В. К. Манжосов, О. Д. Новикова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "В. К. Манжосов, О. Д. Новикова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов, О. Д. Новикова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ Практикум Ульяновск УлГТУ 08

2 УДК 539.9(076 ББК 30.я7 М3 Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент Н. И. Куканов Рекомендовано научно-методической комиссией строительного факультета университета в качестве практикума М3 Манжосов, Владимир Кузьмич Геометрические характеристики плоского сечения : практикум / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. Ульяновск : УлГТУ, с. Представлен в соответствии с учебными программами по дисциплине «Сопротивление материалов» для направлений «Строительство», «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств». Практикум предназначен для самостоятельной работы, выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине. Работа подготовлена на кафедре «Промышленное и гражданское строительство». УДК 539.9(076 ББК 30.я7 Учебное электронное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич, НОВИКОВА Ольга Дмитриевна ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ Практикум Редактор Н. А. Евдокимова ЭИ 05. Объем данных 0,6 Мб. Печатное издание Подписано в печать Формат 60 8 / 6. Усл. печ. л.,09. Тираж 70 экз. Заказ 37. Ульяновский государственный технический университет, 307, Ульяновск, Сев. Венец, 3. ИПК «Венец» УлГТУ, 307, Ульяновск, Сев. Венец, 3. Тел.: ( ; е-mail: venec.ulstu.ru Манжосов В. К., Новикова О. Д., 08 Оформление. УлГТУ, 08

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.... ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ Основные понятия Изменение геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей Центр тяжести плоского сечения Главные оси и главные моменты инерции сечения Положение главных осей инерции в сечениях, имеющих ось симметрии Расчет геометрических характеристик сложного сечения Геометрические характеристики простейших сечений ПРИМЕР. РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения».... ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения» РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения» Задание Задание... 3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

4 ВВЕДЕНИЕ «Сопротивление материалов» является учебной дисциплиной, в которой излагаются теоретические основы и методы расчета стержневых систем на прочность, жесткость и устойчивость. К геометрическим параметрам, определяющим стержневую систему, можно отнести длину стержней, кривизну продольной оси стержня, а также геометрические параметры поперечного сечения стержня. Наиболее понятным для начинающего изучать дисциплину «Сопротивление материалов» является такой параметр, как площадь поперечного сечения. Однако, как только мы приступаем к расчету стержня при том или ином нагружении, нам необходимо составить расчетную схему. При построении расчетной схемы стержень представляется, как правило, в виде линии, изображающей его продольную ось, к точкам которой должны быть приведены силы, действующие на стержень. Но продольная ось это линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений. И вот мы видим, что кроме площади поперечного сечения нам необходимо знать положение центра тяжести плоской фигуры этого сечения. При определении координат центра тяжести плоской фигуры возникает необходимость определения статических моментов плоского сечения относительно оси, лежащей в плоскости сечения. Если статический момент сечения относительно некоторой оси равен нулю, то центр тяжести сечения лежит на этой оси. Такая ось называется центральной осью. Точка пересечения двух центральных осей определяет положение центра тяжести плоского сечения. При простых видах нагружения стержня (растяжение-сжатие, кручение, изгиб используются гипотезы о том или ином перемещении поперечного сечения как жесткого диска относительно продольной оси: продольное перемещение (при центральном растяжении-сжатии, поворот поперечного сечения вокруг продольной оси (при кручении, поперечное линейное перемещение и поворот поперечного сечения вокруг главной центральной оси, перпендикулярной продольной оси (при изгибе. И здесь при определении напряжений в точках поперечного сечения, расчете линейных и угловых перемещений поперечных сечений возникает необходимость определения таких геометрических характеристик поперечного сечения, как полярного, осевого и центробежного моментов инерции сечения относительно оси, лежащей в плоскости сечения, положения главных центральных осей в плоскости сечения. Рассмотрению этих задач и посвящены основные разделы практикума.

5 . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ.. Основные понятия При определении напряжений в сечениях стержней, расчете линейных и угловых перемещений поперечных сечений, расчете стержня на устойчивость расчетные зависимости содержат величины, характеризующие геометрию сечения. К таким величинам относятся площадь сечения, статический момент сечения относительно оси в плоскости сечения, осевой момент инерции сечения, полярный момент инерции сечения, центробежный момент инерции сечения. Эти величины определяют геометрические характеристики сечения. Итак, к геометрическим характеристикам плоского сечения относятся: площадь сечения А dа, где dа площадь элементарной площадки А сечения; статический момент сечения относительно заданной оси, лежащей в плоскости сечения; осевой момент инерции сечения относительно заданной оси, лежащей в плоскости сечения; полярный момент инерции сечения относительно заданной точки, лежащей в плоскости сечения; центробежный момент инерции сечения относительно двух заданных взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости сечения. Статические моменты сечения Статическим моментом сечения относительно некоторой заданной оси в плоскости сечения называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dа на координаты этих площадок, определяющих их расстояние до соответствующей оси. Если, например, имеем плоское сечение (рис.., то статический момент этого сечения относительно оси : а статический момент сечения относительно оси где у, координаты элементарной площадки. S S d, (. d, (. 5

6 Рис... Схема плоского сечения Рис... Схема прямоугольного сечения Если плоское сечение представлено простой геометрической фигурой, например, прямоугольником с параллельными его сторонам координатными осями и (рис.., то вычисление интегралов (. и (. для определения S и S не представляет сложности. Действительно, так как площадь элементарного прямоугольника d= d d (где d, d стороны элементарного прямоугольника, то max min S d= d d = max min max min, (.3 min min max max S d= d d = max min max min, (. min min где max и max максимальное значение координат точек сечения; min и минимальное значение координат точек сечения. min Моменты инерции сечения Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой заданной оси в плоскости сечения называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты координат этих площадок, определяющих их расстояние до соответствующей оси. Для плоского сечения (рис.. осевые моменты инерции этого сечения относительно оси и оси определяются путем вычисления интегралов J d, J d. (.5 А Если сечение представлено простой геометрической фигурой, например, прямоугольником (рис.. с параллельными его сторонам координатными осями, то вычисление интегралов (.5, учитывая, что d =d. d, приводит к следующим выражениям: max max 3 3 J d= d d = max min max min, 3 (.6 min min А 6

7 max max 3 3 J d= d d = max min max min. 3 (.7 min min Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых заданных двух взаимно перпендикулярных осей в плоскости сечения называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на координаты этих площадок. Для плоского сечения (рис.. центробежный момент этого сечения относительно координатных осей у и определяется вычислением интеграла J d. (.8 Если сечение прямоугольник с параллельными его сторонам координатными осями (рис.., то max max J d= d d= max min max min. (.9 min min Полярным моментом инерции сечения относительно заданной в плоскости сечения точки (полюса называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой точки. Для плоского сечения (рис.. полярный момент этого сечения относительно точки О равен J p d, (.0 где расстояние от полюса до элементарной площадки. Так как, то, (. J ( d d dj J p т. е. полярный момент инерции сечения относительно точек пересечения координатных осей равен сумме осевых моментов инерции сечения относительно этих осей... Изменение геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей Рассмотрим особенности изменения геометрических характеристик плоского сечения при изменении положения координатных осей. Пусть мы имеем плоское сечение (рис..3, геометрические характеристики которого относительно исходной системы координатных осей известны и равны S, S, J, J, J. i i i i i i 7

8 Рис..3. Схема изменения координат элементарной площадки при различном расположении координатных осей Каковы будут характеристики плоского сечения относительно координатных осей у 0 и 0, проходящих через точку О и параллельных исходной системе координатных осей у i и i? Каковы значения этих характеристик относительно координатных осей и, проходящих через точку О под углом к исходной системе координатных осей? Геометрические характеристики сечения относительно осей у 0 и 0, параллельных исходной системе координатных осей и проходящих через заданную точку О с координатами у i (О и i (О Геометрические характеристики сечения относительно новых координатных осей у 0 и 0 в соответствии с приведенными выше формулами определяются путем вычисления интегралов (. S d, S d, J d, J d, J d, где 0 и 0 координаты элементарной площадки в новой системе координат 0 и 0. Из схемы, приведенной на рис..3, видно, что 0 i b, 0 i a, (.3 где a i( O, b i( O координаты точки О в системе координат у i и i, модуль которых определяет расстояние соответственно между осями 0 и i (модуль a, 0 и i (модуль b. Подставляя (.3 в (., получим 8

9 (. S a d d a d S a, 0 i i i S ( 0 i b d i db ds i b, (.5 ( (, (.6 J a d a a d J as a 0 i i i i i, (.7 J ( b d ( b b d J bs b 0 i i i i i J, 0 0 ib ia d J as i i bs i ab (.8 i где d площадь сечения. Геометрические характеристики сечения относительно осей и, проходящих через заданную точку О с координатами у i (О и i (О и расположенных к исходной системе координатных осей под углом Геометрические характеристики сечения относительно координатных осей и (рис..3 определяются вычислением интегралов: (.9 S d S d J d J d J d,,,,, Из схемы на рис..3 несложно определить, что = 0 cos + 0 sin, = 0 cos 0 sin. (.0 Подставляя (.0 в (.9, после преобразований (рекомендуем выполнить их самостоятельно получим S = S 0 cos S 0 sin, S = S 0 cos + S 0 sin, J = J 0 cos + J 0 sin J 0 0 sin, J = J 0 cos + J 0 sin + J 0 0 sin, где J = J 0 0 cos + ( J J 0 0 sin, (. S, S, J, J, J геометрические характеристики относительно осей 0 и 0, параллельных исходных осям у i и i, значения которых определяются по формулам (. (.8. Формулы (. указывают на следующее правило. Для того чтобы определить геометрические характеристики сечения относительно произвольной системы координатных осей и, лежащих в плоскости сечения и проходящих через заданную точку под углом к исходной системе координатных осей у i и i, необходимо 9

10 вначале по формулам (. (.8 определить геометрические характеристики сечения относительно осей 0 и 0, параллельных исходным осям у i и i. Затем уже по формулам (. определить геометрические характеристики сечения относительно осей и, расположенных к исходным осям под углом..3. Центр тяжести плоского сечения Рассмотрим формулы (. и (.5 и на их основе с учетом (.3 составим выражения, определяющие статические моменты сечения относительно осей, проходящих через некоторую точку С, где, S S ( C, S S ( C, (. i i c i c i C i C координаты точки С в системе координат у i i и i. Существует такое положение точки С, для которого статические моменты сечения относительно осей у с и с равны нулю, т. е. S 0, S 0. Для этого положения точки С формулы (. примут вид c откуда c S ( C 0, S ( C 0, i i i /, / C S i i i C S. (.3 i i Эта точка С называется центром тяжести сечения, и координаты центра тяжести сечения определяются по формулам (.3. Можно решать и обратную задачу: зная координаты центра тяжести C, C в системе координат у i и i, найти статические моменты сечения сечения i S и i i S относительно координатных осей у i и i. Из (.3 следует i S ( C, S ( C. (. i i Если статические моменты сечения относительно осей у c и c, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю ( S = 0, S = 0, то статические моменты сечения относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равны нулю. Действительно, из формул (. для осей и, проходящих через центр тяжести (точку С под углом, так как S = S с = 0, S с cos S с = 0. S с sin = 0, i S = i S с cos + c S с sin = 0, Координатные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно центральных осей статические моменты сечения равны нулю. c 0

11 .. Главные оси и главные моменты инерции сечения Выделим из формул (. уравнения, определяющие осевые моменты инерции плоского сечения относительно расположенных под углом координатных осей и, J = J 0 cos + J 0 sin J 0 0 sin, J = J 0 cos + J 0 sin + J 0 0 sin. (.5 Заметим, что сумма осевых моментов инерции J J J J ( есть величина постоянная и не зависит от ориентации координатных осей у и. В то же время слагаемые J и J каждое в отдельности зависит от тригонометрических функций cos и sin и являются периодическими функциями. Существуют ли экстремумы этих функций? Возьмем производную по, например, dj / d J J sin J cos и приравняем ее к нулю при 0 (где 0 угол, определяющий ориентацию координатных осей у и, при которой осевые моменты инерции достигают экстремума. В результате получим ( J J sin J cos 0, откуда J 0 0 tg 0 J J 0 0, (.7 J 0 = arctg 0 0 k, k 0,,,.... (.8 J J 0 0 Оси, относительно которых моменты инерции сечения достигают максимума или минимума, называются главными осями инерции сечения. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции сечения относительно главных осей называются главными моментами инерции сечения. Так как при 0 осевые моменты инерции сечения достигают экстремума, то, если один из них достигает максимума, то другой достигает минимума, так как сумма осевых моментов относительно координатных осей у и по формуле (.3 есть величина постоянная. Из формул (.5 главные моменты инерции сечения при 0 J J cos J sin J sin, (

12 J J J 0 J 0 00 cos sin sin (.30 0 Формулы (.9 и (.30, если освободиться от тригонометрических функций, можно преобразовать к виду 0 0 J J J J J 0 J J J J J J J J 0 J J J 0 0 Из (.3 и (.3 следует: если J J, 0 0 то J = J =, ( (.3, т. е. ось при 0 будет осью максимум (ось, относительно которой осевой момент инерции сечения достигает максимума. Если J < J, 0 то 0 J J = = 0 0, т. е. ось будет осью минимум. Если J= J, 0 то использование формул (.3 и (.3 вызывает 0 неопределенность типа деление на ноль. Поэтому в этом случае их целесообразно преобразовать к виду J J J J J J J J J J J J ,. (.33 (.3 Центробежный момент инерции сечения относительно главных осей из формулы (. при 0 равен ( J J cos ( J J sin Разделим левую и правую части равенства на J J sin 0 a : 0 0 J J (.35 J J sin J J tg J 0 0 Учитывая (.7: tg 0 J J 0 0 J J t 0 g 0 0 J для правой части (.35, получим J J J J J J =

13 Так как правая часть (.35 равна нулю, то равна нулю и левая часть равенства (.35: J 0 = 0, J 0. 0 J J sin Отсюда следует, что центробежный момент инерции плоского сечения относительно главных осей инерции сечения равен нулю..5. Положение главных осей инерции в сечениях, имеющих ось симметрии На рисунке. изображено сечение, имеющее ось симметрии. Ось симметрии и ось, перпендикулярная оси симметрии, являются главными осями инерции сечения. Центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей и (рис.. равен I II, (.36 J d d d Рис... Плоское сечение с осью симметрии Каждой элементарной площадке d с положительной координатой (эту часть сечения обозначим А I соответствует такая же элементарная площадка d с той же координатой, но с отрицательной координатой у (эту часть сечения обозначим А II. Так как А /, то из (.36 I II J d d 0. / / Так как центробежный момент 0 J, то оси и являются главными осями инерции сечения. Ось симметрии является и центральной осью сечения, так как S = d d d d d 0, I II 3

14 т. е. статический момент сечения относительно оси симметрии равен нулю, а это соответствует тому, что ось симметрии проходит через центр тяжести сечения и является центральной осью. Чтобы ось, перпендикулярная оси симметрии, являясь главной осью инерции сечения, была также и центральной, необходимо, чтобы она проходила через центр тяжести сечения. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении осей симметрии (рис..5. а прямоугольник б круг в двутавр г равносторонний треугольник Рис..5. Плоские сечения, имеющие две оси симметрии Если две взаимоперпендикулярные центральные оси у c и c являются главными центральными осями (т. е. центробежный момент J 0 и осевые моменты инерции сечения J c c c c J, то любые взаимно перпендикулярные оси этого сечения, проходящие через его центр тяжести, являются главными центральными осями инерции сечения. Это следует из формулы (. для центробежного момента J J cos sin 0 c J c J c, c который равен нулю при любой ориентации осей у и, так как по условию J 0, J 0 c c J c. А так как центробежный момент J равен нулю, c то оси у и являются главными центральными осями инерции сечения. а квадратное сечение б круг в равносторонний треугольник Рис..6. Плоские сечения, имеющие множество главных центральных осей инерции К сечениям, имеющим бесчисленное множество главных центральных осей инерции, относятся (рис..6 квадрат, круг, равносторонний треугольник и другие сечения, удовлетворяющие указанным выше условиям.

15 .6. Расчет геометрических характеристик сложного сечения Расчет геометрических характеристик сложного сечения основан на том, что любой интеграл можно рассматривать как сумму интегралов, и ту или иную геометрическую характеристику (площадь сечения, статический момент, осевые моменты инерции можно вычислять как сумму этих характеристик отдельных частей сечения. Сложное сечение разбивается на ряд простых сечений, для которых известны положения главных центральных осей и их геометрические характеристики можно было вычислять либо по известным формулам, либо найти по справочной литературе. Конечной целью расчета геометрических характеристик сложного сечения является, как правило, определение его моментов инерции относительно главных центральных осей инерции. Но для этого необходимо найти положение (координаты центра тяжести сечения, ориентацию главных центральных осей инерции сечения. Затем по приведенным выше формулам вычисляются те или иные характеристики сечения. Например, если сложное сечение можно разбить на два простых сечения I и II, то для них мы должны уметь вычислить площади сечений I и II, положения центра тяжести С сечения I и центра тяжести С сечения II в системе координатных осей * и *, принятых за базовые. Координаты центра тяжести составного сечения (точки С в системе координат * и * определяются как S ( S I ( S II ( C I ( C II ( C, I II I II S ( S * * I ( S * II * ( C I * ( C II * ( C, I II I II где S, S статические моменты составного сечения относительно осей * * * и * ; ( S I, ( S * * II статические моменты сечений I и II относительно оси *; ( S, ( S * I * II статические моменты сечений I и II относительно оси * ; А I, II площади сечений I и II. Через центр тяжести составного сечения (точку С должны быть проведены центральные оси 0 и 0. Статические моменты составного сечения S, S 0 относительно осей 0 0 и 0, проходящих через его центр тяжести, равны нулю. Моменты инерции составного сечения относительно осей 0 и 0 складываются из моментов инерции сечения I и сечения II относительно этих осей: 5

16 J ( J ( J, J ( J ( J, J ( J ( J 0 0 I 0 II 0 0 I 0 II I 00 II Статические моменты и центробежные моменты инерции сечения I и сечения II относительно собственных главных центральных осей инерции равны нулю. Осевые и центробежный моменты инерции сечений I и II относительно осей 0 и 0 равны ( J ( J a ; ( J ( J a, ( J I I I II II II 0 0 ( J b ; ( J ( J 0 I I I 0 II II II b I I II II ( J a b ; ( J a b, где ( J I,( J I моменты инерции сечения I относительно собственных главных центральных осей и ; ( J,( J моменты инерции II II сечения II относительно собственных главных центральных осей и ; a ( C ( C ( C ; b ( C ( C ( C, * * * * a ( C * ( C * (, b ( C * ( C * ( C, C a, b координаты, определяющие положение центра тяжести сечения (точки С в системе координатных осей и ; a, b координаты, определяющие положение центра тяжести сечения (точки С в системе координат и. Определяется положение главных центральных осей инерции составного сечения (оси с и с. Угол 0, определяющий положение осей с и с относительно осей 0 и 0, может быть найден как J 0 0 tg 0. J J 0 0 Главные моменты инерции составного сечения могут быть вычислены по формулам: J J ( 0 0 J J c Z J 0 0 J 00,,. J J ( 0 0 J J c Z J 0 0 J 00. Следует обратить внимание на то, что расчет геометрических характеристик плоского сечения важнейший этап расчета стержневых систем. Чтобы при расчете стержневой системы определить вид 6

17 нагружения того или иного участка стержня, необходимо знать положение продольной оси стержня, положение сил относительно продольной оси, положение главных центральных осей инерции поперечных сечений стержня..7. Геометрические характеристики простейших сечений Формулы для вычисления геометрических характеристик простейших сечений (площади сечения, осевых моментов инерции сечения приведены в табл... Таблица. Геометрические характеристики простейших сечений Форма сечения Площадь сечения Моменты инерции сечения относительно осей c и c прямоугольник круг b h J с J с b h 3 h b 3, d J c d J c 6 параллелограмм b h J с b h 3 треугольник b h J с 36 b h 3 7

18 . ПРИМЕР. РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ Для заданного плоского сечения (рис.., состоящего из поперечного сечения швеллера (сечение I и поперечного сечения полосы (сечение II, требуется: а определить положение центра тяжести сечения; б найти осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно центральных осей, параллельных главным центральным осям составляющих простых сечений; в определить направление главных центральных осей составного сечения; г найти моменты инерции составного сечения относительно его главных центральных осей инерции; д показать на схеме составное сечение и положение главных центральных осей инерции сечения. Рис... Схема поперечного сечения «швеллер полоса» Исходные данные: ширина сечения полосы b = 0 см; высота сечения полосы h = см; швеллер 0. Решение: Заданное плоское сечение состоит из двух сечений поперечного сечения швеллера (сечение I и поперечного сечения полосы в виде прямоугольника (сечение II, геометрические характеристики которых относительно их собственных главных центральных осей несложно найти. Поперечное сечение швеллера представлено на рис... Рис... Поперечное сечение швеллера 8

19 Из справочной литературы известны геометрические характеристики поперечного сечения швеллера относительно собственных главных центральных осей (обозначим их как и, проходящих через центр тяжести (точку С поперечного сечения швеллера (рис... Известно положение центра тяжести (точки С и ориентация главных центральных осей инерции сечения I. Положение центра тяжести С в системе координатных осей * и * определяется координатами: * ( C 0,5 h ; * ( C, см (для швеллера 0. Площадь поперечного сечения швеллера 0 I =0,9 см ; h = 0 см. Поперечное сечение полосы (сечение II прямоугольник (рис..3 с основанием b = 0 см и высотой h = см. Рис..3. Положение собственных главных центральных осей поперечных сечений швеллера и полосы Площадь сечения II II = b. h = 0 см. Центр тяжести сечения II (точка С, рис..3 лежит на пересечении осей симметрии прямоугольника (осей и, которые являются собственными главными центральными осями инерции сечения II. Исходная система осей координат * и * (рис..3, относительно которых будут определены координаты центра тяжести швеллера (точки С и прямоугольника (точки С, может быть расположена произвольно. Однако целесообразно выбрать такое расположение * и *, чтобы определение координат С и С не требовало каких-либо громоздких вычислений. Примем расположение координатных осей * и * как показано на рис..3. В этом случае координаты центра тяжести сечения I (точки С ( C 0,5h 5см; ( C,см, * * а координаты центра тяжести сечения II (точки С ( C 0,5b0см; ( C 0,5h 0,5см. * * Координаты центра тяжести составного сечения (точки С в системе координат * и * определяются как 9

20 S ( S ( S ( C ( C ( C I II I II I II I II, (. где S S ( S ( S ( C ( C * * I * II * I * II *(, I II I II C (., S статические моменты составного сечения относительно осей * * * и * ; ( S I, ( S * * II статические моменты сечений I и II относительно оси * ; ( S, ( S * I * II статические моменты сечений I и II относительно оси * ; А I, II площади сечений I и II. Учитывая значения координат и площадей для сечения I * (C = 5 см; * (C =, см; I =0,9 см и для сечения II * (C =0 см; * (C = 0,5 см; II =0 см, находим из формул (. и (. 50,9 00,0,9 ( 0,5 0 * ( C 8,36см, * ( C 0,8 см ,9 0 На рис.. изображено составное сечение и положение центра тяжести этого сечения (точки С. Через эту точку проходят главные центральные оси инерции сечения и. Рис... Положения центра тяжести и главных центральных осей составного сечения Чтобы определить угол 0, определяющий направление главных центральных осей инерции сечения, необходимо вначале определить статические моменты и моменты инерции сечения относительно центральных осей 0 и 0 (рис.., проходящих через точку С параллельно собственным главным осям инерции составляющих сечений. Например, для сечения I оси 0 и 0 параллельны осям и. Заметим, что оси 0 и 0 будут параллельны и собственным главным осям инерции сечения II (осям и. Статические моменты составного сечения S, S 0 относительно осей 0 0 и 0, проходящих через его центр тяжести, равны нулю. Поэтому S 0, S

21 Моменты инерции составного сечения относительно осей 0 и 0 складываются из моментов инерции сечения I (швеллера и сечения II (прямоугольника относительно этих осей: J ( J ( J, J ( J ( J, J ( J ( J 0 0 I 0 II 0 0 I 0 II I 00 II Осевые и центробежный моменты инерции I-го и II-го сечений относительно осей 0 и 0 равны ( J ( J a ; ( J ( J a, (.3 ( J 0 I I I 0 II II II ( ; ( ( 0 I J I b I J 0 II J II b II, (. ( J 0 0 IabI; ( J 0 0 II ab II, (.5 где ( J I,( J I моменты инерции сечения I относительно собственных главных центральных осей и ; ( J II,( J II моменты инерции сечения II относительно собственных главных центральных осей и ; a ( C ( C ( C ; b ( C ( C ( C, * * * * a, b координаты, определяющие положение центра тяжести сечения (точки С в системе координатных осей и швеллера; a ( * * C C ( C (, (C (C (C, b * * a, b координаты, определяющие положение центра тяжести сечения (точки С в системе координат и прямоугольника. Заметим, что в формулах (.3, (. и (.5 отсутствуют такие слагаемые, как a ( S, a ( S, b ( S, b ( S, ( J, ( J I II I II I II так как статические моменты и центробежные моменты инерции сечения I и сечения II относительно собственных главных центральных осей инерции равны нулю. Из справочных данных для швеллера 0 (сечение I известны осевые моменты инерции сечения относительно собственных главных центральных осей и :,. ( J I 0, см ; ( J I 7 см. Для прямоугольного сечения (сечения II несложно вычислить моменты инерции относительно собственных главных центральных осей и : J bh J hb ( II 0,67см ; ( II 0 666,7см.

22 Координаты точки С в системе координатных осей и a ( C ( C 0,8,,56 см, * * b ( C ( C 8,36 5 3,36 cм, * * координаты точки С в системе координатных осей и a ( ( C ( C 0,8 ( 0,5 0,8 0,5 0,68 см, * * b ( C ( C 8,36 0,76 cм. * * Подставляя соответствующие числовые значения в формулы (.3, (. и (.5, получим ( J ( J a = 0, + (,56 0,9 = 0, + 7, = 37,6 см ; I I I 0 ( J ( J a =,67 + 0,68 0 =,67 + 9,35 =,0 см ; II II II 0 ( J ( J b = 7 + 3,36 0,9 = 7 +, = 88, см ; I I I 0 ( J ( J b = 666,7 + (,76 0 = 666,7 + 6, = 78,9 см ; II II II 0 ( J a b = (,56 3,36 0,9 =,3 см ; 0 0 I I ( J a b =0,68 (,76 0 =, см. 0 0 II II Складывая моменты инерции сечений I и II относительно осей 0 и 0, получим моменты инерции всего составного сечения относительно этих осей J ( J ( J = 37,6 +,0 = 8,6 см ; I II J ( J ( J = 88, +78,9 = 07 см ; I II J ( J ( J =,3, = 68, см ; I II Определим положение главных центральных осей инерции составного сечения (оси с и с на рис... Угол 0, определяющий положение осей с и с относительно осей 0 и 0, может быть найден как J ( 68, 36,8 0 0 tg0 0,; J J 07 8,6 968, arc tg( 0, o 0.

23 Так как угол 0 0, то оси с и с повернуты относительно осей 0 и 0 на О по часовой стрелке (рис..5. Рис..5. Положение главных центральных осей составного сечения Главные моменты инерции составного сечения могут быть вычислены по формулам: J J ( 0 0 J J c Z J 0 0 J ,6 07 8,6 ( 68, 53,8 8, 68, 53,8 39,6 678,56 53,8 89 3,8см, J J ( 0 0 J J c Z J 0 0 J 00, c 53,8 8, 68, 53,8 89 0,8см. J На рис..5 приведено заданное составное сечение, где показано положение центра тяжести составного сечения и положение его главных центральных осей инерции с и с. Итак, в данном примере изложена процедура определения основных геометрических характеристик плоского составного сечения: координат центра тяжести сечения, положения главных центральных осей инерции плоского сечения, осевых моментов инерции сечения относительно главных центральных осей. Составное сечение было представлено в виде совокупности двух простых сечений, для которых можно определить их собственные геометрические характеристики, а затем по изложенной методике производить расчет геометрических характеристик всего сечения. 3

24 3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения». Что называется статическим моментом сечения относительно оси?. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения? 3. В каких единицах выражается статический момент сечения?. Какая зависимость существует между статическими моментами относительно двух параллельных осей? 5. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения? 7. В каких единицах выражаются моменты инерции сечения? 8. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей? 9. Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменение положительных направлений одной или обеих координатных осей? 0. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?. Чему равны осевые моменты инерции круга и кольца относительно осей, проходящих через их центры тяжести?. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров? 3. Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение?. Изменяется ли сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте этих осей? 5. Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции? 6. Какие оси называются главными осями инерции? 7. Какие оси называются главными центральными осями инерции? 8. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции? 9. В каких случаях без вычисления можно установить положение главных осей? 0. Если J J и J 0, то какие оси являются главными осями инерции?. Какие центральные оси являются главными осями инерции у сечений, имеющих более двух осей симметрии? Почему?. Почему производится разбивка сложного сечения на простые части при определении моментов инерции? 3. В какой последовательности определяются значения главных центральных моментов инерции сложного сечения?

25 . ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения» От нижнего края сечения центр тяжести c находится на расстоянии 3,5b b 3,5b 5b Статический момент инерции треугольного сечения относительно оси равен b 3 / b 3 /3 3 b 3 / b 3 Момент инерции круглого относительно оси равен сечения 3 d /6 d /6 3 5 d /6 d /3 Момент инерции квадратного сечения относительно оси, параллельной диагонали квадрата, равен 5 a / 6 a / 3 7 a / 8 a / 5

26 Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести c находится на расстоянии c =,87b c =,93b 3 c =,b c =,b Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести c находится на расстоянии c = 0 9 a c = 9 a 3 c = 9 a c = 5 9 a Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести c находится на расстоянии c = 0 9 a c = 9 a 3 c = 9 a c = 5 9 a Для симметричной фигуры от нижнего края сечения центр тяжести c находится на расстоянии c = 6 5 a c = 7 5 a 3 c = 8 5 a c = 9 5 a 6

27 Момент инерции круглого относительно оси равен сечения 3 d /6 d /6 3 5 d /6 d /3 Момент инерции круглого относительно оси равен сечения J = 5 6 d J = 7 6 d J = d J = 6 d Момент инерции квадратного сечения относительно оси равен J = 5 а J = 3 а 3 J = 3 а J = 7 а Момент инерции квадратного сечения относительно оси равен J = 5 а J = а 3 J = 3 а J = 7 а 7

28 5. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «Геометрические характеристики плоского сечения» 5.. Задание Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из прямоугольной полосы и швеллера (схемы 7, 9 рис. 5., прямоугольной полосы и двутавра (схемы 8, 3, 30, рис. 5., 5., 5.3, швеллера и двутавра (схемы, 3, 5, 6, 8, 9, 3, 3 рис. 5., 5.3, швеллера и швеллера (схемы, 7, 3, 35, 36 рис. 5., 5.3, требуется:. Определить положение центра тяжести.. Найти осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей, параллельных главным центральным осям простых составляющих сечений. 3. Определить направление главных центральных осей составного сечения.. Найти моменты инерции составного сечения относительно главных центральных осей. 5. Вычертить на миллиметровой бумаге в соответствующем масштабе составное сечение, указав положения соответствующих координатных осей, центра тяжести составного сечения и все необходимые при расчете размеры. Схемы составных сечений представлены на рис. 5., 5. и 5.3. Исходные данные, определяющие размеры поперечного сечения полосы (ширина сечения b, высота сечения h, номер швеллера, номер двутавра, приведены в таблице 5.. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ к заданию «Геометрические характеристики плоского сечения» Таблица 5. Параметры Номер столбца 3 Прямоугольное сечение Ширина полосы b, см Толщина полосы h, см 0,8 0,8,0,0 Номер швеллера 0 а 6а Номер двутавра 0 6 8

29 Рис. 5.. Поперечные сечения швеллера и полосы (схемы, двутавра и полосы (схемы 3 6 9

30 Рис. 5.. Поперечные сечения швеллера и полосы (схемы 7, двутавра и швеллера (схемы 6, швеллера и швеллера (схема 7 30

31 Рис Поперечные сечения двутавра и швеллера (схемы 8, 9, 3 3, двутавра и полосы (схема 30, швеллера и швеллера (схемы 3, 35, 36 3

32 5.. Задание Дано плоское сечение (рис. 5., 5.5. Требуется:. Определить положение центра тяжести поперечного сечения.. Определить положение главных центральных осей инерции сечения. 3. Вычислить главные моменты инерции сечения.. Определить координаты точки А в системе главных центральных осей инерции сечения. Исходные данные приведены в табл. 5.. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Таблица 5. Параметры Номер столбца 3 Размер поперечного сечения а, см 6 3 Размер поперечного сечения b, см 6 3 3

33 Рис. 5.. Поперечные сечения и положение точки А в плоскости сечения 33

34 Рис Поперечные сечения и положение точки А в плоскости сечения 3

35 ЗАКЛЮЧЕНИЕ При расчете стержня на устойчивость, на прочность (определении напряжений в сечениях стержней, расчете линейных и угловых перемещений поперечных сечений расчетные зависимости содержат величины, характеризующие геометрию сечения. К таким величинам относятся площадь сечения, статический момент сечения относительно оси в плоскости сечения, осевой момент инерции сечения, полярный момент инерции сечения, центробежный момент инерции сечения. Эти величины определяют геометрические характеристики сечения. Площадь поперечного сечения определяется как А dа, А где dа площадь элементарной площадки сечения. Статический момент сечения относительно заданных осей ( или, лежащих в плоскости сечения, определяется как S d, S d, где у, координаты элементарной площадки. Осевые моменты инерции сечения относительно заданных осей ( или, лежащих в плоскости сечения, определяются как J d, J d. А Полярный момент инерции сечения относительно заданной точки, лежащей в плоскости сечения, определяется как J ( d d dj J. p Центробежный момент инерции сечения относительно двух заданных взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости сечения, определяется как. J ( d d dj J p Рассмотрены этапы выполнения расчетно-проектировочного задания на тему «Геометрические характеристики плоского сечения». Представлены варианты расчетно-проектировочных заданий на тему «Геометрические характеристики плоского сечения» и таблицы исходных данных к заданиям, которые могут быть использованы при выполнении контрольных работ, расчетных заданий, при проведении практических занятий и самостоятельной работе студентов. А 35

36 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. Дарков, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. М. : Высшая школа, с.. Феодосьев, В. Н. Сопротивление материалов / В. Н. Феодосьев. М. : Наука, с. 3. Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. Киев : Наукова думка, с.. Манжосов, В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и примеры решения заданий, часть / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. Ульяновск, с. 5. Манжосов, В. К. Сопротивление материалов. Учебно-методический комплекс / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, с. 6. Манжосов, В. К. Сопротивление материалов: Практикум / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ с. 7. Манжосов, В. К. Сопротивление материалов. Краткий курс лекций. Часть : учебное пособие / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, с. 8. Манжосов, В. К. Сопротивление материалов. Краткий курс лекций. Часть : учебное пособие / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, с. 9. Манжосов, В. К. Геометрические характеристики плоских сечений : методические указания / В. К. Манжосов. Ульяновск : УлГТУ, 00. с. 36


В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов

Подробнее

В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» В. В. Орлов ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ - Российский государственный технологический

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для студентов ЗВФ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ

Подробнее

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ ОПДФ СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы Предисловие

Подробнее

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания Ульяновск 00

Подробнее

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ОПД.Ф СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ОГЛАВЛЕНИЕ ОПД.Ф.. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы Предисловие

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра строительной

Подробнее

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy.

статический момент плоской фигуры относительно оси Oy. моменты инерции плоской фигуры относительно осей Oz и Oy. Лекция Прикладная математика Геометрические характеристики плоских сечений. В сопротивлении материалов при изучении напряженно-деформированного состояния элементов конструкций рассматривается равновесие

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» М. Н. Гребенников, Н. И. Пекельный ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Подробнее

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие

условия прочности для опасного сечения - сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального абсолютного значения: - на сжатие Задача 1 Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Дано: (шифр 312312) схема 2; l=0,5м; b=15см; h=14см; R p =80МПа; R c =120МПа;

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет В. К. Манжосов РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ТЕСТАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р.

Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р. www.tchina.pro Тычина К.А. V Г е о м е т р и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и п л о с к и х ф и г у р. Используемые в курсе «Сопротивление материалов» геометрические характеристики поперечных сечений

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты,

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, Лекция 5. Геометрические характеристики плоских сечений 1.Площадь плоских сечений. 2.Статические моменты сечения. 3.Моменты инерции плоских сечений простой формы. 4.Моменты инерции сечений сложной формы.

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Задание: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Определить 1) осевые и центробежные моментов инерции элементов плоского сечения; 2) положение центра тяжести сечения; 3) главные центральные моменты

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР П. В. Кауров, Э. В. Шемякин, А. А. Боткин ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ФИГУР Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления.

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления. Лекция 14 Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение внутренних усилий, напряжений, положения нейтральной оси при чистом косом изгибе. Деформации при косом изгибе. 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. КОСОЙ

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт пути, строительства и сооружений

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ (для студентов ЗВФ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

РАСЧЁТ СТЕРЖНЯ НА ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ

РАСЧЁТ СТЕРЖНЯ НА ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

«Сопротивление материалов» и «Техническая механика»

«Сопротивление материалов» и «Техническая механика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Сопротивление материалов» Учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета.

1. Определим недостающие геометрические параметры, необходимые для дальнейшего расчета. b Методические рекомендации к практической подготовке по дисциплине "Сопротивление материалов" для студентов-заочников специальности -70 0 0 "Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов" Отмена

Подробнее

Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов

Курс лекций на тему: Сложное сопротивление В.В Зернов Курс лекций на тему: "Сложное сопротивление" В.В Зернов Лекция на тему: Косой изгиб. При плоском поперечном изгибе балки плоскость действия сил (силовая плоскость) и плоскость прогиба совпадали с одной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет. Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет. Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики В. А. Калентьев В. М. Калинин Л. Т. Раевская Н. И. Чащин

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В К Манжосов РАСЧЕТ

Подробнее

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е.

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е. Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко Английский ученый Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Часть 1 Сопротивление материалов

Часть 1 Сопротивление материалов Часть Сопротивление материалов Рисунок Правило знаков Проверки построения эпюр: Эпюра поперечных сил: Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, должен быть скачок на величину и по направлению

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВ- КЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦ. 1-700402 Общие методические указания Сопротивление материалов одна из сложных

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПОСОБИЕ по проведению практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ (для студентов ЗВФ)

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ (для студентов ЗВФ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. Манжосов

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. МАНЖОСОВ РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ УЛЬЯНОВСК 2001 УДК 539.9(076) ББК30.12я7 М23 Манжосов

Подробнее

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева Кафедра «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» Расчет прочности тонкостенного стержня открытого профиля

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению контрольных заданий по теме «Геометрические характеристики

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 3. НАПРЯЖЕНИЯ В БРУСЬЯХ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ- СЖАТИИ, КРУЧЕНИИ,

Подробнее

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. N S. n N t n S. N t. Условия равновесия: S + p S =0; S cos p S ; p S=S cos. =p cos ; = p sin. p = cos. 1 sin 2

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. N S. n N t n S. N t. Условия равновесия: S + p S =0; S cos p S ; p S=S cos. =p cos ; = p sin. p = cos. 1 sin 2 Постановка задачи Дано: N, N РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ. НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ. =? =? n N t n = cos Условия равновесия: + = cos = cos N t v = cos = sin. cos 1 sin. Следствия: 1) ma = при cos (в поперечных

Подробнее

РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра» Кафедра прикладной механики РАСЧЁТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Подробнее

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 14 Деформация плоский изгиб балки с прямолинейной продольной осью. Расчет на прочность Напомним, что деформация «плоский изгиб» реализуется в

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1.

Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 24а ГОСТ ) и швеллера 24 (ГОСТ ), требуется: 1. Задача 1 Для заданного поперечного сечения, состоящего из равнополочного двутавра ( 4а ГОСТ 8509-86) и швеллера 4 (ГОСТ 840-89), требуется: 1. Вычертить сечение в масштабе 1: и указать на нем все оси и

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

Подробнее

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации Теория деформированного состояния Понятие о тензоре деформаций, главные деформации Обобщенный закон Гука для изотропного тела Деформация объема при трехосном напряженном состоянии Потенциальная энергия

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Рабочая тетрадь по решению задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8.

ЗАДАЧА 1. I-швеллер 36, II-уголок 90 х 90 х 8. ЗДЧ.. Определить положение центра тяжести сечения.. Найти осевые (экваториальные и центробежные моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести ( c и c.. Определить направление

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Б А К А Л А В Р И А Т Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков, А. Н. Леонтьев СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (с примерами решения задач) под редакцией почетного работника высшего образования Российской Федерации

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений

Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 19.1 Формула Мора Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина Примеры вычислений Лекция 19 Вычисление перемещений по формуле Мора 191 Формула Мора 192 Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина 193 Примеры вычислений перемещений по формуле Мора при кручении, растяжении-сжатии

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 Геометрические характеристики плоских фигур (сечений) (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2 Геометрические характеристики плоских фигур (сечений) (продолжение) ВФ ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 03 ЛЕКЦИЯ Геометрические характеристики плоских фигур (сечений) (продолжение) Определение моментов инерции сечения относительно осей, повернутых по отношению

Подробнее

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Прямой и поперечный изгиб. 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ИЗГИБА Изгиб стержня вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и (или) (N = 0, T = 0).. Чистый изгиб. Поперечный изгиб

Подробнее

Расчет плоской рамы методом перемещений

Расчет плоской рамы методом перемещений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет плоской

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Ключевые слова: консольная неравнобокая балка, тонкостенный открытый профиль, напряжения нормальные и касательные, прочность.

Ключевые слова: консольная неравнобокая балка, тонкостенный открытый профиль, напряжения нормальные и касательные, прочность. УДК 64.07.014.-415.046. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЧНОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ БАЛКИ ОТ- КРЫТОГО ПРОФИЛЯ Максак Татьяна Васильевна д.т.н., профессор кафедры Агроинженерии Ачинский филиал Красноярского государственного аграрного

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

главному вектору R, R, R и главному

главному вектору R, R, R и главному Лекция 08 Общий случай сложного сопротивления Косой изгиб Изгиб с растяжением или сжатием Изгиб с кручением Методики определения напряжений и деформаций, использованные при решении частных задач чистого

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. МАНЖОСОВ

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

Для данной балки из условия прочности подобрать номер двутавра. Решение

Для данной балки из условия прочности подобрать номер двутавра. Решение Задача 1 Для данной балки из условия прочности подобрать номер двутавра. Решение Дано: M = 8 кн м P = 4 кн q = 18 кн м L = 8 м a L = 0.5 b L = 0.4 c L = 0.3 [σ] = 160 МПа 1.Находим реакции опор балки:

Подробнее

II тур Всероссийской студенческой олимпиады Цетрального и Приволжского федеральных округов по сопротивлению материалов

II тур Всероссийской студенческой олимпиады Цетрального и Приволжского федеральных округов по сопротивлению материалов II тур Всероссийской студенческой олимпиады Цетрального и Приволжского федеральных округов по сопротивлению материалов Задача Для фигуры изображенной на рисунке определить: Центробежный момент инерции

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 16 Деформации при плоском изгибе. Основы расчета на жесткость при плоском изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии Ранее были рассмотрены

Подробнее

δ 11 = δ 12 = δ 21 = - 1 δ 22 = 1 δ 12 = δ 21 = 8 6 δ 22 = 82 ) = 505,9

δ 11 = δ 12 = δ 21 = - 1 δ 22 = 1 δ 12 = δ 21 = 8 6 δ 22 = 82 ) = 505,9 4. Определение перемещений. Для определения коэффициентов δ эпюру M умножаем на M : 57 δ = EI ( 2 (h 4 )2 2 3 h 4 + 2 (h 4 )2 2 3 h 4 + 2 (3 4 h)2 2 3 3 4 h) + kei l h 4 h 4 = = 29h3 + lh 2 = h 2 2 (29h

Подробнее

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК

А.Ч. МЕТОД «ПЛОЩАДЕЙ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК n c t tg tg, (0) min,96,5,96,5 где c 0, 0088 ; t o градиент снижения температуры ниже o t 80 уровня +0. По результатам измерения твердости контролируемых зон конструкций, используя формулы (6) (7) и (8)

Подробнее

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Рис. 1. v y С. y 2. 1,8 см. b 2 C 2

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Рис. 1. v y С. y 2. 1,8 см. b 2 C 2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Для сечения, форма которого выбрана в соответствии с заданным номером схемы (рис. ), а размеры взяты в соответствии с номером числового варианта,

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ

Подробнее

Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения

Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения Лекция 4 (продолжение). Примеры решения задач по геометрическим характеристикам плоских сечений и задачи для самостоятельного решения Пример 1. Определить координаты центра тяжести и осевые моменты инерции

Подробнее

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке к практическим занятиям (для студентов всех

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе

Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе Лекция 10. Касательные напряжения при изгибе 1. Формула Журавского для касательных напряжений. 2. Касательные напряжения в тонкостенных сечениях. 3. Центр изгиба. 1 Рассмотрим прямой изгиб балки с выпуклым

Подробнее

Северский технологический институт филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального

Северский технологический институт филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

К ВОПРОСУ ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ

К ВОПРОСУ ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ УДК 539.3/.6 162 К ВОПРОСУ ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ к.т.н. 1 Якубовский Ч.А., к.т.н. 2 Якубовский А.Ч. 1 Белорусский национальный технический университет, Минск 2 Морская академия, г. Щецин, Польша Изгиб является

Подробнее

Практическая работа. Тема: Определение реакций опор для балочных систем

Практическая работа. Тема: Определение реакций опор для балочных систем Практическая работа Тема: Определение реакций опор для балочных систем Цель работы: Закрепить теоретические знания и умения определять реакции в опорах балочных систем Приобретенные навыки:. Организовывать

Подробнее

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил

Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет статически

Подробнее

5. Динамика вращательного движения твердого тела

5. Динамика вращательного движения твердого тела 5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

Подробнее

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ Задача 1 Однопролетная балка длиной l, высотой h нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Радиус кривизны нейтрального слоя балки в середине пролета равен. Жесткость поперечного

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Лекция 5. Произвольная пространственная система сил

Лекция 5. Произвольная пространственная система сил Оглавление Момент силы относительно оси... Произвольная пространственная система сил... 3 Определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил... 3 Центральная ось системы... 4

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Основные виды нагружения бруса. 2. Понятие об усталостной прочности. Экзаменационный билет 2 1. Растяжение

Подробнее

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее