ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE"

Транскрипт

1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности прикладная информатика в экономике В основу данного курса положен подход - изучение линейной алгебры на примере рассмотрения соответствующих моделей в n-мерном арифметическом пространстве Такой подход считаю оправданным, поскольку основные понятия вводятся естественным образом и получают конкретное содержание При таком подходе, обучающийся видит откуда произрастают аксиоматические определения линейного пространства, линейного отображения, скалярного произведения для и тп Таким образом на первый план выводится вычислительные алгоритмы линейной алгебры и геометрический смысл вводимых понятий Лекции были записаны моими ученицами Емцева Марией и Петровой Мариной, за что я им выражаю искреннюю благодарность В дальнейшем материал лекций был существенно расширен и переработан 1 Арифметическое линейное пространство R n Арифметическое пространство R n определяется как множество упорядоченных n ок действительных чисел R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x 1 R, x 2 R,, x n R} В пространстве R n операции сложения и умножения на скаляр задаются следующим образом: если X R n, Y R n то X = (x 1, x 2,, x n ), Y = (y 1, y 2,, y n ), α R, X + Y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) и αx = (αx 1, αx 2,, αx n ) Отметим свойства введенных операций (в дальнейшем эти свойства превращаются в аксиомы линейного пространства) Пусть X R n, Y R n,z R n, α R, β R тогда 1 X + Y = Y + X, коммутативность операции сложения 2 (X + Y ) + Z = X + (Y + Z), ассоциативность 3 α(x + Y ) = αx + αy, дистрибутивность 4 (αβ)x = α (βx) 5 1X = X В дальнейшем элементы пространства называем векторами Вектор X = (x 1, x 2,, x n ), у которого все x i = 0, i = 1n называется нулевым вектором и в дальнейшем обозначается так 0 2 Линейная зависимость (независимость) векторов Базис Система векторов X 1, X 2,, X m называется линейно зависимой, если найдутся числа α 1, α 2,, α m одновременно не равные нулю такие что α i X i = 0, Сумму вида m α i X i называем линейной комбинацией векторов X 1, X 2,, X m Система векторов X 1, X 2,, X m называется линейно независимой, если из m α i X i = 0, следует, что все числа α i = 0, i = 1m Упражнение 1 Доказать последовательно для n = 1, 2, 3 и произвольного целого n, что система из n + 1 векторов пространства R n линейно зависима 1

2 Упражнение 2 Доказать, что векторы e 1 = (1, 0, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0, 0,, 1), образуют линейно-независимую систему векторов Будем говорить, что система векторов E =< E 1, E 2,, E m > образует базис пространстваr n, если а) система векторов линейно независима б) любой вектор X из R n можно представить в виде линейной комбинации X = α i E i, Упражнение 3 Доказать, что любой базис пространства R n содержит ровно n векторов Упражнение 4 Доказать, что представление вектора X из R n в виде линейной комбинации X = α i E i, базисных векторов единственно Упражнение 5 Доказать, что векторы e 1 = (1, 0, 0,, 0), образуют базис пространства R n e 2 = (0, 1, 0,, 0), e n = (0, 0, 0,, 1), Базис E =< e 1, e 2,, e n > называется каноническим базисом пространства R n 3 Подпространство Базис подпространства Линейная оболочка системы векторов Подмножество L пространства R n называется линейным подпространством пространства R n, если оно замкнуто по отношению к операциям сложения и умножения на числа, те если, X L, Y L, λ R, то 1 X + Y L, 2 λx L Важнейшим примером подпространства пространства R n является линейная оболочка L(X 1, X 2,, X m ) системы векторов X 1, X 2,, X m пространства R n, множество, состоящее из всех линейных комбинаций векторов данной системы, L(X 1, X 2,, X m ) = {Z R n Z = α i X i, α i R} Упражнение 6 Доказать, что если X L(X 1, X 2,, X m ), Y L(X 1, X 2,, X m ), то X + Y L(X 1, X 2,, X m ) и для любого λ R λx L(X 1, X 2,, X m ) 2

3 Базисом линейного подпространства L пространства R n называется система векторов E =< E 1, E 2,, E m > из L, обладающая свойствами 1 Система векторов E =< E 1, E 2,, E m > линейно независима 2 Любой вектор X L можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов: X = α i E i Число элементов в базисе подпространства L, называется размерностью подпространства L Размерность подпространства L пространства R n в дальнейшем обозначается через dim(l) Очевидно, что размерность подпространства, состоящего из единственного нулевого вектора, равна нулю, а dim(r n ) = n Упражнение 7 Пусть E =< E 1, E 2,, E m > базис подпространства L Доказать, что вектор X L лишь единственным способом может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов X = α i E i Пусть E =< E 1, E 2,, E m > базис подпространства L, X L Если X = m α i E i, то вектор [X] E = (α 1, α 2,, α m ) из R m называется координатным вектором или координатами вектора X в базисе E Упражнение 8 Доказать, что для, X L, Y L, λ R, выполняются равенства 1 [X + Y ] E = [X] E + [Y ] E 2 [λx] E = λ[x] E 4 Элементарные преобразования системы векторов Пусть (X 1, X 2,, X m ) система векторов из R n Основными элементарными преобразованиями системы векторов (X 1, X 2,, X m ) являются 1 (X 1, X 2,, X s,, X m ) (X 1, X 2,, X s + i s α i X i,, X m ) добавление к одному из векторов ( например, к вектору X s ) линейной комбинации остальных 2 (X 1, X 2,, X s,, X m ) (X 1, X 2,, λx s,, X m ) умножение одного из векторов на число не равное нулю 3 (X 1,, X i,, X j,, X m ) (X 1,, X j,, X i,, X m ) перестановка двух векторов местами Системы векторов M X = (X 1, X 2,, X m ), M Y = (Y 1, Y 2,, Y m ) будем называть эквивалентными (обозначение M X M Y ), если существует цепочка элементарных преобразований, переводящая первую систему во вторую Упражнение 9 Доказать, что введенное понятия эквивалентности систем векторов (X 1, X 2,, X m ), (Y 1, Y 2,, Y m ) обладает свойствами: 1 M X M X (рефлексивность) 2 Из M X M Y следует, что M Y M X (симметричность) 3 Если M X M Y и M Y M Z, то M X M Z (транзитивность) Теорема 1 Если система векторов (X 1, X 2,, X m ) линейно независима, а (Y 1, Y 2,, Y m ) ей эквивалентна, то система (Y 1, Y 2,, Y m ) линейно независима 3

4 Доказательство Очевидно, что теорему достаточно доказать для системы векторов (Y 1, Y 2,, Y m ) полученной из системы (X 1, X 2,, X m ) с помощью одного элементарного преобразования Очевидно, что перестановка векторов или умножение одного из векторов на число не равное нулю не меняет линейной независимости системы векторов Допустим теперь, что система векторов (Y 1, Y 2,, Y m ) получена из системы (X 1, X 2,, X m ) прибавлением к вектору X s линейной комбинации остальных, (Y 1 = X 1, Y 2 = X 2,, Y s = X s + i s λ i X i,, Y m ) X Нужно установить, что из вытекает, что α 1 = 0, α 2 = 0,, α m = 0 Поскольку α i Y i = 0 α i Y i = α s X s + i s (α i + α s λ i )X i, и система векторов (X 1, X 2,, X m ) линейно независима, то получаем α s = 0 и при i s, α i + α s λ i = 0 Следовательно α 1 = 0, α 2 = 0,, α m = 0 Что и требовалось доказать 5 Ранг системы векторов Базис системы векторов Лемма 1 Если система векторов (X 1, X 2,, X m ) линейно зависима, то она эквивалентна системе (Y 1, Y 2,, Y m 1, 0) Следствие Произвольную систему векторов (X 1, X 2,, X m ) элементарными преобразованиями можно привести к системе вида (Y 1, Y 2,, Y r, 0,, 0), где (Y 1, Y 2,, Y r ), линейно независимая система векторов Число r будем называть рангом системы векторов, а систему (Y 1, Y 2,, Y r ), базисом системы векторов Упражнение 10 Доказать, что ранг системы векторов не зависит от конкретной цепочки элементарных преобразований 6 Алгоритм Гаусса для нахождения ранга и базиса системы векторов Пусть X 1, X 2,, X m система векторов пространства R n, X i = (x i1, x i2,, x in ), i = 1m Запишем систему в виде таблицы (матрицы), которая имеет m строк и n столбцов, m n размерность матрицы x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n M X = x m1 x m2 x mn Наша цель элементарными преобразованиями строк матрицы привести систему векторов M X = (X 1, X 2,, X m ) к системе M Y = (Y 1, Y 2,, Y r, 00), где (Y 1, Y 2,, Y r ), линейно независимая система векторов 1 шаг Ищем первый ненулевой столбец матрицы Если такого столбца нет, то конец Пусть такой столбец существует, например первый Просматривая элементы столбца сверху вниз, найдем элемент x i,1 0, затем переставим первую строку со строкой с индексом i 2 шаг Умножим первую строку на 1 x i1 Получим: матрицу вида 1 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n M X = x m1 x m2 x mn 4

5 3 шаг Отнимаем 1 строку умноженную на соответствующий множитель от каждой из строк, чтобы в результате получить матрицу вида 1 x 12 x 1n 0 x 22 x 2n M X = 0 x m2 x mn Теперь сосредоточим наше внимание на матрице, полученной из данной вычеркиванием первой строки и первого столбца и перейдем к шагу 1 Продолжая процесс, придем к матрице верхнего треугольного вида Упражнение 11 Найти ранг и базис системы векторов X 1, X 2, X 3, X 4, X 1 = ( 1, 1, 1, 1), X 2 = ( 1, 0, 2, 1), X 3 = ( 2, 1, 3, 0), X 4 = ( 3, 2, 4, 1) 61 Размерность и нормальный базис линейной оболочки L(X 1, X 2,, X m ) 7 Матрицы и действия над ними 71 Определение Обозначения Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица действительных чисел, состоящая из m-строк и n-столбцов x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n A = x m1 x m2 x mn Если A- матрица, то i ую строку матрицы обозначаемa i, A i = (x 11, x 12,, x 1n ) а через A j обозначаем j-ый столбец матрицы A j = x 1j x 2j x mj Полагаем также, что A j i элемент матрицы A, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, A j i = x ij В дальнейшем множество матриц размерности m n обозначаем через M m n Матрицу, все элементы которой раны нулю называем нулевой матрицей Матрица размерности n n на диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю называется единичной матрицей и в дальнейшем обозначается через I n I 1 = (1), I 2 = ( ), I 3 = , 5

6 72 Сложение матриц и умножение матрицы на число Сумма матриц A M m n, B M m n определяется правилом (A + B) i j = A i j + Bj, i а произведение матрицы A M m n на число λ R - (λ A) i j = λ A i j Отметим, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают свойствами: 1A + B = B + A (коммутативность) 2(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность) 3λ (A + B) = λ A + λ B ( дистрибутивность) 73 Умножение матриц Пусть A M m n, а B M n k Тогда определена матрица C = A B M m k называемая произведением матриц A, B которая определяется правилом где (A B) j i = A i B j, A i B j = n A s i Bs j s=1 Легко проверить, что операция умножения ассоциативна, те если A M m n, B M n k, C M k l, то (A B) C = A (B C), а операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, те, если A M m n, B M m n, C M n k, D M n k, то (A + B) C = A C + B C, B (C + D) = B C + B D Упражнение 12 Вычислить f(a), если f(t) = t t + 1 и A = Упражнение 13 Для матриц A = ) проверить, что не выполняется равенство Почему? Привести верную формулу ( ) и B = ( (A + B) 2 = A A B + B 2 74 Операция транспонирования Операция транспонирования матрицу A M m n превращает в матрицу A T M n m по правилу (A T ) j i = Ai j Упражнение 14 Вычислить A A T и A T A, если A =

7 8 Линейное отображения пространства R m в пространство R n и матрицы 81 Линейные отображения Основные понятия 811 Определение Основные теоремы Отображение ϕ : R m R n называется линейным отображением, если для любых векторов X, Y R m и числа λ R справедливы тождества 1 ϕ(x + Y ) = ϕ(x) + ϕ(y ) 2 ϕ(λ X) = λ ϕ(x) Легко устанавливаются Теорема 2 Линейное ϕ : R m R n однозначно определяется значениями на базисных векторах E m =< e 1, e 2,, e m > e 1 = (1, 0, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e m = (0, 0, 0,, 1), и задается матрицей A = [ϕ] Em, которая действует на векторы из R m умножением справа, те [ϕ(x)] En = [X] Em [ϕ] Em Теорема 3 Суперпозиция ψ ϕ линейных отображений ϕ : R m R k, ψ : R k R n R m ϕ ψ ϕ R k является линейным отображением, матрица которого является произведением соответствующих матриц [ψ ϕ] Em = [ϕ] Em E k [ψ] E k, при этом ψ R n [ψ ϕ(x)] En = [ψ(ϕ(x))] En = [X] Em [ψ ϕ] Em 812 Ядро и образ линейного отображения Ядром линейного отображения ϕ : R m R n, называется множество Ker(ϕ) = {X R m ϕ(x) = 0} Образом линейного отображения ϕ : R m R n, называется множество Im(ϕ) = {Y R n X R m, ϕ(x) = Y } Легко проверить, что ядро и образ линейного отображения ϕ : R m R n - являются подпространствами соответствующих пространств, то есть Kerϕ - подпространство пространстваr m, а Imϕ - подпространство пространства R n 82 Матрица соответствия линейного отображения 821 Определение Матрицей соответствия линейного отображения ϕ : R m R n будем называть матрицу MC(ϕ, X 1, X 2,, X m ) размерности m (n + m), которая имеет следующую форму: X 1 ϕ(x 1 ) X 2 ϕ(x 2 ) MC(ϕ, X 1, X 2,, X m ) =, X m ϕ(x m ) где (X 1, X 2,, X m )- линейно-независимая система векторов пространства R m 7

8 822 Основное свойство матрицы соответствия линейного отображения ϕ : R m R n Легко устанавливается следующее фундаментальное свойство матрицы MC(ϕ, X 1, X 2,, X m ) 1 Если строку матрицы соответствия линейного отображения ϕ : R m R n ) умножить на число λ 0, то она преобразуется в матрицу соответствия того же отображения 2 Если к строке матрицы соответствия линейного отображения ϕ : R m R n ) прибавить линейную комбинацию других строк, то она преобразуется в матрицу соответствия того же отображения Иными словами, элементарные преобразования строк матрицы соответствия линейного отображения преобразуют её в матрицу соответствия того же линейного отображения Основное свойство матрицы соответствия линейного отображения ϕ : R m R n позволяет решать методом Гаусса различные задачи линейной алгебры Теорема 4 Пусть ϕ : R m R n линейное отображение Если матрицу MC(ϕ, X 1, X 2,, X m ) линейными преобразованиями строк привести к виду e 1 ϕ(e 1 ) e 2 ϕ(e 2 ) MC(ϕ, e 1, e 2,, e m ) =, e m ϕ(e m ) где E m =< e 1, e 2,, e m > канонический базис пространства, то получим матрицу ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 ) [ϕ] Em = ϕ(e m ) 823 Находим базисы образа и ядра линейного отображения Пусть A матрица размерности m n Определим отображение ϕ A : R m R n по правилу Заметим, что если X = (x 1, x 2,, x m ), то (ϕ A )(X) = X A (ϕ A )(X) =, x i A i Следовательно образ Im(ϕ A ) линейного отображения ϕ A : R m R n, является линейной оболочкой строк матрицы A Поэтому для нахождения базисов образа и ядра линейного отображения ϕ A нужно: 1 Построить матрицу соответствия DMC(ϕ A, e 1, e 2,, e m ), где < e 1, e 2,, e m > канонический базис пространства R m, A 1 e 1 A 2 e 2 DMC(ϕ A, e 1, e 2,, e m ) = 2 Элементарными преобразованиями строк матрицы DMC(ϕ A, e 1, e 2,, e m ) найти базис линейной оболочки системы векторов L(A 1, A 2,, A m ), привести матрицу DMC(ϕ A, e 1, e 2,, e m ) к верхней треугольной форме В результате получим матрицу соответствия вида DMC(ϕ A, X 1, X 2,, X m ) = A m e m ϕ(x 1 ) X 1 ϕ(x 2 ) X 2 ϕ(x p ) X p 0 X p+1 0 X m, 8

9 где < ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ),, ϕ(x p ) > линейно независимая система векторов Очевидно, что система векторов < ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ),, ϕ(x p ) > образует базис образа, а система векторов < X p+1, X p+2,, X m > является базисом ядра линейного отображения ϕ A : R m R n Приведенный алгоритм доказывает следующую теорему Теорема 5 Сумма размерностей ядра и образа линейного отображения ϕ : L M равна размерности пространства L, dim(im(ϕ)) + dim(ker(ϕ)) = dim(l) Упражнение 15 Найти базисы ядра и образа отображения ϕ A : R 3 R 3, если матрица Сделать проверку A = Линейные преобразования 831 Определение Основные теоремы Линейным преобразованием пространства R n называют линейное отображение пространства R n в себя Теорема 6 Линейное преобразование ϕ : R n R n однозначно определяется значениями на базисных векторах =< e 1, e 2,, e n > e 1 = (1, 0, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0, 0,, 1), и может быть задано квадратной матрицей A = [ϕ] En, которая действует на векторы из R n умножением справа При этом образом i ого базисного вектора, является i ая строка матрицы A = [ϕ] En ϕ(e i ) = A i, i = 1n Теорема 7 Суперпозиции ψ ϕ линейных преобразований ϕ : R n R n, ψ : R n R n R n ϕ ψ ϕ R n является линейным преобразованием, матрица которого является произведением соответствующих матриц [ψ ϕ] En = [ϕ] En [ψ] En Теорема 8 Тождественному преобразованию E : R n R n, E(X) = X для любого X R n, соответствует матрица I n M n n на диагонали которой стоят единицы, а вне диагонали нули При этом для любой матрицы A M n n A I n = I n A = A Матрица I n M n n называется единичной Теорема 9 Если строки матрицы A M n n линейно независимы, то существует такая матрица B M n n, что A B = B A = I n ψ Матрица B называется обратной для A и обозначается A 1 R n 9

10 832 Находим обратную матрицу методом Гаусса Пусть A M n n матрица строки которой линейно независимы Тогда матрица A 1 e 1 A 2 e 2 DMC(ϕ A, e 1, e 2,, e n ) = [A I n ] = является матрицей соответствия MC(ϕ 1 A, A 1, A 2,, A n ) отображения обратного к отображению ϕ A : R n R n, заданному правилом (ϕ A )(X) = X A Если матрицу MC(ϕ 1 A, A 1, A 2,, A n ) линейными преобразованиями строк привести к виду e 1 ϕ 1 A (e 1) MC(ϕ 1 A, e e 2 ϕ 1 A 1, e 2,, e n ) = (e 2), e n ϕ 1 A (e n) где =< e 1, e 2,, e n > канонический базис пространства, то получим матрицу ϕ 1 A (e 1) [ϕ 1 ϕ 1 A A ]En = (e 2) = A 1 ϕ 1 A (e n) Упражнение 16 Найти матрицы A 1, B 1, если A = 1 1 3, B = Убедиться в справедливости тождества (вычислением) (A B) 1 = B 1 A Строим матрицу проектирования на плоскость В пространстве R 3 рассмотрим операцию ϕ A : R 3 R 3 A n e n проектирования на плоскость L(X, Y ) вдоль вектора E,где < X, Y, E > линейно независимая система векторов Легко видеть, что ϕ A : R 3 R 3 является линейным преобразованием с матрицей соответствия X X MC(ϕ, X, Y, E) = Y Y E 0 Если матрицу M C(ϕ, X, Y, E) линейными преобразованиями строк привести к виду MC(ϕ, e 1, e 2, e 3 ) = e 1 ϕ(e 1 ) e 2 ϕ(e 2 ), e 3 ϕ(e 3 ) где =< e 1, e 2, e 3 > канонический базис пространства R 3, то получим матрицу [ϕ] E3 E 3 = ϕ(e 1) ϕ(e 2 ) ϕ(e 3 ) Упражнение 17 Построить матрицу проектирования на плоскость L(X, Y ) вдоль вектора E, если X = (1, 1, 1), Y = (1, 1, 0), E = (0, 1, 0) 10

11 84 Определитель линейного преобразования 841 Основные свойства определителя Вычисление Пусть M n n - множество квадратных матриц размерности n, I n - единичная матрица Отображение det : M n n R называется определителем, если оно обладает следующими свойствами: 1 Определитель det(i n ) = 1 (определитель единичной матрицы равен единице - условие нормировки) 2 Определитель матрицы не изменяется, если к одной из строк матрицы прибавить линейную комбинацию остальных 3 Если одну из строк матрицы умножить на число, то определитель умножится на это число Другими словами, множитель из строки можно выносить за знак определителя Используя свойства 2-3 установим важное свойство определителя Теорема 10 Если в матрице поменять местами две строки, то её определитель умножится на минус единицу Доказательство Сосредоточим внимание на двух строках матрицы, которые обозначим через X, Y Рассмотрим следующую цепочку элементарных преобразований (X, Y ) (X, Y + X) ( Y, Y + X) ( Y, X) Каждое из элементарных преобразований по свойству 2 не меняет определителя матрицы Поэтому мы получили, что определитель не изменится, если мы поменяем местами две строки матрицы и при этом у одной из них сменим знак Вынося по свойству 3 минус единицу за знак определителя, мы получаем утверждение теоремы Данные свойства позволяют находить определитель матрицы A M n n методом Гаусса Сначала матрицу A M n n элементарными преобразованиями (прибавляем к одной из строк линейную комбинацию остальных) строк приводим к верхнему треугольному виду, матрице вида A 1 = d 1 0 d d n При этом определитель по свойству 2 не изменяется det(a) = det(a 1 ) Если строки матрицы A 1 линейно зависимы, то полагаем det(a) = 0 Если все d i, i = 1n не равны нулю, то вынося ненулевые множители из строк, получаем где A 2 -матрица вида det(a) = det(a 1 ) = d 1 d 2 d n det(a 2 ), A 2 = Но матрица A 2 элементарными преобразованиями строк легко приводится к единичной матрице, поэтому det(a) = d 1 d 2 d n Упражнение 18 Вычислить определители следующих матриц 1 ( ), ( a b c d ), ( λ 1 ) f 2 λ f , λ λ 1 f 1 f 2 f 3 λ 11

12 3 λ λ λ λ λ 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f n 1 f n λ Упражнение 19 Доказать, что a + x 1 a a a a + x 2 a a a a + x n ( = x 1 x 2 x n 1 + a + + a ) x 1 x n 842 Важные теоремы об определителе Запишем определитель как функцию от строк матрицы A M n n det(a) = A 1 A 2 A n Теорема 11 Определитель линейная функция, если в качестве аргумента рассматривать произвольную строку матрицы Например, если строка то A 1 A 2 = k α i X i, k α i X i A n = k α i A 1 X i A n Замечательное свойство определителя раскрывает теорема о «произведении определителей», которая многократно будет использоваться в дальнейшем Теорема 12 det(a B) = det(a) det(b) Следующая теорема говорит о том, что в определении определителя "строки"можно заменить на "столбцы" Теорема 13 det(a T ) = det(a) Упражнение 20 Для матриц A = , B = убедиться, что det(a B) = det(a) det(b) и det(a T ) = det(a) Упражнение 21 Доказать, что det(a 1 ) = 1 det(a) 12

13 843 Непосредственное вычисление определителя Наша задача выписать формулу, выражающую определитель матрицы A M n n через ее элементы A j i Пусть π - матрица, полученная из единичной матрицы I n M n n перестановкой строк, то det(π) = +1 или det(π) = 1 в зависимости от числа перестановок двух строк, последовательность которых приводит её к единичной Если единицы такой матрицы заменить на числа d 1, d 2,, d n, где d i число, стоящее в i-ой строке матрицы π, то определитель полученной матрицы будет равен π(d 1, d 2,, d n ) d 1 d 2 d n det(π) Поставим матрице π в соответствие отображение π : N N, где N = {1, 2,, n}, полагая π(i) номер столбца в котором стоит единица в i-ой строке матрицы π Теперь мы в состоянии выписать формулу, выражающую определитель матрицы A M n n через ее элементы A j i det(a) = A π(1) 1 A π(2) 2 A π(n) n det(π), π где сумма берется по всевозможным матрицам π, полученных из единичной матрицы I n M n n перестановкой строк Отметим, что множество S n всех таких матриц содержит n! элементов Поэтому вычисление определителя произвольной матрицы высокого порядка непосредственно по этой формуле практически не осуществимо Однако для матриц порядка 2 или 3 данная формула бывает полезна Легко устанавливается, что для матрицы π S n det(π) = det(π T ) Используя это, из приведенной формулы для определителя получаем, что везде в свойствах определителя слово строка можно заменить словом столбец Теорема 14 det(a) = det(a T ) Упражнение 22 Определите число ненулевых слагаемых при вычислении определителя матрицы по формуле 844 Рекуррентное определение определителя Теорема 15 (Разложение определителя по строке) ПустьA - квадратная матрица, A M n n Тогда отображение, можно определить следующим образом: а) Если A M 1 1, то det(a) = A 1 1 б) Если A M n n, то det(a) = det : M n n R, n ( 1) 1 i A i 1 det([a] i 1), где матрица [A] i 1 получена из матрицы A вычеркиванием первой строки и i-ого столбца Упражнение 23 Выведите правило вычисления определителя матрицы a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 13

14 845 Геометрический смысл определителя Если строки матрицы A M n n рассматривать, как векторы пространства R n, то преобразования строк не изменяющие значения определителя не меняют также и объем n-мерного параллелепипеда "натянутого"на векторы - строки Следовательно, определитель - это объем со знаком (ориентированный объем) Упражнение 24 Вычислите площадь треугольника с вершинами A = (1, 7), B = (2, 5), C = (3, 5) 846 Определитель линейного преобразования Пусть ϕ : R n R n - линейное преобразование пространства R n Определение 1 Определителем линейного преобразования называется отношение det(ϕ) = ϕ(x 1) ϕ(x 2 ) ϕ(x n ), X 1 X 2 X n где (X 1, X 2,, X n ) произвольная линейно независимая система векторов пространства R n Чтобы установить корректность данного определения рассмотрим матрицу соответствия X 1 ϕ(x 1 ) MC(ϕ, X 1, X 2,, X n ) = X 2 ϕ(x 2 ) X n ϕ(x n ) Заметим, что при элементарных преобразованиях строк данной матрицы отношение определителей, записанных в виде функции от строк, не меняется Теорема 16 Определитель суперпозиции ψ ϕ линейных преобразований ϕ : R n R n, ψ : R n R n равен произведению соответствующих определителей det(ψ ϕ) = det(ψ) det(ϕ) Упражнение 25 Дать геометрическое истолкование теоремы об определителе суперпозиции Упражнение 26 Пусть ϕ : R n R n - линейное преобразование пространства R n - некоторый базис пространства R n Тогда Доказать F = f 1, f 2,, f n det(ϕ) = det([ϕ] F F ) 14


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами. ЛЕКЦИЯ Понятие о матрице и ее свойства Действия над матрицами Понятие матрицы Матрицей порядка (размерности ) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую столбцов: ( ) i строк

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Линейная алгебра 1 Системы линейных уравнений

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее