Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Алашеева ЕА Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Самара 04

2 УДК 59 Алашеева ЕА Дифференциальные уравнения Конспект лекций- Самара: ФГОБУ ВПО ПГУТИ 04 Конспект лекций затрагивает такие разделы дифференциальных уравнений как: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков линейные дифференциальные уравнения системы линейных дифференциальных уравнений теория устойчивости Для студентов и аспирантов университетов и вузов а также для специалистов желающих изучать дифференциальные уравнения самостоятельно Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами которые помогут проверить теоретическое освоение курса содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки РЕЦЕНЗЕНТ: КЛЮЕВ Д С дф-мн зав кафедрой ЭИА Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики АЛАШЕЕВА ЕА 04

3 Содержание ВВЕДЕНИЕ 7 ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциальные уравнения первого порядка 8 Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной 9 Метод изоклин Уравнения с разделяющимися переменными Задачи для самостоятельного решения 4 Контрольные вопросы 5 ЛЕКЦИЯ 7 Уравнения приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными 7 Однородные уравнения 8 Уравнение приводящееся к однородному Задачи для самостоятельного решения 3 Контрольные вопросы 3 3

4 ЛЕКЦИЯ 3 4 Уравнения в полных дифференциалах 4 Линейные уравнения 6 Метод вариации постоянной 7 Задачи для самостоятельного решения 30 Контрольные вопросы 3 ЛЕКЦИЯ 4 33 Уравнение Бернулли 33 Метод Бернулли 34 Уравнение Риккати 37 Задачи для самостоятельного решения 38 Контрольные вопросы 39 ЛЕКЦИЯ 5 4 Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков 4 Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка 43 Задачи для самостоятельного решения 47 Контрольные вопросы 48 4

5 ЛЕКЦИЯ 6 50 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 50 Определитель Вронского 53 Структура общего решения линейного дифференциального уравения55 Контрольные вопросы 57 ЛЕКЦИЯ 7 59 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 59 Метод вариации постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 64 Задачи для самостоятельного решения 67 Контрольные вопросы 68 ЛЕКЦИЯ 8 69 Метод подбора частного решения по виду правой части 69 Системы дифференциальных уравнений 75 Задачи для самостоятельного решения 8 Контрольные вопросы 8 ЛЕКЦИЯ 9 83 Элементы теории устойчивости 83 5

6 Строгое определение понятия устойчивости решения 84 Классификация особых точек автономной системы двух уравнений 90 Задачи для самостоятельного решения 94 Контрольные вопросы 95 ГЛОССАРИЙ 97 К лекции 97 К лекции 98 К лекции 3 98 К лекции 4 99 К лекции 5 99 К лекции 6 00 К лекции 7 0 К лекции 8 0 К лекции 9 0 ЛИТЕРАТУРА 04 6

7 Введение Студентам математических специальностей важно научиться строить математическую модель экономического физического химического и тд процесса Теория дифференциальных уравнений является основой построения практически любой математической модели В рамках данного курса студенты познакомятся с обыкновенными дифференциальными уравнениями Именно с помощью уравнений такого типа можно описать многие явления Курс построен в соответствии с требованиями Федерального государственного стандарта высшего профессионального образования к дисциплине «Дифференциальные уравнения» Учебная программа разработана на основе учебных планов направления «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» Наличие большого количества примеров в каждом разделе позволит более полно и быстро усвоить изучаемый курс 7

8 Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Дифференциальным уравнением называется соотношение между функцией её производными и независимыми переменными Определение Уравнения содержащие производные по многим независимым переменным называется уравнением в частных производных Определение 3 Уравнения содержащие производные лишь по одной из независимых переменных называется обыкновенным дифференциальным уравнением Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде: d d F 0 d d Определение 4 Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в уравнение Уравнение первого порядка имеет вид: d F 0 d Пример Уравнение 5 s является обыкновенным дифференциальным уравнением -го порядка 8

9 Уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением 3-го порядка u u Уравнение является уравнением с частными t производными -го порядка Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Определение 5 Дифференциальное уравнение вида: d f 3 d где f некоторая функция называется дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной Найдем решение уравнения 3 такое что где 0 и 0 некоторые заданные числа Определение 6 Задача нахождения решения уравнения 3 которое удовлетворяет условию 4 называется задачей Коши при этом условие 4 называется начальным условием или условием Коши Определение 7 График функции которая является решением уравнения 3 в плоскости XOY называется интегральной кривой уравнения 3 9

10 Теорема Существования и единственности решения задачи Коши Пусть функция f в уравнении 3 и ее частная производная f непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и точка 0 0 принадлежит области D Тогда в некоторой окрестности точки 0 существует решение задачи Коши для уравнения 3 с начальным условием 4; в данной окрестности точки 0 данное решение единственно Геометрическая интерпретация теоремы: через каждую точку 0 0 области D проходит интегральная кривая уравнения 3 и при том только одна Определение 8 Общим решением уравнения 3 называется функция C где C произвольная постоянная удовлетворяющая следующим двум условиям: она является решением уравнения 3 при любом значении C ; для любых начальных данных 0 0 при которых дифференциальное уравнение 3 имеет решение можно указать значение постоянной C C0 такое что будет выполнено начальное условие 0 0 C0 0 Определение 9 Решение уравнения 3 полученное из общего решения путем задания конкретного значения постоянной С называется частным решением уравнения 3

11 Метод изоклин Рассмотрим уравнение 3 Пусть правая часть уравнения 3 определена и конечна в каждой точке некоторой области непустой замкнутой связной: tg f Построим касательные ко всем интегральным кривым во всех точках: - для этого каждой точке t 0 0 нужно сопоставить проходящую через нее прямую с угловым коэффициентом k = ft 0 0 Полученное соответствие между точками плоскости и проходящими через нее прямыми называется полем направлений уравнения 3 Геометрически: поле направлений уравнения 3 направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке рис Рисунок Поле направлений Определение 0 Кривая в каждой точке которой наклон поля определяемого дифференциальным уравнением 3 один и тот же называется изоклиной этого уравнения ее уравнение: f k

12 Пример Построить интегральные кривые уравнения ' Решение: В каждой точке кроме начала координат угловой коэффициент к искомой интегральной кривой равен то есть тангенсу угла образованного с осью OX прямой проходящей через данную точку и начало координат Следовательно интегральными кривыми в данном случае будут прямые вида C Рис Рисунок Уравнения с разделяющимися переменными Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при соответствующей замене искомой функции и независимой переменной Определение Дифференциальное уравнение вида: X d Y d 0 5 называют уравнением с разделенными переменными

13 Будем предполагать что X Y - непрерывны тогда: d X d Y d 0 поэтому 0 0 X d Y d C общий интеграл уравнения 5 Особых решений нет Определение Уравнения вида: m d m d 0 7 называют уравнениями с разделяющимися переменными Умножая обе части 7 на m получим уравнение с m разделенными переменными: d d 0 m Общим интегралом будет: m d d C m Мы могли потерять решения определяемые уравнениями 0 и m 0 Это могут быть частные или особые решения Решения вида b и a могут быть особыми Пример 3 Решить уравнение и выделить интегральную кривую проходящую через точку 0 : d 3 d 0

14 Решение: Разделяя переменные имеем: 0? отсюда следует что: C - общий интеграл Все решения - особые тк не получаются из формулы общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность задачи Коши Полагая 0 находим C или решение задачи Коши в виде: Но через точку 0 проходит и особое решение получаем две интегральные кривые проходящие через точку 0 Задачи для самостоятельного решения Найти интегральные кривые проходящие через точки M 0 M уравнения s d l d 0 Ctg Ответ: e - общее решение; в точке M 0 поле не определено; в точке M - искомая интегральная кривая Решить дифференциальное уравнение d d 4

15 Ответ: C 3 Найти частное решение уравнения ctg + = удовлетворяющее условию у0 = - Ответ: = С cos ; = 3cos 4 Построить интегральные кривые уравнения Ответ: окружности C ' 5 Построить интегральные кривые уравнения используя метод изоклин ' 6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения Ответ: 7 Найти интегральные кривые уравнения Ответ: C семейство парабол Контрольные вопросы Дайте определение дифференциальному уравнению Какое дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных? 3 Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением? 5

16 4 Дайте определение порядку дифференциального уравнения 5 Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка 6 Дайте определение интегральной кривой 7 Дайте определение общему решению дифференциального уравнения и частному решению дифференциального уравнения 8 В чем состоит метод изоклин? 9 Дайте определение дифференциальному уравнению с разделенными и разделяющимися переменными 6

17 Лекция Уравнения приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными Определение d Уравнение вида f a b называется уравнением d приводимым к уравнению с разделяющимися переменными где f некоторая функция одной переменной а и b постоянные числа С помощью замены переменной z = a+b данное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными dz d dz dz a b a bf z d d d d a bf z Пример Решить уравнение 4 dz d d Сделаем замену z = 4 + тогда 4 z d d d dz откуда 4 z d dz Решаем это уравнение: d z dz Интегрируем обе части уравнения: d z Вычислим интеграл в левой части равенства используя замену: u z z u dz udu 7

18 dz udu u du z u u du du du 4 u u u 4lu C z 4l z C Таким образом z 4l z C или возвращаясь к переменным и получим общий интеграл исходного уравнения 4 l 4 C Однородные уравнения Определение Функция f называется однородной функцией m измерения относительно переменных и если при любом справедливо Пример f m f Функция f однородная функция первого измерения так как f f Определение 3 Дифференциальное уравнение вида: d d называют однородным дифференциальным уравнением 8

19 Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение: M d N d 0 3 где M N - однородные функции одного же измерения m причем m может быть любым вещественным числом Перепишем уравнение 3 в виде: d M 4 d N Полагая в получим: f f m 5 Откуда: f m f 6 Из 4 имеем: m M M 7 m N N Для однородного уравнения сделаем замену искомой функции: z или z тогда будем иметь m m M M z N N z Перепишем 3 в виде: m M m z d N z zd dz 0 8 m Разделим на и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 9

20 z N z zd N z dz 0 0? M 9 Разделяя переменные имеем: d N z dz 0 M z N z z M z N z z 0? 0 Интегрируя находим: N z dz l lc M z N z z Откуда: или где z Заменяя z на виде: e N z dz M z N z z z C e 3 N z dz M z N z z получим общий интеграл уравнения в C e 4 Разделяя переменные могли потерять решения вида z a где a - корень уравнения M z N z z 0 Подставляя z a в замену z имеем a 0 - полупрямые примыкающие к началу координат решения однородного уравнения Эти решения могут содержаться в формуле общего интеграла но могут быть и особыми Особыми могут быть полуоси оси OY 0 Других особых решений быть не может и 0 Пример 3 Решить уравнение: d d 0

21 Решение: Интегральными кривыми могут быть только кривые расположенные в и 3 квадрантах и полуоси осей координат Положим z получим: dz d 0 z z z z 0 0? интегрируя найдем возвращаясь к переменной получим: l z l C или z C C Рассмотрим уравнения z z 0 оно имеет корни z 0 z им соответствуют решения 0 0 Первые из них особые вторые частные Полуоси оси полуоси оси OY 0 0 тоже особые решения Уравнение приводящееся к однородному Рассмотрим уравнение d a b c f 5 d a b c Если c c 0 то это однородное уравнение a b Пусть 0 a b a b c 0 Выберем и так чтобы: a b c 0 Сделаем замену переменных: тогда уравнение примет вид: d a b a b c f 6 d a b a b c

