СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. МАНЖОСОВ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Краткий курс лекций Часть Ульяновск УлГТУ 07

2 УДК (075) ББК 30.я73 М 3 Рецензенты: зав. кафедрой «Проектирование и сервис автомобилей» УлГУ, д-р техн. наук А. Ш. Хусаинов; доцент кафедры ОПД УВАУГА(И) И. Н. Карпунина Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве курса лекций М 3 Манжосов, Владимир Кузьмич Сопротивление материалов : краткий курс лекций. В ч. / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, 07. ISBN Манжосов, Владимир Кузьмич Сопротивление материалов : краткий курс лекций. В ч. Ч. / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, с. ISBN Курс лекций включает руководство по изучению дисциплины «Сопротивление материалов», лекционный материал, контрольные вопросы и тестовые задания по рассматриваемым темам. Предназначен для студентов при изучении соответствующих разделов курса, выполнении контрольных и расчетно-проектировочных заданий, самостоятельной работе. Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции». УДК (075) ББК 30.я73 Учебное электронное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ Учебное пособие Редактор Ю. С. Лесняк ЭИ 90. Объем данных,0 Мб. ЛР от.0.97 Печатное издание Подписано в печать Формат 6084/6. Усл. печ. л.,79. Тираж 00 экз. Заказ 49. Ульяновский государственный технический университет, 4307, Ульяновск, Сев. Венец, 3. ИПК «Венец» УлГТУ, 4307, Ульяновск, Сев. Венец, 3. Тел.: (84) ISBN Манжосов В. К., 07 ISBN ч. Оформление. УлГТУ, 07

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...5. РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ Цель и задачи дисциплины Методические рекомендации по изучению дисциплины...6. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, НА КОТОРЫХ БАЗИРУЕТСЯ ДИСЦИПЛИНА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»..... Основные допущения о свойствах материалов и характере деформирования..... Геометрическая схематизация элементов конструкций Классификация нагрузок Понятие о внутренних силах Внутренние силы в поперечном сечении бруса Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении бруса Понятие о деформациях Простейшие типы деформации бруса Контрольные вопросы Тестовые задания РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ Общие положения Продольная сила Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса Продольные деформации Поперечные деформации. Закон Пуассона Диаграммы растяжения и сжатия Потенциальная энергия деформации Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность Контрольные вопросы Тестовые задания ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ Основные понятия Изменение геометрических характеристик плоского сечения изменении положения координатных осей Центр тяжести сечения Главные оси и главные моменты инерции сечения Положение главных осей инерции в сечениях, имеющих ось симметрии Расчет геометрических характеристик сложного сечения Геометрические характеристики простейших сечений Контрольные вопросы Тестовые задания ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА Напряжения в точке. Тензор напряжений Закон парности касательных напряжений Главные оси, главные площадки и главные напряжения Определение напряжений в произвольно расположенной площадке Анализ напряженного состояния (решение прямой задачи) на основе круговых диаграмм (круга Мора

4 5.6. Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния на основе построения круга Мора (плоское напряженное состояние) Обобщенный закон Гука Объемная деформация Потенциальная энергия деформации Контрольные вопросы Тестовые задания ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ Основные теории прочности Теория прочности Мора Единая теория прочности Контрольные вопросы Тестовые задания СДВИГ. РАСЧЕТ НА СРЕЗ Общие положения Чистый сдвиг Контрольные вопросы Тестовые задания КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ Крутящий момент в поперечных сечениях стержня Пример расчета крутящего момента Деформации и напряжения в точках поперечного сечения при кручении круглого стержня Пример расчета диаметра круглого стержня и углов закручивания Потенциальная энергия упругой деформации при кручении круглого стержня Расчет цилиндрических винтовых пружин Контрольные вопросы Тестовые задания ИЗГИБ Определение внутренних силовых факторов при изгибе Напряжения и деформации при чистом изгибе Потенциальная энергия упругой деформации при чистом изгибе Определение напряжений при поперечном изгибе Определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений стержня при изгибе Уравнение упругой линии Метод начальных параметров при расчете прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня Расчет прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня на основе вычисления интеграла Мора Контрольные вопросы Тестовые задания ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛОССАРИЙ... 5 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

5 ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов учебная дисциплина, в которой излагаются инженерные методы расчета наиболее распространенных элементов (в основном, стержневых элементов) сооружений и машин на прочность, жесткость и устойчивость. Расчетный аппарат сопротивления материалов широко используется в специальных дисциплинах, связанных с изучением и проектированием надежных и экономичных конструкций машин и сооружений. Надежной считается конструкция, которая удовлетворяет требованиям прочности, жесткости, устойчивости. Надежность достигается чаще всего увеличением поперечных размеров конструктивных элементов. С другой стороны, экономия материала заставляет стремиться к уменьшению тех же самых размеров. Эти противоречия позволяют разрешить расчеты на прочность, жесткость и устойчивость, которые устанавливают рациональные размеры, т. е. размеры, при которых надежность обеспечивается без лишнего расхода материала. Сопротивление материалов решает поставленные задачи, базируясь как на теоретических, так и на опытных данных. В теоретической части базой являются основные аксиомы и теоремы теоретической механики, в экспериментальной данные материаловедения. В учебном пособии рассмотрены основные гипотезы, на которых базируется дисциплина «Сопротивление материалов», даны понятия внутренних сил, механических напряжений, деформаций. Разделы учебного пособия посвящены изучению простейших видов нагружения и деформирования стержней: расчету стержня при центральном растяжении-сжатии, при сдвиге, при кручении стержня, при поперечном изгибе стержня. Любой профессиональный расчет в рамках перечисленных тем на прочность, жесткость и устойчивость бруса (стержня) базируются на том, что при этих расчетах должны быть определены внутренние силы, возникающие в стержне при его нагружении. Внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей, обеспечивающих целостность тела при его деформировании. Рассматривается метод определения внутренних сил, который называется метод сечений. Сопротивление материалов, как учебная дисциплина, представляет очень простые расчетные зависимости, устанавливающие связь между возникающими в точках поперечного сечения стержня напряжениями и внутренними силовыми факторами в этом сечении, позволяющие определять опасные сечения и опасные точки в этих сечениях, определять перемещения поперечных сечений стержня при различных видах нагружения, проводить расчет на прочность. 5

6 . РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.. Цель и задачи дисциплины Цель и задачи дисциплины «Сопротивление материалов» направлены на освоение методов расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Прочностью называется способность материала или конструкции воспринимать различные воздействия (нагрузки, температурные перепады, просадки грунтов и т. д.), не разрушаясь. В сопротивлении материалов под нарушением прочности понимают не только разрушение в буквальном смысле слова, но и возникновение необратимых (остаточных) деформаций. Жесткость это способность конструктивного элемента воспринимать воздействие без существенного изменения геометрических размеров. Деформирование конструкции и ее элементов при действии нагрузки вызывает перемещение их отдельных точек. При значительных перемещениях нормальная эксплуатация конструкции может оказаться невозможной, хотя ее прочность еще не нарушена. Поэтому путем расчета определяют такие размеры конструкции, при которых перемещения будут лежать в допустимых нормами пределах. Устойчивость это способность элементов конструкций сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия. Если малое приращение нагрузки вызывает сильное нарастание отклонения элемента конструкции от положения равновесия (выпучивание), то говорят, что элемент конструкции потерял устойчивость. Расчет на устойчивость должен обеспечить такое соотношение нагрузок и размеров элементов конструкций, при котором гарантирована устойчивость заданной формы равновесия. Основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета элементов различных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности. Целью изучения дисциплины «Сопротивление материалов» является освоение методов расчета стержневых систем на прочность, жесткость и устойчивость... Методические рекомендации по изучению дисциплины Тема. Основные положения дисциплины «Сопротивление материалов» Цель: дать представление об основных гипотезах, на которых базируется наука о сопротивлении материалов; о действующих нагрузках, о внутренних силах, о напряжениях и деформациях, о простейших видах деформирования стержня. Учебные вопросы:. Основные допущения о свойствах материалов и характере деформирования.. Геометрическая схематизация элементов конструкций. 6

7 3. Классификация нагрузок. 4. Понятие о внутренних силах. 5. Внутренние силы в поперечном сечении бруса. 6. Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении бруса. 7. Понятие о деформациях. 8. Простейшие типы деформации бруса. Изучив тему, студент должен: знать: основные гипотезы сопротивления материалов, принципы составления расчетной схемы элементов конструкций, последовательность действий при определении внутренних сил в сечении деформируемого тела, понятия о напряжениях и деформациях, аналитические зависимости между внутренними силами в сечении и действующими в точках этого сечения нормальными и касательными напряжениями, аналитические зависимости между внутренними силами в сечении и действующими на тело внешними силами, простейшие виды деформирования стержня; уметь: определять внутренние силы в поперечных сечениях стержня при простейших видах деформирования (центральном растяжении-сжатии, сдвиге, кручении, изгибе). При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: прочность, жесткость, устойчивость, брус (стержень), ось стержня, оболочка, массив, изотропность, упругость, напряжение, нормальное напряжение, касательное напряжение, линейные и угловые деформации, продольная сила, поперечная сила, крутящий момент, изгибающий момент, центральное растяжение-сжатие стержня, сдвиг, кручение, изгиб; ответить на контрольные вопросы:. В чем состоит задача расчета на прочность, на жесткость, на устойчивость?. Что называется брусом, оболочкой, пластинкой, массивным телом? 3. Что называется осью бруса? 4. Что представляет собой расчетная схема сооружения и чем она отличается от действительного сооружения? 5. По каким признакам и как классифицируются нагрузки? 6. Что представляет собой интенсивность распределенной нагрузки? 7. В каких единицах выражаются сосредоточенные силы и моменты, а также интенсивности распределенных силовых нагрузок? 8. Что представляют собой внутренние силы? 9. Какие внутренние усилия (внутренние силовые факторы) могут возникать в поперечных сечениях брусьев и какие виды деформаций с ними связаны? 0. В чем сущность метода сечений?. Что называется касательным и нормальным напряжением? В каких единицах они выражаются?. Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжениями в точке в данном сечении? 3. Какие деформации называются линейными и какие угловыми? 4. Какие основные предпосылки положены в основу науки о сопротивлении материалов? 5. В чем состоит принцип независимости действия сил? 7

8 Тема. Расчет стержня при растяжении-сжатии Цель: дать представление о принципах расчета стержня при центральном растяжении-сжатии. Учебные вопросы:. Продольная сила.. Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса. 3. Продольные деформации. 4. Поперечные деформации. Закон Пуассона. 5. Диаграммы растяжения и сжатия. 6. Потенциальная энергия деформации. 7. Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность. 8. Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии. Изучив тему, студент должен: знать: какой вид нагружения стержня относится к центральному растяжению-сжатию, последовательность действий при определении продольной силы в поперечных сечениях стержня, закон Гука при растяжении-сжатии, расчетную зависимость между нормальным напряжением в точках поперечного сечения и продольной силой в этом сечении, расчетную зависимость между нормальным и касательным напряжениями и угла наклона сечения к продольной оси, расчетную зависимость для определения перемещений поперечных сечений, закон Пуассона, расчетную зависимость для определения температурной линейной деформации, основные участки диаграммы растяжения и сжатия, расчетную зависимость для определения потенциальной энергии при растяжении-сжатии, условия обеспечения прочности или жесткости при растяжении-сжатии; уметь: определять продольную силу в поперечных сечениях и строить эпюру продольной силы, определять нормальные напряжения в поперечных сечениях и строить эпюру нормальных напряжений, определять положение опасного сечения и делать расчет на прочность, определять перемещения поперечного сечения и строить эпюру перемещений, производить расчет статически неопределимой стержневой системы при растяжении-сжатии. При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: центральное растяжениесжатие стержня, продольная сила, нормальное напряжение, эпюра, линейная деформация (продольная, поперечная, температурная линейная деформация), модуль упругости первого рода, коэффициент Пуассона, предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности, площадка текучести, ползучесть, последействие, упругое последействие и релаксация, допускаемые напряжения, коэффициент запаса прочности; ответить на контрольные вопросы:. Какие случаи деформации бруса называются центральным растяжением?. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении бруса? 3. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится? 8

9 4. Какой вид имеют эпюры продольных сил для бруса, нагруженного несколькими осевыми сосредоточенными силами и равномерно распределенной осевой нагрузкой? 5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого бруса и чему они равны? 6. Как используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) бруса? 7. Что представляют собой значения А нетто и А брутто поперечного сечения бруса? 8. Как строится график (эпюра), показывающий изменение (по длине оси бруса) нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса? 9. Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого бруса? Сделайте вывод соответствующих формул. 0. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные и в каких наибольшие касательные напряжения?. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией? Что представляет собой относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации бруса? 3. Что называется жесткостью, поперечного сечения при растяжении (сжатии)? 4. Как формулируется закон Гука? Напишите формулы абсолютной и относительной продольных деформаций бруса. 5. Что называется абсолютной и относительной поперечными деформациями бруса? 6. Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении и сжатии? 7. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какие он имеет значения? 8. В каких координатах строится диаграмма растяжения? 9. Что называется пределом пропорциональности, пределом упругости, пределом текучести, пределом прочности (или временным сопротивлением)? Что представляет собой площадка текучести? 0. Какие деформации называются упругими и какие остаточными или пластическими?. Какое явление называется наклепом?. Что называется условным пределом текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика? 3. Чем отличается диаграмма, растяжения пластичной стали от диаграммы растяжения хрупкой стали? 9

10 4. Чем отличаются диаграммы сжатия пластичной и хрупкой сталей от диаграмм растяжения? 5. Что называется остаточным относительным удлинением образца и остаточным относительным сужением шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют? 6. Какие материалы называются анизотропными? 7. Что называется ползучестью, последействием, упругим последействием и релаксацией? 8. Как определяются продольные перемещения точек бруса при продольной силе и размерах поперечного сечения, непрерывно изменяющихся по длине оси бруса, а также при ступенчато-переменном сечении и продольных силах, постоянных в пределах отдельных участков? 9. Что представляет собой эпюра продольных перемещений? 30. Какое действие нагрузки называется статическим? 3. Как найти работу растягивающей силы по диаграмме растяжения? 3. Сделайте вывод формулы работы растягивающей силы при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности. 33. При каком условии и почему потенциальная энергия деформации бруса принимается равной работе внешних сил? 34. Что называется удельной потенциальной энергией деформации, каковы ее выражение и размерность? Выведите соответствующую формулу. 35. Как определяется потенциальная энергия деформации при брусе со ступенчатым изменением размеров поперечных сечений и при одновременном действии на брус нескольких осевых сил? 36. Как определяется потенциальная энергия деформации при продольных нагрузках, распределенных по длине оси бруса, или при непрерывном изменении размеров поперечных сечений бруса? 37. Какие выводы о свойствах потенциальной энергии деформации можно сделать из выражений, определяющих ее величину? 38. Выведите формулы продольных сил, нормальных напряжений, продольных деформаций и потенциальной энергии деформации от собственного веса вертикального бруса постоянного сечения. 39. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов? 40. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина? 4. Какие три характерных вида задач встречаются при расчете прочности конструкций? Напишите условия прочности при растяжении для каждого из этих видов задач. 4. Что представляют собой допускаемая, предельная и предельно допускаемая нагрузки? 43. Какие напряжения называются температурными? 0

11 Тема 3. Геометрические характеристики плоского сечения Цель: дать представление о геометрических характеристиках плоского сечения. Учебные вопросы:. Основные понятия в теме «Геометрические характеристики плоского сечения».. Изменение геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей. 3. Центр тяжести сечения. 4. Главные оси и главные моменты инерции сечения. 5. Расположение главных осей инерции в сечениях, имеющих ось симметрии. 6. Геометрические характеристики простейших сечений. 7. Расчет геометрических характеристик сложного сечения. Изучив тему, студент должен: знать: определение основных геометрических характеристик плоского сечения и интегральные зависимости для их расчета, аналитические зависимости для определения положения центра тяжести плоского сечения, аналитические зависимости для определения геометрических характеристик сечения при изменении положения координатных осей (при параллельном переносе, при повороте координатных осей), аналитические зависимости для определения положения главных осей инерции сечения и моментов инерции сечения относительно главных осей, аналитические зависимости для определения геометрических характеристик простейших сечений, расположение главных осей инерции в плоских сечениях с осями симметрии, последовательность действий при расчете геометрических характеристик сложного сечения; уметь: определять геометрические характеристики составного плоского сечения (статические моменты инерции, осевые и центробежный моменты инерции) относительно выбранной системы координатных осей и относительно главных центральных осей инерции сечения. При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: площадь сечения, статический момент сечения относительно оси, осевой момент инерции сечения относительно оси, центробежный момент инерции сечения относительно оси, полярный момент инерции сечения относительно точки; ответить на контрольные вопросы:. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения? 3. В каких единицах выражается статический момент сечения? 4. Какая зависимость существует между статическими моментами относительно двух параллельных осей? 5. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения? 7. В каких единицах выражаются моменты инерции сечения? 8. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

12 9. Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменение положительных направлений одной или обеих координатных осей? 0. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?. Чему равны осевые моменты инерции круга и кольца относительно осей, проходящих через их центры тяжести?. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров? 3. Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение? 4. Изменяется ли сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте этих осей? 5. Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции? 6. Какие оси называются главными осями инерции? 7. Какие оси называются главными центральными осями инерции? 8. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции? 9. В каких случаях без вычисления можно установить положение главных осей? 0. Если J y J и J y 0, то какие оси являются главными осями инерции?. Какие центральные оси являются главными осями инерции у сечений, имеющих более двух осей симметрии? Почему?. Почему производится разбивка сложного сечения на простые части при определении моментов инерции? 3. В какой последовательности определяются значения главных центральных моментов инерции сложного сечения? Тема 4. Теория напряженного и деформированного состояния материала Цель: дать представление о напряженном и деформированном состоянии материала. Учебные вопросы:. Напряжения в точке. Тензор напряжений.. Закон парности касательных напряжений. 3. Главные оси, главные площадки и главные напряжения. 4. Определение напряжений в произвольно расположенной площадке. 5. Анализ напряженного состояния (решение прямой задачи) на основе круговых диаграмм (круга Мора). 6. Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния на основе построения круга Мора (плоское напряженное состояние). 7. Обобщенный закон Гука. Изучив тему, студент должен: знать: понятия напряженное состояние в точке деформируемого тела, тензор напряжений, главные оси, главные напряжения, главные площадки, линейное напряженное состояние, плоское напряженное состояние, объемное напряженное состояние; закон парности касательных напряжений, аналитические зависимости для определения напряжений в произвольно расположенной площадке, последовательность действий при анализе напряженного состояния на основе построения круговых диаграмм (кругов Мора), аналитические зависимости обобщенного закона Гука;

13 уметь: решать прямую и обратную задачи при анализе напряженного состояния на основе построения круговых диаграмм (кругов Мора). При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: напряженное состояние в точке деформируемого тела, тензор напряжений, главные оси, главные напряжения, главные площадки, линейное напряженное состояние, плоское напряженное состояние, объемное напряженное состояние, полная удельная потенциальная энергия деформации, потенциальная энергия изменения объема, потенциальная энергия изменения формы; ответить на контрольные вопросы:. Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным), линейным (одноосным)?. Каково правило знаков для нормальных и касательных напряжений? 3. Докажите закон парности касательных напряжений. 4. Что представляют собой главные напряжения и главные площадки? Как расположены главные площадки друг относительно друга? 5. Чему равны касательные напряжения на главных площадках? 6. Как определить главную площадку, по которой действует главное напряжение в общем случае плоского напряженного состояния? ma 7. Чему равны экстремальные значения касательных напряжений в случае плоского напряженного состояния? 8. Что представляют собой площадки сдвига и как они наклонены к главным площадкам? 9. Для чего служит круг Мора (круг напряжений)? 0. Как строится круг Мора?. Как определяется полюс круга Мора?. Как определяются напряжения и с помощью круга Мора? 3. Как определяются главные напряжения и положения главных площадок с помощью круга Мора? 4. Как определяются с помощью круга Мора экстремальные значения касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют? 5. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках? 6. Чему равны максимальные и минимальные касательные напряжения (при заданных напряжениях,, 3 ) и по каким площадкам они действуют? 7. Выведите формулы, выражающие обобщенный закон Гука. Почему эти формулы действительны и для случая, когда заданные нормальные напряжения не являются главными? 8. На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения обобщенного закона Гука? 9. Выведите формулу относительного изменения объема при пространственном напряженном состоянии. Как измеряется относительное изменение объема? 3

14 0. Что называется полной удельной потенциальной энергией деформации и из каких частей она состоит?. В каких единицах выражается удельная потенциальная энергия?. В каких пределах применимы формулы для определения объемной деформации и потенциальной энергии? Тема 5. Теории прочности Цель: дать представление об основных теориях прочности материала. Учебные вопросы:. Основные теории прочности.. Теория прочности Мора. 3. Единая теория прочности. Изучив тему, студент должен: знать: аналитические зависимости для расчета на прочность с использованием первой теории прочности, второй теории прочности, третьей теории прочности, энергетической (четвертой) теории прочности, теории прочности Мора, единой теории прочности; уметь: проводить расчет на прочность с использованием различных теорий прочности. При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: опасное состояние материала, расчет на прочность, теории прочности материала; выполнить практические занятия по теме 5; ответить на контрольные вопросы:. Что называется опасным состоянием материала? Чем характеризуется наступление опасного состояния для пластичных и хрупких материалов?. Какая точка тела называется опасной? 3. Что называется допускаемым напряженным состоянием? 4. Почему причина опасного состояния не имеет значения для расчетов на прочность при одноосном напряженном состоянии? 5. Почему определение прочности в случаях сложного (плоского или пространственного) напряженного состояния приходится производить на основе результатов опытов, проводимых при одноосном напряженном состоянии? 6. Что представляют собой теории прочности? 7. В чем сущность первой теории прочности? Какие опытные данные находятся в противоречии с этой теорией? 8. В чем сущность второй теории прочности? 9. В чем сущность третьей теории прочности? Напишите условие прочности по этой теории. Укажите ее недостатки. 0. В чем сущность четвертой теории прочности? Укажите область применения этой теории. 4

15 Тема 6. Сдвиг. Расчет на срез Цель: дать представление о деформировании стержня при сдвиге. Учебные вопросы:. Общие положения.. Чистый сдвиг. Изучив тему, студент должен: знать: какой вид нагружения стержня относится к сдвигу, как определять поперечную силу при срезе, гипотезу плоских сечений при сдвиге, закон Гука при сдвиге, аналитическую зависимость для определения касательных напряжений при сдвиге, модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости материала второго рода), аналитическую зависимость между модулем упругости первого рода и модулем упругости второго рода, аналитическую зависимость для определения потенциальной энергии упругой деформации при сдвиге, удельной потенциальной энергии упругой деформации при сдвиге, определять главные напряжения при сдвиге, условия прочности при сдвиге; уметь: производить расчет на прочность элементов конструкций, испытывающих срез (заклепок, болтов, сварных соединений, врубок). При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: сдвиг, срез, чистый сдвиг, закон Гука при сдвиге, касательные напряжения при сдвиге, угол сдвига, абсолютный сдвиг; выполнить практические занятия по теме 6; ответить на контрольные вопросы:. Какой случай плоского напряженного состояния называется чистым сдвигом?. Что представляют собой площадки чистого сдвига и чем они отличаются от площадок сдвига? 3. Какая зависимость имеется между нормальными напряжениями по двум взаимно перпендикулярным площадкам при чистом сдвиге? 4. Изменяется ли значение полного напряжения в случае чистого сдвига при повороте площадки? 5. Как связаны друг с другом при чистом сдвиге значения ma, min, ma и? min 6. Ответьте с помощью круга Мора, построенного для случая чистого сдвига, на 3, 4 и 5-й вопросы. 7. Как деформируется под действием касательных напряжений элементарный параллелепипед, боковые грани которого совпадают с площадками чистого сдвига? 8. Что называется абсолютным сдвигом, относительным сдвигом и углом сдвига? 9. Напишите выражение закона Гука при сдвиге. 5

16 Тема 7. Кручение стержня Цель: дать представление о деформировании стержня при кручении. Учебные вопросы:. Крутящий момент в поперечных сечениях стержня.. Деформации и напряжения в точках поперечного сечения при кручении круглого стержня. 3. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении круглого стержня. 4. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения. 5. Статически неопределимые задачи при кручении. 6. Расчет цилиндрических винтовых пружин. Изучив тему, студент должен: знать: какой вид нагружения стержня относится к кручению, последовательность действий при определении крутящего момента в поперечных сечениях стержня, гипотезу плоских сечений при кручении круглого стержня, закон Гука при кручении, зависимость между относительным углом закручивания и касательными напряжениями в точке поперечного сечения круглого стержня, расчетную зависимость между касательным напряжением в точках поперечного сечения и крутящим моментом в этом сечении, положение опасных точек в поперечном сечении круглого стержня при кручении, расчетную зависимость для определения угла поворота поперечных сечений, расчетную зависимость для определения потенциальной энергии при кручении круглого стержня, условия обеспечения прочности или жесткости при кручении, основные зависимости при расчете стержней с некруглым поперечным сечением, аналитические зависимости для расчета цилиндрических винтовых пружин; уметь: определять крутящий момент в поперечных сечениях и строить эпюру крутящего момента, определять касательные напряжения в точках поперечного сечения круглого стержня и строить эпюру касательных напряжений, определять положение опасного сечения и делать расчет на прочность, определять углы закручивания поперечных сечений круглого стержня и строить эпюру угла закручивания, производить расчет статически неопределимого круглого стержня при кручении. При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: кручение, крутящий момент в поперечном сечении, эпюра крутящего момента, полярный момент инерции круглого сечения относительно центра тяжести сечения, момент сопротивления круглого сечения, полный и относительный угол закручивания бруса (стержня), крутильная жесткость поперечного сечения, потенциальная энергия упругой деформации при кручении; ответить на контрольные вопросы:. При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?. Как вычисляется скручивающий момент, передаваемый шкивом, по заданной мощности и числу оборотов в минуту? 3. Какое правило знаков принято для крутящих моментов? 4. Что представляют собой эпюры крутящих моментов и как они строятся? 5. Что называется полным и относительным углом закручивания бруса? 6. Перечислите предпосылки теории кручения прямого бруса круглого поперечного сечения. 7. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены? 6

17 8. Выведите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого бруса. 9. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке круглого бруса при кручении? 0. Выведите формулы для определения относительного и полного угла закручивания круглого бруса.. Что называется жесткостью сечения при кручении?. Напишите выражение полярных моментов инерции круглого (сплошного и кольцевого) сечения. 3. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он выражается и чему равен (для круга и кольца)? 4. Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения разности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов? 5. Чем объясняется, что брус кольцевого сечения при кручении экономичнее бруса сплошного сечения? 6. В каких площадках, проходящих через данную точку бруса круглого сечения, при кручении возникают экстремальные касательные напряжения и чему они равны? 7. В каких площадках, проходящих через данную точку стержня круглого сечения, при кручении возникают экстремальные нормальные напряжения и чему они равны? 8. Чему равны наибольшие экстремальные касательные напряжения и наибольшие главные напряжения в скручиваемом брусе круглого сечения? В каких точках они возникают? 9. Как разрушаются при кручении деревянные и чугунные брусья? Как объяснить характер разрушения для каждого из этих материалов? 0. Чему равна потенциальная энергия деформации кручения бруса круглого сечения? Выведите соответствующую формулу.. Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?. Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение? 3. Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость? Тема 8. Изгиб стержня Цель: дать представление о деформировании стержня при изгибе. Учебные вопросы:. Определение внутренних силовых факторов при изгибе.. Напряжения и деформации при чистом изгибе. 3. Потенциальная энергия упругой деформации при чистом изгибе. 4. Определение напряжений при поперечном изгибе. 5. Определение перемещений поперечных сечений стержня при изгибе. Изучив тему, студент должен: знать: какой вид нагружения стержня относится к прямому изгибу, последовательность действий при определении поперечной силы и изгибающего момента в поперечных сечениях стержня, какая дифференциальная зависимость существует между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки; гипотезу плоских сечений при чистом изгибе стержня, зависимость между относительным углом поворота поперечного сечения и кривизной продольной оси изогнутого стержня, расчетную зависимость между нормальным напряжением в точках поперечного 7

18 сечения и изгибающим моментом в этом сечении; положение опасных точек в поперечном сечении при изгибе, положение нейтральной (нулевой) линии в поперечном сечении при изгибе, аналитическую зависимость для расчета потенциальной энергии упругой деформации при чистом изгибе, формулу Журавского для определения касательных напряжений при поперечном изгибе, аналитическую зависимость для расчета на прочность стержня при изгибе; дифференциальное уравнение упругой линии, дифференциальные зависимости для определения угла поворота и прогиба поперечных сечений, последовательность расчета прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня по методу начальных параметров, последовательность расчета прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня на основе вычисления интеграла Мора, способы вычисления интеграла Мора (способ Верещагина, способ на основе метода параболического интерполирования), условия обеспечения прочности или жесткости при изгибе; уметь: определять поперечную силу и изгибающий момент в поперечных сечениях стержня и строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента, определять нормальные напряжения в точках поперечного сечения стержня, определять положение опасного сечения и делать расчет на прочность, определять угол поворота поперечного сечения и прогиб стержня в данном поперечном сечении по методу начальных параметров и на основе вычислений интегралов Мора. При изучении темы необходимо: акцентировать внимание на следующих понятиях: изгиб стержня, прямой изгиб, чистый изгиб, поперечный изгиб, поперечная сила, изгибающий момент, относительный угол поворота сечения при изгибе, радиус кривизны продольной оси стержня при изгибе, нейтральная (нулевая) линия в поперечном сечении, нормальные и касательные напряжения в точках поперечного сечения при изгибе, опасные точки в поперечном сечении при изгибе, изгибная жесткость поперечного сечения стержня, потенциальная энергия упругой деформации при изгибе, угол поворота поперечного сечения при изгибе, прогиб стержня в данном поперечном сечении; ответить на контрольные вопросы:. Что называется прямым изгибом?. Что называется чистым и поперечным изгибами? 3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в общем случае действия на него плоской системы сил? 4. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий? 5. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса? 6. Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении бруса? 7. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию? 8. Как можно осуществить неподвижное (геометрически неизменяемое) и статически определимое закрепление балок к основанию? 9. При каком числе связей балка становится статически неопределимой? 0. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?. Чему равна горизонтальная опорная реакция горизонтальной балки при вертикальной нагрузке?. Как проверить правильность определения опорных реакций? 8

19 3. Какая дифференциальная зависимость существует между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки, перпендикулярной оси бруса? 4. Как формулируется теорема Журавского? 5. Чему равна поперечная сила в сечениях бруса, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений? 6. По каким законам изменяются поперечная сила и изгибающий момент по длине оси бруса при отсутствии распределенной нагрузки? 7. Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов на участке балки, во всех сечениях которого поперечная сила равна нулю? 8. Как изменяется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси балки? 9. Как изменяется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент? 0. Что представляют собой эпюры поперечных и продольных сил, а также эпюра изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?. В каком порядке строятся эпюры Q и М?. Почему при построении эпюр Q и М для балки, заделанной одним концом, можно не определять опорные реакции? 3. В чем заключается проверка эпюр Q и М? 4. В какую сторону обращена выпуклость эпюры М при распределенной нагрузке, направленной вниз? 5. Как связано изменение значения изгибающего момента М с площадью эпюры поперечной силы Q? 6. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом: а) от сосредоточенной силы, перпендикулярной оси балки, приложенной на ее свободном конце; б) от сосредоточенного момента, приложенного на свободном конце балки; в) от равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки, действующей по всей ее длине? 7. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента? 8. Как формулируется гипотеза плоских сечений? 9. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены? 30. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе? 3. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки? 3. Что называется жесткостью сечения при изгибе? 33. Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность? 34. При каком условии балка с поперечным сечением, не имеющим ни одной оси симметрии, находится в состоянии чистого прямого изгиба? 35. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе? 9

20 36. Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы? 37. Как находятся главные напряжения при изгибе? 38. Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя? 39. Как вычисляется потенциальная энергия деформации изгиба? Выведите соответствующую формулу. 40. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов? 4. Как производится расчет на прочность при прямом изгибе балки из пластичного материала, имеющей постоянное по всей длине поперечное сечение? Напишите зависимости для всех трех видов расчета: проверочного, проектного и для расчета на определение допускаемой нагрузки. 4. Какие поперечные сечения являются рациональными для балок из хрупких материалов (типа чугуна)? Как следует располагать эти сечения? 43. Какие балки называются составными? 44. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе? 45. Почему точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно заменить приближенным уравнением? 46. Какая дифференциальная зависимость существует между прогибами и углами поворота сечений балки? 47. Как из основного (приближенного) дифференциального уравнения изогнутой оси балки получаются выражения углов поворота и прогибов ее сечений? 48. Из каких условий определяются постоянные интегрирования, входящие в уравнение углов поворота и прогибов сечений балки? 49. Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются? 50. Как определяются значения неизвестных начальных параметров? 0

21 . ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, НА КОТОРЫХ БАЗИРУЕТСЯ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ».. Основные допущения о свойствах материалов и характере деформирования В сопротивлении материалов вводится ряд допущений относительно свойств материалов, позволяющих построить достаточно простую и удобную для инженерной практики теорию расчетов элементов конструкций. Предполагается, что материал твердого тела обладает свойствами: - сплошности материал полностью заполняет весь объем тела без пустот, т. е. тело рассматривается как сплошная среда; - однородности материал представляет собой однородную сплошную среду и свойства во всех точках тела совершенно одинаковы; - изотропности свойства тела по всем направлениям одинаковы (материалы, свойства которых в различных направлениях различны, называются анизотропными); - идеальной упругости тела до определенного предела нагружения работают упруго. Упругостью называется способность материальных тел восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки. Деформации, полностью исчезающие после снятия нагрузки, называются упругими в отличие от пластических, или остаточных, которые не исчезают. Кроме этих предположений о свойствах материала тела, вводятся еще следующие допущения: - перемещения точек тела (конструкции), обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами самого тела. Из этого допущения следует, что изменения в расположении сил, происходящие при деформации конструкции, не следует учитывать при составлении уравнений равновесия (при определении опорных реакций), а также и при определении внутренних сил; - перемещения точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Тела, для которых справедлива прямо пропорциональная зависимость между силами и соответствующими перемещениями, называют линейнодеформируемыми. Для линейно-деформируемых систем и при условии малых перемещений и деформаций справедлив принцип независимости действия сил, который можно сформулировать следующим образом: - результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов от действия каждой силы в отдельности. Сформулированное положение называют также принципом сложения действия сил, или принципом суперпозиции.

22 .. Геометрическая схематизация элементов конструкций Расчетная схема. Расчетная схема представляет собой упрощенную, идеализированную схему, которая отражает наиболее существенные особенности конструкции, определяющие ее поведение под нагрузкой. При выборе расчетной схемы производят геометрическую схематизацию элементов конструкций. Формы элементов конструкций разнообразны, однако их можно отнести к трем основным категориям. Брус элемент, у которого один размер (длина l) значительно превышает два других размера (рис..). а) б) Рис... Схема бруса: а) прямой брус, б) кривой брус Если центр тяжести плоской фигуры будет преремещаться вдоль некоторой линии, то контур этой плоской фигуры при этом перемещении образует поверхность бруса. Линия, вдоль которой перемещается центр тяжести плоской фигуры, является осью бруса. Если плоская фигура, перемещением которой брус образован, располагается перпендикулярно оси бруса, то эта плоская фигура поперечным сечением. Ось бруса это геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. При переходе от конструктивной схемы к расчетной в большинстве случаев можно не вычерчивать брус полностью, а ограничиться изображением только его оси. В зависимости от формы оси различают брусья прямые (рис.., а) и кривые (рис.., б). В строительных конструкциях более распространены прямые брусья. Прямые брусья постоянного сечения называются призматическими. Встречаются также брусья с непрерывно меняющимся сечением, а также ступенчатые брусья. В зависимости от конструктивного назначения среди брусьев различают стержни, балки и колонны. Пластинки и оболочки характеризуются тем, что их длина l и ширина b велики по сравнению с толщиной h (рис.., а, б). Пластинка тело, ограниченное параллельными плоскостями (рис.., а); оболочка тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями (рис.., б).

23 а) б) в) Рис... Схемы элементов конструкций: а) пластина, б) оболочка, в) массивное тело К оболочкам относятся купола и своды зданий, стенки различных сосудов, обшивка кораблей, фюзеляжи самолетов. К пластинкам могут быть отнесены плоские днища сосудов, плоские перекрытия и панели зданий. Массивом называют тело, все три измерения которого величины одного порядка (рис.., в). К ним можно отнести фундаменты, подпорные стенки. В сопротивлении материалов изучают методы расчета на прочность, жесткость и устойчивость бруса..3. Классификация нагрузок Внешние силы, действующие на элементы конструкций, делятся на активные и реактивные (реакции связей). Активные внешние силы принято называть нагрузками. Нагрузки классифицируют по разным признакам. По способу приложения нагрузки могут быть объемными или поверхностными. 3

24 Объемные силы непрерывно распределены по всему объему, занимаемому элементом. К их числу относятся сила тяжести, силы инерции. Нагрузка, приходящаяся на единицу объема, определяет интенсивность объемной нагрузки. Она выражается в единицах силы, отнесенных к единице объема (Н/м 3, кн/м 3 и т. д.). Если внешние силы являются результатом взаимодействия элемента с другими телами (твердыми, жидкими или газообразными), то они прикладываются только по площади контакта и называются поверхностными силами или нагрузками. Сюда относятся: давление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая нагрузка на кровлю здания, ветровая нагрузка. Интенсивность поверхностной нагрузки выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади (Н/м, кн/м и т.д.). Однако в СИ вводится специальная производная единица паскаль: Па = Н/м, поэтому интенсивность поверхностной нагрузки p выражают в паскалях и кратных ему единицах (кпа, МПа). Если давление передается по площадке, размеры которой пренебрежимо малы в сравнении с размерами самого элемента конструкции, вводят понятие сосредоточенной силы Р как равнодействующей давления по указанной площадке. В практических расчетах часто встречается нагрузка, распределенная по длине элемента конструкции. На рис..3 показана распределенная нагрузка на длине участка BA. Рис..3. Схема балки с распределенной на участке BA нагрузкой Интенсивность распределенной нагрузки q выражается в единицах силы, отнесенных к единице длины (Н/м, кн/м и т. д.). Если интенсивность постоянна по длине, то такая нагрузка называется равномерно распределенной и графически изображается в виде прямоугольника. В процессе расчетной схематизации реальные нагрузки не всегда могут быть сведены лишь к сосредоточенным и распределенным силовым воздействиям. Возможны и моментные воздействия в виде сосредоточенных моментов и моментов, распределенных по длине элемента. Сосредоточенные моменты выражаются в единицах силы, умноженных на единицу длины (Н м, кн м и т. д.). По характеру нагрузки делятся на статические, динамические и повторно-переменные. 4

25 Статические нагрузки это нагрузки, которые не меняются со временем (например, нагрузки от собственного веса) или меняются настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы инерции элементов конструкции пренебрежимо малы (например, снеговая нагрузка). Динамические нагрузки, в отличие от статических нагрузок, меняют свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени (движущиеся нагрузки, ударные, сейсмические и др.), вызывая большие ускорения и силы инерции, которые необходимо учитывать при расчете. Повторно-переменные нагрузки многократно меняют со временем свое значение или значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным, а способность противостоять ему сопротивлением усталости. По продолжительности нагрузки делят на постоянные и временные. К постоянным относятся нагрузки, действующие в течение всего времени существования конструкции или сооружения (например, вес конструкции, вес и давление грунта). Временные нагрузки действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации или возведения объекта. К временным нагрузкам относят нагрузки от веса людей, материалов и оборудования; давление жидкости, газов, сыпучих материалов; атмосферные нагрузки (снеговая, ветровая, гололедная); температурные, монтажные, сейсмические и прочие воздействия ограниченной продолжительности..4. Понятие о внутренних силах Внешние воздействия вызывают деформацию тела. В каждой точке тела возникает внутренняя сила сопротивления (реакция) внешнему воздействию. Внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей, обеспечивающих целостность тела при его деформировании. При изменении нагрузки будут меняться и внутренние силы, т. е. значение введенных внутренних сил зависит от внешних воздействий. Из введенного понятия внутренних сил следует, что внутренние силы определяются через внешние и их величина ограничена свойствами материала тела. Таким образом, для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам. Поскольку внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей тела, то для их определения можно использовать законы теоретической механики и, в частности, аксиому связей, которая гласит: равновесие тела сохраниться, если действие связей заменить их реакциями. Отсюда вытекает метод определения внутренних сил, который называется методом сечений. Рассмотрим суть этого метода. Пусть некоторое тело находится в равновесии под действием заданных внешних сил (рис..4). 5

26 Рис..4. Схема применения метода сечений для определения внутренних сил В число внешних сил Р,, Р 4 входят как заданные активные силы, так и реакции связей, закрепляющих тело в пространстве. Разрежем мысленно тело на две части некоторой произвольной секущей плоскостью. Одну из частей (например, р) мысленно удаляем (отбрасываем) и рассматриваем оставленную часть f (рис..5). В каждой точке полученного сечения (разреза) необходимо приложить силы, которые для целого тела есть внутренние силы и которые являются силами взаимодействия между частями f и p тела. Рис..5. Схема отсеченной части стержня Внутренние силы, приложенные к каждой точке поперечного сечения, могут быть приведены к заданному центру. В качестве центра приведения принимают центр тяжести сечения (точку О). Система внутренних сил, приложенных к точкам поперечного сечения, может быть заменена главным вектором R i и главным моментом i внутренних сил, которые приложены к центру тяжести поперечного сечения стержня (рис..5). Показанные в сечении силы заменяют действие отброшенной части p на оставленную часть f и являются для части f внешними силами. 6

27 i R и i через заданные внешние силы Таким образом, применяя метод сечений, переводят силы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей. Внешние силы Р, Р, действующие на рассматриваемую часть f, и силы в сечении должны находиться в равновесии. Поэтому, составляя к отсеченной части тела (рис..5) уравнения равновесия, можно выразить искомые внутренние силовые факторы (нагрузку). Мы рассмотрели равновесие левой части f тела. Принципиально совершенно безразлично, какую из частей тела (f или p) отбросить, так как из законов механики следует, что силы, действующие от части p на часть f, равны по модулю и противоположны по направлению силам действия части f на часть p. Практически удобно оставлять ту часть, к которой приложено меньше сил, так как уравнения для нее будут иметь более простой вид. Систему координат для бруса выбираем следующим образом: ось х продольная ось бруса, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений; оси y и главные центральные оси инерции поперечного сечения бруса. Понятия о центре тяжести плоского сечения, главных осях инерции плоского сечения будут представлены в разделе о геометрических характеристиках плоского сечения. Полагаем, что координатные оси y и лежат в плоскости поперечного сечения стержня, начало координатных осей лежит в центре тяжести сечения, а ось х совпадает с продольной осью стержня..5. Внутренние силы в поперечном сечении бруса Рассмотрим равновесие части «f» стержня (рис..5). На эту часть стержня действуют внешние силы Р, Р, главный вектор R i и главный момент i внутренних сил. Равновесие этой части стержня описывается векторными уравнениями ( P i ) f + R i = 0, R i = ( P i ) f, (.) [ O( P i)] f + i = 0, i = [ O( P i)] f, (.) где ( P i ) f векторная сумма внешних сил, действующих на отсеченную часть «f» стержня; [ ( P)] O i f векторная сумма моментов относительно точки О (точки пересечения поперечного сечения с продольной осью стержня) внешних сил, действующих на отсеченную часть f стержня. Если бы мы рассматривали равновесие отсеченной части p стержня, то приняли бы во внимание, что из условия равновесия всего стержня векторная сумма всех внешних сил ( P i ) = 0 и векторная сумма моментов всех внешних сил [ O( P i)] = 0. Но векторная сумма всех внешних сил равна 7

28 откуда ( P i ) = ( P i ) f +( P i ) р = 0, ( P) ( P) i f i р. (.3) Векторная сумма моментов всех внешних сил равна [ O( P i)] = [ O( P i)] f + [ O( P i)] р = 0, откуда [ O( P i)] f = [ O( P i)] р, (.4) где ( P i ) р векторная сумма внешних сил, действующих на отсеченную часть «р» стержня; [ O( P i)] р векторная сумма моментов относительно точки О (точки пересечения поперечного сечения с продольной осью стержня) внешних сил, действующих на отсеченную часть р стержня. Если учесть равенство (.3) в (.), а равенство (.4) в (.), то получим, что главный вектор R i и главный момент i внутренних сил в поперечном сечении равны R i = ( P i ) р, i = [ O( P i)] р, (.5) Из уравнений (.), (.), (.3) и (.4) следует, что главный вектор внутренних сил R i и главный момент внутренних сил i в рассматриваемом сечении равны R i ( i) f, = P i = [ ( )], O Pi f (.6) ( Pi ) р [ O( Pi)] р. В проекциях на координатные оси, y, имеем следующие уравнения: R i = ( ), Piх f R i ( Piy) f, y = R i ( Pi ) f, = (.7) ( Piх ) p, ( Piy) p, ( Pi) p, i = [( ( Pi)] f, [( ( Pi)] p, y i = [( y( Pi)] f, [( y( Pi)] p. i = [( ( Pi)] f, [( ( Pi)] p. (.8) Обозначим проекции главного вектора R i на координатные оси х, у и (рис..6) как R i = N, R y i = Q y, R i = Q, (.9) где N продольная сила (проекция главного вектора на ось х), Q y и Q поперечные силы, лежащие в плоскости поперечного сечения стержня, (проекции главного вектора соответственно на оси у и ). 8

29 Рис..6. Схема отсеченной части стержня и внутренние силовые факторы в поперечном сечении. Обозначим проекции главного момента i на координатные оси, y и (рис..6) как i =, y i = y, i =, (.0) где М х момент внутренних сил рассматриваемого поперечного сечения относительно продольной оси х (крутящий момент), y и моменты внутренних сил рассматриваемого поперечного сечения относительно координатных осей y и (изгибающие моменты). Силы N, Q y и Q, а также моменты, y и являются внутренними силовыми факторами рассматриваемого поперечного сечения. Их значения могут быть определены из (.7) (.8) следующим образом. Продольная сила N в рассматриваемом поперечном сечении равна ( ), N = Piх f ( Piх ) p, (.) т. е. продольная сила N в поперечном сечении стержня равна минус сумме проекций на продольную ось х внешних сил, действующих на стержень от его начала до рассматриваемого сечения (если используется первое уравнение с индексом f ); либо продольная сила N равна сумме проекций на продольную ось х внешних сил, действующих на стержень после рассматриваемого сечения до конца стержня (если используется уравнение с индексом р). Первое уравнение вида N = ( ) используется тогда, когда для P iх p определения продольной силы N в данном сечении удобнее вычислять сумму проекций на ось х внешних сил, приложенных к стержню от его начала до рассматриваемого сечения. Второе уравнение вида N = ( ) используется тогда, когда для определения продольной силы N в данном сечении удобнее вычислять сумму P iх f 9

30 проекций на ось х внешних сил, приложенных к стержню от рассматриваемого сечения до конца стержня. Из формулы (.) следует правило знаков для слагаемых при составлении выражения для продольной силы N в поперечном сечении стержня (рис..7). Рис..7. Схема для определения знаков слагаемых при составлении выражения для продольной силы N в поперечном сечении стержня P iy f Если проекция внешней силы P i, действующей до сечения, отрицательна, то она входит положительным слагаемым в выражение для продольной силы N. Если проекция внешней силы P i, действующей после сечения, положительна, то она входит положительным слагаемым в выражение для продольной силы N. Поперечные силы в рассматриваемом сечении равны: ( Piy) f, Q y = ( Pi ) f, Q = (.) ( Piy) p, ( Pi) p. Поперечная сила Q y в данном поперечном сечении стержня равна сумме проекций соответственно на ось у внешних сил, действующих на стержень от его начала до рассматриваемого сечения (если используется первое уравнение с индексом f ); либо поперечная сила Q y равна минус сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на стержень после рассматриваемого сечения до конца стержня (если используется второе уравнение с индексом р). Первое уравнение вида Q y =( ) используется тогда, когда для определения поперечной силы Q y в данном сечении удобнее вычислять сумму проекций на ось у внешних сил, приложенных к стержню от его начала до рассматриваемого сечения. Второе уравнение вида Q y = ( ) P iy p используется тогда, когда для определения поперечной силы Q y в данном сечении удобнее вычислять сумму проекций на ось у внешних сил, приложенных к стержню от рассматриваемого сечения до конца стержня. Поперечная сила Q в данном поперечном сечении стержня равна минус сумме проекций соответственно на ось внешних сил, действующих 30

31 на стержень от его начала до рассматриваемого сечения (если используется первое уравнение с индексом f ); либо поперечная сила Q равна сумме проекций на ось внешних сил, действующих на стержень после рассматриваемого сечения до конца стержня (если используется уравнение с индексом р). Первое уравнение вида Q = ( ) используется тогда, когда для определения поперечной силы Q в данном сечении удобнее вычислять сумму проекций на ось внешних сил, приложенных к стержню от его начала до рассматриваемого сечения. Второе уравнение вида Q = ( ) P i f P i p используется тогда, когда для определения поперечной силы Q в данном сечении удобнее вычислять сумму проекций на ось внешних сил, приложенных к стержню от рассматриваемого сечения до конца стержня. Из формул (.) следует правило знаков для слагаемых при составлении выражения для поперечной силы Q y и Q в поперечном сечении стержня (рис..8, а, б). а) б) Рис..8. Схемы для определения знаков слагаемых при составлении выражений для поперечной силы Q y (схема а) или Q (схема б) в поперечном сечении стержня Если проекция внешней силы P, iy действующей до сечения, положительна, то она входит положительным слагаемым в выражение для поперечной силы Q y. Если проекция внешней силы P, iy действующей после сечения, отрицательна, то она входит положительным слагаемым в выражение для продольной силы Q y. Из формул (.) следует следующее правило знаков для слагаемых при составлении выражения для поперечной силы Q в поперечном сечении стержня (рис..8, б). Если проекция внешней силы P i, действующей до сечения, отрицательна (полагаем, что ось направлена вниз, а ось у направлена к наблюдателю), то она входит положительным слагаемым в выражение для поперечной силы Q. Если проекция внешней силы P i, действующей после сечения, положительна, то она входит положительным слагаемым в выражение для поперечной силы Q. 3

32 Крутящий момент М х в рассматриваемом сечении равен [( ( Pi)] f, = (.3) [( ( Pi)] p, т. е. крутящий момент М х в данном поперечном сечении стержня равен минус сумме моментов относительно продольной оси х внешних сил, действующих на стержень от его начала до рассматриваемого сечения (если используется первое уравнение с индексом f ); либо крутящий момент М х равен сумме моментов относительно продольной оси х внешних сил, действующих на стержень от рассматриваемого сечения до конца стержня (если используется второе уравнение с индексом р). Первое уравнение вида = [ ( Pi)] f используется тогда, когда для определения крутящего момента в данном сечении удобнее вычислять сумму моментов относительно оси х внешних сил, приложенных к стержню от его начала до рассматриваемого сечения. Второе уравнение вида =[ ( Pi)] р используется тогда, когда для определения крутящего момента в данном сечении удобнее вычислять сумму моментов относительно оси х внешних сил, приложенных к стержню от рассматриваемого сечения до конца стержня. Из формулы (.3) следует правило знаков для слагаемых при составлении выражения для крутящего момента в поперечном сечении стержня (рис..9). Если момент внешней силы (P i ) относительно продольной оси х направлен по часовой стрелке (если смотреть навстречу оси х) и действует до сечения (рис..9), то он входит положительным слагаемым в выражение для крутящего момента в поперечном сечении стержня. Рис..9. Схема для определения знаков слагаемых при составлении выражения для крутящего момента в поперечном сечении стержня Если момент внешней силы (P i ) относительно продольной оси х направлен против часовой стрелки (если смотреть навстречу оси х) и действует после сечения (рис..9), то он входит положительным слагаемым в выражение для крутящего момента в поперечном сечении стержня. 3

33 Изгибающие моменты М у и в рассматриваемом поперечном сечении равны y = [( y ( Pi)] f, [( y ( Pi)] p, = [( ( Pi)] f, [( ( Pi)] p. (.4) Из формул (.4) следует правило знаков для слагаемых при составлении выражения для изгибающего момента y или М в поперечном сечении стержня (рис..0). Если момент внешних сил y (P i ) или (P i ) относительно осей y или направлен по часовой стрелке (если смотреть навстречу этим осям) и действует до сечения (рис..0), то он входит положительным слагаемым в выражение для изгибающего момента y или в поперечном сечении стержня. а) б) Рис..0. Схемы для определения знаков слагаемых при составлении выражений для поперечной силы (схема а) или y (схема б) в поперечном сечении Если момент внешних сил y (P i ) или (P i ) относительно осей y или направлен против часовой стрелке (если смотреть навстречу этим осям) и действует после сечения (рис..0), то он входит положительным слагаемым в выражение для изгибающего момента y или в поперечном сечении стержня. Заметим, что число слагаемых, составляющих правую часть уравнений (.) (.4), зависит от того, на каком участке стержня расположено рассматриваемое поперечное сечение. Если необходимо знать внутренние силовые факторы для любого поперечного сечения стержня, то необходимо составлять уравнения (.) (.4) для каждого участка стержня..6. Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении бруса Внутренние силы распределены по сечению тела сплошным образом, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определенной точке данного сечения вводится понятие напряжения. 33

34 Выделим в окрестности интересующей точки сечения малую площадку площадью А. Допустим, что на этой площадке возникает внутренняя сила R (рис.., а). а) б) Рис... Схемы действия силы R и напряжения р на малой площадке А Отношение этой внутренней силы к площади выделенной площадки называется средним напряжением р ср в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению (по площадке А): р ср = R/ А. (.5) В пределе при стремлении А к нулю получим полное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения: В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят паскаль (Па). Паскаль это напряжение, при котором на площадке в м возникает внутренняя сила, равная Н. Но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица мегапаскаль, МПа = 0 6 Па. Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну направленную по нормали к сечению, вторую лежащую в плоскости сечения (рис.., б). Составляющую полного напряжения, направленную по нормали к площадке ее действия, называют нормальным напряжением и обозначают σ (сигма), а составляющую, лежащую в плоскости сечения, касательным напряжением и обозначают (тау). Между напряжениями р, σ и существует следующая зависимость: р. (.6) Установим теперь связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса (рис..). Разложим полное напряжение на три составляющие, направленные параллельно координат- 34

35 ным осям. На рис.. показано это разложение применительно к произвольной точке поперечного сечения бруса с координатами и y. Рис... Схема разложения полного напряжения р на составляющие, y и Для этих трех составляющих принято следующее правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, а второй индекс показывает, вдоль какой оси действует данное напряжение. Обычно у нормального напряжения принято писать лишь один индекс. Зависимость между полным напряжением и тремя его составляющими выражается очевидной формулой: p. (.7) y Умножая напряжения σ х,, на площадь da площадки их действия, получим элементарные внутренние силы: dn y da, dqy y da, dq da. (.8) Суммируя эти элементарные силы по всей площади сечения, получим выражения составляющих главного вектора внутренних сил в сечении: N da, Qy yda, Q da. (.9) А А Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получим элементарные моменты внутренних сил: d dn y da y, y y y А d dn da, d dq dq y da da y. (.0) Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получим выражения для составляющих главного момента внутренних сил: yda, y da A, ( y y) da. (.) A Таким образом, с помощью метода сечений определяем внутренние силовые факторы, а затем из полученных формул находим напряжения. А 35

36 .7. Понятие о деформациях Под действием нагрузки тело деформируется, т. е. его формы и размеры изменяются. Деформация состоит из двух частей: упругой, обратимой деформации, которая исчезает после удаления нагрузки, и неупругой, остаточной деформации, которая не исчезает после удаления нагрузки. Неупругая деформация, которая не сопровождается разрушением, называется пластической деформацией. Деформации тела могут развиваться с течением времени при неизменной нагрузке. Такие деформации называются деформациями ползучести. Термин «деформация» следует понимать двояко: в первом случае под деформацией подразумевают изменение формы и размеров тела, во втором под деформацией рассматривают изменение длин отрезков и углов в окрестности точки тела. Представим, что в точке а тела проведены бесконечно малые взаимно перпендикулярные отрезки ab, ac и ad, параллельные осям координат (рис..3, а). Полагаем, что длина отрезков ab = d, ac = dy, ad = d. а) б) Рис..3. Схема расположения малых отрезков до деформирования тела (ab, ac и ad) и после деформирования (a*b*, a*c* и a*d*) При деформировании тела эти отрезки перемещаются и точки a, b, c и d займут положения a*, b*, c* и d* (рис..3, б). При этом длины отрезков и углы между ними изменяются. Изменение длин отрезков d, dy, d произойдет на величину du, dv и dw. Изменение длин отрезков du, dv и dw называют абсолютной линейной деформацией в данной точке тела по направлениям координатных осей, y,. Отношение изменения длин отрезков du, dv и dw к первоначальной их длине называют относительной линейной деформацией по направлениям координатных осей, y, : du dv, y, dw. (.) d dy d Изменение первоначальных прямых углов между отрезками ab, ac и ad после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловые деформации в точке а: γ y угловая деформация в плоскости ух, γ y в плоскости y, γ в плоскости. 36

37 Деформации тела в каждой его точке по любым направлениям могут быть определены, если известны линейные ε, ε y, ε и угловые γ y, γ y, γ деформации. Линейные и угловые деформации величины безразмерные..8. Простейшие типы деформации бруса При произвольной форме тела его деформации могут быть весьма разнообразными. Для бруса можно указать несколько простейших типов деформаций, возникающих при определенном способе приложения внешних сил. Рассмотрим эти простейшие деформации бруса. Осевое растяжение или сжатие. Схема осевого растяжения-сжатия бруса представлена на рис..4. Рис..4. Схемы нагружения бруса при осевом растяжении-сжатии При осевом растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. На рис..5 показано нагружение бруса при осевом растяжении (схема а) и схемы определения продольной силы N с использованием метода сечений. а) б) Рис..5. Нагружение бруса при осевом растяжении (схема а) и схемы определения продольной силы N с использованием метода сечений Брус, испытывающий растяжение или сжатие, называют стержнем. В зависимости от вида конструкции сжатые стержни также называют стойками, колоннами, столбами. Сдвиг. Схема нагружения бруса при сдвиге представлена на рис..6. а) б) Рис..6. Схема нагружения бруса при сдвиге 37

38 Плоскости ab и cd расположены весьма близко друг от друга. Поэтому можно пренебречь изгибающим моментом в поперечных сечениях между этими плоскостями и учитывать только поперечные силы Q. На рис..6 показано нагружение бруса при сдвиге (схема а) и схема определения поперечной силы Q с использованием метода сечений. Деформации сдвига возникают в заклепочных, болтовых, сварных соединениях. Кручение. Схема нагружения бруса при кручении представлена на рис..7. а) б) Рис..7. Схема нагружения бруса при кручении При кручении в поперечных сечениях бруса возникают только крутящие моменты х. На рис..7 показано нагружение бруса при кручении (схема а) и схема определения крутящего момента х с использованием метода сечений (схема б). Брус, работающий на кручение, называют валом. Изгиб. Схема нагружения бруса при изгибе представлена на рис..8, а. а) б) Рис..8. Схема нагружения бруса при изгибе В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты и поперечные силы, например,, Q y (при нагружении в плоскости y-). На рис..8, б показана схема определения поперечной силы Q y и изгибающего момента с использованием метода сечений в поперечных сечениях участка BA. Брус, работающий на изгиб, называют балкой. Более сложные виды деформации стержней в большинстве случаев оказывается возможным рассматривать как комбинацию простых деформаций, используя принцип независимости действия сил. 38

39 .9. Контрольные вопросы по теме. В чем состоит задача расчета на прочность, на жесткость, на устойчивость?. Что называется брусом, оболочкой, пластинкой, массивным телом? 3. Что называется осью бруса? 4. Что представляет собой расчетная схема сооружения? 5. По каким признакам и как классифицируются нагрузки? 6. Что представляет собой интенсивность распределенной нагрузки? 7. В каких единицах выражаются сосредоточенные силы и моменты, а также интенсивности распределенных силовых нагрузок? 8. Что представляют собой внутренние силы? 9. В чем сущность метода сечений? 0. Какие основные гипотезы положены в основу науки о сопротивлении материалов?. В чем состоит принцип независимости действия сил?. Какие внутренние усилия (внутренние силовые факторы) могут возникать в поперечных сечениях брусьев? 3. По каким формулам определяются продольные силы N в поперечных сечениях бруса? 4. Как формулируется правило положительных слагаемых при составлении выражения для продольной силы N в поперечном сечении стержня? 5. По каким формулам определяются крутящие моменты М х в поперечных сечениях бруса? 6. Как формулируется правило положительных слагаемых при составлении выражения для крутящего момента М в поперечном сечении стержня? 7. По каким формулам определяются поперечные силы Q y и сечениях бруса? х Q в поперечных 8. Как формулируется правило положительных слагаемых при составлении выражения для поперечных сил Q и Q в поперечных сечениях бруса? y 9. По каким формулам определяются изгибающие моменты М y и сечениях бруса? М в поперечных 0. Как формулируется правило положительных слагаемых при составлении выражения для изгибающих моментов М и М в поперечных сечениях бруса? y. Что называется касательным и нормальным напряжением? В каких единицах они выражаются?. Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжениями в точке в данном сечении? 3. Какие деформации называются линейными и какие угловыми? 39

40 .0. Тестовые задания Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке ВС равна Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равна ) Р ) Р 3) 3Р 4) - Р ) Р Р ) Р Р 3) Р + Р 4) Р Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке ВС равна ) Р ) Р 3) - Р 4) - Р Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке ВА равна Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равна ) Р ) Р 3) 3Р 4) - Р Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равна ) Р Р ) Р 3) Р + Р 4) Р ) Р Р ) Р Р 3) Р + Р 4) Р Продольная сила в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равна ) Р Р ) Р 3) Р + Р 4) Р 40

41 Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной b равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной b равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной b равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М Крутящий момент в поперечных сечениях бруса на участке длиной а равен ) М М ) М М 3) М + М 4) М 4

42 Балка прямоугольного сечения нагружена силой Р в торцовом сечении. Поперечная сила Q в поперечных сечениях консольной балки равна y ) P sin ) P cos 3) Ptg 4) P Балка прямоугольного сечения нагружена силой Р в торцовом сечении. Поперечная сила Q в поперечных сечениях консольной балки равна ) P sin ) P cos 3) Ptg 4) P Балка прямоугольного сечения нагружена силой Р в торцовом сечении. Изгибающий момент в поперечном сечении консольной балки у опоры по абсолютной величине равен ) Pl sin ) Pl cos 3) Pl tg 4) Pl Балка прямоугольного сечения нагружена силой Р в торцовом сечении. Изгибающий момент y в поперечном сечении консольной балки у опоры по абсолютной величине равен ) Pl sin ) Pl cos 3) Pl tg 4) Pl 4

43 3. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 3.. Общие положения Под центральным растяжением-сжатием понимается такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают только продольные силы, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Чтобы стержень испытывал растяжение-сжатие, необходимо, чтобы равнодействующие внешних сил, приложенных к стержню, действовали вдоль его продольной оси. Расчет стержня при растяжении-сжатии предполагает определение продольных сил N в поперечных сечениях стержня, определение нормальных напряжений в поперечных сечениях, определение продольных перемещений поперечных сечений. На рис. 3., а представлена схема растяжения стержня силами Р, приложенными к его концам. а) б) Рис. 3.. Схемы нагружения стержня при центральном растяжении и определения продольной силы методом сечений Если воспользоваться методом сечений, то во всех поперечных сечениях стержня возникают продольные силы N, равные силе Р (рис. 3., б). Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы. При растяжении сила N направлена от сечения, а при сжатии к сечению. Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Сила N это равнодействующая внутренних сил dn в поперечном сечении (рис. 3.). Рис. 3.. Схема распределения внутренних сил dn в поперечном сечении Предполагается, что для однородного стержня внутренние силы dn распределены по поперечному сечению равномерно. Из (.8) и (.9) dn da, N dn da da A, где А площадь поперечного сечения. А А А 43

44 Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же: N. (3.) A Для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях. 3.. Продольная сила Для определения продольной силы используем следующие уравнения: P, i f N Pi, p где P i сумма проекций сил на продольную ось, действующих на f стержень от его начала до рассматриваемого сечения на участке; P i p сумма проекций сил, действующих на стержень после сечения до конца стержня. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие отрицательными. На рис. 3.3, а изображен стержень, нагруженный силами Р, P, Р 3 и распределенной нагрузкой q, направленными вдоль его оси. Собственный вес стержня не учитываем. а) Схема нагружения стержня б) Расчетная схема стержня Рис Расчетные схемы стержня при центральном растяжении-сжатии для определения продольной силы в поперечных сечениях На рис. 3.3, б изображена расчетная схема стержня с изображением опорной реакции Х А, значение которой можно найти из уравнения равновесия: X i 0 или XA P P P3 qd 0, откуда X A PP P3 qd. Далее приступаем к определению продольных сил N в поперечных сечениях стержня на каждом его участке. На рис. 3.3 стержень имеет четыре участка: a, b, c и d. Положение поперечных сечений от начала каждого 44

45 участка определяется: на первом участке 0 х a, на втором 0 х b, на третьем 0 х3 с, на четвертом 0 х4 d. Используя метод сечений, рассечем стержень сечением I-I в пределах -го участка (рис. 3.4, а) и отбросим какую-либо его часть (либо до сечения, либо после), заменяя действие отброшенной части неизвестной реакцией связи продольной силой N. а) б) Рис Расчетная схема для определения продольной силы в поперечных сечениях на -м участке На рис. 3.4, б показана часть стержня до сечения I-I, а действие отброшенной части стержня после сечения I-I заменено продольной силой N. Положение сечения I-I определяется координатой (0 a). Условие равновесия части стержня (рис. 3.4, б) с действующими на эту часть силами запишем в виде: X i 0 или X A N 0, 0 a; N X A, 0 a. (3.) Для определения продольной силы N в поперечных сечениях -го участка рассечем стержень сечением II-II (рис. 3.5, а) на втором участке. а) б) Рис Расчетная схема для определения продольной силы в поперечных сечениях на -м участке Положение сечения II-II произвольно в пределах второго участка и определяется координатой (0 b). Отбросим вновь часть стержня, заменяя действие отброшенной части продольной силой N. На рис. 3.5, б показана часть стержня до сечения II-II, а действие отброшенной части стержня после сечения II-II заменено продольной силой N, которая направлена от сечения. Условие равновесия оставшейся части стержня (рис. 3.5, б) запишем в виде: X i 0, X A P N 0; N X A P, 0 b. (3.3) 45

46 Для определения продольной силы N 3 в поперечных сечениях 3-го участка рассечем стержень сечением III-III (рис. 3.6, а) на 3-м участке. Положение сечения III-III произвольно и определяется координатой 3 (0 3 с ). Отбросим вновь какую-либо часть стержня, заменяя действие отброшенной части продольной силой N 3. а) б) Рис Расчетная схема для определения продольной силы в поперечных сечениях на 3-м участке На 3-м участке оставим часть стержня после сечения III-III, отбросив часть стержня до сечения III-III и заменив действие отброшенной части продольной силой N 3 (рис. 3.6, б). Условие равновесия оставшейся части стержня (рис. 3.6, б) запишем в виде: X i 0, N3 P3 qd 0 ; N3 P3 qd, 0 3 с. (3.4) Для определения продольной силы N 4 в поперечных сечениях 4-го участка рассечем стержень сечением IV-IV (рис. 3.7, а) на 4-м участке. Положение сечения IV-IV определяется координатой 4 ( 0 d ). 4 а) б) Рис Расчетная схема для определения продольной силы в поперечных сечениях на 4-м участке Отбросим часть стержня до сечения IV-IV и действие отброшенной части заменим продольной силой N 4 (рис. 3.7, б). Условие равновесия оставшейся части стержня (рис. 3.7, б) запишем в виде: X i 0 или N4 qd 4 0, 0 4 d, N 4 4 q d. (3.5) 46

47 Учитывая формулы (3.), (3.3), (3.4) и (3.5), запишем следующее выражение для определения продольной силы в поперечных сечениях стержня на различных его участках N X A, 0 a, N X A P, 0 b, N (3.6) N3 P3 qd, 0 3 c, N4 q( d 4), 0 4 d. Обратим внимание на то, что данные формулы для определения продольной силы N можно получить из следующих уравнений: ( Pi) f, N (3.7) ( Pi) p, где P i сумма проекций сил на продольную ось, действующих на f часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения на участке; P i сумма проекций сил, действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня. p Представим расчетную схему стержня в виде, изображенном на рис Положение секущих плоскостей I, II, III и IV определяем координатой х от начала стержня. Рис Расчетная схема стержня с секущими плоскостями На -м участке целесообразно использовать уравнение (3.7) и учитывать силы до сечения I, т. е. силу X A : N Pi X X f A A, 0 a, 0 a. На -м участке также используем уравнение (3.7) и учитываем силы от начала до сечения II, т. е. силы X A и P : N Pi X P X P f A A, a a b, 0 b. 47

48 На 3-м участке используем уравнение (3.7) и учтем силы после сечения III, т. е. силы P 3 и qd : P P qd N3 i 3, a b ab c, 0 3 с. p На 4-м участке используем уравнение (3.7) и учтем силы после сечения IV, т. е. часть распределенных сил на участке d 4 : i N4 P q d 4, a bc abc d, 0 4 d. p Если будут известны заданные силы и определены реакции внешних связей, то могут быть вычислены значения продольных сил N в поперечных сечениях и построен график изменения продольных сил по длине стержня (эпюра продольной силы). Например, если для схемы нагружения стержня, представленной на рис. 3.8, принять, что P = 0 кн, P = 0 кн, P 3 = 5 кн, q 0 кн/м, a = 0, м; b = 0, м; c = 0,6 м и d = 0,4 м, то X i 0 или XA P P P3 qd 0, X A PP P3 qd= 7 кн; N X A 7 кн, 0 a, N X A P 703кН, 0 b, N N3 P3 qd 500,43кН, 0 3 c, N4 qd 4, 0 4 d, N4 0, 4d N4 408 кн. По полученным значениям N построим эпюру продольных сил (рис. 3.9). Рис Эпюра продольных сил 48

49 3.3. Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса Продольная сила N, возникающая в поперечных сечениях бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью N da. (3.8) A Здесь нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке da; А площадь поперечного сечения бруса. Значение продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению. Два любых поперечных сечения при центральном растяжении-сжатии бруса остаются плоскими и параллельными между собой. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения во всех точках поперечного сечения бруса равны между собой. Это позволяет в выражении (3.8) вынести за знак интеграла: N da= А, (3.9) A откуда = N /А. (3.0) Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения. Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен. Например, если для схемы нагружения стержня, представленной на рис. 3.8, принять, что P = 0 кн, P = 0 кн, P 3 = 5 кн, q 0 кн/м, a = 0, м; b = 0, м; c = 0,6 м и d = 0,4 м; площадь поперечных сечений на,, 3 и 4-м участках соответственно равна A см, A см, A3 см, A4 0,5см, то X i 0 или XA P P P3 qd 0, X A PP P3 qd= 7 кн; 49

50 N X A 7 кн, 0 a, N X A P 703кН, 0 b, N N3 P3 qd 500,43кН, 0 3 c, N4 qd 4, 0 4 d, N4 0, 4d N4 408 кн N/ A 350 Па 35МПа, 0 4 a, N / A 650 Па 65МПа, 0 4 b, N3 / A3 300 Па 30МПа, c, 0 N4 / A4 qd 4/ A4, 0 4 d, , d0; Па 60МПа. 4 По полученным значениям N и построим эпюры продольных сил N и нормальных напряжений в поперечных сечениях (рис. 3.0). Рис Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений 50

51 Если известны нормальные напряжения в поперечных сечениях, то как изменится их величина для наклонного сечения? Рассмотрим схему нагружения бруса, представленную на рисунке 3., а. Обозначим через угол между наклонным сечением n n и поперечным сечением n n. а) б) в) Рис. 3.. Схемы для определения напряжений в наклонных сечениях бруса Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки. Удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы. Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением n n (рис. 3., б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения р параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила р А, действующая в сечении n n, равна Р. Здесь А площадь наклонного сечения n n, равная А /cos (где А площадь поперечного сечения n n бруса). Следовательно, Р ра, (3.0) откуда р = Р/ А = Рcos / А = cos, (3.) где Р/А = нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Разложим напряжение р на два составляющих напряжения: нормальное, перпендикулярное плоскости сечения n n, и касательное, параллельное этой плоскости (рис. 3., б). Значения и получим из выражений 5

52 = рcos = cos, (3.) = рsin sin cos sin. (3.3) Нормальное напряжение считается положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 3., б напряжения и положительные. Из формулы (3.) следует, что нормальные напряжения имеют значения от = Р/А (при = 0) до нуля (при = 90 ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях. Из формулы (3.3) следует, что касательные напряжения имеют значения от /= Р/(А) (при = 45 ) до /= Р/(А) (при = 45 ). Значение равно нулю при = 0 и при = 90 о. Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю Продольные деформации Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до нагружения стержня его длина была равна l, то после нагружения она станет равной l l (рис. 3.). Величину l называют абсолютным удлинением стержня. Рис. 3.. Схема изменения длины стержня при растяжении Считаем, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. Поскольку у нагруженного стержня (рис. 3.) напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформация по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине l : 5

53 l. (3.4) l Эта величина называется относительным удлинением стержня. Если бы в стержне (рис. 3.) возникало неоднородное напряженное состояние, то относительная продольная деформация в каждой точке поперечного сечения стержня определялась как du, (3.5) d где u продольное перемещение поперечного сечения; du изменение длины элементарного участка d. Вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков ab (рис. 3.), взятых на участке d, одинаковы. Отсюда следует предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении при центральном растяжениисжатии. В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями: Е. (3.6) Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и, т. е. в мегапаскалях (МПа). Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости Е в мегапаскалях имеет следующие значения: 5 Сталь (,9,0) 0 МПа 5 Медь, 0 МПа Латунь (,0,) Алюминий и алюминиево-магниевые сплавы (0,7 0,8) 5 0 МПа 5 0 МПа 5 Титан,0 0 МПа 5 Дерево вдоль волокон (0,08 0,) 0 МПа Стекловолокно (0,7 0,85) 5 0 МПа 5 Карбидное волокно 4,3 0 МПа 5 Асбест,7 0 МПа 5 Графит до 6,9 0 МПа 53

54 Определим продольные перемещения поперечного сечения стержня при центральном растяжении-сжатии. Из равенства (3.5) du d. Интегрируя его u u du d, получим uu d, (3.7) где u 0 перемещение начального поперечного сечения стержня; u перемещение рассматриваемого поперечного сечения, положение которого определяется координатой х; 0 координата начального поперечного сечения. По закону Гука при растяжении-сжатии, E где Е модуль упругости -го рода материала стержня. Обозначим uu0 u изменение длины стержня для рассматриваемого поперечного сечения. Тогда (3.7) примет вид u d. (3.8) E Если свойства материала по длине стержня не изменяются и E const, то u d E. (3.9) Функция нормальных напряжений, как правило, имеет разрывы при переходе с одного участка на другой и непрерывна в пределах каждого участка. Можно предложить более простую процедуру расчета изменения длины стержня в любом сечении при вычислении интеграла (3.9). По формуле (3.9) при 0 0 Геометрическая интерпретация интеграла u d E. (3.0) 0 d A это площадь эпюры от начала стержня до рассматриваемого сечения. Тогда A u. (3.) E Например, для схемы нагружения стержня, представленной на рисунке 3.3 (если P = 0 кн, P = 0 кн, P 3 = 5 кн, q 0 кн/м, a = 0, м; b = 0, м; c = 0,6 м и d = 0,4 м; площадь поперечных сечений на,, 3 и 4-м участках A см, A см, A3 см, A4 0,5см ; модуль упруго- 54 0

55 5 сти материала Е = 0 Па = 0 МПа) определены значения нормальных напряжений в поперечных сечениях и построена эпюра нормальных напряжений. Рис Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений Тогда изменение длины стержня при нагружении определится как A (35a65b30 c60 d / ) МПа м u = 5 E 0МПа (350, 650, 30 0,6 60 0,4 / ) 38 = м = м При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом суммирования и деформацию рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурной деформации: = t, (3.) E где коэффициент температурного расширения материала. Для однородного стержня длиной l, имеющего площадь поперечного сечения А, нагруженного по концам силами Р и равномерно нагретого до температуры t, изменение длины l равно: Pl l l t EA. (3.3) 55

56 3.5. Поперечные деформации. Закон Пуассона При действии на брус сжимающей или растягивающей силы возникает также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b b (рис. 3.4), то величина b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Рис Схема изменения поперечных размеров бруса при его осевом сжатии Величина b/ b представляет относительную поперечную деформацию. При напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации (закон Пуассона), но имеет обратный знак: =. (3.4) Коэффициент пропорциональности в формуле (3.7) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона). Коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала. Коэффициент Пуассона определяется экспериментально как модуль отношения = /. (3.5) Для различных материалов он имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина) Диаграммы растяжения и сжатия Механические характеристики материалов (т. е. величины, характеризующие их прочность, пластичность и т. д., а также модуль упругости и коэффициент Пуассона) определяются путем испытаний специальных образцов, изготовленных из исследуемого материала. Наиболее распространенными являются статические испытания на растяжение. Для некоторых строительных материалов (камня, цемента, бетона и т. д.) основными испытаниями являются испытания на сжатие. Испытания проводятся на специальных машинах различных типов. В процессе испытаний специальное устройство автоматически вычерчивает диаграмму «сила растяжения Р удлинение образца l». Так как продольная сила N в поперечных сечениях испытуемого образца равна силе растяжения Р, а отношение удлинения l образца к его 56

57 первоначальной длине l 0 определяет относительную продольную деформацию = l / l 0, то, учитывая, что = N/А 0, = l / l 0 (где А 0 первоначальная площадь поперечного сечения образца), можно от диаграммы «сила растяжения Р удлинение образца l» перейти к диаграмме «нормальное напряжение относительная продольная деформация». Эта диаграмма называется диаграммой растяжения. На рис. 3.5 представлена диаграмма растяжения малоуглеродистой стали Ст3 (пластичной стали). Рис Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали пц Пока растягивающие напряжения не достигают некоторой величины, диаграмма представляет собой прямую линию, т. е. относительные удлинения прямо пропорциональны напряжениям ; иными словами, до этого предела справедлив закон Гука. Напряжение называется пределом пропорциональности. После достижения предела пропорциональности деформации растут не прямо пропорционально напряжениям, а быстрее. Начиная с того момента, когда напряжения достигнут некоторой величины т, деформации растут без увеличения напряжений и на диаграмме получается участок, параллельный оси абсцисс. Это явление называется текучестью материала, а напряжение т пределом текучести. Для большинства пластичных материалов напряжения пц и т мало отличаются друг от друга. Участок диаграммы, параллельный оси абсцисс, называется площадкой текучести. 57 пц

58 При дальнейшем растяжении образца напряжения (а следовательно, и растягивающая сила) вновь начинают повышаться. Участок диаграммы 3 от конца площадки текучести до наивысшей точки (см. рис. 3.5) называют зоной упрочнения. Наибольшее напряжение, выдерживаемое образцом, называется пределом прочности (или временным сопротивлением) и обозначается в. Это напряжение соответствует точке 3 диаграммы. Последующее растяжение образца сопровождается уменьшением растягивающей силы. Следовательно, предел прочности представляет собой отношение наибольшей силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения. При увеличении нагрузки в зоне упрочнения на образце появляется местное сужение; образуется так называемая шейка, в пределах которой и происходит затем разрыв образца. При этом условное напряжение в образце (определяемое делением растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца) уменьшается соответственно уменьшению растягивающей силы (участок 3 4 на рис. 3.5). Истинное напряжение по сечению шейки (т. е. напряжение, отнесенное к площади поперечного сечения шейки) возрастает (на рис. 3.5 показано штриховой линией 3 5). Различие между истинным и условным напряжением имеется не только после достижения предела прочности (точка 3 на рис. 3.5), но на любой стадии испытания, так как в результате поперечной деформации поперечное сечение растянутого образца уменьшается. Однако это различие до нагрузки, соответствующей временному сопротивлению материала, весьма мало, и его обычно не учитывают. Если испытываемый образец нагрузить растягивающей силой, не превышающей некоторого значения, называемого пределом упругости, а потом разгрузить, то при разгрузке деформации образца будут уменьшаться по тому же закону, по какому они увеличивались при нагружении. Следовательно, в этом случае в образце возникали только упругие деформации. Предел упругости подавляющего большинства материалов практически совпадает с пределом пропорциональности. Практически невозможно определить точное значение этого напряжения, поэтому в качестве условного предела упругости принимается то напряжение, при котором остаточная деформация впервые достигает некоторой малой величины, обусловленной правилами и нормами испытаний, например 0,00 или 0,003%. Если образец нагружен выше предела упругости, то при его разгрузке деформации полностью не исчезают и на диаграмме линия разгрузки представляет собой прямую ( или ' ' на рис. 3.7), уже не совпадающую с линией нагружения. В этом случае деформация образца состоит из упругой уп (или уп ) и остаточной пластической пл (или пл ) деформации. 58

59 При повторном нагружении образца диаграмма изображается сначала прямой (или ' '), т. е. той же прямой, которая характеризует разгрузку образца, а затем кривой 3 4 (или ' 3 4). Таким образом, при повторном нагружении предел пропорциональности повышается до того напряжения, до которого образец был ранее нагружен. Это явление называется наклепом. Явление наклепа часто используется в технике; например, для уменьшения провисания проводов, расчетные напряжения в которых превышают первоначальный предел пропорциональности, их предварительно вытягивают для создания в них наклепа. Материалы, разрушению которых предшествует возникновение значительных остаточных деформаций, называются пластичными. Степень пластичности материала может быть охарактеризована остаточным относительным удлинением образца, доведенного при растяжении до разрыва, и остаточным относительным сужением шейки образца. Чем больше эти величины, тем пластичнее материал. Остаточным относительным удлинением называется отношение остаточной деформации образца к первоначальной его длине l 0 : l l разр 0 00 %, (3.6) l 0 где l разр длина образца после разрыва, измеряемая после соединения частей разорванного образца. Значение для различных марок конструкционной стали находится в пределах от 8 до 8%. Остаточным относительным сужением (пси) называется отношение изменения площади поперечного сечения образца в месте разрыва к первоначальной площади А 0 поперечного сечения: А А А 0 ш 00 %, (3.7) 0 где А ш площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки. Значения находятся в пределах от нескольких процентов для хрупкой высокоуглеродистой стали до 60% для малоуглеродистой стали. Для стали модуль упругости Е = 0 Па = 0 5 МПа. Модуль упругости практически не зависит от химического состава и термической обработки стали. При действии на тело циклической нагрузки на каждом цикле нагружения происходят некоторые необратимые изменения микроструктуры материала тела. Накопление их с увеличением числа циклов может вызвать разрушение тела. При достаточно большом числе циклов разрушение мо- 59

60 жет произойти, когда нагрузка значительно меньше, чем постоянная нагрузка, вызывающая разрушение. Деформации некоторых материалов и напряжения в них изменяются во времени; это явление называется ползучестью. Если к такому материалу приложена постоянная нагрузка, то его деформация сначала нарастает быстро, а затем все медленнее пока совсем не прекратится; такой частный случай ползучести называется последействием. Если после снятия нагрузки через некоторый промежуток времени первоначальные размеры тела полностью восстанавливаются, то такое состояние называется упругим последействием. Другим частным случаем ползучести является релаксация, представляющая собой процесс уменьшения напряжений в материале при неизменной его деформации, например уменьшение со временем растягивающего усилия в затянутых болтах Потенциальная энергия деформации Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А е. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U. Если нагружение производится медленно (такой процесс нагружения называется статическим), то А е = U, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры, пружины, торсионные валы). На рис. 3.6, а показан растянутый стержень (удлинение стержня изображено отрезком l ), на рис. 3.6, б показана диаграмма изменения силы Р в зависимости от l. а) б) Рис Схема растяжения стержня (схема а) и диаграмма изменения силы Р в зависимости от l (схема б) 60

61 Удлинение стержня l определим с учетом (3.4), (3.6) и (3.9) как N l = l l l, N P. (3.8) E EA Работа на перемещении l численно равна площади треугольника ОВС (рис. 3.6, б), т. е. Учитывая (3.8) для l, найдем А е = U = P l. U = Pl EA. Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по элементарным участкам d (рис. 3.8). Для элементарного участка Nd du, (3.9) EA а для всего стержня U l Nd EA 0. (3.30) Энергетические соотношения широко используются при определении перемещений в сложных упругих системах Допускаемые напряжения. Расчеты на прочность Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Прочность конструкции, выполненной из хрупкого металла, считается обеспеченной, если во всех поперечных сечениях всех ее элементов напряжения меньше предела прочности. Наибольшие напряжения, полученные в результате расчета конструкции (расчетные напряжения), не должны превышать допускаемое напряжение, значение которого меньше предела прочности. Значение допускаемого напряжения устанавливается путем деления предела прочности на величину, большую единицы, называемую коэффициентом запаса прочности. Условие прочности конструкции, выполненной из хрупкого материала, выражается в виде, (3.3) ; p p c c 6

62 где и p наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напря- c жения для материала конструкции; p и c допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно. В том случае, когда решающими для прочности конструкции являются не нормальные, а касательные напряжения, условие прочности имеет вид. Допускаемые напряжения p и c материала на растяжение вp и сжатие вс зависят от пределов прочности и определяются выражениями ; с вс / nв p вр / n, (3.3) в где n в нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности. В формулы (3.3) и (3.3) подставляются абсолютные значения напряжений с, с и вс. Для конструкций из пластичных материалов (у которых пределы прочности на растяжение и сжатие одинаковы) используется следующее условие прочности:, (3.33) где наибольшее по абсолютной величине сжимающее или растягивающее расчетное напряжение для материала конструкции. Допускаемое напряжение [ ] для пластичных материалов определяется по формуле / n, (3.34) т где [ n т ] нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести. Использование при определении допускаемых напряжений для пластичных материалов предела текучести т (а не предела прочности, как для хрупких материалов) связано с тем, что после достижения предела текучести деформации могут весьма резко увеличиваться даже при незначительном увеличении нагрузки и конструкции могут перестать удовлетворять условиям их эксплуатации. Для пластичных материалов, не имеющих площадки текучести, вместо т принимается условный предел текучести 0.. Расчет прочности, выполняемый с использованием условий прочности (3.3) или (3.33), называется расчетом по допускаемым напряжениям. Нагрузка, при которой наибольшие напряжения в конструкции равны допускаемым напряжениям, называется допускаемой. т 6

63 3.9. Контрольные вопросы. Какие случаи деформации бруса называются центральным растяжением?. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении бруса? 3. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится? 4. Какой вид имеют эпюры продольных сил для бруса, нагруженного несколькими осевыми сосредоточенными силами и равномерно распределенной осевой нагрузкой? 5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центральнорастянутого или центрально-сжатого бруса и чему они равны? 6. Как используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) бруса? 7. Как строится график (эпюра), показывающий изменение (по длине оси бруса) нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса? 8. Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого бруса? Сделайте вывод соответствующих формул. 9. В каких сечениях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные и в каких наибольшие касательные напряжения? 0. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией? Что представляет собой относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации бруса?. Что называется жесткостью, поперечного сечения при растяжении (сжатии)? 3. Как формулируется закон Гука? Напишите формулы абсолютной и относительной продольных деформаций бруса. 4. Что называется абсолютной и относительной поперечными деформациями бруса? 5. Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении и сжатии? 6. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какие он имеет значения? 7. В каких координатах строится диаграмма растяжения? 8. Что называется пределом пропорциональности, пределом упругости, пределом текучести, пределом прочности (или временным сопротивлением)? Что представляет собой площадка текучести? 9. Какие деформации называются упругими и какие остаточными или пластическими? 0. Какое явление называется наклепом? 63

64 . Что называется условным пределом текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика?. Чем отличается диаграмма, растяжения пластичной стали от диаграммы растяжения хрупкой стали? 3. Чем отличаются диаграммы сжатия пластичной и хрупкой сталей от диаграмм растяжения? 4. Что называется остаточным относительным удлинением образца и остаточным относительным сужением шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют? 5. Какие материалы называются анизотропными? 6. Что называется ползучестью, последействием, упругим последействием и релаксацией? 7. Как определяются продольные перемещения точек бруса при продольной силе и размерах поперечного сечения, непрерывно изменяющихся по длине оси бруса, а также при ступенчато-переменном сечении и продольных силах, постоянных в пределах отдельных участков? 8. Что представляет собой эпюра продольных перемещений? 9. Какое действие нагрузки называется статическим? 30. Как найти работу растягивающей силы по диаграмме растяжения? 3. Сделайте вывод формулы работы растягивающей силы при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности. 3. При каком условии и почему потенциальная энергия деформации бруса принимается равной работе внешних сил? 33. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов? 34. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина? 35. Какие три характерных вида задач встречаются при расчете прочности конструкций? 36. Что представляют собой допускаемая, предельная и предельно допускаемая нагрузки? 64

65 3.0. Тестовые задания Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р, Р и распределенной нагрузки интенсивностью q. Длина участков равна a и а. Отношение Р /qa = 4, Р /qa =. Максимальное по модулю значение продольной силы равно. ) ma N = qa ) N ma = qa 3) N ma = 3 qa 4) N ma = 4 qa Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р, Р и распределенной нагрузки интенсивностью q. Длина участков равна a и а. Отношение Р /qa = 5, Р /qa =. Максимальное по модулю значение продольной силы равно. ) ma N = qa ) N ma = qa 3) N ma = 3 qa 4) N ma = 4 qa Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р, Р и распределенной нагрузки интенсивностью q. Длина участков равна a и а. Отношение Р /qa = 3, Р /qa =. Максимальное по модулю значение продольной силы равно. ) ma N = qa ) N ma = qa 3) N ma = 3 qa 4) N ma = 4 qa Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р, Р и распределенной нагрузки интенсивностью q. Длина участков равна a и а. Отношение Р /qa = 3, Р /qa =. Максимальное по модулю значение продольной силы равно. ) ma N = qa ) N ma = qa 3) N ma = 3 qa 4) N ma = 4 qa Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р, Р и распределенной нагрузки интенсивностью q. Длина участков равна a и а. Отношение Р /qa = 4, Р /qa =. Максимальное по модулю значение продольной силы равно. ) N ma = qa ) N ma = qa 3) N ma = 3 qa 4) N ma = 4 qa 65

66 Эпюра продольных сил для представленного бруса изображена на схеме... ) ) 3) 4) ) ) 3) 4) Эпюра продольных сил для представленного бруса изображена на схеме... ) ) 3) ) ) 3) 4) 4) Эпюра продольных сил для представленного бруса изображена на схеме... ) ) 3) 4) ) ) 3) 4) 66

67 Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 50 кн, Р = 0 кн. Площадь поперечных сечений на участке a равна см, а на участке а равна 4 см. Максимальное по модулю значение нормальных напряжений равно. ma ) ma = 0 МПа ) ma = 30 МПа 3) ma = 40 МПа 4) ma = 50 МПа Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 50 кн, Р = 60 кн. Площадь поперечных сечений на участке a равна см, а на участке а равна 4 см. Максимальное по модулю значение нормальных напряжений равно. ma ) ma = 0 МПа ) ma = 30 МПа 3) ma = 40 МПа 4) ma = 50 МПа Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 70 кн, Р = 50 кн. Площадь поперечных сечений на участке a равна см, а на участке а равна 4 см. Максимальное по модулю значение нормальных напряжений равно. ma ) ma = 0 МПа ) ma = 30 МПа 3) ma Стержень испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р и 3Р. Если А это площадь поперечного сечения, то наибольшие по модулю напряжения равны ) ma = 40 МПа 4) ma = 50 МПа = Р/А ) ma = Р/А 3) ma = 3Р/А 4) ma = 5Р/А Стержень подвергается воздействию нескольких осевых сил. Если А это параметр величины площади поперечного сечения, то наибольшие по модулю напряжения будут достигнуты на участке ) I ) II 3) III 4) IV 67

68 Стержень (модуль упругости Е = 0 Па) испытывает растяжение-сжатие (Р = 40 кн, Р = 0 кн). Длина a = м, b = м. Площадь поперечных сечений на участке a равна А = см. Изменение длины u участка а в мм равно. ) u = 0,50 мм ) u = 0,75 мм 3) u = мм 4) u =,5 мм Стержень (модуль упругости Е = 0 Па) испытывает растяжение-сжатие под действием сил Р = 30 кн, Р = 0 кн. Длина a = м, b = м. Площадь поперечных сечений на участке a равна А = см. Изменение длины участка а ( u ) в мм равно. ) u = 0,40 мм ) u = 0,50 мм 3) u = 0,60 мм 4) u = 0,705 мм Стержень (модуль упругости Е = 0 Па) испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 45 кн, Р = 5 кн. Длина a = м, b = м. Площадь поперечных сечений на участке a равна А = 4 см. Изменение длины участка а ( u ) в мм равно. ) u =,50 мм ) u =,60 мм 3) u =,70 мм 4) u =,75 мм Стержень (модуль упругости Е = 0 Па) испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 45 кн, Р = 5 кн. Длина a = м, b = м. Площадь поперечных сечений на участке a равна А = 4 см. Изменение длины участка а ( u ) в мм равно. ) u =,50 мм ) u =,60 мм 3) u =,70 мм 4) u =,75 мм Стержень (модуль упругости Е = 0 Па) испытывает центральное растяжение-сжатие под действием сил Р = 40 кн. Длина a = м, b = м. Площадь поперечных сечений на участке a равна А = 4 см. Изменение длины участка а ( u ) в мм равно. ) u = 0,50 мм ) u = 0,75 мм 3) u = мм 4) u =,5 мм 68

69 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ 4.. Основные понятия При определении напряжений в сечениях стержней, расчете линейных и угловых перемещений поперечных сечений, расчете стержня на устойчивость расчетные зависимости содержат величины, характеризующие геометрию сечения. К таким величинам относятся площадь сечения, статический момент сечения относительно оси в плоскости сечения, осевой момент инерции сечения, полярный момент инерции сечения, центробежный момент инерции сечения. Эти величины определяют геометрические характеристики сечения. Итак, к геометрическим характеристикам плоского сечения относятся: площадь сечения А dа, где dа площадь элементарной площадки А сечения; статический момент сечения относительно заданной оси, лежащей в плоскости сечения; осевой момент инерции сечения относительно заданной оси, лежащей в плоскости сечения; полярный момент инерции сечения относительно заданной точки, лежащей в плоскости сечения; центробежный момент инерции сечения относительно двух заданных взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости сечения. Статические моменты сечения Статическим моментом сечения относительно некоторой заданной оси в плоскости сечения называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dа на координаты этих площадок, определяющих их расстояние до соответствующей оси. Если, например, имеем плоское сечение (рис. 4.), то статический момент этого сечения относительно оси : а статический момент сечения относительно оси y где у, координаты элементарной площадки. S S y yda, (4.) A da, (4.) A 69

70 Рис. 4.. Схема плоского сечения Рис. 4.. Схема прямоугольного сечения Если плоское сечение представлено простой геометрической фигурой, например, прямоугольником с параллельными его сторонам координатными осями y и (рис. 4.), то вычисление интегралов (4.) и (4.) для определения S и S y не представляет сложности. Действительно, так как площадь элементарного прямоугольника da= dy d (где dy, d стороны элементарного прямоугольника), то yma min Sy da= d dy = ma min yma ymin, (4.3) A ymin min ma y ma S yda= ydy d = yma ymin ma min, (4.4) A min ymin где y ma и ma максимальное значение координат точек сечения; y min и минимальное значение координат точек сечения. min Моменты инерции сечения Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой заданной оси в плоскости сечения называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты координат этих площадок, определяющих их расстояние до соответствующей оси. Для плоского сечения (рис. 4.) осевые моменты инерции этого сечения относительно оси и оси y определяются путем вычисления интегралов J y da, J da. (4.5) А Если сечение представлено простой геометрической фигурой, например, прямоугольником (рис. 4.) с параллельными его сторонам координатными осями, то вычисление интегралов (4.5), учитывая, что da =dy. d, приводит к следующим выражениям: y ma ma 3 3 J y da= d dy = ma min yma ymin, 3 (4.6) A ymin min 70 y А

71 ma y ma 3 3 J y da= y dy d = yma ymin ma min. 3 (4.7) A min ymin Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых заданных двух взаимно перпендикулярных осей в плоскости сечения называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на координаты этих площадок. Для плоского сечения (рис. 4.) центробежный момент этого сечения относительно координатных осей у и определяется вычислением интеграла J y yd. (4.8) A Если сечение прямоугольник с параллельными его сторонам координатными осями (рис. 4.), то yma ma Jy y da= y d dy= yma ymin ma min 4. (4.9) A ymin min Полярным моментом инерции сечения относительно заданной в плоскости сечения точки (полюса) называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой точки. Для плоского сечения (рис. 4.) полярный момент этого сечения относительно точки О равен J p da, (4.0) A где расстояние от полюса до элементарной площадки. Так как y, то, (4.) J ( y ) da y da daj J p y A A A т. е. полярный момент инерции сечения относительно точек пересечения координатных осей равен сумме осевых моментов инерции сечения относительно этих осей. 4.. Изменение геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей Рассмотрим особенности изменения геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей. Пусть мы имеем плоское сечение (рис. 4.3), геометрические характеристики которого относительно исходной системы координатных осей известны и равны S, S, J, J, J. y i i y i i y i i 7

72 Рис Схема изменения координат элементарной площадки при различном расположении координатных осей Каковы будут характеристики плоского сечения относительно координатных осей у о и о, проходящих через точку О и параллельных исходной системе координатных осей у i и i. Каковы значения этих характеристик относительно координатных осей y и, проходящих через точку О под углом к исходной системе координатных осей? Геометрические характеристики сечения относительно осей у о и о, параллельных исходной системе координатных осей и проходящих через заданную точку О с координатами у i (О) и i (О) Геометрические характеристики сечения относительно новых координатных осей у 0 и 0 в соответствии с приведенными выше формулами определяются путем вычисления интегралов (4.) S da, S y da, J da, J y da, J y da, y y y A A A A A где y 0 и 0 координаты элементарной площадки в новой системе координат y 0 и 0. Из схемы, приведенной на рис. 4.3, видно, что y0 yi b, 0 i a, (4.3) где a i( O), b yi( O) координаты точки О в системе координат у i и i, модуль которых определяет расстояние соответственно между осями y 0 и y i (модуль a), 0 и i (модуль b). Подставляя (4.3) в (4.), получим (4.4) S a da da a da S aa, y0 i i y i A A A 7

73 S ( ) 0 y A i b da y A i dab das A i ba, (4.5) ( ) ( ), (4.6) J a da a a da J as a A y0 A i A i i yi yi, (4.7) J ( y b ) da ( y y b b ) da J bs b A 0 A i A i i i i J y, 0 0 yib ia da J y as i i bs i y aba (4.8) i A где A da площадь сечения. A Геометрические характеристики сечения относительно осей y и, проходящих через заданную точку О с координатами у i (О) и i (О) и расположенных к исходной системе координатных осей под углом Геометрические характеристики сечения относительно координатных осей y и (рис. 4.3) определяются вычислением интегралов: (4.9) S da S y da J da J y da J y da y,, y,, y, A A A A A Из схемы на рис. 4.3 несложно определить, что y = y 0 cos + 0 sin, = 0 cos y 0 sin. (4.0) Подставляя (4.0) в (4.9), после преобразований (рекомендуем выполнить их самостоятельно), получим S y = S yo cos S o sin, S = S o cos + S yo sin, J y = J yo cos +J o sin J y 0 0 sin, J = J o cos +J yo sin + J y 0 0 sin, J y = J y 0 0 cos + ( Jyo J o ) sin, (4.) где S, S, J, J, J геометрические характеристики относительно y0 0 y0 0 y00 осей y 0 и 0, параллельных исходных осям у i и i, значения которых определяются по формулам (4.4) (4.8). Формулы (4.) указывают на следующее правило. Для того чтобы определить геометрические характеристики сечения относительно произвольной системы координатных осей y и, лежащих в плоскости сечения и проходящих через заданную точку под углом к исходной системе координатных осей у i и i, необходимо вначале по формулам (4.4) (4.8) определить геометрические характеристики сечения относительно осей y 0 и 0, параллельных исходным осям у i и i. Затем уже по формулам (4.) определить геометрические характеристики сечения относительно осей y и, расположенных к исходным осям под углом. 73

74 4.3. Центр тяжести сечения Рассмотрим формулы (4.4) и (4.5) и на их основе с учетом (4.3) составим выражения, определяющие статические моменты сечения относительно осей, проходящих через некоторую точку С, S S ( C) A, S S y ( C) A, (4.) где, y y i i c i c i C i yc координаты точки С в системе координат у i i и i. Существует такое положение точки С, для которого статические моменты сечения относительно осей у с и с равны нулю, т. е. S 0, S 0. Для этого положения точки С формулы (4.) примут вид S ( C) A0, S y ( C) A 0, откуда y i i i /, / C S A i y i i y C S A. (4.3) i i Эта точка С называется центром тяжести сечения и координаты центра тяжести сечения определяются по формулам (4.3). Можно решать и обратную задачу: зная координаты центра тяжести C, y C в системе координат у i и i, найти статические моменты сечения сечения i S и yi i S относительно координатных осей у i и i. Из (4.3) следует i S ( C) A, S y ( C) A. (4.4) yi i Если статические моменты сечения относительно осей у c и c, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю ( S y = 0, S 0 c = ), то статические моменты сечения относительно любой оси, проходящий через c центр тяжести равны нулю. Действительно, из формул (4.) для осей y и, проходящих через центр тяжести (точку С) под углом i S y = S yc cos S c sin = 0, S = S c cos + S yc sin = 0, так как S yc = 0, S c = 0. Координатные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно центральных осей статические моменты сечения равны нулю Главные оси и главные моменты инерции сечения Выделим из формул (4.) уравнения, определяющие осевые моменты инерции плоского сечения относительно расположенных под углом координатных осей y и, J y = J yo cos +J o sin J y sin, 0 0 i J = J o cos +J yo sin + J y sin. (4.5) y c c

75 Заметим, что сумма осевых моментов инерции J J J J (4.6) y y 0 0 есть величина постоянная и не зависит от ориентации координатных осей у и. В то же время слагаемые J и J каждое в отдельности зависит от тригонометрических функций cos и sin и являются периодическими функциями. Существуют ли экстремумы этих функций? Возьмем производную по, например, dj / d J J sin J cos y y y y и приравняем ее к нулю при 0 (где 0 угол, определяющий ориентацию координатных осей у и, при которой осевые моменты инерции достигают экстремума). В результате получим ( J J )sin J cos 0, откуда y 0 y J y 0 0 tg 0 J J y 0 0, (4.7) J y 0 = arctg 0 0 k, k 0,,,.... (4.8) J J 0 y0 Оси, относительно которых моменты инерции сечения достигают максимума или минимума, называются главными осями инерции сечения. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции сечения относительно главных осей называются главными моментами инерции сечения. Так как при 0 осевые моменты инерции сечения достигают экстремума, то, если один из них достигает максимума, то другой достигает минимума, так как сумма осевых моментов относительно координатных осей у и по формуле (4.3) есть величина постоянная. Из формул (4.5) главные моменты инерции сечения при Jy Jy J 0 J 0 y cos sin sin, (4.9) J J J 0 y J 0 y00 cos sin sin (4.30) 0 Формулы (4.9) и (4.30), если освободиться от тригонометрических функций, можно преобразовать к виду y 0 0 Jy J Jy J Jy 0 J J J 0 y0 75, (4.3)

76 y 0 0 J J J J J 0 J J J 0 y0 y y Из (4.3) и (4.3) следует: если J J, 0 0 y то J = J y = 0 0 (4.3), т. е. ось при 0 будет осью максимум (ось, относительно которой осевой момент инерции сечения достигает максимума). Если J < J, 0 y то 0 J Jy = = 0 0, т. е. ось будет осью минимум. Если J= J, 0 y то использование формулы (4.3) вызывает неопределенность типа деление на ноль. Поэтому в этом случае ее целесообразно пре- 0 образовать к виду J J J J J J 0 0 y0 y y y J J J J J J 0 y0 y y ,. (4.33) (4.34) Центробежный момент инерции сечения относительно главных осей из формулы (4.) при 0 равен ( J ) J cos ( J J )sin. y y y Разделим левую и правую части равенства на J J sin 0 y a : 0 0 J y J 0 y00. J J sin J J tg 0 y Учитывая (4.7), приходим к равенству J y J J y 0 y0 0 0 = 0. Отсюда сле- sin дует, что центробежный момент инерции плоского сечения относительно 0. главных осей инерции сечения равен нулю: J y Положение главных осей инерции в сечениях, имеющих ось симметрии На рисунке 4.4 изображено сечение, имеющее ось симметрии. Ось симметрии и ось, перпендикулярная оси симметрии, являются главными осями инерции сечения. Доказать это можно следующим образом. 76

77 Центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей и y (рис. 4.4) равен y A A A I II, (4.35) J yda yda y da Рис Плоское сечение с осью симметрии Для каждой элементарной площадки da с положительной координатой y (эту часть сечения обозначим А I ) соответствует такая же элементарная площадка da с той же координатой, но с отрицательной координатой у (эту часть сечения обозначим А II ). Так как A A А /, то из (4.35) I II J y d y d 0 y. A/ A/ Так как центробежный момент J y 0, то оси y и являются главными осями инерции сечения. Ось симметрии является и центральной осью сечения, так как S = yda yda y da yda yda 0, A A A I II A A т. е. статический момент сечения относительно оси симметрии равен нулю, а это соответствует тому, что ось симметрии проходит через центр тяжести сечения и является центральной осью. Чтобы ось, перпендикулярная оси симметрии, являясь главной осью инерции сечения, была также и центральной, необходимо, чтобы она проходила через центр тяжести сечения. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении осей симметрии (рис. 4.5). а) прямоугольник б) круг в) двутавр г) равносторонний треугольник Рис Плоские сечения, имеющие две оси симметрии 77

78 Если две взаимоперпендикулярные центральные оси у c и c являются главными центральными осями (т. е. центробежный момент J 0) и осевые моменты инерции сечения J y c J c y c c, то любые взаимно перпендикулярные оси этого сечения, проходящие через его центр тяжести, являются главными центральными осями инерции сечения. Это следует из формулы (4.) для центробежного момента J y J y cos sin 0 c J c y J c, c который равен нулю при любой ориентации осей у и, так как по условию Jy 0, J 0 c c y J c. А так как центробежный момент J y равен нулю, c то оси у и являются главными центральными осями инерции сечения. а) квадратное сечение б) круг в) равносторонний треугольник Рис Плоские сечения, имеющие множество главных центральных осей инерции К сечениям, имеющим бесчисленное множество главных центральных осей инерции, относятся (рис. 4.6) квадрат, круг, равносторонний треугольник и другие сечения, удовлетворяющие указанным выше условиям Расчет геометрических характеристик сложного сечения Расчет геометрических характеристик сложного сечения основан на том, что любой интеграл можно рассматривать как сумму интегралов и ту или иную геометрическую характеристику (площадь сечения, статический момент, осевые моменты инерции) можно вычислять как сумму этих характеристик отдельных частей сечения. Сложное сечение разбивается на ряд простых сечений со своими главными центральными осями таким образом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислять по известным формулам либо найти по справочной литературе. Конечной целью расчета геометрических характеристик сложного сечения является, как правило, определение его моментов инерции относительно главных центральных осей инерции. Но для этого необходимо найти положение (координаты) центра тяжести сечения, ориентацию главных центральных осей инерции сечения. Затем по приведенным выше формулам вычисляются те или иные характеристики сечения. 78

79 Следует обратить внимание на то, что расчет геометрических характеристик плоского сечения важнейший этап расчета стержневых систем. Чтобы при расчете стержневой системы определить вид нагружения того или иного участка стержня, необходимо знать положение продольной оси стержня, положение сил относительно продольной оси, положение главных центральных осей инерции поперечных сечений стержня Геометрические характеристики простейших сечений Формулы для вычисления геометрических характеристик простейших сечений (площади сечения, осевых моментов инерции сечения) приведены в табл. 4.. Таблица 4. Геометрические характеристики простейших сечений Форма сечения Площадь сечения Моменты инерции сечения относительно осей y c и c прямоугольник круг A b h Jy с J с b h 3 h b 3, d A 4 J y c d J c 64 4 параллелограмм A b h J y с b h 3 треугольник A b h J y с 36 b h 3 79

80 4.8. Контрольные вопросы. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения? 3. В каких единицах выражается статический момент сечения? 4. Какая зависимость существует между статическими моментами относительно двух параллельных осей? 5. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения? 7. В каких единицах выражаются моменты инерции сечения? 8. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей? 9. Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменение положительных направлений одной или обеих координатных осей? 0. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?. Чему равны осевые моменты инерции круга и кольца относительно осей, проходящих через их центры тяжести?. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров? 3. Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение? 4. Изменяется ли сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте этих осей? 5. Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции? 6. Какие оси называются главными осями инерции? 7. Какие оси называются главными центральными осями инерции? 8. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции? 9. В каких случаях без вычисления можно установить положение главных осей? 0. Если J y J и J y 0, то какие оси являются главными осями инерции?. Какие центральные оси являются главными осями инерции у сечений, имеющих более двух осей симметрии? Почему?. Почему производится разбивка сложного сечения на простые части при определении моментов инерции? 3. В какой последовательности определяются значения главных центральных моментов инерции сложного сечения? 80

81 4.9. Тестовые задания по теме От нижнего края сечения центр тяжести y c находится на расстоянии... ) 3,5b ) 4b 3) 4,5b 4) 5b Статический момент инерции треугольного сечения относительно оси равен... ) b 3 /4 ) b 3 /3 3) b 3 / 4) b 3 Момент инерции круглого сечения относительно оси равен... ) 4 3 d /64 ) 4 4 d /64 3) 4 5 d /64 4) d 4 /3 Момент инерции квадратного сечения относительно оси, параллельной диагонали квадрата, равен... ) 4 5 a / ) 4 6 a / 3) 4 7 a / 4) 4 8 a / 8

82 Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести y c находится на расстоянии... ) y c =,87b ) y c =,93b 3) y c =,b 4) y c =,b Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести y c находится на расстоянии... ) y c = 0 9 a ) y c = 9 a 3) y c = 9 a 4) y c = 5 9 a Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести y c находится на расстоянии... ) y c = 0 9 a ) y c = 9 a 3) y c = 9 a 4) y c = 5 9 a Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести y c находится на расстоянии... ) y c = 6 5 a ) y c = 7 5 a 3) y c = 8 5 a 4) y c = 9 5 a 8

83 Момент инерции круглого сечения относительно оси равен... ) 4 3 d /64 ) 4 4 d /64 3) 4 5 d /64 4) d 4 /3 Момент инерции круглого сечения относительно оси равен... ) J = 5 64 d J = 4 ) 7 64 d J = 4 3) 9 64 d J = 4 4) 64 d 4 Момент инерции квадратного сечения относительно оси равен... ) J = 5 4 а ) J = 4 3 а 3) J = 4 3 а 4) J = 7 а 4 Момент инерции квадратного сечения относительно оси равен... ) J = 5 4 а ) J = 4 а 3) J = 4 3 а 4) J = 7 а 4 83

84 5. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА Анализ напряженного состояния материала является важным разделом изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Расчет на прочность связан с анализом условия прочности, которое записывается в виде некоторого неравенства. В правой части этого неравенства записываются допускаемые напряжения, устанавливаемые для данного материала, а в левой части некоторые приведенные напряжения в опасной точке опасного сечения. Значения приведенных напряжений определяются напряженным состоянием в опасной точке и зависят от величины главных напряжений. Когда рассматриваются простые виды нагружения растяжение-сжатие стержня, кручение круглого стержня, чистый поперечный изгиб стержня, проблему расчета на прочность несложно решить. В этих случаях во всех точках по элементарным площадкам в плоскости любого поперечного сечения действуют либо только нормальные напряжения (например, при растяжении-сжатии стержня, при чистом изгибе стержня), либо только касательные напряжения (например, при кручении круглого стержня). При более сложных нагружениях элементарные площадки, по которым действуют только нормальные напряжения (главные площадки), могут быть ориентированы самым различным образом к заданному направлению координатных осей. В этих случаях возникает необходимость более полного анализа напряженного состояния в рассматриваемой точке. В данной главе изложены основные положения теории напряженного состояния материала, связанные с определением напряжений в произвольно ориентированной площадке, если заданы напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам. Рассмотрены решения прямой задачи, когда заданы главные напряжения и необходимо определить напряжения в произвольно ориентированной площадке в окрестности рассматриваемой точки. Рассмотрены решения обратной задачи, когда заданы напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам и необходимо определить главные напряжения и ориентацию главных площадок в окрестности рассматриваемой точки. 5.. Напряжения в точке. Тензор напряжений Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом внутренние силы и соответствующие им напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной. 84

85 В соответствии с гипотезой о сплошности материала следует считать, что каждая частица тела в сколь угодно малой окрестности имеет бесконечное множество других частиц, окружающих ее по всем направлениям. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в одной и той же точке по разным направлениям напряжения будут различны. Анализируя напряженное состояние тела в какой-либо его точке (например, в точке А, рис. 5., а), в окрестности ее обычно выделяют элементарный объем в виде бесконечно малого параллелепипеда. Элементарный объем отдельно показан на рис. 5., б. а) элементарный объем в окрестности точки А б) элементарные силы на гранях элементарного объема Рис. 5.. Схемы выделенного в теле элементарного объема (схема а) и элементарных сил на его гранях (схема б) Пусть грани этого элементарного объема параллельны соответствующим координатным плоскостям. По граням бесконечно малого элемента действуют элементарные силы реакции связей dp, dp, dp y, dp y, dp, dp, заменяющие действие удаленной части тела. Индексы,, y, y,, характеризуют направления нормалей к граням параллелепипеда, где приложены реакции связей. Эти силы как угодно могут быть ориентированы относительно координатных осей, y,. В условии статического равновесия силы на противоположных гранях параллелепипеда равны по величине и противоположно направлены друг другу. Равенство этих сил в векторной форме можно записать в виде dp = dp, dp y = dp y, dp = dp. (5.) Отношение сил dp, dp, dp y, dp y, dp, dp к соответствующим площадям da, da, da y, da y, da, da граней элементарного параллелепипеда характеризует полные напряжения, действующие по этим граням, p = dp /da, p = dp y /da y, p = dp /da, p = dp /da, p y = dp y /da y, p = dp /da, 85

86 которые являются векторными величинами и совпадают по направлению с соответствующими силами. Так как площади граней параллелепипеда с противоположно направленными нормалями равны da = da, da y = da y, da = da, то, учитывая (5.), можно записать, что p = p, p y = p y, p = p, (5.) т. е. полные напряжения на противоположных гранях параллелепипеда равны по величине и противоположно направлены друг другу. На рис. 5., а показан бесконечно малый элемент, к граням которого приложены полные напряжения p,, p y, p, p, p y, p. Как любые векторные величины полные напряжения могут быть представлены суммой составляющих p = i + y j + k, p y = y i + y j + y k, p = i + j + k, (5.3) где, y, нормальные напряжения на гранях с нормалями, параллельными соответствующим координатным осям, y и ; i, j, k единичные вектора; y,, y, y,, касательные напряжения (первый индекс соответствует направлению нормали к площадке, а второй направлению самого касательного напряжения). а) б) Рис. 5.. Элементарные объемы, к граням которых приложены полные напряжения (схема а), нормальные и касательные напряжения (схема б) На рис. 5., б показан бесконечно малый элемент, к граням которого приложены нормальные и касательные напряжения. Это наиболее распространенная схема изображения элемента. Чтобы не загромождать рисунок, напряжения на невидимых гранях элементарного параллелепипеда условно не показаны. Однако следует иметь в виду, что на этих гранях действуют такие же по величине напряжения, как и на противоположных им видимых гранях, лишь направления этих напряжений противоположны. Совокупность напряжений на гранях выделенного бесконечно малого элемента полностью характеризует напряженное состояние в точке нагру- 86

87 женного тела. Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений. Тензор обычно задают матрицей (таблицей) в виде y П = y y y. (5.4) y Элементы каждой строки представляют компоненты полного напряжения по соответствующей грани с нормалями, параллельными координатным осям, y,. 5.. Закон парности касательных напряжений Если рассмотреть равновесие бесконечно малого элемента, показанного на рис. 5., б, то из условия равновесия (равенства нулю суммы моментов сил относительно оси х) ( Pi ) = 0 следует равенство: y dа y dy y dа d = 0. Но так как dа y = d d, dа = d dy, то имеем y d dy d y d dy d = 0, откуда следует y = y. Из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно оси y y( Pi) = 0 следует равенство: dа d dа d = 0. Но так как dа = dy d, dа = d dy, то имеем d dy d d dy d = 0, откуда следует =. Из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно оси ( Pi) = 0 следует равенство: y dа d y dа y dy = 0. Но так как dа = dy d, dа y = d d, то имеем y d dy d y d dy d = 0, откуда следует y = y. Равенства y = y, =, y = y (5.5) отражают закон парности касательных напряжений: касательные напряжения, возникающие на любых двух взаимно перпендикулярных гранях, перпендикулярные общему ребру, равны по величине. 87

88 5.3. Главные оси, главные площадки и главные напряжения Равенства (5.5) характеризуют условие симметрии тензора напряжений (5.4). Для симметричных тензоров существуют такие прямоугольные оси координат, называемые главными осями, для которых тензор принимает диагональную форму (т. е. все его элементы, кроме элементов на диагонали, равны нулю). В частности, тензор напряжений для главных осей будет иметь вид 0 0 П = 0 0, где,, 3 главные напряжения. Для главных напряжений индексы расставляются таким образом, чтобы обеспечивалось неравенство 3. На площадках, для которых главные оси являются нормалями, отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными площадками. Например, если оси х, y, будут главными для выделенного бесконечно малого элемента (рис. 5.3, а), то его грани будут главными площадками и по ним действуют только главные напряжения,, а) б) Рис Элементарные объемы, к граням (главным площадкам) которых приложены главные напряжения (,, 3 схема а), ( схема б) При анализе напряженного состояния могут иметь случаи, когда лишь одно из главных напряжений (например, 0) не равно нулю (рис. 5.3, б); когда не равны нулю два главных напряжения (например, 0, 0, рис. 5.4, а); когда не равны нулю все три главных напряжения (рис. 5.4, б). Такое напряженное состояние, в котором одно главное напряжение (любое из трех) отлично от нуля, а два других равны нулю, называется одноосным или линейным. 88

89 а) б) Рис Элементарные объемы, к граням (главным площадкам) которых приложены главные напряжения (, схема а), (,, 3 схема б) Если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (рис. 5.4, а), то это двухосное или плоское напряженное состояние. Если все три главных напряжения отличны от нуля (рис. 5.4, б), напряженное состояние называется трехосным или объемным. Различают однородное и неоднородное напряженное состояние. В однородном напряженном состоянии напряжения одинаковы в каждой точке какого-либо сечения или параллельных ему сечений. В неоднородном напряженном состоянии распределение напряжений по различным точкам неравномерно Определение напряжений в произвольно расположенной площадке При анализе напряженного состояния в точке тела важным представляется умение определить напряжение в произвольно ориентированной площадке, если, например, известны напряжения по граням элементарного параллелепипеда, перпендикулярным соответствующим координатным осям, y и (рис. 5. 5, а). а) б) Рис Элементарный объем, к граням которого приложены полные напряжения (схема а) и элементарный объем с секущей плоскостью (схема б) 89

90 Рассечем элементарный параллелепипед плоскостью таким образом (рис. 5.5, б), чтобы координатные плоскости и секущая плоскость образовали четырехгранник. Оставим этот четырехгранник, отбросив остальную часть параллелепипеда (рис. 5.6, а). Нормаль n к наклонному сечению составляет с координатными осями, y и углы, и (рис. 5.6, б). Причем cos + cos + cos =. а) б) Рис Отсеченный четырехгранник, к граням которого приложены полные напряжения (схема а) и положение нормали относительно координатных осей (схема б) Действие отброшенной части должно быть заменено реакцией связи dp n (где индекс n характеризует нормаль к наклонной площадке). Отношение реакции связи dp n к площади наклонной грани dа n определяет полное напряжение по наклонной грани р n = dp n /dа n. На рисунке 5.6, а показан элементарный четырехгранник с действующими по его граням полными напряжениями p, p y, p и p n. В статическом состоянии равновесие сил, действующих на элементарный четырехгранник, описывается векторным уравнением dp + dp y + dp + dp n = 0, или, если заменить силы произведением напряжений на соответствующую площадь грани, имеем p dа + p y dа y + p dа + p n dа n = 0. (5.6) Четырехгранник является тетраэдром и для него dа = dа n cos, dа y = dа n cos, dа = dа n cos. Тогда (5.6) примет вид p dа n cos + p y dа n cos + p dа n cos + p n dа n = 0, откуда p n = p cos p y cos p cos. Если учесть (5.), то получим p n = p cos + p y cos + p cos, cos + cos + cos =. (5.7) Векторное уравнение (5.7) определяет полное напряжение p n по наклонной площадке, нормаль к которой составляет с координатными осями, y и углы, и, если известны полные напряжения p, p y, p по вза- 90

91 имно перпендикулярным граням с нормалями по направлению осей, y и. В проекциях на координатные оси из (5.7) следует р n = р cos + р y cos + р cos, р ny = р y cos + р yy cos + р y cos, р n = р cos + р y cos + р cos, где р, р y, р, р y, р yy, р y, р, р y, р проекции векторов полных напряжений p, p y и p на координатные оси, y и. Так как из (5.3) проекции векторов p, p y и p на координатные оси равны р =, р y = y, р =, р y = y, р yy = y, р y = y, р =, р y = y, р =, то имеем р n = cos + y cos + cos, р ny = y cos + y cos + y cos, (5.8) р n = cos + y cos + cos, причем y = y, =, y = y, cos + cos + cos =. Полное напряжение по наклонной площадке определится как р n = ( p ) ( p ) ( p ). (5.9) n ny n Полное напряжение p n как векторная величина может быть представлена, с одной стороны, как p n = σn τ n, где σ n нормальное напряжение по наклонной площадке; τ n касательное напряжение по наклонной площадке. С другой стороны, p n = p nх i + p ny j + p n k. Тогда имеем σn τ n = p nх i + p ny j + p n k. (5.0) В проекциях на нормаль к наклонной площадке из (5.0) следует n = p nх (i) n + p ny (j) n + p n (k) n, (5.) где (i) n, (j) n, (k) n проекции единичных векторов на нормаль. Так как (i) n = cos, (j) n = cos, (k) n = cos, то из (5.) следует равенство n = p nх cos + p ny cos + p n cos, (5.) которое позволяет определить нормальные напряжения по наклонной площадке. 9

92 Касательные напряжения по наклонной площадке определяются как n n p. (5.3) В теории напряженного состояния можно выделить две основные задачи: прямую и обратную. Для прямой задачи в точке тела известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения. Требуется найти нормальные и касательные напряжения по наклонной к главным осям площадке. При объемном напряженном состоянии при решении прямой задачи (когда известны главные напряжения 0, 0, 3 0 ) нормальные n, полные p n и касательные n напряжения по наклонной площадке с учетом (5.8), (5.) и (5.3) определяются как cos cos cos, n n 3 p ( cos ) ( cos ) ( cos ), (5.4) n 3 n n p. Для обратной задачи в точке тела известны нормальные и касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам (компоненты тензора напряжений). Требуется определить ориентацию главных осей и главные напряжения Анализ напряженного состояния (решение прямой задачи) на основе круговых диаграмм (круга Мора) Для плоского напряженного состояния анализ напряженного состояния в точке часто удобно проводить построением круговой диаграммы напряженного состояния (круга Мора). В чем суть этого построения? При плоском напряженном состоянии, когда, например, 0, 0, 3 0, нормальные n и касательные n напряжения по наклонной площадке с учетом (5.4) и /, /, определяются как cos sin, n n sin /. (5.5) n Так как то из (5.5) / cos /, cos sin / cos /, n n sin /. Возводя в квадрат левые и правые части уравнений и складывая, получим [ /] [ /] n n. (5.6) Уравнение (5.6) это уравнение окружности, центр которой находится на оси от начала координат на расстоянии (рис. 5.7). n / 9

93 Рис Круговая диаграмма напряженного состояния (круг Мора) Радиус окружности равен полуразности главных напряжений ( )/. Полученный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой напряженного состояния. Любая точка на окружности (например, точка D) имеет координаты n и n, которые равны нормальным и касательным напряжениям по наклонной площадке с углом наклона, равным половине центрального угла. При решении прямой задачи, когда заданы главные напряжения (например, и ), для построения круга Мора возьмем координатные оси n и n (рис. 5.8). Рис Круг Мора для определения напряжений по наклонной площадке Выбрав для напряжений некоторый масштаб, отложим на оси абсцисс отрезок ОА = и ОВ =. На отрезке АВ, как на диаметре, строим окружность с центром в точке С. 93

94 Для определения напряжений на площадке, имеющей с направлением угол, из центра круга (точки С) проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке D. Координата точки D по оси абсцисс отрезок OK соответствует в выбранном масштабе нормальному напряжению на наклонной площадке. Координата точки по оси ординат отрезок K D соответствует касательному напряжению на наклонной площадке. Действительно, OK = ОС + CK = ( +( )/) + [( ) cos]/. Учитывая, что cos = cos sin, после преобразований получим ОK = cos + sin, n = cos + sin, а эта формула определяет нормальные напряжения n по наклонной площадке. Аналогично K D CD sin, CD /, KD sin /, sin /. n Итак, определены касательные напряжения по наклонной площадке. Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом р = ( + /) = +. На пересечении луча с окружностью получим точку D. Координата точки D по оси абсцисс отрезок ОК соответствует нормальному напряжению n n n по площадке, наклоненной к главной площадке с главным напряжением под углом p = + /. Действительно, OK OC CK / cos p /, или после преобразований ОK = cos p + sin p, n = cos p + sin p. Но так как р = + /, то cos р = sin, sin p = cos. Тогда = sin + cos. n Координата точки D по оси ординат соответствует касательному напряжению по площадке, наклоненной под углом р = +/. n Действительно, KD KD sin /, n sin /. Отметим, что две точки круга D и D, характеризующие напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, всегда лежат на противоположных концах диаметра, так как угол р = +. Найдем положение полюса на круге напряжений. Проведем из D (рис. 5.8) горизонтальную, а из D вертикальную линии. Они пересекутся в точке М, которая является полюсом. Линия, соединяющая полюс М 94

95 n с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Приняв, что направление нормального напряжения по наклонной площадке совпадает с направлением оси абсцисс (линия D параллельна оси абсцисс), получим, что линия МА параллельна главному напряжению, так как (рис. 5.8) D A DCA /. Аналогично линия B параллельна главному напряжению (угол между направлениями и равен /). При анализе объемного напряженного состояния (решение прямой задачи) можно также воспользоваться построением кругов Мора. Если наклонные площадки в элементарном параллелепипеде располагать параллельно главной оси х (рис. 5.9, а), то угол между нормалью к площадке и осью х равен /. Тогда /, cos 0 и n cos 3cos cos 3sin, 3 sin / n. а) б) Рис Элементарный объем с наклонной площадкой, параллельной оси х (схеме а) и круг Мора (схема б), координаты точек профиля которого характеризуют нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках, параллельных главной оси х На рис. 5.9, б показан круг Мора L, координаты точек профиля которого характеризуют нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках, параллельных главной оси х (круг L построен для главных напряжений и 3). Если наклонные площадки в элементарном параллелепипеде располагать параллельно главной оси у (рис. 5.0, а), то угол между нормалью к площадке и осью у равен /. Тогда /, cos 0 и из (5.4) n cos 3cos cos 3sin, 3 sin / n. На рис. 5.0, б показан круг Мора L, координаты точек профиля которого характеризуют нормальные n и касательные n напряжения на на- 95

96 клонных площадках, параллельных оси у (круг L построен для главных напряжений и 3). а) б) Рис Элементарный объем с наклонной площадкой, параллельной оси y (схеме а) и круг Мора (схема б), координаты точек профиля которого характеризуют нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках, параллельных главной оси y Если наклонные площадки в элементарном параллелепипеде располагать параллельно главной оси (рис. 5., а), то угол между нормалью к площадке и осью равен /. а) б) Рис. 5.. Элементарный объем с наклонной площадкой, параллельной оси (схеме а) и круг Мора (схема б), координаты точек профиля которого характеризуют нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках, параллельных главной оси Тогда /, cos 0 и n cos cos cos sin, sin / n. На рис. 5., б показан круг Мора L 3, координаты точек профиля которого характеризуют нормальные n и касательные n напряжения на наклонных площадках, параллельных оси (круг L 3 построен для главных напряжений и ). 96

97 Если теперь расположить круги Мора L, L и L 3 на единой координатной плоскости, то координаты точек на окружностях того или иного круга определяют нормальные n и касательные n напряжения на площадках, параллельных той или иной главной оси (рис. 5.). Рис. 5.. Круги Мора на единой координатной плоскости, координаты точек на окружностях того или иного круга определяют нормальные n и касательные n напряжения на площадках, параллельных той или иной главной оси (L наклонная площадка параллельна оси х, L наклонная площадка параллельна оси y, L 3 наклонная площадка параллельна оси ) Координаты точек, лежащих внутри затемненной области, определяют нормальные n и касательные n напряжения на площадках, не параллельных ни одной из главных осей. Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы затемненной области, очевидно, что наибольшее напряжение равно радиусу наибольшего круга:. ma 3 / 5.6. Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния на основе построения круга Мора (плоское напряженное состояние) Пусть, например, известны напряжения, y, y и y на взаимно перпендикулярных площадках выделенного элемента. По их значениям требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок. Положим, что имеем плоское напряженное состояние, когда 0, 0, 3 0. Эту задачу будем решать с использованием круга Мора. Положим, что y, а y 0. Возьмем координатные оси и (рис. 5.3). В этой системе координат по оси абсцисс отложим отрезок 97

98 OK, соответствующий в определенном масштабе значению нормального напряжения, и отрезок ОK, соответствующий значению. y Рис Схема определения главных напряжений на основе построения круга Мора при известных напряжениях, y, y и y на взаимно перпендикулярных площадках Из точки K строим отрезок K D, соответствующий значению касательного напряжения, а из точки K строим отрезок K D, соответствующий значению y y. По закону парности касательных напряжений отрезки K D и K D равны по величине. Следовательно, точки D и D должны лежать на противоположных концах диаметра круга Мора. Соединим точки D и D и найдем центр круга Мора точку С. Радиусом CD проводим окружность. Точки ее пересечения с осью точки А и В. Отрезок ОА в принятом масштабе определяет значение главного напряжения, а отрезок ОВ значение главного напряжения. Для определения ориентации главных напряжений и положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойствами. С этой целью из точки D проведем линию параллельно оси абсцисс. Точка пересечения этой линии с окружностью точка М является полюсом. Линии, соединяющие точку М с точками А и В, определяют направления главных напряжений и относительно нормального напряжения (т. е. угол D A равен, а угол D B равен / ). Главные площадки перпендикулярны направлениям главных напряжений и. Используя круг Мора, можно получить и аналитические выражения для расчета главных напряжений. Из построений (рис. 5.3) следует, что soa s( OC CA), sob s( OC CB), где s масштаб напряжений. 98

99 Так как OC OK ( OKOK)/ ( OK OK)/, CA CB CD CK D K то получим из (5.6) CK ( OK OK )/,, s [( OK OK ) / [( OK OK ) / ] D K ], s [( OK OK ) / [( OK OK ) / ] D K ]. Учитывая, что OK, OK, DK, получим s х s у s y ( )/ [( )/], y y y ( )/ [( )/]. y y y (5.7) Найдем значение угла. Так как с учетом правила знаков для угла имеем tg K / KA y / ( y), откуда arc tg[ / ( )] Обобщенный закон Гука Выделим из тела элементарный параллелепипед (с бесконечно малыми размерами ребер), грани которого совпадают с главными площадками (рис. 5.4). y y Рис Элементарный объем, к граням (главным площадкам) которых приложены главные напряжения,, 3 Обозначим, и 3 нормальные напряжения на главных площадках (т. е. главные напряжения), а, и 3 относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельных этим напряжениям. Используя формулы (3.7) и (3.4) для определения деформаций в случаях центрального растяжения и сжатия, а также принцип независимости действия сил, получим для случая трехосного напряженного состояния 99

100 ( / E) ( 3) ; ( / E) ( 3) ; (5.8) 3 ( / E) 3 ( ). Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками (т. е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, также действуют и касательные). Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид ( / E) ( y ) ; y ( / E) y ( ) ;, (5.9) ( / E) ( y). где, y и нормальные напряжения, действующие по боковым граням элементарного параллелепипеда (в общем случае не совпадающим с главными площадками), а, y и относительные деформации ребер. Выражения (5.8) и (5.9), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при пространственном напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала Объемная деформация Под действием внешней нагрузки упругое тело деформируется, его объем изменяется и в нем накапливается потенциальная энергия. В процессе разгрузки тела потенциальная энергия проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами. Для определения изменения объема тела и количества накопленной им потенциальной энергии необходимо знать изменение объема и количество энергии в каждой элементарной частице тела. Выделим в окрестности некоторой точки тела до его деформации элементарный параллелепипед с ребрами dl, dl и dl 3 так, чтобы его грани совпадали с главными площадками (рис. 5.5). Первоначальный объем параллелепипеда dv dldl dl3. После деформации длины ребер параллелепипеда равны dl( ), dl( ) и dl3( 3), где, и 3 относительные деформации ребер параллелепипеда, определяемые по формулам (5.8). 00

101 Рис Элементарный параллелепипед, к граням которого (главным площадкам) приложены элементарные силы Объем элементарного параллелепипеда после его деформации dv ( dv ) dl ( ) dl ( ) dl ( ) 3 3 dl dl dl ( ) Здесь (dv ) изменение объема параллелепипеда. Так как величины, и 3 весьма малы по сравнению с единицей, то их произведениями можно пренебречь. Тогда dv ( dv ) dv ( 3), откуда ( dv ) dv ( 3). Отношение величины (dv ) к первоначальному объему параллелепипеда dv обозначается и называется относительным изменением объема: ( dv ) 3. (5.0) dv Относительное изменение объема выражается в отвлеченных величинах (безразмерная величина). Подставив в выражение (5.0) значения, и 3 по формулам (5.8), после преобразования получим ( 3 ). (5.) Е В формулу (5.) входит сумма главных нормальных напряжений. Вместо нее можно подставить сумму y : ( y ). (5.) Е Формулы (5.) и (5.) выражают объемный закон Гука. Правая часть формулы (5.) равна сумме относительных деформаций, и 3 [это следует из выражений (5.9)]. Поэтому формулу (5.) можно представить в виде 0

102 y. (5.3) Зная относительное изменение объема тела в каждой его точке, можно вычислить объемную деформацию (т. е. изменение объема) всего тела: V dv. (5.4) V Если в случае пространственного напряженного состояния 3 0 (такой случай называется пространственным равномерным растяжением), то на основании формулы (5.) относительное изменение объема 3. (5.5) Е Совершенно очевидно, что объем кубика, находящегося в условиях пространственного равномерного растяжения, не может уменьшаться, т. е. в этом случае не может быть отрицательным; следовательно [на основании зависимости (5.5)], коэффициент Пуассона для любых материалов не может быть больше 0,5. Формулы, полученные в настоящем параграфе, действительны при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала Потенциальная энергия деформации Для определения потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементарной частице тела, выделим из тела элементарный параллелепипед, ребра которого dl, dl и dl 3, а грани совмещены с главными площадками. В общем случае трехосного напряженного состояния на каждую грань параллелепипеда перпендикулярно ей действует внешняя сила, равная произведению нормального напряжения на площадь этой грани (рис. 5.5). На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням. При вычислении этой работы будем предполагать, что внешние силы (все одновременно) постепенно нарастают от нуля до своего конечного значения, т. е. что эти силы действуют статически. В результате действия на элементарный параллелепипед внешних сил его ребра dl, dl и dl 3 удлиняются: ( dl) dl; ( dl) dl; ( dl3) 3dl3. (5.6) Работа da внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия du определяются по выражению dldl3 ( dl) dldl3 ( dl) 3dldl ( dl3) da du, 0

103 где каждое из слагаемых в правой части равенства представляет собой работу статически нарастающей силы ( dldl3, или dldl3, или 3dldl) на соответствующем (т. е по направлению этой силы) удлинении ребер параллелепипеда [ ( dl), или ( dl), или ( dl3) ]. Подставим в это выражение значения удлинений из (5.6): dl dl dl ( ). 3 du 33 Разделив выражение du на первоначальный объем параллелепипеда dv dldldl3, получим общее количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т. е. так называемую полную удельную потенциальную энергию деформации: du 33 u. (5.7) dv Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями через напряжения [см. обобщенный закон Гука, формулы (5.8)]: u 3 ( 3 3) E. (5.8) Удельная потенциальная энергия выражается в джоулях на кубический метр (Дж/м 3 или Н м/м 3 ). Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяется на величину ( dv ) dv ( 3) dv. (5.9) Е Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, так как в результате того, что 3, относительные удлинения ребер оказываются различными и, следовательно, первоначальное соотношение между длинами ребер изменяется. Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы его объем изменился на величину, определяемую формулой (5.9), а форма сохранилась прежней. Сохранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем его граням одинаковых напряжений (обозначим их 0 ). При этом изменение объема параллелепипеда равно [см. формулу (5.9)] ( dv ) 3 0 dv. Е Приравниваем его фактическому изменению, определяемому формулой (5.9): 3 0 dv ( 3 )dv, Е Е 03

104 откуда (5.30) Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние параллелепипеда (рис. 5.6, а) можно расчленить на два напряженных состояния. В первом из них (рис. 5.6, 6) объем параллелепипеда изменяется, а форма его остается неизменной; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения объема. а) б) в) Рис Во втором состоянии (рис. 5.6, в) объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется лишь его форма; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения формы. Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения объема, подставим в формулу (5.8) напряжения 0, 0 и 3 0 (рис. 5.6, б). После преобразований получим ( ) 6E u об 3, (5.3) или, учитывая, что 3 = y, имеем ( ). (5.3) 6E u об y Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения формы, надо подставить в правую часть формулы (5.8) напряжения 0 ; 0 и 3 3 0, где 0 определяется выражением (5.30): u ф ( 3 3 3). (5.33) 3E 04

105 Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной потенциальной энергии деформации, т. е. u об и и. (5.34) ф Следовательно, полную удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать состоящей из удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы. Сумма потенциальных энергий, накопленных в двух напряженных состояниях, в общем случае не равна потенциальной энергии суммарного состояния. В данном случае имеется исключение, связанное с тем, что работа сил одного состояния (например, показанного на рис. 5.6, в) на перемещениях второго (рис. 5.6, б) равна нулю. Зная удельную потенциальную энергию деформации в каждой точке упругого тела, можно вычислить потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле: U udv. (5.35) V Из формул (5.8), (5.3) и (5.33) можно получить выражения удельных потенциальных энергий для случаев двухосного и одноосного напряженных состояний. Так, например, для двухосного напряженного состояния, обозначив 3 главное напряжение, равное нулю, получим u ( ); E ( u об ) ; 6E u ф ( ). (5.36) 3E Если в этих равенствах главные напряжения и заменим их выражениями через напряжения в двух произвольных взаимно перпендикулярных площадках, то после преобразований получим где E G. ( ) ( ) u y y ; E G ( ) uоб y ; 6E uф ( y y), 3E G (5.37) 05

106 5.0. Контрольные вопросы. Какое напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным), линейным (одноосным)?. Каково правило знаков для нормальных и касательных напряжений? 3. Докажите закон парности касательных напряжений. 4. Чему равна сумма нормальных напряжений по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам (перпендикулярным главной площадке с напряжением = 0)? 5. Что представляют собой главные напряжения и главные площадки? Как расположены главные площадки друг относительно друга? 6. Чему равны касательные напряжения на главных площадках? 7. Выведите формулы для определения главных напряжений и углов наклона главных площадок. 8. Как определить главную площадку, по которой действует главное напряжение в общем случае плоского напряженного состояния? ma 9. Чему равны экстремальные значения касательных напряжений в случае плоского напряженного состояния? 0. Что представляют собой площадки сдвига и как они наклонены к главным площадкам?. Для чего служит круг Мора (круг напряжений)?. Как строится круг Мора? 3. Как определяется полюс круга Мора? 4. Как определяются напряжения и на любых площадках с помощью круга Мора? 5. Как определяются главные напряжения и положения главных площадок с помощью круга Мора? 6. Как определяются с помощью круга Мора экстремальные значения касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют? 7. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках? 8. Чему равны максимальные и минимальные касательные напряжения (при заданных напряжениях,, 3 ) и по каким площадкам они действуют? 9. Выведите формулы, выражающие обобщенный закон Гука. 0. На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения обобщенного закона Гука?. Что называется полной удельной потенциальной энергией деформации и из каких частей она состоит?. В каких единицах выражается удельная потенциальная энергия? 06

107 5.. Тестовые задания Какие напряжения возникают на заштрихованной площадке стержня квадратного сечения 0 0 мм при растяжении его силой, равной F=0кН? ) 0 ) 50МПа 3) 75 МПа 4) 00 МПа Какие напряжения возникают на заштрихованной площадке стержня квадратного сечения 0 0 мм при растяжении его силой, равной F=0кН? ) 0 ) 50МПа 3) 75 МПа 4) 00 МПа Под каким углом расположено сечение растянутого стержня, если касательные и нормальные напряжения в точках этого сечения равны? ) = 0 0 ) = ) = ) = 60 0 Определите по величине и направлению нормальные напряжения на площадке Ob, зная напряжения = 65 МПа на перпендикулярной площадке Оа и напряжение в поперечном сечении, равное = 00 Мпа. ) 35 МПа ) 45 МПа 3) 55 МПа 4) 65 МПа Определите по величине и направлению касательные напряжения на площадке Ob, зная напряжение = 40 МПа на перпендикулярной площадке Оа. ) 0 МПа ) 30 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа Какова величина силы F, растягивающей стержень прямоугольного сечения 5 мм, если известны σ α = 40МПа и σ β = 60МПа? ) 5 кн ) 0 кн 3) 5 кн 4) 0 кн 07

108 В точке тела известны главные напряжения, показанные на рисунке. Максимальные касательные напряжения равны ) 00 МПа ) 50 МПа 3) 400 МПа 4) 0 МПа Если максимальное касательное напряжение в наклонной площадке растягиваемого стержня ma = 60 МПа, то нормальное напряжение в поперечном сечении равно ) 60 МПа ) 80 МПа 3) 00 МПа 4) 0 МПа Определите нормальное напряжение на площадке Ob, перпендикулярной к / у площадке Oa, на которой напряжения известны. ) 45 МПа ) 60 МПа 3) 70 МПа 4) 80 МПа В соответствии с заданной круговой диаграммой Мора нормальные напряжения на гранях элемента равны х ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 40 МПа 4) 80 МПа В соответствии с заданной круговой диаграммой Мора нормальные напряжения на гранях элемента равны у ) 40 МПа ) 0 МПа 3) - 40 МПа 4) -60 МПа 08

109 Максимальные касательные напряжения ma для плоского напряженного состояния равны ) 90 МПа ) 0 МПа 3) 00 МПа 4) 0 МПа При растяжении стержня силой F = 75 кн нормальное напряжение в поперечном сечении = 80 МПа. Какую ma силу может выдержать стержень, если допускаемое касательное напряжение [ ] = 80 МПа? ) 75 кн ) 00 кн 3) 50 кн 4) 00 кн Какова величина силы F, если наибольшее касательное напряжение в стержне (площадь поперечного сечения 00 мм ) составляет 00 МПа? ) 5 кн ) 0 кн 3) 5 кн 4) 0 кн Определите нормальное напряжение на площадке mn, наклоненной к горизонтальной оси под углом 45. ) 0 МПа ) 30 МПа 3) 45 МПа 4) 60 МПа Определите касательное напряжение на площадке mn, наклоненной к горизонтальной оси под углом 45. ) 0 МПа ) 30 МПа 3) 45 МПа 4) 60 МПа Определите касательное напряжение на площадке Ob, перпендикулярной к площадке Oa, на которой напряжения известны. ) 30 МПа ) 40 МПа 3) 50 МПа 4) 60 МПа 09

110 6. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ 6.. Основные теории прочности Чтобы производить расчет на прочность, необходимо располагать данными об опасном состоянии материала тела, подверженного нагружению. Опасное состояние устанавливается при испытании материалов на центральное растяжение и сжатие в условиях статического нагружения. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней в момент наступления опасного состояния при образце из пластичного материала равны пределу текучести т, а при образце из хрупкого материала равны пределу прочности в (при растяжении вр и при сжатии вс ). Тело находится в опасном состоянии, если такое состояние имеется в какой-либо его точке. Точку тела, в окрестности которой материал первым оказывается в опасном состоянии, называют опасной точкой. Опасное состояние материала при проектировании элементов конструкции допускать нельзя. Поэтому при расчете на прочность ориентируются на допускаемое состояние материала. Допускаемым состоянием считают такое, которое возникает при нагрузке, равной отношению опасной нагрузки (вызывающей опасное состояние) на коэффициент запаса прочности. В случае одноосного растяжения (или сжатия) элементов конструкции в точках опасного поперечного сечения возникает одно из главных напряжений (либо при центральном растяжении, либо 3 при центральном сжатии). И здесь не столь важно как будет определена допускаемая нагрузка: будет ли она определена по значениям допускаемого нормального напряжения для материала, или по значениям допускаемого касательного напряжения или по значениям допускаемой относительной продольной деформации. При плоском и объемном напряженных состояниях возможны самые различные соотношения между главными напряжениями. Поэтому при расчетах, используя результаты опытов на одноосное растяжение и сжатие материала, с помощью теорий прочности определяется прочность для любых случаев плоского и объемного напряженных состояний. В расчетных формулах напряженное состояние материала выражается через значения главных напряжений, и 3, где 3. Первая теория прочности В основу первой теории прочности принята гипотеза, что разрушение материала происходит в результате отрыва и что поэтому опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на р 0

111 прочность ограничивается значение наибольших растягивающих напряжений, которое не должно превышать допускаемого нормального напряжения [ ], устанавливаемого из опыта на одноосное растяжение. р Если допускаемые напряжения для материала на растяжение и сжатие одинаковы (пластичные материалы), то условие прочности по первой теории прочности имеет вид. (6.) Если же допускаемые напряжения на растяжение р и на сжатие различны, то более опасным считается растяжение и условие прочности записывается в виде р с [ ]. (6.) Формулы (6.) и (6.) не учитывают влияния главных напряжений и 3 на прочность материала при плоском и объемном напряженных состояниях, что является недостатком первой теории прочности. Вторая теория прочности В основу второй теории прочности принята гипотеза, что разрушение материала происходит в результате отрыва и опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение мах достигает опасного значения. При расчетах на прочность по второй теории прочности ограничивается величина наибольшего относительного удлинения, которая не должна превышать допускаемого значения, устанавливаемого опытом на одноосное растяжение. Для пластичного материала условие прочности по второй теории прочности имеет вид:, / E. (6.3) Так как по закону Гука ( ) / E, 3 то условие прочности (6.3) преобразуется к виду: = ( ) экв 3. (6.4) Для хрупкого материала условие прочности выражается в виде = ( 3) [ p]. (6.5) экв Третья теория прочности В основу третьей теории прочности принята гипотеза, что разрушение материала происходит в результате среза и поэтому опасное состояние материала наступает, когда наибольшие касательные напряжения ma

112 в материале достигают опасного значения. При расчетах на прочность ограничивается значение наибольшего касательного напряжения ma, которое не должно превышать допускаемого значения, устанавливаемого опытным путем для одноосного напряженного состояния (известно, что в этом случае = /). Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид ma. Так как наибольшие касательные напряжения ma определяются как ( )/, ma 3 то условие прочности по третьей теории прочности представим в виде следующего неравенства: = экв. (6.6) 3 Третья теория прочности используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Четвертая (энергетическая) теория прочности В основу четвертой теории прочности принята гипотеза, что опасное состояние материала наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы u ф достигает опасного значения, определяемого опытным путем для одноосного напряженного состояния. Условие прочности по четвертой теории прочности можно представить в виде следующего неравенства: иф [ иф] ; и ф ( 3 3 3), 3Е 3Е или. (6.7) = экв Неравенство (6.7) преобразуется к виду = [( ) ( ) ( ) ]/ экв. (6.8) 3 3 Энергетическая теория учитывает все три главные напряжения. Четвертая теория прочности используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. 6.. Теория прочности Мора По теории прочности Мора предполагается, что прочность материала определяется лишь наибольшим и наименьшим главными напряжениями и 3. Для анализа прочности материала при плоском напряженном со-

113 стоянии, когда учитываются лишь главные напряжения и 3, удобно пользоваться кругами Мора. Если для материала имеются данные о его опасных состояниях при нескольких различных соотношениях между напряжениями и 3, то, изображая каждое опасное напряженное состояние при помощи круга Мора, получаем семейство таких кругов (рис. 6., а). а) б) Рис. 6.. Круги Мора при различных соотношениях между напряжениями и 3 (схема а); круги Мора с уменьшением значений напряжений в n раз (схема б) Если при построении семейства кругов Мора провести огибающую (рис. 6., а), то круги, характеризующие прочное состояние материала, будут располагаться внутри огибающей. Круги Мора, характеризующие опасное состояние, будут касаться огибающую. Если ввести в расчет коэффициент запаса прочности n и уменьшить эти круги в n раз (где n коэффициент запаса), то получим круги Мора и огибающую, соответствующие допускаемым напряженным состояниям (рис. 6., б). Для материалов, сопротивление которых сжатию больше, чем растяжению, ординаты огибающей уменьшаются по мере возрастания растягивающих напряжений (см. рис. 6.). В некоторой точке A (при положительном значении ) огибающая пересекает ось абсцисс. Эту точку можно рассматривать как круг Мора для случая всестороннего равномерного растяжения. При всестороннем равномерном сжатии материал не разрушается. Поэтому огибающая остается незамкнутой и не пересекает ось абсцисс при отрицательных значениях. Получить достаточное количество опытных данных для точного построения огибающей сложно. Поэтому огибающую, соответствующую допускаемым напряженным состояниям, имеющую криволинейное очертание, заменяют прямыми AB и AC, которые являются касательными 3

114 к кругам Мора, построенным по значениям растяжения и сжатия (рис. 6.). [ p] и [ c] для одноосного Рис. 6.. Круги Мора, построенные по значениям [ p] и [ c], полученным на основании опытов на одноосное растяжение и сжатие При расчете прочности должна быть определена опасная точка тела и возникающие в ней главные напряжения и 3. По значениям напряжений и 3 необходимо построить соответствующий круг Мора. Если этот круг будет расположен между прямыми AB и AC (круг на рис. 6.), то материал в окрестности рассматриваемой точки имеет избыточную прочность. Если круг будет пересекать эти прямые (круг на рис. 6.), то коэффициент запаса для рассматриваемого напряженного состояния следует увеличить. Круг, касающийся прямых AB и AC (круг 3 на рис. 6.), характеризует допускаемое напряженное состояние. Анализ условия прочности для данного напряженного состояния можно осуществить, воспользовавшись аналитическим выражением условия прочности, устанавливающим соотношение между главными напряжениями и 3 в этом состоянии. Для получения такого выражения строятся круги Мора. Один круг Мора с центром в точке и диаметром [ c] (рис. 6.3) соответствует одноосному сжатию. Другой круг Мора с центром в точке 8 и диаметром [ ] (рис. 6.3) соответствует одноосному растяжению. К этим кругам проведены касательные (точки касания 3 и 3 для круга Мора с центром в точке и диаметром [ c] ; точка касания 4 для круга Мора с центром в точке 8 и диаметром [ ]). Рассмотрим подобие треугольников (см. рис. 6.3) --8 и (учитываем при этом, что допускаемые напряжения являются положительными величинами). Длина отрезка 6-7, которую обозначим как l 6 7, равна р р 4

115 l l6 7= l 6 8, (6.9) l8 где l, l 6 8 и l 8 длины отрезков -, 6-8 и-8. Рис Круги Мора, построенные по значениям [ p] и [ c], для анализа условия прочности для круга Мора с главными напряжениями и 3 По схеме, представленной на рисунке 6.3, длины отрезков l 6 7, l, l 8 l определяются как и 6 8 l = [ р]/ ( 3)/, l = [ с]/ [ р]/, l = [ с]/ [ р]/, 8 l = ( 3)/ [ р]/. Учитывая данные равенства в формуле (6.9), получим: [ ] [ ] ([ ] ), с р 3 р р 3 с [ р] откуда после преобразований приходим к условию прочности по теории Мора в виде следующего неравенства: экв = [ ] [ ]. (6.0) р 3 р с 5

116 6.3. Единая теория прочности По этой теории, объединяющей вторую и третью теории прочности, допускаемое напряженное состояние должно одновременно удовлетворять двум условиям прочности: ; ma. (6.) При этом устанавливается из опытов на одноосное растяжение, а из опытов, при которых разрушение материала (или пластическое течение его) вызывается срезом. Условия прочности (6.) для хрупкого материала можно представить в виде ( ) [ ]; (6.) 3 p 3 ( )/. (6.3) Если определяется из опытов на одноосное сжатие, то / c и условие (6.3) принимает вид. (6.4) = экв 3 c В случае пластичного материала условия прочности имеют вид = ( 3) ; (6.5) экв = экв 6.4. Контрольные вопросы 3. (6.6). Что называется опасным состоянием материала? Чем характеризуется наступление опасного состояния для пластичных и хрупких материалов?. Какая точка тела называется опасной? 3. Что называется допускаемым напряженным состоянием? 4. Почему причина опасного состояния не имеет значения для расчетов на прочность при одноосном напряженном состоянии? 5. Почему определение прочности в случаях сложного (плоского или пространственного) напряженного состояния приходится производить на основе результатов опытов, проводимых при одноосном напряженном состоянии? 6. Что представляют собой теории прочности? 7. В чем сущность первой теории прочности? Какие опытные данные находятся в противоречии с этой теорией? 8. В чем сущность второй теории прочности? 9. В чем сущность третьей теории прочности? Напишите условие прочности по этой теории. Укажите ее недостатки. 0. В чем сущность четвертой теории прочности? Укажите область применения этой теории. 6

117 6.5. Тестовые задания Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. ) 80 МПа ) 00 МПа 3) 0 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 60 МПа ) 80 МПа 3) 00 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 70,5 МПа ) 75,45 МПа 3) 78,75 МПа 4) 8,35 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. ) 80 МПа ) 00 МПа 3) 0 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 00 МПа ) 0 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 40 МПа 3) 60 МПа 4) 80 МПа 7

118 Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 30 МПа 3) 40 МПа 4) 50 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ),5 МПа ) 4,5 МПа 3) 8,5 МПа 4) 30 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 30 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 0 МПа 4) 60 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа 8

119 Определите эквивалентное напряжение экв для состояния 3, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 0 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния 3, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 0 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния 3, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. ) 0 МПа ) 0 МПа 3) 0 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя третью теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 40 МПа ) 60 МПа 3) 80 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя четвертую теорию прочности. Напряжения выражены в МПа. ) 60 МПа ) 80 МПа 3) 00 МПа 4) 0 МПа Определите эквивалентное напряжение экв для состояния, используя теорию прочности Мора. Материал хрупкий, для которого [σ р ]/[σ с ] = 0,5. Напряжения выражены в МПа. 60 МПа ) 80 МПа 3) 00 МПа 4) 0 МПа 9

120 7. СДВИГ. РАСЧЕТ НА СРЕЗ 7.. Общие положения Деформация сдвига характерна тем, что из шести составляющих главного вектора силы R и главного момента отлична от нуля только одна поперечная сила Q y (или Q ), а все остальные равны нулю. Примером сдвига или среза может служить деформация полосы при резке ее ножницами (рис. 7., а). а) б) Рис. 7.. Схема нагружения при сдвиге При нагрузке по схеме, показанной на рис. 7., б на участке bc поперечная сила Q = P, (7.) а связь между касательными напряжениями τ и поперечной силой будет da Q. (7.) А Полагая, что касательные напряжения по площади поперечного сечения A распределенными равномерно, из (7.) и (7.) следует, что = Q/ A, = P/ A. (7.3) 7.. Чистый сдвиг Случай плоского напряженного состояния, когда по четырем граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения (рис. 7.), называется чистым сдвигом. Рис. 7.. Элемент, по граням которого действуют только касательные напряжения 0

121 Определим величину главных напряжений применительно к схеме, приведенной на рис. 7.. Учитывая, что при чистом сдвиге нормальные напряжения по граням выделенного элемента равны нулю ( 0), строим круг Мора (рис. 7.3). Рис Круг Мора, построенный для напряжений элемента на рис. 7. Точка D на оси соответствует координате касательного напряжения на грани cd. Точка D на оси соответствует координате касательного напряжения на грани bc. Отрезок D D представляет диаметр круга Мора с центром в точке 0 и пересекающий ось нормальных напряжений в точках А и В. Точка А на оси соответствует координате главного нормального напряжения. Точка В на оси соответствует координате главного нормального напряжения 3. Таким образом, 3. (7.4) Для определения направления главного напряжения проведем из полюса (точки ) через точку А линию. Направление линии МА совпадает с направлением главного напряжения (рис. 7.3). Положение главной площадки для главного напряжения перпендикулярно этому направлению. Для определения направления главного напряжения 3 проведем из полюса (точки ) через точку В линию. Положение главной площадки для главного напряжения 3 перпендикулярно направлению линии МВ (рис. 7.3). Главное напряжение 3 направлено к главной площадке. Главное напряжение 0. Под действием касательных напряжений элемент abcd, имевший форму квадрата со стороной а, превратится в ромб abcd (рис. 7.).

122 Деформация чистого сдвига заключается в изменении прямых углов. Представляя для наглядности элемент, находящийся в условиях чистого сдвига, закрепленным по одной из граней (рис. 7.4), найдем угол : tg s / a. Рис Схема деформирования элемента Рис Диаграмма зависимости ( ) Учитывая малость угла, можем принять tg, тогда относительный сдвиг s / a. (7.5) В пределах линейной зависимости между γ и справедливо соотношение = G γ, γ = /G, (7.6) где G коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода и имеет размерность в паскалях (Па). Формулы (7.6) выражают закон Гука при сдвиге, записанный в относительных координатах. Из рис. 7.4 видно, что удлинение Δl диагонали AC равно: Δl = CC cos CC cos 45 О = s /, 4 а относительное линейное удлинение диагонали (в направлении ) l s, или, учитывая (7.6), l a. (7.7) G Применяя обобщенный закон Гука к чистому сдвигу (рис. 7.4), находим. (7.8) Е Из сопоставления правых частей равенств (7.7) и (7.8) получаем

123 E G. (7.9) ( ) Используя (7.5), выразим абсолютный сдвиг Δs через Q A: Qa s a a. (7.0) G GA Формула (7.0) выражает закон Гука в абсолютных единицах. При сдвиге сила Q совершает работу AQ Q s. Эта работа преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации при сдвиге U: AQ U Q s. Учитывая (7.0), получим потенциальную энергию Q a упругой деформации при сдвиге: U. GA Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге U Q a u, (7.) V GA Aa G где V A a объем элемента. Главные напряжения при чистом сдвиге (рис. 7.3) равны:, 0, 3. Условия прочности при чистом сдвиге запишутся: по первой теории прочности [σ]; по второй теории прочности 3 [σ]. Подставляя значения главных напряжений (, 0, 3 ), находим условие прочности по второй теории прочности [ ] [ ]. Для металлов = 0,5 0,4, поэтому [ ] = (0,7 0,8) [ ]. По третьей теории прочности 3 [σ]. Отсюда [ ] [ ] и допускаемое напряжение [ ] 0,5[ ]. По четвертой теории прочности [ ] 3 3 [ ],. 3 [ ] Следовательно, 0,6[ ]. 3 3

124 7.3. Контрольные вопросы. Какой случай плоского напряженного состояния называется чистым сдвигом?. Что представляют собой площадки чистого сдвига и чем они отличаются от площадок сдвига? 3. Какая зависимость имеется между нормальными напряжениями по двум взаимно перпендикулярным площадкам при чистом сдвиге? 4. Изменяется ли значение полного напряжения в случае чистого сдвига при повороте площадки? 5. Как связаны друг с другом при чистом сдвиге значения ma, min, ma и min? 6. Ответьте с помощью круга Мора, построенного для случая чистого сдвига, на 3, 4 и 5-й вопросы. 7. Ответьте с помощью круга Мора, построенного для случая чистого сдвига, какая зависимость имеется между нормальными напряжениями по двум взаимно перпендикулярным площадкам при чистом сдвиге? 8. Ответьте с помощью круга Мора, построенного для случая чистого сдвига, изменяется ли значение полного напряжения в случае чистого сдвига при повороте площадки? 9. Ответьте с помощью круга Мора, построенного для случая чистого сдвига, как связаны друг с другом при чистом сдвиге значения ma, min, ma и min? 0. Как деформируется под действием касательных напряжений элементарный параллелепипед, боковые грани которого совпадают с площадками чистого сдвига?. Что называется абсолютным сдвигом, относительным сдвигом и углом сдвига?. Напишите выражение закона Гука при сдвиге. 4

125 7.4. Тестовые задания По граням элементарного объема, представленного на рисунке, действуют касательные напряжения 40 МПа. Величина главного напряжения равна ) 0 МПа ) 40 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа По граням элементарного объема, представленного на рисунке, действуют касательные напряжения 40 МПа. Величина главного напряжения равна ) 0 МПа ) 40 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа По граням элементарного объема, представленного на рисунке, действуют касательные напряжения 40 МПа. Величина главного напряжения 3 равна ) 0 МПа ) 40 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа По граням элементарного объема, представленного на рисунке, действуют касательные напряжения 40 МПа. Круг Мора для данного напряженного состояния имеет вид ) ) 3) По граням элементарного объема, представленного на рисунке, действуют касательные напряжения = 60 МПа. Величина главного напряжения равна ) 0 МПа ) 40 МПа 3) 40 МПа 4) 60 МПа 5

126 8. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ 8.. Крутящий момент в поперечных сечениях стержня Кручением называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один силовой фактор крутящий момент М. Схема нагружения стержня при кручении представлена на рис. 8.. Для определения крутящего момента используется метод сечений. Секущая плоскость (рис. 8.) условно делит стержень на две части: f часть стержня от его начала до плоскости сечения, p часть стержня от плоскости сечения до конца стержня. Рис. 8.. Схема нагружения бруса при кручении Крутящий момент М х в рассматриваемом сечении равен [( ( Pi)] f, = (8.) [( ( Pi)] p, т. е. крутящий момент М х в данном поперечном сечении стержня равен минус сумме моментов относительно продольной оси х внешних сил, действующих на стержень от его начала до рассматриваемого сечения (если используется первое уравнение с индексом f ); либо крутящий момент М х равен сумме моментов относительно продольной оси х внешних сил, действующих на стержень от рассматриваемого сечения до конца стержня (если используется второе уравнение с индексом р). Из формулы (8.) следует следующее правило знаков для слагаемых при составлении выражения для крутящего момента в поперечном сечении стержня (рис. 8.). а) б) Рис. 8.. Схема положительных слагаемых при составлении выражения для крутящего момента в поперечном сечении стержня Если момент внешней силы относительно продольной оси х отрицателен (т. е. направлен по часовой стрелке, если смотреть навстречу 6

127 оси х) и действует до сечения (рис. 8., а), то он входит положительным слагаемым в выражение для крутящего момента в поперечном сечении стержня. Если момент внешней силы относительно продольной оси х положителен (т. е. направлен против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси х) и действует после сечения (рис. 8., б), то он входит положительным слагаемым в выражение для крутящего момента в поперечном сечении стержня. 8.. Пример расчета крутящего момента в поперечных сечениях Стальной вал жестко закреплен в сечении А (рис. 8.3, а), нагружен сосредоточенными,, 3, М 4 парами сил и равномерно распределенными моментами сил интенсивностью m. Плоскость действия пар сил перпендикулярна продольной оси стержня. а) Схема нагружения стержня б) Расчетная схема стержня Рис Расчетные схемы стержня при кручении Требуется: Определить крутящий момент в поперечных сечениях стержня, построить эпюру крутящего момента. Решение: При расчете стержня необходимо отбросить внешние связи (закрепление в сечении А) и действие отброшенной связи заменить неизвестной реакцией связи моментом пары сил A (рис. 8.3, б). Плоскость действия момента A перпендикулярна продольной оси. Направим момент пары сил A в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси ). Значение A определим из условия равновесия: сумма моментов сил, действующих на стержень, относительно оси равна нулю. 0 или A mb 3 4 0, откуда A mb 3 4. Далее приступаем к определению крутящего момента в поперечных сечениях стержня на каждом его участке. Границами участков являются сечения, где приложены моменты пар сил, где начало и конец распределенной нагрузки. 7

128 Представим расчетную схему стержня в виде, изображенном на рисунке 8.4. На каждом участке последовательно изображаем секущие плоскости I, II, III и IV, положение которых определяется координатами 0 a, 0 b, 0 c и 0 d. 3 4 Рис Расчетная схема стержня для определения крутящего момента на участках На -м участке 0 a целесообразно использовать первое уравнение (8.) и учитывать моменты сил от начала стержня до сечения I, т. е. момент A:, 0 a. iх f A A На -м участке ( 0 b ) также используем первое уравнение (8.), учитываем моменты сил от начала стержня до сечения II, т. е. моменты A, и часть распределенной нагрузки на длине (т. е. m ): iх A m, 0 b. f На 3-м участке ( 0 3 c ) используем второе уравнение (8.) и учитываем моменты сил после сечения III, т. е. моменты 3 и 4: 3, 0 c 4 3. iх p На 4-м участке ( 0 4 c) также используем второе уравнение (8.), учитывая, что после сечения IV действует только момент 4: iх p 4, 0 d. 4 Таким образом, крутящий момент в поперечных сечениях стержня на различных участках определится как A, 0 a, A m, 0 b, 3 4, 0 3 c, 4, 0 4 d. Если для схемы нагружения стержня, представленной на рис. 8.4, 8

129 принять, что 400 Нм, 00 Нм, 3 00Нм, 4 300Нм, m 00 Нм/м, a 0,3 м; b 0,5 м, с 0,4 м; d 0,4 м, то A mb 3 4 = = 00 кнм. Крутящий момент в поперечных сечениях стержня на различных участках определится как A ( 00) 00 Нм, 0 a, A m ( 00) Нм при 0, A m ( 00) ,5 400 Нм при b, Нм, 0 3 c, Нм, 0 4 d. По результатам вычислений построена эпюра крутящего момента в поперечных сечениях стержня (рис. 8.5). а) Расчетная схема стержня б) Эпюра крутящего момента Рис Расчетная схема и эпюра крутящего момента стержня 8.3. Деформации и напряжения в точках поперечного сечения при кручении круглого стержня Круглым называется стержень, у которого поперечные сечения имеют форму круга или кольца. При кручении стержня круглого поперечного сечения используется гипотеза плоских сечений. Предполагается, что поперечные сечения при нагружении остаются плоскими и как жесткие диски поворачиваются вокруг продольной оси. 9

130 Крутящий момент представляет собой сумму моментов внутренних сил в поперечных сечениях стержня относительно продольной оси где х (8.) d, d dа, da, A х d элементарный момент внутренних сил, действующих на элементарной площадке da поперечного сечения (рис. 8.6); касательные напряжения на элементарной площадке da; расстояние от центра тяжести поперечного сечения до элементарной площадки. A Рис Касательные напряжения на элементарной площадке da Рис Схема относительного поворота поперечных сечений элементарного участка Если выделить в стержне элементарный участок d (рис. 8.7), то после нагружения стержня вследствие разных углов поворота сечений и d вокруг продольной оси образующая АВ займет после нагружения положение AB. При этом BB tg, AB где угловая деформация в точке А. Учитывая, что BB OBd (где d элементарный угол закручивания сечения с точкой В относительно сечения с точкой А), получим d tg OB. d Из-за малости угла можно принять, что tg. Тогда имеем d OB. d Так как поперечное сечение поворачивается вокруг продольной оси как жесткий диск, то для любой точки поперечного сечения угловая деформация пропорциональна расстоянию от центра тяжести поперечного сечения (точки О) до рассматриваемой точки (обозначим это расстояние как ). Тогда 30

131 d d ОВ,,, (8.3) d d где относительный угол закручивания. По закону Гука при кручении связь между касательным напряжением и угловой деформацией определяется равенством G, (8.4) где G модуль упругости -го рода материала. Учитывая (8.3), получим d G. (8.5) d Подставим (8.5) в (8.) d τρda G ρ da. A A d d Для любой точки рассматриваемого поперечного сечения G и не d зависят от и эти величины могут быть вынесены за знак интеграла. Тогда d d G ρ da GJ р, d (8.6) A d где J р ρ da A полярный момент инерции поперечного сечения относительно центра тяжести поперечного сечения. Из формулы (8.6) находим относительный угол закручивания : d =, (8.7) d GJ а из формулы (8.5) Приравнивая (8.7) и (8.8), получим р d. (8.8) d G, G GJ р. (8.9) J Касательные напряжения в точках поперечного сечения стержня пропорциональны расстоянию от точки до центра тяжести сечения. Максимального по модулю значения касательные напряжения достигают в наиболее удаленных точках при мах мах р мах, (8.0) Jр Wр 3

132 где W J / полярный момент сопротивления сечения. Wр где р р мах 4 Для круглого поперечного сечения J р D / 3, мах D /, D 3 /6, где D диаметр круга. Условие прочности при кручении можно записать в виде неравенства мах или, (8.) W допускаемые касательные напряжения для материала стержня. Если расчет поверочный, то после определения крутящего момента в опасном сечении стержня (опасным считается то поперечное сечение стержня, где касательные напряжения достигают наибольшего по модулю значения) анализируется выполнение неравенства (8.). Если расчет проектировочный, например, необходимо подобрать диаметр стержня, то из условия прочности (8.) определяется полярный момент сопротивления сечения М Wр. (8.) Если поперечное сечение круг, то W D 3 /6 и диаметр круга из (8.) D р 6 р 3. (8.3) При расчете стержня, испытывающего кручение, возникает необходимость определения угла закручивания поперечных сечений. Угол закручивания это разность углов поворота вокруг продольной оси рассматриваемого поперечного сечения и начального сечения: 0. (8.4) Для определения угла закручивания воспользуемся формулой d (8.7):, откуда d GJ р Интегрируем обе части равенства 0 0 d х М d d, GJ х р GJ d. (8.5) р 0 М d 0, (8.6) GJ где 0 координата начального сечения стержня; координата рассматриваемого поперечного сечения. р 3

133 Для стержня с постоянным значением крутильной жесткости поперечных сечений ( GJ р const) величину GJ р можно вынести за знак интеграла и, учитывая (8.4), получим М d GJ, если GJ р const. (8.7) р 0 Вычисления интеграла в формуле (8.7) можно производить либо непосредственно, либо используя понятие о геометрической интерпретации интеграла, вычислять «площадь эпюры» на отрезке от 0 до : A М d A,, (8.8) GJ 0 где A «площадь эпюры» на отрезке от 0 до. Понятие «площадь эпюры» специально взято в кавычки, так как эта алгебраическая величина и ее вычисление осуществляется с учетом знака Пример расчета диаметра круглого стержня и углов закручивания Стальной вал (модуль упругости при сдвиге G = 0,8 0 5 МПа) жестко закреплен на торце (рис. 8.3), нагружен сосредоточенными (М, М, М 3 ) парами сил и равномерно распределенными моментами сил интенсивностью m. Требуется:. При заданном допускаемом касательном напряжении [] = 80 МПа из условия прочности определить диаметр стержня и округлить его значение до ближайшего большего, используя ряд диаметров: D = 30, 35, 40, 45, 50, 55 и т. д. мм.. Определить углы закручивания поперечных сечений стержня, построить эпюру угла закручивания. Решение: Для схемы нагружения стержня, представленной на рис. 8.3, примем, что 400 Нм, 00 Нм, 3 00Нм, 4 300Нм, m 00 Нм/м, a 0,3 м; b 0,5 м ; с 0,4 м; d 0,4 м. При принятых данных ранее были определены значения крутящего момента в поперечных сечениях стержня и построена эпюра крутящего момента (рис. 8.5). Диаметр стержня по длине не меняется, поэтому опасным сечением будет поперечное сечение в конце -го участка, где крутящий момент достигает наибольшего по модулю значения: Н м. 400 ma р 33

134 Определение диаметра стержня. Из условия прочности для круглого поперечного сечения диаметр стержня в опасном сечении D ,94 0 м 6 3, Округляем диаметр до ближайшего большего значения по номинальному ряду: D 30 м 3 см. Определение угла закручивания поперечных сечений стержня. Так как крутильная жесткость поперечных сечений GJ const, то где p Aм d, р GJ 0 р GJ d Aм площадь эпюры крутящего момента 0 стержня до рассматриваемого сечения. D Полярный момент круглого поперечного сечения 30 м крутильная жесткость поперечного сечения GJ р 4 3,4 3 0 Н 3 м 3 0,80 6, стержня от начала 4 D J р 3. При Рассмотрим расчетную схему стержня (рис. 8.8, а) и эпюру крутящего момента (рис. 8.8, б). Если сечение находится в пределах -го участка (рис. 8.8, а), то площадь A м вычисляется как площадь прямоугольника с основанием I = 00 Н м и высотой : A = м, I 00 6,358 0 м 3,, 00 A, 0 a. GJ GJ GJ 0 0 I = а 00 0,3 6, = 4,7 0 3 рад. Если сечение находится в пределах -го участка (рис. 8.8, а), то площадь A м вычисляется как площадь прямоугольника с основанием II =00 Н м и высотой «a» плюс площадь трапеции высотой и = х : основаниями = 300 Н м, 0 34

135 а) Расчетная схема стержня б) Эпюра крутящего момента в) Эпюра угла закручивания Рис Расчетная схема, эпюры крутящего момента и угла закручивания Aм 00 a 00 a300х 00, II A м II 3 a 4,7 0, GJ GJ GJ GJ р р р 3 4,7 0 рад; 0 3 b 4,70 3 = 00 30,5 0,5 6, ,70,77 0 8,06 0 рад; 0 b. 35

136 00 30,5 0, ,7 0 4,7 0 7,5 0,8 0 рад. b 3 6,3580 Если сечение х находится в пределах 3-го участка (рис. 8.8, а), то площадь A вычисляется как площадь прямоугольника м III Aм 00 a I плюс площадь трапеции Aм b, II плюс площадь прямоугольника с основанием = 00 Н м и высотой 3: A 00 a350 b , ,5 00 = , м III 3 3 Aм III , , GJ 6,3580 6,3580 6, с ; ; 3,8 0 рад 30 с ,8 0, ,39 0 рад. Если сечение х находится в пределах 4-го участка (рис. 8.8, а), то площадь A м вычисляется как площадь эпюры IV на трех предыдущих участках плюс площадь прямоугольника с основанием = 300 Н м и высотой 4, т. е. A A d,, 4 м IV м III 4 A 00 a350 b00 c ,39 0 4, GJ м IV р 6,3580 6, d ; 4 35,39 рад ; ,39 0 8, , 5 0 рад. 4 d По найденным значениям (рис. 8.8, в). строится эпюра угла закручивания 8.5. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении круглого стержня Выделим в стержне элементарный участок (рис. 8.9), в поперечных сечениях которого действуют крутящие моменты М х. 36

137 Рис Элементарный участок круглого стержня При закручивании элементарного участка на угол d GJ крутящие моменты М х совершают работу: р d e da d d. (8.9) GJ Эта работа затрачивается на изменение потенциальной энергии упругой деформации элементарного участка du : du = da e p d. GJ Потенциальная энергия упругой деформации всего стержня складывается из потенциальных энергий элементарных участков и определяется как U du, l l p U d. (8.0) GJ p 8.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин Пружины являются одним из наиболее широко распространенных упругих элементов механизмов и машин. Их используют главным образом в качестве амортизаторов для смягчения ударов и толчков. Наибольшее применение получили цилиндрические винтовые пружины, работающие на растяжение или сжатие, изготовляемые из прутков круглого поперечного сечения. Ниже дан приближенный расчет таких пружин. Рассмотрим пружину, нагруженную по концам растягивающими силами P, действующими вдоль оси пружины и направленными в противоположные стороны (рис. 8.0, а). 37

138 а) б) в) Рис Расчетные схемы пружины (схема а), отсеченной части пружины (схема б), сил в поперечном сечении витка пружины (схема в) Обозначим R D / радиус пружины, равный расстоянию от центра тяжести поперечного сечения прутка пружины до ее оси, и d r диаметр сечения прутка. Рассечем мысленно пруток плоскостью, проходящей через ось пружины, и отбросим нижнюю часть пружины. Верхняя часть будет находиться в равновесии под действием внешней силы P и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, заменяющих влияние отброшенной нижней части пружины на верхнюю. Из условия равновесия оставленной верхней части следует, что равнодействующая указанных внутренних усилий представляет собой силу S, направленную вниз вдоль оси пружины и равную P (рис. 8.0, б). Эту силу можно заменить вертикальной силой P P (приложенной в центре сечения прутка) и моментом PR, действующими в плоскости проведенного сечения прутка (рис. 8.0, в). Для упрощения дальнейшего расчета будем предполагать, что угол наклона витков пружины к ее оси близок к 90. Это предположение допустимо для пружин, у которых указанный угол не менее 75 (обычно он равен ). Оно позволяет рассматривать сделанное выше сечение прутка (рис. 8.0, в) как поперечное, момент PR как крутящий момент х, а силу P P как поперечную силу Q. Сила Q P вызывает в сечении касательные напряжения Q ; приближенно будем считать эти напряжения распределенными равномерно по всему сечению прутка: Q Q / А 4 P/( d ). (8.) 38

139 Эпюра касательных напряжений Q показана на рис. 8., а. Кроме того, в сечении прутка возникают касательные напряжения, связанные с наличием крутящего момента PR PD/ и равные х P( D/). (8.) J J а) б) Рис. 8.. Распределение касательных напряжений Q (схема а) и (схема б) Эпюра касательных напряжений показана на рис. 8., б. Пруток пружины представляет собой кривой брус, поэтому применение формулы, полученной для прямого бруса, является, конечно, условным. Наибольшие напряжения возникают у боковой поверхности прутка при ma d / и и отношении J W d : 3 p / ma p /6 PD ( /) PD d. (8.3) 3 ma 8 / ( ) W Напряжения в каждой точке сечения направлены по нормали к прямой, соединяющей данную точку с центром сечения прутка. Суммарное напряжение от поперечной силы Q и крутящего момента х в каждой точке сечения прутка можно определить путем геометрического сложения напряжений Q и (рис. 8.). В точке C сечения прутка, наиболее близко расположенной к оси пружины, напряжения и Q совпадают по направлению и, кроме того, значение в этой точке максимально. Таким образом, суммарное напряжение в точке C имеет наибольшее значение 3 3 ma ma Q PD/( d ) 4 P/( d ) [8 PD/( d )] ( d / D). (8.4) 39

140 Рис. 8.. Расчетная схема для определения суммарного напряжения = ma Q Обычно второе слагаемое в круглых скобках формулы (8.4) значительно меньше единицы (в большинстве случаев D/ d и, следовательно, d/(d)=0,05...0,) и им можно пренебречь; это равносильно пренебрежению напряжениями от поперечной силы по сравнению с напряжениями от кручения. Тогда формула (8.4) примет вид PD d. (8.5) 3 ma 8 /( ) Из формулы (8.5) следует, что увеличение диаметра пружины уменьшает, а увеличение диаметра прутка увеличивает ее прочность. Для обеспечения прочности пружины величина ma не должна пре- : вышать значения допускаемого напряжения 3 ma 8 PD /( d ). (8.6) Формулы (8.5) и (8.6) являются приближенными. Используя результаты, полученные при определении напряжений в пружинах уточненными методами, условие прочности можно также представить в виде 3 ma k8 PD/( d ), (8.7) где k поправочный коэффициент, определяемый на основе точных методов расчета пружин. Его значение можно вычислять по формуле k D/ d 0,5. (8.8) D/ d Рассмотрим теперь деформацию пружины, т. е. изменение ее длины в направлении оси пружины. Обозначим деформацию пружины под действием двух сил P, приложенных по концам и направленных вдоль ее оси в противоположные стороны. Работа статически приложенных сил P на перемещении, равном деформации, определяется из выражения A P /. 40

141 Потенциальную энергию U деформации пружины, вызванной силами P, определяем только от крутящих моментов х PD/, возникающих в поперечных сечениях прутка пружины. Влиянием сил Q P на деформацию пружины пренебрегаем. По формуле (8.0) где ( PD /) 3 4 U хl /( GJ ) 4 P D n/( Gd ), 4 G d /3 J d 4 /3; l Dn длина прутка пружины; n число витков пружины. На основании закона сохранения энергии A U откуда 3 4 P / 4 PDn/( Gd),, следовательно, PD n /( Gd ). (8.9) Усилие P, при котором деформация пружины равна единице ( м, см и т. п.), называется жесткостью пружины и обозначается c. Из формулы (8.9) следует 4 3 c Gd D n /(8 ), P/ c. (8.30) Жесткость пружины выражается в Н/м, Н/см и т. п. Из формул (8.9) и (8.30) следует, что увеличение числа витков n пропорционально увеличивает деформацию пружины и, следовательно, уменьшает ее жесткость; увеличение диаметра прутка повышает жесткость пружины, а увеличение диаметра пружины понижает ее. 4

142 8.7. Контрольные вопросы. При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?. Какое правило знаков принято для крутящих моментов? 3. Что представляют собой эпюры крутящих моментов и как они строятся? 4. Что называется полным и относительным углом закручивания бруса? 5. Перечислите предпосылки теории кручения прямого бруса круглого поперечного сечения. 6. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены? 7. Выведите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого бруса. 8. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке круглого бруса при кручении? 9. Выведите формулы для определения относительного и полного угла закручивания круглого бруса. 0. Что называется жесткостью сечения при кручении?. Напишите выражение полярных моментов инерции круглого (сплошного и кольцевого) сечения.. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он выражается и чему равен (для круга и кольца)? 3. Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения разности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов? 4. Чем объясняется, что брус кольцевого сечения при кручении экономичнее бруса сплошного сечения? 5. В каких площадках, проходящих через данную точку бруса круглого сечения, при кручении возникают экстремальные касательные напряжения и чему они равны? 6. В каких площадках, проходящих через данную точку стержня круглого сечения, при кручении возникают экстремальные нормальные напряжения и чему они равны? 7. Чему равны наибольшие экстремальные касательные напряжения и наибольшие главные напряжения в скручиваемом брусе круглого сечения? В каких точках они возникают? 8. Чему равна потенциальная энергия деформации кручения бруса круглого сечения? Выведите соответствующую формулу. 9. Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность? 0. Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение?. Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость? 4

143 8.8. Тестовые задания Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м, m = 5 кнм/м) по модулю равен. ) М х = 5 кнм ) М х = 0 кнм 3) М х = 5 кнм 4) М х = 5 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м, m = 5 кнм/м) по модулю равен. ) М х = 35 кнм ) М х = 45 кнм 3) М х = 50 кнм 4) М х = 55 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м) по модулю равен. ) М х = 5 кнм ) М х = 5 кнм 3) М х = 30 кнм 4) М х = 35 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м, m = 5 кнм/м) по модулю равен. ) М х = 35 кнм ) М х = 45 кнм 3) М х = 50 кнм 4) М х = 55 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м, m = 5 кнм/м) по модулю равен. ) М х = 5 кнм ) М х = 0 кнм 3) М х = 5 кнм 4) М х = 5 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м) по модулю равен. ) М х = 0 кнм ) М х = 0 кнм 3) М х = 5 кнм 4) М х = 5 кнм Крутящий момент М х в поперечных сечениях вала на участке а (а = b = c = м) по модулю равен. ) М х = 5 кнм ) М х = 0 кнм 3) М х = 5 кнм 4) М х = 5 кнм 43

144 При [ ] = 80 МПа (а = b = c = м, m = 5кНм/м) минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. ) d min мм ) d min 35 мм 3) d min 47 мм 4) d min 5 мм При [ ] = 80 МПа минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. ) d min 0 мм ) d min 30 мм 3) d min 40 мм 4) d min 50 мм При [ ] = 80 МПа минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. ) d min мм ) d min 4 мм 3) d min 3 мм 4) d min 38 мм При [ ] = 80 МПа минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. d 98,5 мм ) d 0,5 мм 3) d 07 мм 4) ) min min При [ ] = 80 МПа минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. min d мм min d 98,5 мм ) d 0,5 мм 3) d 07 мм 4) ) min min При [ ] = 80 МПа минимальный диаметр в мм круглого стержня равен. min d мм ) d min,7 мм ) d min,4 мм 3) d min 3, мм 4) d min 3,8 мм При диаметре круглого вала 80 мм максимальные касательные напряжения равны. min ) 8,5 МПа ) 38,4 МПа 3) 49,3 МПа 4) 5,7 МПа 44

145 При диаметре круглого вала 00 мм максимальные касательные напряжения равны. ) 8,5 МПа ) 7,4 МПа 3) 3,3 МПа 4) 4,7 МПа При диаметре круглого вала 00 мм максимальные касательные равны. ) 65,8 МПа ) 76,4 МПа 3) 8,5 МПа 4) 94, МПа При диаметре круглого вала 0 мм максимальные касательные напряжения равны. ) 73,7 МПа ) 78,4 МПа 3) 8,5 МПа 4) 84, МПа В какой точке поперечного сечения вала А (х А = 5 см, у А = 0 см) или В (х В = 4 см, у В = 3 см, диаметр вала d равен 00 мм) касательное напряжение больше? ) в точке А ) в точке В 3) одинаковы 4) не зависят от положения точек Касательное напряжение в точке B поперечного сечения вала (диаметр вала d = 00 мм, у B = 3 см, B = 4 см) равно 40 МПа. Наибольшее касательное напряжение в вале равно ) 65 МПа ) 70 МПа 3) 80 МПа 4) 90 МПа При диаметре вала 00 мм максимальные касательные напряжения равны. ) 65 МПа ) 70 МПа 3) 80 МПа 4) 90 МПа 45

146 Каково соотношение касательных напряжений на участках и круглого ступенчатого вала? ) ma ma = 6 ) ma ma = 7 3) ma ma = 8 4) ma ma = 9 Если допускаемое касательное напряжение [τ] = 50МПа, то из условия прочности минимальный диаметр вала равен ) d min 00 мм ) d min 0 мм 3) d min 0 мм 4) d min 30 мм При нагружении стального вала скручивающим моментом точка К переместилась в положение К'. Если G = 0,8 0 Па, КК = 5 мм, d = 50 мм, то угол сдвига на его поверхности равен ) =,0 рад ) =,5 рад 3) =,5 0 3 рад 4) =, рад Если крутильная жесткость поперечного сечения круглого вала GI p = МН м, то максимальный относительный угол закручивания равен ) ma = рад/м ) ma = 3 3) ma = 8 0 рад/м 4) ma = Исходя из приведенной эпюры угла φ, максимальный относительный угол закручивания ma круглого вала равен рад/м рад/м ) ma = 8 мрад/м ) ma = 9 мрад/м 3) ma = 0 мрад/м 4) ma = мрад/м 46

147 9. ИЗГИБ Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. Плоскость действия изгибающего момента перпендикулярна поперечному сечению стержня и проходит через центр тяжести этого сечения. Будем рассматривать прямой изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором в поперечных сечениях на тех или иных участках стержня, а поперечные и продольные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым изгибом на этих участках. Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающим моментом действует и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным изгибом. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. 9.. Определение внутренних силовых факторов при изгибе Для определения внутренних силовых факторов в поперечных сечениях используются метод сечений. В дальнейшем ограничимся рассмотрением схем нагружения стержня, когда плоскость нагружения проходит через продольную ось стержня (будем ее обозначать как ось ) и главную центральную ось инерции поперечного сечения (обозначим ее как ось y). Другая главная центральная ось перпендикулярна плоскости нагружения. На рис. 9., а приведена схема части стержня с интересующим нас поперечным сечением. Точка О центр тяжести сечения, оси y и главные центральные оси инерции сечения, ось продольная ось стержня. а) б) Рис. 9.. Схема поперечных сечений стержня при нагружении в плоскости y- (схема а) и в плоскости - (схема б) Другая часть стержня по методу сечений условно отброшена и ее действие на оставшуюся часть по аксиоме связей заменено изгибающим моментом и поперечной силой Q y (если плоскость нагружения это плоскость y-). 47

148 Заметим, что если плоскость нагружения это плоскость - (рис. 9., б), то действие отброшенной части стержня заменено изгибающим моментом y и поперечной силой Q. Если нагружение стержня приводит к поперечному изгибу и плоскость нагружения это плоскость y-, то поперечная сила Q y и изгибающий момент определяются по формулам ( Piy) f, [ ( Pi)] f, Qy (9.) ( Piy) p, [ ( Pi)], p где ( P iy ) f сумма проекций на ось y внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения; ( P iy ) p сумма проекций на ось y внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня; [ ( Pi)] f сумма моментов относительно оси поперечного сечения внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения; [ ( P)] i p сумма моментов относительно оси внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня. Если обратить внимание на знаки слагаемых в формулах (9.) при определении поперечной силы Q, то можно сформулировать следующее y правило знаков для поперечной силы Q. Если сила P i стремиться повернуть стержень относительно центра тяжести рассматриваемого поперечного сечения (точки пересечения поперечного сечения с продольной осью) по часовой стрелке, то эта сила положительное слагаемое в формулах при расчете Q в данном поперечном сечении (рис. 9., а). а) б) Рис. 9.. Схемы для определения положительных слагаемых при расчете поперечной силы Q y (схема а) и изгибающего момента (схема б) Если при определении изгибающего момента обратить внимание на знаки в формулах (9.), то можно сформулировать следующее правило знаков для изгибающего момента. Если момент силы до сечения поворачивает стержень относительно центра тяжести поперечного сечения по часовой стрелке (рис. 9., б), а момент силы после сечения поворачивает стержень против часовой стрелки, 48

149 то момент этих сил положительные слагаемые в формулах при расчете изгибающего момента в поперечном сечении. Уравнение (9.) для прямолинейного стержня при определении поперечной силы Q можно представить как y Q [( P ) q ( ) q ( ) ], y iy y n y k f pi n k (9.) Qy [( Piy) q ( ) ( ) ] pi y n q n y k k p. Уравнение (9.) для прямолинейного стержня при определении изгибающего момента можно представить как = i i + P iy ( Pi ) Pi + = qy( k) k i i Piy ( Pi ) Pi f q ( ) y n n, (9.3) q ( ) y n n qy( k), k p где координата рассматриваемого сечения; pi координата точки приложения сосредоточенной силы P i или опорной реакции; мi координата сечения, где приложена пара сил i ; q y проекция интенсивности распределенной нагрузки на ось y; n, k координаты начала и окончания распределенной нагрузки; индексы f и p означают, что уравнения учитывают либо силы от начала стержня до рассматриваемого сечения (индекс f ), либо силы от сечения до конца стержня (индекс p). Неравенства в индексах в уравнениях (9.) и (9.3) типа Pi или Pi и так далее означают, что в уравнении учитываются лишь те слагаемые с силой P i, моментом i, у которых координата точки приложения силы или момента удовлетворяет этим неравенствам. Рассмотрим процедуру определения Q и на примере. На рис. 9.3 приведена схема нагружения стержня заданными силами (момент пары сил М, сосредоточенная сила Р, распределенные силы интенсивностью q и реакции опор Y A и Y C ). Число участков стержня равно четырем. Координаты точек приложения сил: 0 координата точки приложения момента пары сил М, A координата точки приложения реакции y + 49

150 опоры Y A и начала распределенной нагрузки q ( A n ), B координата точки приложения конца распределенной нагрузки q ( В k ), С координата точки приложения реакции опоры Y С, Р координата точки приложения силы Р. Рис Схема нагружения стержня моментом пары сил, сосредоточенной силой, распределенными силами и реакциями опор Поперечные линии на каждом участке (I, II, III, IY) условно показывают поперечное сечение, положение которого определяется координатой и для которого составляем выражения при определении Qy и. Используем формулы (9.) и (9.3) и на каждом участке учитываем только те силы, которые действуют на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения: 0, 0 A, YA ( q)( A), A B, Qy (9.4) YA ( q)( A) ( q)( B), B C, YA ( q)( A) ( q)( B) YC, C P,, 0 A, YA( A) ( q)( A) /, A B, q ( A) q ( B) YA( A), B C, (9.5) q ( A) YA( A) q ( B) YC( C), C P. Обратим внимание на то, что при определении поперечной силы Q y и изгибающего момента кроме заданных сил (момента пары сил М, интенсивности распределенной нагрузки q ) должны быть известны опорные реакции Y A и Y С. 50

151 Значения опорных реакций Y A и Y С могут быть найдены из рассмотрения уравнения равновесия стержня, схема нагружения которого приведена на рис Уравнения равновесия рассмотрим в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точек А и С: APi 0, q ( B А)( q A) P ( P A) Y C( C A) 0, q ( B А)( q A) P ( P A) Y B A C, q A, ( ) C A С Pi 0, q ( )( B А C q) P ( P C) Y A( C A) 0 Y A, q ( B А)( C q) P ( P C), ( ) C A q B A A, где q координата точки приложения равнодействующей распределенных сил. Пример. Определение внутренних силовых факторов при изгибе Стальная балка нагружена сосредоточенной силой Р, парой сил М и равномерно распределенными силами интенсивностью q. Схема нагружения балки представлена на рисунке 9.4. Рис Расчетная схема балки Требуется определить поперечную силу Q y и изгибающий момент при изгибе стержня (полагаем, что нагружение стержня происходит в плоскости y-) и построить эпюры Q и. y Исходные данные: a = 0,4 м; b = 0,5 м; c = 0,5 м; d = 0, м; P = 0 кн, М = 0 кн м, q = 0 кн/м. Силами тяжести пренебрегаем. Решение: Определение реакций опор Прежде чем приступать к определению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня (рис. 9.5, а), следует отбросить внешние связи (шарнирные опоры в сечениях А и D) и заменить их действие неизвестными реакциями связей (рис. 9.5, б). Действие шарнирной опоры А на стержень следует заменить составляющими реакции Х A и Y A, действие шарнирной опоры D реакцией Y D. Далее необходимо определить значения этих реакций. 5

152 а) Схема нагружения стержня б) Расчетная схема с реакциями опор Рис Расчетные схемы стержня при изгибе стержня Стержень находится в равновесии, и на него действует плоская система сил. Можно использовать три уравнения статического равновесия, которые позволят определить три неизвестных Х A, Y A и Y D. Для рассматриваемой расчетной схемы (рис. 9.5, б) целесообразно использовать следующие уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось х равна нулю: X i = 0, X A = 0; сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю: DPi 0, qa(a/ + b + c) Y A (b + c) + Pc + = 0, qa( a / b c) P c 8, 00,5 0 откуда Y A = = = 9,6 кh; b c 0,5 0,5 сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: APi 0, qa a / P b + Y D (b + c) + = 0, qa Pb откуда Y D = 0,6 0 = =,6 кh. b c 0,5 0,5 На данном этапе важно проверить решения, связанные с определением опорных реакций. Для этого используем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось y: Y i = 0, qa YA P YD = 8 + 9,6 0,6 = 0. Определение поперечной силы и изгибающего момента в поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе Рассматриваемый стержень (рис. 9.6) имеет четыре характерных участка. Рис Расчетная схема с секущими плоскостями на участках 5

153 Границами этих участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начало и конец распределенных сил, приложены реакции внешних связей: -й участок (0 A ), -й участок ( A C ), 3-й участок ( C D ), 4-й участок ( D ), где A = а = 0,4 м; C = a + b = 0,9 м; D = a + b + с =,4 м; = a + b + с +d =,6 м координаты границ участков. Координаты точек приложения сил: B n 0 начала распределенной нагрузки q, A k координата конца распределенной нагрузки q, A a координата точки приложения реакции опоры Y A, D abc координата точки приложения реакции опоры Y D, Р C ab координата точки приложения силы Р, a b c d координата точки приложения момента пары сил М. Поперечные линии на каждом участке (I, II, III, IV) условно показывают поперечное сечение, положение которого определяется координатой и для которого составляем выражения при определении Q и. Используем формулы (9.) и (9.3) и на каждом участке учитываем только те силы, которые действуют на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения: Q [( P ) q ( ) q ( ) ], y iy y n y k f pi n k = P ( ) q ( ) q ( ) i iy Pi y n y k i Pi n k y (9.6) Учитываем, что для схемы нагружения (рис. 9.6) значения входящих в формулу величин следующие: Р = 0 кн; qy q =0 кн/м; Y A= 9,6 кн; Y D =,6 кн; Piy = Y A = 9,6 кн для А 0,4 м; Piy = YA P для С = 0,9 м; Piy = YA P YD для D =,4 м; n = 0; k A ; М =,6 м; i 0 (так как неравенство описывает координаты за пределами балки). Тогда имеем: ( q)( 0), 0 A, YA ( q)( 0) ( q)( A), A C, Qy YA P( q)( 0) ( q)( A), C D, YA PYD ( q)( 0) ( q)( A), D, f. 53

154 ( q)( 0) /, 0 A, YA( A) ( q)( 0) / ( q)( A) /, A C, Y P q q YA( A) P( C) YD( D) ( q)( 0) / ( q)( A) /, D. A( A) ( C) ( )( 0) / ( )( A) /, C D, Учитывая значения входящих в формулы величин, определим поперечную силу Q в начале и в конце каждого участка: y на участке (0 A ) Qy q, Qy 0 при 0; Qy 0 0,4 = 8 кн при A ; на участке ( A C ) Qy YA qq( A) YA qa, Qy 9,6 0 0,4 =,6 кн при A и при C ; на участке ( C D ) Qy YA Pqq( A) YA P qa, Qy 9, ,4 =,6 кн при C и D ; на участке ( D ) Qy YA PYD qq( A) YA PYD qa, Qy 9,6 0,6 0 0,4 = 0 при D и. По полученным значениям Q y построим эпюру поперечной силы в поперечных сечениях стержня (рис. 9.7). Рис Расчетная схема стержня и эпюра поперечной силы Q y Заметим, что в сечениях, где приложены сосредоточенные силы, эпюра Q y имеет разрывы на величину этих сил. Причем, если проекция сосредоточенной силы Р на ось у положительна, разрыв на эпюре Q y происходит в направлении увеличения поперечной силы. Если проекция сосредоточенной силы Р на ось у отрицательна, разрыв на эпюре Q y происходит в направлении уменьшения поперечной силы. На -м участке стержня, где приложены распределенные силы постоянной интенсивности q, поперечная сила изменяется по линейному 54

155 закону. На тех участках, где распределенные силы отсутствуют, поперечная сила сохраняет постоянное значение во всех сечениях этого участка. Для определения изгибающего момента в поперечных сечениях воспользуемся приведенными выше формулами: 0 при 0; на участке (0 ) A q /, 0 0, / = 0,4 кнм при / 0 0,4 / =,6 кнм при A ; A ; на участке ( A C ) Y ( ) q / q( ) / Y ( ) q q /, A A A A A A A ; 0 0,4 / =,6 кн при A ; 9,6 0,5 0 0,9 0,4 0 0,4 / = 9, кнм при C на участке ( C D ) Y P q q A( A) ( C) / ( A) / = Y ( ) P( ) q q /, A A C A A 9,6 0,5 0 0,9 0,4 0 0,4 / = 9, кнм при C ; 9,600,50,40,40 0,4 /= 0 кнм D на участке ( D ) ; Y P Y q q A( A) ( C) D( D) / ( A) / = Y ( ) P( ) Y ( ) q q /, A A C D D A A 9,600,50,40,40 0,4 /= 0 кнм при D 9,6, 0 0,7,6 0, 0,4 0,4 0 0,4 / = = 0 кнм при. ; По полученным значениям построим эпюру изгибающего момента в поперечных сечениях стержня (рис. 9.8). Эпюра поперечной силы Q y построена ранее (рис. 9.7) и воспроизведена на рисунке 9.8. На рисунке 9.8 представлены два варианта построения эпюры изгибающего момента в поперечных сечениях стержня. В первом варианте при построении эпюры положительные значения откладываются в верхней полуплоскости, а отрицательные значения в нижней полуплоскости от продольной оси х. 55

156 Рис Расчетная схема, эпюры поперечной силы Q y и изгибающего момента Во втором варианте при построении эпюры положительные значения откладываются в нижней полуплоскости, а отрицательные значения в верхней полуплоскости от продольной оси х. Первый вариант построения эпюры принят при оформлении расчетов для машиностроительного направления, второй вариант для строительного направления. 9.. Напряжения и деформации при чистом изгибе Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, а Q = 0. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент остается постоянным ( = const). Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые из них показаны на рис Под действием моментов стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, при чистом изгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окружности. 56

157 Рис Схемы нагружения бруса, испытывающего чистый изгиб Все сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются вокруг оси, лежащей в плоскости поперечного сечения и перпендикулярной плоскости изгиба. Это утверждение в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений. Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 9.0). Рис Схема поворота поперечных сечений бруса при чистом изгибе Рассмотрим два смежных сечения, расположенных один от другого на расстоянии dх (рис. 9.). Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол d верхние слои укоротятся, а нижние удлинятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком CD. 57

158 Рис. 9.. Схема деформирования элементарного участка стержня при чистом изгибе В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: d dх. (9.7) Произвольно взятый отрезок АВ = dх (рис. 9.) получит приращение длины А'В' АВ. Так как сечения остаются плоскими, то А'В' АВ = ( у) d d y d, где у координаты точек отрезка АВ, модуль которых определяет расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтрального слоя CD. Положение этого слоя пока неизвестно. Относительное удлинение слоя АВ равно у d y. (9.8) dх По закону Гука у Е Е. (9.9) Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию = 0, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. 58

159 Установим связь напряжения с внутренними силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении стержня при чистом изгибе. Сумма элементарных сил dа (рис. 9.) определяет значение нормальной силы N в поперечном сечении. Но при чистом изгибе N = 0. Рис. 9.. Схема действия нормального напряжения на элементарной площадке da Поэтому N = Интеграл dа = 0 или, с учетом (9.9), А E N = ydа = 0, откуда ydа = 0. А А ydа представляет собой статический момент сечения А относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата у в выражении (9.9) отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Кривизна / представляет собой кривизну нейтрального слоя или кривизну продольной оси стержня. Рассмотрим положение системы осей, y,, связанных с поперечным сечением (рис. 9.). Начало координат совместим с центром тяжести сечения. Ось х направим по нормали к сечению, а ось по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси х, следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны. Это так называемая подвижная система осей, положение которой меняется в пространстве при переходе от одного сечения к другому. Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, как и нормальная сила, может быть выражен через напряжения : da y, yda A A. Ограничимся случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны. При указанном условии момент элементарных сил da относительно оси у равен нулю, а относительно оси полному 59

160 изгибающему моменту М. Тогда, учитывая, что из (9.9) получаем где J E y da = 0, A A у Е, E y dа EJ = = М, (9.0) y dа момент инерции сечения относительно главной цен- A тральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Первый интеграл y da определяет центробежный момент инерции: A y da Jy 0. A Это значит, что оси y и являются главными центральными осями инерции сечения. Изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом. Из выражений (9.0) получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: EJ. (9.) Величина Е J называется жесткостью стержня при изгибе. Возвращаясь к формуле (9.9) и исключая из нее кривизну /, получаем выражение для напряжения : у. (9.) J Нормальные напряжения пропорциональны координате y. Максимальное по модулю напряжение ma при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 9.3). Рис Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения 60

161 Отношение J / y ma называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через W (измеряется в см 3 или мм 3 ) W = J / y ma. (9.3) Таким образом, ma, (9.4) W где модуль изгибающего момента. Эта формула является основной в расчетах на прочность при изгибе. Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h 3 bh h bh J, yma, W =. (9.5) 6 Для стержня круглого сечения 4 3 D D D J, yma, W =. (9.6) 64 3 Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления W. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили. При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений. Момент сопротивления W стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и дается в соответствующих таблицах. Поэтому при расчете балки на прочность отпадает необходимость производить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления поперечных сечений Потенциальная энергия упругой деформации при чистом изгибе Энергия упругих деформаций стержня при изгибе на элементарном участке d определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении d двух поперечных сечений, расположенных на расстоянии d друг от друга: d du d, d = d EJ. 6

162 Суммируя энергию элементарных участков du по всей длине стержня l, получим U du d. (9.7) EJ l 9.4. Определение напряжений при поперечном изгибе l При чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. Таким образом, в пределах указанных пренебрежений формулы (9.) и (9.4), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (9.), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента. При поперечном изгибе стержня в различных точках поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 9.4, а). а) б) в) Рис Схема действия нормальных и касательных напряжений 6

163 Нормальные напряжения в некоторой точке К (рис. 9.4, б) поперечного сечения при изгибе стержня в плоскости y- определяются по формуле y, (9.8) J где М изгибающий момент в поперечном сечении; J момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси сечения; y координата точки. Знак минус указывает на то, что при положительном > 0 в точках сечения с координатой y > 0 возникают нормальные напряжения сжатия. Нормальные напряжения распределены по высоте поперечного сечения по линейному закону (рис. 9.4, в). Максимального по модулю значения нормальные напряжения достигают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от оси, совпадающей с нейтральной линией сечения, ma y ma, (9.9) J ma где y ma координата точек, наиболее удаленных от оси. J Если обозначить отношение W, где W осевой момент сопро- y тивления поперечного сечения при изгибе, то ma. (9.0) W Касательные напряжения в точке поперечного сечения с координатой у при поперечном изгибе определяются по формуле Журавского: * QS y, (9.) J b * где S статический момент относительно оси той части поперечного сечения, которая расположена выше отрезка b, проходящего через точки сечения с координатой y и параллельного оси (рис. 9.5, а). * Заметим, что S и b в формуле (9.) зависят от координаты y. Касательные напряжения распределены по высоте поперечного сечения по нелинейному закону (рис. 9.5, б). Максимального значения касательные напряжения достигают в тех точках поперечного сечения, где отношение * S /b = ma. Как правило, эти точки расположены либо на оси, либо вблизи ее. 63

164 а) б) Рис Распределения касательных напряжений в зависимости от координаты y 3 Q Для прямоугольного поперечного сечения ma, для круглого A 4 Q сечения ma, где А площадь поперечного сечения. 3 A Рассмотрим для прямоугольного поперечного сечения отношение 3 Q 3 Q bh ma A bh ma bh Qh, Abh, W,, ma / W 6 ma 6 4 где b основание прямоугольника, параллельное оси ; h высота. Для любого стержня при поперечном изгибе под действием силы Р поперечная сила Q в любом сечении не превышает значение Р, т. е. Q P. Изгибающий момент М в опасном сечении, например, для консольной балки может достигнуть значения Pl, т. е. Pl, где l длина стержня. При Q = P и = Pl для прямоугольного сечения отношение h ma / ma. Так как h/l, как правило, много меньше единицы, то отношение ma 4 l / ma. Вследствие этого расчет на прочность при поперечном изгибе длинных стержней производится, как правило, с учетом лишь нормальных напряжений. Это тем более естественно, так как в точках сечения, наиболее удаленных от оси, где нормальные напряжения ma, касательные напряжения равны нулю. Таким образом, условие прочности при поперечном изгибе можно записать в виде неравенства: ma, (9.) W где [допускаемые напряжения для материала стержня; модуль изгибающего момента в опасном сечении. Опасным принимается то сечение стержня, где изгибающий момент по модулю достигает наибольшего значения. 64

165 9.5. Определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений стержня при изгибе Уравнение упругой линии Под действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей стержня (предположим, в плоскости у-х), при поперечном изгибе продольная ось стержня искривляется в той же плоскости. При этом точки продольной оси перемещаются, а поперечные сечения поворачиваются на некоторый угол (рис. 9.6). Рис Схема упругой линии стержня при его изгибе Перемещение точки продольной оси стержня по нормали к исходному положению оси до деформирования называется прогибом стержня в данном сечении. Обозначим прогиб стержня в сечении, имеющим координату х, как v = v(). Изогнутая продольная ось стержня называется упругой линией стержня. На рис. 9.6 показана изогнутая продольная ось стержня. При этом поперечное сечение стержня, положение которого определяется координатой х, повернуто относительно своего исходного положения на угол, а прогиб стержня в данном сечении составляет величину v(). Дифференциальное уравнение упругой линии Форму изогнутой продольной оси (или форму упругой линии) в системе координат v- можно определить, если учесть, что кривизна кривой равна v, (9.3) 3/ ( ( v) ) dv dv где радиус кривизны; v, v первая и вторая производные d d функции прогиба по х. С другой стороны, известно, что при поперечном изгибе E J, (9.4) 65

166 где Е модуль упругости -го рода материала стержня, J момент инерции поперечного сечения относительно оси. Приравнивая (9.3) и (9.4), получим 3./ v ( v) EJ. (9.5) Пренебрегая деформациями сдвига, можно считать, что угол поворота поперечного сечения равен углу между касательной m-m к изогнутой продольной оси стержня в этом сечении и направлением оси х (рис. 9.6). А это означает, что tg v. При малых величина tg. Тогда dv v, или. d (9.6) При малых перемещениях углы малы. Следовательно, малы v, а тем более малы ( v ). Тогда с весьма малой погрешностью можно пренебречь в (9.5) слагаемым ( v ) по сравнению с единицей и уравнение (9.5) примет вид v. (9.7) E J Данное уравнение основное дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Решив его, можем найти прогиб стержня v в интересующем нас сечении, а также угол поворота этого сечения. Представим уравнение (9.7) в виде dv, или dv d. (9.8) d E J EJ v Интегрируя (9.8) как dv d, получим EJ v0 0 v v 0 d EJ, (9.9) 0 где v 0 0 значение угла поворота поперечного сечения в начальном поперечном сечении стержня; х 0 координата начального поперечного сечения. Так как v, то уравнение (9.9) представим в виде 0 d. (9.30) EJ 0 Для определения прогиба представим уравнение (9.6) в виде dv d или dv d. (9.3) 66

167 Интегрируя (9.3) как v v dv d, получим vv d, (9.3) где v 0 прогиб продольной оси в начальном поперечном сечении Метод начальных параметров при расчете прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня Интегрирование дифференциального уравнения упругой линии (9.7) привело к выражениям (9.30) и (9.3), определяющим угол поворота и прогиб v в поперечном сечении стержня, положение которого определяется координатой х: 0 d, v v0 0( 0) ( d) d EJ. EJ Тогда I Обозначим d = I ( ) EJ 0 0, 0 I ( ) ( d ) d I ( ) d EJ = v( ), I. (9.33) v v ( ) I ( ). (9.34) Вычислим I ( ), используя для формулу (9.3). При EJ = const: ( ) = d = EJ i( i) Piy ( pi ) EJ!! 0 i Pi 3 3 qy( n) qy( k). 3! 3! n k (9.35) Вычислим I v (), учитывая, что из (9.33) I v ()= v 0 I ( d ). Подставляя вместо I ( ) выражение (9.35) и вычисляя интеграл, получим 3 ( ) ( ) I v ()= i P i iy pi EJ! 3! i Pi 67

168 4 4 qy( n) qy( k). (9.36) 4! 4! n k Теперь можем перейти к определению угла поворота сечения и прогиба v: 0 I ( ), (9.37) vv ( ) I ( ). (9.38) Для решения уравнений (9.37) и (9.38) требуется определить начальные значения 0 и v 0. Для нахождения 0 и v 0 используем краевые условия. Если стержень закреплен консольно (рис. 9.7, а), то краевые условия определяют значения 0 = 0 и v 0 = 0. v а) б) Рис. 9.7.Схемы закрепления стержня в опорах Если стержень на шарнирных опорах (рис. 9.7, б), то краевые условия определяют равенство нулю прогиба в сечениях х = х А и х = х B, где установлены опоры (х A и х B координаты опор по оси х): v(х A ) = 0, v(х B ) = 0. (9.39) По формуле (9.38) v(х A ) = v (х A х 0 )+ I v ( A ), v(х B ) = v (х B х 0 )+ I v ( B ), где I v ( A ), I v ( B ) значения I v () по формуле (9.36) при х = х A и х = х B. Учитывая краевые условия (9.39), имеем по формуле (9.38) при х = х A и х = х B v (х A х 0 )+ I v ( A ) = 0, v 0 + 0(х B х 0 ) + I v ( B ) = 0. (9.40) Вычитая первое уравнение из второго, получим Iv( А) Iv( B) 0. (9.4) B А Подставляя (9.4) в любое из уравнений (9.40), например, в первое, находим Iv( B) Iv( А) Iv( B) А Iv( А) B v0 А Iv( А) =. (9.4) B А B А После определения 0 и v 0 по формулам (9.4) и (9.4) можно переходить к расчету и v по формулам (9.37) и (9.38) в любом поперечном сечении стержня. 68

169 Пример расчета прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня с использованием метода начальных параметров Стальная балка (двутавр 4) нагружена силой Р, моментом пары сил М и распределенными силами интенсивностью q (рис. 9.8). Определить угол поворота поперечного сечения и прогиб v в сечении х = х c, где приложена сила Р. Параметры нагружения и размеры стержня соответствуют приведенным ранее данным: Р = 0 кн, q = 0 кн/м, М = 0 кн. м; х А = 0,4 м; c = 0,9 м; х D =,4 м. Модуль упругости материала Е = 0 Па, а момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси J = 57 см 4 (в единицах СИ J = м 4 ). Рис Расчетная схема нагружения стержня Решение: Угол поворота поперечного сечения и прогиб стержня v в любом сечении, положение которого определяется координатой х, можно вычислить по формулам (9.34): 0 I ( ) v v ( ) I ( )., Для схемы нагружения стержня (рис. 9.8) из (9.35) и (9.36) следует, что 3 3 q q ( A) YA( A) I ( ) EJ A A v P ( ) Y ( ) p D D p D, (9.43) v q q ( A) YA( A) EJ I ( ) 3 3 P ( p ) YD( D). 6 6 p При выполнении числового расчета в единицах СИ учитываем, что кн = 0 3 Н. Далее необходимо найти значения I v () при х = х A и х = D, (х A, D координаты шарнирных опор). При определении I v (х A ) учитываем лишь A D A 69

170 первое слагаемое во второй формуле (9.43) при х = х А, так как все другие слагаемые учитываются лишь при х х. Тогда А 4 qa ,4,33 I v (х A ) =. EJ 4 EJ 4 EJ При определении I v ( D ) во второй формуле (9.43) учитываем уже все слагаемые, кроме последнего при х = х D, так как последнее слагаемое 3 Y ( ) /6 учитывается лишь при х хd. При этом примем во D D D внимание, что для данной схемы нагружения ранее определены реакции в опорах А и В: Y A = 9,6 кн; Y B =,6 кн. В этом случае = qd q( D A) YA( D A) P( D P) Iv( D) EJ = 0 0,4 0 (,4 0, 4) 9,6 (,4 0,4) 0 (,4 0,9) EJ = 48,66. EJ Определив I v (х A ) и I v (х D ), находим 0 и v 0 : v 0 = 0 Iv( A) Iv( D) D I ( ) I ( ) v D A v A D D A A = =,33 48,66 70,, 4 0, 4 EJ 48,66 0,4,33,4 889,., 4 0, 4 EJ = Определим угол поворота поперечного сечения и прогиб v при х = х с : ( c ) 0 I ( c ) v ( c) v c Iv( c)., 0 0 Значения I ( c ) и I v ( c ) вычислим по формуле (9.43) при х = х с. При определении I ( c ) и I v ( c ) по формулам (9.43) учитываем только первые три слагаемых, так последние два слагаемых следует принимать во внимание лишь при х х : I ( c ) = С q q( ) Y ( ) EJ c c A A c A = ,9 0 (0,9 0,4) 9,6 (0,9 0,4) 686,66 = EJ 6 6. EJ 70

171 qc q( c A) YA( c A) Iv( c) = EJ = ,9 0 (0,9 0,4) 9,6 (0,9 0,4) = EJ EJ. Подставляя найденные значения 0, v 0, I ( c ), Iv( c) в формулы (9.34), вычислим угол поворота и прогиб v при х = х с : ( c ) 0 I ( c ) = ,66 483,34, EJ EJ v ( ) v I ( ) = c 0 0 c v c 889, ( 70 0,9) 94,8. EJ EJ Для рассматриваемой задачи Е = 0 Па, а момент инерции поперечного сечения относительно оси составляет J = 57 см 4 (в единицах СИ J = м 4 ). Тогда v ( c) 483,34 ( c ) ,8 0, ,4 0 3 рад, 3 м = 0,83 мм. Изложенная процедура определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений особенно эффективна, когда необходимо их определение в нескольких точках продольной оси стержня. Связано это с тем, что по самой процедуре всегда определяются значения 0, v 0 в начальной точке. Далее по краевым условиям прогиб в точках, где расположены опоры, уже известен и равен нулю. Поэтому, если вычислить по формулам (9.35) и (9.36) значения I ( ) и Iv( ) еще для нескольких точек продольной оси, то расчет и v по формулам (9.37) и (9.38) не представляет какой-либо трудности. Если же постановка задачи требует определения и v в конкретной точке продольной оси, а информация об этих перемещениях в других точках продольной оси нас не интересует, могут быть использованы другие процедуры расчета, в частности, расчет линейных и угловых перемещений поперечных сечений стержня на основе вычисления интеграла Мора. 7

172 Расчет прогиба и угла поворота поперечного сечения стержня на основе вычисления интеграла Мора Определение прогиба стержня на основе вычисления интеграла Мора Прогиб поперечного сечения в заданной точке продольной оси стержня (например, в точке С, рис. 9.9, а), может быть определен путем интегрирования по длине стержня произведения функций p vс d, (9.44) EJ l где М P М функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия внешней силы Р и реакций опор Y A и Y В при изгибе в плоскости y- (рис. 9.9, а, б); М функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия безразмерной единичной силы, приложенной в точке С, и реакций опор Y A и Y В (рис. 9.9, в, г); J момент инерции поперечного сечения относительно его главной центральной оси, перпендикулярной плоскости нагружения (при изгибе в плоскости y- момент инерции поперечного сечения относительно его главной центральной оси J J ). а) Расчетная схема балки при действии силы Р в) Расчетная схема балки при действии единичной силы б) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B г) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B Рис Схемы для расчета изгибающих моментов в поперечных сечениях балки, нагруженной силой Р (схемы а, б) и единичной силой (схемы в, г) Рассмотрим вывод формулы (9.44) на примере нагружения балки АВ. Приложим в сечении С вначале силу P = Н (рис. 9.0, а). а) Cхема нагружения балки единичной силой б) Cхема нагружения балки внешней силой Р Рис Схемы нагружения балки единичной силой и внешней силой Р 7

173 Под действием единичной силы P в поперечных сечениях балки возникнут поперечные силы Q и изгибающие моменты М. Если теперь к балке приложить внешнюю силу Р, то прогиб балки в сечении С от действия силы Р составит величину v с (рис. 9.0, б). Работа внешней единичной силы P на перемещении v с равна произведению силы на перемещение: e A P vc. (9.45) Из теоремы об изменении кинетической энергии механической системы следует, что e i T T A A, 0 где T T0 изменение кинетической энергии балки от действия единичной i силы; A сумма работ внутренних сил, появившихся в поперечных сечениях при приложении к балке единичной силы. Так как процесс статический, то T T0 = 0 и сумма работ внешней единичной силы и внутренних сил равна нулю: e i A A = 0. (9.46) Поскольку направления внутренних упругих сил противоположны перемещениям (на которых они совершают работу), вызываемым внешними силами, то работа внутренних сил всегда отрицательна. Пренебрегая работой поперечных сил Q по сравнению с работой изгибающих моментов М в поперечных сечениях, можем записать, что i A d, (9.47) l где угол поворота поперечного сечения балки от внешней силы Р, l длина балки. Из формулы (9.30) 0 d, d EJ EJ 0 d, (9.48) где = р изгибающий момент в поперечных сечениях балки от внешней силы Р. Равенство (9.47) с учетом (9.48) можно представить как рм i A d EJ. (9.49) Равенство (9.46) с учетом (9.45) и (9.49) представим в виде рм P vc d = 0. (9.50) EJ Изгибающий момент М от действия единичной силы P равен l l 73

174 М = P, (9.5) где изгибающий момент от действия безразмерной единичной силы. Равенство (9.50) с учетом (9.5) примет вид: рм P vc Р d = 0. EJ Сокращая на P, получим формулу для определения v c : рм v c d рм = 0, v c = d EJ. EJ Функция p l l уже, как правило, может быть найдена на предыдущих этапах расчета при определении внутренних силовых факторов. Если, например, обратиться к расчетным схемам (рис. 9.9, б), то изгибающий момент М равен P p YA Pb/( ab), 0 a, YB ( b) Pa( b)/( ab), 0 b, где YA Pb/( a b), YB Pa/ ( a b) реакции в опорах А и В от действия силы Р, приложенной в точке С (рис. 9.9, б). Изгибающий момент М в поперечных сечениях стержня от действия безразмерной единичной силы, приложенной в точке С (рис. 9.9, г), равен Y A b/( ab), 0 a, YB ( b ) a( b )/( a b), 0 b, где Y A b/( a b), Y B a/( a b) ; Y A и Y B реакции в опорах А и В от действия безразмерной единичной силы, приложенной в точке С. Определение угла поворота поперечного сечения стержня на основе вычисления интеграла Мора Угол поворота поперечного сечения в заданной точке продольной оси стержня (например, в точке С, рис. 9., а), может быть определен путем интегрирования по длине стержня произведения функций l p m с d, (9.5) EJ l где p функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия внешней силы Р и реакций опор Y A и Y В при изгибе в плоскости y- (рис. 9., а, б); М m функция изгибающего момента в поперечных 74

175 сечениях стержня от действия безразмерного единичного момента, приложенного в сечении С, и реакций опор Y A и Y В (рис. 9., в, г). Рассмотрим вывод формулы (9.5) на примере нагружения балки АВ. Приложим в сечении С единичный момент М = Нм (рис. 9., а). Под действием единичного момента М в поперечных сечениях балки возникнут поперечные силы Q m и изгибающие моменты М m. Если теперь к балке приложить внешнюю силу Р, то угол поворота поперечного сечения балки в сечении С от действия силы Р составит величину с (рис. 9., б). а) Расчетная схема балки при действии силы Р в) Расчетная схема балки при действии единичного момента б) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B г) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B Рис. 9.. Схемы для расчета изгибающих моментов в поперечных сечениях балки, нагруженной силой Р (схемы а, б) и единичным моментом (схемы в, г) а) Cхема нагружения балки единичной силой б) Cхема нагружения балки внешней силой Р Рис. 9.. Схемы нагружения балки единичным моментом и внешней силой Р Работа внешнего единичного момента М на угловом перемещении с равна произведению момента на угол поворота: e A М c. (9.53) Из теоремы об изменении кинетической энергии механической системы следует, что e i T T A A, 0 75

176 где T T0 изменение кинетической энергии балки от действия единичной i силы; A сумма работ внутренних сил, появившихся в поперечных сечениях при приложении к балке единичного момента. Так как процесс статический, то T T0 = 0 и сумма работ внешнего единичного момента и внутренних сил равна нулю: e i A A = 0. (9.54) Поскольку направления внутренних упругих сил противоположны перемещениям (на которых они совершают работу), вызываемым внешними силами, то работа внутренних сил всегда отрицательна. Пренебрегая работой поперечных сил Q m по сравнению с работой изгибающих моментов М m в поперечных сечениях, можем записать, что i A d m, (9.55) l где угол поворота поперечного сечения балки от внешней силы Р, l длина балки. Из формулы (9.30) 0 d, d EJ EJ 0 d, (9.56) где = р изгибающий момент в поперечных сечениях балки от внешней силы Р. Равенство (9.55) с учетом (9.56) можно представить как рм i m A d EJ. (9.57) Равенство (9.54) с учетом (9.53) и (9.57) представим в виде рм m c d = 0. (9.58) EJ l Изгибающий момент М m от действия единичного момента М равен М m = m, (9.59) где m изгибающий момент в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного момента. Равенство (9.58) с учетом (9.59) примет вид: рм m c М d = 0. (9.60) EJ l Сокращая на М, получим формулу для определения c : рм m c d рм m = 0, c = d EJ = 0. (9.6) EJ l l 76 l

177 Функция p уже, как правило, может быть найдена на предыдущих этапах расчета при определении внутренних силовых факторов. Если, например, обратиться к расчетной схеме (рис. 9., б), то изгибающий момент М равен P p YA Pb/( ab), 0 a, YB ( b) Pa( b)/( ab), 0 b, где YA Pb/( a b), YB Pa/ ( a b). Изгибающий момент М m в поперечных сечениях стержня от действия единичного момента, приложенного в сечении С (рис. 9., г), равен m Y b /( ab), 0 a, Y ( b ) a( b )/( a b), 0 b, A B где Y A b/( a b), Y B a/ ( a b) ; Y A и Y B реакции в опорах А и В от действия единичной силы, приложенной в точке С (рис. 9., г). После того как функции p, М и М m определены, можно приступать к вычислению интегралов (9.44) и (9.5) для определения прогиба стержня v C в этом сечении и угла поворота С заданного поперечного сечения. Нахождение интегралов после перемножения соответствующих функций может превратиться в утомительную процедуру, особенно, если число участков стержня значительно. Известны способы вычисления этих интегралов по алгебраическим формулам, если стержень состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью. Способ Верещагина Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными. Положим, на участке длиной l (рис. 9.3) нужно взять интеграл от произведения двух функций f( ) f( ) l ( ) ( ) (9.6) 0 J f f d при условии, что по крайней мере одна из этих функций линейная. Пусть линейной является функция f ( ) b k. 77

178 Рис Схема вычисления интеграла от произведения двух функций f ) f ( ) Тогда выражение (9.6) примет вид: l. J b f ( ) dk f ( ) d 0 0 l ( Первый из интегралов представляет собой площадь (рис. 9.3), ограниченную кривой f ( ), или площадь эпюры f ( ): l f( d ) A f. 0 Второй интеграл представляет собой статический момент этой площади относительно оси ординат: l f ( ) d A f c, 0 где х с координата центра тяжести первой эпюры. В результате получим J A ( ) f bk c. Учитываем, что b k ( ) c f c. Тогда J A ( ) f f c. (9.63) Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой. В случае, если обе функции f (х) и f (х) линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой. Встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, тре- 78

179 p угольник и параболический треугольник для которых величина площади A f и положение центра тяжести х с известны. В табл. 9. приведены характерные фигуры, из которых может быть представлена эпюра на рассматриваемом участке, площади этой фигуры и положение центра тяжести этой фигуры относительно начала рассматриваемого участка: l i длина i-го участка, H i ордината эпюры p в начале i-го участка, h i ордината эпюры p в конце i-го участка. Таблица 9. Вид фигуры Фигура Площадь A i, центр тяжести l ci A i = l i H i, Прямоугольник l ci = l i / Треугольник A i = l H, i i l ci = l i / 3 Квадратичная парабола A i = l H, 3 i i l ci = 3 8 l i Трапеция A i = l ci = Hi hi li, Hi hi 3( H h) i i l i Для стержня с прямолинейными участками одна из подынтегральных функций в формулах (9.44) и (9.5) всегда будет линейная (эта функция М или М ). Тогда m n v A, i с A i m ci с ci i EJ i i n EJ, (9.64) i i i 79

180 где i,,..., n порядковый номер участка стержня; A i площадь эпюры изгибающего момента на i-м участке, сi координата центра тя- p жести площади эпюры p ci значение функции при ci ; m ci значение функции m при ci ; n число участков; EiJ i изгибная жесткость поперечных сечений на i-м участке. Если изгибная жесткость по длине стержня не меняется, то n v A EJ на i-м участке;, i с A i m ci с m ci i n EJ. (9.65) p Трудоемкость расчета по способу Верещагина связана, в основном, с вычислением площади эпюры на участке стержня и определении положения центра тяжести ci эпюры p на рассматриваемом i-м участке. Рассмотрим последовательность расчета с и v с по способу Верещагина на конкретном примере. Пример расчета Балка с длиной пролета l нагружена силой Р в точке С (рис. 9.4, а). Определить прогиб и угол поворота поперечного сечения стержня в сечении, где приложена сила Р. c Решение: По формуле (9.65) прогиб стержня в точке С равен vс A c A c EJ, (9.66) где A площадь эпюры изгибающего момента p на -м участке, координата центра тяжести площади эпюры p на -м участке; С C значение функции при -м участке; С ; i A М площадь эпюры p на С координата центра тяжести площади эпюры p на -м участке; C значение функции при С. Если обратиться к расчетной схеме (рис. 9.4, б), то изгибающий момент М P М равен YA Pb /( ab), 0 a, p YB ( b) Pa( b)/( ab), 0 b. 80

181 а) Расчетная схема балки при действии силы Р г) Расчетная схема балки при действии единичной силы б) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B д) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B в) Эпюра изгибающего момента М р е) Эпюра изгибающего момента М от действия единичной силы Рис Схема расчета прогиба балки в точке С на основе вычисления интеграла Мора по способу Верещагина Эпюра изгибающего момента p представлена на рис. 9.4, в. На -м Pbа участке эпюра p треугольник с основанием а и высотой Y A а a b. Площадь этого треугольника Pb AМ Y A a a. a b Координата центра тяжести этого треугольника С а. 3 На -м участке эпюра p треугольник с основанием b и высотой Pbа Y A а a b. Площадь этого треугольника Pb AМ Y A ab ab. a b Координата центра тяжести этого треугольника С b /3 (отсчет от начала -го участка). Если обратиться к расчетной схеме (рис. 9.4, д), то изгибающий момент М в поперечных сечениях стержня от действия безразмерной единичной силы, приложенной в точке С, равен 8

182 Y b /( ab), 0 a, A B Y ( b ) a( b )/( a b), 0 b. Эпюра изгибающего момента представлена на рис. 9.4, е. На -м участке эпюра М треугольник с основанием а, ординаты которого изменяются как b х Y A х. a b ab Ордината М в сечении х С а равна C Y A a a b. На -м участке эпюра М треугольник с основанием b, ординаты которого изменяются как ( ) ab ( ) Y B b. a b Ордината М в сечении х С b/3 равна ab C 3 a b. Тогда, учитывая, что Pb ab AМ Y A a a, C a b 3 a b, Pb ab AМ ab, C a b 3 a b, получим из формулы (9.66) величину прогиба балки в точке С при нагружении балки силой Р (рис. 9.4, а) Pb ab Pb ab P a b vс a ab. (9.67) EJ ab 3 ab ab 3 ab 3EJ ab Рассмотрим вновь схему нагружения балки, представленную на рисунке 9.5, а. По формуле (9.65) угол поворота С поперечного сечения в точке С равен с A m c A m c EJ, (9.68) где A площадь эпюры изгибающего момента p на -м участке, С координата центра тяжести площади эпюры m C значение функции m при на -м участке; С ; p на -м участке; A М площадь эпюры p С координата центра тяжести площади эпюры p на - м участке; m C значение функции m при С. 8

183 а) Расчетная схема балки при действии силы Р г) Расчетная схема балки при действии единичного момента б) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B д) Расчетная схема балки с опорными реакциями Y A и Y B в) Эпюра изгибающего момента М р е) Эпюра изгибающего момента М m от действия единичного момента Рис Схема расчета угла поворота поперечного сечения балки в точке С на основе вычисления интеграла Мора по способу Верещагина Если обратиться к расчетной схеме (рис. 9.5, б), то изгибающий момент М P М равен: YA Pb /( ab), 0 a, p YB ( b) Pa( b)/( ab), 0 b. Эпюра изгибающего момента p представлена на рис. 9.5, в. На -м Pbа участке эпюра p треугольник с основанием а и высотой Y A а a b. Площадь этого треугольника Pb AМ Y A a a. a b Координата центра тяжести этого треугольника С а. 3 На -м участке эпюра p треугольник с основанием b и высотой Pbа Y A а a b. Площадь этого треугольника 83

184 Pb AМ Y A ab ab. a b Координата центра тяжести этого треугольника b /3 (отсчет от начала -го участка). Если обратиться к расчетной схеме (рис. 9.5, д), то изгибающий момент М m в поперечных сечениях стержня от действия безразмерного единичного момента, приложенного в точке С, равен m Y A /( ab), 0 a, Y( b ) ( b )/( a b), 0 b, B где Y A /( a b), Y B /( a b) Эпюра изгибающего момента представлена на рис. 9.5, е. На -м участке эпюра М m треугольник с основанием а, ординаты которого изменяются как х Y A х. a b Ордината М m в сечении х С а равна 3 a C Y A a 3 3 a b. На -м участке эпюра М m треугольник с основанием b, ординаты которого изменяются как М m = Y ( ) ( )/( ) B b b a b. Ордината М m в сечении х С b/3 равна b mc Y B b 3 3 a b. Тогда, учитывая, что Pb a AМ Y A a a, mc a b 3 a b, Pb b AМ ab, mc a b 3 a b, получим из формулы (9.68) величину угла поворота поперечного сечения балки в точке С при нагружении балки силой Р (рис. 9.5, а) Pb a Pb b Pab a b EJ ab 3 ab ab 3 ab 3EJ ab с a ab С. (9.69) 84

185 Способ вычисления интеграла Мора на основе метода параболического интерполирования Известна формула вычисления определенного интеграла, основанная на параболическом интерполировании подынтегральной функции, в соответствии с которой вычисление интегралов Мора по формулам (9.44) и (9.5) можно представить как n p li vc d pн н 4 pc c pк к,(9.70) i i i EJ E J 6 i i i l i i i l 4 n p m i C d pн mн i pc mc i pк mк i EJ 6 i i i l i EiJ i где pн, pc, pк эпюры i i i, (9.7) значения изгибающих моментов на i-м участке в начале, середине и в конце i-го участка длиной l i ; н, c, к p значения изгибающих моментов на i-м участке i i i эпюры соответственно в начале, середине и в конце i-го участка;,, значения изгибающих моментов на i-м участке mн mc mк i i i эпюры m в начале, середине и в конце i-го участка; n число участков. Формулы (9.70) и (9.7) удобны тем, что они универсальны, легко алгоритмизируются. Рассмотрим конкретный пример. Пример расчета Определить прогиб и угол поворота поперечного сечения стержня (рис. 9.6, а) в сечении C, где приложена сила P. Решение. Для рассматриваемой схемы нагружения эпюры изгибающих моментов p, и уже определены: p m m YA Pb/( ab), 0 a, YB ( b) Pa( b)/( ab), 0 b, Y Pb/( a b), Y Pa/ ( a b), A Y b /( ab), 0 a, A B Y ( b ) a( b )/( a b), 0 b. Y b/( a b), Y a/ ( a b), A Y A /( ab), 0 a, Y( b ) ( b )/( a b), 0 b, B Y /( a b), Y / ( a b). A B B B 85

186 а) Расчетная схема б) Эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях стержня г) Эпюра изгибающего момента М р в поперечных сечениях стержня в) Эпюра изгибающего момента от действия единичной силы д) Эпюра изгибающего момента m от действия единичного момента Рис Расчетная схема балки и эпюры изгибающих моментов М р, и m Эти эпюры построены (рис. 9.4 и 9.5) и их можно воспроизвести на рисунке 9.6, обозначив на эпюрах ординаты в начале, середине и в конце каждого участка. Используя имеющиеся данные, можно записать для участков: для -го участка i = Y A, 0 a, p YB ( b ), 0 b, pн 0,,, pс P b a b pк P a ab ab н 0,,, с b a b к a ab ab a m н 0,,, mс mк a ab ab для -го участка i = b b a pн P a,, 0, pc P pк ab ab b b mн,, 0, mc mк ab ab b b a н a,, 0 c к. ab ab 86

187 По формуле (9.70) с учетом, что длина -го участка l b, имеем EJ const, длина -го участка l a b a b a b ba vc 0 4 P P a EJ 6 ab ab ab ab b b ba b a b a P a 4 P 0 6 ab ab ab ab a Pa b Pa b b Pa b Pa b Pa b EJ 6 6 3EJ a b ab ab ab ab По формуле (9.7) с учетом, что длина -го участка l b, имеем EJ const, длина -го участка l a C pн mн 4 pc mc p к mк EJ 6 b pн mн 4 pc mc p к, 6 mк a vc pн 4 н pc c p к к EJ 6 b pн 4. н pc c p к к 6 Подставляя приведенные выше значения сомножителей, получим a b a a b a C 0 4P P a EJ 6 ab ab ab ab b b b b a b P a 4P 0 6 ab ab ab ab P a ba b b a Pab a b EJ b ab 6 ab 3EJ a b.. a, (9.7) a, (9.73) Обратим внимание, что формулы (9.7) и (9.73) такие же, как и формулы (9.67) и (9.69), хотя получены другим методом. Изложенный подход более универсален, не требует определения площадей эпюр на участках и координат центра тяжести этих площадей, легко алгоритмизируется. Итак, расчет стержня при поперечном изгибе, в зависимости от поставленных задач, предусматривает выполнение различных расчетных 87 p

188 процедур: определение опорных реакций, определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня, расчет на прочность, определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений в тех или иных точках продольной оси. Ранее были рассмотрены отдельные примеры таких расчетов. Все перечисленные расчетные процедуры объединены в одном примере, представленном ниже. Пример. Расчет стержня при поперечном изгибе Стальная балка нагружена сосредоточенной силой Р, парой сил М и равномерно распределенными силами интенсивностью q. Схема нагружения балки представлена на рисунке 9.7. Рис Расчетная схема балки Требуется:. Определить поперечную силу Q y и изгибающий момент при поперечном изгибе стержня (полагаем, что нагружение стержня происходит в плоскости y-) и построить эпюры Q и. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение, приняв значение допускаемых напряжений [ ] = 60 МПа. 3. Определить прогиб в точке С продольной оси и угол поворота поперечного сечения С. Исходные данные: a = 0,4 м; b = 0,5 м; c = 0,5 м; d = 0, м; P = 0 кн, М = 0 кн м, q = 0 кн/м. Силами тяжести пренебрегаем. Решение: Определение реакций опор Прежде чем приступать к определению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня (рис. 9.8, а), следует отбросить внешние связи (шарнирные опоры в сечениях А и D) и заменить их действие неизвестными реакциями связей (рис. 9.8, б). y. а) Схема нагружения стержня б) Расчетная схема с реакциями опор Рис Расчетные схемы стержня при изгибе стержня 88

189 Действие шарнирной опоры А на стержень следует заменить составляющими реакции Х A и Y A, действие шарнирной опоры D реакцией Y D. Далее необходимо определить значения этих реакций. Стержень находится в равновесии, и на него действует плоская система сил. Следовательно, можно использовать три уравнения статического равновесия, которые позволят определить три неизвестных Х A, Y A, и Y D. Для рассматриваемой расчетной схемы (рис. 9.8, б) целесообразно использовать следующие уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось х равна нулю: X i = 0, X A = 0; сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю: DPi 0, qa(a/ + b + c) Y A (b + c) + Pc + = 0, qa( a / b c) P c 8, 00,5 0 откуда Y A = = = 9,6 кh; b c 0,5 0,5 сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: APi 0, qa a / P b + Y D (b + c) + = 0, qa Pb откуда Y D = 0,6 0 = =,6 кh. b c 0,5 0,5 На данном этапе важно проверить решения, связанные с определением опорных реакций. Для этого используем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось y: Y i = 0, qa YA P YD = 8 + 9,6 0,6 = 0. Определение поперечной силы и изгибающего момента в поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе Расчетная схема стержня для определения поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях представлена на рисунке 9.9. Рис Расчетная схема с секущими плоскостями на участках Рассматриваемый стержень имеет четыре характерных участка. Границами этих участков (рис. 9.9) являются сечения, где приложены сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начало и конец распределенных сил, приложены реакции внешних связей: 89

190 -й участок 0 A, -й участок A C, 3-й участок C D, 4-й участок D, где A = а = 0,4 м; C = a + b = 0,9 м; D = a + b + с =,4 м; = a + b + с +d =,6 м координаты границ участков. Координаты точек приложения сил: B n 0 начала распределенной нагрузки q, A k координата конца распределенной нагрузки q, A a координата точки приложения реакции опоры Y A, D abc координата точки приложения реакции опоры Y D, Р C ab координата точки приложения силы Р, a b c d координата точки приложения момента пары сил М. Поперечные линии (рис. 9.9) на каждом участке (I, II, III, IV) условно показывают поперечное сечение, положение которого определяется координатой и для которого составляем выражения при определении поперечной силы Q и изгибающего момента. y Используем формулы (9.) и (9.3) и на каждом участке учитываем только те силы, которые действуют на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения: Q [( P ) q ( ) q ( ) ], y iy y n y k f pi n k = i i + P iy ( Pi ) Pi + q ( ) y n n qy( k), k f Учитываем, что для схемы нагружения (рис. 9.9) значения входящих в формулу величин следующие: Р = 0 кн; q q = 0 кн/м; Y A= 9,6 кн; P iy = YA P n = 0; k A Y D =,6 кн; Piy = A y Y = 9,6 кн для А 0,4 м; для С = 0,9 м; Piy = YA P YD для D =,4 м; ; М =,6 м; i 0 (так как неравенство описывает координаты за пределами балки). Тогда имеем: Q y ( q)( 0), 0 A, YA ( q)( 0) ( q)( A), A C, YA P( q)( 0) ( q)( A), C D, YA PYD ( q)( 0) ( q)( A), D, 90

191 ( q)( 0) /, 0 A, YA( A) ( q)( 0) / ( q)( A) /, A C, Y P q q YA( A) P( C) YD( D) ( q)( 0) / ( q)( A) /, D. A( A) ( C) ( )( 0) / ( )( A) /, C D, Учитывая значения входящих в формулы величин, определим поперечную силу в начале и в конце каждого участка: на участке (0 A ) Qy q, Qy 0 при 0; Qy 0 0,4 = 8 кн при A ; на участке ( A C ) Qy YA qq( A) YA qa, Qy 9,6 0 0,4 =,6 кн при A и при C ; на участке ( C D ) Qy YA Pqq( A) YA P qa, Qy 9, ,4 =,6 кн при C и D ; на участке ( D ) Qy YA PYD qq( A) YA PYD qa, Qy 9,6 0,6 0 0,4 = 0 при D и. По полученным значениям Q y построим эпюру поперечной силы в поперечных сечениях стержня (рис. 9.30). Рис Расчетная схема стержня и эпюра поперечной силы Q y Заметим, что в сечениях, где приложены сосредоточенные силы, эпюра Q y имеет разрывы на величину этих сил. Причем, если проекция сосредоточенной силы на ось у положительна, разрыв на эпюре Q y происходит в направлении увеличения поперечной силы. Если проекция сосредоточенной силы на ось у отрицательна, разрыв на эпюре Q y происходит в направлении уменьшения поперечной силы. На -м участке стержня, где приложены распределенные силы постоянной интенсивности q, поперечная сила изменяется по линейному 9

192 закону. На тех участках, где распределенные силы отсутствуют, поперечная сила сохраняет постоянное значение во всех сечениях этого участка. Для определения изгибающего момента в поперечных сечениях воспользуемся приведенными выше формулами: на участке (0 ) A q /, 0 при 0; 0 0, / = 0,4 кнм при A /; 0 0,4 / =,6 кнм при A ; на участке ( A C ) Y ( ) q / q( ) / Y ( ) q q /, A A A A A A A 0 0,4 / =,6 кн при A ; 9,6 0,5 0 0,9 0,4 0 0,4 / = 9, кнм при C ; на участке ( C D ) Y ( ) P( ) q / q( ) / A A C A = YA( A) P( C) qa qa /, 9,6 0,5 0 0,9 0,4 0 0,4 / = 9, кнм при C ; ; 9,600,50,40,40 0,4 /= 0 кнм D на участке ( D ) Y ( ) P( ) Y ( ) q / q( ) / A A C D D A = YA( A) P( C) YD( D) qa qa /, ; 9,600,50,40,40 0,4 /= 0 кнм при D 9,6, 0 0,7,6 0, 0,4 0,4 0 0,4 / = = 0 кнм при. По полученным значениям построим эпюру изгибающего момента в поперечных сечениях стержня (рис. 9.3). Эпюра поперечной силы Q y построена ранее (рис. 9.30) и воспроизведена на рисунке 9.3. На рисунке 9.3 представлены два варианта построения эпюры изгибающего момента в поперечных сечениях стержня. В первом варианте при построении эпюры положительные значения ординат откладываются в верхней полуплоскости, а отрицательные значения в нижней полуплоскости от продольной оси х. Во втором варианте при построении эпюры положительные значения ординат откладываются в нижней полуплоскости, а отрицательные значения в верхней полуплоскости от продольной оси х. 9

193 Рис Расчетная схема стержня, эпюры поперечной силы Q y и изгибающего момента Первый вариант построения эпюры принят при оформлении расчетов для машиностроительного направления, второй вариант для строительного направления. Определение напряжений при поперечном изгибе. Расчет на прочность Условие прочности при поперечном изгибе можно записать в виде неравенства: ma W, где [допускаемые напряжения для материала стержня; модуль изгибающего момента в опасном сечении. Опасным принимается то сечение стержня, где изгибающий момент по модулю достигает наибольшего значения. 3 В опасных сечениях изгибающий момент =0 кн м = 0 0 Н м. Из условия прочности следует W ,50 м = 3 6,5 см. 93

194 По справочным данным находим, что для двутаврового сечения ближайшее большее значение момента сопротивления W = 8,7 см 3 имеет двутавр 4. По тем же справочным данным можем найти основные геометрические характеристики двутавра: момент инерции сечения J = 57 см 4, площадь поперечного сечения А = 7,4 см. Определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений стержня при изгибе на основе вычисления интеграла Мора Для определения угла поворота поперечного сечения ( c ) и прогиба стержня v( c ) в сечении C используем формулы (9.70) и (9.7): где l n p m i C d pн mн i pc mc i pk mk i EJ 6 i i i l i EiJ i v p C p EJ l n d i E J i i l i 6 4, 4 pн i н функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия внешних сил, включая и реакции опор (при изгибе в плоскости y- М P М, см. рис. 9.3); М m функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия безразмерного единичного момента, приложенного в сечении С; М функция изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от действия безразмерной единичной силы, при-,, значения изгибающих моментов ложенной в точке С; pн i pc i pk i на i-м участке эпюры l i ; н i c i, k i p i pc в начале, середине и в конце i-го участка длиной, значения изгибающих моментов на i-м участке mн i mc i mk i эпюры соответственно в начале, середине и в конце i-го участка;,, значения изгибающих моментов на i-м участке эпюры m в начале, середине и конце i-го участка; n число участков стержня; J момент инерции поперечного сечения относительно его главной центральной оси, перпендикулярной плоскости нагружения (при изгибе в плоскости y- J J ). Функция найдена на предыдущих этапах расчета при определении p внутренних силовых факторов (можно воспользоваться данными эпюры на рис. 9.3): На -м участке ( pн ) = 0; ( pс ) = 0,4 кн м; ( pk ) =,6 кн м. На -м участке ( pн ) =,6 кн м; ( pс ) = 3,8 кн м; ( pk ) = 9, кн м. На 3-м участке ( pн ) 3 = 9, кн м; ( pс ) 3 = 9,6 кн м; ( pk ) 3 = 0 кн м. На 4-м участке ( pн) 4 = 0 кн м; ( pс) 4 = 0 кн м; ( pk ) 4 = 0 кн м. i c i pk i k i, 94

195 Функции М m, М необходимо найти, определяя эти изгибающие моменты при нагружении стержня в заданной точке вначале только безразмерным единичным моментом (рис. 9.3, а), затем только безразмерной единичной силой (рис. 9.3, б). а) б) Рис Схемы нагружения балки единичным моментом и единичной силой Процедура расчета требует в обоих случаях определения опорных реакций, а затем определения изгибающих моментов М m и М. Определим изгибающий момент m в поперечных сечениях стержня от действия безразмерного единичного момента, приложенного в сечении С (расчетная схема приведена на рис. 9.33, а). а) б) Рис Схемы нагружения балки единичным моментом Отбросим внешние связи (шарнирные опоры в сечениях А и D) и заменим их действие реакциями связей (рис. 9.33, б). Действие шарнирной опоры А на стержень следует заменить составляющими реакции X A и Y A. Действие шарнирной опоры D на стержень следует заменить реакцией Y D. Далее необходимо определить значения этих реакций. Стержень находится в равновесии и на него действует плоская система сил. Следовательно, можно использовать три уравнения статического равновесия, которые позволят определить три неизвестных X A, Y A и Y D. Для рассматриваемой расчетной схемы (рис. 9.33, б) целесообразно использовать следующие уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось х равна нулю: Х i = 0, X A = 0, сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю: D( Pj ) = 0, Y A (b + c) + = 0, откуда Y A = bc 0,5 0,5 95 =,0 м - ;

196 сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: М А( Pj ) = 0, + Y D (b + c) = 0, откуда Y D = b c =,0 м -. 0,5 0,5 Для определения изгибающего момента m в поперечных сечениях стержня от действия единичного момента воспользуемся уравнением (9.3). Расчетная схема стержня приведена на рисунке Рис Расчетная схема стержня при нагружении единичным моментом Используем формулу (9.3) и на каждом участке учитываем только те силы (это силы Y A, Y D и единичный момент), которые действуют на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения: i iy Pi, Pi m = P ( ) i Учитываем, что для схемы нагружения (рис. 9.34) значения входящих в формулу величин следующие: Y A=,0 м - ; Piy = Y A =,0 м - для А 0,4 м; Y D =,0 м - ; Piy = YA YD = 0 для D =,4 м; М = 0,9 м; i. Тогда имеем: на участке (0 A ) m = 0, m = 0 при 0; m = 0 при A ; на участке ( A C ) m YA( A), m = 0 при A ; (0,9 0,4) = 0,5 при C ; m на участке ( C D ) m YA( A), m (0,9 0,4) = 0,5 при C ; (,4 0,4) = 0 при D ; m на участке ( D ) m YA( A) YD( D), m (,4 0,4) = 0 при D ; m (,6 0,4) (,6,4) = 0 при. 96 f

197 По полученным данным построим эпюру изгибающего момента m в поперечных сечениях стержня (рис. 9.35). Рис Эпюра изгибающего момента m в поперечных сечениях стержня Заметим, что при построении эпюры m положительные значения ординат откладываются в верхней полуплоскости, а отрицательные значения в нижней полуплоскости от продольной оси х (данный вариант построения эпюры m принят при оформлении расчетов для машиностроительного направления). Определим теперь значение угла поворота c сечения С. Из уравнения (9.7) следует, что l 4 n p m i C d pн mн i pc mc i pk mk i EJ 6 i i i l i EiJ i Данное выражение с учетом того, что на первом и четвертом участках ( m ) = 0, ( m ) 4 = 0, преобразуется к виду b EJ 6 4 C pн mн pc mc pk mk c 6 4 pн 3 mн 3 pc 3 mc 3 pk 3 mk 3 С учетом значений слагаемых получим 0, C, ,8 0 0,5 9, 0 0,5 EJ 6 0, ,4830 9, 0 ( 0,5) 49,6 0 ( 0,5) 0 6 EJ Так как Е = 0 Па, J = 57 см 4, то 3 0,4830 c = 0,4 0-3 рад Определим изгибающий момент в поперечных сечениях стержня от действия безразмерной единичной силы, приложенной в сечении С (расчетная схема приведена на рис. 9.36, а)

198 а) б) Рис Схемы нагружения балки единичной силой Отбросим внешние связи (шарнирные опоры в сечениях А и D) и заменим их действие неизвестными реакциями связей (рис. 9.36, б). Действие шарнирной опоры А на стержень следует заменить составляющими реакции X A и Y A, действие шарнирной опоры D реакцией Y D. Далее необходимо определить значения этих реакций. Для рассматриваемой расчетной схемы (рис. 9.36, б) целесообразно использовать следующие уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось х равна нулю: Х i = 0, X A = 0; сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю: D( Pj ) = 0, Y A (b + c) + c = 0, c 0,5 откуда Y A = = 0,5; b c 0,5 0,5 сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: М А( Pj ) = 0, b + Y D (b + c) = 0, b 0,5 откуда Y D = = 0,5. b c 0,5 0,5 Для определения изгибающего момента в поперечных сечениях стержня от единичной силы воспользуемся уравнениями (9.3). Расчетная схема стержня приведена на рис Рис Расчетная схема стержня при нагружении единичной силой Используем формулу (9.3) и на каждом участке учитываем только те силы (это силы Y A, Y D и единичная сила), которые действуют на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения: 98

199 = Piy ( Pi ) Pi, f Учитываем, что для схемы нагружения (рис. 9.37) значения входящих в формулу величин следующие: Y A= 0,5; Y D = 0,5; Тогда имеем: Piy P iy = A Y = 0,5 для А 0,4 м; = A Y = 0,5 для C 0,9 м; Piy = YA YD = 0 для D =,4 м. на участке (0 A ) = 0, = 0 при 0; = 0 при A ; на участке ( A C ) m YA( A), = 0 при A ; 0,5 (0,9 0,4) = 0,5 м при C ; на участке ( C D ) m YA( A) ( C), 0,5 (0,9 0,4) = 0,5 м при C ; 0,5 (,4 0,4) (, 4 0,9) = 0 при D ; на участке ( D ) YA( A) ( C) YD( D), 0,5 (,4 0,4) (, 4 0,9) = 0 при D ; 0,5 (,6 0,4) (,6 0,9) 0,5 (,6, 4) = 0 при. По полученным данным построим эпюру изгибающего момента в поперечных сечениях стержня (рис. 9.38). Вновь заметим, что при построении эпюры положительные значения ординат откладываются в верхней полуплоскости, а отрицательные значения в нижней полуплоскости от продольной оси х (данный вариант построения эпюры принят при оформлении расчетов для машиностроительного направления). Рис Эпюра изгибающего момента в поперечных сечениях стержня Определим значение прогиба уравнение (9.70): v c стержня в сечении С. Используем 99

200 l v d 4 n p i C pн н i pc c i pk k i EJ 6 i i i l i EiJ i которое с учетом того, что на первом и четвертом участках ( ) = 0, ) 4 = 0, преобразуется к виду: ( b vc pн 4 н pc c pk k EJ 6 c pн 4 3 н 3 pc 3 c 3 pk 3 k. 3 6 С учетом значений слагаемых получим 0, v C, ,8 0 0,5 9, 0 0,5 EJ 6 3 0, ,94 0 9, 0 0, 5 4 9,6 0 0, EJ Так как Е = 0 Па, J = 57 см 4, то 3 0,94 0 vc = 0, м Контрольные вопросы. Что называется прямым изгибом?. Что называется чистым и поперечным изгибами? 3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в общем случае действия на него плоской системы сил? 4. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса? 5. Как вычисляются поперечная сила в поперечном сечении бруса? 6. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию? 7. Как можно осуществить неподвижное (геометрически неизменяемое) и статически определимое закрепление балок к основанию? 8. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций? 9. Чему равна горизонтальная опорная реакция горизонтальной балки при вертикальной нагрузке? 0. Как проверить правильность определения опорных реакций?. Какая дифференциальная зависимость существует между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки, перпендикулярной оси бруса?. Как формулируется теорема Журавского? 3. Чему равна поперечная сила в сечениях бруса, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений? 00,

201 4. По каким законам изменяются поперечная сила и изгибающий момент по длине оси бруса при отсутствии распределенной нагрузки? 5. Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов на участке балки, во всех сечениях которого поперечная сила равна нулю? 6. Как изменяется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси балки? 7. Как изменяется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент? 8. Что представляют собой эпюры поперечных и продольных сил, а также эпюра изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр? 9. В каком порядке строятся эпюры Q и М? 0. Почему при построении эпюр Q и М для балки, заделанной одним концом, можно не определять опорные реакции?. В чем заключается проверка эпюр Q и М?. В какую сторону обращена выпуклость эпюры М при распределенной нагрузке, направленной вниз? 3. Как связано изменение значения изгибающего момента М с площадью эпюры поперечной силы Q? 4. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом, от сосредоточенной силы, перпендикулярной оси балки, приложенной на ее свободном конце? 5. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом, от сосредоточенного момента, приложенного на свободном конце балки? 6. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом, от равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки, действующей по всей ее длине? 7. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента? 8. Как формулируется гипотеза плоских сечений? 9. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены? 30. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе? 3. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе 3. Как изменяются нормальные напряжения в поперечном сечении по высоте балки? 33. Что называется жесткостью сечения при изгибе? 34. Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность? 35. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе? 0

202 36. Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы? 37. Как находятся главные напряжения при изгибе? 38. Как направлены главные площадки в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя при поперечном изгибе балки? 39. Как вычисляется потенциальная энергия деформации изгиба? 40. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе? 4. Почему точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно заменить приближенным уравнением? 4. Какая дифференциальная зависимость существует между прогибами и углами поворота сечений балки? 43. Как из основного (приближенного) дифференциального уравнения изогнутой оси балки получаются выражения углов поворота и прогибов ее сечений? 44. Из каких условий определяются постоянные интегрирования, входящие в уравнение углов поворота и прогибов сечений балки? 45. Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются? 46. Как определяются значения неизвестных начальных параметров? 0

203 9.7. Тестовые задания Максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила в балке равны... ) Pl и P ) Pl и P 3) Pl и P 4) Pl и P Максимальный изгибающий момент в балке равен... ) Pl ),5Pl 3) 3Pl 4) Pl Максимальный изгибающий момент в балке равен... ) Pl ),5Pl 3) 3Pl 4) Pl Если a = b = c = м, Р = 0 кн, М = 0 кнм, то изгибающий момент в поперечном сечении в начале участка b (в кнм) по модулю равен... ) 5 ) 0 3) 5 4) 0 Если a = b = c = м, Р = 30 кн, М = 0 кнм, то изгибающий момент в поперечном сечении в начале участка b (в кнм) по модулю равен... ) 5 ) 0 3) 5 4) 0 Если a = b = c = м, Р = 0 кн, М = 0 кнм, то изгибающий момент в поперечном сечении в начале участка b (в кнм) по модулю равен... ) 5 ) 0 3) 5 4) 0 Если a = b = c = м, Р = 30 кн, М = 0 кнм, то изгибающий момент в поперечном сечении в начале участка b (в кнм) по модулю равен... ) 5 ) 0 3) 5 4) 0 03

204 Для указанной балки эпюра изгибающих моментов, построенная на сжатом волокне, приведена на схеме ), ), 3) 3, 4) 4 Указанные эпюры изгибающих моментов, построенные на сжатом волокне, соответствуют схемам нагружения балок: ) эпюра для схемы ; эпюра для схемы, эпюра 3 для схемы 3; ) эпюра для схемы3; эпюра для схемы 3, эпюра 3 для схемы ; 3) эпюра для схемы ; эпюра для схемы 3, эпюра 3 для схемы ; 3 4) эпюра для схемы ; эпюра для схемы, эпюра 3 для схемы Для указанной балки эпюра изгибающих моментов, построенная на сжатом волокне, приведена на схеме ) 3, ), 3), 4) 4 Если a = b = c = м, Р = 40 кн, М = 0 кнм, то изгибающий момент в поперечном сечении в начале участка b (в кнм) по модулю равен... ) 5 ) 0 3) 5 4) 30 04

205 Распределение нормальных напряжений в опасном сечении балки показано на эпюре ), ) 3, 3), 4) 4 Распределение нормальных напряжений в опасном сечении балки показано на эпюре ), ), 3) 3, 4) 4 Распределение нормальных напряжений в опасном сечении балки показано на эпюре ) 4, ) 3, 3), 4), 5) 5 Распределение нормальных напряжений в опасном сечении балки показано на эпюре ), ), 3) 3, 4) 4, 5) 5 Если сила Р, действующая на чугунную балку, изменит свое направление на противоположное (чугун хуже работает на растяжение, чем сжатие), то коэффициент запаса прочности ) возрастет ) уменьшится 3) не изменится 05


СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

Оглавление Введение... 3

Оглавление Введение... 3 Оглавление Введение... 3 Глава 1. Основные предпосылки, понятия и определения, используемые в курсе сопротивления материалов - механике материалов и конструкций... 4 1.1. Модель материала. Основные гипотезы

Подробнее

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов Контрольные вопросы по сопротивлению материалов 1. Основные положения 2. Каковы основные гипотезы, допущения и предпосылки положены в основу науки о сопротивлении материалов? 3. Какие основные задачи решает

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

(шифр и наименование направления)

(шифр и наименование направления) Дисциплина Направление Сопротивление материалов 270800 - Строительство (шифр и наименование направления) Специальность 270800 62 00 01 Промышленное и гражданское строительство 270800 62 00 03 Городское

Подробнее

ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов»

ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов» ВОПРОСЫ к экзамену по курсу «Сопротивление материалов» 1. Историческое развитие учения о сопротивлении материалов. Диаграмма стального образца Ст 3. 2. Диаграмма Ф.Ясинского. 3. Основные понятия курса

Подробнее

В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов

Подробнее

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2.

Задачи к экзамену Задача 1. Задача 2. Вопросы к экзамену 1. Модель упругого тела, основные гипотезы и допущения. Механика твердого тела, основные разделы. 2. Внешние и внутренние силы, напряжения и деформации. Принцип независимого действия

Подробнее

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1)

Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается (несколько ответов) 1) Итоговый тест, Прикладная механика (сопромат) (2579) 9. (70c.) Под прочностью элемента конструкции понимается 1) сопротивление 2) внешнему воздействию 3) вплоть до 4) возникновения больших деформаций 5)

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов

Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов Предисловие Часть I ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1 Основные понятия Простейшие типы конструкций Нагрузки Гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов Деформации и перемещения Метод сечений Частные случаи нагружения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ТЕМА Введение. Инструктаж по технике безопасности. Входной контроль. ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХЕНИКА». ИНСТРУКТАЖ ПО ПОЖАРО- И ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ.

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Аннотация рабочей программы дисциплины «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» 1. Цель и задачи освоения дисциплины Для студентов направления подготовки 08.03.01. «Строительство» сопротивление материалов является одной

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОТ АВТОРОВ... 3 ВВЕДЕНИЕ... 5 Вопросы и задания для самоконтроля к введению... 8

ОТ АВТОРОВ... 3 ВВЕДЕНИЕ... 5 Вопросы и задания для самоконтроля к введению... 8 Допущено Министерством сельского хозяйства Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 280100 «Природоустройство и водопользование» Сопротивление

Подробнее

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов

Контрольные вопросы по сопротивлению материалов Контрольные вопросы по сопротивлению материалов 1. Основные положения 2. Каковы основные гипотезы, допущения и предпосылки положены в основу науки о сопротивлении материалов? 3. Какие основные задачи решает

Подробнее

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика»

Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности « Строительная механика» Вопросы к вступительным экзаменам в аспирантуру по специальности «05.23.17 Строительная механика» СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Основные понятия 1. Задачи сопротивления материалов. Стержень. Основные гипотезы

Подробнее

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета сервиса к.т.н., доцент Сумзина Л.В ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Материаловедение основной образовательной программы высшего образования программы специалитета по направлению

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов

Подробнее

В. К. Манжосов, О. Д. Новикова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ

В. К. Манжосов, О. Д. Новикова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов,

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Краткий курс лекций Часть 2

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Краткий курс лекций Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. МАНЖОСОВ

Подробнее

Билет 1 N J. 2.Какая из эпюр Q, M соответствует заданной балке? Эпюры Q + 3. Какой деформации подвергается заданный брус? а) центрального растяжения;

Билет 1 N J. 2.Какая из эпюр Q, M соответствует заданной балке? Эпюры Q + 3. Какой деформации подвергается заданный брус? а) центрального растяжения; Билет. По какой формуле определяются напряжения при центральном растяжении, сжатии? N N,,.Какая из эпюр Q, соответствует заданной балке? г) Эпюры. Какой деформации подвергается заданный брус? центрального

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Глава первая Растяжение и сжатие......6 1.1. Продольная сила...6 1.2. Нормальные напряжения, абсолютное удлинение и потенциальная энергия...8 1.3. Поперечная деформация

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и

Подробнее

Основные понятия сопромата

Основные понятия сопромата Основные понятия сопромата Прикладная наука об инженерных методах расчёта на прочность, жесткость и устойчивость деталей машин и конструкций, называется сопротивлением материалов. Деталь или конструкция

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Основные виды нагружения бруса. 2. Понятие об усталостной прочности. Экзаменационный билет 2 1. Растяжение

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

главному вектору R, R, R и главному

главному вектору R, R, R и главному Лекция 08 Общий случай сложного сопротивления Косой изгиб Изгиб с растяжением или сжатием Изгиб с кручением Методики определения напряжений и деформаций, использованные при решении частных задач чистого

Подробнее

Дисциплина «Сопротивление материалов»

Дисциплина «Сопротивление материалов» Дисциплина «Сопротивление материалов» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Сопротивление материалов» относится к вариативной

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. N S. n N t n S. N t. Условия равновесия: S + p S =0; S cos p S ; p S=S cos. =p cos ; = p sin. p = cos. 1 sin 2

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. N S. n N t n S. N t. Условия равновесия: S + p S =0; S cos p S ; p S=S cos. =p cos ; = p sin. p = cos. 1 sin 2 Постановка задачи Дано: N, N РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ. =? =? n N t n = cos Условия равновесия: + = cos = cos N t v = cos = sin. cos 1 sin. Следствия: 1) ma = при cos (в поперечных

Подробнее

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 1 Глава 1. Введение 1.1.Основные понятия Прочность- способность материала конструкции сопротивляться внешним воздействиям. Жесткость- способность элементов

Подробнее

Вопросы к экзамену по прикладной механике

Вопросы к экзамену по прикладной механике Вопросы к экзамену по прикладной механике Основные понятия и определения сопротивления материалов - Задачи науки о сопротивлении материалов, последовательность решения их применительно к тому или иному

Подробнее

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОПД.Ф.12.5 ОСНОВЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ СЕРВИСА. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА основной образовательной программы высшего образования программы специалитета Специальность: 100101.65

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов»

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Материаловедение и механика материалов» КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ по дисциплине «Сопротивление материалов» Часть Модульная

Подробнее

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА» (СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ) Вопрос Ответ Правильный

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА» (СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ) Вопрос Ответ Правильный . Прочность это. Жесткость это. Устойчивость это 4. К допущениям о свойствах материала элементов конструкций не относится 5. Пластина это способность материала сопротивляться действию нагрузок, не разрушаясь

Подробнее

Лекция 12. Сложное сопротивление (продолжение)

Лекция 12. Сложное сопротивление (продолжение) Лекция 12 Сложное сопротивление (продолжение) 1 Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии 2 Теории прочности 3 Совместное действие изгиба и кручения 4 Определение внутренних

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Сопротивление материалов ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование и управление в технических системах» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A Лекция 05 Изгиб Проверка прочности балок Опыт показывает, что при нагружении призматического стержня с прямой осью силами и парами сил, расположенными в плоскости симметрии, наблюдаются деформации изгиба

Подробнее

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика.

ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по учебной дисциплине. ОП.02. Техническая механика. ОГБОУ «Кораблинский агротехнологический техникум» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по учебной дисциплине ОП.02. Техническая механика по специальности 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Подробнее

Тычина К.А. В в е д е н и е.

Тычина К.А. В в е д е н и е. www.tchina.pro Тычина К.А. I В в е д е н и е. «Теоретическая механика» разработала уравнения равновесия тел, считая их абсолютно твёрдыми и неразрушимыми. Курс «Сопротивление материалов», следующий шаг

Подробнее

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК n c t tg tg, (0) min,96,5,96,5 где c 0, 0088 ; t o градиент снижения температуры ниже o t 80 уровня +0. По результатам измерения твердости контролируемых зон конструкций, используя формулы (6) (7) и (8)

Подробнее

1 Вопросы программы вступительного экзамена в аспирантуру ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА Напряжения в поперечных и наклонных сечениях прямого стержня.

1 Вопросы программы вступительного экзамена в аспирантуру ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА Напряжения в поперечных и наклонных сечениях прямого стержня. 1 Вопросы программы вступительного экзамена в аспирантуру ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА Напряжения в поперечных и наклонных сечениях прямого стержня. Одноосное (линейное) напряженное состояние, максимальные касательные

Подробнее

ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ТЕСТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, МЕТОД СЕЧЕНИЙ, НАПРЯЖЕНИЯ Вариант 1.1 1. Прямой брус нагружается внешней силой F. После снятия нагрузки его форма и размеры полностью восстанавливаются.

Подробнее

ОП. 02.«Техническая механика»

ОП. 02.«Техническая механика» КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КУРСКОЙ ОБЛАСТИ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЫЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИКУМ» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП. 0.«Техническая

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ

Подробнее

уравнение изогнутой оси балки и θ tg θ =.

уравнение изогнутой оси балки и θ tg θ =. Лекция 06 Деформации балок при изгибе Теорема Кастильяно При чистом изгибе балки её ось искривляется Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки в её недеформированном

Подробнее

ОП. 02 «Техническая механика»

ОП. 02 «Техническая механика» КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КУРСКОЙ ОБЛАСТИ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «РЫЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИКУМ» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП. 0 «Техническая механика»

Подробнее

1. Теоретическая механика 1.1. Статика

1. Теоретическая механика 1.1. Статика Программа вступительного испытания по специальной дисциплине сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по программам специалитета и магистратуры

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

Расчет элементов стальных конструкций.

Расчет элементов стальных конструкций. Расчет элементов стальных конструкций. План. 1. Расчет элементов металлических конструкций по предельным состояниям. 2. Нормативные и расчетные сопротивления стали 3. Расчет элементов металлических конструкций

Подробнее

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб

Введение 1. Вводный раздел 2. Растяжение сжатие 3. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня 4. Плоский прямой изгиб Введение Настоящая программа базируется на основных разделах следующих дисциплин: Математика; Физика; Теоретическая механика; Сопротивление материалов; Теория упругости и пластичности; Статика, динамика

Подробнее

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения

Контрольные задания по сопротивление материалов. для студентов заочной формы обучения Контрольные задания по сопротивление материалов для студентов заочной формы обучения Составитель: С.Г.Сидорин Сопротивление материалов. Контрольные работы студентов заочников: Метод. указания /С.Г.Сидорин,

Подробнее

Кафедра Мосты и транспортные тоннели

Кафедра Мосты и транспортные тоннели ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное автономное образовательное учреждение Астраханской области высшего профессионального образования «АСТРАХАНСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

Полное касательное напряжение определяется выражением. Аналогичным образом на площадке с нормалью, составляющей угол α + 90 напряжением σ, имеем

Полное касательное напряжение определяется выражением. Аналогичным образом на площадке с нормалью, составляющей угол α + 90 напряжением σ, имеем Лекция 0 Сложное напряженное состояние Понятия о теориях прочности В теории упругости доказывается что в каждой точке любого напряженного тела можно указать три взаимно перпендикулярные площадки через

Подробнее

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г)

N, кн ,4 а. б Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г) ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1 Ступенчатый брус из стали Ст нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения

Подробнее

Клевцова Людмила Владимировна - преподаватель Ф.И.О, должность. Рекомендована методическим советом по ГБОУ ПО «САСК» Председатель Диденко Я.В.

Клевцова Людмила Владимировна - преподаватель Ф.И.О, должность. Рекомендована методическим советом по ГБОУ ПО «САСК» Председатель Диденко Я.В. Программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования Организация-разработчик: ГБОУ ПО «САСК»

Подробнее

МАТЕРИАЛЫ ПО КОНТРОЛЮ И ОЦЕНКЕ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ

МАТЕРИАЛЫ ПО КОНТРОЛЮ И ОЦЕНКЕ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ МАТЕРИАЛЫ ПО КОНТРОЛЮ И ОЦЕНКЕ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ Для магистрантов ФМ и Т ВКГТУ, обучающихся по специальностям: 6М072400 «Технологические машины и оборудование» В О П Р О С Ы для текущего, рубежного и

Подробнее

УДК ББК. Технологический институт филиал ФГОУ ВПО «Ульяновская ГСХА» Власова Валентина Николаевна. Учебное издание

УДК ББК. Технологический институт филиал ФГОУ ВПО «Ульяновская ГСХА» Власова Валентина Николаевна. Учебное издание УДК ББК Сопротивление материалов: Рабочая программа (для специальности 260303.65 - «Технология молока и молочных продуктов»)/ Власова В.Н. - Димитровград: Технологический институт филиал ФГОУ ВПО «Ульяновская

Подробнее

2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Приложение к рабочей программе учебной дисциплины ОП.02 МЕХАНИКА специальности 26.02.03 Судовождение (прием 208 года) по заочной форме обучения 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ отделения) 2..

Подробнее

В.С. ГЛУХОВ А.А. ДИКОЙ И.В. ДИКАЯ ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

В.С. ГЛУХОВ А.А. ДИКОЙ И.В. ДИКАЯ ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ В.С. ГЛУХОВ А.А. ДИКОЙ И.В. ДИКАЯ ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ АРМАВИР 2014 В.С. ГЛУХОВ А.А. ДИКОЙ И.В. ДИКАЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АРМАВИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Подробнее

1. Цель и задачи дисциплины

1. Цель и задачи дисциплины 1. Цель и задачи дисциплины 1.1. Цель преподавания дисциплины. - формирование у студента инженерного мышления в области механики; -формирование у студента знаний, умений и навыков по исследованию работы

Подробнее

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Дисциплина «Техническая механика» является частью модуля «Механика», представляет собой начальную ступень изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Эта особенность обусловливает

Подробнее

Клевцова Людмила Владимировна - преподаватель Ф.И.О, должность. Рекомендована методическим советом по ГБОУ ПО «САСК» Председатель Диденко Я.В.

Клевцова Людмила Владимировна - преподаватель Ф.И.О, должность. Рекомендована методическим советом по ГБОУ ПО «САСК» Председатель Диденко Я.В. 1 Программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования Организация-разработчик: ГБОУ ПО «САСК»

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ

Подробнее

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Прямой и поперечный изгиб. 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Изгиб стержня вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и (или) (N = 0, T = 0).. Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины ОП.02 ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Рабочая программа учебной дисциплины ОП.02 ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Строительство и эксплуатация зданий и сооружений Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования "Нижегородский строительный техникум" Рабочая программа учебной дисциплины ОП.0 ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 7080 Строительство

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева Кафедра «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОПД.Ф.2.2 Сопротивление материалов

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОПД.Ф.2.2 Сопротивление материалов ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование механизмов и машин» РАБОЧАЯ

Подробнее

Тема 6 Методы расчета строительных конструкций Лекция 7 Основные понятия. ,

Тема 6 Методы расчета строительных конструкций Лекция 7 Основные понятия. , Тема 6 Методы расчета строительных конструкций. Лекция 7 6*.1 Метод предельных состояний. 6*. Метод допускаемых напряжений. 6*.3 Метод разрушающих нагрузок 6*.4 Критерии (гипотезы) прочности и пластичности.

Подробнее

Разработчики: Мубаракова Дамира Мендыгалиевна, преподаватель гуманитарных дисциплин

Разработчики: Мубаракова Дамира Мендыгалиевна, преподаватель гуманитарных дисциплин Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности среднего профессионального образования 7080.51 Строительство

Подробнее

1. Предмет сопротивления материалов. Реальный объект и расчетная схема.

1. Предмет сопротивления материалов. Реальный объект и расчетная схема. 1. Предмет сопротивления материалов. Реальный объект и расчетная схема. Методами со противления материалов выполняются расчеты, на основании кото рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РАЗДЕЛ 1 ОСНОВЫ РАСЧЕТА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА КАК МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА... 12

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РАЗДЕЛ 1 ОСНОВЫ РАСЧЕТА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА КАК МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА... 12 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ... 11 РАЗДЕЛ 1 ОСНОВЫ РАСЧЕТА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА КАК МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА... 12 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ... 12 1.1. Общие сведения... 12 1.2. Аксиомы статики...

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 00 УДК 5. (075) И85 Методические указания

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

Методические указания

Методические указания 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ КРАСНОАРМЕЙСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ГВУЗ «ДонНТУ» Татьянченко А.Г. Методические указания для самостоятельного изучения курса сопротивления

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Техническая механика ОП Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Техническая механика ОП Строительство и эксплуатация зданий и сооружений МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ухтинский государственный технический университет» Индустриальный институт (среднего профессионального

Подробнее

Вопросы по дисциплине «Сопротивление материалов»

Вопросы по дисциплине «Сопротивление материалов» Вопросы по дисциплине «Сопротивление материалов» 1. Дайте определение науки "Сопротивление материалов". 2. Что такое прочность конструкции? 3. Что такое жесткость конструкции? 4. Что такое устойчивость

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Кафедра «Сопротивление материалов» УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе А.Н. Тритенко 2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Кафедра «Сопротивление материалов» УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе А.Н. Тритенко 2011 г. МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вологодский государственный технический университет» (ВоГТУ) Кафедра «Сопротивление

Подробнее

Сопротивление материалов ОПД. 001 (шифр и наименование дисциплины)

Сопротивление материалов ОПД. 001 (шифр и наименование дисциплины) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСТПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

РАСЧЕТ БРУСЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ. Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Механика материалов и конструкций»

РАСЧЕТ БРУСЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ. Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Механика материалов и конструкций» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» РАСЧЕТ БРУСЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ Методические указания к

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

Лекция Продольно поперечный изгиб Концентрация напряжений Продольно поперечный изгиб.

Лекция Продольно поперечный изгиб Концентрация напряжений Продольно поперечный изгиб. Лекция 3 3 Продольно поперечный изгиб 3 Концентрация напряжений 3 Продольно поперечный изгиб Рассмотрим случай одновременного действия на стержень, например с шарнирно закрепленными концами, осевой сжимающей

Подробнее

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Дисциплина «Техническая механика» является частью модуля «Механика», представляет собой начальную ступень изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Эта особенность обусловливает

Подробнее