2 Распределение вероятностей N (a, σ)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 Распределение вероятностей N (a, σ)"

Транскрипт

1 А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 2 2 Распределение вероятностей N (a, σ) 2. Определения и обозначения Согласно определению, непрерывная случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение вероятностей N (0, ) (или, кратко, ξ N (0, )), если её плотность распределения g(x) и функция распределения G(x) задаются соотношениями g(x) 2π e x2 /2 = G (x), G(x) Pr{ξ < x} x g(t) dt = x 2π e t2 /2 dt. Отметим, что g(x) чётная положительная функция, а функция G(x) монотонно возрастает от 0 до, причем G() = 0, G(0) = /2, G( ) =. Пусть число a, < a <, и число σ, σ > 0 произвольные фиксированные числа. Будем говорить, что наблюдаемая случайная величина η a + σξ, ξ N (0, ), имеет нормальное распределение с параметрами a и σ, размерность которых совпадает с размерностью наблюдаемой случайной величины η. Или, кратко, η N (a, σ). В частном случае N (0, ) параметр a = 0, а параметр σ =. Функция распределения F η (x) и плотность распределения f η (x) случайной величины η имеют вид { F η (x) Pr{η < x} = Pr{a + σξ < x} = Pr ξ < x a } ( ) x a x a σ = G = g(t) dt, ( ) σ σ ( ) x a f η (x) F η(x) = σ g = σ σ /2σ2 e (x a)2, 2π а для математического ожидания Mη и дисперсии Dη справедливы равенства Mη tf η (t) dt = a, Dη (t a) 2 f η (t) dt = σ 2. Параметр σ Dη называется среднеквадратичным отклонением. Пусть A < B произвольные заданные числа. По определению модели непрерывной случайной величины, вероятность попадания наблюдения η N (a, σ) в заданный промежуток [A; B] вычисляется по формуле B (B a)/σ ( ( B a A a Pr{A η B} A f η (t) dt = (A a)/σ g(t) dt = G σ ) G Данная формула сводит вычисление вероятностей для распределения N (a, σ) к вычислению по таблицам для G(x) функции распределения N (0, ). Эти таблицы называются таблицами интеграла вероятностей. Наиболее удобными для приложений в математической статистике являются таблицы вероятностей верхних «хвостов» N (0, ). Φ(x) x g(t) dt = Pr{ξ > x}. σ ).

2 2 2.2 Квантили стандартного нормального распределения N (0, ) Пусть α, 0 < α < 0.0 заданное фиксированное число, называемое уровнем значимости. Верхняя односторонняя квантиль (критическая точка) стандартного нормального распределния N (0, ) для уровня значимости α есть число x + α, определяемое условием Pr{ξ x + α } = Φ(x + α ) = α. Это условие означает, что квантиль x + α является единственным решением уравнения x + α g(t) dt = α. Аналогично определяется нижняя односторонняя квантиль x α < 0: Pr{ξ x α } = G(x α ) = α, x α g(t) dt = α. Поскольку функция g(t) чётная, то x α = x + α и Pr{ ξ x + α } = x α g(t) dt + x + α g(t) dt = 2α. Поэтому число x + α есть также двусторонняя квантиль стандартного нормального распределения N (0, ) для уровня значимости 2α. Пусть в дальнейшем символ x α x + α/2 обозначает двустороннюю квантиль распределения N (0, ) для уровня значимости α. Пример 2.. Приведем таблицу односторонних и двусторонних квантилей для некоторых стандартных значений уровня значимости. α x + α x α Центральная предельная теорема. Приближённое вычисление квантилей Важность стандартного нормального распределения вероятностей N (0, ) и приведенных выше его квантилей вытекает из следующей теоремы теории вероятностей, которая называется центральной предельной теоремой (ЦПТ) и формулируется следующим образом. ЦПТ. Пусть случайная величина S n является суммой большого числа n независимых слагаемых. Пусть MS n и DS n обозначают математическое ожидание и дисперсию S n. Тогда при n нормированная случайная величина S n S n MS n DSn N (0, ), т.е. имеет распределение вероятностей, близкое к стандартному нормальному распределению вероятностей N (0, ).

3 3 Пусть x + α верхняя одностороняя квантиль N (0, ). Из ЦПТ следует, что при больших n справедливо равенство { } α = Pr{Sn x + Sn MS n α } = Pr x + α. DSn Отсюда вытекает, что Поэтому число Pr {S n MS n + x + α DS } n = α. MS n + x + α DS n ( MS n + x α DS n ) можно рассматривать как приближëное значение верхней односторонней (двусторонней) квантили для распределения случайной величины S n. Пример 2.2. Для (n, p) испытаний Бернулли верхние односторонняя и двусторонняя квантили вычисляются по следующим приближённым формулам верхняя односторонняя квантиль верхняя двусторонняя квантиль B + α = np + x + α np( p); B + α = np + x α np( p). 2.4 Выборка, выборочные характеристики Пусть F (t), t произвольная монотонно неубывающая функция, для которой F () = 0, F ( ) =. Символом x = (x, x 2,..., x n ) будем обозначать совокупность наблюдений x, x 2,..., x n, полученных после проведения n опытов. Математическая модель наблюдений x = (x, x 2,..., x n ), которая определяется ниже и называется выборкой, является центральной в математической статистике. Определение. Выборкой x = (x, x 2,..., x n ) объëма n с функцией распределения F (t) (или, кратко, x i F (t), i =, 2,..., n) называется совокупность из n независимых и одинаково распределенных (однородных) наблюдений x, x 2,..., x n, которые имеют одну и ту же функцию распределения F (t), т.е. Pr{x i < t} = F (t), i =, 2,..., n. Выборка с функцией распределения N (a, σ), т.е. когда x i = a + σξ i, ξ i N (0, ) i =, 2,..., n. называется нормальной выборкой с параметрами a и σ.

4 4 Пусть f(t) = F (t) соответствующая плотность распределения, а символы a и σ обозначают среднее значение и среднеквадратичное отклонение наблюдения x i, i =, 2,..., n, т.е. a = Mx i = tf(t) dt, σ = Dx i = (t a) 2 f(t) dt. Величины F (t), a, σ 2 и σ называются, соответственно, теоретической функцией распределения, теоретическим средним значением, теоретической дисперсией и теоретическим среднеквадратичным отклонением выборки x. Числовые характеристики, являющиеся функциями наблюдений x (т.е. вычисляемые на основании наблюдений x), называются выборочными (или эмпирическими) характеристиками. Эти функции наблюдений x часто, для краткости, называют статистиками. Важнейшими для математической статистики выборочными характеристиками будут следующие аналоги указанных выше теоретических характеристик. Выборочная (эмпирическая) функция распределения F n (t) Число наблюдений x i таких, что x i n < t, где t любое вещественное число. Как функция аргумента t, F n (t) является ступенчатой функцией со скачками при значениях аргумента t = x i. Число скачков, которые имеет функция F n (t), равно количеству k, k n отличных друг от друга наблюдений выборки. Высота скачка в точке t = x i совпадает с отношением числа повторений наблюдения x i к объëму выборки n. Выборочное (эмпирическое) среднее значение x x + x x n n Выборочная (эмпирическая) дисперсия = n n x i. i= s 2 (x x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2 n = n n (x i x) 2. i= Выборочное (эмпирическое) среднеквадратичное отклонение (x x) s 2 + (x 2 x) (x n x) 2 = n (x i x) n n 2. С помощью теоретико-вероятностного закона больших чисел доказывается, что при n выборочные характеристики сходятся к теоретическим характеристиам, т.е. lim F n(t) = F (t), lim x = a, lim s = lim n (x i x) n n n n n 2 = σ. i= i=

5 5 Центральной задачей математической статистики является оценка точности соответствующих приближëнных равенств F n (t) F (t), x a, s σ при конкретных фиксированных значениях объëма выборки n. Эта задача называется построением доверительных интервалов для теоретических характеристик выборки. В следующем разделе 2.5 описывается метод проверки приближëнного равенства F n (t) F (t), когда гипотетическая функция F (t) является распределения N (a, σ) с параметрами a = x и σ = s. Доверительные интервалы для параметров a и σ нормальной выборки рассматриваются в разделе 3. задания 3. Более общий метод (называемый непараметрическим методом) построения доверительного интервала для теоретического среднего произвольной выборки описывается в в разделе 3.2 задания Графическая проверка соответствия F n (t) распределению N ( x, s) Пусть G (p), 0 p, обозначает функцию, обратную G(x), x, функции стандартного нормального распределения N (0, ). Функция G (p) определена при 0 p, монотонно возрастает от до и < 0, если 0 p < /2, z = G (p) = 0, если p = /2, > 0, если /2 < p. Причем для любого p, 0 < p <, значение G (p) = G ( p). Числовые значения z могут быть вычислены с помощью таблицы Table A.3, которая показывает монотонное возрастание z от 2.33 до +2.33, когда p возрастает от 0.0 до Из формулы ( ) следует, что преобразование z = G (p) линеаризует G ( ) x a σ теоретическую функцию распределения N (a, σ), а именно: ( )) t a z = G (Pr{η < t}) = G (G = t a σ σ. Поэтому, вместо графической проверки приближенного равенства F n (t) G ( ) t x s обычно проверяют равносильное приближҷнное равенство z = G (F n (t)) t x, s поскольку графическое сравнение ступенчатой функции наиболее удобно проводить с линейной функцией. Пусть имеется выборка x = (x, x 2,..., x n ) объёма n. Графический способ проверки гипотезы о нормальности этой выборки состоит в следующем. На нормальную бумагу, т.е. в системе координат (t; z), наносится график ступенчатой функции z = G (F n (t)), построение которого делается с помощью статистической таблицы Table A.3. Следующие две таблицы вычислений иллюстрируют расчеты этой ступенчатой функции для двух выборок с объемами n = и m =, приведенными ниже в разделе 2.6, где описываются условия данного задания. Последовательность (x () x (2) x (n) ) в таблицах обозначает элементы выборки x = (x, x 2,..., x n ), записанные в порядке возрастания, и называется вариационным рядом выборки x.

6 6. Таблица вычислений преобразования z = G (F n (t)) для выборки x объёма n =. Значения выборочных характеристик: x = 0, s =. i x (i) F n (t) G (F n (t)) Интервалы t t = < t , 3 55 = < t = < t = < t = < t = < t 0 9 8, 9 0 = < t 0 0 = < t 2 2 = < t = < t = < t = < t = < t = < t < t 2. Таблица вычислений преобразования z = G (F m (t)) для выборки x объёма m =. Значения выборочных характеристик: x = 84, s =. i x (i) F m (t) G (F m (t)) Интервалы t t = < t = < t = < t = < t = < t = < t = < t , 9, 0 83 = < t = < t , 3 87 = < t = < t = < t = < t = < t = < t = < t < t

7 7 Затем в той же системе координат проводится график прямой линии z = t x, s где x и s вычисляются по вышеприведенным формулам. Наиболее удобно провести график данной прямой через три точки, которые в системе координат нормальной бумаги (t; z) имеют следующий вид: ( x s; ), ( x; 0), ( x + s; ). Если построенные таким образом графики оказываются «близкими» друг другу при значениях t в диапазоне x s t x + s, то говорят, что подтверждается гипотеза о том, что выборка x имеет распределение N (a, σ). 2.6 Условия задания 2. С помощью статистической таблицы Table A.3 нарисовать на одном и том же листе миллиметровой бумаги графики плотности g(x) и функции распределения G(x) для N (0, ). Для удобства объяснения геометрической интерпретации и связи этих функций их графики следует нарисовать в одинаковом масштабе и расположить друг под другом. Отметить на графиках g(x) и G(x) геометрическую интерпретацию односторонней и двусторонней квантилей N (0, ). 2. Сделать графическую проверку соответствия нормальному распределению полученных Е.Ю. Артемьевой двух серий (выборка объёма n = и выборка объёма m = ) результатов измерений (мсек) длины интервалов между разрядами нейрона: 69, 55, 6, 9, 87, 82, 53, 65, 0,, 5, 80, 6, 55, 63, 0, 2; 98, 65, 83, 83, 87, 9, 8, 60, 94, 83, 2, 5, 92, 0, 4, 95, 87, 8, 85, 93. Для этого провести следующие расчёты: (a) из первой (второй) выборки объёма n = (m = ) «случайно» выделить укороченную выборку объема n 0 (m 2); (b) для обеих выделенных укороченных выборок вычислить эмпирические функции распределения F n (t) и F m (t) и с помощью статистической таблицы Table A.3 преобразовать их в ступенчатые функции z = G (F n (t)) и z = G (F m (t)); (c) на одном и том же чертеже на листе миллиметровой бумаги в системе координат (t; z) i. начертить ступенчатые функции z = G (F n (t)) и z = G (F m (t)), ii. нарисовать две прямые линии вида z = t x s, отвечающие выборочным характеристикам ( x, s) укороченных выборок, и при x s t x + s сравнить эти графики с соответствующими ступенчатыми функциями.

8 8 0.8 (x , 0.975) y-axis G(x) = x g(t)dt g(x) = 2π e x2 /2 0.8 y-axis x = x-axis


1 Биномиальные вероятности

1 Биномиальные вероятности 1 А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике». Задание 1 1 Биномиальные вероятности 1.1 Определения и обозначения Пусть число p, 0 < p < 1, обозначает вероятность успеха в одном испытании, число

Подробнее

3 Доверительные интервалы

3 Доверительные интервалы 1 АГ Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 3 3 Доверительные интервалы 31 Доверительные интервалы параметров нормальной выборки 311 Математическая модель Нормальная выборка x = (x 1,

Подробнее

6 Линейный регрессионный анализ

6 Линейный регрессионный анализ 1 АГ Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 6 6 Линейный регрессионный анализ 61 Построение регрессионной прямой Пусть экспериментатор, задавая значения неслучайной переменной t, в результате

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате независимых испытаний. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

4 Дисперсионный анализ

4 Дисперсионный анализ А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 4 4 Дисперсионный анализ В статистических методах анализа данных, которые называются дисперсионным анализом, сравниваются две группы наблюдений:

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Вероятность, основные определения и примеры

Вероятность, основные определения и примеры 1 Вероятность основные определения и примеры 1. Предмет теории вероятностей Теорией вероятностей называется раздел математики изучающий математические модели экспериментов исход которых не вполне однозначно

Подробнее

Статистическая интерпретация задач 1 на биномиальные вероятности

Статистическая интерпретация задач 1 на биномиальные вероятности 1 А.Г. Дьячков, «Задания по математической статистике» Задание 9 Статистическая интерпретация задач 1 на биномиальные вероятности Задача 65. В сказке о Василисе Премудрой Иван-царевич должен был 3 раза

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд.

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд. 11 Тесты по математической статистике Тест 1 P 1 Для любого x имеет место соотношение F x правую часть Заполните Дана выборка ( 3,1,,3,1,4, 5) Составьте вариационный ряд 3 Что оценивают x и выборочная

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

( ) n n. (например: вероятности приближенно выражаются в

( ) n n. (например: вероятности приближенно выражаются в Статистическими данными называются сведения о числе объектов, обладающих теми или иными признаками. Статистический метод метод, опирающийся на рассмотрение статистических данных. Математическая сторона

Подробнее

def Интервал ( 1 ; 2 ) называют доверительным интервалом для

def Интервал ( 1 ; 2 ) называют доверительным интервалом для .0. Определение доверительного интервала Пусть θ некоторый неизвестный параметр распределения. По выборке X,..., Х из данного распределения построим интервальную оценку параметра θ распределения, то есть

Подробнее

Лекция 2. Распределения и доверительные интервалы

Лекция 2. Распределения и доверительные интервалы Лекция. Распределения и доверительные интервалы x 1, x,, x n x 1, x,, x n Теоретическая часть 1. Распределение случайной величины и функция плотности распределения. Нормальное распределение, математическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Исходные данные Задана большая выборка, объем которой п 00..49 3.548 4.409 5.08 0.39.096 5.4 4.586 4.49.678 4.08 3.993 4.3 6.9 -.48 5.8 5.07 3.889.3 5.59 9.377.644

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 3. Проверка статистических гипотез

Лекция 3. Проверка статистических гипотез Лекция 3. Проверка статистических гипотез 1. Одновыборочный критерий Стьюдента (t-критерий). Двухвыборочный критерий Стьюдента (t-критерий) 3. Распределение хи-квадрат и критерий Пирсона 4. Распределение

Подробнее

Расчетно-графическая работа. Теория вероятностей

Расчетно-графическая работа. Теория вероятностей Расчетно-графическая работа Теория вероятностей Вариант n = 4 Задание 1. В урне 6 белых шаров и 6 черных шаров. Найти вероятность, что: А) вытащили белый шар; Б) вытащили белых шара; В) вытащили 3 черных

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Расчетно-графическая работа

Расчетно-графическая работа Расчетно-графическая работа РГР на тему «Статистический анализ экспериментальных данных» Дана выборка объем генеральной совокупности. 1) Построить статистический ряд распределения и многоугольник распределения.

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина. Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

i с одинаковым законом распределения.

i с одинаковым законом распределения. Лаборатория прикладной математики. Основы обработки выборочных данных. 1. Введение Множество однородных объектов, каждый из которых является носителем одного и того же признака называется генеральной совокупностью.

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать .8. Постановка задачи проверки статистических гипотез Пример _кз Задачу проверки статистических гипотез рассмотрим на примере. Пример _кз (двусторонний критерий). В результате многократных измерений некоторого

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

1. Описательная статистика

1. Описательная статистика 1. Описательная статистика 1.1. Теоретические вопросы с ответами 2. Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? 3. Что такое простой случайный выбор? 4. Укажите виды реального выбора. 5. Опишите

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Стандартные распределения и их квантили

Стандартные распределения и их квантили Стандартные распределения В статистике, эконометрике и других сферах человеческих знаний очень часто используются стандартные распределения. В частности, они используются для проверки гипотез и построения

Подробнее

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ Измерен характерный размер X деталей, обрабатываемых на некотором станке. Замерено 60 деталей. Данные замеров приведены в таблице. детали Размер детали Размер детали Размер 7,58

Подробнее

Предельные теоремы 1

Предельные теоремы 1 Предельные теоремы 1 Неравенства Чебышёва Теорема. X 0 1. Если случайная величина неотрицательна и имеет конечное математическое ожидание MX, то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышёва

Подробнее

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров { выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров и их критерии методы получения оценок параметров метод

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)).

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)). Оглавление Глава 5 Предельные теоремы 5 Неравенство Чебышѐва 5 Типы сходимости случайных величин 3 Диаграмма зависимости видов сходимости 3 53 Суммы случайных величин 4 Среднее арифметическое случайных

Подробнее

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат

Оценки параметров и критерий согласия хи-квадрат МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9

ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9 https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfetv ВЗФЭИ. Контрольная работа 4 Вариант 9 Задача. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 00 участников соревнования было отобрано 00 человек. Их распределение

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2014 1 / 29 Cодержание Содержание

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

DOI: /AUT

DOI: /AUT 30 АВТОМЕТРИЯ. 2016. Т. 52, 1 УДК 519.24 КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ Е. Л. Кулешов Дальневосточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8 E-mail: kuleshov.el@dvfu.ru

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 14 Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза предположение о некоторой закономерности, относящейся к одной или нескольким случайным

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач 8 Канонические непрерывные законы распределения 8 Определения и формулы для решения задач Определение Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл M x f ( x) dx Этот интеграл

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее