МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ» В.Н. Деснянский, Н.Б. Логинова О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И И И Х С В О Й С Т В А П р а к т и к у м п о т е м е «Л и н е й н а я а л г е б р а» Москва 0 0

2 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ» В.Н. Деснянский, Н.Б. Логинова О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И И И Х С В О Й С Т В А П р а к т и к у м д л я с т у д е н т о в и н с т и т у т а И П С С Москва 0

3 УДК.6 Д Деснянский В.Н., Логинова Н.Б. Определители и их свойства: Практикум по теме «Линейная алгебра». М.: РУТ (МИИТ), с. Практикум по теме «Линейная алгебра» к разделу «Определители» составлены для студентов института ИПСС и содержит основные вопросы и утверждения, которые позволяют в должной степени ознакомиться с данным разделом. Для закрепления теоретического материала в практикуме рассмотрены примеры решения задач. РУТ (МИИТ), 0

4 . Решение системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными Рассмотрим систему уравнений y x y x, (.) в которой коэффициенты,,, при неизвестных x, y не обращаются в нуль, и решим эту систему методом подстановки. Для этого, например, из первого уравнения системы выразим переменную x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы: y y y x. (.) Преобразуем второе уравнение системы (.), умножив его на а и сгруппировав коэффициенты для нахождения значения переменной у: y y, то есть ) ( y. Тогда y. (.) Подставим полученное выражение в первое уравнение системы (.) и найдём значение переменной х: x ( )

5 ( ( ) ). (.) Таким образом, с учётом соотношений (.) и (.) мы получили решение системы (.) в виде: x. (.) y Обратим внимание, что для нахождения значений неизвестных x и y мы пришли к выражениям, которые по своему виду идентичны друг другу. А именно: в числителе и в знаменателе дробей (.) записаны разности произведений, составленные по коэффициентам при неизвестных в исходной системе (.). Тем самым мы вывели формулы нового метода решения систем линейных алгебраических уравнений метода Крамера. Если записать полученные выражения в ином виде, то мы и придём к понятию определителя. Для этого преобразуем выражения в числителях и знаменателе дробей системы (.).. Определитель второго порядка Рассмотрим сначала знаменатель выражений системы (.):. Это разность произведений четырёх чисел, которую можно представить иначе, записав её в виде квадратной таблицы из двух строк и двух столбцов:. Полученный таким образом объект и называют определителем второго порядка. Определение.: Определителем второго порядка называется число, которое ставится в соответствие квадратной таблице из двух строк и двух столбцов, обозначается символом и вычисляется

6 по её элементам в соответствии с правилом:. (.) Пример.. ( ) ( ) +. Две вертикальные черты по одной с каждой стороны таблицы как раз и являются признаком того, что мы имеем дело именно с таким объектом, как определитель. Обратим внимание, что в определении. чётко указывается на то обстоятельство, что определитель второго порядка вычисляется именно для квадратной таблицы. Это важно: понятие определителя формулируется только для таблиц, число строк и столбцов в которых совпадает такие таблицы и называют квадратными. Определение.: Диагональ определителя, идущая из его верхнего левого в нижний правый угол, называется главной диагональю определителя. Диагональ определителя, идущая из его верхнего правого в нижний левый угол, называется побочной диагональю определителя. В определителе (.) диагональ главная диагональ определителя, диагональ а его побочная диагональ. Тогда правило для вычисления определителя второго порядка можно сформулировать следующим образом. Правило.: Чтобы вычислить определитель второго порядка, необходимо из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, вычесть произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.. Определитель третьего порядка Понятие определителя третьего порядка вводится аналогично определению. из предыдущего параграфа для определителя второго порядка. Определение.: Определителем третьего порядка называется число, которое ставится в соответствие квадратной таблице из трёх

7 строк и трёх столбцов, обозначается символом и вычисляется по её элементам в соответствии с определённым правилом. Для вычисления определителя третьего порядка существуют различные правила. Разберём некоторые из них (см. правила.,. и.). Правило. (правило треугольника): Чтобы вычислить определитель третьего порядка с помощью правила треугольника, необходимо произвести следующие действия: + +. (.) Пример.. ( ) + + ( ) ( ) ( )( ) Правило треугольника имеет существенный недостаток: оно не является универсальным оно применимо для вычисления определителей только третьего порядка. Поэтому нам понадобится общее правило, которое можно использовать для вычисления определителей любого порядка.. Минор и алгебраическое дополнение Прежде чем формулировать универсальное правило вычисления определителей, необходимо познакомится с двумя новыми понятиями понятиями минора и алгебраического дополнения, которые вводятся для каждого элемента определителя. Определение.: Минором элемента называется определитель, который получается из исходного определителя после вычёркивания той строки и того столбца, на пересечении которых расположен данных элемент. 6

8 Пример.. Рассмотрим определитель из примера.:. Чтобы получить, например, минор элемента, вычеркнем первую строку и первый столбец в заданном определителе:. Оставшиеся четыре числа записываем в виде определителя второго порядка:. Это и есть минор элемента. Аналогично, чтобы записать, например, минор элемента, в исходном определителе вычёркиваем вторую строку и третий столбец: порядка:. Затем выписываем полученный определитель второго. Это минор элемента. Определение.: Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком ( ) i + j, где i номер строки, в которой расположен данный элемент, а j номер столбца, в котором находится этот элемент. Пояснение. Выражение вида ( ) i + j определяет именно знак, с которым следует учитывать минор элемента. Действительно, если сумма i + j чётное число, то число возводится в чётную степень и выражение ( ) i + j равно единице: в этом случае алгебраическое дополнение элемента совпадёт с его минором. Если же сумма i + j нечётна, то число следует возвести в нечётную степень, тогда выражение ( ) i + j будет равно, то есть при вычислении алгебраического дополнения элемента следует попросту поменять знак его минора. Пример.. Найдём алгебраические дополнения элементов из примера. для определителя. Чтобы получить алгеб-

9 раическое дополнение элемента, сначала выписываем минор этого элемента (см. пример.), а затем проверяем, с каким знаком этот ми- нор следует учитывать: ( ) +. Показатель степени ( + ) числа получается именно таким, потому что элемент расположен в первой строке и в первом столбце. Таким образом, мы получаем, что алгебраическое дополнение элемента совпадает с его минором, так как ( ) +, то есть знак у минора элемента менять не нужно. Аналогично, алгебраическое дополнение элемента получим, записав ( ) +, так как элемент находится во второй стро- ке и в третьем столбце. Значит, алгебраическое дополнение элемента отличается от его минора только знаком. Теперь, используя понятие алгебраического дополнения элемента, мы сможем вывести правило, которое позволит вычислять определители любого порядка. Для этого перепишем правило треугольника., сгруппировав слагаемые иначе а именно: соберём в пары слагаемые, содержащие общим множителем элементы а, и с первой строки, затем в каждой такой паре вынесем общий множитель за скобку: ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ). (.) Разности в скобках можно записать с помощью формулы (.) и правила. в виде определителей второго порядка. Тогда получим: +. Наконец, проанализируем полученное выражение.

10 Определитель, который умножается на элемент, получается из исходного определителя (.), если в нём вычеркнуть первую строку и первый столбец, на пересечении которых находится именно элемент. Это означает, что в соответствии с определениями. и. определитель элемента. Аналогично определитель в точности равен алгебраическому дополнению, записанный после элемента, получается после вычеркивания в определителе (.) той строки (первой) и того столбца (второго), на пересечении которых расположен элемент. А знак «минус» перед самим элементом свидетельствует о том, что вычисляем именно алгебраическое дополнение элемента. Таким образом, элемента (см. пример.). это алгебраическое дополнение Теперь совершенно ясно, что определитель, на который умножается элемент, совпадает с алгебраическим дополнением именно этого элемента элемента. Таким образом, для вычисления определителя (.) мы умножили каждый элемент первой строки на соответствующее этому элементу алгебраическое дополнение, а затем сложили полученные произведения. Пояснение. Так как строки и столбцы определителя равноправны (что показано далее в параграфе ), для вычисления определителя мы могли выбрать не только первую, но и любую другую строку, а также любой другой столбец. Правило. (вычисление определителя с помощью алгебраических дополнений разложением его по строке или по столбцу): Чтобы вычислить определитель, разложив его по элементам любой строки или любого столбца, необходимо составить сумму произведений каж- 9

11 дого элемента этой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение каждого элемента этой строки (столбца). Пример.. Вычислим определитель из примера., разложив его по строке и по столбцу. Сначала разложим определитель по первой строке: ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ( ) ) ( ( ) ) + ( ( ) ) ( 6 + ) (6 + + ) + ( + ) Пояснение. Стрелка сбоку (сверху) от определителя указывает на строку (столбец), по которой раскладывается определитель. Теперь вычислим той же определитель, разложив его по второму столбцу: ( ) + ( ) + + ( ) + ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (6 + ) ( ) ( 0) Свойства определителей Сформулируем основные свойства определителей и докажем их на примере определителей третьего порядка. Свойство.: Если каждую строку определителя заменить столбцом с тем же номером, то определитель не изменит своего значения:. 0

12 Доказательство. Для доказательства этого равенства определитель в левой части раскрываем по первой строке, а определитель в правой части по первому столбцу. Пояснение. Это свойство означает, что строки и столбцы определителя равноправны, то есть все свойства определителей, сформулированные для строк, справедливы также и для его столбцов. Пример... Свойства. (свойства линейности): (а) Если элементы одной из строк определителя представлены в виде суммы, то и сам определитель можно записать в виде суммы нескольких определителей: +. Доказательство. Для доказательства свойства раскрываем определители в обеих частях равенства по первой строке (в общем случае по той строке определителя левой части, которая содержит сумму нескольких слагаемых). Пример.. Представим первую строку определителя в виде суммы двух слагаемых тогда нам не потребуется производить дальнейшие вычисления: + + 0,

13 так как первый определитель мы уже вычисляли (см. примеры. и.), а второй определитель равен нулю (о чём мы узнаем далее из следствия.(а)). (б) Постоянный множитель можно выносить из строки за знак определителя:. Доказательство. Для доказательства этого свойства определители в обеих частях равенства по второй строке (в общем случае по той строке определителя левой части, которая содержит общий множитель). Пояснение. Если общий множитель есть в нескольких строках и столбцах определителя, то из каждой строки и столбца выносится свой множитель. Пример.. В определителе 9 6 последовательно выносим три множителя: в первой строке, в третьей строке и во втором столбце. Тогда получим (вычисление последнего определителя см. в примерах. и.): Свойство. (свойство кососимметричности): Если в определителе один раз поменять местами две строки, то определитель изменит

14 знак:. Доказательство. Для доказательства этого равенства определитель в левой части раскрываем по первой строке, а определитель в правой части по второй строке. Пример... Следствие. (а): Если определитель имеет две равные строки, то он равен нулю. Доказательство. Если мы поменяем местами эти равные строки, то, с одной стороны, ничего не изменится, но, с другой стороны, по свойству. определитель изменит знак на противоположный. Но существует только одно число, которое не изменится при смене знака это число нуль:, то есть Δ Δ; значит, Δ 0 и Δ 0. Следствие. (б): Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю. Доказательство. Согласно свойству. (а) общий множитель, равный коэффициенту пропорциональности, можно вынести из строки за знак определителя. После этого мы получим определитель, имеющий две равные строки а такой определитель в силу следствия. (а) обращается в нуль:

15 0. Пример Свойство. (свойство Гаусса): Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой его строки, умноженные на любое отличное от нуля число, то определитель не изменит своего значения. Пояснение. Сначала поймём, какие именно действия с определителем требует от нас выполнить данное свойство. Итак, мы имеем исходный определитель Δ Свойство Гаусса требует, чтобы мы к элементам одной строки этого определителя (например, первой) прибавили элементы другой его строки (например, второй), умноженные на какое то ненулевое число. Поэтому умножим, например, вторую строку исходного определителя Δ на число 0. Тогда мы получим строку вида., которую сложим по свойству. (а), например, с первой строкой исходного определителя Δ, в результате чего получим строку. Эта строка и будет первой строкой нового определителя, который получится у нас после применения свойства Гаусса. Таким образом, в результате применения свойства Гаусса мы должны вычислить такой определитель:

16 . (.) Покажем, что этот определитель совпадёт с исходным определителем Δ. Доказательство. Для доказательства последовательно применяем к определителю (.) свойства. (а),. (б) и следствие. (а): + + Δ + λ 0 Δ. Пример.6. Вновь вычисляем определитель из примера., но теперь воспользуемся свойством Гаусса. Для этого умножим, например, вторую строку определителя на и сложим её с первой строкой (внизу под определителем подписана строка, которая получается после умножения второй строки на и которую мы складываем с первой строкой): ) ( не изменилась строка не изменилась строка стр. I стр. II. стр. II Пояснение. Внизу под определителем будем записывать вспомогательные строки, а римскими цифрами справа от определителя и от вспомогательной строки будем обозначать номера строк, с которыми работаем. Теперь вычислим полученный определитель, разложив его,

17 например, по третьей строке: ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ( ) ( )) ( ( ) ) + ( ( ) ( ) ) ( + 6) ( 6) + ( + 6) Однако данный пример скорее является демонстрационным, но не показательным, так он не раскрывает всю мощь и целесообразность применения свойства Гаусса для вычисления определителей. Поэтому сначала обратимся к пояснению и затем рассмотрим ещё один принципиальный пример. Пояснение. Вычислять определитель будет наиболее легко и быстро в том случае, когда строка и/или столбец определителя содержат нули. В частности, если бы столбец определителя третьего порядка содержал два нуля, то при разложении этого определителя по такому столбцу вместо вычисления трёх определителей второго порядка нам потребовалось бы вычислить всего один такой определитель, например: Поэтому и в общем случае свойство Гаусса целесообразно и эффективно применять именно таким образом, чтобы получить хотя бы в одном столбце (строке) определителя как можно больше нулей. Пояснение. Ту строку (или столбец), с которой мы работаем (то есть строку, которую мы будем умножать на необходимые нам числа) для преобразования определителя по свойству Гаусса, переписываем без изменения. Для работы удобно использовать ту строку (столбец), которая содержит элемент, равный или ; а также строки (столбцы), содержа- 6

18 щие пропорциональные элементы. Правило. (вычисление определителя с помощью свойства Гаусса): Чтобы вычислить определитель с помощью свойства Гаусса, необходимо применить к определителю это свойство таким образом, чтобы в строке (столбце) данного определителя получить наибольшее количество нулей. Рассмотрим пояснение и правило. на примерах. Пример.. Теперь для вычисления определителя из примера. вновь воспользуемся свойством Гаусса, но на этот раз попытаемся получить два нуля в каком нибудь столбце определителя, например, в третьем. Для этого будем работать со второй строкой определителя (так как третий элемент этой строки равен, что удобно для выполнения преобразований), умножив её на и сложив с первой, а затем на и сложив с третьей (внизу под определителем, как и прежде, подпишем вспомогательные строки, которые получатся после умножения второй строки на и на и которые мы впоследствии сложим, соответственно, с первой и с третьей строками): ( )( ) 9 0 II стр. I стр. строка не изменилась 0 II стр. III стр II стр. II стр. Теперь раскрываем определитель именно по третьему столбцу: ( ) ( ) + 9 ( ) ( 9) ( + 0). Этот же пример удобно решать, получив нули во втором столбце определителя и работая с его первой строкой, в которой находится элемент, равный. В этом случае первую строку определителя умно-

19 жим на и на, затем сложим, соответственно, с его второй и третьей строками (внизу под определителем подписываем вспомогательные строки, а римскими цифрами обозначаем номера строк): ( ) ( ) I стр. 0 I стр I стр. II стр. I стр. III стр. Теперь раскрываем определитель именно по второму столбцу, в котором мы получили два нуля: ( ) ( ( ) 9 9) ( ). Пример.. Вычислим определитель четвёртого порядка: 9. В этом случае целесообразно прежде всего воспользоваться свойством Гаусса. Для этого сначала выбираем строку или столбец, с которой мы будем работать. Например, будем работать с третьей строкой. Это означает, что мы постараемся получить нули в третьем столбце на месте элементов, и. Умножим третью строку определителя на и, затем сложим, соответственно, с его первой и второй строками, а также просто сложим строки третью и четвёртую, чтобы получить нуль на месте элемента (внизу под определителем подписываем вспомогательные строки, а римскими цифрами обозначаем номера строк):

20 ( ) ( ) III стр. 9 III стр. 9 9 ( ) III стр. I стр. III стр. II стр. III стр. IV стр. Вычисление полученного определителя третьего порядка можно ещё упростить, получив нули в первом столбце. Для этого умножим третью строку на и сложим её с первой, а также попросту сложим первую и вторую строки: 9 0 III стр. I стр. 9 0 II стр. I стр.. 9 ( ) 9 III стр. Наконец, разложим полученный определитель по первому столбцу: ( ) + ( ) ( 0) 60. 9

21 Учебно методическое издание Деснянский Валерий Николаевич Логинова Надежда Борисовна О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И И И Х С В О Й С Т В А П р а к т и к у м п о т е м е «Л и н е й н а я а л г е б р а» Изд. - 0


M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Франц Герман. Формула определителя (www.franz-hermann.com)

Франц Герман. Формула определителя (www.franz-hermann.com) Франц Герман (www.frz-herm.com) Рассмотрим определитель - го порядка, инвертированный по отношению к единичному. Докажем, что такой определитель вычисляется по формуле: ( ) ( ) ( ) () Мы думаем, что почти

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ Ю.Л.Калиновский Введение Решение квадратных уравнений Решение квадратных уравнений c помощью разложения на множители. Решение квадратных уравнений c помощью дополнения до полного

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a Лекция 1 Определители 2-го и 3-го порядков При решении систем линейных уравнений а также в ряде других задач используются специальные математические выражения называемые определителями. Рассмотрим систему

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Тема 2. Системы уравнений и методы их решения

Тема 2. Системы уравнений и методы их решения Тема Системы уравнений и методы их решения Содержание 1 Общие сведения о системах уравнений Метод подстановки Расщепление системы на две системы Сложение и вычитание 5 Умножение и деление 6 Сложные системы

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

В Ы А С Л Ш Г Э Л Е М Е Н Т Ы

В Ы А С Л Ш Г Э Л Е М Е Н Т Ы Бидерман ВИ В Ы А С Л Ш Г Э Л Е М Е Н Т Ы Й Б Р Ы Хабаровск 2008 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Матрицы. Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Матрицы. Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: Матрицы Матрица это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КG Доц. др. Кыдыралиев Сыргык КАПАРОВИЧ Американский Университет в Кыргызстане. Доц. др. Урдалетова Анаркуль БУРГАНАКОВНА Кыргызско-Турецкий Университет «Манас».

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Краткое содержание курса алгебры VII класса

Краткое содержание курса алгебры VII класса Краткое содержание курса алгебры VII класса Алгебраические выражения Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок Например,, () 9:(0,5,5) числовое выражение Порядок выполнения

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Научно-исследовательская работа

Научно-исследовательская работа Научно-исследовательская работа «Исследования способов вычисления определителей» Выполнили: Тимиркаева Альвина Вячиславовна, Нигматуллина Айгуль Маратовна Студентки 1-го курса ИТФ Елабужского Института

Подробнее

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Практическая работа Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Содержание работы: Основные понятия Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m n чисел

Подробнее

Контрольная по алгебре с решением

Контрольная по алгебре с решением Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Математика. А.Е.Гарслян МЕТОД ЖОРДАНА - ГАУССА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Математика. А.Е.Гарслян МЕТОД ЖОРДАНА - ГАУССА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Математика А.Е.Гарслян МЕТОД ЖОРДАНА - ГАУССА Методические указания к практическим занятиям Москва 00 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лабораторная работа по численным методам с решением

Лабораторная работа по численным методам с решением Лабораторная работа по численным методам с решением Задание 1. Рассмотрим функцию, где Провести математическое исследование графика функции. Построить эскиз графика функции. Изолировать нули функции, то

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее