Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU(2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU(2)"

Транскрипт

1 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Субриманово расстояние до единицы в группах Ли SO(3) и SU() И.А. Зубарева Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН 5-30 июля 014

2 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения SO(3) компактная группа Ли, состоящая из всех ортогональных 3 3 матриц с определителем 1: SO(3) = { C Gl(3) CC T = e, det(c) = 1 }. Ее алгебра Ли so(3) состоит из всех кососимметричных 3 3 матриц. Зададим базис so(3): a = , b = , c = Положим D(e) = Lin(a, b) и зададим на D(e) скалярное произведение, с ортонормированным базисом a, b. Левоинвариантное распределение D на группе Ли SO(3) с данным D(e) вполне неголономно, пара (D(e),, ) определяет левоинвариантную субриманову метрику d на SO(3).

3 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Результат (В.Н. Берестовский, И.А. Зубарева) Каждая параметризованная длиной дуги геодезическая γ = γ(t), t R, в SO(3) с условием γ(0) = e есть произведение двух 1 параметрических подгрупп: γ(t) = exp(t(cos φ 0 a + sin φ 0 b + βc)) exp( tβc), где φ 0, β некоторые произвольные постоянные. Обозначим m = sin (t 1 + β ), n = 1 cos (t 1 + β ) 1 + β 1 + β.

4 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Первый столбец элементов геодезической γ(t) равен 1 n m cos φ 0 βn sin φ 0. m sin φ 0 + βn cos φ 0 Второй столбец элементов геодезической γ(t) равен m cos (βt + φ 0 ) βn sin (βt + φ 0 ) (1 β n) cos βt + βm sin βt n cos (βt + φ 0 ) cos φ 0 βm cos βt (1 β n) sin βt n cos (βt + φ 0 ) sin φ 0. Третий столбец элементов геодезической γ(t) равен m sin (βt + φ 0 ) + βn cos (βt + φ 0 ) (1 β n) sin βt βm cos βt n sin (βt + φ 0 ) cos φ 0. (1 β n) cos βt + βm sin βt n sin (βt + φ 0 ) sin φ 0

5 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат Теорема 1. Пусть C = (c ij ) SO(3), C e, e единица группы SO(3). Тогда 1. Если c 11 = 1, то d(c, e) = π.. Если c 11 = 1, то d(c, e) = π, где β единственное решение 1+β системы уравнений cos sin πβ = c 1+β, πβ = c 1+β 3. ( ) 1+c 3. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 = c+c33, то 1 d(c, e) = π (1 c 11).

6 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат ( ) 1+c 4. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 > c+c33, то (1 d(c, e) = arcsin c11 )(1 + β ), (1) 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( ) 1 c cos arcsin β 11 1+c11+c +c 33 (), ( ( ) 1 c sin arcsin β 11 sgn(c 3 c 3 ) 1+c11 c c 33 (). β arcsin 1 1+β (1 c 11)(1 + β ) ) = ) β arcsin 1 1+β (1 c 11)(1 + β ) = ()

7 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат ( ) 1+c 5. Если 1 < c 11 < 1 и cos π 11 < c+c33, то ( ) (1 c11 )(1 + β d(c, e) = π arcsin ), 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( ) ( cos arcsin β 1 c11 + β 1 π arcsin )) ) (1 c11)(1 + 1+β β = 1+c11 +c +c 33 (, ) ( ( ) ( sin arcsin β 1 c11 + β 1 π arcsin )) ) (1 c11)(1 + 1+β β = sgn(c 3 c 3) 1+c11 c c 33 ( ).

8 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения SU() есть компактная односвязная группа Ли всех унитарных унимодулярных матриц {( ) } A B SU() = A, B C, A + B = 1. B A ( ) A B Через (A, B) будем обозначать матрицу SU(). B A Алгебра Ли su() есть алгебра всех косоэрмитовых матриц с нулевым следом {( ) } ia B su() = A R, B C. B ia Зададим базис su() следующим образом: ( 0 1 ( 0 i 1 0 i 0 p 1 = 1 ), p = 1 ), k = 1 ( i 0 0 i Положим (e) = Lin(p 1, p ) и зададим на (e) скалярное произведение (, ) с ортонормированным базисом p 1, p. ).

9 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Необходимые сведения Пара ( (e), (, )) определяет левоинвариантную субриманову метрику ρ на SU(). Результат (Ugo Boscain, Fransesco Rossi) Каждая параметризованная длиной дуги геодезическая γ = γ(t), t R, в SU() с условием γ(0) = e есть произведение двух 1-параметрических подгрупп γ(t) = exp (t(cos φ 0 p 1 + sin φ 0 p + βk)) exp ( tβk), где φ 0, β произвольные постоянные. Если γ(t) = (A, B), то Re(A) = β sin t 1+β 1+β sin βt + cos t 1+β cos βt, Im(A) = β sin t 1+β 1+β cos βt cos t 1+β sin βt, B = sin t 1+β 1 + β ( ( ) ( )) βt βt cos + φ 0 + i sin + φ 0.

10 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Теорема (Ugo Boscain, Fransesco Rossi) Пусть g = (A, B) SU(), Id единица группы SU(). Тогда { arg(a) (π arg(a)), если B = 0, d(g, Id) = Ψ(A), если B 0, где arg(a) [0, π] и Ψ(A) = t единственное решение системы ( βt + arctg β tg t ) 1+β 1+β = arg(a), ( ) sin t 1+β / = 1 A, 1+β ( ) π t 0,. 1+β [1] Boscain U., Rossi F., Invariant Carnot-Carathéodory metrics on S 3, SO(3), SL(), and lens spaces // SIAM J. Control Optim. 008 Vol. 47, N 4. P

11 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат Теорема. Пусть g = (A, B) SU(), Id = (1, 0) единица группы SU(). Тогда 1. Если A = 0, то d(g, Id) = π.. Если A = 1, то d(g, Id) = arg(a) (π arg(a) ), arg(a) [ π, π]. 3. Если 0 < A < 1 и Re(A) = A sin ( π A ), то d(g, Id) = π 1 A.

12 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат 4. Если 0 < A < 1 и Re(A) > A sin ( π A ), то d(g, Id) = 1 + β arcsin (1 A )(1 + β ), где β единственное решение системы уравнений cos (arcsin β 1 A A 1+β β arcsin ) (1 A )(1 + β ) sin (arcsin β 1 A β A 1+β arcsin ) (1 A )(1 + β ) = Re(A) A, = Im(A) A.

13 Субриманово расстояние до единицы в группе Ли SU() Основной результат 5. Если 0 < A < 1 и Re(A) < A sin ( π A ), то ( d(g, Id) = π arcsin ) (1 A )(1 + β ), 1 + β где β единственное решение системы уравнений ( ( cos β π arcsin ) ) 1 A (1 A )(1 + β ) + arcsin β = 1+β A Re(A), ( A ( sin β π arcsin ) ) 1 A (1 A )(1 + β ) + arcsin β = 1+β A Im(A) A.

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал В Н Берестовский И А Грибанова Субриманово расстояние в группах Ли SU и SO3 Матем тр 05 том 8 номер 3 DOI: http://dxdoiorg/07377/mattrudy0580 Использование

Подробнее

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1).

Контрольная работа по алгебре 2 Вариант матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). Вариант 1 1. В ортонормированном базисе матрица оператора A имеет вид A = 1 0 1 2 1 3 0. Напишите матрицы операторов A и A в базисе f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 1, 0), f 3 = (0, 0, 2. Используя процесс ортогонализации,

Подробнее

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли.

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. Обсудим еще раз группу SO() ( на которой мы) закончили прошлую лекцию. Она состоит их элементо вид g(α) =. Матрицы g(α) удовлетворяют

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Доказательство. Алгебр Ли sl(2, R) состоит из матриц 2 2 с нулевым следом. Естественным базисом в ней являются матрицы

Доказательство. Алгебр Ли sl(2, R) состоит из матриц 2 2 с нулевым следом. Естественным базисом в ней являются матрицы МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Решение одного пункта одной задачи из 8. Задача 4. в)* Докажите, что алгебра Ли sl(, R) не изоморфна so(3, R). Доказательство. Алгебр Ли sl(, R) состоит из матриц

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1

О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1 УДК 514.765 О сигнатурах квадратичной формы секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой 1 Клепиков П.Н., Клепикова С.В., Хромова О.П. Алтайский государственный университет

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 1. Разложите пятимерное перестановочное (мономиальное) представление группы S 5 в прямую сумму двух неприводимых. Указание:

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ

О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ НУЛЕВОЙ СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ Алтайский государственный университет 4 сентября 014 г. История вопроса В работах А.Бессе, Х. и Дж. Ким, Е.Д. Родионова

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

Математические заметки

Математические заметки Математические заметки Том 8 выпуск 5 май 27 УДК 54 Абсолютная кривизна Черна Лашофа комплексных подмногообразий и объем грассманова образа А. А. Борисенко, О. В. Лейбина Вводится аналог абсолютной кривизны

Подробнее

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела Лекция Кинематика твердого тела Кинематика твердого тела Поступательное движение Твердым телом или неизменяемой системой точек называется трехмерная неизменяемая среда элементами которой служат точки Неизменяемость

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij.

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij. 8 Е. Ю. Смирнов 8. Восьмая лекция, 26февраля 2014 г. В этой лекции через V будет обозначаться n-мерное эрмитово пространство, т.е. комплексное векторное пространство, на котором задана положительно определенная

Подробнее

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Занятия - 4 Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Пусть ψ = и ϕ = 3 4 Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ Доказать неравенство Шварца: для любых векторов α и

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10

Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10 Лекции по группам и алгебрам Ли 8,9,10 Группы Ли Определение 1. Группой Ли называется группа со структурой гладкого многообразия, совместной с групповыми операциями. Это означает, что (1) отображение умножения

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Московский Физико-Технический Институт (государственный университет) ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ Учебно-методическое пособие Составитель

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана

Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана Векторные расслоения, лекция 7: тензор кривизны Римана Миша Вербицкий 28 октября, 2013 матфак ВШЭ и НМУ 4 и 11 ноября лекции не будет! 4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач. 1 Кривизна

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ

О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ УДК 514.765 О. П. Гладунова Е. Д. Родионов В. В. Славский О ГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕНЗОРАХ НА ТРЕХМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ МЕТРИКОЙ В данной работе исследуются трехмерные группы Ли с левоинвариантной

Подробнее

128 0, x 4 5 0, , , x 0, x. 2 x x x. ТЕСТ Решить уравнения: , x 1 2/3 16.

128 0, x 4 5 0, , , x 0, x. 2 x x x. ТЕСТ Решить уравнения: , x 1 2/3 16. www.aleeiivanov.com Математика 00-0 ДЗ. Показательные уравнения и неравенства ТЕСТ 0.. 0,.. 0, 7 97, / 9 7 0, 60, 6 6 6 9 9 0, 0 0.. 7 0,6 9 7 9.. 0.. 9 7 6 7 7 7 0, 0, 0 0, 6 (0, ) 0, 0, 7 7 9 9 ТЕСТ

Подробнее

Задачи общего зачёта по линейной алгебре (1 поток) 1. Неоднородная система линейных уравнений задана

Задачи общего зачёта по линейной алгебре (1 поток) 1. Неоднородная система линейных уравнений задана Задачи общего зачёта по линейной алгебре ( поток). Неоднородная система линейных уравнений задана расширенной матрицей: а) А*= 9 4 4 6 ; 9 4 б) А*=. Найти ФСР соответствующей 8 однородной системы уравнений.

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ ,4 25 0,8 НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Апрель Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В4 В В В7 С 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9,,4 ( ; ) ( log ;) + n,, 8 49 8,7 ( 4; ) ( ; + ), 8 9, 4 8 + 7

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 19 СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1 СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА Предложение 1. Пусть φ : G GL (V ) и ψ : G GL (W ) два неприводимых комплексных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ПОЛЯРИЗАЦИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ЛЕКЦИЯ 3 ПОЛЯРИЗАЦИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ЛЕКЦИЯ 3 ПОЛЯРИЗАЦИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1. Поляризация Поскольку «выбивание» фотоэлектронов происходит каждым отдельным фотоном, то каждому фотону можно приписать поляризацию. Рассмотрим

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ Ñ. Â. Ðåçíè åíêî ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ àñòü 1 УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî

Подробнее

Занятие 14 Понятие линейного оператора

Занятие 14 Понятие линейного оператора Линейная алгебра и аналитическая геометрия Занятие 4 Понятие линейного оператора Преподаватель Пахомова Елена Григорьевна 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 1. y =. x 4x. x 8x. Утверждаю Зав. кафедрой БИЛЕТ 2. Математика. 1 3arcsin БИЛЕТ _Математика Функция Область определения, множество значений функции Найти область определения функции y = Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: cos lim ) lim ) lim ) lim 9 0 n n

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия»

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» 1 11 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 12 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 13 Используя

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

λ λ λ 2

λ λ λ 2 Вариант 7. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ λ 4 λ 4 λ. Решить систему линейных уравнений, написать фундаментальную систему решений для соответствующей x x + 6x + 4x 4 = x + x x 7x

Подробнее

Понятие поля и линейного (или векторного) пространства.

Понятие поля и линейного (или векторного) пространства. Линейная алгебра Линейная алгебра очень простая область математики, которую естественно было бы изучать в средней школе, нежели в вузе. В то же время она пронизывает почти всю математику и физику, хотя

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

РАЗРЕШИМОСТЬ ГРУППЫ ВЕРХНИХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

РАЗРЕШИМОСТЬ ГРУППЫ ВЕРХНИХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ЛЕКЦИЯ 12 ПРОСТОТА ГРУППЫ SO 3 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ РАЗРЕШИМОСТЬ ГРУППЫ ВЕРХНИХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ 1 ПРОСТОТА ГРУППЫ SO 3 В качестве примера использования геометрических соображений для доказательства простоты

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

Симплектическая емкость

Симплектическая емкость Симплектическая емкость лекция 3 27 июля 2013 Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 24-31 августа, 2013, ЯГПУ, Ярославль, Россия 1 Симплектические многообразия ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кососимметрическая

Подробнее

В.А. Кыров. Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2)

В.А. Кыров. Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2) Приложение I В.А. Кыров Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2) В теории физических структур исключительно важное значение имеет классификация невырожденных метрических функций,

Подробнее

Лекция 10. Представления алгебры su(2)

Лекция 10. Представления алгебры su(2) МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Лекция 10. Представления алгебры su(2) Предложение 1. Алгебра Ли коммутативной группы Ли будет тоже коммутативной. Доказательство. Напомним, что структура алгебры

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

В.Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников. На подступах к тензорам

В.Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников. На подступах к тензорам На подступах к тензорам.преобразования координат Т еорию векторов мы начали с геометрического определения вектора. После этого мы ввели понятие координат вектора. При этом мы убедились, что координатная

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО КЛАССА НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ И ДИССИПАТИВНЫМИ СИЛАМИ

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО КЛАССА НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ И ДИССИПАТИВНЫМИ СИЛАМИ 888 УДК 5336 УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО КЛАССА НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ И ДИССИПАТИВНЫМИ СИЛАМИ ВМ Морозов НИИ механики МГУ им МВ Ломоносова Россия, 789, Москва, Мичуринский пр, E-mail:

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Общие собственные числа двух матриц

Общие собственные числа двух матриц Дальневосточный математический журнал. 2013. Том 13. 1. C. 52 60 УДК 512.643.5 MSC2010 15A18 c Е. А. Калинина 1 Общие собственные числа двух матриц В статье предлагается новый подход к нахождению общих

Подробнее

Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах

Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах На правах рукописи Файзуллин Рамиль Рашитович Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах 01.01.04 геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Подробнее

Нижегородский филиал. Линейная алгебра

Нижегородский филиал. Линейная алгебра Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - Высшая школа экономики» Нижегородский филиал

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Введение в теорию групп и алгебр Ли

Введение в теорию групп и алгебр Ли Введение в теорию групп и алгебр Ли Задачи и упражнения к курсу, предлагавшиеся в 2016 2017 учебном году. Лекция 1 1 Исходя из определения группы, доказать а) единственность единичного элемента e и его

Подробнее

3 Евклидовы и псевдоевклидовы пространства

3 Евклидовы и псевдоевклидовы пространства Евклидовы и псевдоевклидовы пространства Тема 8 Системы координат Школьная геометрия изучает различные метрические свойства простейших геометрических фигур то есть в основном находит соотношения между

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

ПРОГРАМММА вступительных испытаний (собеседование) на магистерское направление Прикладная математика и информатика

ПРОГРАМММА вступительных испытаний (собеседование) на магистерское направление Прикладная математика и информатика МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВО «ЧелГУ») УТВЕРЖДАЮ: Председатель приемной комиссии,

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) 12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Единственность жордановой нормальной формы F алгебраически замкнутое поле Теорема 9. τ Пусть A M n (F), A J и A J где J, J жордановы матрицы.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 7 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее