перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

Транскрипт

1 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов aa и bb обозначают aa bb или (aa,bb ). Итак, aa bb = aa bb cos φφ (5.10) где φφ-угол между векторами aa и bb. Свойства скалярного произведения: 1. aa bb =bb aa (переместительный закон) 2. (λλ aa ) bb = λλ(aa bb ) (сочетательный закон). aa (bb + с )= aa bb + aa с (распределительный закон) 4. aa aa = aa 2 или aa = aa aa 5. aa bb = 0, если aa bb и наоборот. Иначе говоря, для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. Из свойств (4) и (5) получаем следующие равенства: ıı 2 = ȷȷ 2 = kk 2 = 1, (ıı, ȷȷ )=( ȷȷ, kk )=( ıı, kk )=0. Типичным примером скалярного произведения в физике является формула работы A силы FF при прямолинейном перемещении материальной точки вдоль вектора SS. A=FF SS (5.11) Если векторы aa и bb заданы своими координатами: aa = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ + zz 1 kk, bb = xx 2 ıı + yy 2 ȷȷ + zz 2 kk то скалярное произведение этих векторов находят по формуле: aa bb = xx 1 xx 2 + yy 1 yy 2 + zz 1 zz 2 (5.12) Тогда, необходимым и достаточным условием перпендикулярности (ортогональности) векторов aa и bb является равенство: xx 1 xx 2 + yy 1 yy 2 + zz 1 zz 2 = 0 (5.1) а угол между векторами aa и bb находят по формуле: cccccc φφ = xx 1 xx 2 +yy 1 yy 2 +zz 1 zz 2 xx 1 2 +yy 1 2 +zz 1 2 xx 2 2 +yy 2 2 +zz 2 2 (5.14) Пример 1. Найдите скалярное произведение векторов 2aa +bb и aa 2bb, если aa = bb и aa bb. (2aa +bb ) (aa 2bb )=6 aa 2 +9aa bb -4aa bb -6 bb 2 =5 aa bb cos 90 =0 Пример 2.Вычислите (aa +bb ) (2aa bb ), если aa = 2, bb = и aa bb =. Так как aa bb 2 = (aa bb ) (aa bb )= aa 2 2aa bb + bb 2 =9,то aa bb = 2. Вычислим (aa +bb ) (2aa bb )=2 aa 2 +5aa bb - bb 2 = = 9 1

2 Пример. Вычислите работу силы FF = 2ıı + ȷȷ kk, при прямолинейном перемещении материальной точки из положения A(-2;;5) в положение B(;0;-1). Найдём координаты вектора : AAAA AAAA =( + 2)ıı + (0 )ȷȷ + ( 1 5)kk = 5ıı ȷȷ 6kk Тогда работа A=FF AAAA = ( ) + ( 1)( 6) = 7. Пример 4. Найдите значение αα,при котором векторы aa (2αα + 11; αα + 6; αα 1) и bb (; 5; ) перпендикулярны. Составим условие перпендикулярности векторов aa и bb, а именно aa bb = 0 или (2αα + 11) + (αα + 6)5 + (αα 1) = 0 Отсюда 20 αα = 60 и αα =. Пример 5. Найдите проекцию вектора aa + 2bb на ось вектора cc, если aa = ıı + 2ȷȷ kk, bb = ıı + ȷȷ kk, cc = 2ıı 2ȷȷ + kk. Так как проекция вектора aa на ось вектора bb определяется так: Пр bb aa = aa cos φφ, где φφ- угол между векторами, а cos φφ = aa bb aa bb, то Пр bb aa = aa bb bb. Воспользуемся этой формулой для нахождения Пр cc (aa + 2bb ), где Пр cc (aa + 2bb )= (aa +2bb ) cc cc Так как aa + 2bb = 5ıı + 4ȷȷ kk и cc = =, то Пр cc (aa + 2bb )= ( 2)+( ) 1 = Векторное произведение. Определение. Векторным произведением вектора aa на вектор bb называется вектор cc, который определяется тремя условиями: 1. Длина вектора cc равна aa bb sin φφ, где φφ- угол между векторами aa и bb ; 2. Вектор cc перпендикулярен векторам aa и bb ;. Векторы aa, bb, cc образуют правую тройку векторов, т.е. после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. Заметим, что в левой тройке этот поворот виден по часовой стрелке. Векторное произведение aa на bb обозначается символом aa bb или [aa, bb ]. Свойства векторного произведения: 1. aa bb = bb aa, т.е. векторное произведение не обладает 2

3 переместительным законом. 2. aa bb = 0, если aa и bb - коллинеарные векторы, и наоборот.. (λλ aa ) bb = λλ (aa bb ) (сочетательный закон). 4. aa (bb + с )= aa bb + aa с (распределительный закон) 5. aa bb = aa bb sin φφ =S, т.е. модуль векторного произведения, численно равна площади S параллелограмма, построенного на этих векторах(рис. 5.10). с aa φφ bb S Рис Если векторы aa и bb заданы координатами: aa = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ + zz 1 kk, bb = xx 2 ıı + yy 2 ȷȷ + zz 2 kk, то векторное произведение находится по формуле: ıı ȷȷ kk aa bb = xx 1 yy 1 zz 1 (5.15) xx 2 yy 2 zz 2 Этот символический определитель третьего порядка раскладывается по первой строке и : aa bb = yy 1 zz 1 yy 2 zz ıı + zz 1 xx 1 2 zz 2 xx ȷȷ + xx 1 yy 1 2 xx 2 yy kk 2 Координаты вектора с = aa bb вычисляется по правилу: aa 11 aa 12 aa 21 aa = aa 11 aa 22 aa 12 aa Пример 1.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах aa + 2bb и 2aa bb, если aa = bb = 2 и угол между векторами aa и bb равен 60. Найдем aa + 2bb 2aa bb = 2aa aa aa bb + 4bb aa 2bb bb = 5aa bb (поскольку aa aa = bb bb = 0 и bb aa = aa bb ) Площадь параллелограмма S равна: S=5 aa bb = 5 aa bb ssssss 60 =20 /2 = 10 (кв.ед.)

4 Пример 2. Вычислите площадь треугольника построенного на векторах aa = 6ıı + ȷȷ 2kk и bb = ıı 2ȷȷ + 6kk. Находим векторное произведение aa на bb : aa bb = ıı ȷȷ kk = ıı 2 2 ȷȷ 6 = 14ıı 42ȷȷ kk kk Так как площадь треугольника S равна в два раза меньше площади соответствующего параллелограмма, то S= 1 2 aa bb = = 49 2 (кв.ед.) Пример. Заданы векторы aa = ıı ȷȷ + 2kk и bb = ıı + 2ȷȷ kk. Найдите координаты вектора (2aa + bb ) bb. Имеем: 2aa + bb bb = 2aa bb + bb bb = 2aa bb = 2 ıı ȷȷ kk 1 2 = = ıı ȷȷ kk = 6ıı + 10ȷȷ + 14kk, т.к. bb bb = Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов aa, bb, cc называется число, равное скалярному произведению вектора aa на векторное произведение bb и cc, т.е. aa (bb cc ) Свойства смешанного произведения: 1. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. aa bb cc = aa bb cc В силу этого смешанное произведение записывают в виде aa bb cc. 2. Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке векторов: aa bb cc = cc aa bb =bb cc aa. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак: bb aa cc = aa bb cc, cc bb aa = aa bb cc, aa cc bb = aa bb cc.. Если aa bb cc = 0, то векторы aa, bb и cc компланарны и наоборот. Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл: Смешанное произведение aa bb cc численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах aa, bb, cc, взятому со знаком +, если aa, bb, cc - правая тройка, и со знаком -, если aa, bb, cc -левая (рис. 5.11). 4

5 V aa cc bb Рис Если векторы aa, bb и cc заданы своими координатами: aa = xx 1 ıı + yy 1 ȷȷ + zz 1 kk, bb = xx 2 ıı + yy 2 ȷȷ + zz 2 kk, cc = xx ıı + yy ȷȷ + zz kk, то смешанное произведение этих векторов вычисляется по формуле: xx 1 yy 1 zz 1 aa bb cc = xx 2 yy 2 zz 2 (5.16) xx yy zz Используя формулу (5.16), выпишем условие компланарности векторов aa, bb и cc : xx 1 yy 1 zz 1 xx 2 yy 2 zz 2 = 0 (5.17) xx yy zz Пример 1. Найти значение αα, при котором векторы aa (2αα 1; 4αα + ; αα 4), bb (2; 1; ) и cc (; 2; 4) компланарны. Решение: Составим условие компланарности векторов: 2αα 1 4αα + αα = 0 Или 2 4 (2αα 1) 1 1 (4αα + ) 2 + (αα 4) = 0 Отсюда αα = 1. Пример 2. Убедиться, что точки A(5;7;-2), B(;1;-1), С(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной плоскости. Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, если векторы ( 2; AAAA 6; 1), AAAA (4; ; 2) и AAAA ( 4; 2; 2) компланарны (рис. 5.12). 5

6 B A C D Рис Проверим выполнение условия компланарности векторов. Для этого вычислим смешанное произведение этих векторов: AAAA AAAA AAAA = 4 2 = = = = 0 Следовательно, выполняется условие компланарности векторов, а значит, точки A,B,C,D лежат в одной плоскости. Пример. Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами A(2;0;1), B(;2;-1), С(6;;-5) и D(-;2;4). Как известно, объём пирамиды, построенной на векторах, AAAA AAAA и AAAA равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В связи с этим, найдем смешанное произведение векторов AAAA (1; 2; 2), AAAA (4; ; 6), AAAA ( 5; 2; ) AAAA AAAA AAAA = 4 6 = Следовательно, объем пирамиды равен 11/6. 6