ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая переменная искомые функции F F F известные функции Система 7 называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В частности к ним относятся различного рода физические и химические процессы процессы нефте- и газодобычи геологии экономики и т д Действительно если некоторые физические величины перемещение тела пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами концентрация веществ объемы продаж продуктов оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов то как правило закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений т е системой связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время но и другие физические величины: координата цена продукта и тд Рассмотрим две задачи в ходе решения которых возникают системы дифференциальных уравнений Задача Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q Скорость образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству неразложившегося вещества Пусть и количества вещества P и Q образовавшихся к моменту t Определить закон их изменений зная что в начальный момент а через час c c где c первоначальное количество вещества A 8 8 Решение К моменту t количество неразложившегося вещества A равно c Тогда согласно условиям задачи скорости образования веществ P и Q : 8

2 k c t k c t где k и k коэффициенты пропорциональности скорости образования каждого из веществ P и Q t t искомые функции описывающие закон изменения количества веществ P и Q Не останавливаясь подробно на процессе решения этой системы и нахождении коэффициентов k k запишем окончательный ответ: c t c t График искомых функций t и t рис демонстрирует характер образования веществ P и Q в процессе химической реакции разложения вещества A c t c t Рис Задача о движении материальной точки в пространстве под действием переменной силы Пусть rt закон движения материаль- r r r ной точки в пространстве где t время t { t t t} те в момент времени t точка имеет координаты { t t t} Если точка r r движется под действием силы F F t r r & где r &r t t t { & & & } скорость то по II закону Ньютона вектор r t должен удовлетворять уравнению движения r m & r F t r r & Это векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений 9

3 t Z t m t Y t m t X t m & & & & & & & & & где } { Z Y X F r Если считать неизвестными еще и проекции скорости w v u & & & то система перепишется в виде w v u t Z t w m w v u t Y t v m w v u t X t u m w t t t v t t u t Или в более компактной форме: V r t F t V m V t r r r r r r r где V r вектор с проекциями w v u Таким образом мы убедились что физические задачи приводят нас к необходимости рассмотрения систем дифференциальных уравнений Причем в зависимости от постановки задачи число уравнений может быть достаточно большим В таких случаях удобнее использовать более компактные формы записи например векторную матричную

4 8 Нормальная система дифференциальных уравнений Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений m m m m m m m m m F F F L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 8 где независимая переменная искомые функции F F F известные функции Совокупность функций называется решением системы 8 на интервале b a если она обращает на b a каждое уравнение этой системы в тождество Замечание Всегда будем предполагать что число уравнений системы равно числу неизвестных функций На практике встречаются системы в которых число уравнений меньше числа неизвестных Такие системы дифференциальных уравнений называются уравнениями Монжа В нашем курсе мы их рассматривать не будем Система которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций называется канонической: m m m m m m m m m m m m f f f L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L 8 где независимая переменная искомые функции f заданные в некоторой области функции Класс систем дифференциальных уравнений решение которых можно найти аналитическим путем достаточно узок Поэтому мы будем изучать главным образом системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка для которых существует законченная теория построения общего решения и несложные системы нелинейных уравнений для которых как правило можно подобрать интегрируемые комбинации Для всех остальных случаев на практике используют численные методы которые выходят за рамки нашего курса Частный случай канонической системы система уравнений первого порядка разрешенных относительно производной всех искомых функций т е система вида:

5 f f LLLLLLLLLL f 8 Система 8 называется нормальной Если известные функции f системы 8 не зависят от свободной переменной то она называется автономной стационарной Число уравнений системы 8 называется ее порядком В дальнейшем будем рассматривать только нормальные системы т к каноническую систему 8 всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой k m m m уравнений Для этого достаточно ввести k новых функций полагая что m m m ПРИМЕР Рассмотрим систему трех уравнений второго порядка f f f Введем новые функции Тогда исходная система будет эквивалентна следующей системе: f f f

6 Дифференциальное уравнение первого порядка f можно рассматривать как частный случай системы дифференциальных уравнений Ее решением будет функция ϕ которая с геометрической точки зрения представляет собой кривую на плоскости в двумерном пространстве Для системы -го порядка f f ϕ решением будет пара функций которые можно рассматривать как уравнения кривой в пространстве трех измерений Обобщая ϕ геометрическую терминологию будем считать что решение ϕ ϕ ϕ системы 8 представляет собой интегральную кривую -мерного пространства переменных Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также как для одного уравнения: найти решение системы удовлетворяющее начальным условиям 8 Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 8 о существовании и единственности решения задачи Коши Пусть в системе 8 функции f удовлетворяют двум условиям: функции f непрерывны как функции -ой переменной в некоторой области D - мерного пространства; их частные производные по переменным в облас- f ти D ограничены т е М > такое что M j j Тогда для любой фиксированной точки M области D существует и притом единственное решение ϕ ϕ ϕ системы 8 определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальным условиям 8

7 Из теоремы 8 следует что закрепляя значение и изменяя в некоторых пределах значения так чтобы точка принадлежала области D мы будем для каждой системы чисел получать свое решение Следовательно в области D система 8 имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений зависит от произвольных постоянных ОПРЕДЕЛЕНИЕ Совокупность функций ϕ ϕ 85 ϕ зависящих от и произвольных постоянных называется общим решение системы 8 если: при любых допустимых значениях постоянных она обращает все уравнения системы 8 в тождество т е определяет решение системы; для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения констант при которых функции совокупности 85 удовлетворяют заданным начальным условиям Любое решение которое получается из общего при конкретных постоянных будем называть частным Для нормальных систем справедливо следующее утверждение ТЕОРЕМА 8 Всякое дифференциальное уравнение -го порядка f может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой порядка ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть Тогда f т е получили нормальную систему f эквивалентную заданному уравнению

8 5 Справедливо также и обратное утверждение ТЕОРЕМА 8 Всякая нормальная система -го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением порядка ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть дана нормальная система f f f LLLLLL L L 86 Дифференцируем по обе части первого уравнения системы: f f f Заменим их выражениями через из системы 86 и получим f f f f f или переобозначая правую часть имеем: F Дифференцируя полученное уравнение по и заменяя производные их выражениями из системы 86 будем иметь F Продолжая этот процесс получим систему уравнений: F F f L LLLLLLLL L 87 Из первых уравнений системы 87 находим которые будут выражаться через : LLLLLLLLLL L L ψ ψ ψ 88 Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы 87 приходим к дифференциальному уравнению -го порядка относительно переменной : F 89

9 Теорема 8 позволяет найти решения систем дифференциальных уравнений сведя ее по сути к решению одного дифференциального уравнения порядка Действительно решив уравнение 89 мы получим ϕ Дифференцируя найденную функцию раз и подставляя в 88 находим искомое решение нормальной системы дифференциальных уравнений: ϕ ϕ ϕ Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения ее к одному уравнению порядка называется методом исключения переменных Замечание Уравнение 89 было получено в предположении что из системы 88 можно выразить как функции Но в ряде случаев это сделать невозможно например если первое уравнение имеет вид f Тогда следует получить систему вида 88 для -го уравнения системы и заменить систему уравнением порядка относительно функции Для системы дифференциальных уравнений нельзя получить эквивалентного ей уравнения порядка только тогда когда система распадается на отдельные уравнения те является не системой а совокупностью уравнений ПРИМЕР 8 Найти методом исключения общее решение системы 5 Указать решение удовлетворяющее условиям РЕШЕНИЕ Продифференцируем второе уравнение системы: Заменим ее выражением из первого уравнения системы: 5 8 Из второго уравнения системы находим: Подставляя выражение для в 8 получим уравнение: Его общее решение: 6

10 Дифференцируя и подставляя и в выражение для находим: 5 Таким образом общее решение системы имеет вид 5 Найдем значение постоянных и при которых частное решение будет удовлетворять начальным условиям Подставив в общее решение будем иметь 5 ; Следовательно решение удовлетворяющее заданным начальным условиям имеет вид ПРИМЕР 8 Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Дифференцируем первое уравнение системы по два раза каждый раз заменяя и их выражениями из второго и третьего уравнений системы: ; Получили систему: 8 7

11 Из системы уравнений находим и : 5 5 Подставляя выражения для и в уравнение 8 получим 5 5 Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами Его характеристическое уравнение имеет корни Следовательно общее решение этого уравнения имеет вид: Теперь найдем и Имеем: 5 5 Из находим Тогда и 5 [ ] 5 [ ] 5 ; 5 5 Таким образом общее решение системы имеет вид: Метод интегрируемых комбинаций Пусть решение системы дифференциальных уравнений f 9 имеет вид: ϕ 9 8

12 Можно доказать что в области D R в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения система 9 может быть однозначно разрешена относительно Т е в области D справедливы равенства ψ ψ 9 ψ Совокупность равенств 9 называют общим интегралом системы 9 а каждое из равенств системы 9 называют первым интегралом системы 9 Иногда при интегрировании системы дифференциальных уравнений легче найти именно общий интеграл системы Так например если с помощью элементарных преобразований система 9 приводится к виду Φ 9 то Φ будут первыми интегралами системы а их совокупность общий интеграл Такой способ интегрирования систем называют методом интегрируемых комбинаций З амечание первых интегралов системы образуют общий интеграл если они независимы т е ни один из них не может быть получен из оставшихся Доказано что если Φ k первые интегралы и для каких-нибудь k функций k якобиан Φ Φ Φ k Φ Φ Φ Φ Φ Φ k k k L L L L Φ k Φ k Φ k то первые интегралы независимы ПРИМЕР 9 Найти первые интегралы системы k 9

13 РЕШЕНИЕ Заметим что систему можно переписать в следующем виде: ; l l ; l l Значит общий интеграл системы: l l Если привести систему к виду 9 сложно но удается найти k k < независимых первых интегралов системы то из них можно выразить k неизвестных функций через остальные k функций и перейти таким образом к системе с меньшим числом переменных ПРИМЕР 9 Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Почленно сложим второе и третье уравнения вычтем первое и получим или Отсюда первый интеграл системы: Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие например 95

14 Подставим в первые два уравнения системы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и : Каждое из уравнений этой системы является уравнением с разделяющимися переменными Интегрируя их находим: Подставим найденные и в 95 и найдем : Таким образом общее решение исходной системы: Равенства 9 дающие общий интеграл системы 9 обладают следующей особенностью: независимая переменная и функции входят в них равноправно Следовательно они сохранят свой вид и в том случае когда мы берем в качестве независимой переменной хотя сама система дифференциальных уравнений свою форму в этом случае меняет Систему дифференциальных уравнений тоже можно записать в виде который не будет меняться при смене независимого переменного Действительно из уравнений f получаем: f ; f f 96 f f f f f где f любая отличная от нуля функция Обозначим Тогда равенства 96 примут вид:

15 F F F 97 Форма 97 записи системы дифференциальных уравнений называется симметричной или симметрической Для метода интегрируемых комбинаций она обычно более удобна Замечание При интегрировании системы методом интегрируемых комбинаций часто оказывается полезным свойство равных дробей или производных пропорций: если a b Действительно пусть Тогда αa α b α a α b a a то b b a b a k b αa α b a b a b a b αa α a αa α b α b α b k a k b a k b αkb α kb α b α b αkb α b a k b ПРИМЕР 9 Решить систему методом интегрируемых комбинаций l l РЕШЕНИЕ Запишем систему в симметричной форме: l l l l Из равенства первой и третьей дроби получим один первый интеграл: l l l или l

16 Другой первый интеграл системы получим используя свойства равных дробей: l l или Убедимся что найденные первые интегралы l и независимы см замечание на стр 9 Имеем: Φ l Φ Φ Φ Φ Φ Таким образом первые интегралы действительно независимы и общий интеграл системы имеет вид l Системы линейных дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений 8 называется линейной если функции f f f линейны относительно неизвестных функций т е если она имеет вид a a a b a a a b a a a b или более кратко aj j b j где коэффициенты a j и b известные функции от искомые функции

17 Если все b то система называется однородной Систему линейных дифференциальных уравнений СЛДУ можно записать в более компактной матричной векторно-матричной форме Обозначим матрицы a a a b a a a A b B a a a b Y Y Тогда систему можно записать в виде матричного уравнения Y A Y B или Y AY B Для однородной системы матричная форма записи имеет вид Y A Y или Y AY O где O нулевая матрица-столбец длины Чтобы упростить дальнейшее изложение свяжем также систему линейных дифференциальных уравнений с действием некоторого линейного оператора Пусть [ a b] множество матриц-столбцов элементами которых являются функции непрерывные на отрезке [ a ; b] D [ a b] множество матриц-столбцов элементами которых являются функции непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a ; b] Легко доказать что оба этих множества образуют линейное пространство над R причем D [ a b] является подпространством [ a b] Пусть L оператор действующий из D [ a b] в [ a b] по следующему правилу L [ Y] Y AY Y D [ a b] Тогда система означает что L [ Y ] B Равенство называется операторной формой неоднородной системы Операторная форма однородной системы имеет вид: L Y 7 [ ] O

18 В дальнейшем мы чаще всего будем использовать именно такую форму записи систем линейных дифференциальных уравнений Заметим что оператор [ Y] L является линейным т к обладает следующими свойствами: L Y L Y R; 5 [ ] [ ] L [ Y Y ] L [ Y ] L [ ] Y 6 Действительно по свойствам матриц L Y Y A Y Y AY Y AY L Y ; L Y Y Y Y A Y Y Y Y AY AY [ ] [ ] [ ] Y AY Y AY L [ Y ] L[ Y ] Изучение СЛДУ будем проводить по той же схеме что и изучение линейных дифференциальных уравнений -го порядка: сначала изучим однородные СЛДУ а затем неоднородные Интегрирование однородной системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную однородную систему L [ Y ] O 7 в которой все коэффициенты a j непрерывны на [ a b] Тогда в области D { [ a; b] R} R для системы 7 будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения и следовательно для любого [ a; b] и любого R существует единственное решение системы 7 удовлетворяющее условию Так как оператор L [ Y] линейный то справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА Если Y и Y решения линейной однородной системы 7 то Y Y и Y R тоже являются решениями линейной однородной системы 7 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Необходимо убедиться что Y Y и Y удовлетворяют системе L [ Y ] O Из условия 5 получаем: L [ Y ] L[ Y ] O O Из условия 6 получаем: L Y Y L Y Y O O [ ] [ ] [ ] O L 5

19 СЛЕДСТВИЕ Если Y Y Yk решения линейной однородной системы 7 то для любых постоянных линейная комбинация решений k Y Y Y тоже является решением системы ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Из 5 и 6 следует справедливость равенства k k k L Y L[ Y ] O O где k произвольные постоянные Но это и означает что решение однородной системы 7 k Y k Y Обозначим через S [ a b] множество матриц-столбцов порядка элементы которых являются решениями системы 7 Так как функции любого решения системы 7 является непрерывно дифференцируемыми то S [ a b] D [ a; b] где D [ a b] множество матриц-столбцов длины элементами которых являются функции непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a ; b] Более того в силу теоремы S [ a b] является подпространством линейного пространства D [ a b] Оказалось также что линейное пространство S [ a b] конечномерное Чтобы доказать это необходимо нам сначала получить условие линейной независимости векторов пространства S [ a b] Возьмем в пространстве D [ a b] векторов: Y Y Y 8 Если векторы Y Y Y линейно зависимы на [ a b] то существуют числа α α α такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и αy αy αy Это тождество означает что система 6

20 α α α α α α 9 α α α имеет нетривиальные решения А это возможно только в том случае когда определитель матрицы системы 9 тождественно равен нулю Матрица системы 9 называется интегральной матрицей а ее определитель называется определителем Вронского вронскианом векторов Y Y Y и обозначается W [ Y Y Y ] или W [ Y Y Y ] Таким образом мы показали что справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА необходимое условие линейной зависимости векторов пространства D [ a b] Если векторы Y Y Y линейно зависимы на [ a ; b] то их определитель Вронского на [ a ; b] тождественно равен нулю Теорема дает необходимое условие линейной зависимости векторов Y Y Y Достаточным это условие для произвольных элементов пространства D [ a b] не будет т е если W [ Y Y Y ] то векторы Y Y Y могут оказаться как линейно зависимыми так и линейно независимыми ПРИМЕР Для векторов Y и Y имеем: W [Y Y ] Однако эти векторы линейно независимы так как из α Y α Y следует α α α α ; α α или α α α α 7

21 Но ситуация меняется если Y Y Y решения линейной однородной системы 7 Здесь справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА условие линейной независимости решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений Если решений Y Y Y линейной однородной системы 7 линейно независимы на [ a ; b] то их определитель Вронского W [ Y Y Y ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Предположим противное Пусть Y Y Y линейно независимы на [ a ; b] и существует [ a; ] такое что W b Y Y Y ] [ Рассмотрим систему линейных однородных уравнений матрицу которой составляют числа j : α α α α α α α α α Определитель матрицы системы t M W [ Y Y Y ] Следовательно система имеет нетривиальные решения Пусть ~ α ~ α ~ α одно из нетривиальных решений системы Рассмотрим матрицу-столбец ~ Y ~ α Y ~ α Y ~ αy Так как Y решения линейной однородной системы L [ Y ] O то Y ~ решение той же системы удовлетворяющее в силу начальным условиям Y O С другой стороны однородная система L [ Y ] O всегда имеет нулевое решение Y O которое тоже удовлетворяет начальному условию Y O Поскольку по теореме существования и единственности решения начальные условия определяют единственное решение получаем: ~ Y ~ α Y ~ α Y ~ αy O причем среди коэффициентов ~ α ~ α ~ α есть ненулевые Но это озна- 8

22 чает что Y Y Y линейно зависимы на [ a ; b] что противоречит условию теоремы Следовательно предположение было неверным и W Y Y Y ] [ a; b] [ СЛЕДСТВИЕ 5 теоремы и Пусть Y Y Y решения системы 7 Тогда их определитель Вронского W [ Y Y Y ] либо тождественно равен нулю и это означает что решения Y линейно зависимы; либо не обращается в нуль ни в одной точке [ a b] и это означает что решения Y линейно независимы Следствие 5 позволяет доказать следующее утверждение ТЕОРЕМА 6 Пространство решений S [ a b] линейной однородной системы 7 конечномерно и его размерность совпадает с порядком системы т е m S [ a; b] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Покажем что для системы 7 можно найти линейно независимых решений Возьмем любое [ a; b] и любой определитель Δ порядка отличный от нуля Например пусть Δ По теореме существования и единственности решения получаем что существуют решений системы 7 Y Y Y определенных в окрестности точки и удовлетворяющих условиям: где числа из первого столбца определителя Δ ; где числа из второго столбца определителя Δ ; где числа из -го столбца определителя Δ 9

23 Для найденных таким образом решений Y Y Y имеем: W [ Y Y Y ] Δ и следовательно по следствию 5 Y Y Y линейно независимы Покажем что любое решение однородной системы 7 может быть представлено как линейная комбинация ее линейно независимых решений Пусть Y Y Y некоторые линейно независимые решения системы 7 Y ˆ ˆ решение системы 7 удовлетворяющее условию Y ˆ Y т е ˆ ˆ ˆ Рассмотрим систему линейных уравнений вида: Так как Y Y Y линейно независимые решения системы 7 то для матрицы системы M имеем: t M W [ Y Y Y ] Следовательно система имеет единственное решение ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Рассмотрим матрицу-столбец Y ~ Y Y Y В силу следствия 85 она будет являться решением системы 7 причем ~ из -го уравнения системы ~ из -го уравнения системы ~ из -го уравнения системы Но начальным условиям удовлетворяет и решение Ŷ Поскольку по теореме существования и единственности решения начальные условия определяют единственное решение получаем: Yˆ ~ ~ ~ Y Y Y Y ~ Система линейно независимых решений линейной однородной системы порядка базис пространства S [ a; b] называется его фундаментальной системой решений

24 Если матрицы-столбцы Y Y Y образуют фундаментальную систему решений линейной однородной системы [ ] O Y L то общее решение этой системы имеет вид Y Y или подробнее Итак задача интегрирования линейной однородной системы свелась к отысканию фундаментальной системы ее решений Но сделать это для произвольной системы очень сложно Позже мы рассмотрим один класс однородных систем для которых практически всегда удается найти фундаментальную систему решений линейные однородные системы с постоянными коэффициентами ПРИМЕР Доказать что s cos Y и cos s Y образуют фундаментальную систему решений системы Записать общее решение этой системы РЕШЕНИЕ Имеем: cos s s cos ] [ W Y Y Следовательно Y Y линейно независимы по следствию 7 и образуют фундаментальную систему решений по теореме 6 Поэтому общее решение можно записать в виде cos s s cos Y Y Y

25 Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную неоднородную систему Y AY B Если известно общее решение соответствующей однородной системы Y AY то можно найти общее решение неоднородной системы изложенным ниже методом который называют методом вариации постоянных Пусть Y Y Y фундаментальная система решений линейной однородной системы Тогда его общее решение будет иметь вид Y Y Y Y 5 где произвольные постоянные Полагаем что решение линейной неоднородной системы по структуре совпадает с решением соответствующей однородной системы т е имеет вид Y Y Y Y Y 6 где некоторые пока неизвестные функции Тогда Y Y Y Подставим Y и Y в неоднородную систему Y AY B: Y Y A Y B Y Y AY B Тк Y решения однородной системы то Y B Y AY O и следовательно или более подробно b b 7 b Это линейная неоднородная система относительно неизвестных функций Ее определитель определитель Вронского для системы ли-

26 нейно независимых решений Y Y Y и следовательно он отличен от нуля Значит система 7 имеет единственное решение ϕ откуда интегрированием находим ϕ 8 где произвольные постоянные Подставим найденные функции в 6 и получим общее решение неоднородной системы : Y ϕ Y ПРИМЕР Найти общее решение системы cos РЕШЕНИЕ Запишем соответствующую однородную систему Из первого уравнения находим: Получили линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами Его характеристические корни ± и следовательно общее решение уравнения cos s Тогда из первого уравнения системы s cos Таким образом общее решение однородной системы имеет вид cos s s cos или в матричном виде cos s cos s Y oo s cos s cos

27 Полагаем что общее решение неоднородной системы имеет вид cos s Yoн s cos или подробнее cos s s cos Тогда функции и должны удовлетворять системе 7 cos s s cos cos Решая систему по формулам Крамера находим: cos s s cos Δ Δ tg Δ s cos cos s cos cos tg Интегрируя получаем: l cos Следовательно общее решение неоднородной системы будет иметь вид Y cos s oн l cos s cos cos s cos s l cos s cos s cos или подробнее cos s cos l cos s s cos s l cos cos Замечание Общее решение 8 линейной неоднородной системы можно переписать в виде Здесь слагаемое Y Y ϕ Y Y общее решение соответствующей одно- родной системы а слагаемое Y ϕ Y частное решение системы получается из общего решения при

28 В общем случае оказалась справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 7 о структуре общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Общее решение неоднородной системы Y AY B с непрерывными на [ a b] коэффициентами a j и правыми частями b равно сумме общего решения соответствующей однородной системы Y AY и частного решения Y рассматриваемой неоднородной системы т е Y Y Y 9 где Y Y Y фундаментальная система решений однородной системы Y AY ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Перейдем к операторному представлению систем: Y AY B L [ Y ] B Y AY L [ Y ] O По условию теоремы L [ Y ] B L [ Y ] O Тогда в силу линейности оператора L имеем: L Y Y L Y L Y L Y L Y O B B Таким образом задача нахождения общего решения неоднородной системы может быть сведена к нахождению одного частного решения этой системы и фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы В этом случае может оказаться полезной и следующая теорема ТЕОРЕМА 8 о наложении решений Если Y решения неоднородных систем Y AY B m то их сумма Y Y Ym является решением неоднородной системы Y AY B B Bm ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Перейдем к операторному представлению систем: Y AY L [ Y ] B m B Y AY B L ] m [ B Y 5

29 По условию теоремы L [ Y ] B m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L Y L Y ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы В предыдущем параграфе мы использовали линейный дифференциальный оператор для компактной формы записи системы дифференциальных уравнений и доказательства некоторых теорем Для дальнейшей работы нам необходимо вспомнить ряд понятий связанных с линейными операторами А именно нам понадобятся понятия собственного вектора и собственного значения оператора конечномерных пространств ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть ϕ оператор пространства L Если для некоторого ненулевого вектора L и числа имеем ϕ то число называется собственным значением оператора ϕ а вектор называется собственным вектором оператора ϕ относящимся к собственному значению Укажем свойства которыми обладают собственные векторы Каждый собственный вектор оператора ϕ относится к единственному собственному значению Если и собственные векторы оператора ϕ относящиеся к одному и тому же собственному значению то их линейная комбинация α β собственный вектор оператора ϕ относящийся к тому же собственному значению Из второго свойства следует: а каждому собственному значению соответствует бесчисленное множество собственных векторов; б если к множеству всех собственных векторов оператора ϕ относящихся к одному и тому же собственному значению присоединить нулевой вектор нулевой вектор по определению не является собственным то получим подпространство пространства L Это подпространство называется собственным подпространством оператора ϕ и обозначается L 6

30 Собственные векторы k оператора ϕ относящиеся к различным собственным значениям k линейно независимы Из свойства следует что линейный оператор действующий в - мерном линейном пространстве L не может иметь более собственных значений Кроме того в пространстве может существовать базис хотя бы часть которого собственные векторы Процесс поиска собственных значений и собственных векторов оператора конечномерного пространства на практике сводится к решению алгебраических уравнений и систем Действительно предположим что A матрица оператора ϕ в базисе X матрица-столбец координат вектора в том же базисе Тогда векторное равенство ϕ равносильно матричному равенству A X X или A E X O Но матричное уравнение A E X O представляет собой матричную запись системы линейных однородных уравнений с неизвестными Так как собственные векторы ненулевые то система должна иметь нетривиальные решения Это будет иметь место если rag A E или что то же t A E Матрица A E называется характеристической матрицей оператора ϕ матрицы A а ее определитель t A E являющийся многочленом относительно характеристическим многочленом оператора ϕ матрицы A Найдя корни характеристического многочлена мы определим собственные значения Подставив конкретное собственное значение в и решив получившуюся систему мы найдем относящиеся к нему собственные векторы ПРИМЕР Найти собственные векторы и собственные значения оператора имеющего в некотором базисе матрицу 5 A 5 РЕШЕНИЕ Запишем характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: 7

31 8 E A 5 5 E A 8 9 Корни характеристического многочлена собственные значения: 6 Для каждого из найденных собственных значений запишем систему линейных однородных уравнений O X E A и найдем ее фундаментальную систему решений Это будут координаты базисных векторов собственного подпространства L а Для 6 имеем: X E A 6 O Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор 8 5 Тогда переменные будут зависимыми а свободной Отбрасываем третье уравнение системы и находим общее решение: ; 8 5 ; Δ Δ 9 Δ ; Δ Δ Δ Δ

32 Фундаментальная система решений состоит из одного решения Чтобы ее записать придадим свободной переменной любое отличное от нуля значение Например полагаем Тогда из общего решения находим Итак получили: X решение фундаментальной системы Следовательно базисом собственного подпространства L 6 является вектор c {;; } б Для имеем: L 6 { αc α R} 5 A E X O Матрица системы имеет три пропорциональные строки и следовательно ее ранг равен Выбирая в качестве зависимой переменной получаем что ее общее решение имеет вид: 5 Находим фундаментальную систему решений: 5; 5 Итак получили: X X решения фундаментальной системы Следовательно базисом собственного подпространства L являются векторы c { 5;;} и c { ;;} L { αc βc α β R} 9

33 В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы A порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего A своей матрицей в некотором базисе Использование такой терминологии удобно в задачах в которых на каком-то этапе решения возникает система линейных однородных уравнений A E X O В этом случае любое решение системы A E X O обычно называют собственным вектором матрицы A а ее фундаментальную систему решений линейно независимыми собственными векторами матрицы A Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Метод Эйлера Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений вида aj j b j где коэффициенты a j постоянные Такие системы называют системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и именно они имеют наибольшее практическое применение Систему можно решить методом исключения При этом получится линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами Мы умеем интегрировать такие дифференциальные уравнения Проблема лишь в том что процесс получения дифференциального уравнения порядка довольно трудоемкий и требует аккуратности Другой способ найти общее решение соответствующей однородной системы а затем найти общее решение неоднородной системы методом вариации постоянных Этот путь как правило менее трудоемкий так как оказалось что фундаментальная система решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами связана с собственными векторами ее матрицы Именно установление этой связи и является целью нашего дальнейшего изложения Нахождение фундаментальной системы решений с использованием собственных векторов матрицы называется методом Эйлера Итак рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами: aj j j Вид уравнений системы наводит на мысль что решения следует искать прежде всего среди таких функций производные которых «похожи» на сами функции Среди элементарных функций таким свойст- 5

34 вом обладает показательная функция Поэтому частные решения будем искать в виде где неизвестные действительные числа которые нужно выбрать так чтобы функции удовлетворяли системе Запишем систему в матричном виде: Y AY 5 где a a a a a a A aj a a a По предположению Y D где D Y D Подставим Y и Y в 5 и получим D A D или D A D A D D O A E D O 6 Матричное уравнение 6 представляет собой матричную запись системы линейных однородных уравнений с неизвестными Чтобы такая система имела нетривиальные решения необходимо чтобы t A E Но это означает что должно является действительным характеристическим корнем т е собственным значением матрицы A а D ее собственным вектором относящимся к Матрица A имеет характеристических корней но среди них могут быть комплексные и кратные Рассмотрим ситуации которые в связи с этим могут возникнуть 5

35 5 I Характеристические корни матрицы A действительны и различны В этом случае для каждого характеристического корня найдем собственный вектор j D и запишем решения Y D : Y Y Y Рассмотрим определитель Вронского этих решений Имеем: ] [ W Y Y Y Действительно так как все собственные векторы D относятся к различным собственным значениям то они линейно независимы т е O D D D α α α только при условии что α α α Это означает что система α α α α α α α α α имеет единственное тривиальное решение и следовательно ее определитель Так как ] [ W Y Y Y то решения Y Y Y линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений Общее решение системы в этом случае имеет вид Y Y Y Y или подробнее

36 5 ПРИМЕР Найти общее решение системы: РЕШЕНИЕ Данная система линейная однородная с постоянными коэффициентами Следовательно ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: A Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: E A 5 E A Найдем характеристические корни: 5 5 Характеристические корни являются собственными значениями матрицы A Найдем ее собственные векторы относящиеся к каждому из собственных значений а Для 5 имеем: X E A 5 O 5 5 или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: D

37 Итак получили что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению 5 Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: Y D 5 б Для имеем: A E X O или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: D Так как D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению то решение системы дифференциальных уравнений: Y D Найденные таким образом решения Y и Y образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид 5 Y Y Y или подробнее 5 5 II Характеристические корни матрицы A различны но среди них есть комплексные Так как характеристический многочлен матрицы A имеет действительные коэффициенты то комплексные корни будут появляться сопряженными парами Пусть например характеристическими корнями являются числа α β α β 5

38 Рассмотрим две системы линейных однородных уравнений с неизвестными: A E X O и A E X O В алгебре доказано что если для них выбрать одни и те же переменные свободными и придать им сопряженные значения то для зависимых переменных тоже получаться сопряженные значения Пусть D решение системы A E X O Тогда j D j решение системы A E X O Рассмотрим матрицыстолбцы Z Z α β α β α D D D α β α β cos β s β D D D D cos β s β D В силу выбора D и D эти матрицы-столбцы Z и Z будут удовлетворять матричному уравнению Y AY Полагаем далее Y Z Z Y Z Z Непосредственной проверкой легко убедиться что Y и Y состоят из действительных функций и тоже удовлетворяют матричному уравнению Y AY Более того можно доказать что Y и Y линейно независимы и следовательно могут быть включены в фундаментальную систему решений Замечание На практике матрицу-столбец Z не записывают так как Z Z Действительно α Z cos β s β D cos β s β D α α α cos β s β D Z Y Z Z R Z Y Z Z ImZ Следовательно ПРИМЕР Найти общее решение системы 55

39 56 РЕШЕНИЕ Так как данная система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: A Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: E A ] [ E A Найдем характеристические корни: ] [ ± Действительный корень является собственным значением матрицы A Найдем собственный вектор матрицы относящийся к этому собственному значению Имеем: X E A O или Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные будут зависимыми а свободной Общее решение при этом будет иметь вид: Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим его: D

40 57 Итак получили что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: D Y Возьмем один из комплексных корней например и найдем фундаментальную систему решений системы O X E A Имеем: X E A O или Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные будут зависимыми а свободной Общее решение при этом будет иметь вид: Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим его: D Тогда s cos Z s s cos cos cos s s cos s cos cos s Z Откуда находим

41 s cos Y R Z cos Y ImZ cos s s Найденные таким образом решения Y Y Y образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид Y Y Y Y s cos cos s cos s или подробнее s cos cos s cos s III Характеристические корни матрицы A действительны но среди них есть кратные Пусть действительный характеристический корень матрицы A кратности l r rag A E Возможны два случая r l В этом случае фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений A E X O состоит из l решений Следовательно существуют l линейно независимых собственных векторов D D D l матрицы A относящихся к собственному значению Тогда решения системы дифференциальных уравнений Y D Y D Y l Dl линейно независимы и входят в фундаментальную систему решений этой системы r l точнее r < l случай r > l вообще невозможен из алгебраических соображений Тогда фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений A E X O состоит из k < l решений С их помощью мы сможем получить k линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений В такой ситуации существует два возможных способа найти все решения 58

42 Первый способ искать l решений вида l a a a l l Y a a a l l a a a l где коэффициенты многочленов a j находят подставляя Y в исходную систему ПРИМЕР Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: A Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен: A E A E Найдем характеристические корни: Итак имеем характеристический корень кратности l При этом r rag A E т к A E Следовательно r и r < l Будем искать решения системы в виде a b Y c т е полагаем a b c Тогда a b b c Подставим в исходную систему и получим: a b b a b c c a b c 59

43 или после сокращения на : a b b a b c c a b c ; a b c b a c b Приравнивая коэффициенты при равных степенях получим: a b c a c b b Или после преобразований: a b c b Ранг матрицы системы равен в качестве базисного минора можно выбрать например минор Тогда переменные a b будут зависимыми c и свободными Общее решение при этом будет иметь вид: a c b Находим фундаментальную систему решений: c a b ; c a b Первое из решений фундаментальной системы a b c дает для системы дифференциальных уравнений решение Y второе решение из фундаментальной системы a b c дает решение Y Найденные таким образом решения Y Y образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид: Y Y Y 6

44 Как показывает рассмотренный пример чтобы найти решения для системы дифференциальных уравнений второго порядка нам пришлось решать алгебраическую систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными А если порядок исходной системы будет то алгебраическая система будет содержать в лучшем случае шесть уравнений и шесть неизвестных а в худшем девять уравнений и неизвестных И хотя мы в каждом случае точно знаем количество свободных переменных их количество совпадает с кратностью корня задача получается трудоемкая Второй способ решения найти k линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений а недостающие l k решений искать в виде Y D D Здесь k k k Y k Dk Dk Dk Y k Dk Dk Dk Dk и тд D числовые матрицы-столбцы определяемые так чтобы j были решениями системы дифференциальных уравнений На первый взгляд кажется что этот способ такой же трудоемкий как и предыдущий Но на самом деле это не так Рассмотрим его применительно к системам дифференциальных уравнений -го порядка т е к системам вида Y AY 7 где A a j матрица третьего порядка a j R Число характеристических корней матрицы совпадает с ее порядком следовательно если матрица A имеет кратный характеристический корень то его кратность l равна двум или трем Рассмотрим каждый из этих случаев а Пусть l r В этом случае матрица A имеет один линейно независимый собственный вектор D относящийся к собственному значению и следовательно Y D решение системы 7 Еще одно решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде Y D D Тогда Y D D D Y 6

45 и подставляя Y и Y в 7 получаем: D D D A D D После преобразований будем иметь: D D D AD AD Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим: D AD AD D O или D D AD AD D D A E D O 8 A E D D Первое уравнение системы 8 означает что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению и следовательно можем полагать D D Тогда второе уравнение системы 8 перепишется в виде: A E D D т е в качестве D можно взять любое решение системы линейных уравнений A E X D Таким образом если l и r то рассматриваемая система 7 имеет решения Y D и Y D D 9 где D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению D любое решение системы линейных уравнений A E X D Найденные таким образом решения Y и Y входят в фундаментальную систему решений так как они линейно независимы Действительно рассматривая α Y βy O получаем α β D β D O D β D O α D β D O По определению собственного вектора D O Тогда из этой системы находим α β А это означает что Y и Y линейно независимы Замечание При получении формул 9 нигде не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка Следовательно они останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка 6

46 ПРИМЕР 5 Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: A Ее характеристическая матрица: A E Тогда A E Итак имеем характеристический корень кратности l При этом r rag A E т к A E Следовательно r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами 9 Найдем собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению Имеем: A E X O или общее решение системы Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: D Итак получили что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: Y D 6

47 Второе решение системы дифференциальных уравнений найдем в виде Y D D где D любое решение системы линейных уравнений A E X D Имеем: A E X D или общее решение системы Полагаем и находим частное решение: D Подставляем D и D в Y и получаем: Y Найденные таким образом решения Y Y образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: Y Y Y б Пусть l r В этом случае матрица A имеет один линейно независимый собственный вектор D относящийся к собственному значению и следовательно Y D решение системы 7 Необходимо найти еще два решения Второе решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде Y D D Условия которым при этом будут удовлетворять D и D были нами уже получены ранее А именно D будет собственным вектором матрицы A относящимся к собственному значению и следовательно можно считать D D ; D любое решение системы линейных уравнений A E X D Третье решение системы запишем в виде Y D D D 6

48 Тогда Y D D D D D и подставляя Y и Y в 7 получаем: D D D D D A D D D После преобразований будем иметь: D D D D D AD AD AD Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим: D AD D D AD D D AD AD D O AD D D AD D D A E D O A E D D A E D D Первое уравнение системы означает что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению и следовательно можем полагать D D Тогда второе уравнение системы перепишется в виде: A E D D т е в качестве D можно взять любое решение системы линейных уравнений A E X D Так как D тоже является решением этой системы то можем полагать D D С учетом этого третье уравнение системы перепишется в виде: A E D D т е в качестве D можно взять любое решение системы линейных уравнений A E X D 65

49 Таким образом если l и r то рассматриваемая система 7 имеет решения Y D Y D D Y D D D где D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению D любое решение системы линейных уравнений A E X D D любое решение системы линейных уравнений A E X D При этом легко доказать что найденные таким образом решения Y Y Y будут линейно независимыми Замечание При получении формул нигде не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка Следовательно они останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка ПРИМЕР 6 Найти общее решение системы 6 8 РЕШЕНИЕ Система является линейной однородной с постоянными коэффициентами Следовательно ее общее решение может быть найдено методом Эйлера Матрица системы: A 6 8 Ее характеристическая матрица: A E 6 8 Тогда A E Итак имеем характеристический корень кратности l При этом 66

50 E A 7 E A rag r Следовательно r и для нахождения решений можно воспользоваться формулами Найдем собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению Имеем: X E A O или 7 7 Как уже указывали выше ранг матрицы системы равен и в качестве базисного минора можно выбрать например минор 7 Тогда переменные будут зависимыми а свободной Отбрасываем третье уравнение системы и находим общее решение: ; 7 ; 7 общее решение Фундаментальная система решений состоит из одного решения Полагаем и находим это решение: D Итак получили что D собственный вектор матрицы A относящийся к собственному значению Следовательно решение системы дифференциальных уравнений: D Y

51 68 Второе решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде D D Y где D любое решение системы линейных уравнений D X E A Имеем: X E A D или 7 7 Выбирая переменные зависимыми а свободной получаем общее решение Полагаем и находим частное решение: D Подставляем D и D в Y и получаем: Y Третье решение системы дифференциальных уравнений найдем в виде D D D Y где D любое решение системы линейных уравнений D X E A Имеем: X E A D или 7 7 Выбирая переменные зависимыми а свободной получаем общее решение

52 69 Полагаем и находим частное решение: D Подставляем D D и D в Y и получаем: Y Найденные таким образом решения Y Y Y образуют фундаментальную систему и следовательно общее решение системы имеет вид: Y Y Y Y или более подробно в Пусть l r В этом случае матрица A имеет два линейно независимых собственных вектора D и D относящихся к собственному значению и следовательно Y D Y D решения системы 7 Необходимо найти еще одно решение Третье решение системы дифференциальных уравнений будем искать в виде D D Y

53 Условия которым при этом будут удовлетворять D и D нами получены ранее А именно D будет собственным вектором матрицы A относящимся к собственному значению ; D любое решение системы линейных уравнений A E X D В нашем случае размерность собственного подпространства матрицы A для собственного значения равна двум а в качестве его базиса выбраны D и D Следовательно D α D β D где α β некоторые числа одновременно не равные нулю которые следует выбрать так чтобы система линейных уравнений A E X D была совместна Замечание Если α β то D α D β D O и следовательно D не будет собственным вектором Таким образом если l и r то рассматриваемая система 7 имеет решения Y D Y D Y D D где D D линейно независимые собственные векторы матрицы A относящиеся к собственному значению ; D α D β D α β числа одновременно не равные нулю которые выбираются так чтобы система линейных уравнений A E X D была совместна; D любое решение системы уравнений A E X D При этом легко доказать что найденные таким образом решения Y Y Y будут линейно независимыми Замечание Формулы останутся справедливыми и для линейной однородной системы порядка так как при их получении не использовался тот факт что система дифференциальных уравнений третьего порядка ПРИМЕР 7 Найти общее решение системы РЕШЕНИЕ Так как система линейная однородная с постоянными коэффициентами то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера 7


21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Семинар 5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Семинар 5 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ Описание сигналов Для описания сигналов используются функции времени Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее