Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU(2)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU(2)"

Транскрипт

1 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU() И.А. Зубарева Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН 5-30 июля 014

2 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения SO(3) компактная группа Ли, состоящая из всех ортогональных 3 3 матриц с определителем 1: SO(3) = { C Gl(3) CC T = e, det(c) = 1 }. Ее алгебра Ли so(3) состоит из всех кососимметричных 3 3 матриц. Зададим базис so(3): a = , b = , c = Положим D(e) = Lin(a, b) и зададим на D(e) скалярное произведение, с ортонормированным базисом a, b. Левоинвариантное распределение D на группе Ли SO(3) с данным D(e) вполне неголономно, пара (D(e),, ) определяет левоинвариантную субриманову метрику d на SO(3).

3 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Результат (В.Н. Берестовский, И.А. Зубарева) Каждая параметризованная длиной дуги геодезическая γ = γ(t), t R, в SO(3) с условием γ(0) = e есть произведение двух 1 параметрических подгрупп: γ(t) = exp(t(cos φ 0 a + sin φ 0 b + βc)) exp( tβc), где φ 0, β некоторые произвольные постоянные. Обозначим m = sin (t 1 + β ), n = 1 cos (t 1 + β ) 1 + β 1 + β.

4 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Первый столбец элементов геодезической γ(t) равен 1 n m cos φ 0 βn sin φ 0. m sin φ 0 + βn cos φ 0 Второй столбец элементов геодезической γ(t) равен m cos (βt + φ 0 ) βn sin (βt + φ 0 ) (1 β n) cos βt + βm sin βt n cos (βt + φ 0 ) cos φ 0 βm cos βt (1 β n) sin βt n cos (βt + φ 0 ) sin φ 0. Третий столбец элементов геодезической γ(t) равен m sin (βt + φ 0 ) + βn cos (βt + φ 0 ) (1 β n) sin βt βm cos βt n sin (βt + φ 0 ) cos φ 0. (1 β n) cos βt + βm sin βt n sin (βt + φ 0 ) sin φ 0

5 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат Теорема 1. Пусть C = (c ij ) SO(3), C e, e единица группы SO(3). Тогда 1. Если c 11 = 1, то d(c, e) = π.. Если c 11 = 1, то d(c, e) = π, где β единственное решение 1+β системы уравнений cos sin πβ = c 1+β, πβ = c 1+β 3. ( ) 1+c 3. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 = c+c33, то 1 d(c, e) = π (1 c 11).

6 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат ( ) 1+c 4. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 > c+c33, то (1 d(c, e) = arcsin c11 )(1 + β ), (1) 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( ) 1 c cos arcsin β 11 1+c11+c +c 33 (), ( ( ) 1 c sin arcsin β 11 sgn(c 3 c 3 ) 1+c11 c c 33 (). β arcsin 1 1+β (1 c 11)(1 + β ) ) = ) β arcsin 1 1+β (1 c 11)(1 + β ) = ()

7 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат ( ) 1+c 5. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 < c+c33, то ( ) (1 c11 )(1 + β d(c, e) = π arcsin ), 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( ) ( cos arcsin β 1 c11 + β 1 π arcsin )) ) (1 c11)(1 + 1+β β = 1+c11 +c +c 33 (, ) ( ( ) ( sin arcsin β 1 c11 + β 1 π arcsin )) ) (1 c11)(1 + 1+β β = sgn(c 3 c 3) 1+c11 c c 33 ( ).

8 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения SU() есть компактная односвязная группа Ли всех унитарных унимодулярных матриц {( ) } A B SU() = A, B C, A + B = 1. B A ( ) A B Через (A, B) будем обозначать матрицу SU(). B A Алгебра Ли su() есть алгебра всех косоэрмитовых матриц с нулевым следом {( ) } ia B su() = A R, B C. B ia Зададим базис su() следующим образом: ( 0 1 ( 0 i 1 0 i 0 p 1 = 1 ), p = 1 ), k = 1 ( i 0 0 i Положим (e) = Lin(p 1, p ) и зададим на (e) скалярное произведение (, ) с ортонормированным базисом p 1, p. ).

9 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Пара ( (e), (, )) определяет левоинвариантную субриманову метрику ρ на SU(). Результат (Ugo Boscain, Fransesco Rossi) Каждая параметризованная длиной дуги геодезическая γ = γ(t), t R, в SU() с условием γ(0) = e есть произведение двух 1-параметрических подгрупп γ(t) = exp (t(cos φ 0 p 1 + sin φ 0 p + βk)) exp ( tβk), где φ 0, β произвольные постоянные. Если γ(t) = (A, B), то Re(A) = β sin t 1+β 1+β sin βt + cos t 1+β cos βt, Im(A) = β sin t 1+β 1+β cos βt cos t 1+β sin βt, B = sin t 1+β 1 + β ( ( ) ( )) βt βt cos + φ 0 + i sin + φ 0.

10 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Теорема (Ugo Boscain, Fransesco Rossi) Пусть g = (A, B) SU(), Id единица группы SU(). Тогда { arg(a) (π arg(a)), если B = 0, d(g, Id) = Ψ(A), если B 0, где arg(a) [0, π] и Ψ(A) = t единственное решение системы ( βt + arctg β tg t ) 1+β 1+β = arg(a), ( ) sin t 1+β / = 1 A, 1+β ( ) π t 0,. 1+β [1] Boscain U., Rossi F., Invariant Carnot-Carathéodory metrics on S 3, SO(3), SL(), and lens spaces // SIAM J. Control Optim. 008 Vol. 47, N 4. P

11 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат Теорема. Пусть g = (A, B) SU(), Id = (1, 0) единица группы SU(). Тогда 1. Если A = 0, то d(g, Id) = π.. Если A = 1, то d(g, Id) = arg(a) (π arg(a) ), arg(a) [ π, π]. 3. Если 0 < A < 1 и Re(A) = A sin ( π A ), то d(g, Id) = π 1 A.

12 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат 4. Если 0 < A < 1 и Re(A) > A sin ( π A ), то d(g, Id) = 1 + β arcsin (1 A )(1 + β ), где β единственное решение системы уравнений cos (arcsin β 1 A A 1+β β arcsin ) (1 A )(1 + β ) sin (arcsin β 1 A β A 1+β arcsin ) (1 A )(1 + β ) = Re(A) A, = Im(A) A.

13 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат 5. Если 0 < A < 1 и Re(A) < A sin ( π A ), то ( d(g, Id) = π arcsin ) (1 A )(1 + β ), 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( cos β π arcsin ) ) 1 A (1 A )(1 + β ) + arcsin β = 1+β A Re(A), ( A ( sin β π arcsin ) ) 1 A (1 A )(1 + β ) + arcsin β = 1+β A Im(A) A.

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал В Н Берестовский И А Грибанова Субриманово расстояние в группах Ли SU и SO3 Матем тр 05 том 8 номер 3 DOI: http://dxdoiorg/07377/mattrudy0580 Использование

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1).

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). Вариант 1 1. В ортонормированном базисе матрица оператора A имеет вид A = 1 0 1 2 1 3 0. Напишите матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 2. Используя процесс ортогонализации,

Подробнее

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2 6. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ И КОСОЭРМИТОВ ОПЕРАТОРЫ Оператор A : X n X n называется самосопряженным (эрмитовым), если A = A, иными словами, если (Ax, y) = (x, Ay) x, y X n. Оператор A : X n X n называется косоэрмитовым,

Подробнее

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли.

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. Обсудим еще раз группу SO() ( на которой мы) закончили прошлую лекцию. Она состоит их элементо вид g(α) =. Матрицы g(α) удовлетворяют

Подробнее

О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1

О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1 УДК 514.765 О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1 Клепиков П.Н., Клепикова С.В., Хромова О.П. Алтайский государственный университет

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 1. Разложите пятимерное перестановочное (мономиальное) представление группы S 5 в прямую сумму двух неприводимых. Указание:

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Доказательство. Алгебр Ли sl(2, R) состоит из матриц 2 2 с нулевым следом. Естественным базисом в ней являются матрицы

Доказательство. Алгебр Ли sl(2, R) состоит из матриц 2 2 с нулевым следом. Естественным базисом в ней являются матрицы МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Решение одного пункта одной задачи из 8. Задача 4. в)* Докажите, что алгебра Ли sl(, R) не изоморфна so(3, R). Доказательство. Алгебр Ли sl(, R) состоит из матриц

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ОТВЕТЫ ,5-0, arcsin ,

ОТВЕТЫ ,5-0, arcsin , АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, класс Ответы и критерии, Апрель ОТВЕТЫ Вариант/ задания А А В В В В4 В5 С 6,5-4 8 arcsin 4 4,5 -,8 arcsin + k, 4,5 8-6 arccos 5 4 4,5, 5 arc tg9 + k, 5 4, -,4 6 6 8-7,5 7 6 855,4

Подробнее

О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ

О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ Алтайский государственный университет 4 сентября 014 г. История вопроса В работах А.Бессе, Х. и Дж. Ким, Е.Д. Родионова

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

Математика УЗ-100. Варианты контрольной работы 1. М.П. Харламов

Математика УЗ-100. Варианты контрольной работы 1. М.П. Харламов Математика УЗ-00 Варианты контрольной работы МП Харламов Вариант Найти пределы: ; б) + 8 + Найти производные: y ln( arcsin ) = ; б) e y = 0 Найти полный дифференциал функции двух переменных и её частные

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Математические заметки

Математические заметки Математические заметки Том 8 выпуск 5 май 27 УДК 54 Абсолютная кривизна Черна Лашофа комплексных подмногообразий и объем грассманова образа А. А. Борисенко, О. В. Лейбина Вводится аналог абсолютной кривизны

Подробнее

Элементы линейной и векторной алгебры.

Элементы линейной и векторной алгебры. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности «Промышленное и гражданское строительство» семестр Матрицы и определители Решение систем линейных уравнений:

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij.

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij. 8 Е. Ю. Смирнов 8. Восьмая лекция, 26февраля 2014 г. В этой лекции через V будет обозначаться n-мерное эрмитово пространство, т.е. комплексное векторное пространство, на котором задана положительно определенная

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Занятия - 4 Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Пусть ψ = и ϕ = 3 4 Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ Доказать неравенство Шварца: для любых векторов α и

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Задания к лабораторным работам по ОАиП. Зимняя сессия. ФТК. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Написать программу вычисления значения выражения при заданных исходных данных. Сравнить полученное значение с указанным правильным

Подробнее

Контрольная работа 3.

Контрольная работа 3. Контрольная работа В промежутке между сессиями студенты должны провести самостоятельную подготовку Проработать теоретический материал по лекциям на тему «Функции нескольких переменных» (Материал представлен

Подробнее

Таблицы и формулы по применению теории групп в физике

Таблицы и формулы по применению теории групп в физике Таблицы и формулы по применению теории групп в физике 6 июня 016 г. 1 Конечные группы Таблица 1: Все конечные группы до порядка 1 (с точностью до изоморфизма). Порядок Группы 1 C 1 C 3 C 3 4 C 4, D C C

Подробнее

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне утверждает, что среднее значение гауссовой (или скалярной) кривизны на двумерном многообразии не зависит от выбора метрики и определяется исключительно топологией

Подробнее

Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10

Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10 Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10 Группы Ли Определение 1. Группой Ли называется группа со структурой гладкого многообразия, совместной с групповыми операциями. Это означает, что (1) отображение умножения

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела Лекция Кинематика твердого тела Кинематика твердого тела Поступательное движение Твердым телом или неизменяемой системой точек называется трехмерная неизменяемая среда элементами которой служат точки Неизменяемость

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский

Подробнее

(1.1) имеет вид (1.2)

(1.1) имеет вид (1.2) УДК 54.75 Н.М. Онищук ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В области G R изучается геометрия гладкого векторного поля без особых точек имеющего поверхности вдоль которых векторы поля параллельны. Исследуются

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:??

проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:?? проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) Определения: векторное пространство, арифметическое пространство, линейно зависимая система векторов, линейно независимая

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1 Уфимский государственный технический университет ПРОБНИК. Задача: Вычислить предел функции + 4 Ответы: ). ). ). /4 4). 0 5). нет правильного ответа. Задача: Найти предел: 0 sin5 7 Ответы: ). 5 ). 7 ).

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Российской Федерации Московский Физико-Технический Институт (государственный университет) А.В. Ершов УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Добавление к лекциям Долгопрудный 2016 Введение

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 20 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная функция на конечной группе G, φ : G GL (V ) неприводимое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Семинары по методу главных компонент

Семинары по методу главных компонент Семинары по методу главных компонент Евгений Соколов sokolov.evg@gmail.com 29 ноября 2013 г. 1 Метод главных компонент В машинном обучении часто возникает задача уменьшения размерности признакового пространства.

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика». «Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИМЕРЫ КЛАССИФИКАЦИИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВ- ЛЕНИЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИМЕРЫ КЛАССИФИКАЦИИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВ- ЛЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 22 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ НЕПРИВОДИ- МЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИМЕРЫ КЛАССИФИКАЦИИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВ- ЛЕНИЙ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Московский Физико-Технический Институт (государственный университет) ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ Учебно-методическое пособие Составитель

Подробнее

О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ

О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ УДК 514.765 О. П. Гладунова Е. Д. Родионов В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ В данной работе исследуются трехмерные группы Ли с левоинвариантной

Подробнее

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Апрель Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В4 В В В7 С 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9,,4 ( ; ) ( log ;) + n,, 8 49 8,7 ( 4; ) ( ; + ), 8 9, 4 8 + 7

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Контрольная работа по математике для студентов 2 курса направления подготовки заочной формы обучения

Контрольная работа по математике для студентов 2 курса направления подготовки заочной формы обучения Контрольная работа по математике для студентов курса направления подготовки 08001 заочной формы обучения 1 Вычислить пределы: 1 вариант б) ; д) ; е) ; Исследовать на непрерывность функцию Найти производные

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Математика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л. В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 7 с. (Заочная форма обучения/ РГАТУ

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Задачи общего зачёта по линейной алгебре (1 поток) 1. Неоднородная система линейных уравнений задана

Задачи общего зачёта по линейной алгебре (1 поток) 1. Неоднородная система линейных уравнений задана Задачи общего зачёта по линейной алгебре ( поток). Неоднородная система линейных уравнений задана расширенной матрицей: а) А*= 9 4 4 6 ; 9 4 б) А*=. Найти ФСР соответствующей 8 однородной системы уравнений.

Подробнее

ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Основные штрихи) Математический анализ, четвертый семестр, 202/3 уч. год Лектор профессор В.А.Зорич СОДЕРЖАНИЕ I. Напоминания из алгебры и геометрии. Билинейная

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

R = W + A g, (1) sg 2(n 1) A = 1 n 2. = det(g x (X i, Y j )).

R = W + A g, (1) sg 2(n 1) A = 1 n 2. = det(g x (X i, Y j )). Владикавказский математический журнал 011, Том 13, Выпуск 3, С. 3 16 УДК 51.765 О КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ -МЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский В статье дается классификация

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана

Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана Миша Вербицкий 28 октября, 2013 матфак ВШЭ и НМУ 4 и 11 ноября лекции не будет! 4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач. 1 Кривизна

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Вращения твердых тел

Вращения твердых тел Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ИНВАРИАНТНЫЙ ОБЪЕМ СУБРИМАНОВА ШАРА НА ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА

ИНВАРИАНТНЫЙ ОБЪЕМ СУБРИМАНОВА ШАРА НА ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА Современная математика. Фундаментальные направления. Том 42 (211). С. 199 23 УДК 517.97 ИНВАРИАНТНЫЙ ОБЪЕМ СУБРИМАНОВА ШАРА НА ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА c 211 г. Е. Ф. САЧКОВА АННОТАЦИЯ. Вычислена мера Поппа

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко

О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко УДК 519.854, 512.643 ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Июль август 2008. Том 15, 4. 25 29 О МИНОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЁТОК ) С. И. Веселов, В. Н. Шевченко

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin БИЛЕТ _Математика Функция Область определения, множество значений функции Найти область определения функции y = Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: cos lim ) lim ) lim ) lim 9 0 n n

Подробнее

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 18 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРЕМА МАШКЕ ЛЕММА ШУРА 1 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Определение 1. Квадратная комплексная матрица A называется унитарной, если AA = E, где A = A T. Представление φ : G

Подробнее