Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение."

Транскрипт

1 Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического исследования явлений и процессов, в которых участвуют такие величины, как скорость, ускорение и так далее Дифференциальное уравнение выступает как математическая модель изучаемого процесса Решив его, можно прогнозировать эволюцию процесса во времени, исходя только из его начального состояния Основные понятия теории дифференциальных уравнений Уравнение, содержащее функцию, ее аргументы и производные, называется дифференциальным уравнением (ДУ), в случае функции одного аргумента - обыкновенным ДУ, а для большего числа аргументов уравнением в частных производных В методических указаниях рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенным ДУ называется функциональная зависимость между ( ) функцией = ( ),ее аргументом и производными,,,, выражаемая уравнением ( ) F(,,,,, ) = 0 () Наивысший порядок производной, входящей в запись уравнения, называется порядком уравнения Решением уравнения () называется любая раз дифференцируемая функция = ( ), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождестве График решения называется интегральной линией Решить дифференциальное уравнение значит - найти все его решения Дифференциальное уравнение первого порядка (ДУ-) Дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение вида F(,, ) = 0 - уравнение, не разрешенное относительно производной Выразим производную из этого равенства Получим уравнение = f (, ), разрешенное относительно производной Дифференциальная форма записи ДУ- такова: P d+ Q d = 0, где P(, ), Q(, ) - функции аргументов,, Эта форма возникает, если записать d производную = как отношение дифференциалов d Определим частное, общее и особое решения дифференциального уравнения Задача Коши состоит из дифференциального уравнения = f (, ) и начального условия ( 0) = 0 Задачей Коши называется задача о нахождении решения = ( ) уравнения = f (, ), удовлетворяющего начальному условию ( ) = 0 0

2 Решить задачу Коши означает - найти решение = ( ) данного уравнения, которое удовлетворяет условию = 0 при = 0 С геометрической точки зрения это означает - найти интегральную линию = ( ), проходящую через точку M (, ) Y интегр линия =() M 0 0 X Теорема существования и единственности решения Пусть функция f (, ) и ее частная производная f непрерывны в области D XOY Для любой точки ( 0, 0) D найдется интервал ( 0 h ; 0 + h), в котором уравнение = f (, ) имеет решение и при этом только единственное решение, удовлетворяющее начальному условию ( ) = 0 0 Y интегр линия M 0 =() D 0 0 h 0 0 h + X Пример Решить дифференциальное уравнение = 4 Решение В правой части отсутствует неизвестная функция, те производная = 4 задана явно Поэтому можно перейти от производной = 4 к переменной при помощи обратного действия интегрирования Получаем = 4 = 4d, = + C Получено семейство (множество) решений, которое выражается одной формулой = (, C), где C - константа Такое решение называется общим решением Константа C в общем решении появляется в результате интегрирования Частное решение это решение, получаемое из общего решения при некотором значении константы C

3 Решение уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении константы C, называется особым Более точная формулировка Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши, те в окрестности произвольной точки ( 0, 0) D существует не менее двух интегральных кривых Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается, по крайней мере, одной интегральной кривой Итак, все решения уравнения бывают частными и особыми Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения В последующем мы будем находить только общее решение, не уделяя внимания особым решениям Свойства общего решения = (, C) уравнения = f (, ) ) При любом допустимом значении постоянной C = C0 функция = (, C0 ) является решением уравнения = f (, ) Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесконечное множество решений ) Для начальных данных = 0, ( 0) = 0 существует единственное решение задачи Коши, те частное решение = (, C0 ) удовлетворяет начальному условию ( 0) = 0 Пример Найти частное решение уравнение = 4, удовлетворяющее начальному условию ( ) = 5 Решение Ранее мы нашли общее решение = + C уравнения = 4 Чтобы получить из общего уравнения нужное частное решение, подставим начальные данные =, = 5 в общее решение = + C 5= + C ; C = Подставим найденное значение константы в общее решение = + C = Получено решение задачи Коши, те найдено частное решение уравнение 4, удовлетворяющее начальному условию = 5 = ( ) Ответ = Пример Найти закон, по которому будет изменяться скорость v = v( t), где t - время, свободно падающего тела M массой m без учета силы сопротивления воздуха Начальная скорость падения v 0 Найти закон изменения высоты = () t тела над поверхностью Земли Решение Введем систему координат- ось OX Тело M ( ) в момент времени d dv t имеет абсциссу = () t и скорость v =, ускорение a = = g dt dt Вес тела P = mg Согласно -му закону Ньютона получаем уравнение ma = P, ma = mg dv = g, dv g dt dt =

4 Интегрируем обе части равенства dv = g dt, v = g t+ C X 0 (t) M() 4 v O P=mg Подставим начальные данные t = 0, v = v0 в общее решение v = g t+ C v 0 = g 0 + C, C = v0 Закон изменения скорости v = g t+ v0 Находим закон падения тела Интегрируем v = g t+ C = g t+ C; = ( g t+ C) dt; = g t + C t+ D Применим начальное условие t = 0, = 0 Получаем = g t + v t+ 0 0 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, Дифференциальное уравнение = f (, ) называется уравнением с разделяющимися переменными, если правая часть допускает разделение переменных, т е правая часть f (, ) = P( Q ) ( ) представима как произведение множителей, зависящих только от одной переменной Любое из дифференциальных уравнений P+ Q = 0, P d+ Q d = 0 будет с разделяющимися переменными, если функции P, Q допускают разделение переменных Пример Проверить, что уравнение ( + ) = + 4 допускает разделение переменных Решение Выразим производную ( + ) = ( + 4) ; = ( + 4) ; = ( + 4) + + Итак, правая часть допускает разделение переменных, так как P( ) = +, Q( )= = + 4 Рассмотрим на примере общий алгоритм решения ДУ- с разделяющимися переменными Пример Решить уравнение = Решение Это уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид = P( ) Q( ) Чтобы убедиться в этом, выразим производную из уравнения = Подставим производную d Получаем d = в это уравнение и помножим обе части на d

5 5 d = =, d = d d Отделяем переменные Это означает, что множители содержащие переменную должны быть при своем дифференциале d Тоже самое для Делим на Отсюда d = d Делим на Получаем d = d Интегрируем обе части d = d, d = d ; = + C Получен общий интеграл- это общее решение в неявной форме Выразим искомое общее решение из этого равенства = C; = C ; = ; = Ответ = C C C 4 Однородные дифференциальные уравнения -го порядка (ОДУ-) Однородным ДУ- называется уравнение вида =ϕ, правая часть которого зависит от переменной = Заменой =, = + уравнение сводится к ДУ с разделяющимися переменными С физической точки зрения уравнение = f (, ) будет однородным, если, измеряются в правая часть f (, ) - безразмерная величина, а величины, одних единицах, например, в метрах Функция f (, ) называется однородной измерения, если она удовлетворяет тождеству f (, ) = f (, ) Это равносильно тождеству (, ) = ϕ для некоторой функции ϕ ( ) С физической точки зрения f значения функции f (, ) измеряются в м, если, измеряются в метрах Если все слагаемые многочлена P(, ) имеют один и тот же порядок, то многочлен является однородной функцией измерения P(, ) Любое из уравнений P+ Q = 0, P+ Q = 0, P d+ Q d = 0 является однородным, если функции P, Q - однородные одного измерения Пример Проверить, какие уравнения являются однородными? + ) = ; ) ( + ) = + ; ) d + ( + ) d = 0 ; Решение ) уравнение однородное Если измерять переменные,, то правая часть + безразмерна Поясним: находим размерность м + м м = м 0 м м м = = +

6 6 )Это уравнение вида P = Q Функции P = ( + ), Q = + состоят из слагаемых -го порядка, те имеют размерность м Это значит, что они однородные функции одинакового измерения, равного )Уравнение задано в дифференциальной форме вида P d+ Q d = 0 Множители при дифференциалах- однородные функции одинакового измерения, равного Покажем на примере общий алгоритм решения однородных уравнений ( ) Пример Решить уравнение = Решение Определим тип дифференциального уравнения Это однородное уравнение вида =ϕ, так как правая часть безразмерна Оно решается заменой =, = +, которая приводит его к уравнению с разделяющимися переменными Сделаем замену: ( ) ( ) = + = Сократим и выразим производную + = ( ) ; + = ; = ; = d d d Отделяем переменные: =, d = ; d d = Интегрируем обе части, получившегося равенства: d d =, l C = + Заменим константу C на другую константу вида l C : l l C = +, l C = Подставим в неявной форме l C =, = l C = Получим общий интеграл, те общее решение, заданное Повторение Решить задачу Коши Ответ Общее решение ( ) =, ( ) = Ответ = l C Пример Решить уравнение d ( + ) d = 0 Решение Это ОДУ, так как множители при дифференциалах одного измерения Выразим производную =, + Замена =, = + Преобразуем уравнение: = + = ; = ; = Разделяем переменные Подставим производную d = ; d + d = d + + d d =, d = : d = l e

7 + d Интегрируем обе части d =, d d d + = l = l +C Заменим константу C на l C, перепишем l = l l C, l = l C, l + l C = l C = Подставим = и получаем общий интеграл l C = Ответ l C = 5 Линейное уравнение -го порядка (ЛДУ-) Линейное уравнение -го порядка это уравнение вида + P( ) = Q( ) или R ( ) + P( ) = Q( ) Характерный признак такого уравнения состоит в том, что функция и ее производная присутствует в уравнении в степенях с показателем Например, уравнение + ( + ) = является линейным, а уравнения + ( + ) =, + + = не являются линейными из-за присутствия множителей, = Линейное уравнение решается заменой = u v, = u v+ u v, которая приводит его к двум уравнениям с разделяющимися переменными Следует выделить два этапа решения На первом этапе мы находим единственную функцию v = v( ), которая упрощает уравнение, которое получается при замене Второй этап состоит в нахождении общего решения u = u(, C) полученного уравнения с разделяющимися переменными Поясним алгоритм решения на примере 4 Пример Решить дифференциальное уравнение + = Решение Это уравнение линейное первого порядка, так как оно имеет вид R ( ) + P( ) = Q( ), где P ( ), Q ( ), R( ) -функции аргумента В нашем 4 примере R ( ) =, P ( ) =, Q ( ) = Делаем замену = u v, = u v+ u v 4 4 Получаем + =, u v+ u v + u v = Сгруппируем слагаемые, содержащий общий множитель u и вынесем его за скобки: 4 u v+ u v + v = Выражение в скобках приравняем к нулю, чтобы найти функцию v = v( ), те имеем дифференциальное уравнение v + v= 0 Преобразуем его к в dv уравнение + v = 0 и решим его Для этого разделим переменные d dv d 0 v + =, dv d + = v 0

8 Проинтегрируем 0 Находим функцию dv d dv d + =, + = 0 v v u = u(, C), l v l 0 из уравнения + =, l( v ) = l, v =, 8 v = u v+ u v + v = u v =, u =, u = Интегрируем u 5 6 = d = 6 + C Окончательно имеем общее решение 6 = u v C 5 C = + Ответ = Пример Решить дифференциальное уравнение ( ) d+ d = 0, ( ) = Решение Определим тип дифференциального уравнения Для этого выразим d производную = из этого уравнения Получаем: d d ( ) + = 0; + = 0; + = d R + P = Q Это линейное уравнение вида ( ) ( ) ( ) Замена = u v, = u v+ u v Отсюда: u v+ u v + u v = + = ( ) Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с общим множителем, равным u Преобразуем уравнение: u v+ u v + u v =, u v+ u ( v + v) = Приравняем к нулю v + v =0 Находим v = v( ) Отделяем переменные dv+ v d = 0, dv + d = 0, dv = d = 0 v v l v = l, v =, v = u = u, C Решаем далее и находим ( ), 5 u v+ u ( v + v) = u v =, u v =, u = ; u = 5 Интегрируем u= d, u = + C Общее решение = u v = + C, = + C Подставим начальные условия =, = в общее решение = C + 5 = + C, C = 5 5 Частное решение задачи Коши = + Ответ = +

9 6 Уравнение Бернулли Линейное уравнение -го порядка это уравнение вида P( ) Q( ) R ( ) + P( ) = Q( ) при 0 и Случаи = 0 и = не интересны, так как при = 0 получается линейное уравнение, а при = - уравнение с разделяющимися переменными Характерный признак такого уравнения состоит в том, что функция и ее производная присутствует в уравнении в степенях с показателем и только в одном случае допускается нелинейный множитель Например, уравнения + ( + ) =, ( ) + + =, Бернулли, а уравнения ( ) + = или + = является уравнениям + + =, + = не являются таковыми Уравнениям Бернулли решается заменой = u v, = u v+ u v, которая приводит его к двум уравнениям с разделяющимися переменными Следует отметить, что алгоритм решения повторяет схему решения линейного уравнения Поясним алгоритм решения на примере Пример Решить дифференциальное уравнение + = Решение Это уравнение Бернулли вида R( ) + P( ) = Q( ) при = Делаем замену = u v, = u v+ u v Отсюда + = u v+ u v + u v = u v, ( ) uv+ u v + v = u v, Приравняем к нулю выражение в скобках и найдем функцию v = v( ), те v + v=0 Это уравнение с разделяющимися переменными d ν + v = 0, d ν + d = 0 d v d Интегрируем ν + d = 0 v, l v + = 0, v = e Находим вторую функцию u из уравнения uv + u ( v + v) = u v uv = u v, u = u v ; u = u e, Это уравнение с разделяющимися переменными du du du = u e ; = e d; e d d u = u Подводим множитель под знак дифференциала = e d ( ) u, = e + C u = e C, = e C, u = u u Общее решение = u v e C = e ; e C = Ответ C e = C e 9

10 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах Это уравнение вида M (, ) d+ N(, ) d = 0, у которого левая часть равна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ) Другими словами, уравнение можно записать du = 0 Отсюда получаем общий интеграл U(, ) = C Признак уравнения в полных дифференциалах Уравнение M (, ) d+ N(, ) d =0 в полных дифференциалах верно равенство = Покажем на примере алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах + + d+ + + d=0 ( ) ( ) Решение Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах, те оно имеет вид M (, ) d+ N(, ) d = 0, причем верно равенство = В нашем случае M = + +, N = + + Находим частные производные M + + = + ; N = ( ) ( ) = + + = Итак, верно равенство + = Находим такую функцию U = U(, ) такую, что тождество (, ) (, ) du = M d + N d = M, = N, те верно Запишем систему уравнений = + +, = + + Интегрируем первое из них по переменной, считая константой: U = ( + + ) d, U = D( ) ; U = D( ) При интегрировании появилась условная константа D( ), которая не зависит от переменной Подставим найденную функцию во второе уравнение = + + ( D( ) ) = + + D ( ), + + D ( ) = + +, D ( ) = ; D( ) = d; D( ) = + E U = E, где E - константа Примем ее равной E = 0 Уравнение ( ) ( ) du = M, d + N, d = 0 du = 0 Поэтому общий интеграл таков U = C, те = C Ответ = C 0

11 8 Метод интегрирующего множителя Если уравнение M (, ) d+ N(, ) d =0 не является уравнением в полных дифференциалах, то возникает задача о нахождении функции μ=μ (, ) такой, что новое уравнение μ M (, ) d+μ N(, ) d =0 становится уравнением в полных дифференциалах Эта функция называется интегрирующим множителем Она есть частное решение уравнения в частных производных ( l ) ( l ) M N N μ M μ = Это условие получается из условия ( μ N) = ( μ M) В общем случае нахождение интегрирующего множителя является задачей не простой Однако, считается, что интегрирующий множитель имеет заданный вид (например, является функцией только от или только от ) μ=μ, те не зависит от Этот Случай Интегрирующий множитель ( ) множитель находим из условия ( l ) Случай Интегрирующий множитель ( ) μ = N μ=μ определяем согласно равенству ( lμ ) = M Пример Решить уравнение + d d = Решение Проверим, будет ли это уравнение в полных дифференциалах, те оно имеет вид M (, ) d+ N(, ) d =0, причем верно равенство = В нашем случае M = +, N = + Находим частные производные = + = ; = + = Равенство = не выполняется Найдем интегрирующий множитель μ=μ ( ) Поскольку выражение из условия ( lμ ) = N ( ) lμ = = + ; lμ= d = l ; μ= Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель + d d = ; ( + ) d + ( + ) d = 0

12 Полагаем M = + ; N = + Находим такую функцию U = U(, ) такую, что тождество (, ) (, ) du = M d + N d = M, Запишем систему уравнений = +, = + Интегрируем первое из них по переменной, считая константой: U = ( + ) d, U = + + D( ) Подставим найденную функцию во второе уравнение = D( ) = +, + D ( ) = + ; D ( ) = ; D( ) = ; U = + + Уравнение du = M d + N d = 0 du = 0 Поэтому общий интеграл таков U = C, те U = + + = C; + + = C Ответ + + = C = N, те верно 9 Повторение Пример Определить тип дифференциального уравнения -го порядка ДУ- Ответ + Уравнение с разделяющимися = переменными вида = P( ) Q( ) Уравнение с разделяющимися переменными вида = + P( ) Q( ) = P( ) Q( ) Однородное уравнение вида = = + = + = + + = 0 = ϕ, так правая часть является безразмерной величиной, если, измерены в метрах Линейное уравнение вида + P( ) = Q( ) Линейное уравнение вида R( ) + P( ) = Q( ) Уравнение Бернулли + ( ) = ( ) при = Уравнение Бернулли P Q R( ) + P( ) = Q( ) при =

13 8 + = Однородное уравнение вида = ϕ 0 Краткая Теория Уравнение с разделяющимися переменными = P( ) Q( ) или ( ) ( ) = ( ) ( ) Подставить P Q P Q d = d, разделить переменные Однородное уравнение = ϕ Признак однородности - правая часть уравнения безразмерная величина, если, измерены в метрах Замена = =, = + приводит к уравнению с разделяющимися переменными Линейное уравнение + P( ) = Q( ) или R( ) + P( ) = Q( ) Замена = u v, = u v+ u v приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными 4 Уравнение Бернулли + P( ) = Q( ) или R( ) + P( ) = Q( ), где 0 и Замена = uv, = u v+ uv 5 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах M (, ) d+ N(, ) d = 0, для которого верно равенство = Такая дифференциальная форма M (, ) d+ N(, ) dравна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ), те верно = M, = N Решение уравнения сводится к нахождению этой функции U = U(, ) : M (, ) d+ N(, ) d = 0 du = 0, U(, ) = C- общий интеграл 6 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах M (, ) d+ N(, ) d = 0, левая часть которого равна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ) Это равносильно выполнению равенства = Общий интеграл ( ) U, = C При умножении обеих частей уравнения M (, ) d+ N(, ) d = 0 на интегрирующий множитель μ=μ (, ) получается уравнение в полных дифференциалах Интегрирующий множитель есть частное решение уравнения ( l μ ) ( l μ ) M N N M =

14 Обычно, считается, что интегрирующий множитель имеет заданный вид: Случай Интегрирующий множитель μ=μ ( ), те не зависит от Его находим из условия μ = N μ=μ определяем согласно равенству ( l ) Случай Интегрирующий множитель ( ) μ = M ( l ) 4


, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 4)

Дифференциальные уравнения (лекция 4) Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

История. где x 0 некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а y 0 и y (i)

История. где x 0 некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а y 0 и y (i) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная это функция нескольких

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений

Подробнее

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ.

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ. Лекция Гл I Основные понятия Простейшие типы ДУ Введение Термин aequatio differerialis или дифференциальные уравнения был введен Лейбницем (Leibiz) в 676 г для обозначения зависимости между дифференциалами

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание). Частные производные и дифференциалы

Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание). Частные производные и дифференциалы Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание. Частные производные и дифференциалы сложных ФНП. Дифференцирование неявных функций Лектор Рожкова С.В.

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим

Подробнее