заданное уравнение с уравнением параболы ( определяем что ( >. Учитывая рис..в строим параболу симметричную относительно оси (рис..в. Заметим что каноническая система координат получается из исходной в результате параллельного переноса на вектор s i j и переименования координатных осей. Другими словами замена неизвестных + + приводит уравнение к каноническому виду: (. Так как каноническое уравнение параболы такое же как и в п."а" и координаты фокуса совпадают с найденными в п."а""б". "б" то уравнение директрисы 9


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Линии второго порядка

Линии второго порядка Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее