Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр"

Транскрипт

1 ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова

2 ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i } i I, {f i ()} i I > называется, если в ней участвуют 2 ока, т.е. I = {1, 2}, а сумма выышей первого и второго оков постоянна и равна нулю, т.е. X выполняется равенство f 1 () + f 2 () = 0. Иначе говоря, выыши первого и второго оков равны по модулю и противоположны по знаку (под отрицательным выышем здесь понимается проыш). Таким образом, для задания ы достаточно задать два множества стратегий оков и функцию выыша первого ока:. Γ =< X 1, X 2, f () >

3 ы. е. ах е. Ситуацией равновесия (по Нэшу) называется такая ситуация (1, 2 ), что или т.е. f 1 ( 1, 2 ) f 1 (1, 2 ) 1 X 1 f 2 (1, 2 ) f 1 (1, 2 ) 2 X 2, f ( 1, 2 ) f (1, 2 ) 1 X 1 f (1, 2 ) f (1, 2 ) 2 X 2, f ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) f ( 1, 2 ) 1 X 1, 2 X 2. Это неравенство определяет седловую точку функции f (). Таким образом, равновесными ситуациями ы будут седловые точки её функции выыша.

4 ы. е. ах Следующие теоремы позволяют исследовать функцию выыша на наличие точек, т.е. определять имеет ли а решение. Если изменяется в области X, - в области Y, то для любой функции f (, ), определенной на X Y, имеет место неравенство sup inf f (, ) inf sup f (, ).

5 ы. е. ах Доказательство. При любых X, Y мы имеем f (, ) sup f (, ). Перейдем к инфимуму по Y в обеих частях неравенства. inf f (, ) inf sup f (, ). Справа в этом неравенстве стоит некоторая константа. Перейдя к супремуму по, получим sup inf f (, ) inf sup f (, ).

6 ы. е. ах Следствие. Если в исходном неравенстве достигаются внешние экстремумы, то ma inf f (, ) min sup f (, ). Если, кроме того, достигаются внутренние экстремумы, т.е. при любом X существует min f (, ) и при любом Y существует ma f (, ), то ma min f (, ) min ma f (, ).

7 ы. е. ах Theorem Для того, чтобы функция f (, ) на произведении X Y имела седловые точки, необходимо и достаточно, чтобы существовали минимаксы ma inf и выполнялось равенство ma inf f (, ), min f (, ) = min sup f (, ) sup f (, )

8 ы. е. ах Доказательство Необходимость. Пусть (, ) - седловая точка функции f (, ). Это означает, что f (, ) f (, ) f (, ) X, Y. (1) Рассмотрим левую и правую стороны неравенства (1). Переходя в них к супремуму по и к инфимуму по соответственно, получим Тогда inf sup sup f (, ) f (, ), f (, ) inf f (, ) f (, ) sup f (, ) f (, ), f (, ) inf f (, ) sup inf f (, ).

9 Имеем: Определение ы. е. ах т.е. inf sup f (, ) sup f (, ) f (, ) inf inf sup f (, ) sup inf f (, ), (2) f (, ) sup inf f (, ). По предыдущей теореме выполняется и противоположное неравенство: Поэтому sup inf inf sup f (, ) inf sup f (, ). f (, ) = sup inf f (, ). (3) Это означает, что в неравенстве (2) равны все части, т.к. равны внешние части. Именно: inf sup f (, ) = sup f (, )

10 ы. е. ах Получаем, что в выражении inf sup f (, ) на = достигается инфимум. Аналогично inf f (, ) = sup inf f (, ), т.е. в выражении sup inf f (, ) на = достигается супремум. Таким образом, равенство (3) перепишется как ma inf f (, ) = min sup f (, ). (4) Достаточность. Пусть существуют и равны минимаксы ma inf f (, ) = min sup f (, ), (5) и внешние экстремумы достигаются на них соответственно в точках и. Это означает, что ma inf f (, ) = inf f (, ). Кроме того, inf f (, ) f (, ), так что ma inf f (, ) = inf f (, ) f (, ).

11 ы. е. ах Аналогично Получим f (, ) sup f (, ) = min sup f (, ). ma inf f (, ) = inf f (, ) f (, ) sup f (, ) = min sup f (, ). (6) Ввиду (5) все части в неравенстве (6) равны между собой. В частности inf f (, ) = f (, ) и sup f (, ) = f (, ). Это означает, что или f (, ) f (, ) X f (, ) f (, ) Y, f (, ) f (, ) f (, ) X, Y. Следовательно, (, ) - седловая точка функции f (, ).

12 ы. е. ах Замечание. Из доказательства достаточности теоремы видно, что в качестве компонент седловой точки могут быть взяты любые,, на которых достигаются внешние экстремумы в (5). Это означает, что если ( 1, 1 ) и ( 2, 2 ) - седловые точки функции f, то точки ( 1, 2 ) и ( 2, 1 ) также будут для неё седловыми. Это свойство точек функции называется прямоугольностью множества Кроме того, из (6) и (5) следует, что значение функции в седловой точке равно общему значению минимаксов. Это означает, что значения функции f во всех точках совпадают.

13 ы. е. ах Рассмотрим конечную бескоалиционную у Γ =< I, {X i } i I, {f i ()} i I >. Некоторое вероятностное распределение ξ i на множестве чистых стратегий X i назовем смешанной стратегией ока i, Вероятность, которую распределение ξ i приписывает чистой стратегии i обозначим через ξ i ( i ). Множество всех стратегий ока i обозначим через Ξ i.

14 ы. е. ах Будем считать, что смешанные стратегии всех оков i I = {1,..., n} являются независимыми в совокупности распределениями, т.е. вероятность появления ситуации s = (s 1,..., s n ) равна произведению вероятностей выборов составляющих её стратегий ξ 1 ( 1 )ξ 2 ( 2 )... ξ n ( n ). Тогда ситуацией в стратегиях называют вероятностное распределение ξ на множетсве всех ситуаций, задаваемое соотношением ξ() = ξ( 1,..., n ) = ξ 1 ( 1 )... ξ n ( n ). ы Γ в стратегиях реализует различные ситуации с некоторыми вероятностями, поэтому значение функции выыша каждого из оков становится случайной величиной.

15 ы. е. За выыш i-го ока в ситуации в стратегиях принимают математическое ожидание этой величины, т.е. f i (ξ) = f i ()ξ() = n... f i ( 1,..., n) ξ i ( i ). (7) X 1 X 1 n X n i=1 Отметим также, что f i (ξ 0 j ) = 1 X 1... j 1 X j 1... f i (ξ j 0 ) j+1 X j+1 n X n n i=1,i j ξ i ( i ). ах

16 ы. е. ах Игра Γ =< I, {Ξ i } i I, {f i (ξ)} i I >, в которой I - множество оков, Ξ i - множество стратегий ока i, а функция выыша определяется равенством (7) называется смешанным расширением ы Γ. Lemma Какова бы ни была ситуация в стратегиях ξ = (ξ 1,..., ξ n ), любой ок i имеет такую чистую стратегию i 0, что одновременно выполняются два неравенства ξ i ( 0 i ) > 0 и f i (ξ 0 i ) f i (ξ).

17 ы. е. ах Доведення. Предположим противное, т.е. для всех i ока i, таких что ξ i ( i ) > 0, выполняется f i (ξ i ) > f i (ξ). Тогда для всех таких стратегий f i (ξ i )ξ i ( i ) > f i (ξ)ξ i ( i ). Для всех остальных стратегий ξ i ( i ) = 0, следовательно Тогда f i (ξ i )ξ i ( i ) = f i (ξ)ξ i ( i ) = 0. i X i f i (ξ i )ξ i ( i ) > i X i f i (ξ)ξ i ( i ). Но это означает, что f i (ξ) > f i (ξ), чего не может быть. Полученное противоречие указывает на существование искомой чистой стратегии ока i.

18 ы. е. ах ах Ситуацией равновесия ы Γ в стратегиях называется ситуация равновесия её смешанного Γ. ξ будет ситуацией Γ, если для любого ока i и для любой его смешанной стратегии ξ i имеет место неравенство f i (ξ ξ i ) f i (ξ ).

19 ы. е. Theorem Для того, чтобы ситуация ξ в е Γ была ситуацией равновесия этой ы в стратегиях, неообходимо и достаточно, чтобы для любого ока i и любой его чистой стратегии i выполнялось f i (ξ i ) f i (ξ ). (8) ах

20 ы. е. ах Доказательство. Необходимость Т.к. чистая стратегия является частным случаем смешанной, то неравенство (8) напрямую следует из определения равновесной ситуации. Достаточность Возьмем произвольную смешанную стратегию ξ i ока i, домножим неравенство (8) на ξ i ( i ) и просуммируем по всем i X i f i (ξ i ) = f i (ξ i )ξ i ( i ) ξ i ( i )f i (ξ ) = i X i i X i = f i (ξ ) i X i ξ i ( i ) = f i (ξ ). Из полученного неравенства следует равновесность ситуации ξ.

21 ы. е.. Theorem () В каждой бескоалиционной е Γ =< I, {X i } i I, {f i ()} i I > существует хотя бы одна ситуация равновесия. ах

22 ы. е. ах Доказательство Если ок i имеет в Γ m i чистых стратегий, то множество его стратегий Ξ i представляет собой (m i 1)мерный симплекс. Обозначим его через S (i). Тогда всякую ситуацию в стратегиях ξ = (ξ 1,..., ξ n ) можно рассматривать как точку декартова произведения S (1)... S (n), которое является выпуклым замкнутым ограниченным подмножеством (m m n n)мерного пространства. Введем функцию ϕ ij (ξ) = ma{0, f i (ξ (j) i ) f i (ξ)} для всякой ситуации ξ и любой чистой стратегии (j) i X i ока i. Она показывает увеличение выыша ока i в ситуации ξ, происходящее за счет изменения его стратегии ξ i, входящей в эту ситуацию, на некоторую чистую стратегию (j) i.

23 Составим теперь для всех i = 1, n и j = 1, m i числа вида Определение ы. е. ах ξ i ( (j) i ) + ϕ ij (ξ) 1 + m i j=1 ϕ ij(ξ). (9) Т.к. все ϕ ij (ξ) 0, то все эти числа также неотрицательны, а каждая сумма вида m i j=1 ξ i ( (j) i ) + ϕ ij (ξ) 1 + m i j=1 ϕ ij(ξ) = 1. Следовательно, при фиксированных ξ и i дроби (9) можно понимать как вероятности соответствующих чистых стратегий (j) i ока i, а каждый их набор для всех чистых стратегий (j) i - как смешанную стратегию ока i. Совокупность дробей (9) для всех оков определяет систему стратегий всех оков, т.е. ситуацию в е Γ.

24 ы. е. ах Эта ситуация является функцией исходной ситуации ξ, обозначим ее через g(ξ). Функция g осуществляет преобразование выпуклого компактного множества всех ситуаций Ξ в себя. Кроме того, она является непрерывной функцией ξ, т.к. ϕ ij (ξ) непрерывна, а знаменатель 1 + m i ϕ ij (ξ) 1. Это означает, что g j=1 удовлетворяет всем условиям теоремы о неподвижной точке 1, согласно которой непрерывное преобразование g выпуклого подмножества конечномерного пространства в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку, т.е такую точку ξ 0, что g(ξ 0 ) = ξ 0. Пусть ξ 0 - неподвижная точка функции g. Это значит, что для всех i и j ξi 0 ( (j) i ) = ξ0 (j) i ( i ) + ϕ ij (ξ 0 ) 1 + m i j=1 ϕ ij(ξ 0 ). (10) 1 См., например: Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., 1965, с

25 ы. е. ах Ранее было показано, что для любого ока i существует такая чистая стратегия i 0 этого ока, что ξi 0( i 0) > 0 и ϕ i0(ξ 0 ) = 0. Для этой стратегии равенство (10) записывается как откуда ξi 0 (i 0 ) = ξ0 i ( i 0) + ϕ i0(ξ 0 ) 1 + m i j=1 ϕ ij(ξ 0 ), m i ξi 0 (i 0 ) + ξi 0 (i 0 ) ϕ ij (ξ 0 ) = ξi 0 (i 0 ) + ϕ i0 (ξ 0 ), m i j=1 ξi 0 (i 0 ) ϕ ij (ξ 0 ) = ϕ i0 (ξ 0 ) = 0. j=1 Т.к. ξ 0 i ( 0 i ) > 0, то m i j=1 ϕ ij(ξ 0 ) = 0. А т.к. все ϕ ij (ξ 0 ) 0, то они ϕ ij (ξ 0 ) = 0.

26 ы. е. ах Это означает, что любая разность т.е. f i (ξ (j) i ) f i (ξ) 0, f i (ξ (j) i ) f i (ξ). По предыдущей теореме получаем, что ξ 0 - ситуация равновесия. Замечание. Стоит отметить, что теорема только гарантирует существование ситуаций равновесия, но не дает алгоритмов их нахождения. Это связано с использованием теоремы о неподвижной точке, которая также не является конструктивной.


Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Лекция 2. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации

Лекция 2. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации Лекция Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации До сих пор мы ничего не говорили о свойствах траекторий случайного процесса как функций времени Из физических соображений можно, например,

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ. Басманов А.Е., Дикарев В.А.

СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ. Басманов А.Е., Дикарев В.А. Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.97. 76-Уі97 СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ Басманов А.Е., Дикарев В.А. В работе поставлена и решена задача о синтезе (восстановлении) стохастической матрицы

Подробнее

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов Просеминар по математической логике и теории алгоритмов http://proseminar.math.ru Игры и стратегии - 2 Пусть задана игра в нормальной форме. Смешанной стратегией для игрока m называется распределение вероятностей

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ В результате изучения данной главы студенты должны: знать определения и свойства Марковских процессов с непрерывным

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде:

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде: Глава 8. ПОТОКИ В СЕТЯХ В данной главе, если не оговорено дополнительно, под сетью будем понимать связный ориентированный граф G = (V, A) без петель и мультидуг, с одним источником s V и одним стоком t

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 3.. Задача математического программирования В предыдущей главе мы познакомились с линейным программированием. Приведенные примеры показывают что многие практические

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его распределение

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его распределение Лекция 1 Понятие случайного процесса и его распределение Настоящий курс является продолжением общего курса по теории случайных процессов, в котором было рассмотрено значительное число различных классов

Подробнее

Двойственность в задаче Канторовича.

Двойственность в задаче Канторовича. Тема 3 Двойственность в задаче Канторовича. Запишем задачу Канторовича в виде задачи линейного программирования из правой части формулы в теореме 2.1. Будем рассматривать ρ и π как векторы: ρ t = (ρ 12,...,

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1

Математический Анализ 1 семестр. Часть 1 МГУ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Математический Анализ семестр. Часть Учебно-методическое пособие подготовлено Тесленко М.А. на основе лекций, прочитанных Черемных Ю.Н. г. Москва Математический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Аменабельные группы. лекция 4. Миша Вербицкий. 7 августа 2011

Аменабельные группы. лекция 4. Миша Вербицкий. 7 августа 2011 Аменабельные группы лекция 4 7 августа 2011 Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 1-7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия 1 Аменабельные группы (повторение) Для любого множества S, обозначим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

Лекция 11. Неравенства для субмартингалов. Сходимость субмартингалов

Лекция 11. Неравенства для субмартингалов. Сходимость субмартингалов Лекция 11 Неравенства для субмартингалов. Сходимость субмартингалов Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, F, P и заданную на нем фильтрацию {F n, n N 0 }. Определение 1. Неотрицательная целочисленная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай)

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) ЛЕКЦИЯ 5 Необходимые условия экстремума 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) -1- Лекция 4: Теорема 7 (Фаркаша Минковского). Система уравнений Ax

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. 1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА. 1. Заряды

Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА. 1. Заряды Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)), где

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)), где p, q >

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Мартингалы. Неравенство Колмогорова. Стохастический интеграл с переменным верхним

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 от Лектор: Панин Артём (Александрович) Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание)

ЛЕКЦИЯ 1 от Лектор: Панин Артём (Александрович)  Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание) ЛЕКЦИЯ 1 от 07.09.16 Лектор: Панин Артём (Александрович) http://www.math.nsc.ru/lbrt/k5 Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание) 1. Понятие экстремальной задачи 2. Элементы алгоритмической теории

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

1 Классы функций сравнения

1 Классы функций сравнения 1 Классы функций сравнения Классом K называют множество непрерывных монотонно возрастающих функций α = α(r), α : R + R +, удовлетворяющих условию α(0) = 0. Классом K называют множество тех функций α(r)

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Транспортные задачи. Случай конечных пространств.

Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Тема 1 Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Мы будем изучать задачи оптимальной транспортировки некоторым образом распределенной массы из заданного начального состояния в заданное конечное

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ Е. Р. Даниловцева, В. Г. Фарафонов, Г. Н. Дьякова ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

2.2 Неравенство треугольника

2.2 Неравенство треугольника 2.2. Неравенство треугольника 35 2.2 Неравенство треугольника Докажем теперь, что d GH удовлетворяет неравенству треугольника. Предложение 2.17. Для любых метрических пространств X 1, X 2 и X 3 имеем d

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ УДК 5254 ОМ Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ В работе вводятся понятия K-больших и обобщенно K-больших абелевых групп В п и п 2 рассматриваются их основные свойства связи между

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 72 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 519.2 О коррекции положения стохастической системы по квантильному критерию Кибзун А.И.*, Хромова О.М.** Московский авиационный институт

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона Лекция 1 Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона В теории вероятностей основными объектами исcледований являются случайные величины и векторы. Напомним их определение. Пусть задано некоторое вероятностное

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки.

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Определение 1 Предельная точка для множества - это такая точка a, к которой сходится некоторая последовательность точек множества,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее