Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Транскрипт

1 Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического исследования явлений и процессов, в которых участвуют такие величины, как скорость, ускорение и так далее Дифференциальное уравнение выступает как математическая модель изучаемого процесса Решив его, можно прогнозировать эволюцию процесса во времени, исходя только из его начального состояния Основные понятия теории дифференциальных уравнений Уравнение, содержащее функцию, ее аргументы и производные, называется дифференциальным уравнением (ДУ), в случае функции одного аргумента - обыкновенным ДУ, а для большего числа аргументов уравнением в частных производных В методических указаниях рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенным ДУ называется функциональная зависимость между ( ) функцией = ( ),ее аргументом и производными,,,, выражаемая уравнением ( ) F(,,,,, ) = 0 () Наивысший порядок производной, входящей в запись уравнения, называется порядком уравнения Решением уравнения () называется любая раз дифференцируемая функция = ( ), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождестве График решения называется интегральной линией Решить дифференциальное уравнение значит - найти все его решения Дифференциальное уравнение первого порядка (ДУ-) Дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение вида F(,, ) = 0 - уравнение, не разрешенное относительно производной Выразим производную из этого равенства Получим уравнение = f (, ), разрешенное относительно производной Дифференциальная форма записи ДУ- такова: P d+ Q d = 0, где P(, ), Q(, ) - функции аргументов,, Эта форма возникает, если записать d производную = как отношение дифференциалов d Определим частное, общее и особое решения дифференциального уравнения Задача Коши состоит из дифференциального уравнения = f (, ) и начального условия ( 0) = 0 Задачей Коши называется задача о нахождении решения = ( ) уравнения = f (, ), удовлетворяющего начальному условию ( ) = 0 0

2 Решить задачу Коши означает - найти решение = ( ) данного уравнения, которое удовлетворяет условию = 0 при = 0 С геометрической точки зрения это означает - найти интегральную линию = ( ), проходящую через точку M (, ) Y интегр линия =() M 0 0 X Теорема существования и единственности решения Пусть функция f (, ) и ее частная производная f непрерывны в области D XOY Для любой точки ( 0, 0) D найдется интервал ( 0 h ; 0 + h), в котором уравнение = f (, ) имеет решение и при этом только единственное решение, удовлетворяющее начальному условию ( ) = 0 0 Y интегр линия M 0 =() D 0 0 h 0 0 h + X Пример Решить дифференциальное уравнение = 4 Решение В правой части отсутствует неизвестная функция, те производная = 4 задана явно Поэтому можно перейти от производной = 4 к переменной при помощи обратного действия интегрирования Получаем = 4 = 4d, = + C Получено семейство (множество) решений, которое выражается одной формулой = (, C), где C - константа Такое решение называется общим решением Константа C в общем решении появляется в результате интегрирования Частное решение это решение, получаемое из общего решения при некотором значении константы C

3 Решение уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении константы C, называется особым Более точная формулировка Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши, те в окрестности произвольной точки ( 0, 0) D существует не менее двух интегральных кривых Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается, по крайней мере, одной интегральной кривой Итак, все решения уравнения бывают частными и особыми Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения В последующем мы будем находить только общее решение, не уделяя внимания особым решениям Свойства общего решения = (, C) уравнения = f (, ) ) При любом допустимом значении постоянной C = C0 функция = (, C0 ) является решением уравнения = f (, ) Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесконечное множество решений ) Для начальных данных = 0, ( 0) = 0 существует единственное решение задачи Коши, те частное решение = (, C0 ) удовлетворяет начальному условию ( 0) = 0 Пример Найти частное решение уравнение = 4, удовлетворяющее начальному условию ( ) = 5 Решение Ранее мы нашли общее решение = + C уравнения = 4 Чтобы получить из общего уравнения нужное частное решение, подставим начальные данные =, = 5 в общее решение = + C 5= + C ; C = Подставим найденное значение константы в общее решение = + C = Получено решение задачи Коши, те найдено частное решение уравнение 4, удовлетворяющее начальному условию = 5 = ( ) Ответ = Пример Найти закон, по которому будет изменяться скорость v = v( t), где t - время, свободно падающего тела M массой m без учета силы сопротивления воздуха Начальная скорость падения v 0 Найти закон изменения высоты = () t тела над поверхностью Земли Решение Введем систему координат- ось OX Тело M ( ) в момент времени d dv t имеет абсциссу = () t и скорость v =, ускорение a = = g dt dt Вес тела P = mg Согласно -му закону Ньютона получаем уравнение ma = P, ma = mg dv = g, dv g dt dt =

4 Интегрируем обе части равенства dv = g dt, v = g t+ C X 0 (t) M() 4 v O P=mg Подставим начальные данные t = 0, v = v0 в общее решение v = g t+ C v 0 = g 0 + C, C = v0 Закон изменения скорости v = g t+ v0 Находим закон падения тела Интегрируем v = g t+ C = g t+ C; = ( g t+ C) dt; = g t + C t+ D Применим начальное условие t = 0, = 0 Получаем = g t + v t+ 0 0 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, Дифференциальное уравнение = f (, ) называется уравнением с разделяющимися переменными, если правая часть допускает разделение переменных, т е правая часть f (, ) = P( Q ) ( ) представима как произведение множителей, зависящих только от одной переменной Любое из дифференциальных уравнений P+ Q = 0, P d+ Q d = 0 будет с разделяющимися переменными, если функции P, Q допускают разделение переменных Пример Проверить, что уравнение ( + ) = + 4 допускает разделение переменных Решение Выразим производную ( + ) = ( + 4) ; = ( + 4) ; = ( + 4) + + Итак, правая часть допускает разделение переменных, так как P( ) = +, Q( )= = + 4 Рассмотрим на примере общий алгоритм решения ДУ- с разделяющимися переменными Пример Решить уравнение = Решение Это уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид = P( ) Q( ) Чтобы убедиться в этом, выразим производную из уравнения = Подставим производную d Получаем d = в это уравнение и помножим обе части на d

5 5 d = =, d = d d Отделяем переменные Это означает, что множители содержащие переменную должны быть при своем дифференциале d Тоже самое для Делим на Отсюда d = d Делим на Получаем d = d Интегрируем обе части d = d, d = d ; = + C Получен общий интеграл- это общее решение в неявной форме Выразим искомое общее решение из этого равенства = C; = C ; = ; = Ответ = C C C 4 Однородные дифференциальные уравнения -го порядка (ОДУ-) Однородным ДУ- называется уравнение вида =ϕ, правая часть которого зависит от переменной = Заменой =, = + уравнение сводится к ДУ с разделяющимися переменными С физической точки зрения уравнение = f (, ) будет однородным, если, измеряются в правая часть f (, ) - безразмерная величина, а величины, одних единицах, например, в метрах Функция f (, ) называется однородной измерения, если она удовлетворяет тождеству f (, ) = f (, ) Это равносильно тождеству (, ) = ϕ для некоторой функции ϕ ( ) С физической точки зрения f значения функции f (, ) измеряются в м, если, измеряются в метрах Если все слагаемые многочлена P(, ) имеют один и тот же порядок, то многочлен является однородной функцией измерения P(, ) Любое из уравнений P+ Q = 0, P+ Q = 0, P d+ Q d = 0 является однородным, если функции P, Q - однородные одного измерения Пример Проверить, какие уравнения являются однородными? + ) = ; ) ( + ) = + ; ) d + ( + ) d = 0 ; Решение ) уравнение однородное Если измерять переменные,, то правая часть + безразмерна Поясним: находим размерность м + м м = м 0 м м м = = +

6 6 )Это уравнение вида P = Q Функции P = ( + ), Q = + состоят из слагаемых -го порядка, те имеют размерность м Это значит, что они однородные функции одинакового измерения, равного )Уравнение задано в дифференциальной форме вида P d+ Q d = 0 Множители при дифференциалах- однородные функции одинакового измерения, равного Покажем на примере общий алгоритм решения однородных уравнений ( ) Пример Решить уравнение = Решение Определим тип дифференциального уравнения Это однородное уравнение вида =ϕ, так как правая часть безразмерна Оно решается заменой =, = +, которая приводит его к уравнению с разделяющимися переменными Сделаем замену: ( ) ( ) = + = Сократим и выразим производную + = ( ) ; + = ; = ; = d d d Отделяем переменные: =, d = ; d d = Интегрируем обе части, получившегося равенства: d d =, l C = + Заменим константу C на другую константу вида l C : l l C = +, l C = Подставим в неявной форме l C =, = l C = Получим общий интеграл, те общее решение, заданное Повторение Решить задачу Коши Ответ Общее решение ( ) =, ( ) = Ответ = l C Пример Решить уравнение d ( + ) d = 0 Решение Это ОДУ, так как множители при дифференциалах одного измерения Выразим производную =, + Замена =, = + Преобразуем уравнение: = + = ; = ; = Разделяем переменные Подставим производную d = ; d + d = d + + d d =, d = : d = l e

7 + d Интегрируем обе части d =, d d d + = l = l +C Заменим константу C на l C, перепишем l = l l C, l = l C, l + l C = l C = Подставим = и получаем общий интеграл l C = Ответ l C = 5 Линейное уравнение -го порядка (ЛДУ-) Линейное уравнение -го порядка это уравнение вида + P( ) = Q( ) или R ( ) + P( ) = Q( ) Характерный признак такого уравнения состоит в том, что функция и ее производная присутствует в уравнении в степенях с показателем Например, уравнение + ( + ) = является линейным, а уравнения + ( + ) =, + + = не являются линейными из-за присутствия множителей, = Линейное уравнение решается заменой = u v, = u v+ u v, которая приводит его к двум уравнениям с разделяющимися переменными Следует выделить два этапа решения На первом этапе мы находим единственную функцию v = v( ), которая упрощает уравнение, которое получается при замене Второй этап состоит в нахождении общего решения u = u(, C) полученного уравнения с разделяющимися переменными Поясним алгоритм решения на примере 4 Пример Решить дифференциальное уравнение + = Решение Это уравнение линейное первого порядка, так как оно имеет вид R ( ) + P( ) = Q( ), где P ( ), Q ( ), R( ) -функции аргумента В нашем 4 примере R ( ) =, P ( ) =, Q ( ) = Делаем замену = u v, = u v+ u v 4 4 Получаем + =, u v+ u v + u v = Сгруппируем слагаемые, содержащий общий множитель u и вынесем его за скобки: 4 u v+ u v + v = Выражение в скобках приравняем к нулю, чтобы найти функцию v = v( ), те имеем дифференциальное уравнение v + v= 0 Преобразуем его к в dv уравнение + v = 0 и решим его Для этого разделим переменные d dv d 0 v + =, dv d + = v 0

8 Проинтегрируем 0 Находим функцию dv d dv d + =, + = 0 v v u = u(, C), l v l 0 из уравнения + =, l( v ) = l, v =, 8 v = u v+ u v + v = u v =, u =, u = Интегрируем u 5 6 = d = 6 + C Окончательно имеем общее решение 6 = u v C 5 C = + Ответ = Пример Решить дифференциальное уравнение ( ) d+ d = 0, ( ) = Решение Определим тип дифференциального уравнения Для этого выразим d производную = из этого уравнения Получаем: d d ( ) + = 0; + = 0; + = d R + P = Q Это линейное уравнение вида ( ) ( ) ( ) Замена = u v, = u v+ u v Отсюда: u v+ u v + u v = + = ( ) Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с общим множителем, равным u Преобразуем уравнение: u v+ u v + u v =, u v+ u ( v + v) = Приравняем к нулю v + v =0 Находим v = v( ) Отделяем переменные dv+ v d = 0, dv + d = 0, dv = d = 0 v v l v = l, v =, v = u = u, C Решаем далее и находим ( ), 5 u v+ u ( v + v) = u v =, u v =, u = ; u = 5 Интегрируем u= d, u = + C Общее решение = u v = + C, = + C Подставим начальные условия =, = в общее решение = C + 5 = + C, C = 5 5 Частное решение задачи Коши = + Ответ = +

9 6 Уравнение Бернулли Линейное уравнение -го порядка это уравнение вида P( ) Q( ) R ( ) + P( ) = Q( ) при 0 и Случаи = 0 и = не интересны, так как при = 0 получается линейное уравнение, а при = - уравнение с разделяющимися переменными Характерный признак такого уравнения состоит в том, что функция и ее производная присутствует в уравнении в степенях с показателем и только в одном случае допускается нелинейный множитель Например, уравнения + ( + ) =, ( ) + + =, Бернулли, а уравнения ( ) + = или + = является уравнениям + + =, + = не являются таковыми Уравнениям Бернулли решается заменой = u v, = u v+ u v, которая приводит его к двум уравнениям с разделяющимися переменными Следует отметить, что алгоритм решения повторяет схему решения линейного уравнения Поясним алгоритм решения на примере Пример Решить дифференциальное уравнение + = Решение Это уравнение Бернулли вида R( ) + P( ) = Q( ) при = Делаем замену = u v, = u v+ u v Отсюда + = u v+ u v + u v = u v, ( ) uv+ u v + v = u v, Приравняем к нулю выражение в скобках и найдем функцию v = v( ), те v + v=0 Это уравнение с разделяющимися переменными d ν + v = 0, d ν + d = 0 d v d Интегрируем ν + d = 0 v, l v + = 0, v = e Находим вторую функцию u из уравнения uv + u ( v + v) = u v uv = u v, u = u v ; u = u e, Это уравнение с разделяющимися переменными du du du = u e ; = e d; e d d u = u Подводим множитель под знак дифференциала = e d ( ) u, = e + C u = e C, = e C, u = u u Общее решение = u v e C = e ; e C = Ответ C e = C e 9

10 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах Это уравнение вида M (, ) d+ N(, ) d = 0, у которого левая часть равна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ) Другими словами, уравнение можно записать du = 0 Отсюда получаем общий интеграл U(, ) = C Признак уравнения в полных дифференциалах Уравнение M (, ) d+ N(, ) d =0 в полных дифференциалах верно равенство = Покажем на примере алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах Пример Найти общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах + + d+ + + d=0 ( ) ( ) Решение Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах, те оно имеет вид M (, ) d+ N(, ) d = 0, причем верно равенство = В нашем случае M = + +, N = + + Находим частные производные M + + = + ; N = ( ) ( ) = + + = Итак, верно равенство + = Находим такую функцию U = U(, ) такую, что тождество (, ) (, ) du = M d + N d = M, = N, те верно Запишем систему уравнений = + +, = + + Интегрируем первое из них по переменной, считая константой: U = ( + + ) d, U = D( ) ; U = D( ) При интегрировании появилась условная константа D( ), которая не зависит от переменной Подставим найденную функцию во второе уравнение = + + ( D( ) ) = + + D ( ), + + D ( ) = + +, D ( ) = ; D( ) = d; D( ) = + E U = E, где E - константа Примем ее равной E = 0 Уравнение ( ) ( ) du = M, d + N, d = 0 du = 0 Поэтому общий интеграл таков U = C, те = C Ответ = C 0

11 8 Метод интегрирующего множителя Если уравнение M (, ) d+ N(, ) d =0 не является уравнением в полных дифференциалах, то возникает задача о нахождении функции μ=μ (, ) такой, что новое уравнение μ M (, ) d+μ N(, ) d =0 становится уравнением в полных дифференциалах Эта функция называется интегрирующим множителем Она есть частное решение уравнения в частных производных ( l ) ( l ) M N N μ M μ = Это условие получается из условия ( μ N) = ( μ M) В общем случае нахождение интегрирующего множителя является задачей не простой Однако, считается, что интегрирующий множитель имеет заданный вид (например, является функцией только от или только от ) μ=μ, те не зависит от Этот Случай Интегрирующий множитель ( ) множитель находим из условия ( l ) Случай Интегрирующий множитель ( ) μ = N μ=μ определяем согласно равенству ( lμ ) = M Пример Решить уравнение + d d = Решение Проверим, будет ли это уравнение в полных дифференциалах, те оно имеет вид M (, ) d+ N(, ) d =0, причем верно равенство = В нашем случае M = +, N = + Находим частные производные = + = ; = + = Равенство = не выполняется Найдем интегрирующий множитель μ=μ ( ) Поскольку выражение из условия ( lμ ) = N ( ) lμ = = + ; lμ= d = l ; μ= Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель + d d = ; ( + ) d + ( + ) d = 0

12 Полагаем M = + ; N = + Находим такую функцию U = U(, ) такую, что тождество (, ) (, ) du = M d + N d = M, Запишем систему уравнений = +, = + Интегрируем первое из них по переменной, считая константой: U = ( + ) d, U = + + D( ) Подставим найденную функцию во второе уравнение = D( ) = +, + D ( ) = + ; D ( ) = ; D( ) = ; U = + + Уравнение du = M d + N d = 0 du = 0 Поэтому общий интеграл таков U = C, те U = + + = C; + + = C Ответ + + = C = N, те верно 9 Повторение Пример Определить тип дифференциального уравнения -го порядка ДУ- Ответ + Уравнение с разделяющимися = переменными вида = P( ) Q( ) Уравнение с разделяющимися переменными вида = + P( ) Q( ) = P( ) Q( ) Однородное уравнение вида = = + = + = + + = 0 = ϕ, так правая часть является безразмерной величиной, если, измерены в метрах Линейное уравнение вида + P( ) = Q( ) Линейное уравнение вида R( ) + P( ) = Q( ) Уравнение Бернулли + ( ) = ( ) при = Уравнение Бернулли P Q R( ) + P( ) = Q( ) при =

13 8 + = Однородное уравнение вида = ϕ 0 Краткая Теория Уравнение с разделяющимися переменными = P( ) Q( ) или ( ) ( ) = ( ) ( ) Подставить P Q P Q d = d, разделить переменные Однородное уравнение = ϕ Признак однородности - правая часть уравнения безразмерная величина, если, измерены в метрах Замена = =, = + приводит к уравнению с разделяющимися переменными Линейное уравнение + P( ) = Q( ) или R( ) + P( ) = Q( ) Замена = u v, = u v+ u v приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными 4 Уравнение Бернулли + P( ) = Q( ) или R( ) + P( ) = Q( ), где 0 и Замена = uv, = u v+ uv 5 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах M (, ) d+ N(, ) d = 0, для которого верно равенство = Такая дифференциальная форма M (, ) d+ N(, ) dравна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ), те верно = M, = N Решение уравнения сводится к нахождению этой функции U = U(, ) : M (, ) d+ N(, ) d = 0 du = 0, U(, ) = C- общий интеграл 6 Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах M (, ) d+ N(, ) d = 0, левая часть которого равна полному дифференциалу du = d + d некоторой функции U = U(, ) Это равносильно выполнению равенства = Общий интеграл ( ) U, = C При умножении обеих частей уравнения M (, ) d+ N(, ) d = 0 на интегрирующий множитель μ=μ (, ) получается уравнение в полных дифференциалах Интегрирующий множитель есть частное решение уравнения ( l μ ) ( l μ ) M N N M =

14 Обычно, считается, что интегрирующий множитель имеет заданный вид: Случай Интегрирующий множитель μ=μ ( ), те не зависит от Его находим из условия μ = N μ=μ определяем согласно равенству ( l ) Случай Интегрирующий множитель ( ) μ = M ( l ) 4