22 Получим однородное уравнение: d a b f d a b a b a Если 0 то b k a b a b откуда a ka b kb поэтому d k a b c f f a b d a b c 7 Если ввести новую переменную уравнению переменной Пример 4 dz d Решить уравнение: z z a bто придем к a bf не содержащему независимой d 3 d Решение: Делаем замену h k тогда: d h k 3 d h k h k 3 0 Решая систему находим h k h k 0 d В результате получаем однородное уравнение d которое решаем подстановкой u получаем arctgu C u e или C e Переходя к переменным и имеем: arctg

23 C arctg e Задачи для самостоятельного решения Решить уравнение ² + ² = Ответ: C e Решить уравнение у + d = + 4d Ответ: C 3 Решить уравнение: 3 Ответ: 3 3 C Решить уравнение: 3 6 l C Ответ: 3 Контрольные вопросы Какие уравнения являются уравнениями сводящимися к уравнениям с разделенными переменными? Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением? 3 Какую замену следует использовать чтобы решить однородное дифференциальное уравнение? 4 Как решать уравнение сводящееся к однородному? 3

24 Лекция 3 Уравнения в полных дифференциалах Определение 3 Уравнение P d Q d 0 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть полный дифференциал некоторой функции u те P d Q d du 3 Необходимым и достаточным условием полного дифференциала P Q является равенство частных производных Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u c где функция u может быть найдена по одной из формул: u P d Q u P d; d Q d 0 0 Пример 3 Указать уравнения в полных дифференциалах: s d cos d 0 Решение: Дифференциальное уравнение записано в симметричной форме где P s Q cos 0 4

25 Найдём частные производные: cos cos P s cos Q P Q 3 Сравним частные производные Так как то уравнение является уравнением в полных дифференциалах Пример 3 Найти общий интеграл дифференциального уравнения: e ' e Решение: d e Запишем уравнение в симметричной форме: d e e d e d e d e d 0 тогда: P e Q e Найдём частные производные: P e Q e e e Сравним частные P Q производные Так как e то уравнение является уравнением в полных дифференциалах Запишем формулу общего интеграла: u C 3 Выберем формулу для отыскания функции u : u P d Q d 4 Найдём функцию u : 5

26 u e e 0 0 d 0 0 e 0 d e 0 e 0 0 e e e e 5 Запишем общий интеграл уравнения: e e e C 0 0 C 0e 0 0 0e C 0 0 C Линейные уравнения Определение 3 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: d p q 3 d Положим что функции рх и q в 3 являются непрерывными Определение 33 Линейное дифференциальное уравнение 3 называется однородным если q 0 и называется неоднородным если q 0 d p 0 d 33 Уравнение 33 является уравнением с разделяющимися переменными для которого можно легко найти общее решение: 6

27 d d p d p d l P lc P Ce 34 где P первообразная функции рх В дальнейшем для этого решения будем использовать обозначение где oo индекс «оо» означает что данное решение является общим решением однородного уравнения При делении на у могло быть потеряно решение у = 0 но оно входит в общее решение 34 при С = 0 Метод вариации постоянной Предположим что общее решение уравнения 33 имеет форму 34 в которой С не постоянная а неизвестная функция аргумента х P Тогда с учетом того что P p и d d C e C х e 35 C e P P C P e C p e P P подставив эти выражения в 3 получим уравнение относительно Сх C e P p C e C p e P q P или сокращая второе и третье слагаемые в правой части 7

28 C e q C q e P P P Введем обозначение q e для правой части полученного уравнения Тогда Решая это уравнение находим C C d C где первообразная функции постоянная а С произвольная Таким образом общее неоднородного линейного уравнения 3 есть P C e 36 o н индекс «он» подчеркивает что данное решение является общим решением неоднородного линейного уравнения Если каким-либо образом зафиксировать значение постоянной С в решении 36 то получим чн частное решение неоднородного уравнения 3 Например если С=0 то ч н P e Таким образом решение 36 можно представить в виде: o н Ce P C e e P P e o o o н o o ч н P ч н Ce P 8

29 Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения Пример 33 Найти общее решение уравнения: у = х х² + Решение: Представим уравнение в виде - = ³ и решим соответствующее однородное уравнение: - = 0 d d d d l l C 9 d d Ce Далее применим метод вариации постоянных Пусть решение неоднородного уравнения имеет вид: C e d Ce C e d Подставим полученные выражения в уравнение: тогда: 3 C e C e C e 3 3 Следовательно C e C e d e d Применяя подстановку t и метод интегрирования по частям u t du dt dv e dt v e получим: t t t t t t t te dt te e dt te e c Возвращаясь к переменной получаем:

30 C e e c При этом общее решение исходного уравнения есть: e e c e ce Задачи для самостоятельного решения Найти общий интеграл дифференциального уравнения s s d s Ответ: C d 0 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения l d d 0 удовлетворяющее начальным условиям Ответ: частное решение уравнения: l 0 3 Является ли 5 d 0 6 d уравнением в полных дифференциалах? Ответ: да 4 Среди уравнений указать линейные: а ' cos s 0 ; б ' 0 ; dv в m P kv ; dt 30

31 г ' 3 Ответ: а линейное относительно ; б не является линейным; в линейное относительноv t ; г линейное относительно 5 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения: ' cos s 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 Ответ: cos 6 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' Ответ: c arcs 7 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' 3 Ответ: 3 c Контрольные вопросы Какое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах? 3

32 Какое уравнение называется линейным однородным первого порядка? 3 Какое уравнение называется линейным неоднородным первого порядка? 4 Дайте определение общему решению однородного уравнения 5 Дайте определение общему решению неоднородного уравнения 6 Дайте определение частному решению неоднородного уравнения 7 В чем состоит метод вариации постоянной? 3

33 Лекция 4 Уравнение Бернулли Определение 4 Уравнение вида: d п p q у п п 0 d называется уравнением Бернулли 33 4 Уравнение Бернулли можно свести к линейному дифференциальному уравнению Разделим уравнение 4 на у п получим: d у p q d dz Выполним замену: z = - d получим: d d В итоге получим линейное дифференциальное уравнение dz относительно z: p z q d Пример 4 Решить уравнение: Решение: 4 cos tg 4 d Преобразуем: tg cos tg cos d 4 3 Сделаем замену: dz 3 d 3 d d z 4 Относительно z уравнение стало линейным: z ztg cos 3 dz Решим однородное уравнение: z z tg 0 z tg 3 3d

34 dz 3s d 3 l z 3l cos lc z C cos z cos Применим метод вариации постоянных: z C cos 3 dz 3 C cos 3C cos s d Подставим эти результаты в неоднородное уравнение 3 3 C cos C cos s C cos tg cos 3 3 3d C C 3tg c cos cos Окончательно получаем tg ccos ccos 3s cos Необходимо дополнить это общее решение частным решением у = 0 потерянным при делении на у 4 Метод Бернулли Сделаем в уравнени 4 подстановку uv где u u и v v некоторые неизвестные функции Тогда получим: uv p uv q uv u v u v p uv q uv u v u v p v q uv В качестве функции v возьмем решение уравнения удовлетворяющее условию: v p v 0 Тогда функция u определяется как решение уравнения u v q uv Пример 4 Решить уравнение: 3 34

35 Решение: Пусть u v uv Тогда: 35 uv u v uv 3 uv 3 v u v uv Функцию v найдем из условия v v 0 Решаем данное уравнение: dv v dv d d dv v и уравнение l v l C v Пусть C тогда C 3 3 для u принимает вид: u u или u u Решая это 3 3 уравнение получаем: du du du u d 3 d 3 d u u u C Находим : u C C u C u C Дополним это решение частным решением 0 которое было потеряно при делении на 3 u Данный метод можно применять и для решения линейных дифференциальных уравнений Решение линейного уравнения будем искать в виде: u v dv du Дифференцируя имеем: u v d d dv du Подставляя в 3 имеем: u v p u v q d d dv du или: u v p v q d d

36 dv Выберем функцию v такой чтобы v p 0 Разделяя d dv переменные находим: pd Интегрируя получаем: dv l C lv pd или pd v Ce Подставляя найденное du значение v в уравнение получим: v q или d q q u d C Итак имеем: v d C или v v q v d C v v Пример 43 d Решить уравнение: d Решение: dv du Полагаем u v тогда u v подставляя в d d исходное уравнение будем иметь: dv du u v uv d d dv du u v v d d dv Для определения v получим уравнение: v 0 Те d dv d откуда lv l или v v du 3 откуда u C Следовательно d 4 общий интеграл заданного уравнения: C 36

37 Уравнение Риккати Определение 4 Уравнение d q p r 4 d где q p r известные функции называется уравнением Риккати Если q p r постоянные то уравнение 4 интегрируется разделением переменных: d C q p r Если r 0 то уравнение 4 оказывается линейным в случае q 0 уравнением Бернулли В общем случае уравнение 4 не интегрируется в квадратурах Теорема 4 Если известно одно частное решение уравнения Риккати то его общее решение может быть получено с помощью квадратур Доказательство Пусть - частное решение уравнения Риккати тогда: p q R Сделаем замену z тогда: z p p z p z q q z R Принимая во внимание что - частное решение имеем z p z Это уравнение Бернулли: q z p уравнение решаем подстановкой u z сводим его к линейному: u p q u p 37

38 Пример 44 Решить уравнение частное решение e Решение: Перепишем уравнение в виде 38 e e e если известно его e e z для функции z получаем: e e e z e e e e z e z Пусть e z e e e e z e e z z dz dz z d C z d z z C Решением исходного уравнения будет функция e C Задачи для самостоятельного решения Решить - уравнение Бернулли Ответ: 3 C m ;замена z Найти решение уравнения Бернулли Ответ: C e e методом 3 Найти решение задачи Коши для дифференциального 3 уравнения: ' 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 методом Бернулли Ответ:

39 4 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения: ' cos s 0 удовлетворяющее начальным условиям методом Бернулли 0 Ответ: cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' методом Бернулли Ответ: c arcs 6 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' методом Бернулли 3 Ответ: 3 c 7 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения: условиям 0 Ответ: e ' e удовлетворяющего начальным Контрольные вопросы Какое уравнение называется уравнением Бернулли? Можно ли решать уравнение Бернулли методом Лагранжа? 3 В чем состоит метод Бернулли? 4 Можно ли решать линейные однородные уравнения методом Бернулли? 39

40 5 Какое уравнение называется уравнением Риккати? 6 Разрешимо ли уравнение Риккати в квадратурах? 7 В каком случае можно свести уравнение Риккати к уравнению Бернулли? 40

41 Лекция 5 Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков Определение 5 Дифференциальным уравнение п-го порядка называется соотношение вида: F = 0 5 где функция F предполагается непрерывной функцией всех своих аргументов По теореме о существовании неявной функции можно разрешить это уравнение относительно старшей производной у п = f - 5 Определение 5 Задачей Коши для дифференциального уравнение 5 или 5 называется задача нахождения решения этого уравнения которое удовлетворяет условиям: где некоторые числа Условия 53 называются начальными условиями или условиями Коши Теорема 5 Существования и единственности решения задачи Коши Пусть функция f - в уравнении 53 и ее частные производные по аргументам - непрерывны в некоторой области D плоскости мерного координатного пространства с координатами - и пусть точка принадлежит области D Тогда 4 0

42 в некоторой окрестности точки 0 существует решение задачи Коши для уравнения 5 с начальными условиями 53 в данной окрестности точки 0 данное решение единственно Определение 53 Общим решением уравнения 5 называется функция C C C где C C C произвольные постоянные удовлетворяющая следующим двум условиям: она является решением уравнения 5 при любых значениях C C C для любых начальных данных при которых дифференциальное уравнение 5 имеет решение можно указать значения постоянных C C0 C C0 C C0 такое что будут выполнены начальные условия: 0 0 C 0 0 C 0 C C C C C C C Определение 54 Если общее решение уравнения 5 или 5 получено в неявном виде: C C C 0 54 то оно называется общим интегралом данного дифференциального уравнения Определение 55 Решение уравнения 5 полученное из общего решения C C C путем задания конкретных значений

43 постоянных C C C называется частным решением данного уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка При аналитическом решении дифференциальных уравнений стараются понизить порядок уравнения Рассмотрим несколько случаев для которых это возможно сделать Неполные уравнения Простейшее уравнение порядка уравнение вида: f Решение уравнения находится кратным интегрированием: f Интегрируя получим: f d C ; 0 аналогично интегрируя еще раз получим: f dd C 0 C 0 0 итд C f ddd 0! раз - общее решение C C 0 0 C! Чтобы найти частное решение удовлетворяющее начальным значениям: достаточно положить C C C

44 Пример 5 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' s удовлетворяющее начальным условиям Решение: Определим тип уравнения: '' s - уравнение допускающее понижение порядка Решается последовательным интегрированием Проинтегрируем обе части уравнения: ' s d cos4d s 4 C 4 3 Проинтегрируем обе части полученного уравнения: s 4 C d cos4 C C Найдём произвольные постоянные: cos4 C C 4 3 ' s 4 C 4 При =0 =0 = получаем C ; C 3 5 Запишем ответ частное решение уравнения: cos Уравнение не содержащее искомой функции и ее первых производных до k порядка Это уравнения вида: k k F 0 44

45 Порядок уравнения понижается с помощью замены Введем k k z тогда: F z z z z 0 Таким образом мы понизили порядок на k единиц Пример 5 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ' '' ' l удовлетворяющее начальным условиям e e Решение: Определим тип уравнения: допускающее понижение порядка ' P Запишем подстановку: '' P' 45 ' ' ' l - уравнение P 3 Осуществим подстановку в данное уравнение: P' Pl 4 Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка P P 4 Определим тип уравнения: P' l - однородное уравнение P 4 Запишем подстановку: u P u P' u' u 43 Осуществим подстановку в уравнение: u' u u lu 44 Решим полученное уравнение с разделяющимися du d переменными: u' u lu u ; ; u lu l lu lc ; lu C ; u e C C c 45 Запишем общее решение: P u e ; ' e 5 Определим значение произвольной постоянной C При ' e имеем C 0 тогда ' e

46 6 Решим уравнение полученное в пункте 5 0 : ' e - уравнение с разделяющимися переменными d e d; e C 7 Определим значение произвольной постоянной C e При х= у=е имеем C e 8 Запишем ответ частное решение уравнения: Уравнение второго порядка не содержащее независимой переменной Это уравнения вида: f Порядок уравнения понижается с помощью замены: dp dp d dp p p d d d d dp Подставляя в уравнение имеем: p f p d Интегрируя имеем: p p C или C C 0 Пример 53 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' ' 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 ' 0 0 Решение: Определим тип уравнения: '' ' 0 - уравнение допускающее понижение ' P '' P P' Запишем подстановку: 3 Осуществим подстановку в уравнение: P P' P 0 46

47 4Решим уравнение полученное в пункте 3: PP ' P 0 - PdP d уравнение с разделяющимися переменными ; P l P lc ; P C ; P C ; ' C ; ' C 5 Найдём значение произвольной постоянной C При ' 0 имеем C Тогда ' 6 Решим уравнение полученное в пункте 5: ' - d уравнение с разделяющимися переменными: d; C; C 4 7Определим значение произвольной постоянной C : При 0 имеем C 0 8 Запишем ответ частное решение уравнения: 4 Задачи для самостоятельного решения Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' ' 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 ' 0 Ответ: Найти решение задачи Коши для уравнения ' ' ' удовлетворяющее начальным условиям 0 ' 0 0 Ответ: e 47

48 3 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения ' ' e a удовлетворяющее начальным условиям Ответ: e a a a a 4 Решить уравнение: s 4 C Ответ: cos C C3 4 5 Решить уравнение: Ответ: C arctg C C C tg C C C 6 Решить уравнение: Ответ: C C C l C 7 Решить уравнение: s k Ответ: s k k k 8 Решить уравнение: l Ответ: l C 4 Контрольные вопросы Дайте определение уравнению высшего порядка 48

49 Сформулируйте задачу Коши для уравнения высшего порядка 3 Дайте определение общему и частному решению уравнения высшего порядка 4 Сформулируйте теорему существования и решения задачи Коши уравнения высшего порядка 5 Какие типы уравнений допускающих понижение порядка вы знаете? 6 Каким образом понижается порядок в уравнениях данных типов? 49

50 Лекция 6 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Определение 6 Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется соотношение вида: a0 a a a f 6 где a0 a a a некоторые функции определенные на некотором промежутке причем a 0 0 Определение 6 Линейное дифференциальное уравнение 6 называется однородным если f 0 и называется неоднородным если f 0 Разделим уравнение 6 на a 0 получим: 0 p p p 0 6 Здесь f 0 Определение 63 Линейным дифференциальным оператором называется - оператор вида: L p p p Линейное дифференциальное уравнение -го порядка: L f 63 Свойства линейного дифференциального оператора L Постоянный множитель c можно вынести за знак линейного оператора: L[c] = cl[] Для любых двух функций и справедливо равенство: L[ + ] = L[ ] + L[ ] 50

51 3 Для любых чисел c c c m и любых функций m m m справедливо равенство: L c cl Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 6 Если у решение уравнения 6 и с произвольная постоянная то су также решение этого уравнения Доказательство Если L[ ] = 0 то по свойству линейного оператора L[с ] = 0 что и требовалось доказать Теорема 6 Сумма у + у решений уравнения 6 также является решением этого уравнения Доказательство Так как L[ ] = 0 и L[ ] = 0 по свойству линейного оператора L[ + у ] = L[ ] + L[ ] = 0 что доказывает утверждение теоремы Следствие Линейная комбинация c m решений уравнения 6 у у у т с произвольными постоянными коэффициентами тоже является решением этого уравнения Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 63 Если функции p и f непрерывны на отрезке [ab] то в окрестности любых начальных значений 0 [ a b] удовлетворяются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши и данное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям 53 5

52 Свойства решений неоднородного линейного уравнения Теорема 63 Сумма ~ решения ~ неоднородного уравнения 66 и решения у соответствующего однородного уравнения 6 является решением неоднородного уравнения 66 Доказательство L[ ~ ~ ] L[ ] L[ ] f 0 f что и требовалось доказать Теорема 64принцип суперпозиции Если решение уравнения L[] = f то является решением уравнения 5 m L[ ] f где α m постоянные Доказательство m m m m L L[ ] L[ ] f что и требовалось доказать Определение 64 Функции у х у х у пх называются линейно зависимыми на некотором отрезке [a b] если существуют такие числа α α α п хотя бы одно из которых не равно нулю что: α у + α у + + α пу п = 0 64 на рассматриваемом отрезке Если же равенство 64 справедливо только при всех α =0 функции у х у х у пх называются линейно независимыми на отрезке [a b] Пример 6 Функции ² линейно независимы на любом отрезке так как равенство α + α + α 3² + + α + = 0 справедливо только при всех α =0 Иначе в левой части равенства стоял бы

53 многочлен степени не выше п который может обращаться в нуль не более чем в п точках рассматриваемого отрезка Пример 6 Линейно независимой на любом отрезке является система k k k функций e e e где k k k различные числа Если предположить что эта система линейно зависима то существуют такие числа α α α п пусть для определенности k k k 0 что e e e 0 Разделим полученное п k k k k k e e равенство на e получим: 0 и продифференцируем k k kk k k e k k e 0 Проделав эту операцию п- раз придем к kk равенству k k k3 k k k e 0 что невозможно так как по предположению kk 0 k k e 0 j Определитель Вронского Определение 65 Определитель вида: W [ ] называется определителем Вронского системы функций у у у п Поскольку функции у у у п зависят от аргумента для краткого обозначения определителя Вронского будем использовать также обозначение W

54 54 Теорема 65 Если функции у у у п линейно зависимы на отрезке [ab] то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю Доказательство Дифференцируя п- раз тождество α у + α у + + α пу п = 0 где не все α = 0 получим линейную однородную систему относительно α α α п которая по условию должна иметь нетривиальное решение при любом х из отрезка [ab] а это возможно только в том случае если определитель основной матрицы этой системы равен нулю Поскольку этот определитель является определителем Вронского для выбранной системы функций теорема доказана Теорема 66 Если линейно независимые функции у у у п являются решениями линейного однородного уравнения 6 с непрерывными на отрезке [ab] коэффициентами то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [ab] Доказательство Пусть существует такая точка ] [ 0 b a что 0 0 W Выберем числа не все равные нулю так чтобы удовлетворялась система уравнений:

55 Определитель этой системы неизвестными в которой считаем равен W 0 и следовательно равен нулю поэтому система имеет ненулевое решение Тогда по условию теоремы решение уравнения 6 с нулевыми начальными условиями что следует из системы 69 Очевидно что этим условиям удовлетворяет нулевое решение: 0 67 а по теореме существования и единственности это решение единственно Но при этом из равенства 60 следует что функции у у у п линейно зависимы что противоречит условиям теоремы Следовательно W 0 ни в одной точке отрезка [ab] Структура общего решения линейного дифференциального уравнения Теорема 67 о структуре общего решения однородного линейного уравнения Общим решением на [ab] уравнения 6 с непрерывными коэффициентами p является линейная комбинация: c его п линейно независимых на [ab] частных решений с произвольными постоянными коэффициентами с Доказательство Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать что можно подобрать постоянные c так чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия где х 0 произвольная точка отрезка [ab] Подставив в равенства 69 выражение для у вида 68 получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с с с п

56 c 0 0 c 0 0 c 0 0 определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения который не равен нулю Следовательно система имеет решение при любых правых частях Теорема доказана Следствие Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения 6 равно его порядку Определение 66 Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения 6 называются его фундаментальной системой решений Теорема 68 о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения Общее решение на отрезке [ab] уравнения L[] = f с непрерывными на [ab] коэффициентами p и правой частью f равно сумме общего решения c соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения Доказательство Требуется доказать что для любых начальных условий k k 0 0 k 0 можно подобрать такие значения постоянных c чтобы функция: c ~ 60 56

57 где линейно независимые частные решения однородного уравнения L[]=0 а ~ частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения была решением этого неоднородного уравнения с заданными начальными условиями Это требование приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с с с п c 0 ~ 0 0 c 0 ~ 0 0 c ~ c 0 ~ 0 0 главным определителем которой является определитель Вронского W [ ] как известно не равный нулю Поэтому система 6 имеет единственное решение что и доказывает утверждение теоремы Контрольные вопросы Дайте определение линейному дифференциальному уравнению высшего порядка Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным? 3 Какое линейное дифференциальное уравнение называется неоднородным? 4 Дайте определение линейного оператора 5 Перечислите свойства линейного оператора 6 Перечислите свойства решений линейного однородного уравнения 57

58 7 Перечислите свойства решений линейного неоднородного уравнения 8 Дайте определение определителю Вронского 9 Какова структура решения линейного однородного уравнения? 0 Какова структура решения линейного неоднородного уравнения? Дайте определение фундаментальной системе решений Какая система функций называется линейно независимой? 3 Какая система функций называется линейно зависимой? 58

59 Лекция 7 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами: p p 0 7 Согласно теореме о структуре общего решения однородного уравнения общее решение данного уравнения имеет вид: o o C где C произвольные постоянные а фундаментальная система решений 7 Будем искать частные решения 7 образующие k фундаментальную систему в виде e где k постоянная k k k величина Тогда ke k e k e и при подстановке в 7 получаем: L e a e a a e P e L e 0 тогда и только тогда когда - корень уравнения P 0 Определение 7 Уравнение P ae a a 0 - называется характеристическим уравнением а его корни характеристическими числами однородного линейного уравнения От вида корней характеристического уравнения зависит вид частного решения Можно выделить четыре типа корней: Пусть все корни характеристического уравнения - вещественны и различны 59

60 Общее решение однородного уравнения имеет вид: C e k k k Пусть все корни характеристического уравнения - комплексные и различны Корню вида a b соответствует решение e a cos b e a s b Это решения линейно независимы Корню вида a b соответствует решение e a cos b e a sb Это решения линейно независимы Таким образом если все корни характеристического уравнения различны но среди них имеются комплексные то k каждому вещественному корню k соответствует решение e а каждой паре сопряженных комплексных корней a b соответствуют два вещественных линейно независимых частных решений вида e a cos b e a s b k Итак если корень вещественный k то общее решение Cke если корни сопряженные a b то общее решение C cosb C sb если чисто мнимые b то общее решение C cosb C sb e a 3 Случай наличия кратных корней Пусть k - кратный корень характеристического уравнения: k P 0 P P Всякому вещественному корню кратности k соответствует k вещественных линейно независимых решений вида k e e e 60

61 Каждой паре сопряженных a b корней кратности k соответствует k вещественных линейно независимых решений вида: a a k a e cosb e cosb e cosb a a e sb e sb e sb Итак если корень вещественный кратности k то ему соответствует Pk e Если корни сопряженные k a соответствует e P cosb Q sb k k a a b кратности k то ему Остановимся отдельно на решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка Однородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: '' p' g 0 где p g - заданные числа Виды фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения представлены в следующей таблице: Дискриминант характеристического уравнения D 0 D 0 D 0 Корни характеристического уравнения вещественные различные k k вещественные равные k k k Фундаментальная система частных решений e e k k k e k e комплексные k e cos e s Таблица 7 Общее решение c c c k e k e e k e c c cos c s 6

62 Пример 7 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' 3' 30 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 6 ' 0 5 Решение: Определим тип уравнения '' 3' линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: c c 3 Составим и решим характеристическое уравнение: корни вещественные различные 4 Запишем фундаментальную систему решений: ' e 5 5 e Запишем общее решение уравнения: c e ce 6 Найдём значения произвольных постоянных c и c : 5 ce ce 5 ' ce 5ce При 0 6 ' 5 получаем c c 6 e 5c c 5 5 c 7 Запишем ответ частное решение уравнения: 5e e Пример 7 Найти общее решение дифференциального уравнения '' 4' 49 0 Решение: Определим тип уравнения '' 4' линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами 5

63 Запишем формулу общего решения: c c 3 Составим и решим характеристическое уравнение: корни вещественные равные 4 Запишем фундаментальную систему решений: 7 7 e e 5 Запишем общее решение уравнения: 7 7 7k c e c e e c c Пример 73 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения '' 4' 3 0 удовлетворяющее начальным условиям 0 6 ' 0 0 Решение: Определим тип уравнения '' 4' линейное однородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами Запишем формулу общего решения: c c 3 Составим и решим характеристическое уравнение: корни комплексные 4 Запишем фундаментальную систему решений: e cos3 e s3 5 Запишем общее решение уравнения: ce cos3 ce s3 e c cos3 c s3 6 Найдём значения произвольных постоянных c и c : e c cos3 c s 3 ' e c 3c cos3 c 3c s 3 При 0 6 ' 0 получаем: c 6 3c c 0 c 6 c 4 63

64 7 Запишем ответ частное решение e 6cos3 4s3 уравнения: Метод вариации постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения Пусть фундаментальная система решений однородного уравнения p p 0 тогда общее решение этого уравнения: o o c Общее решение неоднородного линейного уравнения p p f будем искать в виде: c о н где с х с х с пх неизвестные функции Поскольку требуется найти неизвестных функций удовлетворяющих всего одному уравнению то можно дополнительно потребовать чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п- уравнениям выбранным так чтобы производные функции c имели по возможности такой же вид как при постоянных c Потребуем чтобы неизвестные функции с х с х с пх удовлетворяли условиям: 64

65 65 c c c c С учетом данных условий получим следующие выражения для производных искомой функции c c c c c c c c c c c c c c В последней строчке выражение для содержит два слагаемых так как условие c 0 не содержится в системе условий Подставив найденные выражения для в исходное уравнение приходим к уравнению: f p p c c

66 Поскольку частные решения однородного уравнения то все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему: c f Добавив его к первым п уравнениям системы условий получим систему из п уравнений для определения c c c определитель которой является определителем Вронского для функций у у у п и не равен нулю Следовательно из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций: c c c Интегрируя c c c находим: c C c C c C где первообразные функций а C произвольные постоянные Таким образом общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид: о н C Если каким-либо образом зафиксировать значения постоянных C в общем решении то получим частное решение неоднородного линейного уравнения Например C 0 тогда: ч н Таким образом общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного то есть: о н C C о o ч н 66

67 Пример 74 e Решить уравнение Решение: Найдем решение однородного уравнения для чего составим характеристическое уравнение k² - k + = 0 k = k = Следовательно общее решение однородного уравнения имеет вид у = с + c е х то есть фундаментальную систему решений составляют функции у = е х и у = хе х Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде: у = с хе х + с ххе х с e c e 0 Составим систему: e откуда c e c e c c 0 c c c c l C c c C где С и С произвольные постоянные Таким образом найдено общее решение исходного уравнения C e l C e или у = е х хl - + C + C Задачи для самостоятельного решения Решить уравнение: Ответ: Ce 3 3 C e C e Решить уравнение: Ответ: e C C s e C cos C s cos Решить уравнение: Ответ: e C C C 3 4 Найти общее решение дифференциальных уравнений: а '' 5' 6 0 ; г '' 5 0 ; 67

68 б '' 5 0 ; д '' 4' 0 0 ; в '' 6' 9 0 ; е '' 5' 0 3 Ответ: а c e c e ; 3 б e c c; в e c 4 c s 4 cos ; г c cos5 c s5 ; д c e 5 5 ce 5 ce е c ; 5 Найти общее решение дифференциального уравнения: ' ' cos Ответ: l 3 c c e 4 Контрольные вопросы Дайте определение характеристического уравнения Дайте определение корням характеристического уравнения 3 Перечислите типы решений линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков 4 Какие типы решений можно выделить для однородных дифференциальных уравнений второго порядка? 5 В чем состоит метод вариации произвольных постоянных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка? 6 Какая система функций называется линейно зависимой? 68

69 Лекция 8 Метод подбора частного решения по виду правой части Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: p p f 8 Его общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного Общее решение будем искать способом описанном в предыдущем параграфе остается найти какое-либо частное решение уравнения 8 Для некоторых видов правой части f можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение 8 Если правая часть уравнения 8 имеет вид: f e P cos Qm s P Qm - заданные многочлены одной или разных степеней Построим 69 p f e P cosq Q s q 8 где Рх и Qх некоторые многочлены то частное решение можно подобрать в виде: r p ~ ~ e Pm cosq Qm s q 83 ~ ~ где Pm и Qm многочлены с неопределенными коэффициентами степень т которых есть старшая из степеней многочленов Рх и Qх а r кратность корня p + q характеристического уравнения для уравнения 8 если число p + q не является корнем характеристического уравнения то r 0 Остановимся отдельно на решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка: ' ' p g f c правой d частью: где

70 d функцию вида: * e M r cos N s где M N - многочлены степени mak m записанные пока с неопределенными коэффициентами; r - кратность корня характеристического уравнения N Правая часть уравнения f Основной параметр Сравнение параметра с корнями характеристиче ского уравнения Конструкция частного решения у* 0 не является корнем B =cost А=cost однократный корень B 0 двукратный корень B 0 не является корнем M P однократный корень M 0 двукратный корень M не является корнем Be 3 Ae 0 однократный корень Be двукратный корень Be 70

71 не является M корнем e 4 P e 0 однократный M e корень двукратный M e корень 5 Acos B s 0; 0 не являются корнями C cos Ds C cos - корни D s 6 P Q k m cos s 0; 0 не являются корнями - корни M N cos ma s k; m M cos N s mak ; m Acos 7 B s e не являются корнями C cos e D s C cos - корни e D s 7

72 8 P k Q m cos s e не являются корнями M cos N s e M cos - корни e N s Таблица 8 В таблице 8 представлены формы правой части соответствующие решения уравнения у* f и 8 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: 4' 3 Решение: 0 Определим тип уравнения: 4' 3 - линейное неоднородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью 0 Запишем формулу общего решения: * 3 0 Найдём общее решение однородного уравнения - : '' 4' 0 k 4k 0 k 0 k 4 c ce 4 0 Проведём анализ правой части уравнения: 3 o 3 e cos o os f P3 5 0 Вычислим основной параметр уравнения: Определим параметр r : Основной параметр 0 является однократным корнем характеристического уравнения следовательно r 7 0 Сконструируем частное решение у*: 3 * M3 A B CX D 8 0 Вычислим коэффициенты функции у*: 8 Найдём производные от функции у*: 7 4

73 * A 4 D 3 * ' 4A 3B C * '' A 6B C D ' ' 0 k 0 k c cos c s 4 0 Проведём анализ правой части уравнения: 73 3 B C 8 Поставим функцию у* и её производные в данное 3 3 уравнение: 6A AB 6B 8CC 4D 83 Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства: 6A AB 0 6B 8C 0 C 4D Решим систему: A B C D Запишем частное решение у*: * Запишем ответ общее решение уравнения: c ce Пример 8 Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения: ' ' 8s удовлетворяющее условиям 0 ' 0 0 Решение: 0 ' ' 8s - линейное неоднородное ІІ порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью 0 Запишем формулу общего решения * 3 0 Найдём общее решение однородного уравнения - :

74 o 8s e ocos 8s p cos Q s 0 f Вычислим основной параметр уравнения: 6 0 Определим параметр r : Значения основного параметра являются однократными корнями характеристического уравнениями следовательно r 7 0 Сконструируем частное решение у*: * Acos Bs 8 0 Вычислим коэффициенты функции у*: 8 Найдём производные от функции у*: * A cos Bs ; * ' A Bcos B As ; * '' B Acos A 8s 8 Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение: B cos As 8s 83 Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и B 0 правой части равенства: A 8 84 Решим систему: A 4 B Запишем частное решение у*: * 4 cos 0 0 Запишем общее решение уравнения: c 4cos c s 0 Найдём значения произвольных постоянных c и c : c 4cos c s ' c 4cos 4 c s При х=0 у= у =0 имеем c c 4 0 Запишем ответ частное решение уравнения: 4 cos 4s 74

75 Системы дифференциальных уравнений К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы действующие на материальную точку; найти закон движения те найти функции t t z t выражающие зависимость координат движущейся точки от времени Система которая получается в общем случае имеет вид: d dt d dt d z dt d d dz f t z dt dt dt d d dz f t z dt dt dt d d dz f3 t z dt dt dt Здесь z координаты движущейся точки t время f f известные функции своих аргументов f 3 Будем рассматривать системы уравнений первого порядка Определение 8 Система вида: d t f t dt d t f t dt d t f t dt 84 75


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА К В БУХЕНСКИЙ Г С ЛУКЬЯНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 9 Предисловие Учебное пособие содержит

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА МИИТ» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее